TEMA 4: RESPOSTA EN FREQÜÈNCIA I FILTRAT 4.1 Resposta en freqüència Ym.

TEMA 4: RESPOSTA EN FREQÜÈNCIA I FILTRAT
4.1 Resposta en freqüència
Recordem (del tema 3) que tot circuit electrònic té una funció de transferència Ym. La sortida del circuit Té
una amplitud i una fase que poden canviar segons la freqüència.
Exemple
1
Aquest filtre passabaixos,
eliminarà la part sorollosa que és la
que té la freqüència més alta.
Tipus de filtre
La banda (B) queda definida per:
B=H−L
4.2 El circuit de sintonització paral·lel.
Factor de qualitat ! Q = 2 · · WP / WD
on Wp= energía de pic
on Wd=energía dissipada en un periode
v(t)=Vm · cos(·t)
i(t)=Im· cos(·t+)
Pel cas de la bobina:
Pel cas del condensador:
2
Resumint:
Per la bobina ! QL = · L / rs
Per el condensador ! QC = · L · rp
De cara a trobar la freqüència amb la que el circuit entra en resonància
3
Per a o veiem que el mòdul de la impedància
tendeix a infinit.
Equivalència
4
Resumint:
per al circuit sèrie !
per al circuit paral·lel !
Càlculs per al RLC paral·lel:
5
Resposta en freqüència
6
Tant per la freqüència de tall superior, com per la de tall inferior, el mòdul del guany és el modul per a o
dividir per
. És a dir:
Tornant a l'expressió d'abans del circuit de sintonització paral·lel:
7
Demostrarem l'existència de dues freqüències
per les quals el valor de guany és Ao/
:
Per a freqüències altes:
Per a freqüències baixes:
4.3 Resposta temporal d'un circuit de sintoni paral·lel.
8
Si passem transformem l'impedància a l'operador de Heaviside podem observar que ens queda un
denominador de 2º grau del qual podem obtenir molta informació, l'ample de banda i la freqüència de
resonància natural del sistema:
9
4.4 Formes canòniques per filres de segon ordre.
10
Com veiem el guany a la freqüència de ressonància depèn del factor de qualitat: Qo=1/(2·)
4.5 Diagrama de BODE
11
Exemple
El guany en dB d'un funció de transferència és: Adb()=20·log·A()
Per calcula la potència transmesa: 10·log(Po/Pi)= 10·log(Vo2/Vi2)= 20·log(Vo/Vi)
12
Factor general (zeros/pols múltiples)
Un cop factoritzat el numerador i denominador de la funció de transferència ens trobem binomis del següent
tipus: ( j+a ) q . Si el binomi està en el numerador, parlem d'un zero. Si el binomi està situat en el
denominador parlem d'un pol. Per analitzar les contribucions de guany en el bode ho passarem a dB: ( j+a )
q ! a és el zero o pol i q és la multiplicitat.
Cas particular on a=0.
Cas general on a "0.
Aproximacions en el dibuix del Bode
" a ! 10·q·log = 20·q·log ! zero= + 20·q·log
! pol = − 20·q·log
" a! 10·q·log a2 = 20·q·log a ! zero= + 20·q·log a
! pol = − 20·q·log a
13
Demostració de l'aproximació, càlcul d'error.
Error per a " a
Error per a " a
Error per a = a
Com veiem en el darrer dibuix l'error és màxim quan =a. Però a mesura que ens allunyem de a, l'error
diminueix éssent ínfim en punts més llunyants.
14
Exemple
I aquestes són les contribucions per part de la constant, el zero i els dos pols:
Que sumant−les totes ens dóna un Bode d'aquest tipus:
15
Un mètode més ràpid consisteix en determinar el guany a l'orígen del Bode (1 rad/s) i a partir d'aquí anar
sumant pendents:
Diagrama de Bode en fase
16
Un cop factoritzat el numerador i denominador de la funció de transferència ens trobem amb una constant K
que multiplica a una sèrie de binomis del següent tipus: ( j+a ) q . Si el binomi està en el numerador, parlem
d'un zero. Si el binomi està situat en el denominador parlem d'un pol. Per analitzar les contribucions de fase en
el bode mirem l'argument del nombre complexe resultant:
Cas particular on a = 0:
per a un pol:
per a un zero:
Cas general on a " 0:
per a un pol:
. En dos dècades cambiem q·90º la fase
per a un zero:
. En dos dècades cambiem q·90º la fase
17
La contribució de la constant K en el diagrama de Bode de fase és de 0º per K>0 i de −180º per K<0.
Pel que fa als factors generals (pols o zeros)
Exemple
Fer el diagrama de bode per a la següent funció de
transferència:
TEMA 5: RESPOSTA EN FREQÜÈNCIA I FILTRAT
5.1 Sèries de Fourier trigonomètrica.
Encara que apliquem una entrada no sinusiodal, tota senyal periòdica es pot descomposar en sèries de Fourier
trigonomètriques.
18
Així doncs per poder descomposar un senyal s'ha de complir que f (t) = f (t+T). On T és el periode.
Una sèrie de Fourier té el següent aspecte:
a0 / 2 ! valor mig
a1, a2, b1, b2, ... ! coeficients de Fourier
... ! freqüència fonamental (2· /T)
n · ... ! harmònics
Càlcul dels coeficients
Exemple
Calcular la sèrie de Fourier per aquest senyal:
19
20
f(t)=2·sin t − sin(2·t) + (2/3)·sin (3·t) − 1/2·sin (4·t) +2/5 sin (5·t)+....
Si representem la suma dels 5 primers harmònics tenim una senyal del següent tipus, veiem com s'apropa a la
dent de serra:
5.2 Propietats de les simetries
Segons si les senyals són parells ( f(t)=f(−t) ) o senars ( f(t) = −f(−t) ), ténen una sèrie de característiques que
són útils alhora de simplificar els càlculs. La següent taula les fórmules per calcular els coeficients.
Exemple
Calcular la sèrie de Fourier de la
següent funció :
f (t+2) = f (t) ! T=2 ! = rad/s
21
Veiem que es tracta d'una simetria senar (no té termes de cosinus), i a simple vista determinem que el valor
mig del senyal és 0.
Amb el 9 primers harmònics:
Amb els 199 primers harmònics :
22
5.3 Resposta a excitacions periòdiques
Exemple
Si volem trobar el corrent que circularà la funció de transferència ha de ser una admitància:
23
Les sèries de Fourier es poden representar com la suma de termes de cosinus i sinus, o bé com termes de
cosinus amb un defasatge n.
+
=
24
Analíticament:
Exemple 2
25
Calcula V del condensador:
26
5.4 Sèrie de Fourier exponencial
27
Càlcul de Cn:
Exemple
Calcular la sèrie de Fourier de la
següent funció :
f (t+2) = f (t) ! T=2 ! = rad/s
28
Així podem resumir la sèrie exponencial de Fourier com una altra sèrie en el que el terme Cn ens aporta més
informació que la trigonomètrica, concretament l'amplitud i la fase. La sèrie és del següent tipus:
29
En temes anteriors deiem que tot circuit té una funció de transferència, i que quan aplicàvem un senyal a
l'entrada teníem una senyal de sortida. La senyal de sortida (y(t)= yn(t)+ yf(t)) tenia un transitori que
dessapareixia i com a règim estacionari permanent ens queda la senyal de sortida forçada. Si l'entrada del
circuit és un senyal x(t) del següent tipus:
5.4 Espectre en freqüència
Exemple
30
Donant diferents valors a n trobarem les diferents amplituds del diferents harmònics:
n
1
2
3
4
5
6
Cn
1/
0
1/(−3·)
0
1/(5·)
0
øCnø
1/
0
1/(3·)
0
1/(5·)
0
n
0
0
0
0
0
0
Gràfica
31
TEMA 6:Aplicacions de la transformada de Fourier
6.1 La integral de Fourier.
Per a passar una funció f(t) dependent del temps al domini de la freqüència (j) cal aplicar la transformada de
Fourier. Cal aplicar la integral de Fourier:
El motiu de treballar en el domini de la freqüència, és la reducció de complexes eqüacions a simples
expresions algebraiques, que un cop resoltes, les tornem a passar al domini del temps aplicant la
antitransformada de Fourier:
Exemple
Tenim una funció f(t)=e−at·u(t)
Respecte, el temps:
Respecte, la freqüència. (vermell ! mòdul,
blau ! fase)
32
Exemple 2
Tenim una funció
Trobar la transformada de Fourier
33
6.2 Propietats de la transformada de Fourier
Quan fem la transformada de Fourier, passem a treballar amb freqüència complexa. La transformada ens
aportarà informació del guany i fase:
SIMETRIES
Tornant a fer referència a les simetries, es cumpleixen les següents propietats:
• Si f(t) és parell ! f(t)= −f(t):
34
• Si f(t) és senar ! f(t)= −f(−t):
Exemple
Tenim una funció
Trobar la transformada de Fourier.
La simetria és senar :
35
LINIALITAT
Els escalars que multipliquen a la f(t) són els mateixos que multipliquen a f(j):
DERIVACIÓ
DESPLAÇAMENT
Un desplaçament en el temps, provoca un canvi de fase a la freqüència:
MULTIPLICACIÓ PER t n
6.3 Aplicacions de transferència en freqüència
36
6.3.1 Funció de xarxes
* n és el nombre d'elements de memòria
Exemple
En el següent circuit trobar H(j) i Vo(t).
37
Aplicant transformadas de Fourier no podem tenir en compte les condicions inicials del circuit. De fet la
funció de transferència no depèn de les condicions inicials. Per a poder−les tenir en compte hauríem d'aplicar
la transformada de Laplace.
6.3.2 Càlcul de la densitat de energètica
En aquest apartat i gràcies a la relació de Parseval podrem determinar l'energia aplicada a un circuit, calcular
l'energia de resistències, inductàncies i condensadors.
Relació de Parseval
Per a calcular l'energia (W) hem de fer l'integral de la potència en el temps:
Nosaltres no treballarems amb la potència sinó amb la tensió al quadrat, que és directament
proporcional:
Exemple
38
TEMA 7:Aplicacions de la transformada de Laplace
7.1 Introducció.
Com les eqüacions diferencials de temps són força complicades, fem servir la transformada de Laplace per
passarles al pla s on aquestes mateixes eqüacions queden reduides a formes algebraiques molt més senzilles de
tractar.
Per a passar una funció f(t) dependent del temps al pla s cal aplicar la transformada de Laplace:
39
Exemple
Si tenim una funció f(t)=e−at·u(t)
Si tenim una funció f(t)=u(t)
Si tenim una funció g(t)=
Exemple 2
40
7.2 Linealitat
Els escalars que multipliquen a la f(t) són els mateixos que multipliquen a f(s):
Exemple
Exemple 2
41
Fent transformades de Laplace:
Utilitzant l'operador p de Heavi
7.3 Traslació
Exemple
Exemple 2
7.4 Convolució
42
Producte de convolució
Exemple
7.5 La funció impuls
43
7.6 La transformada inversa
Exemple
Exemple 2
Exemple 3
44
7.7 Teorema de diferenciació
7.8 Circuits elèctrics
Exemple
45
Exemple 2
7.9 El circuit transformat
46
Anàlisis per tensions
Anàlisis per corrents
RESISTÈNCIA
INDUCTÀNCIA
CONDENSADOR
• Considera el circuit de la figura 1. A t=0− el circuit es troba en condicions règim permanent.
Determina:
• Les condicions inicials, és a dir, els valors del corrent de la bobina (i) i la tensió en el condensador a t=0.
• Troba la funció de transferència.
• Quina és la resposta en corrent per qualsevol valor de temps superior a zero? Determina la resposta
completa.
47
• Substituim les bobines per un curtcircuit i el condensador per un circuit obert. Calculem la tensió entre
borns del circuit obert (VCo), i el corrent del curtcircuit (ILo).
48
• Apliquem les condicions inicials i treiem la branca de l'interruptor obert que no actúa de cap manera per
t=0+.
Aplicant anàlisis nodal:
49
• Per determinar la funció sencera apliquem la expansió en fraccions parcials.
50
• Considera el circuit de la figura 2. Apliquem un senyal d'entrada, Vg, de valor 26·cos(2t)·u(t) V. Si
considerem que les condicions inicials són Va(0)=0 i Vb(0)=2V, determina:
• El sistema d'equacions que descriu el circuit.
• La funció de transferència.
• La resposta en corrent per qualsevol valor de temps superior a zero? Determina la resposta completa.
• Si anul·lem les condicions incicial quina serà la resposta forçada?
51
a) Sabem que gràcies a la realimentació negativa la tensió dels terminals + i − de l'operacionals són la
mateixa, afegint condicions inicials:
a)
b)
52
53
c)
54
d)
55
56