Y v

15.7 Una de las cuerdas de una guitarra está en el eje x cuando está en equilibrio. El
extremo x=0 (el puente de la guitarra) está fijo. Una onda senoidal incidente viaja por
la cuerda en dirección –x a 143 m/s con amplitud A=0.75 mm y frecuencia f=440 Hz.
Esta onda se refleja del extremo fijo en x=0, y la superposición de las ondas incidente
y reflejada forma una onda estacionaria. a) Obtenga la ecuación que da el
desplazamiento de un punto de la cuerda en función de la posición y el tiempo. b)
Encuentre los puntos de la cuerda que no se mueven. c) Calcule la amplitud, la
velocidad transversal máxima y la aceleración transversal máxima en los puntos de
máxima oscilación.
f=440 Hz, v=143 m/s
ω = 2πf = 2π (440 Hz ) = 2760rad / s
2π 2πf 2πω ω 2760rad / s
=
=
= =
= 19.3rad / m
k=
λ
v
v 2π v
143m / s
A=0.75 mm
y ( x, t ) = AOE sin kx sin ωt = [2(0.75 10 −3 m) sin(19.3rad / m) x] sin( 2760rad / s )t
y ( x, t ) = (1.5 10 −3 m) sin(19.3rad / m) x sin(2760rad / s)t
b) Las posiciones de los nodos están en x=0,λ/2,2λ/2…:
λ=
v 143m / s
=
= 0.325m
f
440 Hz
x = 0,0.163m,0.325m...
c) El desplazamiento máximo es 1.5 10-3 m, dos veces la amplitud de la onda
incidente. Este máximo se da en los antinodos, que están a medio camino entre
nodos adyacentes (x=0.081 m, x=0.244 m…). Para una partícula en cualquier
punto de la cuerda:
∂y ( x, t )
= AOE sin kx(ω cos(ωt )) =
∂t
= [(1.5 10 −3 m) sin(19.3rad / m) x][(2760rad / s ) cos(2760rad / s )t ] =
= [(4.15m / s ) sin(19.3rad / m) x] cos(2760rad / s )t
v y ( x, t ) =
En un antinodo sin(19.3 rad/s)x=±1, y el valor de la velocidad transversal varía
entre 4.15 m/s y -4.15 m/s. La aceleración es:
a y ( x, t ) =
∂v y
= AOE sin kx(−ω 2 sin(ωt )) =
∂t
= [(−1.15 10 4 m / s 2 ) sin(19.3rad / m) x] sin(2760rad / s)t
En los antinodos, el valor de la aceleración transversal varía entre
+1.15 104 m/s2 y - +1.15 104 m/s2.
MODOS NORMALES EN UNA CUERDA
Consideremos ahora una cuerda de longitud finita L, sujeta rígidamente en
AMBOS extremos (como las cuerdas en guitarras, violines, piano..). La onda
estacionaria en la cuerda, en este caso, debe tener un nodo en ambos los
extremos. Dos nodos adyacentes están separados media longitud de onda
(λ/2), así que la longitud de la cuerda debe ser λ/2, 2(λ/2), 3(λ/2) o en
general un numero entero de medias longitudes de onda:
L=n
λ
2
(n = 1,2,3...)
Cuerda fija en ambos extremos
Despejando λ de esta ecuación y denotando los posibles valored de λ con λn:
λn =
2L
n
(n = 1,2,3..)
Si esta relación no existe, la onda no es
estacionaria
A la serie de posibles longitudes de onda estacionaria λn corresponde una
serie de posibles frecuencias de onda estacionaria fn, cada una relacionada
con su longitud de onda por fn=v/λn. La frecuencia más pequeña f1
corresponde a la longitud de onda más grande (n=1) λ=2L:
f1 =
v
2L
FRECUENCIA FUNDAMENTAL
Las otras frecuencias de onda estacionaria son:
fn = n
f2 =
2v
3v
, f3 =
..
2L
2L
v
= nf1 (n = 1,2,3..)
2L
Estas frecuencias se llaman ARMÓNICOS y la serie es la serie armónica.
Un MODO NORMAL de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas
las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia.
Hay un numero infinito de modos normales, cada uno con su frecuencia y
patrón de vibración característicos. Aquí se muestran los primeros 3 patrones
de modo normal:
f1
λ/2=L (n=1)
f2
2λ/2=L (n=2)
f3
3λ/2=L (n=3)
15.36 Un afinador de pianos estira un alambre de piano de acero con una tensión
de 800 N. El alambre tiene 0.4 m de longitud y una masa de 3 g. a) Calcule la
frecuencia de su modo fundamental de vibración. b) Determine el número del
armónico más alto que podría oír una persona que capta frecuencias de hasta
10000 Hz.
a)
b)
v
1 τ
1 τL
1
(800 )(0.4m)
f1 =
=
=
=
= 408Hz
−3
2 L 2 L µ 2 L m 2(0.4m)
(3 10 kg )
10000 Hz
= 24.5
408Hz
ONDAS SONORAS
El SONIDO es una onda longitudinal en un medio. El sonido puede viajar en
aire y por cualquier gas, líquido o sólido.
En una onda longitudinal senoidal, todas las partículas del fluido oscilan con un
MAS en una dirección paralela a la dirección de la onda.
Las partículas
se agrupan:
compresión
Las
Las
Las partículas partículas se
partículas se se agrupan:
separan:
separan:
compresión
expansión
expansión
Las ondas sonoras se pueden describir en
términos de variaciones de presión en
puntos diferentes. El oído humano
funciona detectando tales variaciones de
presión.
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
Onda sonora en dirección +x
El oído humano es sensible a las
ondas
en
el
intervalo
de
frecuencias de 20 a 20000 Hz
(gama audible), pero también se
usa el término sonido para
frecuencias mayores (ultrasónicas)
y menores (infrasónicas)
OÍDO: una onda sonora que entre en el canal auditivo ejerce una presión
sobre un lado del tímpano; el aire del otro lado, comunicado con el exterior
por la trompa de Eustaquio, está a la presión atmosférica. La diferencia de
presión mueve il tímpano.
y1
y2
S
Sea p(x,t) la fluctuación de presión instantánea en
una onda sonora en cualquier punto x en el instante t.
p(x,t) es la cantidad en que la presión difiere de la
presión atmosférica pa. Para ver el vínculo entre
p(x,t) y el desplazamiento y(x,t) en una onda sonora
consideremos el cilindro de la figura.
∆x
x
x+∆x
Dirección de propagación
Si no está presente una onda sonora, el cilindro tiene longitud ∆x y volumen
V=S∆x. Si está presente una onda en el instante t, el extremo del cilindro
que estaba en x se desplaza en y1=y(x,t) y el que estaba en x+∆x se desplaza
en y2=y(x+∆x,t). Si y2 > y1 el volumen del cilindro aumenta, causando una
disminución de presión. Si y2 < y1 el volumen diminuye y la presión aumenta. La
fluctuación de presión depende de la diferencia entre el desplazamiento de
puntos vecinos del medio.
Cuantitativamente el cambio de volumen V del cilindro es:
∆V = S ( y2 − y1 ) = S [ y ( x + ∆x, t ) − y ( x, t )]
En el límite que ∆x->0 el cambio fraccionario de volumen es:
S [ y ( x + ∆x, t ) − y ( x, t )] ∂y ( x, t )
∆V
= lim
=
∆x →0
V
S∆x
∂x
− p ( x, t )
B=
Introduciendo el módulo de volumen B
∂y ( x, t ) / ∂x
∂y ( x, t )
p ( x, t ) = − B
∂x
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
p( x, t ) = BkA sin(kx − ωt )
BkA=pmax amplitud de presión
EJEMPLO 16.1 En una onda sonora senoidal de moderada intensidad, las
variaciones máximas de presión son de 3 10-2 Pa por arriba y por debajo de la
presión atmosférica pa. Calcule el desplazamiento máximo correspondiente si la
frecuencia es de 1000 Hz. En aire a presión atmosférica y densidad normales,
la rapidez del sonido es de 344 m/s y el módulo de volumen B=1.42 105 Pa.
pmax
k=
pmax
= BkA ⇒ A =
Bk
2π
λ
=
2πf 2π (1000 Hz )
=
= 18.3rad / m
v
344m / s
pmax
3 10 −2 Pa
−8
A=
=
=
1
.
2
10
m
5
kB
(18.3rad / m)(1.42 10 Pa)
RAPIDEZ DE LAS ONDAS SONORAS
Vimos que para una onda transversal:
v=
τ
µ
En general, la rapidez de una onda mecánica tiene la forma:
v=
fuerza de restitución
inercia que se opone al retorno al equilibrio
Una onda sonora en un fluido causa compresiones y expansiones, de modo que
el término de fuerza de restitución debe tener que ver con lo fácil o difícil
que es comprimir el fluido: módulo de volumen B. El término de inercia está
relacionado con la masa, que para un fluido se representa con la densidad ρ.
Entonces para una onda longitudinal en un fluido:
v=
B
ρ
Rapidez de una onda longitudinal
en un fluido
Si la onda longitudinal se propaga en una barra sólida, la rapidez está dada por:
v=
Y
donde Y es el módulo de Young del sólido.
ρ
Rapidez del sonido en varios medios:
Aire (20o)
344 m/s
Agua(20o)
1482 m/s
Acero
5941 m/s
Aluminio
6420 m/s
EJEMPLO 16.3 Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos
submarinos. El sistema emite ondas sonoras y mide el tiempo que tarda la onda
reflejada (eco) en volver al detector. Determine la rapidez del sonido en agua
y calcule la longitud de onda de 262 Hz. (ρ=1000 kg/m3, B=0.0218 1011 Pa).
v=
0.0218 1011 Pa
=
= 1480m / s
3
ρ
1000kg / m
B
v 1480m / s
λ= =
= 5.65m
f
262 Hz
RAPIDEZ DEL SONIDO EN GASES
El módulo de volumen B de un gas depende de la presión del gas. La expresión
para el módulo de volumen de un gas es:
B = γp0
Donde p0 es la presión de equilibrio del gas y γ es “la razón de capacidades
caloríficas” (número adimensional). Por ejemplo, para el aire γ=1.4.
La densidad ρ de un gas también depende de la presión, que a su vez
depende de la temperatura. Resulta que el cociente B/ρ para un gas ideal no
depende de la presión, sólo de la temperatura:
v=
γRT
M
Rapidez del sonido en un
gas ideal
donde T es la temperatura absoluta en Kelvin (K), M es la masa molar y R es
la “constante de los gases”, R=8.31 J/mol K