DINAMICA DE MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA
FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
CIENCIAS DE INGENIERIA QUIMICA
FISICA BASICA
DINAMICA DE MOVIMIENTO ROTACIONAL UNIFORME
NOMBRE
VANESSA ESTEFANIA RAMON CHICA
DOCENTE
DR. FREDDY ALBERTO PEREIRA GUANUCHE
CURSO
1er DE INGENIERIA QUIMICA
FECHA DE ENTREGA
08 DE AGOSTO 2014
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto
que la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia
constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración
que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada
aceleración normal y cuyo módulo es
La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un
cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la
masa m por la aceleración normal an.
F=m an
En el applet de más abajo, simulamos una práctica de laboratorio que consiste en medir
con ayuda de un dinamómetro la tensión de la cuerda que sujeta a un móvil que describe
una trayectoria circular.
El dinamómetro está situado en el eje de una plataforma móvil y su extremo está
enganchado a un móvil que gira sobre la plataforma.
SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL
Desde el punto de vista de un observador inercial, el móvil describe un movimiento
circular uniforme. El móvil cambia constantemente la dirección de la velocidad, aunque su
módulo permanece constante. La fuerza necesaria para producir la aceleración normal es
F=mw2R
.
SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL
Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está en
equilibrio bajo la acción de dos fuerzas. La tensión de la cuerda F y la fuerza
centrífuga Fc. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración centrífuga.
Fc=mw2R
La fuerza centrífuga, no describe ninguna interacción entre cuerpos, como la tensión de
una cuerda, el peso, la fuerza de rozamiento, etc. La fuerza centrífuga surge al analizar el
movimiento de un cuerpo desde un Sistema de Referencia No Inercial (acelerado) que
describe un movimiento circular uniforme.
En todo movimiento la aceleración puede descomponerse en dos componentes:
1) Aceleración normal (an) responsable del cambio de dirección (si an = 0 la
trayectoria es una recta)
2) Aceleración tangencial (at) responsable del cambio en la velocidad lineal con la
que se mueve el objeto.
En un movimiento circular uniforme (m.c.u.) de radio
de tipo normal y constante, siendo su valor:
la aceleración es únicamente
Una atracción de feria gira describiendo un movimiento circular uniforme de 6 m de radio,
tardando 10 segundos en realizar una vuelta completa.
Calcula su aceleración:
La velocidad se calcula de forma sencilla, teniendo en cuenta el espacio recorrido y el
tiempo que tarda en hacerlo:
Como el enunciado indica que es un m.c.u. la componente tangencial de la aceleración es
nula, mientras que la normal toma un valor:
La segunda ley de Newton determina el movimiento de una partícula. En el caso de
un m.c.u. también debe ser así, con la única consideración que el valor de la
aceleración corresponde únicamente al término perpendicular, esto es, a la
aceleración normal. De esta forma:
La ecuación de la dinámica para un m.c.u. toma la forma:
Esta fuerza recibe el nombre de fuerza centrípeta, es la responsable del movimiento
circular y está dirigida siempre en dirección hacia el centro de rotación.
Momento angular: En Física y Química el momento lineal (p) de un sistema (también
denominado cantidad de movimiento). Este se definía como el producto de la masa por la
velocidad instantánea (p = m·v) y resultaba de gran utilidad en el estudio de las colisiones,
pues en ausencia de fuerzas externas su valor se conservaba.
Cuando se trata del movimiento de sistemas en rotación resulta interesante introducir una
magnitud análoga, que simplifique su estudio.
Cuando una partícula de masa
se mueve con velocidad
se define su momento
angular ( ) respecto a un puntoO como el producto vectorial de su posición respecto a
dicho punto ( ) por su momento lineal (
)
De esta definición se deduce que la unidad del momento angular en el S.I. es kg·m 2·s-1
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores y , se representa como
vector que tiene las siguientes propiedades:
y es otro
Su módulo es
siendo
el ángulo definido por los vectores
Su dirección es perpendicular al plano definido por los vectores
y .
y .
Su sentido es el correspondiente al avance de un sacacorchos al girar desde la posición
del vector hasta el , también indicado por la regla de la mano derecha, según se indica
en la figura.
De esta definición de momento angular pueden extraerse unas conclusiones interesantes:
1) El momento angular es una magnitud vectorial, por lo que viene caracterizado por su
módulo, dirección y sentido, que serán las correspondientes al producto vectorial que ya
has estudiado en matemáticas.
El módulo toma un valor
posición y el vector velocidad
, donde
es el ángulo formado entre el vector
La dirección es perpendicular al plano formado por el vector posición y el vector velocidad
(ortogonal a ambos por tanto)
El sentido viene dado por la denominada "regla de la mano derecha o del sacacorchos"
2) El momento angular no es una magnitud intrínseca, sino que depende del origen de
referencia tomado. En otras palabras, el valor del momento angular cambia en función del
punto respecto al que se calcule.
Aunque en su momento no se definió como tal, existe otro tipo de momento que se
calcula como producto vectorial de dos vectores: es el momento de una fuerza, que
también se introdujo en la Física y química de 1º de Bachillerato, definido como el
producto vectorial entre una fuerza y el vector posición respecto a un punto (
).
En la siguiente animación puedes ver la relación entre ambos momentos y su variación
temporal comparada. Resulta interesante observar cómo el sentido del momento cambia
en función de la dirección del movimiento.
Este es el tratamiento general que se da al estudio de movimientos curvilíneos, pero en
este curso el estudio se restringirá a movimientos circulares (y elípticos, llegado el caso),
por lo que el punto de referencia O se tomará siempre como el centro de giro.
En el caso de un movimiento circular uniforme (m.c.u.) entonces la distancia de la
partícula respecto al centro es constante e igual al radio de la circunferencia (r), y además
se cumple que
momento.
y
son siempre perpendiculares, de modo que
en todo
Con estas consideraciones, el momento angular respecto al centro de la circunferencia
toma el valor:
En el estudio del m.c.u. se vio la conveniencia del uso de la velocidad angular frente a la
velocidad lineal. Ambas estaban relacionadas según la ecuación
, por lo que el
momento angular se expresa:
Un camión de bomberos de 5000 kg toma una curva de 100 m de radio con una velocidad
lineal constante de 72 km/h.
Calcula el momento angular de la camioneta respecto al centro de la curva.
En primer lugar debes pasar todas las unidades al sistema internacional. En este caso la
velocidad no lo está:
.
La relación entre velocidad lineal y angular es:
y por lo tanto
Aplicando la definición del momento angular:
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR
Tal y como ocurría en el caso del momento lineal, que adquiría su razón de ser en su
teorema de conservación que permitía resolver de una forma sencilla, entre otros, gran
parte de los problemas de choques, resultará de utilidad estudiar cómo es la evolución
temporal del momento angular e intentar obtener algún teorema análogo que simplifique
la resolución de problemas en los que el móvil no sigue una trayectoria rectilínea. Para
ello se derivará el momento angular respecto al tiempo:
Donde se ha tenido en cuenta la regla de la derivada de un producto de vectores.
Ahora, si sustituyes el momento lineal por su definición (
) puede desarrollarse la
expresión anterior. Para facilitar la comprensión se calcula cada término por separado:
1)
;Observa que este término es nulo ya que el
producto vectorial de dos vectores paralelos siempre es 0.
2)
; En este caso se ha tenido en
cuenta la definición de aceleración y la 2ª Ley de Newton.
Con estos resultados ya es posible expresar la variación con el tiempo del momento
angular:
Se define el momento de una fuerza (
) respecto a un punto O como el producto
vectorial entre la fuerza y el vector de posición del punto de aplicación de la misma
respecto a O:
Según esta definición, puede enunciarse el Teorema del momento angular, que dice:
"La variación del momento angular de un sistema material respecto al tiempo es igual al
momento total de las fuerzas que sobre él actúan"
Dicho de otra forma, cuando una fuerza externa actúa sobre un cuerpo, su momento
angular varía.
Pero estábamos interesados en encontrar un principio de conservación del momento
angular, esto es, encontrar las condiciones bajo las cuales la variación temporal del
mismo es igual a cero. Según se ha encontrado:
Para que este producto vectorial se anule tiene que darse, por lo menos, una de estas
tres condiciones:
a) La fuerza se aplique directamente sobre el punto O (
será nulo.
), de forma que su momento
b) La fuerza total que actúa sobre el cuerpo es nula (
). En tal caso, según la
primera ley de Newton el movimiento de cuerpo no sufriría variación y por tanto el
momento angular permanece constante.
c) Los vectores y
tengan la misma dirección (sean paralelos). Este es el caso de gran
número de fuerzas, concretamente de las denominadas fuerzas centrales, que siempre
están dirigidas hacia el mismo punto que suele escogerse como punto de referencia para
el cálculo del momento angular, ya que cuando son de módulo constante originan
movimientos circulares. Este es el caso de las fuerzas de origen gravitatorio que estás
estudiando en esta unidad.
El principio de conservación del momento angular afirma que el momento angular de
un cuerpo permanece constante si sobre él no actúan fuerzas o si las fuerzas que lo
hacen son de tipo central.
Esto es lo que le ocurre a la patinadora, al no haber fuerzas externas el momento angular
permanece constante y, por tanto, cuanto menor es el radio, más rápido gira. Esto tiene
que ver con el denominado momento de inercia de un cuerpo.
Cuando el momento angular se conserva, la constancia del momento angular implica dos
consecuencias muy interesantes:
1) La trayectoria de la partícula debe ser plana, pues si
, aparte de su módulo
también debe serlo su dirección y su sentido, y por lo tanto el plano determinado por y
por
, perpendicular a
también debe serlo.
2) La velocidad areolar de la partícula (área barrida por el vector posición
tiempo) también es constante.
por unidad de
Una esfera de 500 g de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 1 m de
longitud y gira con una velocidad de 4 m·s-1 en un plano horizontal en torno a un punto O,
tal y como se indica en la figura. En un determinado momento, la cuerda comienza a
enrollarse alrededor de dicho punto, disminuyendo con ello su longitud y por tanto el radio
de giro.
a) Calcula el momento angular inicial respecto al punto O.
El momento angular viene dado por la expresión
valores del enunciado:
. Sustituyendo los
b) El valor de la velocidad lineal (v) cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda.
Como las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en movimiento son de tipo central, su
momento angular se conservará en el tiempo, y el momento angular en el instante inicial
será igual al momento angular cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda, momento
en el que el radio de giro será 1·(1-0.8) = 0.2 m.
El momento angular inicial se ha calculado en el apartado a):
Y en el instante final:
Como según la conservación del momento angular:
Observa que, tal y como cabía esperar, al reducir el radio de giro debe de aumentar la
velocidad de la esfera.