Teorema fundamental de álgebra

Ilustración de una demostración del Teorema Fundamental del Álgebra
El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene una raíz
compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones
de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin
embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a
uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos
argumentos.
El Origen del Álgebra.
Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de
resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas
cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces
cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos
algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática. Un examen cuidadoso de las
tablillas babilónicas muestra claramente que mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver
problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y que lo hacían para desarrollar técnicas de
solución y ejercitarse en su aplicación.
Expresión algebraica:
Conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre si por los signos de las operaciones
aritméticas.
2. Términos semejantes:
Son los que tienen el mismo factor literal
Una expresión es una colección significativa de números, variables y signos de operación.
Ejemplos de Expresiones
2p + 5
4a − 6
3x−9+2
No son expresiones:
−4 − · c
3b + 4= 9
No tiene sentido la resta y multiplicación
El signo de "=" hace que no sea expresión. Esto es una oración matemática.
El coeficiente es el número que está siempre localizado antes de la variable; significa que el número está
multiplicado por la variable.
Por ejemplo:
3a ; 3 es la coeficiente
−2c ; −2 es la coeficiente
x ; 1 es la coeficiente
Un término es un grupo de variables y coeficientes dividido por signos de suma y resta.
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Ej. 4x + 2y
4x es un termino
2y es un término
Término Semejante:
Un término es semejante a otro término si tiene la misma variable o variables con el mismo exponente o
exponentes.
Ej. 2a + 3a
3b + 4d
3c + 3a
son términos semejantes
no son términos semejantes
no son términos semejantes
Reagrupar términos semejantes:
3x + 4x + 2y − 9 + 6
7x + 2y − 3
Ejemplo:
2xy + 4z −9 + 2y _ xy
2xy y 2y No son términos semejantes. Para ser términos semejantes, deben tener exactamente las mismas
variables con los mismos exponentes.
Ecuaciones
Una expresión algebraica es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por
ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.
Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de
multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica 5x2 +
3x3y3z.
Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los factores del término
5x2 de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z .
Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el
coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le
llama coeficiente numérico.
Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término
3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.
Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera
valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad
sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación
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