Taller de ondas mecánicas

Ondas mecánicas
Carlos L. Beltrán Rı́os
6 de marzo de 2013
1. Hallar la energı́a total de vibración de una cuerda de
longitud L fija en ambos extremos que oscila en su modo
caracterı́stico n con una amplitud A. La cuerda está sometida a una tensión T y posee una masa total M .
7. Una onda que se propaga por una cuerda, responde a
la ecuación, en unidades del S.I.:
y(x, t) = 3 × 10−3 sin(80t − 6x)
2. Considere dos ondas que se propagan, en un medio
elástico, a lo largo de la dirección x dadas por y1 (x, t) =
A1 sin( π2 x − ω1 t) y y2 (x, t) = A2 sin( 3π
2 x − ω2 t), donde
x y y están en metros y t en segundos. Determine:
Si la cuerda tiene un extremo fijo en la pared, escriba
la ecuación de la onda reflejada
a) La amplitud de la onda resultante en un punto
situado a x = 2 m
8. Una cuerda uniforme, de masa m y longitud L, cuelga
de un techo. a) Demostrar que la rapidez de una onda
transversal en la cuerda es una función de la distancia
y medida desde el extremo inferior y que su valor es
√
v = g y b) Demostrar que el tiempo que transcurre
para que laq
onda transversal recorra la cuerda completa es t = 2 Lg c) ¿ Afecta la masa de la cuerda a los
b) En el instante t = 0 ¿cuál es la longitud de onda
de la onda?
3. Considere la misma cuerda del problema anterior y calcule la energı́a total si la cuerda esta vibrando de tal
forma que se describe su vibración a través de dos modos normales. Dicha vibración se describe como
y(x, t) = A1 sin(
πx
3π x
π
) cos(ω1 t)+A3 sin(
) cos(ω3 t− )
L
L
4
resultados de a) y b)?. Determine las expresiones correspondientes.
9. a) ¿ Cómo varı́a la velocidad de propagación de una
onda transversal a lo largo de una cuerda si la tensión
se duplica?, b) ¿ y si se reduce a la mitad? c) ¿ En cuánto
debe modificarse la tensión de la cuerda para duplicar
la velocidad de propagación? d) ¿ Y para reducirla a la
mitad?
4. Un aro circular de cuerda homogénea se hace girar rápidamente con una velocidad angular constante ω, de manera que se tensa formando una circunferencia de radio
R. En un momento dado se forma un rizo en la cuerda.
a) ¿ Con qué velocidad se propagará el rizo por la cuerda? b) ¿ Bajo qué condiciones podrá el rizo permanecer
estacionario respecto a un observador estacionario?
10. Para cierta onda transversal la distancia entre dos máximos sucesivos es λ y N máximos pasan por un punto
dado a lo largo de la dirección de propagación cada t
segundos. Determine la velocidad de la onda.
5. Una cuerda homogénea, de longitud L y masa m, cuelga verticalmente sujeta firmemente por su extremo superior. a) Expresar la velocidad de propagación de un
pulso transversal a lo largo de la cuerda en función de
la distancia x respecto al extremo inferior (libre de la
cuerda. b) Calcular el tiempo que empleará dicho pulso
en recorrer toda la cuerda. c) Supongamos que sacudimos transversalmente el extremo inferior de la cuerda,
con una frecuencia f , de modo que se genere una onda
sinusoidal a lo largo de la cuerda. Expresar la longitud
de onda, λ, en función de x.
11. Un alambre de longitud L y masa m se estira bajo una
tensión T . Si se generan dos pulsaciones, separadas por
un intervalo de tiempo ∆t, en cada extremo del alambre, ¿ a que distancia del extremo izquierdo se encuentran las pulsaciones?
6. Un cable uniforme y flexible, de 10 m de longitud y 6 kg
de peso, cuelga verticalmente con su extremo superior
firmemente sujeto a un soporte. Del extremo inferior del
cable se cuelga una pesa de 6 kg. Se golpea transversalmente el cable cerca de su extremo inferior. Calcular
el tiempo que empleará la perturbación resultante en
llegar al extremo superior del cable.
12. Se puede producir un ruido al perturbar el flujo de aire
proveniente de una pitillo de bebida. Si el flujo se perturba con los hoyitos,ver figura, en un disco que gira
con frecuencia de 55Hz, ¿en qué circunferencia de hoyos equidistantes hay que soplar para oı́r la nota La de
440Hz?
1
a) Una expresión para la rapidez de una onda que se
propaga a lo largo del alambre de un extremo a
otro.
b) El tiempo en que demora en recorrer la onda la
longitud total del alambre.
c) Determine la energı́a en el punto inicial y final del
alambre. ¿Que puede decir sobre la energı́a, la potencia y la intensidad de la onda a partir de estos
resultados?
d ) Realice los cálculos anteriores considerando ahora
que el radio de la sección transversal del alambre
varia uniformemente.
• •
• • •
•• ••
• •A• •
•B•
•• CD ••
•E
13. Una onda en una membrana circular se describe a través
de la ecuación diferencial
∂Ψ
1 ∂2Ψ
1 ∂2Ψ
1 ∂
ρ
+ 2
−
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ2
v 2 ∂t2
17. Una cuerda muy larga y flexible, de masa µ por unidad
de longitud, está estirada horizontalmente sometida a
una tensión F . Sujetamos con la mano el punto medio
de la cuerda y la sacudimos hacia arriba y abajo imprimiéndole un m.a.s. con una amplitud A y una frecuencia
f . En estas condiciones se generan ondas transversales
que recorren la cuerda en ambas direcciones. Antes de
que el movimiento se complique como consecuencia de
las reflexiones en los extremos lejanos de la cuerda, calcular: a) la potencia en función del tiempo que debe
suministrar la mano y b) el valor medio de dicha potencia.
a) Muestre que una solución a la ecuación diferencial
anterior esta dada por
Ψ(ρ, φ, t) =
, donde ı =
A
sin(kρ − ωt)e−ımφ
kρ
√
−1 y m es un número entero.
b) Haga una gráfica de Ψ(ρ, φ, t) en el caso m = 0.
z
18. Un pulso transversal de amplitud A avanza en el sentido
positivo del eje x, a lo largo de una curda de densidad
lineal µ, sometida a una tensión F . el pulso se describe
por la función
 A 1 − |ct − x| , si |ct − x| < l
l
y(x, t) =

0,
si |ct − x| > l
Determine:
x
y
a) Si el pulso es solución a la ecuación diferencial de
onda.
b) Dibuje la forma del pulso
c) Una expresión para la densidad de energı́a y la
energı́a total transportada por el pulso.
d ) Calcular la intensidad de la onda (flujo de energı́a)
e) Para un valor de x fijo integre el flujo de energı́a en
un intervalo de tiempo t ∈ (−∞, ∞). ¿Que puede
decir de su resultado?
14. Sea una onda viajera unidimensional g(x, t) = g(x − vt)
que se propaga respecto a un sistema de referencia S.
Sea S ′ un sistema de referencia, que se mueve respecto
~ = V î, con V > 0.
al sistema S con una velocidad V
Muestre que vista desde S ′ la onda se propaga con una
rapidez |V − v|.
19. Un pulso que viaja por una cuerda, en la dirección x
positiva, como el mostrado en la figura, esta descrito
por la ecuación
15. En un medio S se propaga una onda armónica Ψ(x, t) =
A cos(ωt − kx). Hallar la expresión de la onda en un sistema de referencia S ′ que se mueve en el sentido positivo
del eje de las X a una velocidad constante V .¿Como son
la longitud de onda y la frecuencia observada desde el
sistema S ′ respecto al sistema S
y(x, t) = Ae−B(vt−x)
. Determine:
16. Un alambre de densidad volumétrica ρ posee una longitud L, esta sometido a una tensión T y posee una
sección transversal circular. El alambre esta fabricado
de manera que el área de su sección transversal disminuye uniformemente de un extremo a otro. Si se genera
un pulso en el extremo de mayor área determine:
2
y
2
v
1
x
−2
2
−1
0
1
2
a) Que es solución a la ecuación diferencial de onda
unidimensional
m
b) la velocidad de un punto sobre la cuerda. Determine una expresión para el caso x = 0,5
m′
20. Supongamos que se propaga una perturbación longitudinal a lo largo de un muelle de constante k, longitud L
y masa m, el cual es estirado de uno de sus extremos.
Sea ξ el desplazamiento experimentado por una sección
del muelle de abscisa x.
23. Las ondas sonoras procedentes de un altavoz se difunden de forma casi uniforme en todas las direcciones del
espacio cuando sus longitudes de onda son grandes en
comparación con el diámetro del altavoz. Por el contrario, cuando sus longitudes de onda son pequeñas, gran
parte de la energı́a acústica se dirige hacia adelante.
Calcular, para un altavoz de 20 cm de diámetro, la frecuencia para la cual la longitud de onda del sonido en
el aire es: a) 1/10 del diámetro del altavoz, b) igual
al diámetro del altavoz y c) 10 veces el diámetro del
altavoz.
a) Mostrar que la variación de la tensión del muelle
varı́a a lo largo del mismo y viene dada por la
expresión
∂ξ
∆F = kL
∂x
b) Mostrar que la fuerza resultante sobre un elemento
del muelle de longitud dx es
dF = kL
24. Muestre que la rapidez máxima transversal para una
partı́cula en una cuerda es menor que la velocidad de la
onda en la cuerda. Recuerde que al deducir la ecuación
de la onda en la cuerda se obtiene que A ≪ λ siendo A
la amplitud de la onda y λ su longitud de onda.
∂2ξ
dx
∂x2
c) Mostrar que la velocidad de propagación de las
ondas longitudinales en el muelle es
r
k
v=L
m
25. Una cuerda esta formada por dos secciones con densidades lineales µ1 = 0,10 kg/m y µ2 = 0,2 kg/m. Una
onda, y(x, t) = (0,050 m) sin(7,5x − 12,0t) con x en metros y t en segundo, incide desde el medio mas ligero.
Determine
21. Un alambre de aluminio, cuya longitud es l1 = 60,0 cm
y cuya sección transversal es 1,0 × 10−2 cm2 está unido
a un alambre de acero de la misma sección transversal. El alambre complejo soporta a un cuerpo m cuya
masa es de 10,0 kg, en una disposición como la que se
muestra en la figura, de tal manera que la distancia l2
desde la unión hasta la polea de soporte es de 86,6 cm.
En el alambre se generan ondas transversales utilizando
un generador externo de frecuencia variable. a) Determinar una expresión algebraica para obtener la menor
frecuencia de excitación para la cual se observa una onda estacionaria tal que el punto de unión de los alambres sea un nodo. b) ¿Cuál es el número total de nodos
que se observan a esta frecuencia, excluyendo los dos
extremos del alambre? La densidad del aluminio es de
2,60 g/cm3 y la del acero es de 7,80 g/cm3.
l1
a) ¿Cuál es la longitud de onda en la sección mas
ligera?
b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
c) ¿Cual es la longitud de onda en la sección mas
pesada?
26. Una cuerda de un metro de largo tiene dos secciones
de igual longitud, con densidades lineales de 0,50 kg/m
y 1,0 kg/m. La tensión total de la cuerda es constante.
Los extremos oscilan de manera tal que en la cuerda
surge una onda estacionaria con un solo nodo donde se
unen las cuerdas ¿cuál es la razón entre las frecuencias
de oscilación en cada segmento de la cuerda?
27. Demuestre que si la tensión de una cuerda estirada cambia por una pequeña cantidad ∆T , la frecuencia de su
modo fundamental cambia en la cantidad
1 ∆T
f
∆f =
2
T
l2
m
28. Una fuente emite ondas sonoras (S) de longitud de onda
λ, un detector (D) se encuentra a una distancia l de la
fuente. El sonido llega directamente al detector y también al reflejarse desde un obstáculo (A). El obstáculo
esta equidistante de la fuente y el detector. Cuando el
obstáculo esta a la distancia d, como se ve en la figura, las ondas llegan al detector en fase (interferencia
constructiva).
22. Una cuerda de longitud L se hace vibrar con una frecuencia f = 50 Hz, como se muestra en la figura. Se
modifica la masa de m a m′ y el aspecto de la vibración cambia. Determine la relación m′ /m para que la
frecuencia permanezca constante.
3
donde Tc es la temperatura en grados Celcius. En aire seco la temperatura disminuye a una razón β(◦ C/m)
con el aumento en la altura. a)Suponiendo que este cambio es constante hasta una altitud de H (m), determine
una expresión para calcular el tiempo que demora en
viajar una onda sonora producida a una altura H hasta
el piso, suponiendo que este se halla a una temperatura
1 ◦
Ts (◦ C). b) Determine el tiempo si β =
( C/m),
150
H = 9000 (m) y Ts = 30 (◦ C)
a) ¿A que distancia, moviendo el obstáculo hacia la
derecha o a la izquierda, se debe colocar este para
que se produzca una interferencia destructiva?
b) Manteniendo el obstáculo en su posición ¿ que tanto se debe alejar o acercar el detector para que
haya interferencia destructiva?
D
d
l
34. En un cilindro largo se bombea agua a una tasa
R (cm3 /s), el radio de cilindro es r (cm) y en su parte
superior hay un generador de ondas sonoras que emite con frecuencia constante f (Hz), cuando la columna de agua asciende. a)¿cuanto tiempo transcurre entre dos resonancias sucesivas?. b) Calcule el tiempo si
R = 18,0 (cm3 /s), r = 4,0 (cm) y f = 200 (Hz)
A
S
29. Mida la distancia que separa sus oı́dos, el tı́mpano se
encuentra a una distancia de 25 mm del oı́do externo,
a partir de esta información, considerando que la temperatura del aire de su habitación es de unos 28◦ C que
frecuencia debe emitirse a través de los parlantes de un
computador, separados una distancia 40cm, para que
usted pueda .observar”mı́nimos de interferencia si se encuentra a una distancia de 1 m de los parlantes.
30. Muestre que
a) Para un proceso adiabático el modulo de comprensión de un gas esta dado por B = γP , siendo P la
presión del aire.
35. Un tubo abierto de longitud L se coloca verticalmente
en una cubeta cilı́ndrica que tiene una área A en el
fondo. Se vierte agua dentro de la cubeta hasta que un
diapasón vibrando con frecuencia f , situado sobre el
tubo, produce resonancia. Encuentre la masa del agua
en la cubeta en estos momentos. Determine la masa si
L = 0,40 (m), A = 0,10 (m2 ) y f = 440 Hz)
b) La velocidad de las ondas sonoras en un gas durante un proceso adiabático esta dada por
s
γB
v=
ρ
Para los siguientes ejercicios utilizar el servicio en lı́nea
de la pagina fooplot para hacer los gráficos
31. Muestre que la velocidad de la onda sonora en un gas
esta dada por
r
γRT
v=
M
Donde R es la constante universal de los gases, T la
temperatura del gas en grados Kelvin y M su masa
molecular.
36. El teorema de Fourier establece que cualquier onda periódica de frecuencia f , no importa que tan complicada sea, puede expresarse como una suma de funciones
armónicas pares e impares, esto es
y(t) =
32. Se detona una carga explosiva a varios kilómetros en la
atmósfera. A una distancia de 400 m de la explosión la
presión acústica alcanza un máximo de 10 Pa. Si se supone que la atmósfera es homogénea sobre la distancia
considerada, cual es el nivel sonoro, en decibelios, a 4
km de la explosión. Nota: las ondas sonoras en el aire
absorben a una tasa de 7 db/km
∞
X
An sin(n ω t + φn )
n=0
donde ω = 2π f . Use An = n−1 , con n = 1, · · · , 10
y φn = 0 para todo n y determine y(t) a medida que
adiciona términos a la sumatoria.
37. Considere dos ondas viajeras de amplitudes A1 = A2 =
0,10 (m), frecuencias angulares ω1 = ω2 = 2,5 (rad/s),
números de onda k1 = k2 = 1,0 (rad/m) y φ1 = 0, φ2
puede tomar valores en el conjunto {0, π/8, π/4, π/2, π}
a) Haga las gráficas y señale para que valores de φ2 hay
33. La velocidad del sonido, en m/s, depende de la temperatura del aire de acuerdo con la expresión
v = 331,5 + 0,607 Tc
4
interferencia constructiva y destructiva. Repita el anterior proceso pero considerando b)A1 6= A2 = 0,2 (m),
c)ω1 6= ω2 = 3,5 (rad/s)
5