TP1 Pendulo Simple 2..

FISICA I
TRABAJO PRÁCTICO NO 1
Medición de tiempos – Péndulo Simple
(Segundo cuatrimestre, año 2016)
Objetivos
Ø
Ø
Ø
Ø
Comparar distintos métodos para la medición del período del péndulo.
Estudiar el movimiento del péndulo y la dependencia del período de oscilación con la longitud.
Determinar la aceleración de la gravedad.
Estudiar la dependencia del período de oscilación con el ángulo inicial.
Introducción
Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa
e inextensible. Si la masa se aparta de su posición de equilibrio oscilará alrededor de dicha posición. Las
oscilaciones se llevan a cabo sobre un plano fijo.
La Figura 1 muestra las fuerzas que actúan sobre la masa. La fuerza de restitución,𝐹# , es la componente
tangencial de la fuerza neta. Esta fuerza es proporcional a senq. Si el ángulo q es pequeño se verifica: senθ≈θ
y 𝐹# = −mgsin𝜃 ∼ −mg𝜃. Para pequeños apartamientos de la posición de equilibrio, la fuerza de restitución
es proporcional al apartamiento y opuesta a éste. Este es el criterio del movimiento armónico simple que en el
caso del péndulo simple tiene un período: T = 2
L
g
(1).
Si la amplitud de la oscilación no es pequeña la divergencia respecto del movimiento armónico simple puede
ser considerable. En general el período del péndulo puede expresarse como una serie infinita, donde qm es el
desplazamiento angular máximo:
(2)
Compruebe que para qm=10o el período dado por
(2) es más largo que la aproximación dada por (1) en
menos de 0.2%. Todos los relojes mecánicos
mantienen la hora exacta porque el período del
elemento oscilante del mecanismo permanece
constante. El período de cualquier péndulo cambia
con las variaciones de la amplitud, pero el
mecanismo que mueve el reloj de péndulo mantiene
la amplitud constante.
Figura 1
Procedimiento experimental:
Construya un péndulo como se muestra en la Figura 2, asegúrese de darle al péndulo la mayor longitud (L)
posible que es cercana a los 2 m. Los extremos del hilo penden de puntos separados aproximadamente 20 cm.
Esto facilita que el péndulo oscile siempre en el mismo plano y evita que en las mediciones con fotointerruptor
la masa oscilante golpee el fotointerruptor. Elija una pesa y cuélguela del extremo inferior del hilo.
I)
Medición del período del péndulo simple usando distintos métodos e instrumentos
Recuerde que el período es el tiempo que tarda el péndulo en recorrer la distancia que va entre un
apartamiento máximo hacia un lado hasta volver al mismo extremo. Para un ángulo qm≈5º-10o mida el período
del péndulo usando las técnicas a) y b) que se indican a continuación. Para medir el ángulo qm se puede utilizar
un transportador o determinarlo por trigonometría.
Figura 2
Figura 3
a) Medición con cronómetro
Usando un cronómetro realice la medición de un intervalo de tiempo asociado a 1, 5, 20 y 50 períodos
del péndulo. Determine en cada caso el período y su error absoluto y relativo.
b) Medición con Fotointerruptor
Monte el fotointerruptor en el soporte (ver Figura 2). Con el fotointerruptor va a poder medir tiempos
con muy alta precisión (0.1 ms). El fotointerruptor (Figura 3) contiene un LED ubicado en uno de sus
brazos que emite un haz infrarrojo muy colimado dirigido hacia un fotosensor ubicado en el otro brazo.
Este sensor entrega una señal de salida baja cuando detecta el haz (estado puerta 0 desbloqueado).
Cuando un objeto bloquea el haz, la señal de salida cambia y se trata de una señal alta (estado puerta 1
bloqueado). Asegúrese que cuando el péndulo está en su posición de equilibrio la pesa está entre los
brazos del fotointerruptor interrumpiendo el haz infrarrojo de modo que el fototinterruptor está en
estado bloqueado.
•
Conecte el fotointerruptor a la interfase Vernier LabQuest o LabQuest Mini. Si se trata de un
fotointerruptor con salida digital conéctelo al canal DIG/SONIC. La interfase tiene que estar conectada
a la PC a través de un cable USB.
•
Ejecute el programa Logger Pro. El fotointerruptor debe ser reconocido por el programa y su símbolo
debe aparecer debajo de la barra de herramientas. Observe la barra de estado del programa en la parte
superior de la pantalla. Bloquee el fotointerruptor con su mano y verifique que Estado Puerta aparece
bloqueado. Quite su mano y el estado debería pasar a desbloqueado. Observe también como cambia el
LED rojo de test del fotointerruptor.
•
Abra el archivo TP1.cmbl que se encuentra en la carpeta c:\Física I. Con este archivo se configura el
programa de adquisición para esta práctica estableciendo el modo Cronometraje de péndulo. En este
modo el tiempo se comienza a medir cuando la masa del péndulo bloquea el paso del haz en el
fotointerruptor. Se ignora la siguiente interrupción y se finaliza la medición del tiempo al comenzar la
tercera interrupción. De esta manera se mide el tiempo correspondiente a una oscilación completa. Para
los datos de tiempo en segundos proporcionados por el programa considere solo 4 decimales, que
corresponden a la precisión de 0.0001 s.
Figura 4. Pantalla de Logger Pro
•
•
Adquiera los datos correspondientes a N=50, 100 y 200 oscilaciones del péndulo y
extraiga datos estadísticos con Logger Pro. Para realizar estas N mediciones del
periodo establezca el modo de finalización de la toma de datos, haciendo:
Experimento, Toma de datos, y Finalizar toma: Después de X eventos (X=4*N+1).
El programa Logger Pro devuelve datos en forma de tabla y gráficos (Figura 4). En
la columna de tiempos se registran los instantes de tiempo en que cambia de estado
el fotointerruptor (1 bloqueado, 0 desbloqueado). La columna Estado (Puerta) indica
el estado del fotointerruptor.
Con estas dos primeras columnas se obtiene la columna llamada Periodo_C. Para el
análisis posterior con el programa Excel copie la columna Periodo_C que contiene los
períodos sin las filas vacías y péguela en una hoja de Excel.
II) Estudio del período del péndulo simple y su dependencia con la longitud.
Determinación de la aceleración de la gravedad
Varíe la longitud del péndulo, L, en pasos de manera tal que pueda realizar mediciones
con 7 longitudes distintas distribuidas uniformemente entre la máxima y la mínima longitud.
Mida esta longitud L (verticalmente, desde el centro de gravedad de la masa oscilante hasta
el soporte horizontal del cual pende el hilo). Para cada longitud L del péndulo determine su
período utilizando un cronómetro de la manera que crea mas conveniente.
III) Estudio del período del péndulo simple y su dependencia con el ángulo inicial.
Para la longitud mayor y la menor, realice mediciones del periodo del péndulo
variando el ángulo inicial. Tome 7 valores diferentes de ángulos. Utilice un cronómetro de la
manera que crea mas conveniente.
Análisis de datos
Utilice lo que sigue como una guía para procesar los datos obtenidos durante la práctica.
I) Medición del período del péndulo simple usando distintos métodos e instrumentos
a) Medición con cronómetro:
¿Hay discrepancia significativa entre los distintos valores de T? Las principales fuentes
de incerteza en la medición de los intervalos de tiempo, son el tiempo de reacción
humana para disparar y detener el cronómetro y la determinación del instante en que el
péndulo comienza y finaliza la oscilación. Asuma un error en la medición de los
intervalos de tiempo de aproximadamente 0.15 s debido a todas estas incertezas. Estos
errores son estadísticos y son mayores que el error de apreciación del cronómetro.
Registre el error de apreciación del cronómetro que está utilizando.
b) Mediciones con fotointerruptor
Obtenga el valor medio, también llamado promedio o media (aritmética), x y la
desviación estándar, sx, de los datos de los periodos.
Con las N mediciones del período del punto b) construya los correspondientes histogramas.
Para esto, utilice la función FRECUENCIA de Excel. Superponga sobre los histogramas la
distribución normal o gaussiana, convenientemente normalizada. Como parámetros de la
distribución normal utilice x y sx. Evalúe la distribución normal en los puntos x, que
corresponden al centro de cada uno de los intervalos del histograma. Utilice para esto la
función Excel: DISTR.NORM(x; x ;sx;Falso). Para normalizarla multiplique la función por
NDx, donde N es el número de datos y Dx el ancho del intervalo elegido para construir el
histograma.
Compare los valores medios y desviaciones estándar, y los histogramas obtenidos con los
diferentes grupos de datos.
II) Estudio del período del péndulo simple y su dependencia con la longitud. Determinación
de la aceleración de la gravedad
Si usa como masa oscilante una pesa de forma cónica de altura h, tenga en cuenta que su
centro de gravedad se encuentra a una distancia h/4 de la base del cono.
Organice los datos en una tabla con las siguientes columnas L, DL (error absoluto de L), T,
DT (error absoluto de T),𝑔
=
01 2 3
42
y ∆𝑔 (error absoluto de 𝑔, obtenido por propagación de
errores de las magnitudes medidas directamente).
2
1) Represente gráficamente T en función de L. Ajuste los datos con una recta que
pase por el origen (y=ax), utilice la función ESTIMACION.LINEAL de Excel
para obtener la pendiente de la recta con su error. Del valor de la pendiente a
obtenga la aceleración de la gravedad:
evalúe el error en 𝑔 .
𝑔=
01 2
6
. Del error en la pendiente
2) Determine ln 𝐿 y ln 𝑇 con sus correspondientes errores absolutos. Represente
gráficamente ln(T) en función de ln(L). Observe que tomando logaritmos en
:
;1
;
=
ambos miembros de la ecuación (1): ln 𝑇 = ln 𝐿 + ln
se encuentra una
:
:
relación lineal entre ln 𝑇 y ln 𝐿 con pendiente (que viene de la potencia a
;
la que está elevada L en la ecuación (1)) y ordenada al origen ln
;
;1
=
. Verifique
esta relación lineal ajustando los datos de ln(T) vs ln(L) con una recta y=ax+b.
Determine los parámetros de la recta con sus errores utilizando la función
ESTIMACION.LINEAL de Excel. A partir de la pendiente a obtenga la potencia
a la que está elevada la variable L (con su error) en la ecuación (1) y del valor de
la ordenada al origen b evalúe 𝑔 (con su error).
Compare los valores de g con valores de g correspondientes a Buenos Aires. Para el valor
local de g utilice la fórmula desarrollada por geofísicos que determina g con una precisión
del 0.01 % (Wolfgan Torge, Gravimetry, Walter de Gruyter, Berlin 1989, Capítulo 3, citado
en Phys. Teach. 38, 367 (2000)). Esta fórmula se basa en un modelo que tiene en cuenta la
forma no esférica de la tierra y la dependencia de la gravedad con la latitud (debido a la
rotación de la tierra). Esta fórmula es:
donde j es la latitud y H es la altura sobre el nivel del mar en metros del lugar. Para Bs.As.
utilice latitud j=34° 36' y H=0 m.
III) Estudio del período del péndulo simple y su dependencia con el ángulo inicial.
Realice un gráfico del periodo obtenido en función del ángulo inicial para las dos
longitudes medidas. Compare los valores con los predichos por la ecuación 2.
Bibliografía
S. Gil y E. Rodríguez, Física re-Creativa, Buenos Aires - Prentice-Hall, 2001.
Parker Moreland, Improving Precision and Accuracy in the g Lab, Phys. Teach. 38, 367
(2000).