Ejercicios Tipo Examen - Departamento de Energía UAM

Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco
Departamento de Energı́a
2
Área de Ingenierı́a Energética y Electromagnética∇
Ejercicios Tipo Examen:
Transformadores y Máquinas Sı́ncronas (1131074)
25 de mayo de 2016
1. El circuito magnético mostrado en la Figura 1 tiene las siguientes dimensiones: Ac =Ag =9 cm2 , g=0.05
cm, lm = 30 cm y N = 500 vueltas. Considere un valor de permeabilidad relativa µr = 70000 para el
material del núcleo. Calcular a) la inductancia L. Si la densidad de flujo magnético en el núcleo es
de 0.8 T, b) la energı́a almacenada W y c) la magnitud del voltaje inducido cuando el flujo varı́a de
forma senoidal a una frecuencia de 50 Hz.
i
g
Figura 1: Circuito magnético del problema 1.
Observaciones:
Los incisos se deben resolver de manera secuencial.
Se recomienda dibujar el circuito equivalente eléctrico.
1
La µr es la misma en todo el núcleo.
El flujo magnético φ es el mismo en el entrehierro y el núcleo.
El área de sección transversal del entrehierro Ag es la misma que la del núcleo Ac
Para calcular L se necesita obtener la R del circuito magnético.
La longitud media del núcleo ya la proporciona el problema.
Para calcular la energı́a almacenada W se necesita conocer la corriente i.
Ecuaciones fundamentales:
L=
Nφ
N2
λ
=
=
i
i
R
(1)
Rc =
lm
Ac µ
(2)
Rg =
g
Ag µ0
(3)
1
W = Li2
2
(4)
donde:
lm = longitud media.
φ= flujo magnético.
i= corriente eléctrica.
N = número de vueltas.
W = energı́a magnética almacenada.
Ac = área de sección transversal del núcleo.
Ag = área de sección transversal del entrehierro.
Rc = reluctancia del núcleo.
Rg = reluctancia del entrehierro.
µ= permabilidad del material.
µr = permeabilidad relativa.
µ0 = permeabilidad del vacı́o.
2
i
N = 1000 vueltas
r = 10 m
a = 0.05 m
-
Figura 2: Circuito magnético del problema 2.
2. El circuito magnético que se muestra en la Figura 2 consta de una bobina devanada en un anillo. El
anillo está hecho de un material magnético cuya permeabilidad µr =1. El radio del toroide es r=10
m y se mide desde su centro hasta donde se indica. La geometrı́a del toroide es tal que la intensidad
Ni
.
de campo magnético H puede considerarse 0 fuera del dispositivo. Bajo esta suposición, H = 2πr
Calcular: a) la longitud media del núcleo lc y el área de la sección transversal del núcleo Ac , b) la
reluctancia del núcleo Rc , c) la inductancia L de la bobina y d) la energı́a total almacenada W en el
toroide si la bobina se carga con una densidad de flujo magnético B=2.0 T.
Observaciones:
Los incisos se deben resolver de manera secuencial.
La µ es la misma en todo el núcleo.
Para calcular L se necesita obtener la R del circuito magnético.
La longitud media se puede obtener calculando el perı́metro de un cı́rculo de radio r.
Para calcular la energı́a almacenada W se necesita conocer la corriente i.
Ecuaciones fundamentales:
L=
Nφ
λ
=
i
i
Rc =
lm
Ac µ
(5)
(6)
B = µH
(7)
1
W = Li2
2
(8)
donde:
Fmm = fuerza magnetomotriz.
3
lm = longitud media.
i= corriente eléctrica.
N = número de vueltas.
Ac = área de sección transversal del núcleo.
Rc = reluctancia del núcleo.
µ= permabilidad del material.
µr = permeabilidad relativa.
µ0 = permeabilidad del vacı́o.
B= densidad de flujo magnético.
H= intensidad de campo magnético.
4
3. El circuito magnético de la Figura 3 consiste en una pila de anillos de altura h = 2 cm. Los anillos
tienen un radio interno Ri = 3,4 cm, un radio externo Ro = 4 cm y un entrehierro g = 0,2 cm. Asuma
que el núcleo tiene permeabilidad infinita. Para N = 65 vueltas, calcular a) la longitud media del núcleo
lm y el área de la sección transversal del núcleo Ac , b) la reluctancia del núcleo Rc y la reluctancia
del entrehierro Rg , c) la inductancia L, d) la corriente I0 requerida para tener una densidad de flujo
magnético en el entrehierro de Bg = 1,35 T y e) los eslabonamientos de flujo λ correspondientes.
Ro
Ri
g
Figura 3: Circuito magnético circular del problema 3.
Observaciones:
Los incisos se deben resolver de manera secuencial.
Para calcular las áreas y la longitud media, es importante tomar en cuenta la geometrı́a del
circuito magnético.
Para calcular L e I0 se necesita obtener la R del circuito magnético.
Ecuaciones fundamentales:
L=
Nφ
N2
λ
=
=
i
i
R
(9)
Rc =
lm
Ac µ
(10)
Rg =
g
Ag µ0
(11)
donde:
lm = longitud media.
φ= flujo magnético.
i= corriente eléctrica.
5
N = número de vueltas.
Ac = área de sección transversal del núcleo.
Ag = área de sección transversal del entrehierro.
Rc = reluctancia del núcleo.
Rg = reluctancia del entrehierro.
µ= permabilidad del material.
µr = permeabilidad relativa.
µ0 = permeabilidad del vacı́o.
6
1.1l
l
i
N
l
l
A
2A
A
1.1l
l
Figura 4: Circuito magnético del problema 4.
4. El circuito magnético que se muestra en la Figura 4 se compone de un núcleo hecho de un material
cuya permeabilidad relativa µr =400 y se considera la misma en todo el núcleo. La sección A=10 cm2
es la misma en toda la estructura excepto en la columna izquierda, donde vale 20 cm2 . La longitud
l es igual a 10 cm. Considere N =100 vueltas, calcular: a) las R correspondientes a cada sección del
núcleo, b) el flujo magnético φc en el brazo central y c) la corriente i que debe aplicarse a la bobina
para establecer en la columna derecha del núcleo magnético un flujo de 10−3 Wb.
Observaciones:
Los incisos se deben resolver de manera secuencial.
Las medidas tienen que estar en m.
Se recomienda plantear el circuito equivalente eléctrico.
La µr es la misma en todo el núcleo. Además, µ=µ0 µr .
Las secciones del núcleo que tengan la misma longitud media y área, tienen la misma R.
El φc en la columna central es igual a la suma de los flujos magnéticos de la columna izquierda
φi y derecha φd .
Para conocer φi , es necesario conocer la Fmm en la columna izquierda.
Para calcular la i en la bobina es necesario conocer φc y la ℜ equivalente de todo el circuito
magnético.
Ecuaciones fundamentales:
Fmm = N i = φR
Rc =
lm
lm
=
Aµ
Ac µ0 µr
(12)
(13)
7
donde:
Fmm = fuerza magnetomotriz.
lm = longitud media.
φ= flujo magnético.
i= corriente eléctrica.
N = número de vueltas.
Ac = área de sección transversal del núcleo.
Rc = reluctancia del núcleo.
µ= permabilidad del material.
µr = permeabilidad relativa.
µ0 = permeabilidad del vacı́o.
8
2 cm
i
8 cm
N
g
2 cm
2 cm
6 cm
8 cm
6 cm
2 cm
6 cm
Figura 5: Circuito magnético del problema 5.
5. El circuito magnético que se muestra en la Figura 5 se compone de un núcleo cuya curva B-H viene
1,6H
dana por: B = 75+H
. Calcular: a) las ℜ correspondientes a cada sección del núcleo y b) la corriente i
que debe aplicarse a la bobina para establecer una densidad flujo magnético Bg =0.8 T en el entrehierro
g=0.1 cm. N =100 vueltas.
Observaciones:
Los incisos se deben resolver de manera secuencial.
Las medidas tienen que estar en m.
Se recomienda plantear el circuito equivalente eléctrico.
La µr es la misma en todo el núcleo.
El problema proporciona de manera implı́cita µr , B=µH=µr µ0 H.
Las secciones del núcleo que tengan la misma longitud media y área, tienen la misma R.
Para calcular la i en la bobina es necesario conocer el flujo magnético en la columna central φc y
la R equivalente de todo el circuito magnético.
El φc en la columna central es igual a la suma de los flujos magnéticos de la columna izquierda
φi y derecha φd .
El flujo en la columna derecha φd se conoce de manera implı́cita debido a que el problema
proporciona la densidad de flujo magnético Bg en esa columna.
Para conocer φi , es necesario conocer la Fmm en la columna izquierda.
Ecuaciones fundamentales:
Fmm = N i = φR
(14)
9
Rc =
lm
lm
=
Aµ
Aµ0 µr
(15)
g
Ag µ0
(16)
Rg =
B = µH = µ0 µr H
(17)
donde:
Fmm = fuerza magnetomotriz.
lm = longitud media.
φ= flujo magnético.
i= corriente eléctrica.
N = número de vueltas.
Ac = área de sección transversal del núcleo.
Ag = área de sección transversal del entrehierro.
Rc = reluctancia del núcleo.
Rg = reluctancia del entrehierro.
µ= permabilidad del material.
µr = permeabilidad relativa.
µ0 = permeabilidad del vacı́o.
B= densidad de flujo magnético.
H= intensidad de campo magnético.
10
I0
N1 vueltas
μ→∞
W
Profundidad D
x g Émbolo
μ→∞
N2 vueltas g
h >> g
+ v2
Figura 6: Circuito magnético 5.
6. El circuito de la Fig. 6 tiene un émbolo hecho de un material magnético que está soportado y puede
desplazarse hacia dentro y afuera del núcleo fabricado con el mismo material cuya permeabilidad
se considera µ→∞. El núcleo magnético y el émbolo tienen una profundidad D. El movimiento del
émbolo es tal que su posición está limitada de 0≤x≤W y cuando está en la posición w, la R es infinita
puesto que h >> g. No obstante, cuando el émbolo está en la posición x la única R que existe es la
de los dos entrehierros. El núcleo magnético está devanado por dos bobinas (1 y 2). La bobina 1 tiene
N1 vueltas y una corriente constante I0 (CD). La bobina 2 se encuentra en circuito abierto. Calcular
a) la inductancia mutua entre la bobina 1 y 2 como una función de la posición del émbolo y b) hallar
la expresión del voltaje inducido en la bobina 2 si el émbolo es movido por una fuente externa tal que
su movimiento está dado por: x(t) = W (1+ε2 sin ωt) con ε < w/2.
Observaciones:
Se necesita encontrar la inductancia mutua L12 =L21 . Para se debe hallar la ℜ del circuito magnético.
Cuando el émbolo esta en la posición w, la ℜ es infinita puesto que h≫g. Cuando el émbolo
está en la posición x la única ℜ que existe es la de los dos entrehierros porque el núcleo tiene
permeabilidad infinita. Sin embargo, su área de sección transversal es variable.
El voltaje en la bobina 2 es inducido por la bobina 1, por lo que la inductancia mutua L12 = L21
juega un papel importante.
g
Ag µ0
(18)
Nφ
N2
λ
=
=
i
i
R
(19)
ℜg =
L=
11
L12 = L21 =
N1 N2
R
(20)
donde:
I0 = corriente eléctrica.
N = número de vueltas.
Ag = área de sección transversal del entrehierro.
g= dimensión del entrehierro.
Rg = reluctancia del entrehierro.
µ= permabilidad del material.
µr = permeabilidad relativa.
µ0 = permeabilidad del vacı́o.
B= densidad de flujo magnético.
H= intensidad de campo magnético.
λ= encadenamientos de flujo.
L12 =L21 = inductancia mutua entre el devanado 1 y 2.
12
Núcleo Magnético
g2
Área
A2
I1
N1
Área A1
N2
g1
I2
Figura 7: Circuito magnético 7.
7. El circuito magnético que se presenta en la Fig. 7 tiene dos devanados (con N1 y N2 vueltas) y dos
entrehierros de dimensiones g1 y g2 . Considere que la permeabilidad del núcleo es infinita µ→∞. a) Si
I1 6=0 e I2 =0, calcule: la densidad de flujo magnético Bg1 y Bg2 en cada uno de los entrehierros, y los
encadenamientos de flujo de cada devanado λ1 y λ2 , b) repetir el inciso a) pero ahora I2 6=0 e I1 =0 y
c) repetir el inciso a) pero ahora I1 6=0 y I2 6=0.
Observaciones:
Es necesario dibujar el circuito equivalente eléctrico.
Para todos los incisos, el circuito magnético debe de analizarse como un circuito eléctrico.
Para el inciso c), es necesario conocer la inductancia mutua entre devanados.
λ = Nφ
(21)
B = φA
(22)
L12 = L21 =
N1 N2
R
(23)
donde:
N = número de vueltas.
A= área de sección transversal.
g= dimensión del entrehierro.
R= reluctancia.
B= densidad de flujo magnético.
λ= encadenamientos de flujo.
L12 =L21 = inductancia mutua entre el devanado 1 y 2.
13