Mecánica vectorial para ingenieros
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Novena edición CAPÍTULO Mecánica vectorial para ingenieros: ESTÁTICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Lecture Notes: J. Walt Oler Centroides y Centros de Gravedad Texas Tech University © 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Introducción • La tierra ejerce una fuerza gravitacional sobre cada una de las partículas que componene el cuerpo. Estas fuerzas pueden ser reemplazadas por una única fuerza W actuando en un punto llamado: centro de gravedad • El centroide de un área es análoga al centro de gravedad de un cuerpo. El concepto de primer momento de un área se utiliza para determinar el centroide. • El cálculo del área de una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo de revolución está directamente relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área utilizados para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (Teoremas de Pappus-Guldinus. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-2 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Centro de Gravedad de un cuerpo bidimensional • Centro de gravedad de una placa • Centro de gravedad de un alambre M y x W = xΔW = x dW M y yW = yΔW = y dW © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-3 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Centroides y Primeros Momentos de Áreas y Líneas • Centroide de un área x W = x dW x (γAt ) = x (γt )dA x A = x dA = Qy = primer momento respecto al eje y yA = y dA = Qx • Centroide de una línea x W = x dW x (γ La ) = x (γ a )dL x L = x dL yL = y dL = primer momento respecto al eje x © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-4 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Primeros Momentos de Áreas y Líneas • Un área es simétrica con respecto a un eje BB´si para cada punto P existe u punto P´tal que PP´sea perpéndicular a BB´y BB´divide en dos partes iguales el área. • El primer momento de un área respecto a una línea de simetría es cero • Si un área tiene una línea de simetría su centroide está en esa línea. • Si un área posee dos líneas de simetría, el centroide está en la intersección de dichas líneas. • Un área es simétrica respecto al centro O si para cada elemento dA situado en (x,y) existe un elemento dA’ de igual área situado en (-x,-y). • El centroide de un área coincide con el centro de simetria. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-5 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Centroides de áreas comunes © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-6 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Centroides de áreas comunes © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-7 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Centroides de líneas comunes © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-8 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Placas compuestas y alambres • Placa compuesta X W = x Wi Y W = y Wi • Área compuesta X A = xi Ai Y A = y i Ai © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5-9 Ejercicio propuesto Determinar el centroide de la chapa de la figura. 0,60 m 0,20 m Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros 0,40 m 0,80 m Solución: X=0,43 m ; Y=0,23 m © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 10 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.1 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 11 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.1 • El área total se determina sumando (círculo área negativa) cada una de las áreas de las formas que constituyen la placa. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Q x = +506.2 × 103 mm 3 Q y = +757.7 × 103 mm 3 5 - 12 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.1 • Las coordenadas del centroide se calculan dividiendo los primeros momentos por el área del área compuesta. xi Ai + 757.7 ×103 mm3 X= = 3 2 A 13.828 × 10 mm i X = 54.8 mm yA Y = A i i i + 506.2 ×103 mm3 = 13.828 ×103 mm 2 Y = 36.6 mm © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 13 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Ejercicio autoevaluación Determine el centroide del área de la placa que se muestra en la figura. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 14 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.2 La figura mostrada está hecha a partir de un pedazo de alambre delgado y homogéneo. Determine la ubicación de su centro de gravedad. 10 cm 24 cm © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 15 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.2 10 cm 24 cm © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 16 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.3 Una barra semicircular uniforme de peso W y radio r está unida a un perno en A y descansa contra una superficie sin fricción en B. Determine las reacciones en A y B. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 17 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problemas propuestos Localice el centroide del área plana que se muestra en cada figura. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 18 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Determinación de Centroides por Integración x A = x dA = x dx dy = xel dA Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy, la evaluación de cada y A = y dA = y dx dy = y el dA una de estas integrales requiere una integración doble con respecto a x y respecto a y. x A = x el dA = x ( ydx xA = ) = x el dA a+x [ (a − x )dx ] 2 y el dA y A = y el dA yA = y = ( ydx ) = y [(a − x )dx ] 2 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 19 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.4 Determine por integración directa la localización del centroide de una enjuta parabólica. x2 y= 8 2m 4m X=3 m © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Y=0,6 m 5 - 20 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema resuelto 5.4 • Utilizando un elemento diferencial vertical 1 Qy = xel dA = xydx = x x 2 dx 8 0 4 4 1 x4 44 = = = 8 m3 8 4 0 32 2 11 y Qx = yel dA = ydx = x 2 dx 2 28 0 4 4 1 x5 45 3 1, 6 m = = = 128 5 0 640 4 1 1 8 A = ydx = x 2 dx = x3 = m 2 8 24 0 3 0 0 4 X= Qy A = 4 Q 1, 6 8 =3m ; Y = x = = 0, 6 m 8 8 A 3 3 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 21 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema propuesto La placa está hecha de acero que tiene una densidad de 7850 kg/m3. Si el espesor de la placa es de 10 mm, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable BC. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 22 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema propuesto La placa está hecha de acero que tiene una densidad de 8000 kg/m3. Si el espesor de la placa es de 5 mm, determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable B. 3m 3m © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 23 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo Localice el centroide de la varilla doblada en forma de arco parabólico, como se muestra en la figura. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 24 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Solución arco parabólico X = 0, 410 m y = 0,574 m © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 25 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.5 Determine la ubicación del centroide del arco mostrado. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 26 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema ejemplo 5.5 x= © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. rsenα α 5 - 27 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problemas propuestos Determine la distancia X hasta el centro de masa de la barra homogénea doblada en la forma que se muestra. Si la barra tiene una masa por unidad de longitud de 0,5 kg/m, determine las reacciones en el soporte fijo O. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 28 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problemas propuestos La barra uniforme está doblada en forma de una parábola y tiene una masa por unidad de longitud de 2,5 kg/m. Determine las reacciones en el soporte fijo A. 3m 3m © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 29 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Teoremas de Pappus-Guldin Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fıjo. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 30 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Teoremas de Pappus-Guldinus © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 31 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Ejercicio propuesto Mediante los teoremas de Pappus-Guldin, encontrar el centroide de un arco semicircular de radio R R © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 32 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Ejercicio propuesto Mediante los teoremas de Pappus-Guldin, encontrar el centroide de una placa semicircular de radio R R © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 - 33 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema resuelto 5.7 El diámetro exterior de una polea es 0.8 m y la sección transversal de su corona es como se muestra en la figura. Se sabe que la polea está hecha de acero y que la densidad de dicho material es 7,85 103 kg/m3, determine la masa y el peso de la corona. © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 34 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Problema resuelto 5.7 © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 35 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Centro de Gravedad de un cuerpo • Centro de gravedad G − W j = (− ΔW j ) rG × (− W j ) = [r × (− ΔW j )] rGW × (− j ) = ( r ΔW ) × (− j ) W = dW rGW = r dW • Los resultados son independientes de la orientación, xW = xdW yW = ydW zW = zdW • Para cuerpos homogéneos, W = γ V and dW = γ dV x V = xdV © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. yV = ydV z V = zdV 5 - 36 Ninth Edition Mecánica vectorial para ingenieros Centroides de cuerpos comunes en tres dimensiones © 2010The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 5 - 37
