Clase Ajustamiento

1. Introducción
2. Tipos de Relaciones
Lineal
No Lineal
Regresión Lineal
Y=β0+β1x
Modelos acumulativos
Relación
Multiplicativos
Intrínsecamente
lineales
Aditivos
ó
í =
+ ! "
#$%& = ' (") 0
' ! ")
*
−
,
%
=
' ! ") /
,
-.% = * − 2.1. RELACIONES NO LINEALES
Para obtener la estimación de estos parámetros se utilizan otros métodos diferentes a los
aplicados es este curso.
Una función que relacione a 1 con " es intrínsecamente lineal si por medio de una
transformación en " y/o 1 la función se puede expresar como y * = β 0 + β1 x* + ε * , donde
"∗ es la variable independiente transformada e 1∗ es la variable dependiente
transformada.
2.2. RELACIONES INTRÍNSECAMENTE LINEALES
ó
' " )
4"$
=
5 0
$ 3
6 =
" 5 ó
-í$%1" 7 = + " + 5 0
0
= + " + 5
1ó" 8 = + " + 5 0
= + " + 5
2.2.1. Transformación de modelos
2.2.1.1. Modelos Exponencial o semilogarítimico
= ' ") 5
= 9 * " , 5 :
Aplicando las propiedades de los logaritmos:
= + *" , + 5
= + " + 5
Siendo ln e=1, se obtiene:
= + " + 5
O de otro modo:
∗ = ∗ + " + 5∗
Este modelo puede linealizarse al aplicar logaritmo a ambos miembros de la función:
De la misma forma que para un modelo de Regresión Simple lineal, los parámetros
pueden estimarse mediante el método de mínimos cuadrados obteniendo el Sistema de
Ecuaciones Normales Homogéneas
= ∗ + = ; "
; 1∗ = <
<
= ∗ ; " + = ;'" )!
; 1∗ " = <
<
<
2.2.1.2. Modelo Potencial o Logarítmico
= " 5
0
= 9 " 5 :
Aplicando las propiedades de los logaritmos:
= + " + 5
= + " + 5
O de otro modo:
∗ = ∗ + "∗ + 5∗
Este modelo puede linealizarse al aplicar logaritmo a ambos miembros de la función:
De la misma forma que para un modelo de Regresión Simple lineal, los parámetros
pueden estimarse mediante el método de mínimos cuadrados obteniendo el Sistema de
Ecuaciones Normales Homogéneas
∗
; 1∗ = ∗
=
=
+
;
"
<
<
= ∗ ; " + = ;'"∗ )!
; 1∗ "∗ = <
<
<
0
2.2.2. Transformación de Variables
2.2.2.1. Recíproco de variables
= + " + 5
= + " + 5
Se transforman las variables y se obtienen
∗ = + " + 5
= + "∗ + 5
De la misma forma que para un modelo de Regresión Simple lineal, los parámetros
pueden estimarse mediante el método de mínimos cuadrados obteniendo el Sistema de
Ecuaciones Normales Homogéneas
; 1∗ = = + = ; " =
=
= ; " + = ;'" )!
; 1∗ " = =
=
=
0
; 1 = = + = ; "∗ =
=
= ; " + = ;'"∗ )!
; 1 "∗ = =
=
=
Solución con Regresión Simple lineal con variables transformadas
0
2.2.3. Logaritmos de variables
= + " + 5
Se transforman las variables y se obtienen
∗ = + " + 5
= + " + 5
= + "∗ + 5
De la misma forma que para un modelo de Regresión Simple lineal, los parámetros pueden
estimarse mediante el método de mínimos cuadrados obteniendo el Sistema de Ecuaciones
Normales Homogéneas
; 1∗ = = + = ; " =
=
= ; " + = ;'" )!
; 1∗ " = =
=
=
0
∗
; 1 = =
=
+
;
"
=
=
= ; " + = ;'"∗ )!
; 1 "∗ = =
=
=
Solución con Regresión Simple lineal con variables transformadas
0
2.3. POLINOMIOS
2.3.1. Polinomio de 2º grado o parábola
= + " + ! "! + 5
De forma análoga a un modelo de Regresión Simple lineal, los parámetros pueden
estimarse mediante el método de mínimos cuadrados obteniendo el Sistema de
Ecuaciones Normales Homogéneas
; 1 = = + = ; " + = ! ;'" )! <
<
<
= ; " + = ;'" )! + = ! ;'" )/ 0
; 1 " = <
<
<
<
= ;'" )! + = ;'" )/ + = ! ;'" )>
; 1 '" )! = <
<
<
<
Solución: Caso especial de Regresión Múltiple Lineal
2.3.2. Cúbica o polinómica de 3º grado.
= + " + ! "! + / "/ + 5
De forma análoga a un modelo de Regresión Simple lineal, los parámetros pueden
estimarse mediante el método de mínimos cuadrados obteniendo el Sistema de
Ecuaciones Normales Homogéneas
; 1 = = + = ; " + = ! ;'" )! + = / ;'" )/ <
<
<
<
!
/
>
=
=
=
=
; 1 " = ; " + ;'" ) + ! ;'" ) + / ;'" ) <
<
<
<
<
!
= ;'" )! + = ;'" )/ + = ! ;'" )> + = / ;'" )?
; 1 '" ) = <
<
<
<
<
= ;'" )/ + = ;'" )> + = ! ;'" )? + = / ;'" )@
; 1 '" )/ = <
<
<
<
<
Solución: Caso especial de Regresión Múltiple Lineal
0
3. FORMALIZACIÓN DEL MODELO ESTIMADO
3.1. Modelo Exponencial
= *= ", = = *
= ∗ ,
= = ó
-í$%1" 7 = + " + 5 0
$
= + " + 5 0
1ó" 8 = + " + 5 0
= + " + 5
3.2. Modelo potencial
=
=
= = *
= ∗ ,
=
= " 3.3. Modelos de recíproca de variables
= + = "
= = = + = " = = 3.4. Modelos de logarítmos de variables
= + = "
= = 3.5. Modelo polinomial
3.5.1. Parábola
3.5.2. Cúbica
= + = "
= = = + = " + = ! "!
= = = + = " + = ! "! + = / "/
= = 4. COMPARACIÓN Y ELECCIÓN DE MODELOS
Tomaremos como ejemplo el desarrollado en la clase de Regresión Simple Lineal. La
relación entre el porcentaje de cera y el diámetro de rama de Bulnesia retama
4.1. OBSERVACIÓN DE RESIDUOS ESTANDARIZADOS
0,50
-0,71
1,55
3,42
5,29
PRED_Porcentaje cera
7,17
RE_LN_Porcentaje cer
1,72
-1,92
-0,33
1,57
1,56
RE_LN_Porcentaje cer
RE_Porcentaje cera
2,93
0,57
-0,42
-1,41
-2,40
-2,02
-0,98
0,06
1,10
PRED_LN_Porcentaje c
2,14
0,82
0,08
-0,67
-1,42
-1,54
-0,55
0,45
1,44
2,44
PRED_LN_Porcentaje c
Residuos estandarizados para el modelo polinómico de 2º grado, exponencial y potencial,
respectivamente
4.2. Prueba de hipótesis para el modelo
MODELO POLINÓMICO
Análisis de regresión lineal
Variable
N
R² R² Aj
Porcentaje cera 15 0,88 0,86
MODELO EXPONENCIAL
Análisis de regresión lineal
Variable
N
R² R² Aj
LN_Porcentaje cera 15 0,97 0,97
MODELO POTENCIAL
Análisis de regresión lineal
Variable
N
R² R² Aj
LN_Porcentaje cera 15 0,94 0,93
4.3. Prueba de hipótesis para los coeficientes de regresión
MODELO POLINÓMICO
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
Est. EE LI(95%) LS(95%) T
p-valor
const
13,25 1,49
9,99
16,50 8,88 <0,0001
Diámetro (mm)
-2,07 0,37
-2,89
-1,26 -5,53 0,0001
Diámetro (mm)^2 0,08 0,02
0,04
0,13 4,02 0,0017
MODELO EXPONENCIAL
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
Est. EE LI(95%) LS(95%) T
p-valor
const
3,09 0,14
2,79
3,39 22,38 <0,0001
Diámetro (mm) -0,32 0,02
-0,35
-0,28 -19,89 <0,0001
MODELO POTENCIAL
Coeficientes de regresión y estadísticos asociados
Coef
Est. EE LI(95%) LS(95%) T
p-valor
const
5,43 0,36
4,66
6,20 15,24 <0,0001
LN_Diámetro (mm) -2,48 0,18
-2,86
-2,09 -13,91 <0,0001
4.4. Bondad de ajuste del modelo
MODELO POLINÓMICO
Cuadro de Análisis de
F.V.
SC
Modelo
88,20
Diámetro (mm)
72,61
Diámetro (mm)^2 15,59
Error
11,59
Total
99,78
la Varianza (SC tipo I)
gl CM
F
p-valor
2 44,10 45,67 <0,0001
1 72,61 75,20 <0,0001
1 15,59 16,14
0,0017
12 0,97
14
MODELO EXPONENCIAL
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
gl CM
F
p-valor
Modelo
20,78
1 20,78 395,48 <0,0001
Diámetro (mm) 20,78
1 20,78 395,48 <0,0001
Error
0,68 13 0,05
Total
21,46 14
MODELO POTENCIAL
Cuadro de Análisis de
F.V.
SC
Modelo
20,11
LN_Diámetro (mm) 20,11
Error
1,35
Total
21,46
la Varianza (SC tipo III)
gl CM
F
p-valor
1 20,11 193,61 <0,0001
1 20,11 193,61 <0,0001
13 0,10
14
4.5. Cuadro de comparaciones
Estimación de
Coeficientes
=
=
=!
-!
7,74 -0,59 0,73
Modelo
Lineal
Polinómico 2º
13,25 -2,07 0,08 0,88
grado
Pruebas de hipótesis
=
Sign
=
Sign
=!
-
Sign
Sign Sign
Sign
Modelo
Sign
Exponencial
3,09 -0,32
-
0,97
Sign
Sign
-
Sign
Potencial
5,43 -2,48
-
0,94
Sign
Sign
-
Sign
Residuos
No se ajusta
Bueno. Algunos
valores atípicos
Bueno. Algunos
valores atípicos
No adecuado