DEA-lec-5-ejer
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Lección 5: ejercicios teóricos 1. A. Usando la tabla general de dualidad, calcular el dual del problema Minimizar Sujeta a : c1 x1 a1 x1 x1 + c2 x2 + a 2 x2 + c3 x3 + a 3 x3 x2 x3 ≥ b ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 B. A continuación, llegar al mismo resultado usando la idea general inicial de la dualidad dada en las primeras páginas de la teoría para que el valor de toda solución factible del problema de minimizar sea mayor o igual que el valor de toda solución factible del problema de maximizar. 2. Ídem para el problema Minimizar Sujeta a : c1 x1 a1 x1 x1 + c2 x2 + a2 x2 + c3 x3 + a3 x3 x2 x3 = ≥ ≥ ≥ b 0 0 0 ≤ ≥ ≥ ≥ b 0 0 0 3. Ídem para el problema Minimizar Sujeta a : c1 x1 a1 x1 x1 + c2 x2 + a 2 x2 + c3 x3 + a 3 x3 x2 x3 4. Ídem para el problema Minimizar c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 Sujeta a : a1 x1 + a2 x2 + a 3 x3 ≥ b ≥ 0 NR x1 x2 x3 ≥ 0 5. Ídem para el problema Minimizar c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 Sujeta a : a1 x1 x1 + a2 x2 + a3 x3 x2 x3 ≥ b ≥ 0 NR ≤ 0 fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc 1/9 6. Ídem para el problema Minimizar Sujeta a : c1 x1 a11 x1 + c2 x2 + a12 x2 + c3 x3 + a12 x3 a21 x1 a31 x1 x1 + a22 x2 + a32 x2 + a22 x3 + a32 x3 x2 x3 ≥ b1 = ≤ ≥ b2 b3 0 NR ≤ 0 7. Dado el programa lineal siguiente Maximizar sujeta a : c1 x1 + ..... + cn xn a11 x1 + ..... + a1n xn ≤ am1 x1 + ..... + cmn xn x 1 ,..............., xn ≤ bm ≥ 0 b1 se pide: A. Calcular el programa dual. B. Interpretar el programa inicial considerando que las bi, con i=1,…,m son recursos disponible por un empresario, que aij representa la cantidad de recurso i necesario para fabricar una unidad de producto j, con j=1,…,n, y que cj es el precio de venta de una unidad de producto elaborado. C. ¿Qué representan las variables duales del apartado (A)? 8. Demostrar que son duales los programas: Minimizar θ Sujeta a : θx 0 y0 λ ≥ ≤ ≥ θ λX λY 0 NR Maximizar Sujeta a : y u 0 .y 0 v0 u0 u 0 .y i − v 0 .x i v 0 .x 0 ≥ ≥ ≤ = 0 0 0 1 v 0 .x 0 v0 u0 u 0 .y i − v 0 .x i u 0 .y 0 ≥ ≥ ≤ = 0 0 0 1 para i = 1,..., n 9. Demostrar que son duales los programas: Maximizar Sujeta a : ω x0 ωy 0 λ θ ≥ ≤ ≥ λX λY 0 NR Minimizar Sujeta a : y para i = 1,..., n Nota: Se trata de hacer demostraciones formalmente correctas, sin hacer concesiones a la intuición. fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc 2/9 SOLUCIONES Regla general: 1. Primal Minimizar Restricciones Dual Maximizar Variables ≥ ≤ = ≥0 ≤0 No restringida Variables Restricciones ≥0 ≤0 No restringida ≤ ≥ = A. Minimizar c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 Sujeta a : a1 x1 x1 + a 2 x2 + a3 x3 x2 x3 ≥ ≥ ≥ ≥ Maximizar Sujeta a : b 0 0 0 yb y ya1 ya2 ya3 ≥ 0 ≤ c1 ≤ c2 ≤ c3 B. ya1 ya2 ya3 ≤ c1 ≤ c2 implica ≤ c3 ya1 x1 ya2 x2 ya3 x3 ≤ c1 x1 ≤ c2 x2 implica ≤ c3 x3 y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 de donde yb ≤ y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Es decir, yb ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Nota: obsérvese que en un paso se necesita que y ≥ 0 . 2. A. Minimizar Sujeta a : c1 x1 a1 x1 x1 + c2 x2 + a2 x2 + c3 x3 + a3 x3 x2 x3 = b ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 Maximizar yb Sujeta a : y NR ya1 ≤ ≤ ≤ 2 ya2 ya3 c1 c2 c3 B. ya1 ya2 ya3 ≤ c1 ≤ c2 implica ≤ c3 ya1 x1 ya2 x2 ya3 x3 ≤ c1 x1 ≤ c2 x2 implica ≤ c3 x3 y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 de donde yb = y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Es decir, yb ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Nota: obsérvese que no se necesita que y ≥ 0 . fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc 3/9 3. A. Minimizar c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 Sujeta a : a1 x1 + a 2 x2 + a 3 x3 ≤ b Maximizar yb Sujeta a : y ≥ 0 x1 x3 ≤ 0 ≤ c1 ya1 ≥ 0 x2 2 ≤ c2 ya2 ≥ 0 ya3 ≤ c3 B. ya1 ≤ c1 ya1 x1 ≤ ya2 ≤ c2 implica ya2 x2 ≤ c2 x2 implica ya3 ≤ c3 ya3 x3 ≤ c3 x3 c1 x1 y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 de donde yb ≤ y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Es decir, yb ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Nota: obsérvese que en un paso se necesita que y ≤ 0 . 4. A. Minimizar c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 Sujeta a : a1 x1 + a2 x2 + a 3 x3 x1 x2 Maximizar ≥ b ≥ 0 Sujeta a : yb ≥ ≥ y 0 ≤ c1 ya1 = c2 ya2 NR x3 2 ya3 0 ≤ c3 B. ≤ c1 ya1 x1 ya2 = c2 implica ya2 x2 = c2 x2 implica ya3 ≤ c3 ya3 x3 ≤ c3 x3 ya1 ≤ c1 x1 y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 de donde yb ≤ y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Es decir, yb ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Nota: obsérvese que en un paso se necesita que y ≥ 0 . 5. A. Minimizar c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 Sujeta a : a1 x1 + a2 x2 + a 3 x3 x1 x2 ≥ b ≥ 0 ≤ yb Sujeta a : y 2 ≥ 0 ≤ c1 ya1 = c2 ya2 NR x3 Maximizar ya3 0 ≥ c3 B. ya1 ≤ c1 ya1 x1 ≤ ya2 = c2 implica ya2 x2 = c2 x2 implica ya3 ≥ c3 ya3 x3 ≤ c3 x3 c1 x1 y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 de donde yb ≤ y (a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Es decir, yb ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Nota: obsérvese que en un paso se necesita que y ≥ 0 . fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc 4/9 6. A. Minimizar c1 x1 + Sujeta a : a11 x1 + a12 x2 + a12 x3 ≥ b1 a 21 x1 + a 22 x2 + a 22 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a32 x3 ≤ b3 ≥ 0 c2 x2 + c3 x3 x1 x2 Maximizar y1b1 Sujeta a : y1 ≤ y 2b2 + y3b3 ≥ y2 NR x3 + 0 0 NR y3 ≤ 0 y1a11 + y 2 a21 + y3 a31 ≤ c1 y1a12 + y 2 a22 + y3 a23 = c2 y1a13 + y 2 a23 + y3 a33 ≥ c3 B. y1a11 + y 2 a21 + y3 a31 ≤ c1 ( y1a11 + y 2 a21 + y3 a31 ) x1 ≤ y1 a12 + y 2 a22 + y3 a32 = c2 implica ( y1 a12 + y 2 a22 + y3 a32 ) x2 = c2 x2 y1 a13 + y 2 a23 + y3 a33 ≥ c3 ( y1 a13 + y 2 a23 + y3 a33 ) x3 ≤ c3 x3 c1 x1 implica y1 (a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 ) + y 2 (a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 ) + y3 (a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 de donde y1b1 + y 2b2 + y3b3 ≤ y1 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) + y 2 (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ) + y3 (a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ) ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 Es decir, y1b1 + y 2b2 + y3b3 ≤ c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 . Nota: obsérvese que en un paso se necesita que y1 ≥ 0 , y 2 NR e y3 ≤ 0 . 7. A. Minimizar y1b1 + ..... + y m bm sujeta a : y1a11 + ..... + y m am1 ≥ c1 am1 x1 + ..... + cmn xn ≥ cn y1 ,..............,y m ≥ 0 B. Alguien oferta comprar los recursos disponibles en cantidades b1,….,bm ofreciendo un precio unitario dado por y1,….,ym. C. Son los precios sombras de los recursos disponibles. fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc 5/9 8. A Cálculo del dual del PL: Minimizar θ sujeta a θx o yo ≥ ≤ λX λY NR ≥ 0 θ λ B. El modelo anterior en forma escalar es: Minimizar Sujeta a: vo1⋅0 vo1 vom⋅0 +uo1⋅yo1 …. +0⋅λn −xn1⋅λn ≥ 0 ↔ ↔ −… +… …. …. −xnm⋅λn +yn1⋅λn ≥ ≥ 0 yo1 ↔ ↔ +… …. +yns⋅λn ≥ yos ↔ ≥ NR 0 ↔ ↔ vo1⋅xo1 +… −vo1⋅x11 −… …. …. +vom⋅xom +uo1⋅0 + −vom⋅x1m +uo1⋅y11 + ≥ 0 ↔ −vo1⋅xn1 −… …. −vom⋅xnm +uo1⋅yn1 + 1⋅θ xo1⋅θ +0⋅λ1 −x11⋅λ1 −… xom⋅θ 0⋅θ −x1m⋅λ1 +y11⋅λ1 0⋅ +y1s⋅λ1 θ λ1 λn Maximizar Sujeta a: +uos⋅yos ≥ 0 ≥ ≥ 0 0 uos ≥ 0 …. …. +uos⋅xos +uos⋅y1s = ≤ 1 0 …. +uos⋅yns ≤ 0 vom uo1 Es decir: Maximizar sujeta a fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc uo ⋅ y o uo ⋅ y i − v o ⋅ xi vo uo v o ⋅ xo ≤ 0 para i = 1,...,n ≥ 0 ≥ 0 = 1 6/9 C. ALTERNATIVA. El modelo anterior en forma escalar es: Variables Minimizar Sujeta a: λ1 0 λn 0 θ 1 xo1 −x11 … …. −xn1 ≥ 0 ↔ ↔ xom 0 −x1m … y11 … …. …. −xnm yn1 ≥ ≥ 0 yo1 ↔ ↔ …. yns ≥ yos ↔ ≥ NR 0 ↔ ↔ ≥ 0 ↔ 0 y1s … θ 1 1 Variables Maximizar Sujeta a: vo1 0 1 vom 0 uo1 yo1 uos yos ≥ 0 ≥ ≥ 0 0 1 ≥ 0 1 1 xo1 −x11 +… …. …. …. −xn1 …. …. xom …. …. …. …. 0 y1s = −x1m 0 y11 ≤ 1 0 −xnm yn1 …. …. yns ≤ 0 Es decir: Maximizar sujeta a fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc uo ⋅ y o uo ⋅ y i − v o ⋅ xi vo uo v o ⋅ xo ≤ 0 para i = 1,...,n ≥ 0 ≥ 0 = 1 7/9 9. A. Cálculo del dual del PL: Maximizar ω sujeta a xo ωy o λ ≥ ≤ λX λY ≥ 0 ω no restringida B. El modelo anterior en forma escalar es: Maximizar Sujeta a: 1⋅ω 0⋅ω +0⋅λ1 x11⋅λ1 0⋅ω yo1⋅ω x1m⋅λ1 −y11⋅λ1 yo1⋅ω −y1s⋅λ1 Minimizar vo1⋅ xo1 Sujeta a: vo1 vom⋅ xom +uo1⋅0 ≤ xo1 ↔ ↔ xnm⋅λn −yn1⋅λn ≤ ≤ xom 0 ↔ ↔ −yns⋅λn ≤ 0 ↔ ≥ NR 0 ↔ ↔ vo1⋅0 vo1⋅x11 +… +… …. …. +vom⋅0 +uo1⋅yo1 − +vom⋅x1m −uo1⋅y11 − ≥ 0 ↔ +vo1⋅xn1 +… …. +vom⋅xnm −uo1⋅yn1 − … …. +0⋅λn xn1⋅λn … −… …. …. +… …. ω λ1 λn +uos⋅0 ≥ 0 ≥ ≥ 0 0 uos ≥ 0 …. …. +uos⋅yos −uos⋅y1s = ≥ 1 0 …. −uos⋅yns ≥ 0 vom uo1 Es decir: Minimizar sujeta a fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc v o ⋅ xo uo ⋅ y i vo uo uo ⋅ y o ≤ v o ⋅ xi ≥ ≥ = para i = 1,...,n 0 0 1 8/9 C. ALTERNATIA: El modelo anterior en forma escalar es: Variables Maximizar Sujeta a: ω 1 0 λ1 0 x11 …. …. λn 0 xn1 ≤ xo1 ↔ ↔ Variables Minimizar Sujeta a: vo1 xo1 vo1 vom xom uos 0 uo1 ⋅0 ≥ 0 ≥ ≥ 0 0 uos ≥ 0 …. …. 0 yo1 x1m −y11 …. …. …. …. xnm −yn1 ≤ ≤ xom 0 ↔ ↔ vom uo1 …. …. yo1 −y1s …. …. −yns ≤ 0 ↔ ≥ NR 0 ↔ ↔ 0 x11 .… .… …. …. 0 x1m ≥ 0 ↔ xn1 .… …. xnm 1 1 yo1 …. …. yos = −y11 …. …. −y1s ≥ 1 0 −yn1 …. …. −yns ≥ 0 …. …. 1 Es decir: Minimizar sujeta a fichero DEA-lec-5-ejer-teoricos-2012-mm-dd.doc v o ⋅ xo uo ⋅ y i vo uo uo ⋅ y o ≤ v o ⋅ xi ≥ ≥ = para i = 1,...,n 0 0 1 9/9
