Los números racionales y propiedades

Los números racionales
Un número
racional es
todo número que
puede
representarse
como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se
representa por
.
LOS NÚMEROS PRIMOS
Son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos divisores: el mismo
número y el 1, que es divisor de todo número.
Son números primos el 2,3,5,7,11..
Mínimo común múltiplo de dos o más números
El mínimo común múltiplo de dos números es el más pequeño de los múltiplos comunes a ambos.
Mínimo común múltiplo
Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números ,
excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. Se descomponen los números en factores primos
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor
exponente.
Ejemplo
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60) = 2 3 · 3 3 · 5 = 2160
2160 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.
Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de
ambos.
El número 36 es múltiplo de 12.
m. c. m. (12, 36) = 36
Máximo común divisor
El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el
mayor número que divide a todos exactamente.
Cálculo del máximo común divisor
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.
1.
72 = 2 3 · 3 2
108 = 2 2 · 3 3
60 = 2 2 · 3 · 5
2.
m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.
El número 12 es divisor de 36.
m. c. d. (12, 36) = 12
Clasificación De Las Fracciones
Las fracciones se pueden clasificar de distintas formas; en la siguiente tabla se muestran las
características de las más importantes.
Tipo
Características
Ejemplos
Propia
El numerador es menor que el denominador
1 / 2, 7 / 9
Impropia
El numerador es mayor que el denominador
4 / 3, 5 / 2
Homogéneas
Tienen el mismo denominador
2 / 5, 4 / 5
Heterogéneas Tienen distinto denominador
3 / 7, 2 / 8
Entera
El numerador es igual al denominador;
representan un entero
6/6=1
Equivalentes
Cuando tienen el mismo valor.
Dos fracciones son equivalentes
si son iguales sus productos cruzados
2/3y4/6
2x6=3x
4
Mixtas
Un número mixto se forma a partir de una fracción mayor que la
unidad.
Un número mixto tiene una parte fraccionaria y una parte entera.
24, 13
Representación de números racionales
6
4
Los números
racionales se
representan
en
la
recta
junto
a
los números enteros.
Para representar con precisión los números racionales:
1Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.
2Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en
las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.
3Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del
otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los
puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.
Operaciones con números racionales
Suma y resta de números racionales
Con el mismo denominado
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el
denominador.
Con distinto denominador
En
primer
lugar se reducen
los
denominadores
a
común
denominador, y se suman o se restan los numeradores de las
fracciones equivalentes obtenidas.
Multiplicación de números racionales
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto
el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los
signos.
Regla de los signos
+x+=+
+x-=-x-=+
-x+=-
División de números racionales
La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el
cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
+x+=+
+x-=-x-=+
-x+=-
.
PROPIEDADES EN Q
Propiedades de la suma de números racionales
1. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
2. Conmutativa:
a + b = b + a
3. Elemento neutro:
a + 0 = a
4. Elemento opuesto
a + (−a) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
Propiedades de la multiplicación de números racionales
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa:
a · b = b · a
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
5. Elemento inverso:
6. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
7. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
Operaciones combinadas con fracciones
Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4º.Efectuar los productos y cocientes.
5º.Realizar las sumas y restas.
Primero
operamos
con
las productos y números
mixtos de
los paréntesis.
Operamos
en
el
primer paréntesis,
quitamos
simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
el
segundo,
Hacemos
las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el
resultado.
Multiplicación de números racionales
El
producto
de
dos números
racionales es
otro número
racional que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
Propiedades de la multiplicación de números racionales
1. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
2. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
3. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número
multiplicado por él da el mismo número.
a ·1 = a
4. Elemento inverso:
Un número es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como
resultado el elemento unidad.
5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la
suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números racionales
La
división
de
dos números
racionales es
otro número
racional que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
También podemos definir la división de dos números racionales
como producto del primero por el inverso del segundo.
Potencias de números racionales
Potencias de exponente entero y base racional
Propiedades
1.
2.
3. Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
4. División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los
exponentes.
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los
exponentes.
6. Producto de potencias con el mismo exponente :
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
ECUACIONES RACIONALES
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen
fracciones polinómicas.
Resolución de ecuaciones racionales
Ecuaciones Racionales Una ecuación racional o fraccional es una ecuación
conteniendo uno o más expresiones racionales.
Para resolver una ecuación racional, el primer paso es despejar la ecuación de las
fracciones.
Para hacer esto, multiplicamos en ambos lados de la ecuación por el mínimo común
múltiplo (LCM) de todos los denominadores.
Luego llevamos a cabo el proceso de resolver ecuaciones.
Debemos
soluciones
comprobar
extrañas
las
provenientes
soluciones, para
de
la
ecuación
rechazar
posibles
transformada
(la
resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo
son de la ecuación original.
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el
mínimo común múltiplo.
Quitamos
paréntesis,
agrupamos
y
sumamos
los
términos
semejantes:
Despejamos la incógnita:
2)
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos
denominadores,
semejantes:
Quitamos corchete:
agrupamos
y
sumamos
los
términos
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
3)
La solución es: