Capitulo tres: Usa fracciones y decimales

Usa fracciones
y decimales
Matemáticas en
la vida diaria
La casa que fabricaron las fracciones ¿Sabías que la planificación y
construcción de una casa requiere un montón de aritmética con fracciones
y decimales? Por ejemplo, los arquitectos que hacen los planos y los contratistas
que los leen necesitan saber cómo sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones
y números mixtos.
Piensa al respecto Los planos son dibujos detallados de la planta y de las vistas
anterior, posterior y laterales de un edificio. Aquéllos vienen precisados según una
cierta escala. Por ejemplo, 14 de pulgada en un plano puede equivaler a un pie en la
casa real. Supongamos que una arquitecta
quiere representar un piso que
mide 12 pies por 14 pies.
¿Qué dimensiones
debe usar en
el dibujo?
Carta a la familia
Estimados alumno(a) y familiares:
¡Vivimos en una era digital! Debido a esto, cada vez es más probable
que los números aparezcan en forma decimal y no como fracciones. Por
ejemplo, si la persona pronostica el tiempo anuncia que han caído 2.5
pulgadas de lluvia más de lo normal durante este mes, saben que se
refiere a 212 pulgadas. No obstante, aún es importante aprender a realizar
cálculos con fracciones porque se usan en muchas situaciones comunes,
especialmente en culinaria y en todos los asuntos relacionados con la
construcción. A continuación se muestran dos ejemplos:
• La receta para hornear galletas con chispas de chocolate pide 34
de taza de azúcar morena y quieren hacer el doble de galletas.
¿Cuánta azúcar deben usar?
• Supongamos que tienen una tabla de 3612 pulgadas y que cortan
un trozo que mide 638 pulgadas de largo. ¿Cuánta madera te les
sobra?
Durante las siguientes semanas aprenderán a sumar, restar, multiplicar
y dividir fracciones. Además, aprenderán a multiplicar y a dividir decimales. Los cálculos con decimales y fracciones pueden ser un poco
mañosos y se pueden cometer errores. Por eso, es importante que determinen si las respuestas que obtuvieron son razonables.
Vocabulario Hay un solo término nuevo que aprender durante este capítulo, la palabra recíproco. Usarán recíprocos en la división de fracciones.
¿Qué pueden hacer en el hogar?
Aprovechen cualquier circunstancia para estimular a su hijo(a) para que
piense y use fracciones y decimales, como por ejemplo:
• En la tienda de abarrotes, calculen el precio unitario (precio por
onza, por litro o por pieza) de diferentes marcas o diferentes
presentaciones del mismo artículo y decidan cuál es la mejor
compra.
• Calculen las cantidades correctas cuando duplican o reducen
una receta por la mitad.
• Trabajen con medidas, del sistema inglés o métricas, al medir
algo, al coser o al hacer trabajos de carpintería.
impactmath.com/family_letter
153
Suma y
resta
fracciones
Ya sabes cómo comparar fracciones y cómo hallar fracciones equivalentes.
Ahora vas a estudiar la adición y sustracción de fracciones. Tal vez ya sepas
cómo hacer esto con fracciones de igual denominador.
&
Piensa comenta
Resuelve mentalmente cada problema.
1
5
25 ____
5
7
1
3
____ 1
1 13 ____
27 ____
1
2
12 ____
____
_ 6 1
5
8
____ 1
1 38 ____
1 16 ____
2
Explica cómo sumar o sustraer fracciones de igual denominador.
Explica cómo hallar una fracción que sumada a otra fracción dé 1.
Explica cómo sustraer una fracción de 1.
Investigación 1
Suma y resta con
fichas de fracciones
Puedes usar fichas de fracciones y un tapete de fracciones para sumar y sustraer fracciones.
El cuadrado del
tapete de fracciones
es el todo. Representa 1.
1
154 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Las fichas de fracciones representan
fracciones del todo.
1
4
1
12
1
3
1
6
1
2
E J E M P L O
Una ficha de 12 y tres de 16 cubren
el cuadrado. Esto se puede escribir
mediante la ecuación de adición
1
2
1
2
M AT E R I A L E S
un juego de fichas de
fracciones y un
tapete de fracciones
36 1
1
6
1
6
1 36 12
1
2
1
6
Serie de problemas
1.
Al eliminar las tres fichas de 16 nos
queda una ficha de 12. Esto se
puede escribir mediante la
ecuación de sustracción
1
6
1
6
1
6
A
Escoge fichas de fracciones con dos denominadores distintos.
a.
Halla el mayor número posible de maneras de cubrir el cuadrado de
tu tapete de fracciones con esos dos tipos de fichas de fracciones. (La
redistribución de las mismas fichas en el tapete no cuenta como una
nueva forma de cubrir el cuadrado.)
Haz un bosquejo de cada combinación que descubras y escribe una
ecuación. Cada una de éstas debe ser la suma de dos fracciones
con resultado 1. Por ejemplo, la ecuación del ejemplo anterior es
1
3
1.
2
6
2.
b.
Escoge otro par de denominadores y busca maneras de cubrir el
cuadrado con esos dos tipos de fichas de fracciones. Conserva un
bosquejo y una ecuación de cada combinación.
c.
Continúa con este proceso hasta que creas haber hallado todos los
modos de cubrir el cuadrado con dos tipos de fichas de fracciones.
Cada ecuación de adición produce dos ecuaciones de sustracción.
En el ejemplo anterior, se eliminaron las fichas de 16 obteniéndose
1 36 12. Se podría haber eliminado en cambio la ficha de 12,
obteniéndose 1 12 36.
Escoge tres de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio 1
y, para cada una de ellas, escribe dos ecuaciones de sustracción
relacionadas.
3.
Halla ahora el mayor número posible de maneras de cubrir el cuadrado
con tres tipos distintos de fichas de fracciones. Conserva un bosquejo y
una ecuación de cada combinación.
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 155
Todas las sumas de la Serie de problemas A son iguales a 1. Puedes también
usar las fichas de fracciones para obtener sumas mayores que o menores que 1.
E J E M P L O
Usa fichas de fracciones para hallar 24 16.
Elige las fichas adecuadas y
disponlas en tu tapete de fracciones.
1
4
Busca un conjunto de idénticas fichas
de fracciones que cubran la misma
superficie. Podrías usar dos fichas 13. Así,
2 1 2
4
6
3
1
4
1
3
1
6
1
3
La ecuación de adición anterior tiene dos ecuaciones de sustracción
relacionadas.
2 2 1
3
4
6
M AT E R I A L E S
un juego de fichas de
fracciones y un
tapete de fracciones
Serie de problemas
1.
2.
156 C A P Í T U L O 3
2 1 2
3
6
4
B
Halla sumas menores que 1 combinando dos tipos distintos de fichas de
fracciones. Encuentra por lo menos seis combinaciones distintas.
a.
Haz un bosquejo de cada combinación que descubras y escribe una
ecuación de adición.
b.
Para cada ecuación que escribiste en la Parte a, escribe dos
ecuaciones de sustracción relacionadas.
Combina ahora dos tipos distintos de fichas de fracciones para formar
sumas mayores que 1. Halla por lo menos seis combinaciones distintas.
a.
Conserva un bosquejo y una ecuación de adición de cada
combinación.
b.
Para cada ecuación que escribiste en la Parte a, escribe dos
ecuaciones de sustracción relacionadas.
Usa fracciones y decimales
3.
M AT E R I A L E S
un juego de fichas de
fracciones y un
tapete de fracciones
Ahora vas a buscar un par de fracciones cuya suma sea 172 .
a.
Usa las fichas de 112 para cubrir 172 del cuadrado de tu tapete de
fracciones.
b.
Busca una combinación de dos tipos de fichas de fracciones que
cubran 172 del cuadrado. Conserva el resultado junto con un bosquejo
y una ecuación de adición.
c.
Escribe dos ecuaciones de sustracción correspondientes a la ecuación
de adición.
&
Comparte
resume
Considera la ecuación 23 14 1102 .
1. Explica
cómo pudieras usar fichas de fracciones para decidir si se
cumple la ecuación.
2. ¿Se
cumple la ecuación? Si no, sustituye una de sus fracciones para
obtener una que se cumpla.
Investigación 2
Suma y resta con
denominadores comunes
Tal vez ahora ya seas un experto en el uso de fichas de fracciones para
sumar y restar fracciones de denominadores distintos. Pero, ¿qué harías
si no tuvieras fichas de fracciones o si quisieras sumar fracciones con
denominadores distintos de 2, 3, 4, 6 ó 12?
M AT E R I A L E S
un juego de fichas de
fracciones y un
tapete de fracciones
Explora
Trata de hallar mentalmente esta suma:
16 34
¿Pudiste hacerlo? Si es así, ¿qué estrategia usaste? Si no, ¿en qué estriba
la dificultad del problema?
Sería mucho más fácil hallar la suma si las fracciones tuviesen el mismo
denominador.
Usa ahora fichas de fracciones, u otro método, para hallar dos fracciones
con el mismo denominador, una equivalente a 16 y la otra a 34. Luego
súmalas mentalmente.
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 157
C
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
un juego de fichas de
fracciones y un
tapete de fracciones
En esta serie de problemas, usa tus fichas de fracciones o cualquier otro
método que conozcas, para reescribir las fracciones.
1.
Escoge dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio 1
de la Serie de problemas A. Escribe cada ecuación de modo que los
sumandos tengan un denominador común. Comprueba que la suma sea
1. Por ejemplo,
1
3
182 1
→
4
12
182 1122 1
2.
Elige dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio 3
de la Serie de problemas A. Escribe cada ecuación de modo que los
sumandos tengan un denominador común. Comprueba que la suma sea 1.
3.
Escoge dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio 1
de la Serie de problemas B. Escribe cada ecuación, así como las dos
ecuaciones de sustracción relacionadas, usando un denominador común.
Comprueba que las ecuaciones estén correctas.
4.
Elige dos de las ecuaciones de adición que escribiste en el Ejercicio 2
de la Serie de problemas B. Escribe cada ecuación, así como las dos
ecuaciones de sustracción relacionadas, usando un denominador común.
Comprueba que las ecuaciones estén correctas.
Muchos de los ejercicios de la siguiente serie de problemas serían difíciles o
imposibles de resolver mediante fichas de fracciones. Usa lo que sabes sobre
denominadores comunes y fracciones equivalentes al escribir las sumas y
restas.
Serie de problemas
D
Escribe cada problema usando un denominador común y luego suma o resta.
Reduce las fracciones resultantes. Si el resultado es mayor que 1, escríbelo
como un número mixto.
Recuerda
Una fracción está
reducida si el único
factor común de su
numerador y
denominador es 1.
158 C A P Í T U L O 3
1
1. 2
78
2
2. 5
23
1
3. 9
56
4
4. 5
14
7
5. 8
23
5
6. 9
13
7.
Daniela tiene 12 bolsa
de tierra. Si ella usa
1
de ella para sembrar
3
semillas de flores,
¿cuánto queda en la
bolsa?
Usa fracciones y decimales
E J E M P L O
Jahmal, Marcus y Caroline están hablando de algunas de las estrategias que usan para hallar
denominadores comunes.
Yo usé el producto de
Cuando un denominador es un factor
los dos denominadores.
del otro, yo uso el número mayor
Luego, multipliqué ambas
como denominador común.
partes de cada fracción
Para
calcular 21 + 87 , yo usé 8.
entre el denominador
de la otra fracción.
2 2 2 3 2 5
1 5
5 3 5 3 3 5
9 6
Yo usé el mínimo
común múltiplo de los
denominadores, 18,
para calcular 91 + 65 .
1 2
9 2
5 3
6 3
2 15
18 18
1
2
7
8
1 4
2 4
4
8
7
8
7
8
A medida que vayas trabajando en la siguiente serie de problemas, podrías
intentar algunos de los médotos descritos en el ejemplo anterior.
Serie de problemas
E
Calcula cada suma o resta, mostrando cada paso de tu trabajo y reduciendo
cada resultado. Si éste es mayor que 1, escríbelo como número mixto.
1
1. 3
37
1
2. 4
39
4
3. 5
38
13
4. 2
7
29
7
5. 1
5
13 15
11
6. 1
2
38
7.
1 34 15
8.
13412 1271
9.
134 58
32
10. 7
5
3520
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 159
Un cuadrado mágico es un cuadriculado cuadrado de números en el que la
suma de cada fila, columna y diagonal es la misma. Éste tiene una suma
igual a 15.
8
1
6
3
5
7
4
9
2
F
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
• tarjetas de
fracciones
• cuadriculado de
3 por 3
Puedes inventar tus propios cuadrados mágicos usando un juego de tarjetas de
fracciones y un cuadriculado.
1.
Dispón estos números en un cuadrado mágico con suma 1. Hazlo en tu
cuadriculado.
1
15
2.
2
15
4
15
7
15
8
15
1
5
2
5
3
5
Dispón estos números en un cuadrado mágico con suma 12. Hazlo en tu
cuadriculado.
5
36
7
36
1
18
5
18
1
12
1
9
2
9
1
6
&
Comparte
resume
Usa un ejemplo para explicar los pasos que sigues al sumar o restar dos
fracciones con denominadores distintos.
160 C A P Í T U L O 3
1
3
Usa fracciones y decimales
1
4
Investigación 3
Suma y resta
números mixtos
En esta investigación, vas a aplicar lo que has aprendido sobre la adición y
sustracción de fracciones para resolver problemas con números mixtos.
Explora
Rosita está haciendo una caja
para poner sus lápices. Necesita
cinco trozos de madera: uno para el
fondo y cuatro para los lados. La
caja no tendrá tapa.
Rosita piensa cortar los cinco trozos de una larga tabla de madera que
mide 4 pulgadas de ancho y 58 de pulgada de espesor. Sus lápices nuevos
miden unas 712 pulgadas de largo. Rosita quiere que el largo interior
de la caja sea de 34 de pulgada más grande, de modo que sea fácil sacar
los lápices. Trazó esta vista superior de la caja. Todas las medidas
vienen en pulgadas.
5
8
5
8
4
7 12
3
4
5
8
5
8
• ¿Qué largos tendrá que cortar Rosita para el fondo, los extremos y los
lados de su caja? Da tus respuestas como fracciones o números mixtos, mostrando cómo hallaste aquéllas.
• ¿Cuál será el alto de la caja?
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 161
Serie de problemas
Datos
de
interés
La costura se originó
hace más de 20,000
años. Las primeras se
hicieron usando tendón
animal como hilo y
huesos o astas como
agujas.
G
1.
Supón que se corta un pedazo de madera de 678 pulgadas de largo de
una tabla de 3612 pulgadas. ¿Cuánta tabla queda? Explica cómo hallaste
tu respuesta.
2.
Juana necesita dos cintas rojas para un traje que está haciendo. Una
debe medir 213 pies de largo y la otra 312 pies de largo. ¿Qué largo total
de cinta necesita?
3.
Juana tiene una cinta azul de 612 pies de largo. Si corta 334 pies de ella,
¿cuánta cinta quedará?
4.
Juana tiene una cinta verde de 323 yardas de largo. Si corta 134 yardas de
ella, ¿cuánta cinta quedará?
Althea y Jing comparan sus soluciones al Ejercicio 4 de la Serie de
problemas G.
Yo traté de restar los enteros primero y luego las
3
2
fracciones, pero como 4 es mayor que 3 ,
no pude restar las fracciones.
Para restar 3 23 - 1 34 , yo
convertí ambos números
mixtos en fracciones.
3
-1
3
2
3
3
- 14 =
11
3
-
7
4
2
3
3
4
2
3
3
4
3
-1
2
Luego, vi que si convertía 3 23 en
2 35 , podía restar las partes
de las fracciones.
2
33
- 1 34
2
1
5
3
3
4
2
-1
&
Piensa comenta
Althea convirtió los dos números mixtos en fracciones. Completa su
solución.
Jing convirtió 332 en 235. Explica por qué estos números son iguales.
¿Cómo le permite esto hallar la solución?
Completa su solución.
162 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
5
3
3
4
Serie de problemas
Datos
de
Usa cualquier método para resolver estos ejercicios.
1.
interés
Para la mayoría de la
gente en el mundo, es
más fácil entender y
trabajar con decimales
que con fracciones. En
1997, la Bolsa de Nueva
York terminó con 200
años de tradición al
votar por la eliminación
paulatina del uso de
fracciones en sus
informes bursátiles.
H
Jahmal está siguiendo de cerca el desempeño de las acciones de
Amresco. El lunes, su valor de apertura fue de 1618. Durante la semana,
el valor cambió de la siguiente manera:
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
3
11
1
1
7
4
2.
8
4
2
8
a.
¿Cuál fue el valor de las acciones de Amresco al cierre el viernes?
b.
¿Cuánto ganaron o perdieron éstas durante la semana?
c.
¿Cuál fue el valor más alto y el más bajo de estas acciones durante la
semana? ¿Cuándo ocurrieron dichos valores?
Carlos, hermano de Miguel, mide 6912 pulgadas de alto. El año pasado
medía 6334 pulgadas. ¿Cuánto creció en un año?
Calcula cada suma o resta y reduce tus respuestas.
3.
378 214
4.
378 214
5.
613 534
6.
1334 81290
7.
22170 1334
8.
912 378
&
Comparte
resume
Vuelve a examinar los métodos de sustracción de números mixtos de
Althea y Jing.
1. ¿Para
qué tipos de problemas es preferible el método de Althea? Da
un ejemplo.
2. ¿Para
qué tipos de problemas es preferible el método de Jing? Da un
ejemplo.
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 163
Investigación
Usa una calculadora
de fracciones
de laboratorio
Muchas calculadoras te permiten ejecutar operaciones con fracciones y
números mixtos. En este laboratorio, vas a usar una calculadora para sumar o
restar fracciones.
M AT E R I A L E S
una calculadora
con atributos de
fracciones
Lo básico
Para ingresar una fracción:
• Ingresa el numerador.
• Oprime
/
.
• Ingresa el denominador.
Para ingresar un número mixto:
• Ingresa la parte entera.
• Oprime
UNIT
.
• Ingresa el numerador de la fracción.
• Oprime
/
.
• Ingresa el denominador de la fracción.
1.
Usa tu calculadora para hallar 14 123.
Si ingresas una fracción no reducida o si el cálculo resulta en una fracción tal,
la calculadora puede mostrar algo como N/D → n/d. Para reducir la fracción:
• Oprime
SIMP
.
• Ingresa un factor común del numerador y denominador.
• Oprime
ENTER
=
.
La calculadora dividirá el numerador y el denominador entre el factor especificado y mostrará el resultado. Si la fracción no está reducida aún, la calculadora volverá a mostrar N/D → n/d. En tal caso, repite los pasos anteriores
con otro factor común.
2.
164 C A P Í T U L O 3
180
Usa tu calculadora para escribir 210 en términos reducidos. Compara tu
respuesta con el estimado.
Usa fracciones y decimales
Para usar la calculadora en la conversión de fracciones en números mixtos
o viceversa:
3.
• Oprime
2 nd
• Oprime
ENTER
=
[Ab/cd/e].
.
Usa tu calculadora para convertir 357 en fracción y 4231 en número
mixto.
M AT E R I A L E S
Juega al Coordina fracciones
dos barajas de
cartas de Coordina
fracciones
Este es un juego de memoria para dos jugadores. He aquí las reglas:
• Escoge una de las barajas.
• Baraja las cartas y colócalas boca abajo en cinco filas de seis cartas
cada una.
• El primer jugador da vuelta dos cartas. Luego, si es necesario, usa tu
calculadora para determinar si los valores de las cartas son iguales.
• Si tienen el mismo valor, el jugador se queda con ellas y hace otro
intento. Si tienen valores distintos, las devuelve boca abajo y su turno
termina.
• Al terminar, jueguen con la otra baraja.
Al terminar, jueguen con la otra baraja.
¿Qué aprendiste?
4.
Describe paso a paso cómo usar la calculadora para hallar 21114 27.
5.
Diseña tu propia baraja de Coordina fracciones. Ésta debe tener por lo
menos 16 cartas. Prueba tu baraja jugando al Coordina fracciones con
un amigo o compañero de curso.
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 165
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Resuelve mentalmente cada problema.
3
1. 4
24 ____
5
4. 1
2
____ 112
12
2. 1
7
5.
147 ____
8
1
____ 9 9
3
1
3.
____ 8 8
6.
____ 11 11
7
5
Usa fichas de fracciones u otro método para llenar los espacios en blanco.
1
7. 4
____ 1
1
9. 1
2
26 ____ 14 1
1
8. 2
13 ____ 1
1
10. 6
152 ____ 13 1
1
11. 2
13 ____ 116
2
12. 3
1112 ____ 56
5
13. 6
13 12 ____ 2
1
14. 6
12 ____ 34
Usa fichas de fracciones u otro método para escribir cada suma o resta con un
denominador común. Luego halla la suma o resta y reduce tu resultado. Si
éste es mayor que 1, escríbelo como número mixto.
5
15. 6
12
11
16. 1
2
34
7
17. 6
13
13
18. 1
2
34
Calcula cada suma o resta y reduce tu resultado. Si éste es mayor que 1,
escríbelo como número mixto.
3
19. 8
23
25
21. 3
2
274
9
20. 2
2
130
8
22. 2
6
399
23.
En una hoja de papel, inventa un cuadrado mágico con suma 2 usando
los números 1112 , 34, 56, 12, 23, 152 , 13, 1 y 172 .
24.
En una hoja de papel, inventa un cuadrado mágico con suma 112 usando
los números 12, 14, 23, 16, 152 , 56, 13, 34 y 172 .
Calcula cada suma o resta, mostrando cada paso de tu trabajo y reduciendo el
resultado. Si éste es mayor que 1, escríbelo como número mixto.
166 C A P Í T U L O 3
25.
212 79
26.
1185 35
27.
10 25 413
28.
356 67
29.
314 113
30.
413 238
Usa fracciones y decimales
impactmath.com/self_check_quiz
31. Economía
fue de
&
amplía
Conecta
32.
914.
El lunes, el valor de apertura de las acciones de EdCorp
Durante la semana, éste cambió en las siguientes cantidades:
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
11
2
7
8
13
4
5
8
11
4
a.
¿Cuál fue el valor de las acciones de EdCorp al cierre el viernes?
b.
¿Cuánto ganaron o perdieron éstas durante la semana?
c.
¿Cuál fue el valor más alto y el más bajo de estas acciones durante la
semana? ¿En qué días se produjeron?
Cubre tu tapete de fracciones del mayor número posible de maneras
usando cuatro tipos distintos de fichas de fracciones.
a.
Escribe una ecuación para cada combinación que descubras.
b.
Describe la estrategia que usaste para hallar todas las ecuaciones
posibles.
Da la regla para encontrar cada término de la sucesión a partir del anterior y
luego úsala para hallar los términos que faltan. Usa el último para comprobar
tus respuestas.
33.
0, 14, 24, 34, ___, ___, ___, ___, 84
34.
0, 23, 43, 63, ___, ___, ___, ___, 136
24 21 18 15
35. 4, 4, 4, 4,
0
___, ___, ___, ___, 4
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 167
En los Ejercicios 34 al 61, usa esta
información:
Tarjeta del juego
Trabaja con fracciones
Trabaja con fracciones se juega con un
cubo numerado cuyas caras están marcadas con 21, 31, 41, 61, 81 y 112 . Cada
jugador tiene una tarjeta de juego dividida en 24 rectángulos iguales. Los
jugadores se turnan echando el cubo y
sombreando aquella fracción de la tarjeta.
Por ejemplo, si un jugador saca 21, debe
sombrear 12 de los 24 rectángulos.
Si la fracción que se sacó es mayor que la
fracción sin sombrear de la tarjeta, el
jugador no sombrea rectángulo alguno en
aquella vuelta. Gana el que primero sombrea todos los rectángulos de la tarjeta.
Recuerda
En un cuadrado mágico, la suma de cada
fila, columna y diagonal
es la misma.
168 C A P Í T U L O 3
36.
En sus dos primeros turnos, Caroline sacó 12 y 16. ¿Qué fracción
necesitaría sacar para ganar el juego en su próximo turno?
37.
En sus dos primeros turnos, Miguel sacó 13 y 112 . ¿Qué par de fracciones
necesitaría sacar para ganar el juego en dos turnos más?
38.
En sus tres primeros turnos, Conor sacó 81, 61 y 31, mientras que Jahmal
sacó 112 , 21 y 31. ¿Quién tiene la mayor posibilidad de ganar en su próximo turno? Explica por qué.
39.
En sus dos primeros turnos, Rosita sacó 12 y 13.
a. ¿Qué fracción necesitaría sacar para ganar en su próximo turno?
b. ¿Qué fracciones necesitaría sacar para ganar en dos turnos más?
c. ¿Qué fracciones le darían a Rosita una suma mayor que 1 en
su tercer turno?
40.
¿Cuál es el número mínimo de turnos que se requieren para ganar este
juego? ¿Qué fracciones debería sacar un jugador en ese número de
turnos?
41.
Luke obtuvo 12, 13 y 18. Dice que bien podría abandonar el juego pues no
tiene posibilidad de ganar. ¿Estás de acuerdo? Explica.
42.
Dispón los números 34, 23, 14, 1112, 152 , 13, 172 , 12 y 56 en un cuadrado
mágico. ¿Cuál es su suma?
43.
Dispón los números 1, 23, 56, 13, 12, 76, 32, 43 y 53 en un cuadrado mágico.
¿Cuál es su suma?
44. Reto
Inventa un cuadrado mágico con suma 1 y en el que los
denominadores de las fracciones sean factores de 24.
Usa fracciones y decimales
45.
En t u s
Dispón 1, 2, 3, 4 en las casillas para obtener la menor suma posible. Usa
cada número una sola vez.
propias
palabras
Explica por qué
no se suman
fracciones
sumando los
numeradores y los
denominadores.
_______
46.
Dispón 1, 2, 3, 4 en las casillas para obtener la menor diferencia positiva posible. Usa cada número una sola vez.
_______
47.
_______
Dispón 2, 3, 4 y 12 en las casillas para obtener la menor suma posible.
Usa cada número una sola vez.
_______
48.
_______
_______
Dispón 2, 3, 4 y 12 en las casillas para obtener la menor diferencia
positiva posible. Usa cada número una sola vez.
_______
_______
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 169
Da la regla para encontrar cada término de la sucesión a partir del anterior y
luego úsala para hallar los términos que faltan. Usa el último para comprobar
tus respuestas.
49.
125, 245, 415, 535, ____ , ____ , ____ , ____ , 1235
50.
324, 634, 10, 1314, ____ , ____ , ____ , ____ , 2924
51.
15, 1458, 1414, 1378, ____ , ____ , ____ , ____ , 12
52. Medición
Aquí se muestra parte de una regla.
0
Repaso
mixto
1
2
3
4
a.
¿Qué fracción de pulgada representa la división más pequeña
de esta regla? ¿Cómo lo sabes?
b.
¿Cómo podrías usar esta regla para hallar 118 156 ? Calcula
esta suma.
c.
¿Cómo podrías usar esta regla para hallar 214 156 ? Calcula
esta diferencia.
d.
¿Cómo podrías usar esta regla para hallar 212 152 ? Explica.
e.
¿Cómo podrías usar esta regla para hallar 38 1176 ? Explica.
Calcula cada cantidad.
1
53. 5
de 200
2
54. 6
de 120
3
55. 4
de 28
1
56. 4
de 0.4
1
57. 2
de 1
1
58. 2
de 12
1
59. 2
de 14
1
60. 2
de 18
Sentido numérico Halla una fracción entre cada par de fracciones dadas.
1
61. 3
y 12
1
62. 4
y 145
13
63. 1
6
64. Geometría
y 1112
Elige todos los términos que describen cada polígono:
cuadrilátero, pentágono, hexágono, cóncavo, simétrico, regular.
a.
170 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
b.
c.
65. Medición
Esta gráfica de barras muestra la distancia en avión entre
varias ciudades y Nueva York.
Ciudad
Distancias en avión a Nueva York
Acapulco
Pekín
Bombay
Ginebra
Hong Kong
Moscú
San Juan
Sydney
Tel Aviv
00
0
,0
10
0
00
9,
0
00
8,
0
00
7,
0
00
6,
0
00
5,
0
00
4,
0
00
3,
0
00
2,
00
1,
0
Distancia (en millas)
Fuente: New York Public Library Desk Reference. New York: Macmillan, 1998.
a.
¿Qué ciudad de la gráfica está más cerca de Nueva York? ¿Cuál es su
distancia aproximada?
b.
¿Qué ciudad de la gráfica está más lejos de Nueva York? ¿Cuál es su
distancia aproximada?
c.
La semana pasada, la Srta. Frankel voló de Nueva York a Ginebra por
asuntos de negocios, regresó a Nueva York y luego voló a Hong Kong
a visitar a un amigo. ¿Cerca de cuántas millas voló la semana pasada?
d.
¿Cerca de cuántas veces más lejos de Nueva York está Moscú
que San Juan?
Pagoda en
Hong Kong
LECCIÓN 3.1
Suma y resta fracciones 171
Multiplica
y divide
fracciones
En esta lección, vas a aprender a multiplicar y dividir fracciones.
Conforme trabajas en los problemas, tal vez sea útil tener en cuenta el
significado de la multiplicación y de la división y cómo estas operaciones
funcionan con los números enteros.
Explora
Trabaja en grupo para resolver estos problemas, tratando de hallar más
de una manera de resolverlos.
• Quieres servirles limonada a 20 personas. Cada vaso contiene 34 de
taza. ¿Cuántas tazas de limonada necesitas?
• Cultivaste 12 libras de arvejas. Regalaste algunas, quedándote con 23
de ellas. ¿Cuántas libras te quedan?
El problema que acabas de resolver se puede escribir con ecuaciones de
multiplicación. Escribe una ecuación de multiplicación para cada problema y explica por qué ésta corresponde a la situación.
Investigación 1
Multiplica fracciones por
números enteros
En esta investigación, vas a explorar más problemas que suponen multiplicación de fracciones. A medida que trabajas en los problemas, podrías probar
algunas de las estrategias que tú y tus compañeros usaron en la actividad.
172 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Serie de problemas
Datos
de
1.
interés
El extracto de vainilla
que se usa en recetas
se deriva de la orquídea
vanilla planifolia originaria de México, donde
la polinizan abejas y
colibríes. La planta se
debe polinizar a mano
en otras regiones del
mundo.
Supón que quieres hornear un
pastel de fracciones.
a.
b.
2.
3
4
1
2
1
2
1
2
Si quieres hacer uno para 12
personas, ¿cuánto de cada
ingrediente requieres?
Pastel de fracciones
(4 porciones)
de taza de azúcar
2 tazas de harina
de cucharadita de sal
1 cucharaditas de vainilla
Para cada ingrediente, escribe
una ecuación de multiplicación
que represente lo que hiciste en
la Parte a.
2 huevos
Calcula cada producto de cualquier manera.
1
a. 4
3.
A
20
b.
20 12
c.
20 34
3
d. 2
20
Describe las estrategias que usaste para hallar los productos del
Ejercicio 2.
&
Piensa comenta
Hannah y Jahmal multiplican números enteros por fracciones de
maneras distintas.
Hannah dice:
Multiplico el número entero por el numerador de la fracción y luego
divido el resultado entre el denominador.
Jahmal dice:
Hago todo lo contrario. Divido el número entero entre el
denominador de la fracción y luego multiplico el resultado por el
numerador.
Usa ambos métodos en las Partes a hasta la d del Ejercicio 2 anterior.
¿Funcionan?
Tal vez encuentres que algunos problemas de multiplicación son más
fáciles de resolver con el método de Hannah y otros son más fáciles de
resolver con el de Jahmal. Para cada uno de estos problemas, indica el
método que creas más fácil de usar.
7 154
3
4
8
10 376
9
10
5
Estos métodos también funcionan al multiplicar una fracción por
un decimal.
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 173
Serie de problemas
Datos
de
Usa el método de Hannah o el de Jahmal, o uno propio, para resolver estos
ejercicios. Muestra cómo hallas tus resultados.
1.
interés
En Suiza, donde se
inventó el chocolate
con leche en 1876,
se consume más
chocolate que en
ningún otro país:
más de 20 libras por
persona al año.
B
Una receta con cocoa para una persona requiere de 34 de taza de leche.
Indica cuánta leche se necesita para los siguientes números de personas.
a.
2.
c.
5
d.
6
b.
de libra
8 onzas
c.
d.
4 onzas
b.
yardas
112 pies
Serie de problemas
c.
8 pulgadas
C
Completa cada tabla de multiplicar.
24
1
2
12
120
60
72
2
3
1
4
15
3
4
2.
180
1
5
36
60
1
2
200
1
4
30
120
3
2
36
64
3
8
96
54
20
174 C A P Í T U L O 3
120
30
2
3
3.
112 libras
En Fiona’s Fabrics, la cinta escocesa cuesta $0.72 la yarda. Calcula el
precio de cada longitud de ella.
2
a. 3
1.
8
El dulce de azúcar cuesta $5.80 la libra. Calcula el costo de cada cantidad de dulce de azúcar usando 16 onzas 1 libra.
3
a. 4
3.
b.
3
Usa fracciones y decimales
100
d.
134 yardas
&
Comparte
resume
1. Inventa
un problema verbal que pueda resolverse multiplicando un
número entero por una fracción. Explica cómo resolverlo.
cálculo se necesita para hallar los 34 de 6 pulgadas? ¿Cuánto
es 34 de 6 pulgadas?
2. ¿Qué
Investigación 2
Un modelo del
producto de fracciones
Puedes imaginar el producto de dos números enteros trazando un rectángulo
cuyas dimensiones sean los números. El área del rectángulo es su producto.
Este rectángulo representa 4 6:
6
Recuerda
El área de un rectángulo
es su largo por su
ancho.
4 6 24
4
Puedes representar el producto de un número entero por una fracción de la
misma manera. La parte sombreada de este dibujo representa el producto
1
6:
2
6
1
&
Piensa comenta
¿Cuál es el área de cada rectangulito del dibujo anterior?
¿Cuántos rectangulitos aparecen sombreados?
Usa las respuestas a las preguntas anteriores para hallar el área total de lo
sombreado. Explica por qué es igual a 12 6.
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 175
Serie de problemas
1.
2.
D
Considera este diagrama.
6
a.
¿El producto de qué par de
números muestra la región
sombreada?
b.
¿Cuál es el área de cada rectangulito? ¿Cuántos de ellos aparecen
sombreados?
c.
Usa tus respuestas a la Parte b para calcular el área total de lo sombreado.
d.
Escribe una ecuación de multiplicación para representar el producto
de los números de la Parte a.
1
Puedes usar diagramas similares para
representar el producto de dos fracciones.
La parte sombreada de este diagrama
representa el producto 23 34.
1
1
a.
¿Cuáles son las dimensiones de toda la
figura?
b.
Examina toda la región sombreada.
¿Cuál es su alto? ¿Cuál es su ancho?
c.
Usa tus respuestas a la Parte b para explicar por qué el área de la
región sombreada es 23 34.
d.
¿Cuál es el área de cada rectangulito? ¿Cuántos de ellos aparecen
sombreados?
e.
Usa tus respuestas a la Parte d para calcular 23 34.
Traza un diagrama como el del Ejercicio 2 para representar cada producto.
Luego usa el dibujo para hallarlo, dando tu respuesta en forma de una
ecuación de multiplicación (por ejemplo, 23 34 162 ).
3.
6.
176 C A P Í T U L O 3
1
1
2
3
4.
3 3
5 4
5.
1 5
* 2 6
Vuelve a examinar tus diagramas y ecuaciones de los Ejercicios 3 al 5.
¿Puedes descubrir un atajo para multiplicar fracciones sin trazar un
diagrama? Si es así, úsalo para hallar 74 32. Luego traza un diagrama
para ver si funcionó tu atajo.
Usa fracciones y decimales
&
Piensa comenta
Tal vez te hayas dado cuenta del siguiente atajo para multiplicar dos
fracciones:
El producto de dos fracciones es el producto de los numeradores sobre
el producto de los denominadores.
Usa uno de los diagramas de rectángulos de la Serie de problemas D
para explicar por qué funciona este atajo.
Serie de problemas
E
Usa el atajo ya descrito para hallar cada producto. Escribe tu resultado en la
forma original y reducida.
3 1
5
4
2 3
4. 3 7
1 2
6 3
2 1
5. * 3 8
1.
7.
2.
4 5
5
8
2 3
6. 3 8
3.
Rob quiere hacer un pequeño
herbario en su patio trasero.
El espacio que le asignó es un
cuadrado de 78 de metro por
lado. ¿Cuál será el área
de este herbario?
&
Comparte
resume
Haz un dibujo que represente el producto de dos fracciones que no hayas
multiplicado juntas en esta investigación. Explica cómo el dibujo muestra
el producto.
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 177
Investigación 3
Más multiplicación
de fracciones
En la última investigación, hallaste un atajo para multiplicar fracciones. Ahora
vas a estudiar productos con números mixtos.
E J E M P L O
Este diagrama ilustra 112 2.
Cada sección sombreada aparece
marcada con su área. El área total es
1 1 12 12 3, así que
112 2 3
Serie de problemas
2
1 12
1
1
1
2
1
2
F
Traza un diagrama para ilustrar cada producto y luego úsalo para hallarlo.
Da tu respuesta como una ecuación de multiplicación.
1.
112 13
2.
112 212
3.
Marcus sugirió este atajo para multiplicar números mixtos:
Multiplica los enteros, multiplica las fracciones y suma ambos
resultados.
Prueba el método de Marcus para hallar los productos de los
Ejercicios 1 y 2. ¿Funciona?
4.
Miguel sugirió este atajo para multiplicar números mixtos:
Convierte los números mixtos en fracciones y multiplica.
Prueba el método de Miguel para hallar los productos de los
Ejercicios 1 y 2. ¿Funciona?
178 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Ya que hay varios cálculos en la multiplicación de dos números mixtos, es
bueno estimar el producto antes de multiplicar.
&
Piensa comenta
Considera este problema:
113 523
Antes de multiplicar, estima el producto. Explica cómo hallaste
el resultado.
Ahora convierte ambos números mixtos en fracciones y multiplica.
Compara tu resultado con tu estimación.
Serie de problemas
G
En los Ejercicios 1 al 6, completa las Partes a y b.
a.
Estima el producto.
b.
Estima el producto, mostrando todos tus pasos y da el resultado como
número mixto. Si tu resultado está lejos de tu estimación, revisa tus
cálculos.
1.
138 212
2.
313 85
1
3. 4
4.
312 * 123
5.
923 112
6.
7.
Wei-Ling quiere poner papel mural en dos paredes de la cocina. Una de
las paredes mide 1112 pies por 812 pies y la otra mide 1523 pies por 812
pies. ¿Cerca de cuántos pies cuadrados de papel mural necesita? Estima
y luego calcula.
LECCIÓN 3.2
835
214 78
Multiplica y divide fracciones 179
Después de multiplicar fracciones o números mixtos, a veces hay que reducir
el producto. Se puede ahorrar tiempo si se reduce antes de multiplicar. Para
esto, debes ver si el numerador de cada fracción comparte un factor con el
denominador de la otra.
E J E M P L O
Multiplica 13 34.
Observa que 3 es factor del denominador de 13 y del numerador de 34.
1
3
13
3
4
34
3
1
3
4
1
1 4
1
4
Escribe como el producto de
numeradores sobre el producto de
denominadores.
Agrupa los factores comunes para obtener
una fracción igual a 1.
Reduce.
Calcula 23 196 .
Nota que 2 es factor de 2 y 16 y 3 es factor de 3 y 9. Así como en el
ejemplo anterior, agrupa estos factores comunes para obtener una
fracción igual a 1.
9
29
2
16
3 16
3
233
328
23
3
23
8
1 3
8
3
8
180 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Escribe como el producto de
numeradores sobre el producto de
denominadores.
Escribe 9 como 3 3 y 16 como 2 8.
Agrupa los factores comunes para
obtener una fracción igual a 1.
Reduce.
Serie de problemas
H
En los Ejercicios 1 al 6, calcula el producto de dos maneras:
• Multiplica las fracciones y luego reduce.
• Reduce y luego multiplica.
Muestra todos tus pasos.
3
1. 5
165
7
4. 1
2
5
2. 6
130
3
5. 1
0
35
23
1
3. 8
23
1
6. 2
245
56
Calcula cada producto.
3
7. 8
176
2
8. 3
78
2
9. 5
4
10. 5
34
1
11. 5
112
4
12. 5
13.
5136
Mali quiere preparar pasta de fracciones
suficiente para seis porciones.
Reescríbele la receta.
Pasta de fracciones
(5 porciones)
1 tazas de caldo de verduras
12
2
3
3
4
5
6
1
3
de taza de zanahorias en cubitos
de taza de puntas de espárragos
de taza de arvejas
1 libras de pasta
2 cucharadas de aceite de oliva
1 16 tazas de parmesano
&
Comparte
resume
1. Explica
cómo multiplicar dos números mixtos. Indica cómo puedes
usar aproximaciones para decidir si tu resultado es razonable.
cómo hallarías el producto 34 89, reduciendo antes de
multiplicar.
2. Explica
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 181
Investigación 4
Divide números enteros
entre fracciones
Ya sabes sumar, restar y multiplicar fracciones. Ahora vas a aprender a dividir
un número entero entre una fracción.
Explora
Trabaja en grupo para resolver los siguientes problemas. Trata de encontrar más de una manera de resolverlos.
Datos
de
• Supón que tienes cinco manzanas para compartir con tus amigos. Si
divides cada una en dos, ¿cuántas mitades tendrás para compartir?
interés
Las manzanas
pertenecen a la familia
de las rosas. En el
mundo entero se
cultivan más de 7,500
variedades de manzana,
incluyendo las 2,500
que se cultivan en
Estados Unidos.
• Quedan 10 tazas de ponche en la ponchera. Si cada vaso contiene 23
de taza de ponche, ¿cuántos vasos puedes llenar?
Estos problemas pueden escribirse como ecuaciones de división. Escribe
una ecuación de división para cada problema, explicando por qué la
ecuación corresponde al problema.
Caroline y Marcus resolvieron de maneras distintas el segundo problema.
Yo pensé: "¿Cuántos 32 hay en 10?" Dibujé 10 rectángulos
y los dividí en tercios. Luego, formé grupos
2
de 3 . Finalmente, conté 15 grupos.
Yo tracé una recta numérica de 0 a 10 y
marqué tercios en ella. Después, conté los
intervalos de 23 . Había 15 intervalos.
0
182 C A P Í T U L O 3
1
2
3
Usa fracciones y decimales
4
5
6
7
8
9
10
Serie de problemas
I
Usa el método de Caroline o el de Marcus para hallar cada cociente. Prueba
cada método por lo menos una vez.
1.
5 13
2.
6 16
3.
4 23
4.
8 45
5.
3 36
6.
5 56
Cada problema de multiplicación tiene dos problemas de división relacionados. He aquí dos ejemplos:
Problema de
multiplicación
2 10 20
1
40 20
2
Problemas de
división relacionados
20 10 2
20 2 10
1
20 40 2
20 12 40
Puedes usar esta idea para resolver problemas de división con fracciones.
E J E M P L O
Divide 20 14.
El cociente es el número que llena el espacio en blanco en esta ecuación
de división:
20 14 ___
Puedes calcular el cociente pensando en el problema de multiplicación
relacionado:
1
4
___ 20
Ahora pregúntate: “¿Cuál es el número cuyo cuarto es igual a 20”? El
número es 80, así que 20 14 80.
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 183
J
Serie de problemas
Llena los espacios en blanco en cada par de ecuaciones relacionadas.
1.
15 12 ____
2.
20 23 ____
1
2
2
3
____ 15
____ 20
Calcula cada cociente escribiendo y resolviendo una ecuación de multiplicación relacionada.
3.
20 15 ____
4.
14 23 ____
5.
15 35 ____
6.
12 34 ____
Todos los cocientes que has hallado hasta aquí son números enteros. Huelga
decir, esto no es siempre así. Calcula cada cociente siguiente usando
cualquier método. Explica cómo hallaste el resultado.
7.
3 25 ____
8.
Serie de problemas
7 34 ____
K
Usa el método que prefieras para completar cada tabla de división. Cada
entrada es el resultado de dividir el primer número de esa fila entre el número
de la parte superior de esa columna. Conforme trabajas, busca patrones que te
pudieran permitir completar la tabla sin calcular cada cociente.
1.
1
3
2
3
3
3
1
4
2
4
3
4
4
4
1
5
2
5
3
5
4
5
6
4
2
2.
12
18
24
3.
24
18
9
184 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
5
5
4.
¿Qué patrones descubriste a medida que completabas cada tabla?
5.
Supón que sabes que 16 13 48. Describe una manera rápida de calcular 16 23. ¿Cuánto es 16 23?
6.
Supón que sabes que 15 14 60. Describe una manera rápida de calcular 15 24 y 15 34. ¿Cuáles son los resultados?
7.
Usa el hecho que 15 15 75 para calcular cada cociente.
a.
15 25
b.
15 35
c.
15 45
&
Comparte
resume
cómo calcular 6 23 usando una ecuación de multiplicación
relacionada.
1. Describe
2.
Describe otro método para calcular 6 23.
Investigación 5
Divide fracciones
entre fracciones
En la última investigación, estudiaste cómo dividir un número entero entre
una fracción. Puedes usar el mismo método para dividir una fracción entre
una fracción, pero puede volverse mucho más difícil.
Explora
Divide 58 14 usando un dibujo, una recta numérica u otro modelo,
para calcular cuántos 14 hay en 58.
Encuentra 58 14 escribiendo una ecuación de multiplicación
relacionada.
Ahora trata de usar uno de estos métodos para hallar 23 35.
(Advertencia: ¡No es fácil!) Si das con la respuesta, explica cómo la
encontraste.
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 185
Tal vez te hayas dado cuenta que es difícil usar los métodos conocidos para
calcular 23 35 en la actividad. Afortunadamente existe un método más fácil
para dividir fracciones. Para entender cómo funciona, necesitas usar dos
hechos que ya conoces.
Datos
de
interés
El símbolo de división
se llama óbelo. La
palabra proviene del
vocablo griego obelos,
que significa “punta.”
La palabra obelisco,
un pilar piramidal de
cuatro caras iguales,
tiene un origen
semejante.
Hecho 1: Las divisiones se pueden escribir como fracciones. Por ejemplo,
2 3 se escribe 23.
Hecho 2: El valor de una fracción no cambia al multiplicar su numerador y
denominador por el mismo número.
E J E M P L O
Calcula 34 23.
Empieza usando el primer hecho mencionado para escribir la división
como fracción.
3
4
2
3
Esta fracción parece complicada, pero la puedes simplificar usando el
segundo hecho mencionado.
Debes multiplicar el numerador y el denominador por un número que los
cambie ambos a números enteros. Puedes usar cualquier múltiplo común
de 4 y 3, como 12, por ejemplo.
3 12
4
1
2 12
3
1
36
4
24
3
9
8
Así, 34 23 98 ó 118.
Es siempre aconsejable comprobar el resultado multiplicando.
2
3
El resultado es el correcto.
186 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
98 1284 34
Serie de problemas
L
Usa el método descrito en el ejemplo para hallar cada cociente. Muestra todos
los pasos.
7
1. 8
23
5
2. 6
14
3.
5 38
1
4. 4
34
2
5. 5
4
6.
113 45
Completa cada espacio en blanco con mayor que, menor que o igual a. Da un
ejemplo que ilustre la oración ya completada.
7.
Al dividir una fracción entre una fracción mayor, el cociente es
__________________ 1.
8.
Al dividir una fracción entre una fracción menor, el cociente es
__________________ 1.
Muchos usan un atajo al dividir fracciones. Los patrones del siguiente Piensa y
comenta te permitirán entender el atajo y por qué funciona.
&
Piensa comenta
Calcula cada producto mentalmente y describe cualquier patrón que
adviertas en los problemas y sus resultados.
3
4
43
2
15
125
5
8
85
25
100
100
25
Ahora calcula estos productos. ¿En qué se parecen a los anteriores?
1
4
1
20
4
20
LECCIÓN 3.2
1
6
1
100
6
100
Multiplica y divide fracciones 187
V O C A B U L A R I O
recíproco
Dos números cuyo producto es 1 se llaman recíprocos mutuos. Todos los
números poseen un recíproco, excepto 0. Puedes hallar el recíproco de una
fracción intercambiando su numerador y denominador. A continuación se
muestra un atajo para dividir fracciones.
Para dividir una fracción entre otra, multiplica la primera por el recíproco de
la segunda.
E J E M P L O
Divide 57 1102 .
Para calcular 57 1102 , multiplica 57 por el recíproco de 1102:
1
2 6
0 6
5 10 5 7
12
7
10
70
7
Para ver por qué funciona el atajo, escribe la división como fracción y
multiplica tanto el numerador como el denominador por el recíproco del
denominador. El nuevo denominador se hace igual a 1.
5
5 12
5 12
7
7
10
7
10
5
12
10 12 57 1120
7
10
1
0
1
12
12
10
Así, 57 1102 57 1120.
M
Serie de problemas
Calcula cada cociente usando cualquier método.
3
1. 2
96
2
2. 5
52
1
3. 8
19
Estima si cada cociente será mayor que, menor que o igual a 1 y luego hállalo.
3
4. 5
7.
34
5.
2 35
2
6. 3
1 312
8.
312 27
9.
56
412 214
&
Comparte
resume
1. Describe
dos métodos para dividir una fracción entre otra.
2. Escribe
dos problemas de división de fracciones: uno con un cociente
mayor que 1 y otro con uno menor que 1.
188 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
Datos
de
1.
Caroline está cosiendo un traje con 42 cintitas en él. Cada cinta mide 13
de yarda de largo. ¿Cuántas yardas de cinta necesita?
2.
Caroline está cosiendo un traje de un modelo que requiere 4 yardas de
tela. Como el traje es para un niño, debe reducir todas las medidas a 23
de las dadas en el modelo. ¿Cuántas yardas de tela debería comprar?
3.
Considera esta tabla de productos.
a.
interés
La primera máquina
de coser viable se
construyó a mediados
del siglo XIX y sólo
cosía en línea recta.
Las máquinas de coser
modernas vienen
equipadas a menudo
con tecnología
informática. Por
ejemplo, con escáneres
que pueden captar una
imagen y reproducirla
en una versión bordada
en tela.
4.
Copia la tabla y escribe el resultado de
cada multiplicación en la segunda
columna.
b.
¿Qué patrones adviertes en los
problemas y los resultados?
c.
¿Cuáles serían los dos problemas y
resultados siguientes?
Problema
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4
Resultado
10
10
10
10
10
10
10
10
Considera esta tabla de productos.
a.
b.
c.
Copia la tabla y escribe el resultado de
cada multiplicación en la segunda
columna.
¿Qué relaciones adviertes entre la
fracción de cada problema y el
resultado?
Si cambiases los problemas de modo
que el numerador de cada fracción
fuera 2 en vez de 1, ¿cómo afectaría
esto los productos?
impactmath.com/self_check_quiz
LECCIÓN 3.2
Problema Resultado
1
30
1
20
1
15
1
12
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
60
60
60
60
60
60
60
60
60
Multiplica y divide fracciones 189
5.
6.
Considera el producto 34 8.
a.
Traza un rectángulo que lo represente.
b.
¿Cuál es el área de cada rectangulito de tu rectángulo? ¿Cuántos
rectangulitos aparecen sombreados?
c.
¿A qué es igual 34 8?
Considera el producto 23 45.
a.
Traza un rectángulo que lo represente.
b.
¿Cuál es el área de cada rectangulito de tu rectángulo?
¿Cuántos rectangulitos aparecen sombreados?
c.
¿A qué es igual 23 45?
Calcula cada producto y reduce el resultado.
7 2
8
5
3
0
15
10. 50
20
2 7
3 12
4 7
11. 7 9
7.
13.
6 2
3
11
1
3
5
12. * 15 6
8.
9.
Copia y completa esta tabla de multiplicar y da cada resultado como
fracción y como número mixto. Se da uno de los resultados.
112
112
9
4
223
334
214
212
312
Calcula mentalmente cada producto, reduciendo antes de multiplicar.
14.
18.
190 C A P Í T U L O 3
3 8
4
9
Considera
esta tabla de
multiplicar:
15.
2 3
3 8
16.
2
3
3 4
5
9
113
1
2
17.
2
a.
Cópiala y
1
complétala,
4
reduciendo los
1
resultados y
8
escribiendo
como número mixto los que sean mayores que 1.
b.
¿Qué patrones y relaciones adviertes en la tabla?
Usa fracciones y decimales
223
2 5
5 9
313
Llena cada espacio en blanco.
2
19. 3
22.
23.
___ 20
2
20. 3
___ 15
2
21. 3
___ 10
En las Partes a hasta la f usa cualquier método.
a.
¿Cuántos 14 hay en 16?
b.
¿Un 14 de qué número es 16?
c.
¿Cuántos 23 hay en 16?
d.
¿Un 23 de qué número es 16?
e.
¿Cuántos 43 hay en 16?
f.
¿Un 43 de qué número es 16?
g.
¿Cuál es la relación entre las Partes a y b? ¿La c y la d? ¿La e y la f?
Explica por qué esto tiene sentido.
Calcula el primer cociente y úsalo para estimar el segundo. Comprueba
tus resultados multiplicando.
a.
14 13
14 23
b.
5 58
15 58
c.
6 15
6 35
d.
6 37
24 37
Llena cada espacio en blanco.
2
24. 3
____ 1
25.
____ 18 1
5
28. 3
26.
112 23 ____
29.
212 45 ____
27.
___ 118 1
30.
En las Partes a hasta la f, estima si el cociente será mayor que, menor
que o igual a 1. Luego calcúlalo, dejando los resultados mayores que 1
en forma de fracción.
____ 1
1 2
3
5
7
3
c. 8
4
1
1
e. 5
7
2 1
5
3
3
7
d. 4
8
1
1
f. 7
5
a.
g.
b.
Examina los problemas y resultados a las Partes a hasta la f. ¿Cuál es
la relación entre las Partes a y b? ¿La c y la d? ¿La e y la f? Explica
por qué esto tiene sentido.
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 191
Calcula cada cociente, reduciendo los resultados y escribiendo como número
mixto los que sean mayores que 1.
31.
712 112
9
34. 8
37.
&
amplía
Conecta
213 313
313 34
33.
223 85
1
100
36.
513 223
18 412
39.
712 412
8
35. 1
0
38.
Sinopsis Calcula cada factor que falta.
1
40. 3
____ 60
2
41. 3
____ 60
1
42. 5
____ 60
2
43. 5
____ 60
3
44. 5
____ 60
4
45. 5
____ 60
Rosita pagó $8 por un CD descontado en un 13.
¿Cuánto ahorró?
46. Economía
Datos
de
47. Ciencias biológicas
interés
El zoológico de St. Louis tiene unas 700
especies animales.
El primer zoológico
moderno fue el Imperial
Managerie en el palacio
Schönbrunn de Viena, el
que abrió sus puertas
al público en 1765. El
National Zoological
Park en Washington DC
fue el primer zoológico
creado para preservar
especies en peligro de
extinción.
192 C A P Í T U L O 3
23
32.
a.
El zoológico de Detroit tiene 25 de las especies del zoológico de
St. Louis. ¿Cerca de cuántas especies tiene el zoológico de Detroit?
b.
El zoológico de Toronto tiene 2730 menos especies que el zoológico de
St. Louis. ¿Cerca de cuántas especies tiene el zoológico de Toronto?
Usa fracciones y decimales
El tapir, animal de
Centroamérica, Sudamérica
y del Sudeste asiático.
Para cada enunciado, indica si es verdadero o falso.
2
48. 3
de 300 34 de 200
1
49. 3
de 150 12 de 100
2
50. 3
de 300 12 de 400
2
51. 3
de 100 13 de 200
52. Economía
La semana pasada, Sal’s Shoe Emporium realizó su
liquidación semestral. Todas las botas de invierno estaban rebajadas a 45
de su precio original. Esta semana, los precios de liquidación de las
botas sobrantes se rebajaron a la mitad. ¿Qué fracción del precio original es este nuevo precio de liquidación?
53.
Usa lo que has aprendido sobre la multiplicación de fracciones para
explicar por qué la multiplicación del numerador y denominador de una
fracción por el mismo número no cambia su valor. Da ejemplos si contribuyen a tu explicación.
54. Medición
milla por
4
7
La finca equina Danson es un rectángulo que mide 35 de
de milla.
a.
¿Cuál es su área?
b.
Hay 640 acres en una milla cuadrada. ¿Cuál es el área de la finca
en acres?
55. Medición
Completa esta tabla, cuya columna izquierda muestra la
lista de ingredientes de un pastel de especias para 12 personas,
calculando la cantidad requerida de cada ingrediente para los números
dados de personas.
12 personas
214
113
Harina
Azúcar
Sal
3
4
Pasas
6 personas
4 personas
2 personas
tazas
tazas
de cucharadita
112 barras
Mantequilla
Jengibre
10 personas 8 personas
1
2
de cucharadita
2
3
de taza
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 193
56.
En las Partes a y b, usa los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
_______
57.
_______
a.
Llena cada casilla con uno de los números dados para obtener el
mayor producto posible. Usa cada número una sola vez.
b.
Llena cada casilla con uno de los números dados para obtener el
menor producto posible. Usa cada número una sola vez.
c.
Escoge cuatro números enteros distintos y repite las Partes a y b
con ellos.
Considera esta tabla de multiplicar:
412
1
2
214
214
118
9
16
9
32
112
212
312
58.
194 C A P Í T U L O 3
a.
Copia la tabla y usa lo que sabes de la multiplicación de fracciones y
patrones de números para completarla. Trata de hacer un mínimo de
cálculos con lápiz y papel.
b.
Describe el patrón de la tabla conforme lees sus filas de izquierda a
derecha.
c.
Describe el patrón de la tabla a medida que lees sus columnas de
arriba abajo.
Rosita compró 6 yardas de cinta para un proyecto de costura.
a.
Si quiere cortar la cinta en tiras de medio pie de largo, ¿cuántas
obtendrá?
b.
¿Qué cálculos hiciste para resolver la Parte a?
c.
Rosita decide en cambio cortar tiras de 23 de pie de largo. ¿Cuántas
tiras obtendrá?
d.
¿Qué cálculos hiciste para resolver la Parte c?
Usa fracciones y decimales
59.
Hannah inventó adivinanzas sobre las edades de ciertas personas de su
familia. Intenta resolverlas.
a.
Mi hermano Tim tiene 34 de la edad de mi prima Janice. Si Tim tiene
15 años, ¿cuál es la edad de Janice?
b.
Para hallar la edad de mi abuelo Henry, divide la de mi tía Carol
entre 45 y luego suma 10. Si mi tía Carol tiene 40 años, ¿cuál es la
edad de mi abuelo Henry?
c.
Hoy día mi tío Mike cumple 42 años. Tiene 23 de la edad de su padre
y 73 de la de su hija. ¿Cuáles son las edades de su padre e hija?
60. Medición
En este ejercicio, usa lo siguiente:
1 taza 8 onzas
1 cuarto 4 tazas
1 galón 4 cuartos
a.
Conor tiene 3 galones de limonada para su fiesta. Si sirve en vasos de
3
de taza, ¿cuántos vasos puede servir?
4
b.
¿Qué cálculos hiciste para resolver la Parte a?
c.
Si, en cambio, Conor sirve en vasos de 4 onzas, ¿cuántos vasos
puede servir?
d.
¿Qué cálculos hiciste para resolver la Parte c?
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 195
61.
Considera esta tabla de dividir:
1
2
1
4
1
16
1
8
1
32
1
64
1
2
1
4
1
8
3
2
3
4
3
8
a.
Copia la tabla y usa lo que sabes de la división de fracciones y
patrones de números para completarla. Intenta hacer un mínimo de
cálculos con lápiz y papel.
b.
Describe el patrón de la tabla conforme lees sus filas de izquierda a
derecha. Explica por qué se produce este patrón.
c.
Describe el patrón de la tabla a medida que lees sus columnas de arriba abajo. Explica por qué aparece este patrón.
Para cada enunciado, indica si es verdadero o falso. Si es falso, da el cociente
correcto.
9
62. 1
2
64.
En t u s
propias
196 C A P Í T U L O 3
1
63. 4
192 23
312 74 2
7
65. 4
312 12
10
66. 4
palabras
¿Qué métodos
prefieres al multiplicar fracciones?
¿Qué métodos
prefieres al dividir
fracciones? Explica
por qué escogiste
cada método.
14 3
140 1
4
67. 1
0
140 1
3
69. 5
78 * 15 125
Evalúa cada expresión.
1
68. 2
70.
34 12 56
En las Partes a y b, usa los números 2, 4, 6, 8, 10 y 12.
_______
a.
_______
Llena cada casilla con uno de los números dados para obtener el
mayor cociente posible. Usa cada número una sola vez.
Usa fracciones y decimales
71.
b.
Llena cada casilla con uno de los números dados para obtener el
menor cociente posible. Usa cada número una sola vez.
c.
Escoge cuatro números enteros distintos y repite las Partes a y b
con ellos.
Explica cómo resolverías el siguiente problema sin hacer cálculo
alguno. Da el resultado y compruébalo realizando el cálculo.
56 47 47 56
Repaso
mixto
Calcula cada suma o resta.
72.
567 1154
5
74. 9
11
73. 1
2
173
75.
76.
258 134
78.
¿Cuántas veces 0.024 es 24,000?
79.
¿Qué fracción de 564 es 0.564?
80. Geometría
158
3 13712
7
77. 8
172 176
Da el par ordenado de cada punto de este cuadriculado.
7
6 E
5
4 A
D
F
3
2
B
1
C
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Halla el opuesto de cada número.
81.
4.2
14
84. 1
7
82.
0.32
83.
184
85.
1213
86.
0.0041
Escribe lo sombreado de cada figura como fracción reducida y como decimal.
87.
88.
LECCIÓN 3.2
Multiplica y divide fracciones 197
Multiplica
y divide
decimales
El cálculo de la propina en una cuenta de restaurante, la conversión de medidas, el cálculo de las longitudes de un modelo a escala y el canje de divisas
son sólo algunas de las actividades que suponen multiplicación y división de
decimales. En esta lección, vas a aprender a multiplicar y dividir decimales y
a aproximar para determinar si tus resultados son razonables.
&
Piensa comenta
Llena el espacio en blanco con un número entero
o un decimal de modo que el producto sea
16 ____
• mayor que 100.
• mayor que 32, pero menor que 100.
• por lo menos 17, pero menor que 32.
• igual a 16.
• mayor que 8, pero menor que 16.
• menor que 8, pero mayor que 0.
Investigación 1
Multiplica números enteros
por decimales
Aun cuando no puedas tal vez multiplicar mentalmente 172 97, sabes que
el producto es mayor que 172 y que 97. De hecho, al multiplicar dos números
mayores que 1, el producto es mayor que cualquiera de ellos.
En el siguiente problema, vas a explorar lo que sucede cuando uno de los
números es menor que 1.
198 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Serie de problemas
1.
Datos
de
interés
Los gatos ronronean
con la misma frecuencia
que la de un motor
diesel al ralentí, a unos
26 ciclos por segundo.
2.
3.
Luke comparó dos marcas de alimento para sus gatos. La lata de Kitty
Kans cuesta $0.32 y la de Purrfectly Delicious cuesta $0.37. Calcula el
costo de lo siguiente.
a.
Diez latas de Kitty Kans.
b.
Diez latas de Purrfectly Delicious.
c.
Doce latas de Kitty Kans.
d.
Doce latas de Purrfectly Delicious.
e.
Analiza tus respuestas a las Partes a hasta la d. En cada caso, ¿fue el
costo mayor que el número de latas? ¿Menor? Explica por qué esto
tiene sentido.
Después de comprar el alimento para gatos, Luke visitó CD-Rama y
compró un CD en $14.00 más un 4% de impuesto sobre las ventas. Para
calcularlo, multiplica el precio del CD por 0.04.
a.
El cajero le trató de cobrar $19.60—$14.00 por el CD más $5.60 de
impuesto sobre las ventas. Sin realmente calcular el impuesto, ¿cómo
sabes que el cajero cometió un error?
b.
¿Cuál es la cantidad correcta de impuesto sobre las ventas en la
compra de $14 de Mike?
Multiplica cada número por 0.01. Si adviertes un atajo para hallar la
respuesta sin cálculo alguno, úsalo.
a.
4.
A
1,776
b.
28,000
c. 29,520
d.
365.1
Si usaste un atajo en el Ejercicio 3, explica lo que hiciste. Si no, compara
los cuatro números dados con las respuestas. ¿Qué patrones adviertes?
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 199
Puedes multiplicar decimales empezando por ignorar los puntos decimales y
multiplicando números enteros. Luego puedes usar tus destrezas de estimación para decidir dónde colocar el punto decimal en la respuesta.
Serie de problemas
B
La calculadora de Jahmal no funciona bien. Hace cálculos correctos, ¡pero no
muestra punto decimal alguno! El resultado 452.07 lo muestra como 45207.
Desafortunadamente, también muestra 4.5207 como 45207.
1.
Enumera todos los números que mostraría como 45207.
2.
Cuando Jahmal ingresa 45207, su calculadora muestra 5.023 9. Sin
calculadora, estima el producto y usa la estimación para deducir dónde
colocar el punto decimal del resultado.
3.
La calculadora de Jahmal también muestra 45207 cuando se ingresa
5 904.14. Usa estimación para deducir el resultado correcto de este
cálculo. Explica cómo hallaste la respuesta.
4.
Cuando Jahmal ingresa 279 0.41, su calculadora muestra 11439.
5.
200 C A P Í T U L O 3
a.
¿Es el resultado correcto mayor que 279? ¿Menor que 279? Explica.
b.
40
Jahmal estimó el resultado multiplicando 100 por 300. ¿Dará este
cálculo una buena estimación del resultado correcto? Explica.
c.
¿Qué estimación del producto obtendrá Jahmal?
d.
¿Cuál es el resultado correcto de 279 0.41? Explica cómo lo
sabes.
Aquí se dan algunos cálculos que Jahmal hizo y los resultados que
mostró su calculadora. Estima cada producto y explica cómo hiciste la
estimación. Luego da el producto correcto, colocando el punto decimal
en el lugar correspondiente en el número de la pantalla.
a.
203 1.8
3654
b.
0.5 28,714
c.
42 0.11
462
d.
8,975 70.07
e.
0.22 216
4752
f.
0.09 71
14357
62887825
639
6.
Revisa tus resultados del Ejercicio 5. Para cada parte, indica si el producto es mayor o menor que el número entero de esa parte, explicando
por qué.
7.
La calculadora de Jahmal mostró un resultado de 007. ¿Cuál pudiera ser
el resultado correcto? Da todas las posibilidades.
Usa fracciones y decimales
&
Comparte
resume
1. Supón
que estás multiplicando un número entero por un decimal.
a.
¿Cuándo obtienes un resultado menor que el número entero? Da
algunos ejemplos.
b.
¿Cuándo obtienes un resultado mayor que el número entero? Da
algunos ejemplos.
2. ¿Explica
de qué manera es útil el uso de aproximaciones al multiplicar decimales.
Investigación 2
Multiplica decimales
como si fueran fracciones
Una estrategia para multiplicar decimales es convertirlos en fracciones,
multiplicar las fracciones y luego escribir el resultado como decimal. Por
ejemplo, 0.7 0.02 se calcularía así:
2
14
0.7 0.02 170 100 1,000 0.014
&
Piensa comenta
2
Althea dice que el 100 en el cálculo anterior debería haberse reducido
antes de multiplicar. Rosita no está de acuerdo, diciendo que es más fácil
convertir el resultado en decimal si las fracciones no se reducen antes de
multiplicar.
¿Qué opinas? Justifica tu respuesta.
Serie de problemas
Recuerda
Un decimal mayor que 1
se puede escribir como
fracción o número
mixto. Por ejemplo, 512
se puede escribir como
512
12
ó como 5.
100
100
C
Escribe los decimales como fracciones y luego multiplica, escribiendo
cada producto como decimal y mostrando todos los pasos.
1.
0.6 0.7
2.
1.06 0.07
3.
5.12 0.2
4.
0.002 0.003
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 201
5.
Datos
de
interés
La primera calculadora
de mano y a pila se
introdujo en 1970 y
costaba unos $400.
Conor ingresó 0.625 0.016 en su calculadora y obtuvo 0.01. Jing le
dijo: “Debes haber cometido un error porque al escribir el problema con
625
16
fracciones, obtienes 1,000 1,000 y, al multiplicar estas fracciones, se
obtiene un denominador de 1,000,000. Tu resultado, sin embargo, es
1
, cuyo denominador es 100.”
100
Multiplica 0.625 0.016 con una calculadora. ¿Cometió Conor error
alguno? Si es así, explica lo que pasó. Si no, explica el error en el
razonamiento de Jing.
6.
El impuesto sobre las ventas en cierto estado es del 5%. Para calcularlo,
multiplica el precio de un artículo por 0.05. Supón que el impuesto
sobre las ventas se redondea siempre al centavo siguiente.
a.
Calcula el impuesto de un artículo que vale $0.89. Muestra los pasos.
b.
Calcula un precio menor que $1 de modo que el cálculo del impuesto
dé un número entero de centavos antes de redondear.
La multiplicación de decimales es como la multiplicación de números enteros,
salvo que debes determinar dónde colocar el punto decimal del producto. En
la última investigación, usaste aproximaciones para ubicar el punto decimal.
La idea de escribir los decimales como fracciones antes de multiplicar nos
conduce a otra manera de multiplicar decimales.
&
Piensa comenta
Escribe cada número como fracción.
10.7
2.43
0.073
13.0601
¿Cómo se relaciona el número de dígitos a la derecha del punto decimal
con el número de ceros del denominador de la fracción?
Calcula cada producto.
10 10,000
100 100
1,000,000 10,000
¿Cómo se relaciona el número de ceros de cada producto con el número
de ceros de los factores?
Considera ahora el producto 0.76 0.041.
Si escribieras 0.76 y 0.041 como fracciones, ¿cuántos ceros habría en
cada denominador? ¿Cuántos habría en el denominador del producto?
Usa el hecho que 76 41 3,116 y tus resultados a las preguntas
anteriores para hallar el producto 0.76 0.041. Explica cómo hallaste
el resultado.
202 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Esta es la regla que usaste para multiplicar decimales en Piensa y comenta.
• Ignora los puntos decimales y multiplica los números como si fuesen
números enteros.
• Coloca el punto decimal de modo que el número de dígitos a su
derecha sea igual al número total de dígitos a la derecha de los puntos
decimales de cada factor.
Serie de problemas
1.
D
Considera el producto 0.1123 0.92.
a.
Usa la regla anterior para hallar el producto. Justifica cada paso.
b.
Comprueba tu resultados de la Parte a cambiando los números a
fracciones y multiplicando.
c.
Sin multiplicar, ¿cómo podrías saber que el resultado correcto no es
1.03316 ó 0.0103316?
2.
Usa la regla anterior para volver a calcular los resultados de los
Ejercicios 1 al 4 de la Serie de problemas C. ¿Obtienes los mismos
resultados que hallaste al escribir los decimales como fracciones y luego
multiplicando?
3.
Jing dijo: “La regla no funciona con el producto 0.625 0.016.
Cuando uso mi calculadora, obtengo 0.01, el que sólo tiene dos dígitos
a la derecha del punto decimal. Según la regla debería haber seis dígitos
a la derecha del punto decimal. ¿Qué es lo que pasa?” Explica por qué
sucede esto.
Calcula cada producto sin calculadora.
4.
43.32 3.07
5.
0.0005 12.6
6.
102.667 * 0.11
&
Comparte
resume
1. Explica
cómo puedes usar fracciones para determinar el lugar donde
se coloca el punto decimal del producto de dos decimales. Ilustra tu
respuesta con un ejemplo.
2. La
suma del número de dígitos a la derecha de los puntos decimales
de 0.25 y 0.012 es cinco. Explica por qué el producto 0.25 0.012
sólo tiene tres lugares decimales.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 203
Investigación 3
Multiplica decimales
en la vida cotidiana
Es fácil entender y comparar decimales y, al calcular con computadoras y calculadoras, su uso es más fácil que el de las fracciones. A esto se debe que la
información numérica venga a menudo en forma decimal. En esta lección, vas
a explorar algunas situaciones concretas que suponen cálculos con decimales.
&
Piensa comenta
Puedes estimar la estatura que un niño de 4 años tendrá al cumplir 12
años multiplicando su estatura por 1.5.
A Jeremy, el hermano de cuatro años de Hannah, le gusta jugar con su
calculadora. Ella le dejó oprimir los botones mientras trataba de estimar
su estatura a los 12 años. Jeremy mide 101.5 cm de estatura, así que le
dijo que ingresase 1.5 101.5. La calculadora dio 1522.5.
Hannah se dio cuenta inmediatamente que Jeremy había oprimido los
botones equivocados. ¿Cómo lo supo?
Serie de problemas
204 C A P Í T U L O 3
E
1.
Al cumplir 4 años, Shanise medía de estatura lo mismo que una vara de
un metro. Estima su estatura a los 12 años.
2.
A Ynez, una niña de 4 años, le gusta usar números exactos. Afirma que
tiene exactamente 98.75 cm de estatura.
a.
Usa este valor para estimar la
estatura de Ynez a los 12 años.
b.
Rosita piensa que no tiene sentido
usar la respuesta decimal exacta
como estimación de la estatura de
Ynez. ¿Estás de acuerdo? Explica.
c.
¿Cuál es una estimación razonable
de la estatura de Ynez a los
12 años?
Usa fracciones y decimales
Los cálculos decimales más corrientes son probablemente los relacionados
con dinero. Vas a examinar ahora algunas de estas situaciones.
Datos
de
interés
La práctica de dar
propina se originó en
las tabernas inglesas
en el siglo XVIII. Los
clientes, antes de una
comida, les daban a los
meseros dinero, junto
con una nota en que se
leía “to insure
promptness” (para
garantizar una pronta
atención). El vocablo
inglés tip (propina) es
una abreviatura de este
mensaje.
Serie de problemas
1.
F
Para calcular el importe total de una cena en un restaurante, el Sr.
Rivera multiplica la suma de los precios de los artículos por 1.25. Esto
incluye dicho precio total, el impuesto sobre las ventas del 5% y una
propina del 20%.
a.
El Sr. Rivera y un amigo salieron a cenar. Ésta costó $42 y, cuando el
Sr. Rivera trató de calcular el precio con impuesto y propina, obtuvo
$85. Sin calcular nada, explica por qué este resultado no puede ser
el correcto.
b.
Estima mentalmente el importe de la cena con impuesto y propina.
Explica cómo aproximaste.
c.
Calcula el importe exacto de la cena.
Ya que no se puede pagar en unidades menores que un centavo, la mayoría de
los precios vienen en dólares y números enteros de centavos. Los precios de
la gasolina, por otro lado, vienen a menudo en décimas de centavo (milésimas
de dólar) y se muestran en una forma que combina decimales y fracciones.
Por ejemplo, un precio de $1.579 se da como $1.57190. La fracción 190
representa 190 de centavo.
2.
3.
Imagina que vas a comprar 10 galones exactos de gasolina a $1.57190
por galón.
a.
Sin usar la calculadora, calcula el importe exacto de la gasolina.
b.
Si el precio por galón se redondease a $1.58, ¿cuánto pagarías?
c.
¿Cuál es la diferencia entre tus respuestas a las Partes a y b? ¿Por qué
crees que los precios de la gasolina no se redondean a, por ejemplo,
$1.58 por galón?
La Srta. Kenichi llenó el tanque de su vehículo deportivo-utilitario con
38.4 galones de gasolina a $1.57190 por galón.
a.
Estima el importe total de la gasolina.
b.
Calcula ahora el costo exacto, redondeando al centavo más cercano al
terminar el cálculo.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 205
Al visitar otros países, debemos canjear nuestra moneda por la del país que
uno piensa visitar. La conversión de una unidad monetaria en otra supone
operaciones con decimales.
Serie de problemas
G
El yen es la unidad monetaria del Japón. El 23 de abril de 2000, un yen valía
$.009463, un poco menos de un centavo de EE.UU. En estos problemas,
redondea los números al centavo más cercano.
1.
El 23 de abril de 2000, ¿cuál fue el valor en dólares de 100 yen?
2.
El 23 de abril de 2000, la Dra. Kuno andaba de viaje por el Japón.
Ese día le compró a su sobrino un sistema para juegos de video en
14,100 yen. ¿Cuál es el precio equivalente en dólares?
3.
Copia y completa esta tabla en la que se mostrarán los equivalentes en
dólares de un número dado de yen.
Yen
10
50
100
150
200
300
1,000
2,000
3,000
10,000
1,000,000
Datos
de
interés
El dólar es la unidad
monetaria de Estados
Unidos, pero hay
monedas que le
permiten a uno pagar
por cantidades
menores que un dólar.
En el Japón, por otro
lado, no hay monedas
de menos de un yen,
así que sólo se puede
pagar con números
enteros de yen.
Dólares
4.
Usa la tabla para estimar el equivalente en dólares de 6,000 yen. Explica
cómo hiciste tu estimación.
5.
Usa la tabla para estimar el equivalente en yen de $100. Explica cómo
hiciste tu estimación.
&
Comparte
resume
De regreso del Japón, la Dra. Kuno canjeó sus yen por dólares. Le pasó
23,500 yen al cajero y éste le dio un billete de $20, uno de $1 y un poco
más. Usa una estimación para explicar por qué sabes que el cajero le pasó
a la Dra. Kuno la cantidad incorrecta.
206 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Investigación 4
Divide decimales
En esta investigación, vas a dividir decimales. Empezarás estudiando patrones
que relacionan la multiplicación con la división.
Datos
de
interés
Serie de problemas
1.
H
Copia y completa esta tabla.
3.912 0.1 3.912 0.01 3.912 0.001 4,125.9 0.1 4,125.9 0.01 4,125.9 0.001 El símbolo lo usaban
los editores de
manuscritos antiguos
para indicar un recorte
de texto. Como símbolo
de la división, ya se
usaba en 1650.
2.
3.
Busca patrones en la tabla ya completada.
a.
¿Qué pasa con un número cuando se lo multiplica por 0.1, 0.01,
y 0.001?
b.
¿Qué pasa con un número cuando se lo divide entre 0.1, 0.01
y 0.001?
Copia y completa esta tabla.
3.912 10 3.912 100 3.912 1,000 4,125.9 10 4,125.9 100 4,125.9 1,000 4.
3.912 0.1 3.912 0.01 3.912 0.001 4,125.9 0.1 4,125.9 0.01 4,125.9 0.001 3.912 10 3.912 100 3.912 1,000 4,125.9 10 4,125.9 100 4,125.9 1,000 Compara los resultados de los Ejercicios 1 y 3 y luego completa estos
enunciados.
a.
Multiplicar un número por 0.1 es lo mismo que dividirlo entre ____.
b.
Multiplicar un número por 0.01 es lo mismo que dividirlo entre ____.
c.
Multiplicar un número por 0.001 es lo mismo que dividirlo
entre ____.
d.
Dividir un número entre 0.1 es lo mismo que multiplicarlo por ____.
e.
Dividir un número entre 0.01 es lo mismo que multiplicarlo por ____.
f.
Dividir un número entre 0.001 es lo mismo que multiplicarlo
por ____.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 207
Tal vez ya puedas dividir mentalmente entre decimales como 0.1, 0.01 y
0.001. No es fácil hallar mentalmente el resultado exacto de otras divisiones
de decimales. En el ejemplo siguiente, sin embargo, se muestra un método
para estimar el cociente de dos decimales.
E J E M P L O
Estima 0.0351 0.074.
Concibe esta división como fracción.
0.03
51
0.074
Para obtener una fracción de números enteros equivalente a este número,
multiplica el numerador y el denominador por 10,000.
0.0351 10,000 35
1
0.074 10,000
740
351
740
está cerca de 12 ó 0.5. De modo que, 0.0351 0.074 es más o
menos 0.5.
Serie de problemas
Datos
de
En los Ejercicios 1 al 3, estima cada cociente y luego usa tu calculadora
para hallarlo a la milésima más cercana.
interés
Las paridades
monetarias cambian
constantemente.
La página Web
Universal Currency
Converter puede
convertir de una unidad
monetaria a otra. ¡Las
paridades que se usan
en esta página se
actualizan minuto
a minuto!
208 C A P Í T U L O 3
I
1.
25.27 0.59
4.
Calcula 10 0.01 sin calculadora.
5.
Supón que un yen japonés vale 0.009155 dólares de EE.UU. y que
quieres cambiar $10.
a.
2.
32.47 81.5
3.
0.4205 0.07
¿Cuál de estos cálculos determinará la cantidad de yen que
recibirás? Explica.
0.009155 10
0.009155 10
10 0.009155
b.
¿Cuántos yen recibirás por $10?
c.
Tu respuesta a la Parte b debería estar bastante cercana a tu
resultado al Ejercicio 4. Explica por qué.
d.
Caroline estimó que obtendría unos 22 yen por $20. ¿Es esto
razonable? Explica.
Usa fracciones y decimales
Cuando no se tiene una calculadora para dividir decimales, puedes usar el
método que muestra el siguiente ejemplo para convertir una división de
decimales en una de números enteros.
E J E M P L O
Calcula 5.472 1.44.
Escribe esta división como fracción y luego multiplica el numerador y
denominador por 1,000 para convertirlos en números enteros.
5.4
72 5.472 1,000 5,4
72
1.44
1.44 1,000
1,440
Ahora sólo tienes que dividir los números enteros.
3.8
42
1440 57
4320
1152 0
1152 0
0
Así, 5.472 1.44 3.8.
Serie de problemas
J
Resuelve estos problemas sin calculadora.
Calcula cada cociente.
1.
99.33 0.473
4.
Hay 2.54 centímetros en una pulgada.
a.
2.
6.1452 170.7
Estima el número de pulgadas en
25 cm.
3.
cm
0.0752 3.2
1
2
pulg
1
b.
Usa la respuesta en la Parte a para estimar el número de pulgadas en 100 cm.
c.
Calcula el número exacto de pulgadas en 25 cm y en 100 cm.
d.
La estatura media de una niña de 12 años en Estados Unidos es de
153.5 cm. Convierte esta estatura en pulgadas, redondeando a la
décima de pulgada más cercana.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 209
&
Comparte
Datos
de
resume
1. Describe
interés
La masa es la medida
de la materia de un
cuerpo; su peso es la
fuerza con que lo atrae
otro cuerpo (un
planeta, por ejemplo).
En el uso cotidiano, la
distinción no es
importante.
una manera rápida de dividir un número entre 0.01. Usa lo
que sabes sobre división de fracciones para explicar por qué funciona
tu método.
2. Luke
y Rosita están hablando sobre el peso de sus gatos. Luke dice
que su gato Tom es enorme: ¡pesa casi 23 libras! Rosita dice que su
gato Spike pesa aun más: ¡cerca de 11 kilogramos! Si hay unas 2.2
libras en un kilogramo, describe un cálculo que podrías hacer para
decidir cuál de los gatos es el que pesa más.
Investigación 5
¿Multiplicar o dividir?
Tu calculadora multiplica y divide decimales con exactitud (siempre y cuando
no cometas errores al oprimir sus botones). No puede, sin embargo, indicarte
si hay que multiplicar o dividir. En esta investigación, vas a decidir cuándo
multiplicar o dividir en una situación concreta.
&
Piensa comenta
Para cada pregunta, escoge la operación correcta y explica cómo lo
supiste. Aun cuando no hay que calcular, tal vez quisieras estimar para
ver si tu respuesta es razonable.
• Un paquete de ocho videocintas sin grabar cuesta $15.95. ¿Qué
operación harías para calcular el precio por videocinta? ¿15.95 8?
¿15.95 8?
Datos
de
interés
Los seres humanos han
venido construyendo
modelos por cientos de
años. Los egipcios
antiguos colocaban
modelos de la
propiedad del faraón en
su tumba para uso en
la otra vida.
210 C A P Í T U L O 3
• Hay 2.54 centímetros en una pulgada. Una hoja de papel mide 812
pulgadas de ancho. ¿Qué operación harías para hallar el ancho de la
hoja en centímetros? ¿2.54 8.5? ¿2.54 8.5?
• Marcus está trazando el plan de un tren en miniatura precisado según
la escala HO, en la que 0.138 pulgadas equivalen a un pie en la
realidad. Si quiere incluir un modelo de la torre Sears de Chicago, la
que mide unos 1,450 pies de alto, ¿qué operación podría hacer para
calcular la altura del modelo de la torre en pulgadas? ¿1,450 0.138?
¿1,450 0.138?
Usa fracciones y decimales
En este par de problemas, vas a tener que pensar detenidamente sobre la
operación a usarse para hallar la respuesta.
Datos
de
Serie de problemas
1.
interés
El euro se usa en
Austria, Bélgica,
Finlandia, Francia,
Alemania, Irlanda,
Italia, Luxemburgo, los
Países Bajos, Portugal y
España. El tener una
divisa común facilita el
comercio entre estos
países.
2.
El euro se introdujo como la moneda
común de 11 países europeos el 1º de
enero de 1999. Los mercados cambiarios
se abrieron el 4 de enero y ese día un euro
valía 1.1874 dólares de EE.UU.
a.
El 4 de enero de 1999, ¿cuál fue el
valor de 32 euros en dólares de
EE.UU.? Explica cómo decidiste si
multiplicar o dividir.
b.
El 4 de enero de 1999, ¿cuál fue el
valor de $32.64 en euros? Explica cómo
decidiste si multiplicar o dividir.
Un kilómetro es aproximadamente igual a 0.62 millas.
a.
Molly corrió 42 km. Calcula cuánto corrió en millas, explicando
cómo decidiste si multiplicar o dividir.
b.
El límite de velocidad en Duncan Road es de 55 millas por hora.
Convierte esta velocidad a kilómetros por hora, redondeados al número
entero más cercano y explica cómo decidiste si multiplicar o dividir.
Serie de problemas
1.
K
L
El coche del papá de Miguel cubre un promedio de 18.4 millas en un
galón de gasolina. En la estación de servicio local, el galón de gasolina
cuesta $1.53190 .
a.
El papá de Miguel llenó el estanque con 12.8 galones de gasolina.
¿Cuánto pagó?
b.
El hermano de Miguel llevó el coche a la estación de servicio y le
pasó $10 al cajero. ¿Cuánta gasolina puede comprar con $10?
Redondea tu respuesta a la centésima de galón más cercana.
c.
¿Qué distancia podría recorrer el hermano de Miguel con la gasolina
que compró? Redondea tu respuesta a la milla más cercana.
d.
Durante las vacaciones de primavera, la familia de Miguel comenzó
un viaje de 500 millas. ¿Cerca de cuánta gasolina usaron? Redondea
tu respuesta al galón más cercano.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 211
2.
Althea está trazando el plan de un tren en miniatura precisado según la
escala Z, la más pequeña de los modelos de trenes. En ella, 0.055
pulgadas en el modelo equivalen a un pie en la realidad.
a.
El furgón de cola en el modelo de Althea mide una pulgada de largo.
¿Cuál es la longitud del furgón de cola mismo?
b.
Althea está haciendo también modelos de personas. Quiere hacer uno
de su baloncestista favorito, el que tiene una estatura de 6 pies con
9 pulgadas. Si pudiese hacer un modelo exacto, ¿qué altura tendría
éste?
c.
Althea está usando una regla de arquitecto, precisada en décimas de
pulgada. Si se la usa, es imposible que construya el modelo del
jugador con la altura exacta que calculaste en la Parte b. ¿De qué
altura crees que debería hacer el modelo?
&
Comparte
resume
En Estados Unidos, los terrenos se miden en acres. En otros países se usan
hectáreas, la unidad métrica decimal de superficie de terrenos. Hay cerca
de 0.405 hectáreas en un acre.
1. Para
convertir 3.5 acres en hectáreas, ¿se multiplica o se divide 3.5
entre 0.405? Explica cómo lo sabes.
2. Para
convertir 3.5 hectáreas en acres, ¿se multiplica o se divide 3.5
entre 0.405? Explica cómo lo sabes.
212 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
Dae Ho generó una hoja de cálculos que muestra los productos de
decimales por números enteros. Como su impresora tiene poca tinta,
al imprimir la hoja de cálculos, los puntos decimales no se podían
distinguir. Copia la hoja de cálculos e inserta puntos decimales en
las columnas primera y tercera de modo que los productos sean los
correctos.
Decimal
48.398
36.4
17.06
16.7935
75.072
9.3
Número
entero
306
967
698
534
976
160
Producto
14809.788
35198.8
11907.88
8967.729
73270.272
1488.0
2. Economía
Gloria, Wilton y Alex forman una banda que toca en bailes
y fiestas. Gloria escribe la mayoría de las canciones y Wilton actúa de
administrador. La banda se divide las utilidades de la siguiente manera:
• Gloria recibe el 0.5 de las utilidades de la banda.
• Wilton recibe el 0.3 de las utilidades.
• Alex recibe el 0.2 de las utilidades.
a.
Este mes la banda ganó $210. ¿Cuánto le toca a cada uno?
b.
Unos meses más tarde, los miembros de la banda cambiaron la forma
en que se reparten las utilidades. Ahora Gloria recibe el 0.42 de ellas,
Wilton el 0.3 y Alex el 0.28. Alex dice que su parte de $210 es ahora
$66. Explica por qué esta estimación es incorrecta y calcula la
cantidad correcta.
c.
Si la banda gana $2,000 de utilidades en los próximos meses, ¿cuánto
más que Alex recibe Wilton? (Intenta hallar la respuesta sin calcular
lo que recibe Wilton.)
Medición Usa el hecho que 1 m 0.001 km para convertir cada distancia
a kilómetros sin usar la calculadora.
3.
283 m
4.
314,159 m
5.
2,000,000 m
6.
1,776 m
7.
7m
8.
0.12 m
impactmath.com/self_check_quiz
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 213
Escribe los decimales como fracciones y luego multiplica, dando el producto
como decimal.
9.
11.
0.17 0.003
10.
0.0005 0.8
0.00012 12.34
12.
0.001 0.2 0.3
Calcula cada producto sin usar la calculadora.
13.
0.023 17.51
14.
0.15 1.75
15.
0.34 * 0.0072
16.
3.02 100.25
17.
0.079 0.970
18.
0.0354 * 97.3
Calcula mentalmente cada producto.
19.
0.0002 2.5
20.
7 0.006
21.
0.03 0.05
22.
0.4 0.0105
23. Economía
La unidad monetaria de Guatemala es el quetzal. El 23 de
abril de 2000, un quetzal valía 0.1295 dólares de EE.UU.
Datos
de
interés
El quetzal es un ave
que vive en el bosque
pluvial tropical
centroamericano. Hoy
en día, las divisas y la
bandera guatemaltecas
ostentan un quetzal
macho.
214 C A P Í T U L O 3
a.
¿Cuánto valía un billete de 100 quetzales en dólares de EE.UU.?
b.
Ese mismo día, en una feria guatemalteca pedían 52 quetzales por un
tapete pequeño. Convierte esta cantidad en dólares y centavos de
EE.UU.
24. Economía
En la Sweet Shop de Sakai, los serpentines gomosos cuestan $.28 la onza y las pasas cubiertas de chocolate cuestan $.37 la onza.
a.
¿Cuánto cuestan 6 onzas de serpentines gomosos?
b.
Usa el hecho que 16 onzas 1 libra para calcular el importe de una
libra de pasas cubiertas de chocolate.
c.
En el estado en que vive Sakai, el impuesto sobre las ventas de
golosinas se calcula multiplicando el precio por 0.1 y redondeando al
centavo siguiente. Sin usar la calculadora, halla el impuesto en 6
onzas de serpentines gomosos y una libra de pasas cubiertas de
chocolate.
Usa fracciones y decimales
25. Economía
Después de comer en un restaurante, Viviana siempre deja
una propina del 15%, la que calcula multiplicado el precio de la comida
por 0.15. Franklin deja en general una propina del 20%, la que calcula
multiplicando el precio por 0.20. Ambos redondean a los 5¢ siguientes.
a.
¿Qué propina dejaría Viviana por una comida que costase $24.85?
b.
¿Qué propina dejaría Franklin por una comida que costara $24.85?
c.
El precio $24.85 no incluye el impuesto. Viviana y Franklin viven en
un estado donde el impuesto a las comidas es del 6% y en el que las
fracciones de centavo se redondean al centavo siguiente. Calcula el
impuesto en $24.85 multiplicando por 0.06.
d.
Calcula ahora las propinas que dejarían Viviana y Franklin si éstas se
basan en el importe de la comida más el impuesto.
26. Medición
En la Investigación 3, aprendiste que se puede estimar la
estatura que un niño de 4 años tendrá a los 12 años multiplicando su
estatura por 1.5. También puedes estimar la estatura que un niño de
12 años pudiera haber tenido a los 4 años.
a.
Nicky mide 127.5 cm de estatura a los 12 años. Estima su estatura,
en centímetros, a los 4 años.
b.
Jacobo mide 152.4 cm de estatura a los 12 años. Estima su estatura,
en centímetros, a los 4 años.
27. Medición
Para calcular la longitud en pulgadas del modelo de un objeto en la escala HO, divide la longitud real entre 7.25. Por ejemplo, el
modelo de un edificio de 15 pies de alto mediría unas 2 pulg de alto.
a.
Sin usar la calculadora, estima la longitud del modelo de un tren que
mide 700 pies de largo. Explica cómo hiciste tu estimación.
b.
Calcula la longitud del modelo del tren al cuarto de pulgada
más cercano.
c.
Estima la longitud del tren al pie más cercano. ¿Es la longitud del
modelo menor que tu estimación? ¿Mayor?
Datos
de
interés
La escala más popular
de trenes en miniatura
es la HO. Usando esta
escala, los modelos de
1
trenes son 87 del
tamaño de un tren real.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 215
28. Economía
El verano pasado, Rosita, Miguel, Luke y Marcus
compartieron un reparto de periódicos. Al terminar el verano, se
dividieron los $482.50 de utilidades según lo que había trabajado
cada uno.
• Para obtener la parte de Rosita, las utilidades se dividieron entre 2.5.
• Para obtener la de Miguel, éstas se dividieron por 4.0.
• Para obtener la de Luke, se dividieron por 6.25.
• Para obtener la de Marcus, se dividieron por 10.
a.
Sin usar la calculadora, estima lo que ganó cada amigo y explica
cómo hiciste tu estimación.
b.
Calcula ahora la cantidad exacta que recibió cada amigo.
c.
¿Suman $482.50 las utilidades? Si no, cambia la parte de uno de los
amigos de modo que sí sumen $482.50.
Evalúa cada expresión sin usar la calculadora.
0.1 17 15 0.001
30.
8.82 0.63 0.7
31.
2.75 0.05 10
32. Economía
Sasha quiere comprar un galón de jugo de naranjas y está
considerando dos marcas, Sunny Skies, que cuesta $0.77 el cuarto y
Granger’s Grove, que cuesta $2.99 el galón. Si a Sasha le gustan ambas,
¿cuál es la más económica? Explica.
Datos
de
interés
Vanuatu es un grupo en
forma de Y de 83 islas
ubicadas en el Pacífico
suroeste.
216 C A P Í T U L O 3
29.
33. Economía
La unidad monetaria de Vanuatu es el vatu. En marzo de
2003, un dólar de EE.UU. valía 125.37 vatus.
a.
¿Cuál es el valor en dólares de 853.25 vatus?
b.
¿Cuántos vatus hay en $853.25? Redondea a la centésima más
cercana de vatu.
c.
En enero de 1998, había 124.56 vatus en un dólar de EE.UU. ¿Bajó
o subió el valor de un vatu entre enero de 1998 y marzo de 2003?
Justifica tu respuesta.
Usa fracciones y decimales
34. Medición
En este ejercicio, usa estos datos:
un cuarto 0.947 litros
&
amplía
a.
El cuarto de jugo de uva Vinefresh vale $1.25; el litro de Groovy
Grape vale $1.35. Si te gustan ambas marcas, ¿cuál es la más
económica? Explica.
b.
¿Cuántos cuartos hay en 0.5 litros? ¿En un litro? ¿En 1.5 litros?
¿En 2 litros? Da tus respuestas a la centésima más cercana.
c.
¿Cuántos litros hay en 10 onzas? ¿En 12 onzas? ¿En 20 onzas?
¿En 2 cuartos? Escribe tus respuestas a la milésima más cercana.
Conecta
35.
En este problema, vas a tratar de aproximarte lo más cerca posible de
262, sin pasarte, multiplicando 210 por un número. Puedes usar la
calculadora, pero sólo puedes multiplicar.
a.
¿Deberías multiplicar 210 por un número mayor que 1? ¿Menor que 1?
b.
Aproxímate lo más cerca posible a 262 multiplicando 210 por un
número con una sola cifra decimal. ¿Qué número multiplicaste por
210? ¿Cuál es su producto?
c.
Aproxímate lo más cerca posible a 262 multiplicando 210 por un
número de dos cifras decimales. ¿Qué número multiplicaste por
210? ¿Cuál es su producto?
d.
Aproxímate ahora lo más cerca posible multiplicando 210 por un
número de tres cifras decimales. Da el número por el que
multiplicaste y el producto.
e.
Con el mismo objetivo, trata ahora de multiplicar 210 por números
de hasta nueve cifras decimales para aproximarte lo más cerca posible a 262. Da cada número por el que multiplicaste y el producto.
Describe las estrategias que hayas desarrollado para elegir los
números.
En t u s
propias
palabras
Describe una
situación concreta
en la que tengas
que multiplicar
dos decimales y
luego describe
otra en la que
tengas que dividir
entre un decimal.
un cuarto 32 onzas
36. Medición
En este problema, vas a calcular la cantidad de agua
requerida para llenar una habitación de tu casa.
a.
Escoge una habitación de planta rectangular. Mide el largo, ancho y
alto de aquélla al pie más cercano. (Si no tienes una yarda o cinta de
medir, estima.) Para hallar el volumen, o número de pies cúbicos, de
la habitación, multiplica las tres dimensiones.
b.
Un pie cúbico tiene una capacidad de 7.48 galones de agua. ¿Cuántos
galones se necesitarán para llenar de agua la habitación?
c.
Si 748 galones de agua cuestan $1.64, ¿cuánto costaría llenar de agua
la habitación? Explica cómo hallaste la respuesta.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 217
37. Ciencias físicas
El vataje de una bombilla indica la electricidad que
ésa consume en una hora. Una bombilla, por ejemplo, de 75 vatios usa
75 vatios de electricidad por hora. La compañías de electricidad cobran
por kilovatio-hora.
Datos
de
interés
La bombilla común es
incandescente: paredes
delgadas de vidrio
llenas de una mezcla de
nitrógeno y argón, y un
filamento de tungsteno.
Las bombillas
fluorescentes y
halógenas tienen por lo
general forma tubulosa
o de reflector.
a.
Un vatio 0.001 kilovatios. ¿Cuántos kilovatios usa una
bombilla de 75 vatios en una hora? ¿En 24 horas?
b.
Supón que la compañía de electricidad cobra $0.12 por kilovatiohora. ¿Cuánto cuesta dejar encendida por 24 horas una bombilla de
75 vatios?
c.
Calcula cuánto costaría dejar encendidas durante 24 horas todas las
bombillas de tu casa. Vas a tener que contar las bombillas y fijarte en
el vataje de cada una. No mires una bombilla encendida de cerca.
Si no se puede determinar el vataje de una bombilla, supón que es
de 75 vatios. (No cuentes las fluorescentes o halógenas, sólo las
incandescentes.)
38. Economía
La unidad monetaria de Glock, un país imaginario, es el
utilo, el que vale 5 dólares de EE.UU. O sea, hay $5 por utilo.
a.
¿Cuánto vale $1 en utilos? Es decir, ¿cuántos utilos hay por dólar?
Escribe la respuesta como decimal y como fracción.
b.
En la Parte a, usaste el número de dólares por utilo para hallar el
número de utilos por dólar. ¿Qué operación matemática empleaste
para calcular la respuesta?
c.
Usa el mismo proceso para hallar el número de yen por dólar si un
yen vale $0.009155. Redondea al yen más cercano.
d.
Si se te da el valor de una divisa extranjera en dólares, describe una
regla que se pueda usar para averiguar el valor de $1 en dicha divisa.
e.
Si una divisa extranjera vale más de un dólar, ¿qué puedes decir
sobre el valor de un dólar en dicha divisa?
f.
Si una divisa extranjera vale menos de un dólar, ¿qué puedes decir
sobre el valor de un dólar en dicha divisa?
39. Arquitectura
Para un proyecto de historia, Miguel construyó un
modelo de la gran pirámide de Gizeh. Usó un factor de escala de 0.009
en su modelo, lo que quiere decir que, para hallar cada medida en su
modelo, multiplicó la medida correspondiente en la pirámide misma
por 0.009.
En la página siguiente se dan algunas de las medidas en el modelo de
Miguel. Calcula las medidas de la pirámide, redondeando los números
al metro más cercano.
218 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Datos
de
interés
a.
Altura de la pirámide: 1.23 m
b.
Longitud de cada lado de la base: 2.07 m
c.
Altura de la cámara real: 0.05 m
d.
Longitud de la cámara real: 0.04 m
e.
Ancho de la cámara real: 0.09 m
La gran pirámide de
Gizeh fue construida
alrededor de 2560 a.C.
Consta de unos
2 millones de sillares,
¡con un peso de
2 toneladas cada uno!
40.
Imagina que juegas un juego que supone multiplicación y división de
decimales. El objetivo es obtener un puntaje lo más cerca posible de
100, sin pasarse. Cada jugador comienza con 10 puntos y en cada vuelta
se hace lo siguiente:
• Elige dos cartas con decimales en ellas.
• Usando estimación, escoge multiplicar o dividir tu puntaje actual entre
uno de los decimales.
• Una vez tomada tu decisión, halla tu nuevo puntaje calculando y
redondeando al número entero más cercano. Pierdes si el resultado es
mayor que 100.
• Puedes dejar el juego al fin de cualquier turno. Si lo haces, tu
contrincante juega una vez más, para tratar de obtener un puntaje más
cercano a 100 que el tuyo.
a.
En una vuelta, empezaste con un puntaje de 50 y obtuviste 0.2 y
1.75. Indica tu nuevo puntaje si
i.
iii.
divides entre 0.2
ii.
divides entre 1.75
iv.
multiplicas por 0.2
multiplicas por
b.
Tu puntaje actual es de 88 y obtienes 1.3 y 0.6. Estima para decidir
tu mejor jugada y luego calcula el nuevo puntaje.
c.
Jahmal y Hannah juegan. En su último turno, el puntaje de Jahmal
fue de 57 y obtuvo 0.8 y 1.8. En su último turno, el puntaje de
Hannah fue de 89 y obtuvo 0.7 y 1.2. Si cada jugador hace su mejor
jugada, ¿quién tiene ahora el puntaje más alto? Explica.
LECCIÓN 3.3
Multiplica y divide decimales 219
Repaso
mixto
Calcula cada producto o cociente.
4
41. 5
44.
57
423 156
10
42. 1
3
45.
256
678 1469
345
43. 479
46.
479
345
112 64
Escribe cada fracción como decimal.
19
48. 250
17
47. 2
0
16
49. 9
Medición Convierte cada medida en metros.
50.
32 cm
51.
32 mm
53. Estadística
Toni les preguntó a sus
compañeros de curso sobre su estación
preferida y dispuso sus resultados en
una gráfica circular.
a.
¿Cerca de qué fracción de los
alumnos prefieren la primavera?
b.
¿Cerca de qué porcentaje de los
alumnos prefieren el verano?
c.
52.
32,000 cm
Estación preferida
Otoño
Invierno
Primavera
Verano
Si hay 20 alumnos en la clase de
Toni, ¿cerca de cuántos de ellos
eligieron el otoño o el invierno
como su estación favorita?
54. Economía
Jahmal trabaja de cuidador de mascotas y usa la siguiente
regla al cobrar:
Cobro $1 por mascota más $5 por día.
220 C A P Í T U L O 3
a.
¿Cuánto cobrará si cuida a Bud y Lou, los periquitos de la Srta.
Nasca, durante cuatro días?
b.
El Sr. Ruiz tiene un cobayo, tres jerbos y dos hurones. ¿Cuánto le
cobrará por cuidarle sus mascotas durante siete días?
c.
Jahmal se encargó de los gatos de la Srta. Chou durante cinco días,
cobrándole un total de $28. ¿Cuántos gatos cuidó?
Usa fracciones y decimales
Capítulo 3
Repaso&
autoevaluación
Resumen del capítulo
V O C A B U L A R I O
recíproco
En este capítulo, aprendiste a calcular con fracciones y decimales. Usaste
fichas de fracciones para sumar y restar fracciones de denominadores
distintos. Descubriste que al escribir las fracciones con un denominador
común, podías sumarlas o restarlas sin fichas de fracciones.
Luego usaste lo que sabes sobre la multiplicación de números enteros para
deducir cómo multiplicar uno de ellos por una fracción. Usaste diagramas de
rectángulos para hallar un método de multiplicación de fracciones.
Aprendiste a dividir un número entero entre una fracción mediante un modelo
y escribiendo productos relacionados. Luego estudiaste dos métodos para
dividir una fracción entre otra.
Finalmente te concentraste en las operaciones con decimales. Aprendiste que
podías usar estimaciones (junto con lo que ya sabes sobre la multiplicación y
división de números enteros) para multiplicar y dividir decimales.
Estrategias y aplicaciones
Las preguntas de esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas y
estrategias importantes desarrolladas en este capítulo.
Suma y resta fracciones y números mixtos
1.
Explica los pasos a seguir para sumar dos fracciones de denominadores
distintos. Ilustra los pasos con un ejemplo.
2.
Describe dos métodos para restar un número mixto de otro y usa uno de
ellos para hallar 713 456. Muestra tu trabajo.
Multiplica fracciones y números mixtos
3.
Multiplica 23 45 mediante un diagrama de rectángulo. Muestra cómo
se relaciona este método con el cálculo del producto de los numeradores
sobre el producto de los denominadores.
4.
Describe cómo multiplicarías dos números mixtos. Da un ejemplo que
ilustre tu método.
impactmath.com/self_check_quiz
Repaso y autoevaluación 221
Divide fracciones y números mixtos
5.
Describe dos maneras de dividir un número entero entre una fracción.
Ilustra ambos métodos con 4 23.
6.
Usa la división 56 49 para ilustrar un método de división de fracciones.
7.
Sin efectuar la división, ¿cómo puedes determinar si un cociente será
mayor que 1? ¿Menor que 1?
Multiplica y divide decimales
8.
Describe cómo multiplicar 9.475 0.0012 sin usar la calculadora.
Asegúrate de explicar cómo se decide dónde colocar el punto decimal.
9.
Describe cómo se puede usar lo que ya sabes sobre la división de
números enteros para dividir dos decimales sin usar la calculadora.
Ilustra tu método con 15.665 0.65.
10.
Supón que un dólar de EE.UU. equivale a 10.3678 dirham marroquíes.
a.
Para convertir $100 en dirham, ¿qué calcularías? Explica cómo sabes
que este cálculo es el correcto.
b.
Para convertir 100 dirham en dólares, ¿qué calcularías? Explica
cómo sabes que este cálculo es el correcto.
c.
Caroline dijo que $750 eran unos 7.5 dirham. ¿Es razonable la
estimación de Caroline? Explica.
Datos
de
interés
Marruecos está
situado en el extremo
occidental del norte de
África. Aun cuando el
clima en la mayoría del
país es bastante
cálido, partes de las
montañas tienen nieve
la mayor parte del año.
222 C A P Í T U L O 3
Usa fracciones y decimales
Demuestra tus destrezas
Calcula cada suma o resta. Reduce tus resultados y escribe los mayores que 1
como números mixtos.
4
11. 5
110
3
12. 7
5
14. 8
112
11
15. 2
4
17.
313 235
18.
59
13
13. 1
5
39
4
16. 5
138 34
19.
13
295
517 131
Calcula cada producto o cociente. Reduce tus resultados y escribe los
mayores que 1 como números mixtos.
20.
5 130
2
23. 3
12
6
26. 1
1
4 18
5
24. 8
27.
14
45 35
75
100
9
30. 1
4
327 237
343
33. 425
1
29. 3
32.
53
21.
22.
312 6
25.
123 78
123
28. 1
2
1261
343
425
12
123
15
31. 2
1
57
18
34. 3
5
1247
Usa el hecho que 652 25 16,300 para calcular cada producto
sin calculadora.
35.
65.2 2.5
36.
0.652 25
37.
6.52 0.00025
38.
6.52 2,500
39.
0.00652 0.25
40.
65.2 0.25
Calcula cada producto o cociente.
41.
0.25 400
42.
64 0.8
43.
32.07 0.001
44.
32.07 0.001
45.
7.75 12.4
46.
0.009 1.2
47.
0.144 0.6
48.
87.003 5.5
49.
19 0.00038
Repaso y autoevaluación 223