Analisis Numerico del calentamiento de vidrio fundido por medio de

III Congreso Internacional sobre Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas
S. Gallegos, I. Herrera , S. Botello, F. Zárate, y G. Ayala (Editores)
© ITESM, Monterrey 2004 CIMNE, Barcelona 2004
ANÁLISIS NUMÉRICO DEL CALENTAMIENTO DEL VIDRIO FUNDIDO
POR INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA A BAJA FRECUENCIA
E. Carrillo*, M.A. Barrón, J. González
Universidad Autónoma Metropolitana-Atzcapotzalco
División de Ciencias Básicas e IngenieríaApdo. Postal 118-338, Del. G. A. Madero, C. P. 07050
México, D.F., México
*e-mail: [email protected]
Resumen. La solución numérica de un modelo matemático sugiere que es posible inducir corrientes
eléctricas parásitas a 60 Hz en un líquido iónico con conductividad eléctrica similar a la del vidrio
fundido, el cual se encuentra confinado en un recipiente de forma toroidal. El modelo propuesto acopla
las ecuaciones de difusión electromagnética, de Navier-Stokes y de energía. La simetría del sistema de
coordenadas utilizado permite la reducción de las ecuaciones originales a ecuaciones diferenciales de
segundo orden, las cuales se resuelven por medio del método de disparo de Newton. Tal método maneja
satisfactoriamente los términos no lineales representados por la fuerza de Lorentz, la disipación óhmica y
el término inercial de la ecuación de movimiento. Los cálculos muestran que los devanados cuyas espiras
son paralelas al eje magnético del toroide y que imponen campos magnéticos rotatorios, favorecen el
proceso de inducción caracterizado por densidades altas de potencia.
Palabras clave: Corrientes parásitas, hornos eléctricos de vidrio, calentamiento por inducción,
magnetohidrodinámica, disparo de Newton.
1
INTRODUCCIÓN
La simulación numérica de procesos ha demostrado su utilidad al ofrecer un medio confiable y no
oneroso para la optimización de los procesos industriales existentes; además, facilita la exploración de
nuevos conceptos para el procesamiento de materiales. Tal es el caso del análisis teórico de la posible
aplicación de sistemas alternativos para el calentamiento del vidrio fundido, como es el debido a la
generación de corrientes parásitas o de Focault por inducción electromagnética a baja frecuencia. Aquí se
pretende extrapolar algunas ventajas de este proceso, corriente en la metalurgia, al calentamiento del
vidrio; entre las ventajas se pueden mencionar las siguientes: el manejo de altas densidades de potencia
que a su vez conducirían a tiempos de residencia cortos, ahorro de energía, reducción de tamaño de
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hornos, y la disminución drástica de emisiones contaminantes a la atmósfera. Actualmente el diseño
original del horno de vidrio regenerativo debido a Siemens, no ha cambiado sustancialmente desde 18601.
Se sabe que el vidrio fundido puede ser calentado por medio de la inducción electromagnética si se
utilizan frecuencias por encima de 1 kHz2-7. Para tamaños de hornos relativamente pequeños, las altas
frecuencias favorecen el confinamiento del campo inducido dentro del material fundido, tal como se
distribuye dentro de un material metálico utilizando bajas frecuencias. En la actualidad, debido al alto
costo del convertidor de frecuencias, la inducción como método de calentamiento del vidrio fundido
resulta poco atractivo. Es por eso que en este trabajo se propone explorar mediante el uso de
simulaciones numéricas, bajo qué condiciones el vidrio fundido se vuelve susceptible a los campos
magnéticos de bajas frecuencias.
Generalmente la geometría de los hornos de inducción para metales es cilíndrica. Ya que el eje del
cilindro tiene una longitud finita, los efectos de los extremos tienen que tomarse en cuenta en la
modelación matemática. Para efectos de simplificación, en este trabajo el análisis se llevará a cabo
situando al vidrio fundido dentro de un recipiente toroidal, ya que puede visualizarse a un toroide como
un cilindro que se estira axialmente de tal modo que las tapas inferior y superior se unan (Figura 1). Esto
es equivalente a considerar un cilindro con el eje longitudinal infinito.
La adaptación del sistema dentro de geometrías axi-simétricas permite eliminar en las ecuaciones de
gobierno los componentes vectoriales, además de reducir las ecuaciones diferenciales parciales originales
a ecuaciones diferenciales ordinarias.
r = Radio menor,
θ = Coordenada angular azimutal,
ϕ = Coordenada angular poloidal,
R = Radio mayor
ϕ
R
r
θ
Ecuaciones parámetricas:
x=(R+r.cosϕ).cosθ
y=(R+r.cosϕ).sinθ
z=r.senϕ
Figura 1. Sistema de coordenadas toroidales.
2
DEFINICION DEL SISTEMA
Para una caracterización suficiente del proceso de calentamiento por inducción, las ecuaciones de
Maxwell de electromagnetismo deben ser acopladas con las ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes
y la de energía de conservación de energía, de manera que las variables acopladas sean obtenidas
simultáneamente. Adicionalmente, ya que la solución de las ecuaciones de difusión corresponden al
campo de los números complejos, será necesario considerar en los acoplamientos las variables real e
imaginaria en el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Los términos fuente, tales como la fuerza volumétrica de Lorentz y la disipación óhmica, junto con el
término inercial representado por la derivada sustancial en las ecuaciones de movimiento, son no lineales.
Estas son algunas de las dificultades que deberá superar la solución numérica del proceso por
caracterizar. Debido al carácter fuertemente no lineal de las ecuaciones de gobierno, el acoplamiento de
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las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de un fluido ha sido reconocida como una tarea
formidable8-9
La gran mayoría de estudios reportados en el campo de la magnetohidrodinámica (MHD) son
isotérmicos 10-13, y no prevén la inclusión de la ecuación de energía térmica en el sistema. No obstante los
desarrollos en materia de modelación para los procesos que involucran a la MHD, Davidson14 señala que
a la fecha todavía no se tiene una caracterización satisfactoria del movimiento de metales fundidos en
sistemas tan utilizados en la industria de la fundición como lo es el horno de inducción. Por otra parte,
los paquetes de cómputo comerciales de dinámica de fluidos computacional (CFD) normalmente no
incluyen como accesorios estándar módulos para calcular la fuerza de Lorentz como término fuente en
las ecuaciones de movimiento para sistemas energizados por medio de electromagnetismo .
3
ECUACIONES DE GOBIERNO
La caracterización del comportamiento de las corrientes parásitas en medios conductores se obtiene a
partir de las ecuaciones clásicas del electromagnetismo desarrolladas por Maxwell en 1860. La ecuación
que resulta se conoce como ecuación de difusión electromagnética 15:
r
r
∂H
r r
∇ H + σ (T )µ∇ × (v × H ) = iσ (T ) ⋅ µ ⋅ ω
∂t
2
(1)
La ecuación anterior describe la distribución espacial del vector intensidad de campo magnético H
[A.m-1] al interior de un líquido conductor; en ella está incluido un término afectado por la velocidad del
fluido v [ms-1], que corresponde a la contribución convectiva al proceso de inducción electromagnética.
Por otro lado i es igual √-1, ω es la frecuencia angular eléctrica [s-1], µ es permeabilidad magnética del
conductor [H.m-1], y σ(T) la conductividad eléctrica [S.m-1] dependiente de la temperatura T[K] . De
acuerdo al método fasorial16, la dependencia temporal de H puede ser expresada en términos de variables
armónicas para campos electromagnéticos estacionarios. Otra clase de variables que también satisfacen a
la ecuación (1) utilizan la funcionalidad tipo onda viajera16, con lo que la solución de la ecuación (1) puede
expresarse por medio de la siguiente relación:
r r
H ϕ (r , θ , ϕ , t ) ≡ H ϕ (r ) exp[i (ωt − k ϕ • r )]
(2)
En la ecuación anterior r, θ y ϕ son las coordenadas radial, azimutal y poloidal, respectivamente, en un
sistema de coordenadas toroidales (ver Figura 1). El vector kϕ es el parámetro que describe el
comportamiento viajero de la variable electromagnética en cuestión, cuyos componentes son los números
de onda. Estos pueden ser aproximados por los inversos de los pasos polares que comúnmente se
manejan en el diseño de los estatores del motor de inducción17.
El componente escalar del campo magnético H a caracterizar, será en la dirección poloidal ϕ como lo
indica el subíndice mostrado en la ecuación (2); esto significa que el campo inducido poloidal en la
superficie del fluido conductor es originado por una corriente eléctrica azimutal, es decir, los ejes
longitudinal de los conductores de la bobina de excitación deberán estar alineados al eje magnético o de
simetría del toroide, Figura 1. Esta configuración, junto con el embobinado de campo rotatorio, no se ha
explorado para la inducción de vidrio fundido a 60 Hz. Con esta configuración en mente, se pretende en
este trabajo obtener distribuciones de corrientes parásitas inducidas semejantes a los que presentan los
metales cuando se someten a la presencia de campos magnéticos alternos de excitación.
El análisis que se presenta será circunscrito a la masa de vidrio fundido. La intensidad de campo
magnético Hϕs en la superficie externa del toroide se tomará con el mismo valor que resulta de la
superposición de los campo rotatorios impuestos por la fuente de excitación externa en el intersticio (H0),
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el cual se considerará despreciable. Dicho espacio intermedio debiera estar ocupado por los materiales
refractarios y por aislantes térmicos y eléctricos .
Por otro lado, la ecuación que describe el movimiento de un fluido conductor y viscoso en régimen
laminar y bajo el efecto de fuerzas electrodinámicas, es en estado estacionario12:
r
r
14424 4
3
ρ (T )(vr • ∇ )vr = −∇ P + η (T )∇ 2 vr + ρ (T )gr + [∇ × H ]× µ 0 H
(3)
Fuerza de Lorentz
la cual se conoce como la ecuación de Navier Stokes en su forma vectorial. Aquí P es la presión del fluido
[Nm-2], g es la aceleración de la gravedad [m.s-2]; ρ(T) es la densidad y η(T) la viscosidad, las cuales son
función de la temperatura T. El término fuente del extremo derecho representa la fuerza volumétrica de
Lorentz. La componente dominante de la fuerza de Lorentz apunta hacia el eje magnético del toroide,
implicando un posible movimiento del fluido en la dirección del radio menor r. Las otras componentes
de Lorentz restantes se suponen despreciables, de manera que las ecuaciones de movimiento en las
direcciones angulares no se consideran.
Aplicando el teorema de los valores eficaces16 al último término de la ecuación (3) en coordenadas
toroidales, y haciendo uso de la regla de la mano derecha16, la expresión para la fuerza de Lorentz después
de despreciar los componentes de H en la dirección radial es como sigue:
FLr = −
2
2
µ0  [Re(Hϕ )] + [Im(H ϕ )]

2 
r
+ Re(H ϕ )
d Re(H ϕ )
dr
+ Im(H ϕ )
d Im(Hϕ )

dr 
(4)
La ecuación que complementa el acoplamiento de las ecuaciones de gobierno es la conservación de
energía9:
r
r
r
∇×H v
r
ρ C p (v • ∇ T ) = ∇ • (k T ∇ T ) − 
− v × µ 0 H  • ∇ × H
 4 44
1σ4(T4) 4 4
42 4 4
3
(5)
pérdidas por efecto Joule
donde la capacidad calorífica a presión constante (Cp) y la conductividad térmica (kT) se tomarán como
constantes, adoptando los valores de 1256 J.K-1. kg-1 y 75 W.m-1s-1, respectivamente. El último término de
la ecuación (5) es el término fuente derivado de la ley de Ohm para fluidos conductores; el factor que más
contribuye a este término está dado por el cuadrado del módulo del fasor de la densidad de corriente en
la dirección azimutal (Jθ), obtenido de las distribuciones de intensidad de campo magnético poloidal (Hϕ)
y sus derivadas, de acuerdo a la ley circuital de Ampere16. Finalmente, el último término de la ecuación (5)
queda en forma expandida de la siguiente manera:
Jθ
2
2σ (T )
=
Re Jθ∗ ⋅ Jθ
1   Re(H ϕ ) d (Re H ϕ )   Im(H ϕ ) d (Im H ϕ ) 

 + 

+
=
+
2σ (T )
2σ (T )   r
dr
dr

  r
(
)
2
2




(6)
Los valores promedio reales en el tiempo resultan de aplicar el teorema de los valores eficaces para
variables armónicas. En la ecuación (6) J*θ es el conjugado complejo de Jθ.
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4
MÉTODO DEL DISPARO DE NEWTON
El método del disparo de Newton18 convierte un problema de valor en la frontera en uno de
condición inicial, haciendo uso de los poderosos y conocidos algoritmos para la integración de problemas
con valores iniciales de Runge-Kutta y Euler. Esencialmente, el método de disparo de Newton consta de
los siguientes pasos:
1.- Las condiciones iniciales no especificadas del sistema de ecuaciones diferenciales son supuestas, y
se conocen como “disparos”.
2.- Se desarrolla un conjunto de ecuaciones variacionales que muestran la sensibilidad de las variables
dependientes con respecto a los disparos.
3.-El sistema principal y las ecuaciones variacionales son integradas hacia adelante como un conjunto
de sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas con valor inicial.
4.-Las condiciones supuestas iniciales o disparos γ son corregidos usando las variaciones ∆γ
(sensibilidades) calculadas en el paso anterior.
5.- Los pasos 2 y 4 se repiten con disparos corregidos γ , hasta que se obtienen los valores
especificados terminales dentro de un criterio de convergencia pequeño |δ| <=ε .
El método del disparo de Newton puede ser aplicado exitosamente a problemas de valor frontera
altamente no lineales en tanto que los problemas de valor inicial sean estables y se puedan hacer un
conjunto de atinadas suposiciones para las condiciones no especificadas.
5
VARIACIÓN DE LAS PROPIEDADES FÍSICAS DEL FLUIDO RESPECTO DE LA
TEMPERATURA.
Todas las ecuaciones que van ser acopladas comparten variables electromagnéticas constituidas por el
vector de intensidad magnética Hϕ,, ya sea describiendo a la fuerza de Lorentz o como manifestación del
efecto Joule; sin embargo, la temperatura, además de ser la variable por caracterizar en la ecuación de
energía, aparece tanto en la ecuación de movimiento formando parte del término de presión hidrostática
transformándolo en un tipo de fuerza de flotación, así como en las de difusión electromagnética (real e
imaginaria) donde la conductividad eléctrica depende de la temperatura.
La conductividad de las soluciones iónicas es dependientes de la temperatura, comportándose de
manera opuesta a como lo hacen los metales, es decir, la conductividad es proporcional a la temperatura
del líquido conductor. Para incluir dicho comportamiento en las ecuaciones de difusión, se plantea tal
funcionalidad de la siguiente manera:
4890 


 T − 273.15 
σ (T ) = 563 exp −
S 
 m 
(7)
Para la viscosidad dinámica υ en los vidrios comerciales, la funcionalidad se representa como
ρ 1
10525.0704 

= = exp14.29 −

T − 525.6 
η υ

s2 
 
m
(8)
mientras que la viscosidad cinemática η del vidrio se representa así:
1
η
=
1
10525.0704 

⋅ exp14.29 −

2500(1 − β ⋅ T )
T − 525.6 

(9)
donde β es el coeficiente de expansión volumétrico, igual a 5.3x10-5 K-1. También, la difusividad térmica
del vidrio fundido puede ser expresada como:
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1
αT
(
= 41866.66 1 − 5.3 ⋅ 10− 4 T
)
 s 
 2
m 
(10)
6
FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES VARIACIONALES DE DIFUSIÓN
ELECTROMAGNÉTICA
Para ilustrar la manera en que se estructurará el sistema de ecuaciones del proceso, se muestra a
continuación el procedimiento aplicado paso a paso para la primera ecuación del acoplamiento, a saber, la
ecuación de difusión electromagnética real. Tomando los coeficientes variables expresados en términos
simples de la funciones seno y coseno por su valor medio cuadrático de la componente poloidal de la
ecuación vectorial (1), esta se reduce a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con
coeficientes reales e imaginarios:
.
d 2 Hϕ
dr 2
[ ]
[ ]
2
3


2
2 k ϕϕ
1 + k ϕϕ

1  dH ϕ

2
2

(
)
−
−
+
+
H
i
T
+
+
σ
µ
ω


ϕ
0


2(R + 2 2 r )r  (R + 2 2 r )2
r2
 R + 2 2 r r  dr


2
−


(R + 2 2 r )r  (11)
2
vr H ϕ 
 dH ϕ
dv
+ µ 0 σ (T )v r
+ Hϕ r +
=0
dr R + 2 2 r 
dr

Al asumir que la intensidad de campo magnético poloidal es un variable compleja que toma la forma:
H ϕ = Re (H ϕ ) + i Im(H ϕ )
(12)
y considerando la dependencia de la conductividad eléctrica respecto de la temperatura de acuerdo a la
relación (7), se obtienen dos ecuaciones acopladas para las partes real e imaginaria de la ecuación (11),
cuyos lados derechos comparten el origen del plano complejo:
[ ]
2


2 k ϕϕ
d 2 Re(H ϕ ) 
1  d Re(H ϕ )
 − 4890 
2


(
)
ωµ
−
+
Im
⋅
563
exp
+
+
H


ϕ


2


(
)
+
−
273
.
15
2
dr
T
R
r
r
dr 2


2
 R + 22 r r 


[ ]
2


3
1 + k ϕϕ
2
2
−
− Re(H ϕ )−
+
+
2
2
2
2
r
 r (R + 2 r )

(
)
+
R
r
2


dv

1
 − 4890   d
Re(H ϕ ) + Re(H ϕ ) r + v r Re(H ϕ )
=0
− µ 0 563 exp
 v r
dr
R + 2 2 r 
 T − 273.15   dr
(13)
[ ]
2


2 kϕϕ
d 2 Im(H ϕ ) 
1  d Im(H ϕ )
 − 4890 
2


(
)
+
+
−
−
⋅
ωµ
Re
563
exp
H


ϕ


2


(
)
+
−
273
.
15
2
dr
T
R
r
r
dr 2


2
 R + 22 r r 


[ ]
2


3
1 + kϕϕ
2
2

− Im(H ϕ )−
+
+
2
2
r2

 r (R + 2 2 r )
(
)
R
+
r
2



dv
1
 − 4890   d Im(H ϕ )
+ Im(H ϕ ) r + v r Im(H ϕ )
− µ 0 563 exp
 v r
 =0
dr
dr
R + 22 r 
 T − 273.15  
(14)
La ecuación (13) es la ecuación de difusión electromagnética poloidal para el campo magnético real la
cual se iguala al cero del eje real; aquí se presenta la conductividad del vidrio como función de la
temperatura. La ecuación (14) resulta de la agrupación de los términos imaginarios, cuyo lado derecho
corresponde al origen de las abscisas en el plano complejo.
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La derivada respecto de la temperatura de la conductividad eléctrica dada por la ecuación 7 está dada
por
(4890 )563 exp − 4890 
dσ (T )
=


dT
(T − 273.15)2  T − 273.15 
 S 
 m ⋅ K 
(15)
Considerando la expresión (15), después de la derivación implícita la parte real de la ecuación de
variaciones para la difusión magnética en la dirección poloidal (13) queda dada por:
d
dγ
[ ]
2
2
 d Im(H ϕ )
 d 2 Re(H ϕ ) 
2 k ϕϕ
1  d Re(H ϕ ) 
 − 4890 
2

 = −

−
⋅
−
+
563
exp
ωµ




2
2




(
)
T
R
r
r
dγ
−
+
273
.
15
2
dr


2
 R + 2 2 r r  drdγ




− ωµ Im(H ϕ )
(4890)563 exp − 4890  dT


(T − 273.15)2  T − 273.15  dγ
[ ]
d Re(H ϕ ) 
1 + k ϕϕ
2

+
−
+
dγ
r2
 r (R + 2 2 r )

2
+
[ ] 22 (R +
− Im(H ϕ ) kϕϕ
(r (R +
2r
2
)
r ))
2
2
dr
dγ


(R + 2 2 r )2 
3
2
 d 2 Re(H ϕ ) dv r d

d Re(H ϕ ) dv r d 2 v r
+
+
Re(H ϕ ) +
Re(H ϕ )
v r
drdγ
dγ dr
dγ
dr drdγ
 − 4890  

+ µ 0 563 exp


T
−
273
.
15
(
)
(
)
(
)
H
d
H
v
H
Re
Re
Re
 


 vr
r
ϕ  dv r
ϕ
ϕ  dr 
+ 




+

−

dγ
  R + 2 2 r  dγ  R + 2 2 r 
(R + 2 2 r )2  dγ  
[ ]
 R + 2r

1 + k ϕϕ
dr
1
1  d Re(H ϕ )  dr 



(
)
H
+
+
−
+
2
Re

ϕ
 dγ 
2
2
2
dr
dγ
r 2 
r3
 (r (R + 2 2 r ))
 
 (R + 2 r )

(
)


(R + 2 2 r )3 
(4890)563 exp − 4890  dT v d Re(H ϕ ) + Re(H ) dv r + v Re(H ) 1 
+



ϕ
r
ϕ
dr
R + 22 r 
(T − 273.15)2  T − 273.15  dγ  r dr
2
−
3
2
(16)
La ecuación (13) forma parte de las ecuaciones ordinarias principales, mientras que la ecuación (16)
queda englobada dentro del sistema de ecuaciones como parte del bloque de ecuaciones diferenciales
variacionales que ponderan la sensibilidad del disparo inicial γ.
7
REDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO Y DE ENERGÍA COMO
FUNCIÓN DEL RADIO MENOR
Al substituir el término fuente de la fuerza de Lorentz de la ecuación (4) en la ecuación (3) en donde
se han substituido los coeficientes variables seno y coseno por su valor medio cuadrático, se llega a:
(
)
2

 R + 2r  
 ρ(T ) 
d 2vr dvr  R + 2r
2
 + vr 
+
− vr 
−


dr2 dr  r(R + 2 2 r)
[r(R + 2 2 r)] r(R + 2 2 r) 
 η(T ) 
2
2
d Re(Hϕ )
d Im(Hϕ )
µ0  Re(Hϕ ) + Im(Hϕ )
2
gz β(T − T ) = 0
+
+ Re(Hϕ )
+ Im(Hϕ )
−

r
dr
2η(T ) 
∂r  2υ(T )
[
] [
]
(17)
En la ecuación de energía térmica (5), al substituir el término fuente desarrollado en la ecuación (6) y
simplificando, se obtiene la siguiente expresión:
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética
d 2T   ρ (T ) ⋅ C p 
( R + 2r )  dT  µ0
vr −
=  
 −
2
dr
r ( R + r 2 2 )  dr  2kT

  kT
( ϕ )2
 Re H
vr 
r

1   Re(Hϕ ) d (Re Hϕ )   Im(Hϕ ) d (Im Hϕ ) 

 +

−
+
+
dr   r
dr 
2σkT   r

2
2
+ Re(Hϕ )
d (Re Hϕ ) Im(Hϕ )2
d (Im Hϕ )
+
+ Im(Hϕ )

r
dr
dr





(18)
La ecuación (18) se ha expresado en función de la segunda derivada de la temperatura, para ser
incluida en el sistema de ecuaciones resueltas utilizando el método de disparo de Newton; el coeficiente
que afecta a la velocidad radial en el primer término de la derecha, constituye el inverso de la difusividad
térmica según la ecuación (10).
8
ACOPLAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE DIFUSIÓN ELECTROMAGNÉTICA,
DE MOVIMIENTO Y DE ENERGÍA.
A continuación se presenta la estructuración del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
acopladas. El sistema constará de nueve ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas incógnitas se designan
de esta manera:
y1 =
d Re(Hϕ )
dr
y2 =
,
dr
dv
y5 = r ,
dr
y4 = r,
y7 =
d Im(Hϕ )
dT
dr
y3 = Im(Hϕ ),
,
r
y6 = Re(Hϕ ) ,
y8 = T
y9 = vr
(19)
Respecto al grupo de ecuaciones anterior, es posible determinar ecuaciones variacionales que sean
sensibles a un mejor disparo inicial γ, mismas que se muestran en el sistema de ecuaciones (20), obtenido
mediante la derivación implícita de (19) respecto a γ :
y10 =
d 2 Re(H ϕ )
drdγ
dr
y13 = ,
dγ
y16 =
d 2T
drdγ
,
y11 =
d 2 Im(H ϕ )
drdγ
d 2 vr
,
y14 =
drdγ
y17 =
dT
,
dγ
,
y12 =
y15 =
y18 =
d Im(H ϕ )
dγ
r
d Re(H ϕ )
dγ
,
,
dvr
dγ
(20)
El lado derecho de cada ecuación del conjunto de igualdades anterior, se substituye atendiendo la
nomenclatura del grupo de igualdades (21):
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética
y10 =
dy1
,
dγ 9
y11 =
dy 2
,
dγ 9
y12 =
dy3
,
dγ 9
y13 =
dy 4
,
dγ 9
y14 =
dy5
,
dγ 9
y15 =
dy6
,
dγ 9
y16 =
dy7
,
dγ 9
y17 =
dy8
,
dγ 9
y18 =
dy9
dγ 9
(21)
En el bloque de ecuaciones (21) se substituye en la ecuación de difusión real (13), obteniéndose:

dy1
= −
dr
R +
2
2
2
2
y4
+
[ ]


2 kϕϕ
 − 4890 
1

 −
 y1 − y3 ωµ ⋅ 563 exp
2

(
)
273
.
15
2
y4 
y
R
y
y
−
+
2
8
4
4




[ ]
2

1 + kϕϕ
2
+ y6 −
+
+
y42
(R +
 y4 (R + 2 2 y4 )
3
2
2
y4 )
2
2



 − 4890 

1
 y9 y1 + y6 y5 + y9 y6
+ µ 0 563 exp

2
R + 2 y4 
 y8 − 273.15 
(22)
La misma operación se aplica tanto a la ecuación de difusión imaginaria dada por la ecuación (14):

dy 2
= −
dr
R +
2
2
2
2
[ ]

2 k ϕϕ
 − 4890 
1

 −
+  y 2 + y 6 ωµ ⋅ 563 exp
2

y4 y4 
 y 8 − 273.15  2(R + 2 y 4 )y 4

[ ]

1 + k ϕϕ
2
+ y 3 −
+
y 42
 y 4 (R + 2 2 y 4 )

2
+
3
(R +
2
2
2


2
y 4 ) 




(23)
 − 4890 

1
 y 9 y 2 + y 3 y 5 + y 9 y 3
+ µ 0 563 exp

2
R + 2 y4 
 y 8 − 273.15 
También para la ecuación de movimiento (17):
 R + 2 y4

10525.0704
dy5

= − y5 
− y9 exp14.29 −
2
dr
y4 − 525.6 

 y4 (R + 2 y4 )
(
)
2

 R + 2 y4  
2
− y9 
−

[y4 (R + 2 2 y4 )]  y4 (R + 2 2 y4 ) 

2
10525.0704
( y8 − T )
gz β exp14.29 −
+
2
y8 − 525.6 




µ 
1
10525.0704 y62 + y32
 ⋅ exp14.29 −

+ y6 y1 + y3 y2 
− 0 
2  2500(1 − β ⋅ y8 ) 
y4 − 525.6  y4


También en la ecuación de energía (18):
(24)
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética
(
)
dy7 
(R + 2 y4 ) 
y7
= 41866.661 − 5.3 ⋅ 10−4 ⋅ y8 y9 −
y4 (R + y4 2 2 ) 
dr 
2
2


 
 y
µ
y2
y2
1   y6
 + y1  +  3 + y2  
− 0 y9 − 6 − y6 y1 − 3 − y3 y2  −
 
 y
2kT  y4
2σ ⋅ kT   y4
y4
 
  4


(25)
La ecuación (16), considerando la nomenclatura del grupo de igualdades (20) y (21), queda dada por:

d  dy1 

 = −
dγ  dr 
R +
2
2
2
2
y4
+
[ ]


2 kϕϕ
 − 4890 
1

 y12


−
−
⋅
ωµ
y
563
exp
10



2


(
)
+
−
y4 
y
R
y
y
273
.
15
2
2
4
4
8




(4890)563 exp − 4890  y − y [k ϕ ]
− ωµ ⋅ y3
(T − 273.15)2  y8 − 273.15  17 3 ϕ
+
(
[ ]
)

1 + kϕϕ
2
2
R + 2 y4

+
−
+
y
y
13
15
2 ( y4 (R + 2 2 y4 ))2
y42
 y4 (R + 2 2 y4 )
2
+
3
(R +
2
2
2


2
y4 ) 
(4890)563
 − 4890 

y9 y6 
 y17  y9 y1 + y6 y5 +
exp

R + 2 2 y4 
( y8 − 273.15)  y8 − 273.15  
2

 − 4890 




y6
y9
y9 y6
 y9 y10 + y18 y1 + y15 y5 + y14 y6 + 
 y18 + 
 y15 −
y
+ µ 0 563exp
2 13 
2
2
2
(R + 2 y4 ) 
 R + 2 y4 
 R + 2 y4 
 y8 − 273.15 
(
[ ]
)
2
 R + 2y

1 + kϕϕ
1
1
4
−
−
+
+ 2  y1 y13 + 2 y13 y6 
2
2
y43
(R +
 ( y4 (R + 2 2 y4 ))
 (R + 2 2 y4 ) y4 
3
2
2
2


3
y4 ) 
(26)
La ecuación (14) con sus respectivos reemplazos empleando las ecuaciones (20) y (21) queda:
[ ]
2


3
1+ kϕϕ
d  dy2   22
1
2
2

+ y11 + y12−
+ 2 +
  = −
dγ  dr  R + 22 y4 y4 
y4
 y4(R + 22 y4 )
(R+ 22 y4)2 


2 kϕϕ




y15 +ωµ⋅ y6 (4890)563 exp − 4890  y17 + y6 kϕϕ 2 R + 2r y13
ωµ0 ⋅ 563exp − 4890  −
2



2


2 (r(R + 22 r))2
( y8 − 273.15)  y8 −273.15
 y8 − 273.15 2(R + 2 y4 )y4 

[ ]
[ ]
(

 − 4890 
 y3 
 y9 
y9 y3
y9 y11 + y18y2 + y12y5 + y14y3 +
y18 +
y12 −
y
+ µ0 563exp
2 13
2
2
(R+ 22 y4) 
 R + 2 y4 
 R + 2 y4 
 y8 − 273.15
(
)
[ ]
2

 R + 2y
3

1+ kϕϕ
1
1
2
4


y
y
y
y
+
−
−
2
+
+
13 3
2
2
2  2 13
2
y43
(R+ 22 y4)3 
( y4(R + 22 y4 ))
(R + 2 y4 ) y4 
+
(4890)563 exp −4890  y y y + y y + y9y3 
( y8 −273.15)2  y8 −273.15 17  9 2 3 5 R+ 22 y4 
La ecuación variacional de movimiento obtenida a partir de la ecuación (24) es la siguiente:
)
(27)
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética

 ∂  ∂y5
R + 2y4
10525.0704
10525.0704 
10525.0704
 + y5 y9
y
 
exp14.29−
= −y14
+ y9 y14 exp14.29−
2
2
( y8 − 525.6) 
( y8 − 525.6)  17
y4 (R + 2 2 y4 )
y8 − 525.6 
 ∂γ  ∂r

(
)
(
)
(
)
2
2
 3 2 R + 2y

 R + 2y4  
 R + 2y4  
2
4

− 2
−
−
 ( y18 + y5 y13 ) + y9 y13 
2

2
[y4 (R + 2 2 y4 )]
[y4 (R + 2 2 y4 )]  y4 (R + 2 2 y4 ) 
 y4 (R + 2 y4 )  
+

2
10525.0704
10525.0704 
( y8 −T )
+1 y
gz β exp14.29−
2
y8 − 525.6 
( y8 − 525.6)2  17


(525.6) 10525.0704  y  y62 + y32 + y y + y y 
10525.0704
β

+

 ⋅ exp14.29−
17 
6 1
3 2
2  2500
y8 − 525.6  (1− β ⋅ y8 )2 (1− β ⋅ y8 ) ( y8 − 525.6)2   y4


−
µ0  1 
−
µ0 



y2 + y2 2
1
10525.0704
− y13 6 2 3 + ( y6 y15 + y3 y12 ) + y15 y1 + y6 y10 + y12 y2 + y3 y11
 ⋅ exp14.29−

2  2500(1− β ⋅ y8 ) 
y8 − 525.6 
y4
y4


(28)
y la ecuación variacional de energía proveniente de la ecuación (25) es:
(
)

 y2
y2
µ
d  dy7  
(R + 2 y4 ) 
y16 + 0 y18 6 + y6 y1 + 3 + y3 y2 
  = 41866.661 − 5.3 ⋅10−4 ⋅ y8 y9 −


dγ  dr  
y4
2kT  y4
y4 (R + y4 2 2 ) 

2



(R + 2 y4 ) 
2
−4


y7  41866.661 − 5.3 ⋅10 ⋅ y8 y9 y17 − 2219y9 y18 +
−


2

y (R + y4 2 )  y4 (R + y4

 4

(
)
 
y 
2 )  13 

2
 






 2
 2
 − y  y6  + y  2 y6  + y  + y y − y  y3  + y  2 y3  + y  + y y  µ0 y
12 
2
3 11
15 
1
6 10
13 2 
13 2 



 2kT 9
 y4 
 y4 

  y4 

  y4 


−


 y
 y
1  y6
1
1  y3
1
 + y2  − 3 y13 + y12 + y11
 + y1  − 6 y13 + y15 + y10  −
2
2








y4
y4
σ ⋅ kT  y4
 y4
 y4

 σ ⋅ kT  y4
(29)
Las ecuaciones (22)-(29) se organizan en el siguiente bloque:
dy1
= (Eq.22 )
dr
dy
G4 = 4 = 1
dr
dy
G7 = 7 = (Eq.25)
dr
dy10
= (Eq.26 )
G10 =
dr
dy
G13 = 13 = 0
dr
dy
G16 = 16 = (Eq.29 )
dr
G1 =
dy 2
= (Eq.23)
dr
dy
G5 = 5 = (Eq.24 )
dr
dy
G8 = 8 , = y 7
dr
dy11
= (Eq.27 )
G11 =
dr
dy
G14 = 14 = (Eq.28)
dr
dy
G17 = 17 = y16
dr
G2 =
dy 3
= y2
dr
dy
G6 = 6 = y1
dr
dy
G9 = 9 = y 5
dr
dy
G12 = 12 = y12
dr
dy
G15 = 15 = y15
dr
dy
G18 = 18 = y14
dr
G3 =
(30)
Las ecuaciones diferenciales ordinarias quedan determinadas por los renglones G1 a G9 en el bloque de
ecuaciones anterior, al cual se le adicionan 9 ecuaciones diferenciales variacionales desde G10 a G18; de
esta manera se conforma el sistema de ecuaciones diferenciales por resolver.
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética
9
CONDICIONES FRONTERA PARA LAS SIMULACIONES
Las variables de campo electromagnético (y1,,y2,y3 y y6 ) deben reflejar la ausencia de campo
magnético en el origen del radio menor, debido a la reacción contra el campo original de excitación de
acuerdo a la ley de Lenz16. De esa manera los valores frontera en r= 0, para y1,,y2, y y3 se consideran igual
a cero y se alimentan como valor inicial en el método de disparo de Newton. Por otro lado, para evitar
soluciones triviales, el valor inicial de la variable real de intensidad de campo magnético y6 se toma muy
pequeño pero no igual a cero. El valor asignado en este punto determinará en gran medida las
magnitudes de campo en la superficie del toroide. A la variable y4, que fue sustituida por r, en la frontera
derecha se le asigna un valor muy pequeño, 10-5 m, ya que este aparece como un punto singular en la
ecuación de difusión electromagnética:
d Re(H ϕ )
dr
d Im(H ϕ )
dr
Im(H ϕ )
Re(H ϕ )
= y1
r =0
= y2
r =0
=0
r =0
=0
(31)
r =0
r =0
= y3
r =0
r =0
= y6
r =0
=0
≈ 7.7 *10 − 22
Para la temperatura y la velocidad, dada la simetría del toroide, en la coordenada radial debe
presentarse una distribución parabólica, es decir los gradientes deben valer cero en r=0:
dv r
= y 5 r =0 = 0
dr r =0
(32)
dT
= y 7 r =0 = 0
dr r =0
T
vr
r =0
r =0
= y8
= y9
r =0
r =0
= Tseno
=γ9 ≈ 0
(33)
Las temperaturas en ambos extremos del radio menor se mantuvieron dentro del intervalo en el que el
vidrio fundido es eléctricamente conductor, de modo que no afectara el acoplamiento magnético en las
ecuaciones de difusión. Por otro lado, la velocidad radial del fluido en la superficie del toroide es cero en
vista de la muy conocida condición de no deslizamiento.
El bloque de ecuaciones (30) fue transcrito al código BOUNDARY.BAS18 desarrollado en lenguaje
interprete GWBASIC utilizando 75 pasos de integración. El criterio de convergencia adoptado fue que el
error resultarara menor de10-6.
10 RESULTADOS Y ANÁLISIS DE LAS SIMULACIONES NUMÉRICAS
Asumiendo un volumen del recipiente toroidal de 1.25 m3, para el cual no se han explorado las
condiciones en las que se lleve a cabo un calentamiento efectivo por inducción en vidrio fundido a 60
Hz19, se fijaron como dimensiones para las simulaciones numéricas un radio menor de 0.1 m y radio
mayor de 0.4 m. Además, se consideró una fuente externa de excitación de tipo poloidal.
La Figura 2 muestra las distribuciones de las variables electromagnéticas inducidas cuando se fija en la
superficie una intensidad de campo magnético viajero poloidal de 1000 A.m-1 con un número de onda de
valor igual a 12. La distribución presentada por los campos magnéticos está acorde a la que presentan los
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética
-
1000
4
5x10
800
Intensidad de Campo magnético Real kϕ=12
Densidad de corriente Real , kϕ=12
4
4x10
600
4
3x10
400
4
2x10
200
0.05
0.10
0.15
0.20
0
0.25
-2
0
0.00
4
1x10
Densidad de corriente eléctrica azimutal Re(Jθ) [Am ]
Intensidad de campo magnético poloidal Re(Hϕ) [Am 1]
buenos conductores a baja frecuencia y los pobres conductores a altas frecuencias. El campo que se
induce según la ley de Lenz tiende a oponerse al campo original, siguiendo el principio de conservación
de la energía, confinando al campo magnético sobre la periferia del conductor.
Radio menor [m]
Figura 2.-Distribuciones de campos magnéticos inducidos al interior de un toroide conteniendo vidrio fundido bajo la influencia de un
campo de excitación rotatorio poloidal de 1000 Am-1 con un número de onda k=12.
Las temperaturas del vidrio fundido mostradas en la Figura 3 aumentan conforme se acerca a la
superficie, ya que es en esa zona donde los campos magnéticos son más intensos. Para fines prácticos,
toda la masa de vidrio fundido actúa como un sumidero de calor, teniendo disponible en la superficie
externa del toroide una potencia de 6.682 MW; esta potencia se obtuvo mediante la integración de la
ecuación (6) sobre el volumen del toroide, utilizando la regla de Simpson de 1/3 compuesta en 75
intervalos. La potencia coincide con la transferencia en el estado estacionario de acuerdo a la ley de
Fourier:
dT
q&
= kT
Area
dr
(34)
El gradiente en la superficie se lee a la derecha de la Figura 3 , de donde resulta un valor de 9033.0
K.m-1. Mediante la ecuación anterior, y teniendo en cuenta que el área de la superficie del toroide es de
9.8696 m2, y que la conductividad térmica kT del vidrio de 75 W.m-1s-1, se puede estimar la potencia
disponible hacia los alrededores:
q& = k T
dT
Area = 75 * 9,033 * 9.8696 = 6,686,407.W
dr
(35)
De acuerdo al volumen del toroide, la alta potencia que se desarrolla es típica del calentamiento por
inducción en metales.
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética
4
1.0x10
3
8.0x10
o
.
Gradiente de Temperatura
Temperatura del vidrio fundido
1480
3
6.0x10
1460
1440
3
4.0x10
0
Temperatura [ C]
Gradiente de Temperatura [ K m-1]
1500
1420
3
2.0x10
1400
0.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Radio menor [m]
Figura 3-Dstribuciones de las variables de temperatura al interior de un toroide conteniendo vidrio fundido bajo la influencia de un
campo magnético de excitación rotatorio de 1000 Am-1 caracterizado por un número de onda k=12
La combinación de las fuerzas de flotación y de Lorentz provoca movimientos en el fluido, como se
observa en la Figura 4. Sin embargo, las magnitudes de tales movimientos son relativamente bajas debido
a la alta viscosidad y la alta resistividad eléctrica del vidrio fundido. La alta viscosidad requiere de campos
electromagnéticos intensos que produzcan fuerzas volumétricas relativamente altas, mientras que la alta
resistividad genera demasiada potencia con corrientes inducidas relativamente bajas. Debido a lo anterior,
el vidrio fundido podría ser considerarlo como un cuerpo rígido cuando se trate de describirlo bajo el
efecto de algún fenómeno magnetohidrodinámico.
11
CONCLUSIONES
En sistemas axisimétricos, el método de disparo de Newton muestra la factibilidad de resolver un
sistema de ecuaciones diferenciales parciales al transformarlo en uno de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Esta técnica resulta conveniente al enfrentar no linealidades, además de que facilita la
solución de ecuaciones acopladas, como es el caso de las que gobiernan el calentamiento de vidrio
fundido por inducción electromagnética.
A pesar de la proliferación de sofisticados paquetes de cómputo de propósito específico, herramientas
relativamente sencillas como las empleadas en este trabajo aún pueden ser consideradas como una
alternativa para iniciar el entendimiento de algunos procesos mediante la simulación. Como resultado del
análisis numérico del proceso considerado, el calentamiento por inducción a baja frecuencia en el vidrio
fundido se muestra promisorio.
E. Carrillo, M.A. Barrón, J. González/Análisis Numérico del Calentamiento del Vidrio Fundido por Inducción Electromagnética
0.05
0.00035
-1
0.00030
-1
0.00025
0.03
0.00020
0.02
0.00015
0.01
0.00
-0.01
0.00
-1
0.00010
Velocidad radial [ms ]
Gradiente de velocidad [s ]
0.04
Gradiente de velocidad radial [s ]
. -1
Velocidad del vidrio fundido [m s ]
0.00005
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00000
0.25
Radio menor [m]
Figura 4-Perfiles de velocidad radial y de gradiente de velocidad radial correspondientes a las condiciones de la Figura 3.
12 REFERENCIAS
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