Divisibilidad Infinita Libre de Medidas de Probabilidad
Anuncio
Divisibilidad In
nita Libre
de Medidas de Probabilidad
Octavio Arizmendi Echegaray
Facultad de Matemáticas
Universidad de Guanajuato
Junio 2008
Guanajuato, Guanajuato
A mis padres, Lilia y Enrique,
y a mis hermanos, Damián y Gerardo
Agradecimientos
me es osible
nombrar a todas la ersonas einstituciones
En estas
contribuyeron de alguna
a la real
de este traba
En rimer lugar, doy las gracias a mis me han oyado en
cual
royecto he decidido
render en mi vida y cuya direc n me
ha ermitido concluir una carr
mencionar el recio le tengo a mi director de tesis Dr
ctor
Abreu y reconocerle el tiem o, la tolerancia y la con
anza
Manuel P
me ha otorgado, sin lo cual no habr sido osible esta tesis
Agradezco los comentarios y el t
o le dedicaron a la revisi de esta
tesis los sinoidales Dr Luis Gabriel Gorostiza y D hen e on
Doy
gracias
al
Dr
tantin
udor
or
sus
valiosos
comentarios
y
a
mi
amigo
los argas Obieta or sus observaciones al
Finalmente, agradezco a la Universidad de Guanajuato, al
A y al
! A
or las becas y a oyos ue me otorgaron durante mi licenciatura,
y al nal
de Investigadores or el oyo como ayudante de inves"
tigador nacional #
337).
ontenido
$%
tro
-
&'(()*%
./010%
tos de
898
2
N
89
Eje
ásica
icas
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8
E
utativos
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
I
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
M
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
88
BC
<
DC
voluci
GB
BCH
<
ios de Probabilidad
N
89 98
Elementos
N
89 9
Elementos Remicirculares
2
-
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
A:; KL
< J
=
H; B:
=
<
=?
<
endencia y
Inde; endencia Libre
N
89 9E
W
@A
;
In
?:
>
E:; acios de Probabilidad
89F98
89E
De
niciones
7)530
dad
E acios de Probabilidad
8989
89F
234565)/)
:;
89898
V
i
+,
KKP
O
Unitarios y
Matrices Aleatorias y
X
rans ormadas de
Y
sica
KKP
QJ O
Unitarios
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
88
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8E
A=
KLTDC
S
UDUT
Libre Asin
ca
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8I
edidas
Z
-
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8\
[
F98
Funciones de Pic
F9F
P KC:^
]
F9E
A `
L ;PB
S
N
F9
P KC:^
]
ormada de
F9I
P KC:^
]
ormada
F9b
ormada de
F9b98
2
F9b9
hy
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
@
F8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
N
F
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Fb
R 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Ec
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
EF
ca de una ]rans^BPH K
=
H; B:
Eje
K_L
<
Ley de
a
K
de
<
K_
chy
a
oiculescu y sus ariantes
A
=
HTL`PL_ B
R
Ley Arcoseno
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
iii
2
E
Eb
TDC
Distrib_L
F9b9E
N
F9b9
_LTDC
F9b9I
e
de
Potencias de
A
R
o 'ci
E98
E9F
BC
<
volu
De
<
A
KP KLU PT
LLTDC
iye
>
Distribuciones
Distribuciones
E9b
BC
<
LTDC
volu
=
H; B:
Eje
2
98
9E
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
I\
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
bE
cativa Libre de Medidas
ásicas y Libres
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
bd
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
A
=
HTL`PL_ B
R
Poisson Libre
de
K_L
<
AU
T;
K
>
]
AU
T;
K
>
o]
LTDC
Mb
8p
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Md
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
88
de Poisson Libre
9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
mulantes
989
2
mulantes Libres
989E
A
KLTDC
S
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
entre
ásicos
_H
<
_H
<
db
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
db
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
88
ulantes Libres y
ulantes
_
<
mulantes
=
<
ásicos
9 9 9 9 9 9 9 9 9
\8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
\E
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
\b
mulantes libres
a` K
82
t
_
<
TDC
MI
s
9898
_
<
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
o
_
<
y
N
M
Multi; licativa con una Distribu
mulantes y Momentos
l
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
LTDC
=
<
Mc
M8
trica BS(1=2; 3=2)
o
8
b
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
o2
_LTDC
415)%6r43)
f
TDC
hy
AU
THn
K
>
R
volu
voluL
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
_LTDC
Distrib
iyecL
\
bb
Distrib
>
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
IM
Distribuciones Estables
La
ásicas
>
\
N
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
TDC
BC
<
M
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
E9M9b
BC
<
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
I8
Distrib_L
N
N
M
icas
m
N
=
<
E9M9I
N
9F
=
=T
_ UT;
l
edidas
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
gativas
THnUP
R
TDC
N
N
GB GA
Y
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Distrib_L
_
<
de
zaciones y otras Pro; iedades
TDC
e
7)530
N
N
E9M9
.%X4q'
E\
nita
Distrib_L
E9M9\
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
$ %k
E9M9E
8
N
dad
Ley de
E9M9
Ed
mic culo
E9M9
E9M9M
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
hy
`P
y PrB; iedades
Ley Arcoseno
E9M98
Ed
entre Leyes In
nitamente Divisibles
E9I
E9M
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Aditiva Libre de Medidas
CTLTDC
2
N
E9
K_L
<
Divisibilidad In
nita Libre
E9F9
E9E
i
LTDC
E9F98
l
Distrib
*% h i g)j)5)/)
/
4%g
f
T
Un ^BP me
,+
u vu
x
w
u v{
|
w
u v
mulantes de Leyes In
nitamente Divisibles Libres
Eje
u vv
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
u
}~
2
Potencias de
u vvu
u vv{
A
u
}~
Distribuciones
u vv
}~
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
}
u vv
Distribx
o
eta
mic culo y Gaussiana
In
de la
ta
ca BS(1=2; 3=2)
v
yP
v v
}
La Látiz
v v
|
w
v v
Facto £
Inv
de
en
|
w
v v
La Funci
volu
¢
¡
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
}}y
w
{
}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
eras
}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
ox s
}¤
}y
e Inversi
de
¦§
¥
de
ius en
v
}
Matrices Positivas De
nidas
v
¨
u
}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
¦§
¥
ius
w
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
}y
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
B Sucesiones y Matrices Positivas De
nidas
ucesiones
}}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
¦§x
¥
v v
}
y la ublátiz
lemento de
0
}}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
como Látices
8
119
v
2
culo
v v v v v v v v v v v v v v
se Cruzan.
Particiones y Particiones x no se cruzan
}~
}~
v
}
w
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
onencial
Poisson Libre Generalizada y
articiones
yz
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
e
cientes de Jacobi
|
v v v v v v v v v v v v v v v v
}
135
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
ositivas De
nidas
{
}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
}¤
Bibliografía
141
©
+,
ntrod cci n
DC
Esta tesis de licenciatura aborda el tema de convoluci
medidas de ;PB babilid
` K«
de esta teor
;PB¬ K¬
@
K
T; K=
El objetivo ; rinc
9
DC
hacer una revisi
de las
es
UnL
A
ª;
nicas
libre y divisibilidad in
nita libre de
oner de manera detallada los ^_C damentos
A T
ª
stentes
ilidad es in
nitamente divisible en el sentido libre y
;
;
ara
A
;P :
robar si una medida de
A
H;
entar una serie de ej
los,
algunos conocidos y otros nuevos, ­ ue ; ermitan a; reciar claramente las ventajas y di
cultades
de estas
UnLCTL K:
9
El tema ^ orma
; KP
te de la
A
BP`
]
a de Probabilidad Libre
®
o
ree Probability p« en donde los
objetos de intern s no son variables aleatorias clásicas, sino variables aleatorias libres
mutativK: p y en lugar de
A A
K; KP L
;PB
ductos tensoriales se consideran ; roductos libre: ¯ conce;
=
UAªUB
n, ; or ejeH; B « en el con
de álgebras de B;
sobre
a de álgebras de
B;
eradores,
K:`
A
@
A
P K BP :
±
±
±
«
«
°I8
°IF
°IE
a
cada de los 80 con los trabajos de oiculescu
UABP`
CB
o
9
Esta teoP
en cBC
A TD
C
ª
`K
como suma y m
UB: ­_A
se inicia en la dnJ
con algunas ;P
=
=T
_ UT; L KLTDC
cBCJ
A²_
ntas
de variables aleatorias
no conmutativas 9
UAªUB
im; ortante J K¬ ordado brevemente en esta tesisJ en el ­ ue
Otro con
:TDC
conmutativos es el de matrices aleatorias de dimen
;PB;
orciona una de las mayores
K;
licaciones de la
A
grande, cuyo
UABP`
LBH;
A
K; KP L
en objetos no
UDU
ortamiento asin
A
a de ; robabilidad libr
9
DC
La r K³
ico
de esto
T
es el hecho de ­_ el conocer los valores ;PB; B: de dos matrices no es, en general, su
ciente ; KP a
encontrar los valores ; rB; ios de su suma, a menos ­ ue las matrices conmuteC 9
en el marco de
P
A=
KLTD
;PB¬ K¬T=T
UDUTL K
J
n libre asin
UDUT
es; ectros asin
libre
@T
K UT
o
dad libre,
N±
°I
a
oiculescu
D
identi
L una cond
DUTLB
bajo la cual el es; ectro asint
A
P :;
cos de los sumandos 9 Esto cor
UDU
vKp de medidas es; ectrales asin
TLTDC
de la suma
su
ciente J llamada
ede obtenerse de los
=
T K:
i
embargo,
TDC
onde, ; recisamente, a calcular la convB _L
icas de matrices aleator
+,
;_
TC
R
9
Actualmente, la
;PB
A=
P
KLTDC TH;
T
babilidad libre tiene tamb nC una
de las matemáticas tales como combinatoria, robabilidad clásica,
:THn
`
tricos, as como con algunos modelos matemáticos de
TC^ PH KLTDC
o
A U
; B:
DC
de convoluci
=
`K
in
nita en la ]eor
`UTLB
vista ´ anal
TDC
=? T
: LK
_
<
9 R
`K
«
basado en la teoP
±
; KP
°8c
^_C
de
a medidas con :B; orte no
Por otro lado, a
nales de la d
mulantes libres, lo
=
KC K `U
ciones
­_
e
;PB;
@
KLBU K B
medidas determinadas
ortante mencionar
_LTDC
a de los
;
or sus momentos, en
­_
A
«
contrario a lo
no trivial no uede tener
muchas las distribuciones con esta
­_
A
:B;
A=
lante clásica o logaritmo de su
UP KC:^
@
similar es ; osible de
nir tran:^BPH K
vici y
oiculescu
orte
;
U KLTDC
LBH; KL
­_
de
A
­_
A
:B;
n
µ
orte
@
KLBU K B
TDC
ercovici
>
orte
ara estudiar
de considerar
LBH; KLUB
Es
9
9
=? T
: J
¸TC
v¶J ·
; KP K
tchine
^_
su
=
ver ; or ejem; B Rato
DC
nci
N ±
° F 9
cum_J
De manera
UAPT³ KLTDC
cumulantes libres y encontrar una car KL
=T
A
¬P :
y recientemente
º GT
J
arndor
>
=
L ?:TLB
9
elsen y
Esto ^ ue
¸
]
orb
A
PLB
8\\\ >
@
cumulante clásica le asocia una tran:^BPH K
ii
+,
@
;PB¬ K
» ¼C
sen
o en
8\\E
±
; B;
°M
r
ti; o
onen
9
vici y Pata
entre distribuciones in
nitamente divisibles clásicas y
a una ^ unL
or
las leyes in
nitamente divisibles L
En el conteª to del estudio de distribuciones estables, en
es tal
or Maaseen
to, en divisibilidad in
nita libre son
:B;
TAP ¯
p
una variante ­_ resulta más análoga a la del caso
TDC
;
ero con la restricci
cular a­_ ellas con
tienen
resen
A
jeron una biyeLL
or
one el uso de cuJ
DC
hintchine ; ara distribuciones in
nitamente divisibles
±
°8c
NN± ;PB;
°
uramente de combinatoria
n¹¶J ·
µ
a
±
«
°Ed
eicher
ormada de Four
K:
;
8\\E
;
En robabilidad clásica es bien conocido el hecho
A
P ;
letado en
;
;
8\db
sucede en divisibilidad in
nita clásica en donde
@
A
;PB;TA@ K
­_
cas se caracterizan con base en una
LBH;
8\\F
;
R
; KPUT
;
or
icas, ^ ue iniciado en
«
\c
orciona herramientas
;
una distrib
;
arecen de
9
divisibilidad in
nita libre de una ^ orma muy elegante,
A
PLB
>
K;
p
estudio ;_ ede abordarse desde dos ; untos de
ara el caso de medidas con :B; orte LBH; KL to, continuado en
@
nL K
TH;
A
clásica de medidas y la divisibilidad
a el caso de medidas con segundo momento
nito y
y oiculescu
=T
¬P
o
T
±
;
°IF
a
de
y combinator B 9 En esta tesis ; resentamos ambos ; lanteamientos 9
A
oiculescu
N± ; KP
°E
de Probabilidad
rimer en^B­_
a
`K
comunicaciones y teor
libre y la divisibilidad in
nita asociada
manera natural al hacer un ; KP K elismo con la convoluL
;
resentaciones de gru; os
9
Los conc
El
^`:TL K«
ortante con otras ramas
A
P ;
;
K
=T
A
¬P :
9
±
°\
introduJ
La biyeLL
cumulante
=T
A
¬P
9
TDC
En
; KPUT
TDC
cular, a la distrib_L
_LTDC
Poisson la distrib
`
DC
Gaussiana½ le asocia la ley del semic P culo, a la distribuci
de
T
de Poisson libre y a las distribuciones estables clásicas las estables l J
DC
bres, teniendo como ;_Cto
jo a la distribuci
;
casos concretos re ortados en la literatur
K
9
de
K_
<
chy9 En general, no son muchos más los
En esta tesis encontramos nuevos resultados sobre
TD
la biyecL n entre leyes in
nitamente divisibles con sB; orte no negativB 9
­_
Pensamos
A
A
=
H; B:
el conocimiento de ej
concretos de distribuciones in
nitamente divisJ
ibles libres se encuentra en el estado en el ­ ue se encontraba hace
A
LP U K:
distribuciones in
nitamente divisibles clásicas con
­_
@
n
A
UABP` K
si bien la
cadas de
8\Fc
y
a ; rinci; ios de los
TDC
`
conoc an, además de la distrib_L
bres,
A
P :;
K:`
A A
;P :
como conjeturas
=A
; KPLT K :
uestas
9
Para ser más
el conocimiento de
A
A
:; L `¿
cos, recordamos
de distribuciones in
nitamente divisibles clásicas ^ ue desarrollada en las
«
8\Ec
En este trabajo
9
K¾B:
Ic
K¾B:
=
8\bc
eran ; ocos los ejem; B: concretos ­_ e se
Gaussiana, la Poisson y las estables 9
=
=T
ntamos nuevos ejem; B: de distribuciones in
nitamente divisibles
A
H;
; KP K
ej
los de ^ amilias de distribuciones
; KP K
J
las cuales se tienen
Asimismo, identi
camos algunas distribuciones ­ ue son in
nitamente
@T
J
visibles en ambos sentidB: 9
DC
La organizaci
de esta tesis es la siguiente 9 En el
UA
básicas ­ ue se utilizarán más adelan
;PB¬ K¬T=T
básicos de
@
dK
9
En seguida
9
<
K;`U
ulo
Primero recordaremos de
A
;P :
entemos una estructura
de ; robabilidad nBJLBC mutativo 9 En este marco se de
ne la
;
de variables aleatorias con medida es ectral de
A
H;
ej
A
H;
­_
A
se conoce como e:; KL io
A=
P
KLTDC
BH; KLUB
orte c
9
A U
; B:
muy breve conc
A
;
de ind
endencia libre
;
Además resentamos dos
los donde surgen como distribuciones es ectrales la ley del arcoseno y la ley del
9
DC
Finalmente, se introduce el e:; KL io de matrices aleatorias de dimensi
lo de
DUTL K
asint
En el
A
:;
acio de ; robabilidad CBJ conmutativo, en donde se
[
A
=T
ª; L K
A
: HTJ
in
nita como
A U
; B
el conc
de P
A=
KLTDC
libre ; ara matrices aleatorias 9
=`UT
`U
a; ulo 2 introducimos las herramientas ana
<
libre de medidas de
de Pic y la
UABP`
tran:^ ormada de
À
^BPH K
;
=
L`PL_ B
ej
:B;
damos algunas de
niciones
8
;PB¬ K¬T=T
a de
<
K_L
dad en R 9
T [
GA¹
anlinn KJ Q L
9
A
BH C
<
zamos recordando el conce;
eguido de esto, se
R
L`;PB
hy de una medida y su re
Usamos el tÁrmino Gaussiano
oÂeradores normalesÅ
TD
cas ; KP K el estudio de la convoluc n
c K9
ara una distribuciÃn normal, ya
Â
Æ
,
A A
;P :
Ä
de ^ unciones
ntan resultados sobre la
e introducen la
R
UB
UP KC:^
ormada de
ue el tÁrmino normal lo dejamos
ara
Â
=
KC K `
a
oiculescu y la tran:^ ormada cumulante libre, las cuales son ^ unciones
; KPUT
@
^BPH K K
r de la trans
de
<
K_
­
chy y ue se c
LTDC
:^
tran ormada de Fourier en convolu
­_
hecho de
­_
A
A
BH;
LTD
linealizan la convolu
DC
=
L ?:TL K
;
y robabilidad
K
n libre aditiv
sirve ; ara estudiar la convoluci
ortan en
9
^BPH K
De
9
Finalmente se
ticas de
nidas a
similar al logaritmo de la
A
:;
ecial
A A
;P :
TH;
nta la
ortancia es el
UP KC:^
`U
multi; licativK9 El c K; ulo termina con la
de varias de las distribuciones tradicionales en la
UABP` K
de ; robabilidad libre,
ormada R,
A A
;P :
K:`
U KLTDC
n
como otras
nuevas 9
En el
<
tulo
;
E
;PB¬ K¬T=T
medidas de
LTDC
K;`
resentamos los conce;
como
; KPU
A
;
TDC
introducimos el conL
@T A
^
TH;
rencias
de convoluL
dad en R desde un ; unto de vista
libre de dos medidas a
voluL
TDC
UB:
=
KC K `UTLB
y divisibilidad in
nita libre de
9
Primero de
nimos la convoluJ
ir de la tran:^ ormada cumulante libre 9 A ; artir de esta cBCJ
`
to de divisibilidad in
nita libre, sus ; rinci; ales ; rB; iedades, as
=
TDC L= ?:TL K
ortantes con la convB _L
e introduce la biyeLL
9 R
TDC
de
A
>
`
Pata entre leyes in
nitamente divisibles clásicas y libres, as como sus ; rinci; ales ;PB;
BHB K;
<
TD
ortac n de este trabajo, se hace un estudio es;
A
T T
rcov L J
TA@
ades 9
TDC
L `¿
co de la corre:; ondiente biyeLL
T
en el caso de distribuciones in
nitamente divisibles libres ;PBvenientes de distribuciones in
C J
tamente divisibles clásicas con
En el
=
K;`U_ B
=
K;`U_ B N
<
medidas de
;PB¬ K¬
:_
o
@
A
BP :
bordin K
p9
e
R
UAP;PAU KLTBCA:
mult licativa, con el objeto de dar in
breve la convolu
luimos el c
orte no negativo
T;
LTDC
BCL
<
:B;
con la
A A
;P :
U KLTDC
n
=
H; B:
de eje
;UB:
retomamos los conce
ilidad en R desde un
;_
A A
;P :
nta de manera
A
H;
a algunos ej
B:
tanto tradicionales como nuev
DC
de convoluci
=
TDC
A
>
9
y divisibilidad in
nita libre de
nto de vista combinatorio 9 Primero observamos la
relaciones entre los momentos, los cumulantes clásicos y los cumulantes libre: 9
la convB _L
los 9
A
A
;P :
R
enta
TD
libre de medidas a travn: de los cumulantes libres y se retoma la biyecL n de
T T
TD
rcov L J Qata vista como una biyecL n entre cumulantes clásicos y cumulantes libres 9 En
TDC
seguida estudiamos dos criterios ; ara decidir si una distribuL
el sentido libre, el ; rimero en
Un
rminos de los cumulantes libres y el segundo en termino de los
A
T
coe
cientes de Jacob 9 De igual ^ orma ­_ en el c K;
A
DC
la ;P : entaci
BC
<
A
H;
de ej
es in
nitamente divisible en
`U_=B
`U
anterior, se culmina este ca; ulo con
los tanto tradicionales como nuevB: 9
el objeto de hacer el trabajo lo más inde; endiente ; osible, al
nal del mismo hemos
incluido dos
resultados
K;nC
A
T
@
dices, relacionados con el eC^ o­_ combinator B 9 El A;nC ice A contiene los
;PTCLT;
ales sobre
; KPU
iciones
­_
A
@
no se cruzan, mientras ­ ue en el A;nC ice
Æ
>
se
A
ª;
one un resumen del ;PB¬
=A
HK
de momentos y sucesiones ; ositivas de
nidas 9
Finalmente, ­ ueremos mencionar algunos temas
no considerados en esta tesis 9 En
; KP K
A
;PTH P
TH;
=`
lugar está el estudio de teoremas centrales de mite
A
=
H; B «
sumas de variables aleatorias libres, considerado, ; or ej
el en^B­ ue reciente de matrices aleatorias ; rB; uesto ; or
TDC
biyecL
­_
A
ortantes de divisibilidad in
nita libre
de
A
PLB
>
A
C
>
aychJ Çeorges
viciJ Pata, el cual generaliza el trabajo ; ionero de
`
la ley del semic rculo es la distrib_L
TDC
`
TUA
es; ectral l H
Gaussianas 9
Æ
,
a
en oiculescu
ÈT
gner
±
A
°IF 9 R
±
; KP K
°d
±
­
°II
gundo,
estudiar la
D
uien encontr
del ensamble de matrices aleatorias
Æ
i
,
a t o
ementos de
En este
UA
lan
9
L K;`
tulo daremos algunas de
niciones básicas
­_
A
A U
; B:
Primero recordaremos de ^ orma muy breve conc
motivo
; KP K
hacer esto es ­ ue creemos
UnC ^
a lectores ­ ue no es
tesis haremos una
^_
A
H;
or ej
i re
A
J
se utilizarán en la tesis más ad
@
básicos de ;PB babilid K
e los temas abordados en esta tesis
;PB¬ K¬
ilidad 9 El segundo es
­_
A
entre objetos en ; robabilidad clásica y sus
erte ana
;
­_
amiliarizados con
=
B²` K
en ; robabilidad libre,
CBJ
ro a i idad
;_
T
9
El ;P mer
eden interesar
a lo largo de la
A
LBPP :;
ondientes
lo, las nociones de variables aleatorias y variables aleatorias
A
T
conmutativas 9 En seguida, introducimos una estructura ­_ se conoce como es; KL B de ;PB¬J
DC
abilidad CBJ conmutativo, en^B caremos nuestra atenci
en variables aleatorias CBJL onmutativas
=
TDC
normales y su medida es; ectP K 9 Finalmente, en este marco, ; odremos de
nir la rel KL
de variables aleatorias con medida
s acios de
ÉÊ É
Ë
ÒÓÒÓÒ
Ì
eÕniciones
Ô
A
:;
ectral de sB; orte LBH; KL tB 9
ro a i idad
Í
Î
Î Ï
sica
ÐÏÑ
sicas
Ö×
Em; ecemos recordando lo ­ ue se conoce como un
KªT
;
omas dados or
i0 k
ni()
*%
-Ù-Ù-
libre
A
:;
·
8\EE9
Û
Ú
espÜÝ,Þ de prÞ ßÜ ß, ,áÜá es una
olmogorov en
À
ço con èundir con el conce Âto de
introductorios de ÂrobabilidadÅ
à
Â
robabilidad clásica
8
Ä
acio de
äÛ
âã
Ü
;PB
babilidad clásica½ ,
(
; F; P); donde es un
A
: ²Ø
n los
Ûå Û
ÝÞ
æ âÞ
ue se re
ere a resultados eÄuiÂrobables en cursos
no
àì
o, F es una êë
+ÜÝé
F
í
Üâ,
ï
í
e las
ÜÝ
í
å
ä
ãß
a de su ßÝÞÛ
ì
Û
, æ, ã â ã
Û
æ
í
âÞ
à
de y P es una medida de prÞ ßÜ ß, ,áÜá î Es deÝ,ä,
propiedades
(1) 2 F:
S1
(2) Si A1 ; A2 ; ::: 2 F; entonces
i=1 Ai
2 F:
(3) Si A 2 F, entonces Ac 2 F:
Mientras que P : F ![0; 1] es tal que
(4) P(
) = 1.
(5) P es -aditiva: Si A1 ; A2 ; ::: 2 F y An \ Am = siempre que n 6= m, entonces
P(
1
[
Ai ) =
i=1
1
X
A
Observamos ­ ue el ; ar (
; F) no es más ­_ un
UB:
se conocen como even
;
or B(R); es la J
9
?=²A¬P K
TDC
La colecL
ni()
*%
A
acio medible y ­_ los conjuntos A 2 F
BP
>
generada ; or los intervalos abiertos en R 9
T
ñ
-Ù-ÙV ð
A
:;
de todos los conjuntos de
f : R ! R es medible, si es B(R) med ¬
i0 k
P(Ai ):
i=1
/
aria5 e
6/06r43)
a
A
el en R, ­_ denotaremos
e dice
R
­_
A
una
^_CLTDC
=A
9
(/òj)(6 ó
Sea (
; F; P ) un espacio de probabilidad. Una
función X : ! R es una variable aleatoria real, si es F-medible en R, esto es, fw : X(w) 2 Bg
está en F, siempre que B 2 B(R): Decimos que la medida en (R; B(R)) es la distribución de
X si
P(X 2 A) = (A) =
Z
(dt)
para todo A 2 B(R):
A
Equivalentemente podemos de
nir a como la única medida que cumple que para toda f : R !
R medible acotada
E[f (X)] :=
Z
f (X(!))P(d!) =
A
L
S
; KP K
A TD
:
C
ordemos ­ ue una suc
toda
^_
DC
nci
Z
f (x)(dx) .
R
(n )n1 de medidas converge dn¬
­
continua y acotada f : R ! R se tiene ue
lim
Z
n!1 R
f (x)n (dx) =
2
Z
R
f (x)(dx):
T=HAC
te a la medida , si
DC
w
n ! : En el caso en
En este caso usaremos la notaci
T
­_
A
(n )n1 son medidas de
TDC
bilidad, esta convergencia tamb nC se conoce como convergencia en distrib_L
A
R
^_
A
:;
an X e Y son variables aleatorias en un
DC
nci
de dos variables, de
nimos la
A
:;
acio de
;PB
;PB¬ KJ
9
babilidad y f : R R ! R una
eranza E[f (X; Y )] como
E[f (X; Y )] =
Z
f (X(!); Y (!))P(d!)
si la integral
A T UA
ª :
9
En ; articular de
nimos el momento de orden n de X
n
mn () = E(X ) =
Z1
LBC
o
TDC
distrib_L
en R p como
xn (dx):
1
ÒÓÒÓô
A
R
÷
ndeöendencia
õ
rá muy
ØUT=
onùoúûciün
A
;
estudiar variables aleatorias ind
=
B²` K
^
como una uncional lineal, en ana
;UB
necesario recordar el conce
i0 k
ni()
*%
sica
øú×
ø
e
-Ù-Ù
endientes en
;PB;
con la
;
de inde endencia
UnP
minos de la
:;
A
:;
iedad lineal de la e eranz
=
L ?:TL K
K
9
eranza, vista
Para ello es
9
Dos variables aleatorias X e Y son independientes si
P(X 2 A; Y 2 B) = P(X 2 A)P(Y 2 B)
para todo A; B 2 B(R):
En general, X1 ; :::; Xn son variables aleatorias independientes si para todo A1 ; A2 ; :::; An 2 B(R)
se tiene
P
n
\
i=1
!
(Xi 2 Ai )
=
n
Y
i=1
P(Xi 2 Ai ):
Una colección in
nita de variables aleatorias se dice independiente si cualquier subcolección
nita de ellas lo es.
T :_;
R
A
onemos ­_ las variables aleatorias X e Y tienen distribuciones con :B; orte acotado,
entonces todos los momentos de X e Y
A T UA
C
ª :
E
y determinan sus distribuciones 9 Además la
@T TD
L
C
con
A
A
;
de ­_ X e Y sean ind
endientes es
A
­_T¹
DC
alente a la siguiente condici
E[X n1 Y m1 :::X nk Y mk ] = E[X n1 +:::+nk ]E[Y m1 +:::+mk ];
; KP K
cada mi , ni 2 N 9
Más ^ ormalmente, inde; endencia de X e Y es e­ uivalente a ­ ue se tengan las no correlaJ
cione: ´
Ef[f (X)
; KP K
cuale:­_
TAP K ^_
Eff (X)g] [g(Y )
BP
>
nciones de
^
el acotadas f; g : R ! R:
De esta orma, si X e Y tienen
variable aleatoria X + Y se
Y,
A
­_T¹
;_
alentemente tenemos
:B;
A
DC
X y Y 9 Esto es la convoluci
A
;
orte acotado y son ind
; KP
eden obtener a
­_
Efg(Y )g]g = 0;
DC
la distribuci
o898p
endientes, los momentos de la
tir de los momentos de X y los momentos de
X+Y está determinada ; or las distribuciones
clásica
X ? Y = X+Y :
T
T
=
A U
; B
TD
`UT
La ;P nL ; K herramienta anal ca ; KP K manejar esta convoluL n es el conc
UAP`:UT
TD
de Fourier o ^ unL n L KP KL
i0 k
ni()
*%
l
-Ù-Ù
de tran:^ ormada
ca de una variable aleatoria 9
Sea una medida de probabilidad en R y X una variable aleatoria con dis-
tribución . De
nimos a c
X , la función característica de X, por
A
c
X (t) :=
TDC
En el caso en ­_ la distrib_L
Z
eitx (dx) = E[eitX ].
de X tiene :B; orte acotado tenemos la
bX (t) =
1
X
(it)n
n!
n=0
X 9 La
L_
o
A
ª;
onencial de los momentos de
A
ortancia de la tran:^ ormada de Fourier en este trabajo es el hecho de ­_ su logaritmo
DC L= ?:TL K
ando eª iste p linealiza la convoluci
;PB¬ K¬
n
E[X n ];
es decir, la tran:^ ormada de Fourier no es otra cosa ­ ue la serie
TH;
A
ª; KC:TD
9
Es decir, si X y Y son distribuciones de
ilidad de las variables aleatorias inde; endientes X e Y , entonces \
c
c
X+Y (t) = X (t)
Y (t)
N
y ; or lo tanto
_ KC
<
A T
ª
do
log \
c
c
X+Y (t) = log X (t) + log Y (t):
@
ste, al logaritmo de la trans^BPH K
cumulante cl
?:TL K
9
s acios de
ÉÊý
Ë
i0 k
ni()
ro a i idad
Ì
*%
-ÙVÙ-
Í
Î
Î Ï
K
TDC
^_CL
de Fourier CX (t) = log c
X (t) se le llama
o
onm tati os
þ
Ð
ÿ
Un espacio de probabilidad no-conmutativo es un par (A; ) donde A
es un álgebra unitaria compleja y es una funcional lineal : A ! C tal que (1A ) = 1: Una
variable aleatoria no-conmutativa es simplemente un elemento a de A.
@
;PB;TA@ K
Una
tra
6
adicional ­ ue a veces es Ø til
, es decir, tiene la
;PB;TA@
ad
TH;
oner a la
^_
ncional lineal es
­_
A
sea una
A
­_
(ab) = (ba) ; KP K todo a; b 2 A 9
_;
R
/)
ondremos ­ ue A es una g
ò/
06 /
n
05 3
a, es decir
­_
A
A está dotado de una 4 eraci n anti
*
(a + b) = a + b , 8 ; 2 C; a; b 2 A p« tal
o
todo a; b 2 A:
T
R
se tiene ­_
­_
A
; KP K
todo a 2 A;
decimos ­_ es ; ositiva y llamamos a (A; ) un J es6()4 de
A
A
J :; KL
PT K:
aleato
K
p
variable aleatoria
p
variable aleatoria
p
variable aleatoria
¬
L
´
UAPn:
Es de in
; KP K
A
(a a) 0;
En el marco de un (a ) = a y (ab) = b a
io de
6'r46& '
'%)r63)
%4316/
;
r6
n
robabilidad
a 2 A tal
­
;
34565)/
idad 9
odemos hablar de tres
UT;
os de variables
ue a = a ,
a ´ u 2 A tal ­ ue u u uu = 1,
´
a 2 A tal ­ ue aa = a a 9
=
conocer los momentos de una variable aleatoria cua ­_
el valor de
(am1 (a )n1 :::amk (a )nk )
I
TAP K
a en (A; ), es decir
cada mi , ni 2 N 9 Para esto se de
ne la ; KP K
álgebra de ; olinomios en dos variables
i0 k
ni()
*%
-ÙVÙV
CB
o
&)jr3)5'
*%
ci
de a 9 Denotamos ; or C hx; yi al
conmutativas p con coe
cientes en los com;
=A»
B:
9
Dada una variable aleatoria a en (A; ), la -distribución (en el sentido
algebraico) de a es la funcional lineal a : C hx; yi ! C de
nida por
a (xm1 (y)n1 :::xmt (y)nk ) = (am1 (a )n1 :::amk (a )nk )
para cada mi , ni 2 N.
En el caso en
­_
A
@
TDC
a 2 A es normal de
nimos alternativamente la J istribuL
A
PK
9
de a 2 A
de la siguiente man
i0 k
ni()
*%
e
-ÙVÙ
Sea (A; ) un -espacio de probabilidad y sea a 2 A un elemento normal. Si
existe una medida en C con soporte compacto, tal que
Z
z k z l (dz) = (ak (a )l ); para todo k; l 2 N;
o89Fp
C
diremos que es la -distribución (en el sentido analítico) de a.
5j03g
*
aci n
l
-ÙVÙ
Cuando existe que cumple con la condición (1.2) entonces es única
por el Teorema de Stone-Weierstrass. Entonces tiene sentido hablar de la -distribución (en el
sentido analítico) de a.
_
<
@
TDC
ando a es autoadjunta, la J istribuL
Z
jz
zj2 (dz) =
C
=
Z
C
Z
de a tiene :B; orte sobre R 9 En
(z
z)(z
(2zz
z2
z)(dz)
z 2 )(dz)
C
= 2 (aa )
de donde z
(a2 )
((a )2 ) = 0
z = 0 en el sB; orte de , entonces
sop() fz 2 C : z = zg = R:
b
A
^
ecto, tenemos
:` «
TDC
en este caso es una medida de ; robabilidad en R y la ecu KL
Z
tp (dt) = (ap );
; KP K
o89Fp
toma la ^ orma
todo p 2 N:
R
_ KC
<
@
A
:;
mos interesados
=
A
;PTCLT; K H
`
nte medidas con so; orte en R, de ah la
elementos autoadjuntos ; KP K noso
UT;
ø
es
de a 9 EstareJ
TH;
ortancia de los
9
roai idad
acios de
ö
ú
A
o de e:; acios de ;PB babilidad CBJ conmutativos ­_ estudiaremos estarán dotados de una
estructura de C J
;
0(r36/
T
UPB:
ÒÓôÓÒ
la medida es
ecialmente en este t ; o de elementos y sus medidas es; ectrale: 9 En este
trabajo se estudiarán
El
TDC
do a es autoadjunto llamaremos a su J istribuL
?=²A¬P K
oder asegurar la
=
CBPH K
A T UA
C
ª :
A
@
LBP KHB:
9 S
i0 k
ni()
*%
-ÙVÙt
9
Esto nos ; ermitirá usar algunos de los resultados de esta
@
`UTLB ;
cia de J istribuciones en el sentido anal
TDC
a contin_ KL
lo ­ ue es una C J
UABP`
a ; KP K
=
ara c_ K ­ uier elemento
?=²A¬ K
r
9
Decimos que un álgebra A es una C -álgebra si A está dotada de una norma
kk : A ! [0; 1) que la hace un espacio de Banach, tal que:
i) kabk kak kbk ; para todo a; b 2 A;
ii) ka ak kak2 ; para todo a 2 A:
El corP
i0 k
ni()
A
:;
*%
A
:; KL
ondiente J
-ÙVÙ
io de ; robabilidad se de
ne de la siguiente H KC
A
PK
9
Un C -espacio de probabilidad es un -espacio de probabilidad (A, )
donde A es una C -álgebra
GAL
esitaremos algunas de las
como se ; resenta en
GTL K
y
;
R
; B;
r
eicher
`K
iedades y de
niciones de la teor
±
A
L
°E\ 9 S
a no es invertibleg:
Denotamos ; or C(Sp(a)) el álgebra de ^ unciones continuas f : Sp(a) ! C:
eorema
-ÙVÙm
?=²A¬
ras, tal
ordemos ­_ e el e:; ectro de a es el conjunto
Sp(a) = fz 2 C : z1A
W
de C J
Sea A una C -álgebra unitaria.
M
i) Para todo a 2 A, Sp(a) es un conjunto no vacío contenido en el disco fz 2 C : jzj kakg.
ii) Sea a 2 A un elemento normal. Existe una aplicación a : C(Sp(a)) ! A con las
siguientes propiedades.
a) a es un homomor
smo.
b) k(f )k = kf k1 para toda f 2 C(Sp(a)):
c) Si id : Sp(a) ! C denota la identidad id(z) = z en C(Sp(a)); entonces a (id) = a:
ò/('/4 X'%()4%6/
A a se le conoce como (
De estas
;PB;TA@
A
;_
ades se
de obtener,
; KP K
con
X'%
ciones contin'6j
elementos normales, ­ ue
; KP
; KP K
el elemento a 9
a cual­_
TAP ^_CLTDC
f 2 C(Sp(a)) se tiene
Sp(f (a)) = f (Sp(a))
donde f (a) está de
nido ; or el cálculo ^ uncional 9
DC ;PA:A
A continuaci
@
¬T=T@ K
ntamos uno de los teoremas más
TH;
A
:; KL
ortantes de C J
io de ;PB¬ KJ
9
W
eorema
s
-ÙVÙ
[39, Prop. 3.13] Sea (A, ) un C -espacio de probabilidad y sea a 2 A un
elemento normal. Entonces a tiene una -distribución en el sentido analítico. Más aún, si es la -distribución de a se tiene que
i) El soporte de está contenido en el espectro de a:
ii) Para f 2 C(Sp(a)) tenemos la fórmula
Z
f d = (f (a)):
nde endencia i re
ÉÊ
Ì
/
TD
Î
*% /)53
La noL n de re 6()
;
a
or oiculescu
±
°IF
@A
;
clásico de in
e
X3
ð
D ­
, ­_ in n not
A
:; KL
TC
R
embargo,
ue la P
endencia, ; ero en
En el conteª to de J
30/6()*% /)53
eeness ó entre dos variables aleatorias ^ ue introducida en
A
:;
A=
KLTD
A
;
n libre se LBH; orta de ^ orma análoga al conL
to
acios de ; robabilidad CBJL onmutativB: 9
ios de ; robabilidad (A, ) se de
ne la
e de una manera análoga a la
; KP K
8\dI
este caso se hace en
^DPH
UnP
ula
o898p
minos de la
8
; KP K
^_C
)%&0
endencia
A
;
el caso de ind
/)530
o
TL K
endencia clás
­
9
cional lineal ya ue no tenemos
variables aleatorias clásicas, sino variables aleatorias
(A; ): De
nimos entonces la
i0 k
ni()
*%
e
-Ù Ù-
A=
P
KLTDC
CBJ
conmutativas, es decir, elementos de
libre de la siguiente maner K9
Las variables aleatorias no-conmutativas a; b 2 A se dicen en relación
libre (con respecto a ) si
[p1 (a)q1 (b)p2 (a)q2 (b):::pn (a)qn (b)] = 0
siempre que pi y qj sean polinomios tales que
[pi (a)] = 0 = [qj (b)]:
T=T
Una ^ KH a de subálgebras Ai ,
­_
A
es libre si (a1 a2 :::an ) = 0
Más generalmente, una
;
^ KHT=T
or i [ f -g son libre: 9
Al igual ­ ue
;_
; KP K
T
-A
:TAH;
T=T
2 Ai , i 2 I en un es; KL B de ;PB¬ K¬ dad (A; ) se dice
­_
re
A
(aj ) = 0; aj 2 Ai(j) ;y i(1) 6= i(2) 6= ::: 6= i(n) 9
a de subconjuntos i A; i 2 I es libre si las álgebras generadas
DC
el caso de variables aleatorias clásicas, esta relaci
T
de inde; endencia
UTnC
U
ede entenderse como una regla ; KP K calcular los momentos H ª os de a y de b, ; ermi
calcular los momentos de a + b y de ab 9
:` «
@
si fa; bg es un ; ar libre de variables aleatorias,
entonces las J istribuciones a+b de a + b y ab de ab de; enden :
@
J
LTDC
a y de la istribu
:` «
TDC
D=B
@
TDC
de la J istribuL
a de
b de b 9
si a y b son medidas con so; orte
; de convoluL
donos
T
libre aditiva y mult ;
LBH;
acto en C; ; odemos de
nir las o; eraciones
=T
L KUT¹
a, res; ectivamente, a travn: de las ^ ormulas
a b = a+b
a b = ab 9
T
R
y son medidas en R con
:B;
orte cBH; KL
aleatorias nBJLBC mutativas autoadjuntas en un C
@
J
LTDC
istribu
@
J
A
H;
ej
LTDC
y b tenga istribu
LTDC
la istribu
@
J
UB «
se
JA:; KL
;_
io de
A
den encontrar a y b variables
;PB¬ K¬
A
ilidad tales
A=
9 Ri ; edimos ­_ a y b estn n en r
LTDC
de a + b se llama la convolu
e a tenga
libre, entonces
libre de y , la cual se denota ; or 9 Por
lo, se ; ueden tomar a y b como B; eradores de m_
\
KLTDC
­_
=UT =T
; L KLTDC
TDC
con la ^_CL
identidad en
los e:; KL ios de
A
:; KL
estos C J
A
;P :
T
O
lbert L2 () y L2 (), res; ectivamente, y des;_n s tomar el ; roducto libre de
enta en el libro de
El hecho de
de a + b :
D=B
A
T=T
ios de ;PB¬ K¬ dad ; ara hacer ­_ a y b estn n en P
­_
GTL K
y
;
R
eicher
A
;
e no d
N «
° b
DC
HTª
Le
KLTDC
T
l ¬P
A
¯
este resultado se
±
9 b 9
DC
enda de la elecci
de a y b se sigue de
­_
A
@
la J istribuL
TDC
de; ende de los momentos de a y b los cuales están determinados ; or y 9
De las relaciones de arriba no es claro
de
nici
L
A=
A
;
de ind
­_
A
endencia en el sentido clásico 9
to (abab) ;_ ede ser
@T A
^
DC
la de
nici
in embargo, ; odemos ver
R
A
^
rente de (a2 ) (b2 ) 9 En
(ai
TD
de relac n libre es di^ erente de la
ecto, dado ­_
­_
A
el momento
A
(ai )1A ) = 0
tenemos ­ ue
(a1
(a1 )1A ) (a2
(a2 )1A ) (a3
(a3 )1A ) (a4
(a4 )1A ) = 0
?
de donde se ;_ ede obtener ^ L ilmente ­ ue
(a1 a2 a3 a4 ) = (a1 a3 ) (a2 ) (a4 ) + (a1 ) (a3 ) (a2 a4 )
A
siem;P
­
ue fa1 ; a3 g y fa2 ; a4 g están en
A=
=T
A
P
KLTDC
¬P
9
En
(a1 ) (a2 ) (a3 ) (a4 ),
; KPUT
cular, cuando a1 = a3 = a y
a2 = a4 = b son libres tenemos ­ ue
(abab) = (a)2 (b2 ) + (a2 ) (b)2
A
A
;
Más aØ n, ; ara ­_ dos variables aleatorias sean ind
DC
en relaci
(a)2 (b)2 9
endientes en el sentido clásico y
DC
libre se debe tener ­ ue una de ellas es una ^_ nci
A U
: nC
A
constante, lo ­_ se obtiene como
U
caso ; KP icular del siguiente lema 9
7
ema
e
-Ù Ù-
Sean a,b 2 A dos variables aleatorias conmutativas y en relación libre con respecto
a . Entonces
((a
(a)1)2 ) = 0 ó ((b
8c
(b)1)2 ) = 0:
i014j
tr6()
*%
(a2 ) (b2 ) = (a2 b2 ) = (abab)
= (a)2 (b2 ) + (a2 ) (b)2
(a)2 (b)2
de donde
0 = ( (a2 )
= ((a
ÉÊ
Ë
ÒÓ
ÓÒ
(a)1A )2 ) ((b
(b)2 )
(b)1A )2 ) 9
em os
ÌÏ
ementos aar nitarios aar nitarios
÷
ú
TDC ;
En esta seLL
@
TDC
su J istribuL
i0 k
(a)2 )( (b2 )
ni()
*%
=
resentamos dos ejem; B: de variables aleatorias noJ conmutativas y encontramos
9
l
-Ù Ù-
Sea (A; ) un -espacio de probabilidad no-conmutativo.
a) Un elemento u 2 A se dice que es Haar Unitario si es unitario y
(uk ) = 0; 8k 2 Znf0g:
b) Sea p un entero positivo. Un elemento u 2 A se dice que es p-Haar unitario si es
unitario, si up = 1 y si
(uk ) = 0; si p no divide a k.
El nombre de
r unitar B viene del hecho de ­ ue cuando u es como en oKp arriba entonces
T
KK
O
`
=
@
TDC ;
la medida de OKKP en el L PL_ B sirve como J istribuL
de
O
KKP
c_H; le ­_
A
ara u 9 En e^ cto, un elemento unitario
A
(uk (u )l ) = (uk
8
< 0
l
)=
: 1
88
si k = l
si k 6= l
,
o89Ep
y ; KP K la medida de
O
Z
KKP
se tiene
z k z l dz =
S
1
2
Z
2
ei(k
0
A
8
< 0
l)t
dt =
: 1
si k = l
,
si k 6= l
donde S := fz 2 C : jzj = 1g es la es^ ra unitaria en C y dz es la medida de
normaliz
KKP
O
en S
@
K K
9
A
T
Por otra ; arte, si tomamos una medida uC ^BPH en las
! 1 ; ! 2 :::! p , es decir
P K`
p
1 X
!j ),
= (
p
ces de la unidad de orden p,
j=1
del hecho de ­ ue las
A
P K`L :
de la unidad suman cero se tiene ­_
8
< 0
z k z l (dz) =
: 1
C
Z
@
TDC
lo ­ ue nos dice ­ ue es la J istribuL
mostraremos
­_
libre, distrib_L
A
DC
esta distribuci
TDC ­
A
si k = l
,
si k 6= l
T
de un elemento pJ OKKP unitar B 9 En la
n¹¶
µ
es la medida de
DC
asociada a la distribuci
­_
A
`K
D
@
J
LTDC
saber cual es su istribu
u + u es autoadjunto 9
D=
R
9
o necesitamos encontrar
=A
(u + u ) =
k X
k
j=0
:` «
usando el hecho de
­_
A
u = u
1
j
((u + u ) ) =
k X
k
j=0
k
((u + u ) ) =
:
ar unitario, nos
es ((u + u )k ) ya
la ^ P mula del binomio
:
j
((u)2j
k
)
tenemos
8
<
K
TD
k
o89Ep
uj (u )k
9
y a; licando a ambos lados de la ecu KL n anterior
obtenemos
de donde usando
j
­_n
O
»B
D
omo u y u conmutan se cum;
<
k
pJ Qoisson
ue no se encontP en la literatura y ­ ue se introduce en este traba
Ahora consideremos el elemento autoadjunto u + u 2 A, donde u es
gust KP
A
LLTDC N
R
9b9I
0
si k es
2n
n
TH; KP
si k es ; KP « k = 2n 9
8F
N
o89 p
Por lo tanto, la medida es tal ­ ue sus momentos mk () =
mk () =
Esta es A0;2 , la
/0
h
8
<
0
si k es
:
2n
n
Óô
TH;
ú
l
-Ù Ù-
TH; KP
2;2] (x);
A
H;
ortancia retomamos en los ej
ementos emicirc
4r6()*%
=A
A
C ­_
arcoseno en ( 2; 2), con densidad
cuyo estudio detallado e
tk (dt) cuH;
si k es ; KP « k = 2n 9
1
a0;2 (x) = p
1[
4 t2
ÒÓ
R
`
los de los siguientes L K; tulB: 9
ares
ûú
Fijemos un -espacio de probabilidad (A; ) y un elemento a 2 A tal que:
i) aa = 1 6= a a
ii) a genera a (A; ) como una -álgebra.
iii) Los elementos de la forma (a )m an son linealmente independientes entre sí.
iv) La funcional : A ! C satisface la ecuación
8
< 1 si m = n = 0
((a )n am ) =
: 0 en otro caso
para todo m; n 2 N [ f0g.
o89Ip
A
Es de intern: saber cuales son los momentos de a, esto es, ­_ remos conocer el valor de
(am1 (a )n1 :::amt (a )nk ):
A `
P
Parec
a de
vemos de
T
o p
o89Ip
en
­_
A
@
TDC
la J istribuL
A
N
­_
o89 98p
a no es
es una medida de Dirac 0 , sin embargo en este caso
=
CBPH K
9
Por lo tanto debemos de calcular (b
a)
T
G U
; KP K
TD
todos los elementos de la ^ orma b
a = am1 (a )n1 :::amt (a )nk 9 <laramente de o ¹ p en la B KL C
Pk
N
T
«
89 98 si
ni ) 6= 0; se tiene ­ ue (am1 (a )n1 :::amt (a )nk ) = 0: R C embargo, cuando
i=1 (mi
Pk
ni ) = 0 el análisis es más
CB 9
i=1 (mi
8E
i0 k
ni()
*%
l
-Ù ÙV
Decimos que el elemento b
a = am1 (a )n1 :::amt (a )nk no cruza la diagonal si
k
X
(mi
ni ) = 0
o89bp
i=1
y
t
X
(mi
ni ) 0 para todo t = 1; 2; :::; k.
i=1
o89Mp
Si un elemento b
a = am1 (a )n1 :::amt (a )nk no cruza la diagonal escribimos b
a 2 N CD(a).
El nombre de elementos
TDC
biyecL
­_
A
DU
entre los elementos b
a 2 N CD(a) y los caminos mon onos
travn s de las
=`
neas de una malla de n n celdas cuadradas, de
HBCDUBCB
la diagonal 9 Un camino
­_
no cruzan la diagonal se justi
ca debido a
es
K­
=
n ­
u
H;TA³
ue e
­_
A
se
^BPH K ­_
a en la es­ uina
;_
A
TC^A
arriba o hacia la derec
9
La biyecci
es como
am1 (a )n1 amk (a )nk asociamos el camino
K:`
derecha,
sucesivamente, hasta llegar a nk :
b
a = am1 (a )n1 amt (a )nk tales
A
se ;P_ ba a continu
osi
234
()*%
KLTDC
l
-Ù Ù-
A
­_
;
A
:
S
´
; KP K
K;_
ntan hacia
^BP
cada elemento de la
ma b
a =
rimero sube m1 de:;_n: sigue n1 hacia la
ulta ­ ue los
(b
a) no se anula son los
ØC
A
­_
icos elementos de la ^ orma
no cruzan la
@T
=
K²BC K
9
Esto
9
Sea a 2 A como en la Notación 1.4.1 y sea b
a un elemento de la forma
b
a = am1 (a )n1 amt (a )nk .
Entonces
i014j
­_
A
A
:T²_
eden trazar a
rior iz­ uierda y
T
DC
ste una
nunca se cruce
termina en la e:­_ C K su; erior derecha, y consiste Ø nicamente en tramos ­ ue
¸K
A A T
ª
tr6()
*%
T
R
aa = 1, las ecuaciones
8
< 1 si b
a 2 N CD(a)
(b
a) =
.
: 0 si b
a2
= N CD(a)
b
a 2 N CD(a) entonces es claro
o89bp
y
o89Mp
aseguran ­ ue
­_
:TAH;
A
o89dp
(b
a) = 1; ya ­ ue b
a=1
;_
es como
re hay a s su
cientes ; ara cancelar las
a2
= N CD(a) como 1 6= aa , entonces b
a se ; uede escribir
a s y ­ ue no sobran 9 Por otra ; arte si b
como b
a = a1 a2 :::ak ::an con ak = (a )k al linealmente inde; endiente de ak+1 y ak
DC
elementos de la ^ orma an (a )m ^ orman una base, ; or la ecuaci
y ; or lo tanto (b
a) = 0
N
8
o89Ip
tenemos
19
­_
a
­
ue los
e (ak ) = 0
BHB
<
@
0/010%
tos semicir('
de a + a , los llamados
­_
A
^_CLTDC
la
obtener
­_
A
A
De
9
vemos
o89dp
­_
A
(b
a) no es otra cosa
A
el nJn simo momento de a + a es igual al nØH ro de elementos
¾
HBCDUBCB:
/630j
indicadora en N CD(a) y un argumento similar al usado en
diagonal de t KH K o n 9 Es claro
­_
TDC
en el caso de elementos Oaar unitarios, estamos interesados en calcular la J istribuL
y las 6
/6536j
p
de
­_
A A T UA
ª :
TDC
una biyeLL
=
K
o
ih(
s ; alabras en un
T
no haya n C²ØC segmento inicial
­_
­_
entre estos elementos
=
K^
tenga más A s
A
N
o89 p
A
nos ; ermite
no cruzan la
B
o
los caminos
abeto de dos letras A y B de ^ orma
­_
B : p9 Es bien conocido
A
[
1034
cantidad de ; alabras de Dyc de longitud 2n es el eCn: imo n
de
­_
8
< 0
((a + a )k ) =
: C
ata
f
A
LLTDC
R
En la
A
/0
2 9b98 mostramos ­_ la
h
w0;1 (x) =
&0/
o89\p
si k es
n
semi(
1 p
4
2
TH; KP
si k = 2n 9
3('/
x2 1[
o en [ 2; 2] con densidad
2;2] (x)
es la ØC ica medida cuyos momentos nones son cero y los ; KP
A
H; ¾ K
Esta ley des
e
; K;
un
el
^_
A
ndamental en la
_LTDC
un ; a; el similar al ­_ la distrib
atrices A eatorias
ÒÓ
Ó
Para terminar con este
;
UD
endencia libre resul
UABP`
÷
ú
=
L K;`U_ B
ser muy
eúaciün
A
BP` K
]
la
D
tudio de varias
PT K:
aleato
ador
9
En
K¾B:
;PB;TA@
; KP
0,
8\F
ades
ticular,
amiltoniano en un
O
;
±
°Eb
A U @`
: K
:
y Guionnet
8\Ic
ortantes de sistemas
D ­_A
sugiri
acio de
T=
O
T TDC
donde la de
n L
±
°FE 9
tico multivariado a
¾
ÈT²CAP
A
:;
tica
A
J
de ind
de Matrices Aleatorias 9 Para el estudio de esta
ero ^ ue hasta los a os
TH;
alán Cn :
ü
A
=
H; B
´
KU
<
de divisibilidad in
nita libre, teniendo
!ire Asint
a, remitimos al lector a los libros de Metha
shart en los
A
son los nØH ros de
Gaussiana juega en ;PB babilidad clásica 9
aleatorias se inici como ; arte del análisis
ÈT
UABP` K
A
:
introductorio damos un ej
ØUT=
la
/ò%
1
2n
9
Cn =
n+1 n
Por lo tanto,
A
cuando
^`:TLB: ;
@`
o
È
KC
El estudio de matrices
; KPU
ir de los trabajos de
D ­
igner demostr
ue el e:J
ser abordado con matrices
`
en mecánica cuántica se ; od a sustituir el
bert de dimen:
8I
TDC
A
B; PJ
in
nita ; or un ensamble de matrices
aleatorias
A
PHTU
O
ianas 9
:`
` UT
`K
mismo, la estad : ca de los niveles de energ
de nØ cleos se em;
T
DC
a eª; licar en tn rminos de los valores ; rB; B: de matrices aleatorias de dimensi
DC
otro lado, la relevante relaci
;_
ede
A
K;P L
entre
@T TD
L
C
iar de la reciente e
Un ensam5
/0
A
BP`
]
de
a de Matrices Aleatorias y
KPU`
`K
eor
]
;
culos hecha or Mezzadri y Rnaith
/
A TD
:
C
de matrices a eatorias es una suc
de
grande 9 Por
GØ
A =(An )1
n=1 donde An es una
DC
considera de
meros se
±
°EM 9
matriz n n con entradas aleatorias: En el caso de una matriz A de dimensi
=
^BPH K TH; `LTU K
in
nita, se
el ensamble de las submatrices cuadradas su; eriores, ; or lo
muchas veces en la literatura no se usa el
UnPHTCB
ensam¬
=A
9
A D
³
­_
A
Además ; odemos hablar del ; rBJ
H;
1
ducto de los ensambles A =(An )1
lemente de
nin ndolo como el ensamble
n=1 y B =(Bn )n=1 , si
AB =(An Bn )1
n=1 9
T
El es; KL B de ensambles de matrices aleatorias admite una ^ uncional lineal A
:;
nos restringiremos al sub
CT@ K «
p
acio donde está bien de
A U T U
A
: P L KH C
o
te,
UD
llamada el valor es; erado asin tico
de A
1
E(trAn ):
n
(A) = lim
n!1
Observemos
identidad y
­
;
ue (I) = 1; donde la identidad I es
­_
A
el kJn simo momento
A
:;
T TDC
or de
C L
DUTL KHAC
erado asint
el ensamble de matrices
te de A es (Ak ), donde Ak es el
ensamble de matrices ((An )k )n 9
T
Entonces ; odemos considerar a este es; KL B dentro del marco de
CBJ
DC
conmutativo y ; or lo tanto de
nir la relaci
A
:;
acio de ; robabilidad
libre ; ara ensambles de matrices aleatorias y
la ^_ ncional :
i0 k
ni()
*%
l e
-Ù Ù
Los ensambles A y B son asintóticamente libres si para todos los poli-
nomios pi () y qj () tales que
[pi (A)] = 0 = [qj (B)] i; j = 1; 2:::n
se tiene que
[p1 (A)q1 (B)p2 (A)q2 (B):::pn (A)qn (B)] = 0
donde un polinomio p(A) debe de está de
nido como el ensamble de matrices aleatorias (p(An ))n .
DC
Esta relaci
se conoce como P
A=
KLTDC
UDUT
asin
A
ca libr
8b
TD
9
Para ilustrar la utilidad de esta noc n
mencionamos algunos resultados bien conocidos sobre la
aleatorias, remitimos al lector a
T
_;
p R
P
A=
KLTDC
UDU
libre asin
ica de matrices
N±
°F
´
ongamos ­ ue X1 y X2 son variables aleatorias inde; endientes con medio cero y vKPJ
UDU
ianza ; ositivK9 Entonces X1 I y X2 I no son asin
DUTL KHAC
ensambles de matrices aleatorias son asint
icamente libre: 9 Más generalmente, si dos
te libres y conmutan, entonces una de ellas
AUA
PHTCT:U K
es necesariamente d
ii
=
_K ­
p <
T
ii
p
UDUT
uier ensamble de matrices aleatorias y la identidad son asin
Ensambles de matrices aleatorias
UDUTL KHAC
son asin
iv p
9
W
eorema
A
PHTUT
O
@A
;
anas con entradas Gaussianas in
&0/ 7 1
ite
entr6
f
/ 7)530
´
A
R
(n)
(n)
T
(n)
(n)
(n)
(A1 + A2 + + An )
p
n!1
n
A
=
HTL`PL_ B
9
Esto es
8
< 0
((A)k ) =
: C
si k es
TH; KP
si k = 2n
n
8M
D
A
una sucesi C de CJ
(n)
(n) 2
) = 1 y
(Ai ) = 0, ( Ai
A = lim
del :
(n)
a A1 ; A2 ; :::; An
UDUT
DC
endientes
te libres 9
sambles de matrices aleatorias asin
camente libres 9 R
A
(n) k ) < 1 ; KP K toda k, entonces el :; ectro de
supi ( Ai
es la distribuci
camente libre: 9
:
8d
a t o
rans ormadas de
T
=
T
`U
El objetivo ;P nL ; K de este ca; ulo es ;P
=
TDC
la convB _L
^_
A A
:
nciones de Pic y la
tran:^ ormada de
UABP`
<
K_
a de
[
GA¹
anlinnaJ Pic
se introducen la
=
KC K `
^BPH K
«
A²_
R
UP KC:^
^
A U
; B
nzamos recordando el conc
­_
A
@
a
oiculescu y la trans^BPH K
ticas de
nidas a ; artir de la
UP KC:^
ormada de
K
CBJL
K_L
<
hy y
=
TDC
De e:; ecial iH; ortancia es el hecho de ­ ue linealizan la convoluL
se
LTDC
estudio de la convolu
Al
nal del
en
;PB¬ K¬
tulo
multi licativa
A A
;P :
A
¬P
e se
LBH;
y ;PB¬ K¬ ilidad clásic K9
libre aditivK9
a
oiculescu, herramienta
­_
A
T
·
ngman
:`
sirve
mismo,
; KP
a el
9
A
ntamos como ej
=
H; B:
algunas de las distribuciones más usadas
`
A
ortan en
^BPH K
más
±
°E8 9
" nciones de ic#
ÿ
DC
Una ^_ nci
LBH;
L K;`
=T
;
­_
ilidad libre e introducimos la ^ amilia de ; otencias del semic rculo de una
general ­_
ýÊ É
S de
nta de manera breve la trans
ico
cumulante libre, las cuales son
similar al logaritmo de la tran:^ ormada de Fourier en conv
@
^BPH K K
de
onmutativK9 En seguida,
B _LTDC
A A
;P :
=
KC K `U
son las herramientas adecuadas
erentes convoluciones en ; robabilidad
ormada de
icas ; KP K el estudio de
ido de esto, se ; resentan resultados sobre la
`
@T
=
KC K `U
lo cual es ^_C damental ; KP a el estudio
chy de una medida y su rec ; roca,
el estudio de las
nciones
A
BH
<
T=T
de medidas in
nitamente divisibles libre: 9
^_
ntar las herramientas
libre de medidas de ;PB¬ K¬ dad en R 9
[
; KP K
edidas
Í
[
DC
de Pic es una ^_ nci
`UTL K
anal
A
=
HT; KCB
: C+ ! C+ [ R; donde C+ denota el s
lejo fz 2 C : Im(z) > 0g 9 Estas ^ unciones tambin n se conocen como
8\
X'%()4%0j
de
$ 03
% o de
/ 4r
2)(
0
/
g6% )%%6
&
y se eª tienden ; or re
A TD
C
ª
un estudio detallado de este tema sugerimos los libros
`UTL K:
a ^ unciones anal
[¸TA A
³
T TDC
Una rev :
en
; KPUT
r
Donoghue
¾
en e:; K ol de varios resultados se encuentra en la tesis de
A
A
P ;P :
cular se demuestra a detalle la siguiente
W
eorema
±
«
°F
VÙ-Ù-
DC
entaci
UA²P K=
in
en CnR 9 Para
± D
°8E
]
a ?³­_A³
eschl
±
°Ic
N ±
° d 9
, en donde
9
es una función de Pick si y sólo si tiene la siguiente representación
(z) = b0 + b1 z +
Z
1
(
1
1
t
t2
z
t
)(dt)
+1
oF98p
donde b0 2 R, b1 0 y es una medida en R tal que
Del
Z
;nC
dice
>
en
N ±
° d
1
1
1
(dt) < 1.
t2 + 1
T
se tiene ­ ue la terna (b0 ; b1 ; ) está ØC L amente determinada como
b0 = Re((i)),
(iy)
b1 = lim
,
y!1 iy
mientras ­ ue la medida se recu; era de la ^
1
((t0; t1 ]) =
lim lim
!0+ y!0+
DPH
Z
DC
ula de inversi
de
UTA=U»A
R
s
t1 +
Im((x + iy))dx,
t0 < t1 :
oF9Ep
t0 +
A la medida se le conoce como medida es; ectral 9
A
A
P ;P :
oF9Fp
'
­_T¹
alentemente se tiene la siguiente
DC
entaci
(z) = b0 + b1 z +
Z
1
(
1
1 + tz
)(dt);
t z
UK
donde b0 y b1 son como en oF98p y es una medida
ni
Ru
(( 1; u]) = 1 t21+1 (dt) tenemos
(z) = b0 + b1 z +
Z
1
(
1
En
A A
^
t
)(dt)
+1
z
1 + tz
(
= b0 + b1 z +
)(dt)
z)(t2 + 1)
1 (t
Z 1
1 + tz
)(dt) 9
= b0 + b1 z +
(
z
1 t
Z
1
1
20
t
t2
9
N
oF9 p
cto, tomando (u) =
TDC
La siguiente es una caracteriz KL
;_
=
H; B «
;
ede consultar, or eje
W
eorema
VÙ-ÙV
en el
<
muy
ØUT=
=
K;`U_ B
± D
°F
de
E
^_
de las
[
nciones de Pic
en el
<
K;`
tulo
8E
9
A
HB:UP KLTDC
ud
R
de
se
±
°8E 9
Sea D un dominio de C+ . Para una función : D ! C las siguientes
condiciones son equivalentes:
i) se extiende a una función de Pick.
ii) Para toda z1 ; :::; zn 2 D; la matriz
"
(zj )
zj
(zk )
zk
#
j;k
es semi-positiva de
nida.
(rans)ormada de a c*+
ýÊý
Ð
i0 k
ni()
*%
Sea una medida
nita en R. De
nimos la transformada de Cauchy
VÙVÙ-
G de como
G (z) =
@
La trans^BPH K
^_CLTDC
A la
^_
DC KC K=`
nci
de
­_
<
K_L
Z
1
1
1
z
t
z 2 CnR.
(dt);
oF9Ip
hy tambin n se conoce como tran:^ ormada de
X4316&6
G (z) se le llama tra%j
e H es una
tica de C+ en C
@
:^BPH K K
la tran
K
H (z) =
es ^ ácil ver
oF98p
ÿ
9
[
^_CLTDC
de Pic
de
,
430/
K_L ¶J
<
R
h
A
9
@
:^BPH K K
La tran
Por consiguiente la tran:^BPH K
de
K_
<
A
A¾
: H;
KP ?
chy de
U KLTDC
De la r ; resen
@
9
tieltje: 9
un
; K;
K
G es una
el análogo a
de Fourier en el caso clásico y esta relacionada con ella de la siguiente ^BPH K
8 R
< i 0 e
1
G (z) =
: iR1e
0
itz b(t)dt;
Im(z) > 0
oF9bp
itz b(t)dt;
Im(z) < 0
como se ;_ ede veri
car usando el teorema de Fubini 9 Además, si escribimos z = x + iy se tiene
T TDC
la siguiente descBH;B: L
G (x + iy) =
en ; KP te real e imaginaria de G (z)
Z
1
1
x t
(dt)
(x t)2 + y 2
i
Z
1
1
(x
A
:
T TD
De esta de:LBH; os L n se obtienen las siguientes ;PB; iedad
F8
9
y
(dt):
t)2 + y 2
oF9Mp
osi
234
()*%
VÙVÙ-
Sea una medida
nita en R: Entonces
i) G (C ) C y G (z) = G (z).
(R)
ii) jG (z)j .
Im(z)
iii) Im(z) Im G (z) < 0.
iv) lim y jG (iy)j < 1.
y!1
v) lim iyG (iy) = (R), en particular si es una medida de probabilidad se tiene que
y!1
lim iyG (iy) = 1.
y!1
BHB
<
caso
A
:;
de su tran:^ ormada de
<
;
A
;
UT
odemos recu; erar la medida a ; KP r
uchy G de la siguiente manera
1
lim lim
!0+ y!0+
p
Z
t1 +
Im(G (x + iy))dx,
t0 < t1 9
oF9dp
t0 +
se tiene ­ ue
1
lim Im G (x + iy) 9
y!0+
f (x) =
A
L
S
ordemos
:TDC
K_L
A
una medida es
:THnUPT
A=
KLTDC
()*%
VÙVÙV
oF9\p
ca si (A) = ( A) 8A 2 R: De la
`K
entre la simetr
hy9 Este sencilla resultado no se encontP
osi
234
­_
arriba se ; uede obtener una P
inver
<
oF9Ep
articular, cuando tiene densidad f o es absolutamente continua con re:; ecto a la
medida de Lebesgu
de
P:TDC
K
((t0; t1 ]) =
En
A
D
ecial de la ^ P mula de inv
D PA;
^D
rmula de
de la medida y la tran:^ ormada
ortado en la literatura 9
La medida es simétrica si y sólo si su transformada de Cauchy G es
impar.
i014j
tr6()
*%
T
R
T
UPT
es : Hn
ca, calculando la
UP KC:^
ormada de
K_L
<
tiene
G ( z) =
=
=
Z
1
1
(dt) =
(dt)
z
t
z
+
t
R
RZ
Z
1
1
( dy) =
(dy)
z
y
z
y
R
R
G (z):
Z
22
hy ; KP K
z 2 CnR se
@
Por otro lado, :_; oniendo ­ ue la trans^BPH K
y usando
oF9dp
K
de <K_Lhy es im; KP , entonces G (z) =
obtenemos
1
lim lim
!0+ y!0+
((t0; t1 ]) =
1
lim lim
!0+ y!0+
=
1
lim
0 !0
=
Z
t1 +
Im(G (x + iy))dx,
t0 +
Z t1 +
Im( G ( x
t0 +
Z t1 0
lim
y0!0
0 = y 0 =y
Z
TAP
Four
9
t0 < t1
t0 < t1
Im(G (z + iy 0 ))dz,
t0 < t1
t1 + 0
=
KC K `U
A
@
icas ­_ son trans^BPH K
robabilidad 9 Es el análogo del teorema de
ochner
>
;
ara
K:
UP KC:^
de
<
K_L
hy
ormadas de
DC
Usamos la notaci
; KP K
iy))dx,
Im( G ( x + iy 0 ))dx,
t0 + 0
El siguiente resultado caracteriza las ^_ nciones
;
t0 < t1
t0 0
1
lim lim
=
0 !0 y0!0
= ([ t1; t0 ))
de medidas de
G ( z)
= fz = x + iy : y > 0; x < yg
cada > 0:
osi
234
()*%
e
VÙVÙ
[10, Prop 5.1] Sea G : C+ ! C
una función analítica. Los siguientes
enunciados son equivalentes.
i) Existe una medida de probabilidad en R tal que G = G en C+ .
ii) Para cada > 0 tenemos que
zG(z) = 1:
lim
jzj!1; z2
iii) Se tiene que lim iyG(iy) = 1:
y!+1
i014j
A
A
P ;P :
tr6()
DC
entaci
*%
oF98p
La
;
A
­_T¹
ara
T
o p
alencia entre
^_
[
nciones de Pic
9
y
TTT
o
p
=
KP
<
FE
DC
se sigue de la PrB; osici
amente
TTT
o
p
se sigue de
TT «
o p
ya
¹
F9F98o p
­_
A
y la
iy 2
; KP K
cada y > 0 9 Finalmente
;PB;TA@
ad
;
robamos
­_
A
UP KC:^
las
ormadas de
Es ácil ver
­_
A
; KP K
z 2
,
Z
1j = jzG (z)
=A
C
con la
p
t)j j + ij = 2 + 1
p
y escribiendo b = 2 + 1 tenemos
1
1
t
z
(dt)
t
b (ft : jtj T g) +
; KP K
Z
T
T
t z t (dt)
T
b (ft : jtj T g) + (( T; T ))
y
de donde
lim sup
jzj!1; z2
1j b (ft : jtj T g 9
jzG (z)
A
El resultado se sigue entonces de ­_ limT !1 (ft : jtj T g) = 0 9
A
En el caso en ­_ tiene :B; orte acotado se tiene la
G (z) = z
1
+
1
X
mk ()z
A
ª;
k 1
an:
,
k=1
donde mk () :=
DC
chy cuH;
se tiene la desigualdad jt=(z
todo t 2 R 9 Entonces ; ara T > 0, z = x + iy 2
ta r K³
K_
TT
o p9
^
n:
<
G
R
;_
Rt
k (dt)
TDC
en series de ; otencias
jzj > r,
oF98cp
es el kJn simo momento de , k 0 y r := supfjtj : t 2 sop()g: Por
TDC
ede ; ensarse como ^ unL
UB:
generadora de momen
9
-ec. roca de na (rans)ormada de a c*+
ýÊ
Ì
i0 k
ni()
*%
ÿ
e
VÙ Ù-
Ð
ÿ
Sea una medida de probabilidad en R con transformada de Cauchy G (z).
De
nimos la aplicación F : C+ ! C+ como
F (z) =
A
TDC
El hecho de ­_ F sea una ^_CL
@
la trans^BPH K
A
HTUTHB:
S
5
4/
K
T
F tam¬ nC deseH;
al lector al trabajo de
U`L_=B
o eana y al ar
A¾
;
R
1
;
G (z)
z 2 C+ :
[
de Pic no :
a un
; K;
eicher y
el
È
N
F
TH;
es de
i
TH;
TD
ortancia en convoluL n libre,
A
:
ortante en otro ti; o de convolucion
oroudi
[
_P K
reciente de Franz y M
D=B
N ± ; KP K
° I
±
; KP K
°8M
g
/'
el caso de la con o ci
/
*%
la congo 'ci
*r4%6
mon
9
9
*%
TDC
Los resultados de esta seLL
Usando ; rB; iedades de
ciones
=
KC K `U
e
VÙ Ù-
vici y
a
oiculescu
±
°8c 9
[
`
()*%
A
PLB
>
T
TDC ; KP K ^
nciones de Pic se obtiene la siguiente caracter ³ KL
icas ­ ue son rec ; rocas de
osi
234
^_
se encuentran en
UP KC:^
DC
ormadas de <auchy, análogo a la PrB; osici
unJ
2 9F9E9
Sea F : C+ ! C+ una función analítica . Entonces los siguientes enunci-
ados son equivalentes.
i) Existe una medida de probabilidad en R tal que F = F en C+ .
ii) Para todo > 0 tenemos que
lim
jzj!1;z2
F (z)
= 1:
z
iii) Se tiene que limy!1 F (iy)=iy = 1.
iv) Existe b0 2 R y una medida
nita en R con
F (z) = b0 + z +
i014j
tr6()
*%
La
A
­_T¹
alencia entre
F : C+ ! C+ sea una
^_
DC
nci
=
KC K `
Z
1
(
1
T
o p
,
1 + tz
)(dt), z 2 C+ :
t z
TT
o p
y
TTT
o
p
se sigue de la
tica nos dice ­ ue tiene
b1 = limy!1 F (iy)=iy = 1: Esto muestra la e­ uivalencia entre
De la
434/63)
f
A
P ;
o
U KLTDC
resen
e
VÙ ÙV
T¹
o
p
en la
;PB;B:TLTDC
A
A
P ;P :
TTT
o
p
PB;B:TLTDC
Q
F9F9E9
DC
entaci
y
como en
/ue
N «
oF9 p
anterior se obtiene la siguiente ;PB;
TA@
ad de F 9
Para toda medida de probabilidad en R se cumple que
Im(F (z)) Im(z)
con igualdad para todo z 2 C+ si y sólo si es una medida de Dirac.
A
Para nØH ros ; ositivos y de
nimos las regiones
;
70
ma
e
VÙ Ù-
= fz = x + iy : y > ; jxj < yg:
Sea una medida de probabilidad en R y sea 0 < " < : Existe > 0 tal que
i) La función F es univaluada en
ii)
";+"
F (
; :
; )
FI
y
T¹
o
p9
i014j
de tal
tr6()
*%
A
^BPH K ­_
Por
TT
o p
jF (z)
DC
en la PrB; osici
; KP K
zj < " jzj
2 9E98 ; odemos tomar su
cientemente grande
z 2
";+" 9
TDC
su
cientemente grande, la imagen de la ^ rontera de la seLL
es una curva
­_
A
tomar el valor !
rodea a !
=
:D B
A
A
ª KLU KH C
=
DC
@
^BPH K K
`
derecha de la reL ;PB ca de una trans
()*%
= [>0
e
VÙ ÙV
; de anillo fz 2
si 0 > es
";+"
: jzj < 0 g
una vez 9
T
osi
";+" ,
te una vez, entonces ; or la analiticidad de F debe de
El siguiente resultado es el ; rinL ; K de esta secci
234
ea ! 2
R
de
<
K_
9
GB:
garantiza la
A T UA
C
ª :
cia de la inversa
chy9
Sea una medida de probabilidad en R. Existe un dominio
de la forma
tal que F tiene una inversa derecha F 1 de
nida en . Además se tiene
Im(F 1 (z)) Im(z);
z2
oF988p
y
1 (z)
F
lim
jzj!1;z2
z
=1
oF98Fp
para todo > 0.
i014j
tr6()
*%
El hecho de ­ ue
riBP 9 Por otra ; arte,
PB;B:TLTDC
Q
oF988p
A
ªT
= [>0
sta el dominio
se sigue del
B
<
rolario 2 9E9F y
oF98Fp
UA
; se sigue del lema an
es consecuencia de
TT
o p
J
en la
2 9E989
(rans)ormada de 0oic esc + s s 0ariantes
ýÊ
A
;
ÿÏ
ÿ
ÿ
@
artir de la inversa derecha de la tran:^BPH K
@
^BPH K K
llamada trans
PB;B:TLTDC
Q
2 9E9F9
i0 k
l
VÙ Ù-
ni()
*%
de
K
de
<
K
`
uchy rec ;PB ca
a
oiculescu de
nida en el dominio
= [>0
;
; odemos de
nir la
considerado en la
Sea una medida de probabilidad en R con transformada de Cauchy recíp-
roca F (z). De
nimos la transformada de Voiculescu :
(z) = F 1 (z)
Fb
z
z2 :
!C
por
@
;PB¬ K¬T=T@ K
Una medida de
a
oiculesc_ 9 En
A
^
Entonces se sigue
en R está
ØC
ecto, s_; ongamos ­ ue y 0 son tales
­_
A
DC
F = F0 en una regi
;
icamente determinada
A
­_
or su tran:^ ormada de
DC
= 0 en un regi
TD
;
de C+ , y entonces or continuac n
y F0 coinciden en todo C+ 9 Por la tanto, y 0 tienen la misma
UP KC:^
=
KC K `U
ormada de
<
; 9
ica, F
K_L
hy y
en consecuencia = 0 9
La
TH;
UP KC:^
ortancia de la
libre de medidas con so; orte
a
oiculescu
±
;
°IF
D ­
rob
A
a
TD
ormada de oiculescu es el hecho de ­_ linealiza la convoluc n
LBH; KL
D
to, como se de
ni en el
<
K;`U
ulo
ue si y v son medidas de ; robabilidad con sB; orte
LTDC
entonces v (z) = (z) + v (z) 9 Motivados ; or este hecho, en la sec
DC KC K=`
la de
nici
DC
tica de convoluci
:­_TAP K
libre ; KP K cuale
DC ; KP K
Para ello utilizamos la siguiente caracterizaci
234
osi
()*%
forma
; .
l
VÙ Ù-
`¿
E:; eL camente,
89
LBH;
acto en R,
siguiente daremos
dos medidas de ;PB babilidad en R 9
@
tran:^BPH K
K:
a
de
oiculescu 9
[10, Prop. 5.6] Sea una función analítica de
nida en una región de la
Las siguientes condiciones son equivalentes
i) Existe una medida de probabilidad en R, tal que (z) = (z) para todo z en un dominio
con 0 :
; 0
ii) Existe 0 de tal forma que
a) Im((z)) 0 para todo z 2
; 0 .
b) (z)=z ! 0 cuando jzj ! 1, z 2
; 0
c) Para todo n entero positivo y cualesquiera puntos z1 ; z2 ; :::; zn en
zj
zj + (zj )
zk
zk
(zk )
; 0 ,
la matriz
1j;kn
es semi-positiva de
nida.
i014j
tr6()
*%
_;
R
A
ongamos ­_ (z) = (z) ; KP K todo z en un dominio
Debemos ; robar ­ ue (z) cuH;
­_
A
;
ara z 2
¬TnC
tam
; 0 9
; 0 ,
=A
T TDC
con oKp, o¬ p y oL p9 De la QPB;B: L
F9E9F
; 0
con 0 :
se tiene claramente
(z)=z ! 0 cuando jzj ! 1 e Im( (z)) 0 9 Además como es
=`UT
debe ser ana
ca en
; 0
Por lo tanto ; odemos escribir
zj
zj + (zj )
zk
zk
C+ , es decir F es una
(zk )
j;k
FM
F (& j )
=
&j
^_CLTDC
F (& k )
&k
=
KC K `
tica,
[
de Pic univaluada en
j;k
oF98Ep
; KP K
T
Probamos ahora
;
­_
odemos escribir
; KP K
A UT
ª
DC
algunos & j ; & k 2 C+ la cual es una matriz seH J; ositiva de
nida ; or la PrB; osici
^_
alguna
ende a una
A
DC
TT TH;=TL K T
BHB
o p
o p9 <
zk
zk
zj
zj + (zj )
=
KC K `
es
(zk )
=
j;k
tica en
F (& j )
&j
;
y es
F (& k )
&k
j;k
DC
^_CLTDC
[
de Pic
9
TD
«
F9E98
F = F
; KP K
A
l
VÙ ÙV
eorema
F se
alguna medida de ;PB babilidad en R:
T
=
T
@
a
oiculescu es una trans^BPH K
T TDC
`UTL K
usando la ;PB;B: L
totalmente anal
«
F989F
El hecho de ­ ue (z)=z ! 0; es e­ uivalente a ­_ e F (z)=z ! 1
TDC
J
El siguiente teorema J­_ es el resultado ;P nL ; K de esta secL
dos tran:^ ormadas de
F989F9
ositiva de
nida,
F y algunos & j ; & k 2 C+ 9 Usando otra vez la PrB; osici
nci
de donde ; or la PrB; osic n
W
A
: HTJ;
K
nos dice ­ ue la suma de
a
oiculescu 9 Presentamos una ; rueba
de
T
anter BP 9
Sean 1 y 2 las transformadas de Voiculescu de las medidas de probabilidad
1 y 2 en R respectivamente. Entonces = 1 + 2 es la transformada de Voiculescu de
una medida de probabilidad en R.
i014j
tr6()
DC
la ; rB; osici
cuH;
=A
C
*%
Probaremos ­ ue = 1 + 2 cuH;
anterioP 9 Probar
A U
: K ;
9 S
robar ­_
es semi ositiva de
=
KC K `U
;PB¬ KP ­
T²_TAC
R
9
BC:
<
zj
zj + (zj )
ue F (z) se
; 0 ,
z + 1 (z) 2
tin')
A
ªU
K
zk
zk
zj
zj + (zj )
do la
;P_
A
p
y
¬
(zk )
ba de la
zk
zk
(zk )
=
j;k
TDC
iende como una ^ unL
ue F (&) 2 C+ : Esto es
z + (z) 2
A
con
, bp y
p
es trivial
p
;_
L
de la
p
; KPU
e ii p de
T
es 1 y 2 tam¬ nC lo
j;k
;PB;B:TLTDC ;
asada, como 1 y 2 son
icas, odemos escribir
TH;=TL K ­
­_
=A
cuH;
K
;
Para
A
con
A
CT@ K
J;
­_
=A
A
­_T¹
F (& j )
&j
F (& k )
&k
:
j;k
[
;P
alente a ue z 2 C+ siem
esto dice ­ ue z 2 C+ :
de Pic es su
ciente
­
entonces z + 1 (z) + 2 (z) 2
; 00
BHB
; 0 9 <
A
­
de
1
7
gh 7)530
9
28
ue & 2
ue z + (z) 2
H;
Im(2 (z)) 0, se cu
ideramos ahora la continuidad de 9 Llamaremos al siguiente el
&6&
;PB¬ KP ­
W
=A
; 0
i
; 0 9
R
; KP K
00
eorema de
4%
f
W
l e
VÙ Ù
eorema
Sea fn g1
n=1 una sucesión de medidas de probabilidad. Los siguientes enunci-
ados son equivalentes.
i) La sucesión fn g1
n=1 converge en distribución a :
ii) Existen ; de tal forma que la sucesión fn g1
n=1 converge uniformemente en compactos
de
;
a una función :
i014j
@T `
^
tr6()
*%
_;
R
ongamos
TD
cil ver de la PrB; osic n
F9E98
­_
­
A
DC
fn g1
n=1 converge en distribuci
T^BP
ue limy!1 Fn (z) = F (z) un
a 9 Entonces, no es
memente en
LBH; KL
tos de
C+ y
Fn (z) = z(1 + o(1)); F (z) = z(1 + o(1)) cuando jzj ! 1; z 2
T
un ^BP memente en n 9
­_
e sigue
R
e eª isten ; > 0 tales
de
nidas y tienen ; KP te imaginaria negativa en
cuando jzj ! 1; z 2
=`
DC
mite de una subsucesi
La
9
;
^ KHT=
; :
­_
e las ^ unciones y n están
ia fn g1
n=1 es normal en
; 9
:` «
basta
A A
^
j
tenemos ­ ue z + (z) 2 C+ y
T
A
A
H C
Fn converge a F un ^BPH
j
_;
R
1 (z)
en
A
cuando jzj ! 1; z 2
;
TT
; 9
cto, si z 2
ue el
;
j
j
y ; or lo tanto = :
T
p9
j
Fn (z + n (z)) = 0 9
j
j
ongamos ­_ se c_H; le o
la convergencia de fn g1
n=1 9
;PB¬ KP ­
te en una vecindad de z + (z); se tiene ­ ue
lim F (z + n (z))
j!1
Entonces z + (z) = F
te en n
zj = F (z + (z)) Fn (z + n (z))
j
j
F (z + (z)) F (z + n (z))
j
+ F (z + n (z)) Fn (z + n (z)) 9
j
BHB
<
A
A
H C
T
Además, n = o(z) un ^BPH
convergente fn g1
j=1 es de hecho igual a 9 En
jF (z + (z))
A
PK ;
Por la ;P H
TDC
arte de la demostP KL
A
es su
ciente ;PB¬ KP
A
A
H C
T
enemos ­_ Fn1 (z) = z+n (z) = z(1+o(1)) un ^BPH
]
Esto
TH;
lica, en
; KP
ticular,
­_
A
iyGn (iy) 1 = o(1) un
en n cuando y ! 1 9 La desigualdad
Re(iyGn (iy)
1) =
Z
1
1
t2
1
(dt) n (ft : jtj yg)
y 2 + t2 n
2
F\
te en n
T^BPHAHAC
te
TDC
nos da entonces la convergencia en distribuL
A
; KPUT
a
r de la tran:^ ormada de
T
TDC
tam¬ n n linealizan la convoluL
de fn g1
n=1 9
oiculescu se
libre y cuyas
;_
;PB;
eden de
nir variantes
TH;
iedades se siguen trivialmente de las de
9 En el estudio de divisibilidad in
nita libre de medidas con :B; orte LBH; KL to
A
;P :
enta en el
<
K;`
tulo
es usual trabajar con la R anj
X43
r3
N
p
ortantes ­ ue
mada de
UAH K ­
o
ñ4)('/0j('
ue se
de
nida
como
1
R (z) = ( ) = F 1 z
z
TH;
Una ;PB; iedad
@
^BPH K K
de
<
tran
1
z
T TDC «
ortante, ­ ue se sigue de la de
C L
1
z
N
oF98 p
2 :
DC
es la siguiente relaci
entre la tran:J
K
uchy G y R
Otra variante,
jX431
1
ada
;PB;
1
G (R (z) + ) = z 9
z
uesta recientemente
('1'/6%
te
/)530
;
or
KP
>
@
K
es similar a la
^_CLTDC
DC
; ;
un a el análogo en la caracterizaci
la usamos en el siguiente
L K;`
º GT
J
ndor
elsen y
¸BP¬ » ¼PC:A
]
n
±
«
°M
es la
C (z) de
nida como
1
C (z) = z( ) = zF 1 z
z
Esta trans^BPH K
oF98Ip
1
1;
z
1
2 :
oF98bp
TDC
cumulante clásica de la RecL
898
A
H; ¾ K
y des
e
de distribuciones in
nitamente divisibles libres 9 Por ello
=
;
TDC
tulo ara de
nir la convB _L
libre de medid K: 9
2 (rans)ormada 3
ýÊ
DC
En esta secci
se ; resenta la tran:^ ormada S de
mentos, estudiada inicialmente en
A
±
°IE 9
a
4sta de
oiculescu
A
A¾
: H;
K
; KP K
medidas con todos sus
el ; K; el de la tran:^ ormada cumulante
TD
libre en lo ­_ se conoce como la convoluc n multi; licativa libre introducida en el
AU
BH KHB:
89 S
i0 k
ni()
*%
DC
el estudio de esta convoluci
VÙtÙ-
en la
HBJ
<
=
K;`U_ B
A
LLTDC
R
E9b9
Sea una medida de probabilidad en R con momentos mn (), n 1 y con
m1 () 6= 0. Entonces su S-transformada S se de
ne como sigue. Sea la inversa de la
serie formal de potencias
M (z) =
1
X
n=1
Ec
mn ()z n
oF98Mp
entonces
S (z) = (z)
El hecho de ­ ue tenga media
=
@T A A
^ P C
serie de ; otencias ^BPH K en z: Más
de ; otencias M
;_
KØ
1+z
:
z
te de cero asegura ­ ue la inversa de M (z)
n, M
;_
@
Más recientemente
;
R
eicher y
K
S
j
KB
S
A
ªT:U
como
ede rec_; erarse de S 9 Observemos ­ ue la serie
ede obtenerse de la trans^BPH K
M (z) =
A
K
de
1
1
G ( )
z
z
N ±
° b
<
K_
D
chy a travn s de la ^ rmula
19
oF98dp
T TDC
eª tendieron la de
C L
con media cerB 9 El ; rinci; al ; roblema es ­_ e M (z) no tiene inversa
de S
ØCTL K
A
_;
9 R
; KP K
medidas
A
ongamos ­_ A
tiene media cerB 9 Ri eª cluimos el caso en ­_ = 0 , entonces sabemos ­_ m2 () > 0 y ; or lo
TA³ K
tanto la serie M (z) em;
con un mØ
=UT
;
lo de z 2 9 Esto signi
ca
­_
A
aun­ ue M (z) no
;_
ede
ser invertida ; or una serie de ; otencias en z; si ; uede ser invertida ; or serie de ; otencias en
p
A T UA
T
D=
z 9 La inversa no es ØC L a, ; ero de hecho : B ª : C dos B; ciones o­ ue corre:; onden a elegir
p
=
la rama de z p9 El siguiente resultado eª; lica esto más ^BPH K mente 9
234
osi
()*%
VÙtÙ-
Sea M una función de la forma
M (z) =
1
X
n z n
n=2
con 2 6= 0: Entonces existen exactamente dos series de potencias y e (en
p
z) que satisfacen
M ((z)) = z:
Ahora
@T
^
;
odemos de
nir trans^BP madas S y Se
; KP K
medidas con media cero y varianza
erente de cerB 9
i0 k
ni()
*%
VÙtÙV
Sean una media con media cero y segundo momento diferente de cero.
Entonces sus S-transformadas S y Se se de
nen como sigue. Sean y e las inversas de la
serie formal de potencias
M (z) =
1
X
n=1
E8
mn ()z n
entonces
S = (z):
respectivamente.
Además, si M es como en
@
entes trans^BPH K
; KP
oF98Mp
1+z
1+z e
y S = e (z):
z
z
a una medida con media cero entonces las coPP
S y Se son de la ^ orma
K:
S = d
A
:;
@T
on
J
1
X
1
dk z k=2
1p +
z
k=0
1
Se = d~ 1 p +
z
1
X
d~k z k=2
k=0
donde
d~k = ( 1)k dk 9
5
ýÊ
Ë
em os
ÌÏ
TDC
En esta seLL
DPH
encontramos ^
@
ulas ; KP K diversas tran:^BPH K
K:
de distribuciones ­_
A
A
K; KP J
`
cen comØCH ente en ; robabilidad CBJL onmutativa, como la del semic rculo, la ley arcoseno y la
<
K_L
hy9
<
K¬
e destacar
­_
A
@
^BPH K K
no tienen una trans
DC Aª;
distribuci
binatorio del
­_
A
varias de las distribuciones
de
<
K_L
hy en
^BPH K
­_
cerrad
e son Ø tiles en
K
al es el caso,
9
]
A A
L
onencial y la Gaussiana, ; ara las cuales ; KP
=
K;`U_ B N
<
9
@
;PB¬ K¬T=T@ K
;
A
H;
or ej
ser conveniente el
A
C^
clásica
lo, de la
o­_ e LBHJ
T `
`U
Al
nal del c K; ulo introducimos la ^ amilia ; otencias de seH L P culo,
A
=
HTL`PL_ B «
incluye a las distribuciones del :
DHB
la uni^ orme, la ley arcoseno y L
=`
caso mite
a la Gaussiana 9
6
ôÓ
!e
÷
ÓÒ
A
BH C
<
de emic7rcûúo
DC
zamos con la distribuci
DC
distribuci
DC
; KPU
A
=
HTL`PL_ B «
la cual
K;
arece de manera natural como la J
de elementos semicirculares ovariables aleatorias CBJL onmutativas normale: p« como
se vio en la Recci
A
del :
ir de la
@
N
89 9F9
nL
relevante en teoremas
ada de los
=`
HT
Ic
s, la medida de s
A
=
HTL`PL_ B
tes de ; robabilidad ­_
A
EF
K;
ha surgido tambin n de manera
arecen en diversas áreas de la matemátic K9
A
BP` K
]
Una de las más im; ortantes es la
T
UK
o
m¬ nC llamada de
È
igner p K; KP
A A
L
TDC
de Matrices Aleatorias, en donde esta distrib_L
como el
=`
A
HTU
bles de matrices aleatorias, trabajo iniciado ; or
_LTDC
otro lado, la distrib
DC
en relaci
DC ;
libre, P K³
A
=
A
HTL`PL_ B K; KP L
de s
gru; os
T TDC
tran: L
A
R
`HTU
µ
e
A
<
±
¯
°II
=`
HTU
ectral de diversos en: KHJ
T
ver tamb nC
_LTDC
,
±
°Ec
*%
8
6'
A
@
;PB¬ K¬T=T@ K
`
de Plancherel asociados a diagramas de
±
°Eb 9
y
Por
e de sumas de variables aleatorias
de semic rculo a; arece como
icos, la distrib
N±
°F
ssiana
ntral Libre remitimos a las r ^ erencias
y
UABP`
=`
HT
a de
A
P ;
/)530
±
N±
«
°\
°F
,
9
±
°E\
resentaciones de
te de las ; robabilidades de
oung, como se muestra en
±
°88
y
±
°F\ 9
a una medida de ; robabilidad con momentos
8
< 0
mk () =
: C
si k es
donde Cn =
eamos
2n
n
­_
=(n + 1) son los n
1034j
DC
e es la distribuci
de
UB
Por lo tanto, de
oF98cp
BUP
o
tenemos ­_
`
del semic P culo, usando la trans^BP mada de
D
oF98\p9 <
`UTLB
J
; KP
T
oF98\p
1
1 X Ck
:
+
z
z 2k+1
k=1
EE
K_
<
chy
; KP K
A
N
LLTDC
«
R
89 9F
de este hecho se ; resenta en
a jzj su
cientemente grande
G (z) =
D
mo se menL BC en la
o argumento J anal
A
(k 1)
6r6/ò%
f
9
recu; erar la medida a ; artir de los momentos
debe tener so; orte cBH; KL
TH; KP
si k es ; KP « k = 2n
n
a
e como
A su vez, en el estudio de relaciones entre
:THnUP
ner
A
:;
or la cual tambin n es conocida como distri5'()
Para el estudio del ]eorema del
N±
D
°I
9
ÈT²
de la medida
N
>9F9 p9
Usando le recurrencia Ck =
Pk
j=1 Cj 1 Ck j
tenemos
1
1 X Ck
+
z
z 2k+1
G (z) =
k=1
1
+
z
=
1
X
0
1 @
z 2k+1
k=1
k
1 X
X
=
1 1
+
z z
=
1
1 1 X Cj
+
z z
z 2j
k=1 j=1
k
X
j=1
Ck
1
1
1
1
1
X
Ck
2k+1
z
j
z 2(k j)+1
k=1
!
@
cuadrática ; KP K la trans^BPH K
G (z)2
, su
oF98\p
z
G (z) =
K
UP KC:^
p
z2
2
4
con
en la PrB; osici
Utilizamos la
^DP
DC
mula de inversi
oF9\p
w0;2 (x) =
oF9F8p
es la
UP KC:^
oF9Fcp
K_L
<
ormada de
; KP K
1 p
4
2
obtener la
x2 1[
/0
­_
h
A
se tiene ­ ue
&0/
j01)( 3('/4
TDC
uchy GW0;2 (z) de la distribuL
GW0;2 (z)
=
z
y
1
FW0;2
(z) = z + 1=z:
N
E
2
p
z2
acer la
W0;2 con
oF9FFp
K
<
1
: KUT:^
2;2] (x):
donde obtenemos ­ ue
FW0;2 (z) =
hy es
oF9F8p
F9F9E9
densidad
Por lo tanto
chy
;
`
DC
K_
<
ormada de
en donde hemos tomado la ra ³ cuadrada con signo negativo, ya
TTT
o
p
de
z 2 C+ :
zG (z) + 1 = 0;
Entonces, si es una medida con momentos
@T TD
L
C
1 1
+ G (z)G (z);
z z
=
TDC
1 Ck j A
Cj
z 2j
j=1
de donde se obtiene la ecu KL
Cj
1
4
A
HTL`P
de s
culo, de
T TDC
:` «
de
de la de
C L
@
de tran:^BPH K
K
de
@
a
oiculescu y
a
oF98bp
obtenemos ­ ue las trans^BPH K
K:
`
oiculescu y cumulante libre de la ley del semic rculo están dadas, re:; ectivamente, ; or
W0;2 (z) = 1=z
oF9FEp
y
N
oF9F p
CW0;2 (z) = z 2 :
@
Ahora calculemos una tran:^BPH K
media cero: De
oF98dp
K
TDC
S de la distrib_L
;
de
A
=
: HTL`PL_ B
W0;2 , la cual tiene
;
la serie de otencias M está dada or
M (z) =
1
1
G ( )
z
z
1=
p
z
(1 + z)
(z) =
@
K
4 + 2z)
2z 2
de donde
y ; or lo tanto una tran:^BPH K
q
z( z12
1
DC
S de la distribuci
`
de semic rculo es
1
S(z) = p 9
z
Más generalmente, ; KP K m real y 2 > 0, se de
ne la distri5'()
*% &0/
sem)(
3('/
o Wm;
mediante la densidad
wm; (x) =
TDC
Esta distrib_L
1 p 2
4
2 2
(x
m) 1[m
2;m+2] (x):
tiene media m y varianza 2 :
La tran:^ ormada de
K
<
uchy de Wm; está dada ; or
GWm; (z) =
p
2
(z
r2
EI
(z
m)2
r2 );
oF9FIp
mientras ­ ue su
UP KC:^
ormada cumulante libre es
r2 z 2
= mz + 2 z 2
4
CWm; (z) = mz +
oF9Fbp
donde r = 2 es el radio del :B; orte 9
6
ôÓ
Óô
!e
÷
Arcoseno
TDC
La distrib_L
=`
Arcoseno
TDC
mite de la distribuL
A
K; KP L
e en el estudio de un
^P KLLTDC
de la
UTAH;
de
;
T K: ¯
LBCBH` K
tiene varias a; licaciones en e
distribuci
se menciona en
N± « K:`
° p
como en la sim_
bien conocido Hn todo de
En el c
KH;
@
o de la
TDC
la J istribuL
TH;
BªJ
>
de elementos de
O
KKP
=
H; B:
ortante ara construir eje
B
más adelante en este trabaj
A¾
¹
o
KLTDC
9
:`
`K
y teor
ver
N± D N ±
°8
° \ 9
@
:U K `:UTL K
e
:`
mismo, esta
DC
de la comunicaci
de variables aleatorias Gaussianas mediante el
er
TDC
mutativa la distrib_L
D
, como se mostP en la
A
H;
y contraej
_
R
de arcoseno a; arece como
TDC
bseLL
N
89 989
Es igualmente
;
los en robabilidad libre, como mostramos
TDC
mismo, recientemente se ha mostrado ­ ue esta distrib_L
TDC
a en la llamada convoluL
DUB
mon
TDC
na, el ; K; el ­ ue la distrib_L
Gaussiana y la ley
Ø=UT
`
del semic rculo tienen en las convoluciones clásica y libre, re:; ectivamente 9 Para esto
remitimos al lector al trabajo de Franz y Mur
A
R
LBHB
o
±
°8\ p9
@
;PB¬ K¬T=T@ K
CBJLBC
;
desem;
Muller
=
ilidad clásic K´
o ­ ue un ; roceso estocástico es ; ositivo, cuyo
estudio ^_ e iniciado ; or Paul Ln vy ; ara las caminatas aleator
DC
;PB¬ K¬
roblema de la
mo
±
°8M 9
[T
K
a una medida de ; robabilidad en R con momentos
mk () =
A
a
8
<
:
eamos ­_ es la ley de Arcoseno 9
A
En el ej
culo es
=
H; B
anterior se HB:
UPD ­
0
si k es
2n
n
ue la
TH; KP
si k es ; KP « k = 2n 9
UP KC:^
ormada de
1
X
z
Ck
=
G(z) =
z 2k+1
k=0
TDC
Ahora consideremos la ^_CL
H(z) =
Eb
G(z)
z
p
z2
2
K_
<
4
;
:
TDC
chy de la distrib_L
A
HTL`P
s
J
oF9FMp
derivando con re:; ecto de z obtenemos
@
2
H(z) = p
2
2
@z
z z
U
Por otra ; KP e, derivando tn rmino a
UnPHT
4
9
no tenemos
1
1
X
X
@
Ck
@
(2k + 2)Ck
H(z) =
( 2k+2 ) =
(
@z
@z z
z 2k+3
k=0
k=0
1
2k
X
2G (z)
k
=
2
=
z2
z 2k+3
k=0
de donde se obtiene
G (z) = p
DPH
Podemos entonces utilizar la ^
1
z2
4
A
P:TDC
ula de inv
:
oF9Fdp
oF9\p
;
ara obtener la
/0
h
arcoseno A0;2
con densidad
a0;2 (x) =
Por lo tanto
@
oF9Fdp
es la tran:^BPH K
K
de
1
1
p
1
2 4 x2 [
K_L
<
TDC
1
GA0;2 (z)
y
1
FA0;2
(z) =
A
=
H; B
De manera análoga al ej
anterior, las
oF9F\p
hy GA0;2 (z) de la distribuL
obtenemos ­ ue
FA0;2 (z) =
2;2] (x):
p
UP KC:^
=
p
z2
arcoseno, de donde
4
z2 + 49
ormadas de
a
oiculescu y cumulante libre de
la ley arcoseno están dadas, re:; ectivamente, ; or
p
z2 + 4
z
oF9Ecp
p
4z 2 + 1
1:
oF9E8p
A0;2 (z) =
y
CA0;2 (z) =
EM
6
istriûciün
Ô
ni9orme
ôÓ
Ó
A
L
S
ordemos ­_ e la distribuci
T
DC
TDC
un ^BP me en [ 1; 1] tiene ^_CL
de densidad
1
f (x) = , x 2 [ 1; 1] :
2
Entonces su
UP KC:^
ormada de
G (z) =
1
2
Z
<
1
1
K_L
1
z
t
hy es
dt =
1
log(z + 1)
2
1
log(z
2
1) =
1
z+1
log(
)
2
z 1
de donde obtenemos
F (z) = (
Entonces las
UP KC:^
ormadas de
2
):
log( z+1
z 1)
a
TDC
oiculescu y cumulante libre de la distrib_L
uni^ orme están
dadas, re:; ectivamente ; or
(z) = F (z)
1
z=
e2=z + 1
e2=z 1
z
oF9EFp
y
C (z) = z
6
istriûciün de
Ô
e2z + 1
e2z 1
19
aûc:÷
ôÓ
Ó
ø
A
L
S
ordemos ­ ue una medida de
;PB¬ K¬
TD
ilidad en R tiene distribuc n de
K_
<
chy con escala
> 0 si su densidad está dada ; or
f (x) =
Podemos calcular ^
TDC
La distribuL
te su
D=
UP KC:^
1 < x < 1:
ormada de Fourier
b(x) = exp( jxj):
A
de <K_Lhy no s o no tiene :B; orte acotado, sino ­_ carece de media y varianz K9
TDC
Esta distribuL
?LT=HAC
1
;
2 + x2
=`UT
solo se ;_ ede tratar desde el ;_Cto de vista ana
Ed
cB 9
a
eremos más adelante
TH;
su
U_@TB
ortancia en nuestro es
9
@
:^BPH K K
Podemos calcular su tran
de Fourier y
G (z) =
i
<
Z
K_L
<
K_L
DC
hy usando la relaci
oF9bp
entre tran:^ ormadas
dt =
1
;
z + i
hy, obteniendo
0
e
1
de
itz
b(t)dt =
i
Z
0
itz
e
e
jtj
dt =
i
1
Z
0
e(
iz)t
1
Entonces, trivialmente F (z) = 1=G (z) = z + i, F 1 (z) = z
tran:^ ormadas de
K_
<
chy,
a
i
9
TDC
oiculescu y cumulante libre de la distrib_L
z 2 C+ :
Por lo tanto las
de
<
K_L
hy están
dadas ; or
G (z) =
6 ; otencias de emic7rc
ôÓ
Ó
DC
La distribuci
oF9EEp
(z) =
i;
N
oF9E p
C (z) =
iz:
oF9EIp
o
ûú
T `
de seH L P culo en ( &; &), & > 0, tiene densidad
w0;2& =
DC
En esta secci
;
1
;
z + i
2 p 2
&
& 2
x2 1(
&;&) (x):
oF9Ebp
T=T
introducimos una ^ KH a de distribuciones cuyas densidades se obtienen como
`¿
`
otencias reales de la densidad de semic rculB 9 E:; eL camente, ; ara f (x ; &) = c;&
donde
c;&1
DC
Una distribuci
=
Z
&
&
2 p 2
&
& 2
2 p 2
&
& 2
x2
2+1
t2
1(
2+1
con densidad oF9EMp se llama distri5'()
*%
A
; KP ?H UPB
de ^ orma es ; mientras
A
­_
A
:^nPTL K
de medidas de
oF9EMp
oF9Edp
otencia de semi ( 3('/4
±
T
· C²H KC °E8
@
;PB¬ K¬T=T@ K
en Rd
E\
A
­_
y la deJ
trica con :B; orte acotado, cuyo
& es un ; arámetro de rangB 9 Esta
ciones ^_ e estudiada, cuando es entero, ; or
la ; arte
&;&) (x)
dt
TDC :THn
notamos ; or P S(; &) 9 Observamos ­ ue es una distrib_L
3=2 y & > 0, sea
UAªUB
en el con
^ KHT=T K
de distribuJ
de distribuciones ; ara
son invariantes bajo tran:^ ormaciones
ortogonales 9 Los resultados
no se encontraron P
A
;
­_
A
A A
;P :
TDC ; KP K
U
ciones : Hn P icas con sB; orte
masa 1=2 a los ;_ ntos 1 y
@
KLBU K B
­_
A
^ KHT=T
VÙ
TDC ­
3=2 es la distribuL
a de distribuciones es
TDC
gamma G(; ) con
g; (x) =
()*%
tera =
Ù-
Sea >
ue asigna
1 es la ley arcoseno, mientras ­ ue el caso =
gamma rec_; era la distrib_L
la distribu
osi
^PBC
incluye casos iH; ortantes de distribuJ
uni^ orme en [ 1; 1] y el caso = 0 es la ley del s
LTDC
234
El caso
9
1 9 El caso =
Una gn nesis interesante de esta
TDC
A
=
: HTL`PL_ B
A
=
HTL`PL_ B
DC
es la distribuci
una distrib_L
las ; otencias de semic rculo
ortados en la literatur K9
La ^ amilia de distribuciones ; otencia de
T
`
ntamos en esta seLL
A
; KP ?H UP
1
x
()
T KC K
9
Gaus:
­_
A
1=2
9
una mezcla a; rB; iada con
Más es;
A `¿
L
camente, recordemos
os > 0; > 0; tiene densidad
1
exp(
x
); x > 0:
3=2 y G+2 una variable aleatoria con distribución gamma
G( + 2; 2) e independiente de la variable aleatoria S con distribución potencia del semicírculo
P S(; 1). La variable aleatoria
d
Z=
p
G+2 S
oF9E\p
tiene distribución Gaussiana estándar con media cero y varianza uno.
i014j
;
tr6()
*%
DPH
De la ^
endientes, obtenemos ­_
ula de la densidad del ; roducto de dos variables aleatorias indeJ
A
fZ (z) = jzj
Z
1
1
z2
f
)dy;
(x)g
(
S
(+2;2)
2
y2
1y
N
c
< z < 1:
Por lo tanto
fZ (z) = jzj
=
Z
1
2p
c;1 (
1
2
1y
1
y 2 )2+1
22+2 c;1
1
z 2+3 +2
2+1
( + 2)
2
Z
1
(
1
2+2
z 2 +1
)
y2
e
( + 2)
dy
1
x2 )+ 2
(1
z 2 =(2x2 )
e
x2+4
0
z 2 =(2y 2 )
dx
Z 1 ( y2 1 )+ 12 y 2+4
1
z 2+3
1
2 2
y2
e z y =2 dy
= (p )
2
+1
y
( + 3=2) 2
1
Z 1
2+3
1
1
1
z
2 2
y(y 2 1)+ 2 e z y =2 dy
= (p )
( + 3=2) 2+1 1
Z 1
1
z 2+3
1
1
2
(t=y 2 1)
z 2 =2
t+ 2 e z t=2 dy
e
=
(p )
+2
( + 3=2) 2
0
(y=1=x)
2
1
z 2+3 e z =2
( + 3=2)
= (p )
2 ( + 3=2) z 2+3
1
2
= p e z =2 9
2
El resultado anterior ^ ue observado ; ara = 0
N ±
° c 9
El caso =
1
KP
o
coseno p está
variables aleatorias Gaussiana
BHB
<
l
en el
DC
buci
HnUB
do
A
=
HTL`P _ B
de s
BªJ
>
<uller
DC
LTDC
te escalada converge a la distribu
L KPn
eorema de Poin
]
c
; KP K
p
A
³J
en PnP
Abreu
generar un ; ar de
±
o °8\ p9
consecuencia del teorema anterior se tiene ­ ue la sucesi
A
;PB;T KH C
434/63)
f
TH; `LTUB
@T U T
: P
o
A
HTL`P
de ; otencias de s
culo
Gaussiana estándar, resultado conocido como
9
Para n 1 sea Sn una variable aleatoria con distribución potencia de semicíro
np
culo P S(n; 1): La sucesión de variables aleatorias ( 2(n + 2)Sn
converge en distribución
o
VÙ
Ù-
n1
a la distribución Gaussiana estándar.
i014j
tr6()
*%
A
Por la ley de los grandes nØH ros, (n + 2)
a E(G1 ) = 2, donde Gm G(m; 2) 9 De
oF9E\p
1G
T=T
n+2
converge en ;PB¬ K¬ dad
y usando el teorema de
p
p
2(n + 2)Sn = 2(n + 2) (Gn+2 )
DC
donde la convergencia es en distribuci
N
8
1=2
±
= U [
_ : ¶
R
o °8I p
Z !n!1 Z;
tenemos
Además ; odemos calcular
=
L`PL_ B
234
^ ?L
T
ilmente los momentos de las distribuciones ; otencia de seH J
9
osi
()*%
VÙ
ÙV
P S(; &), para >
Sea S una variable aleatoria con distribución potencia de semicírculo
3=2; & > 0. Entonces,
a) Para cualquier > 0
( + 2)
&
E jS j = p (=2 + 1=2))
:
(2 + 2 + =2)
b) Para cualquier entero k 1; ES2k+1 = 0 y
& 2k
( + 2)
Ck (k + 1)!
2
( + 2 + k)
& 2k (2k)!
( + 2)
=
:
2
k! ( + 2 + k)
ES2k =
c) Si es un entero
ES2k
i014j
tr6()
*%
=
2k
k
+k+1
k
& 2k
2
:
Es su
ciente tomar el caso & = 1 9 Para > 0; si Z es Gaussiana estándar
y G+2 es gamma, entonces es bien conocido ­_
A
2=2
E jZj = p
(=2 + 1=2)
y
=2
EG+2 = 2=2
A
d
Usando ­_ Z =
_ KC
<
p
( + 2 + =2)
:
( + 2)
A
G+2 S y el hecho de ­_ S y G2+1 son inde; endientes, obtenemos
( + 2)
1
E jS j = p (=2 + 1=2)
:
(2 + 2 + =2)
do k es entero, ; or simetP
` K«
ES2k+1 = 0 9 Por otra ; KP
N
F
UA
si = 2k tenemos (=2+1=2) =
p
2k (2k)!=k!:
2
Entonces,
1 (2k)!
( + 2)
2k k! ( + 2 + k)
1
( + 2)
:
= k Ck (k + 1)!
( + 2 + k)
2
ES2k =
5j03g
*
aci n
VÙ
a) Para un >
ÙV
3=2; la distribución correspondiente con media cero y
varianza uno se obtiene cuando & 2 = 2 ( + 3)= ( + 2): En particular, cuando es un entero,
la distribución estándar está dada cuando & 2 = 2( + 2):
+k+1
b) Cuando es entero,los momentos Ck = 2k
son un tipo de números de Catalán
k =
k
generalizados (di
eren en un factor 2(+1)
de los llamados Super Números de Catalán y por
+1
lo tanto Ck ( + 2)( + 3) (2 + 1)! es un entero múltiplo de !); ver [20], [25].
'
A
ªT:U
una reL_P:
TDC
A
HTL`P
entre las ; otencias de s
T³ KLTDC
Este resultado es una general
HTL`P
de se
234
TDC
culo, la cual ; robamos a continu KL
DC
de una observaci
±
« ­_TAC
ª
°EF
de Ledou
LTDC
culo es una mezcla de la ley arcoseno con una distribu
osi
()*%
i014j
VÙ
tr6()
e
Ù
*%
Para >
A
R
d
1=2, S = U 1=(2(+1)) S
a V = U 1=(2(+1)) S
1,
A
CT^BPH
u
entonces la densidad de V
´
Z
1
1
c
jxj
1
p
1
x
2( + 1)( )2+1 dy
y
Z 1 p
( 1 y 2 )2+1
dy
= 2c 1 ( + 1) jxj2+1
y 2+2
x
Z =2
cos(y)2
dy
= 2c 1 ( + 1) jxj2+1
2+2
arcsen(x) sen(y)
2+1 =2
2+1 cos(y)
= 2c 1 ( + 1) jxj
sen(y)2+1 arcsen(x)
p
2 + 2
c 1 ( 1 x2 )2+1
=
2 + 1
p
= c ( 1 x2 )2+1
fV (x) =
y 2 )2
1(
N
E
1
s
9
la ley
9
1:
A
como sigu
A¾ =D
A
K
­_
;_
ede ser calculada
Finalmente demostramos
HTL`P
se
culo está dada en
­_
A
@
la tran:^BPH K
UnPHTCB:
de la
de
K_L
<
TDC ;
hy de una distribuL
T; AP²ABHnUPT
^_CLTDC
F(a; b; c; z) =
K
h
1
X
(a)k (b)k
(c)k k!
k=0
otencia del
ca de Gauss
N
oF9 cp
zk
`
donde ; KP K un nØ mero LBH; lejo y un entero no negativo k usamos el : Hbolo de Pochhammer
; KP K
()k
denotar la eª; re:
TDC
()k = ( + 1) ( + k
osi
234
()*%
VÙ
l
Ù
La transformada de Cauchy de f (x ; &) está dada por
Gf (z) = z
i014j
tr6()
*%
1):
De
oF98cp
1
1
F( ; 1; + 2; & 2 z
2
2
N
oF9 8p
):
tenemos
Gf (z) = E(z
1
X)
=
1
X
z
k 1
EX k
k=0
1
=z
1
X
z
2k
z
2k
EX 2k
k=0
1
=z
1
X
k=0
Usando en
a ; artir de
Una
A
;P : DC
i
N
oF9 cp
obtenemos
U KLTDC
resen
N
oF9 8p
:
integral alternativa ; ara la tran:^ ormada de
TDC ¸T; AP²ABHnUPT
integral de la ^_CL
434/63)
f
o
VÙ
e
Ù
Para >
A
: K^
ca, ver °22,
\9888
;
K
<
uchy se sigue de la
A
ªJ
±
9 \\I
1 se tiene
Gf (z) =
=
N
oF9 Fp
las eª; resiones ( +2)k = ( +2+k)= ( +2), (1=2)k = (2k)!=22k y (1)k = k!,
N
oF9 Fp
A
P ;
& 2k (2k)!
( + 2)
:
2
k! ( + 2 + k)
( + 2)
( + 1)
ortunadamente resulta muy
Z
@T ` T=
^ L
1
(1
t) (z 2
t& 2 )
1=2
dt:
0
DC
tratar de invertir la ^ unci
NN
Ff = 1=Gf (z)
; KP K
obtener en ^ orma
A
=
ª; `LTU
@
a las trans^BPH K
K:
@T
cumulantes libres ; ara valores de ^
erentes de
^B­
los ya mencionados 9 Rin embargo, usando criterios de cumulantes basados en el en
natorio, en el
<
K;`
tulo
divisibles en el sentido
A
N
mostraremos ­_ ciertas Potencias de
=T
A
¬P
9
N
I
A
HTL`P
R
T
ue com¬ J
culo no son in
nitamente
N
b
a t o
on o ci n
i re de
En este c K;
didas de
8\db
;
;
;
or
@
;PB¬ K¬T=T@ K
oiculescu
or Maaseen
or
edidas
`U_=B ;PA:A
a
A
PLB
>
N± ;
°E
i isi i idad n nita
A
;
ntamos los conL
9
`UT
vici y oiculescu
±
; KP K
°8c
medidas con :B; orte no
in
nita
9
Además,
;
=A
LT; K : ; B;
¾ K= KC@
cidos y otros nuevos, se
ÊÉ
mul
medidas de
iniciado en
UABP` K
;PB¬ K¬T=T
del
en
=
K;`U_ B
<
2
8\\
8\\E
9
de
to de divisibilidad
ercovici Pata entre leyes in
nitamente
>
:
iedade
9
Finalmente, hacemos una breve
»AH;
va y concluimos con e
A
;P J
los, algunos bien LBCBJ
UT@B:
Ïÿ
Usamos ahora la
A
o casos ­ ue son in
nitamente divisibles en ambos sen
on o ci>n Aditi a
Ð
r
UT;=TL KUT
TDC
del tema de convoluL
@
KLBU K B
A
;
resentamos la biyec
divisibles clásicas y libres y sus rin
U KLTDC
^_
to, continuado en
introducimos un nuevo conc
LTDC
;
sen
LBH; KL
A
A
H J
libre de dos medidas a ; artir de la trans^BP mada cumuJ
TDC
A
¬P
orte
o­_
ara el caso de medidas con segundo momento
nito y c
a
Des;_n: « a ; artir de esta convoluL
=T
:B;
A
C^
=A
@
BH; U K B
Primero de
nimos la convoluci
UA
y divisibilidad in
nita libre de
nto de vista anal cB 9 Este
ara el caso de medidas con
DC
lan
;_
en R desde un
±
;
°IF
DC
tos de convoluci
9
i re de ?edidas
Î
2
; KP K
dad 1 y 2 , desde un
/
*% /)530
de
nir la cong4 'ci
;_
nto de vista
=
KC K `
r)g6 ó
adi
ð
de dos
A
^
tico, sin hacer r erencia a
variables aleatorias libres 9
A
R
@
an C1 y C2 las tran:^BPH K
K:
cumulantes de 1 y 2 de
nidas en los dominios
N
M
1 ; 1
y
2 ; 2
;PB¬ K¬
A
P :;
UA
ectivamen
ilidad en R tal
@
de la tran:^BPH K
i0 k
ni()
*% e
K
Ù-Ù-
­_
A
a
9
De
oF98bp
y el
eorema
]
C = C1 +C2 en
N
F9 9
2 sabemos
1 ; 1 \ 2 ; 2 :
­_
A A T
ª
ste una medida de
Esta medida es Ø nica ; or la unicidad
DC
de oiculesL_ 9 Por lo tanto, la siguiente de
nici
UT@B
tiene sen
9
Sean 1 y 2 medidas de probabilidad en R: Se de
ne la convolución libre
de 1 y 2 como la única medida de probabilidad 1 2 en R tal que
C1 2 (z) = C1 (z) + C2 (z);
@
UnPHTCB:
En
de trans^BPH K
K:
de
z2
a
oiculescu, la cBC
1 ; 1
@T TD
L
C
\
2 ; 2 :
A
­_T¹
alente a ; edir ­ ue
es
oE98p
oE98p
1 2 (z) = 1 (z) + 2 (z)
oE9Fp
D
R1 2 (z) = R1 (z) + R2 (z):
=
BHB
<
TDC
en el caso de convB _L
clásica ? la B;
A
P KLTD
oE9Ep
TD
n de convoluL n libre es conmutativa
T TD
y asociativa, lo cual se sigue trivialmente de la de
n L n 9 Asimismo, si es una medida de
;PB¬ K¬
ilidad en R y x una medida de Dirac, x es la tr K:
decir x (A) = (A
DC
c 6= 0 la dilataci
ecto a la di
; KP K
cual
Por otra
a lo
­_
cuH;
=A
A
;
UP KC:^
ormada cumulante libre se cBH; orta
Dc , ­ ue la
UP KC:^
medida de ; robabilidad en R y cual­_
arte, algunos
K:;
y a; b; c los
TAP
te igual, con
constante c 6= 0 9
DC
ectos interesantes de la convoluci
se encuentra en la convoluci
­_
A
A
ª KLU KH C
1 A) 9
ormada cumulante clásica, es decir, CDc = C (cz),
DC L= ?:TL K
A
de la medida ; or x, es
de una medida en R es la medida Dc en R tal ­ ue Dc (A) = Dc (c
= U
K KLTDC
­_TAP
KLTDC
x) 9 Por lo tanto x = ? x 9 Por otro lado, recordemos ­ ue ; ara
Es iH; ortante notar ­ ue la
A
P :;
=
9
=
H; B « ; KP K
Por eje
libre son muy
LTD
la convolu
@T A
^
rentes
n clásica se
UB
sop( ? v) = sop() + sop(v), mientras si y v son medidas con :B; orte com; KL
H ?ªT
mos de los
:B;
ortes de ; v y v
A
P :;
ectivamente, entonces c = a + b si
­
(fag) + v(fbg) 1, mientras ue c < a + b si (fag) + v(fbg) < 1 9
T
DC
am¬ nC en contraste con la convoluci
]
DC
clásica, la convoluci
libre de dos medidas
=
cas ; uede ser una medida absolutamente contin_ K9 En el EjeH; B
tulo, mostramos
­_
A
TDC
la distrib_L
TDC
arcoseno es la convoluL
N
d
«
E9M98
KUDHTJ
al
nal de este
L K;`J
DHTL K
libre de la medida at
=
= 12 (
clásico, el
@
¬T=T@ K
­_
9
+ 1 ) con ella misma 9 Este ejeH; B tambin n ; ermite ver
1
B;
En
A
,a
@T A
^
rencia del caso
erador no es distributivo con re ecto a la suma conve a de medidas de ;PB¬ KJ
A
^
:;
­_
ª
` KHB:
ecto, si ^_ era distributiva tendr
en ; articular, tomando = 21 (
1
+ 1 );
A
1
1
1
= ( 1 + 1 ) = ( 1 ) + ( 1 )
2
2
2
1 1
1 1
=
( ( 1 + 1 ) 1 ) + ( ( 1 + 1 ) 1 )
2 2
2 2
1
1
1
2 + 0 + 2;
=
4
2
4
­_
A
DC ;_
es una contradicci
es
1
4
Otras ; rB; iedades en
­_
A
2
1
1
+ 0 + 2 6= A0;2
2
4
es muy di^ erente la
;PB¬ K¬T=T
dad libre de la
;PB¬ K¬
ilidad clásica
surgen en el estudio de leyes in
nitamente divisible: 9
@i isi i idad nAnita i re
Êý
Î Ï
`K
En
LBH;
5)/)
dad i% knita
ÓôÓÒ
i0 k
leta analB²
/)53
eÕniciün
Ô
ni()
Î
*% e
ÙVÙ-
A U
; B
al caso de divisibilidad in
nita clásica de
nimos el conc
e
÷
@TUT
K
o
ro
de
&)g)j)
vKp9
iedades
ö
sicas
Ö×
Sea una medida de probabilidad en R. Decimos que es in
nitamente
divisible con respecto a la convolución , si para todo entero positivo n, existe una medida de
probabilidad n en R, tal que
N
oE9 p
= n n :::: n .
{z
}
|
n veces
Denotamos por ID() a la clase de las medidas in
nitamente divisibles con respecto a la convolución : Si 2 ID() decimos también que es -in
nitamente divisible o in
nitamente divisible libre.
Usando la asociatividad y la conmutatividad de se siguen ^ ácilmente
de medidas J
TC¿
nitamente divisibles 9
N
\
;PB;TA@
ades
ØUT=A:
osi
234
()*% e
ÙVÙ-
Sean y medidas de probabilidad -in
nitamente divisibles. Se cumple
que
i) es -in
nitamente divisible.
ii) Si
= n n ::: n
|
{z
}
n veces
entonces n es in
nitamente divisible. (Llamamos la n-ésima componente de a n ).
i014j
;_
tr6()
*% T
A
p R
a n un entero
;
ositivB 9
B
<
mo ; v 2 ID() tenemos ­ ue y se
eden escribir como
= n n ::: n , v = n n ::: n
{z
}
|
|
{z
}
n veces
n veces
entonces
v = n ::: n n ::: n = (n vn ) ::: (n vn )
{z
} |
|
{z
} |
{z
}
n veces
n veces
n veces
ii p Rea m un entero ; ositivo y sea n la nJn sima cBH; onente de 9 Entonces Cn =
BHB
<
2 ID() tambin n
medida nm tal ­ ue
1
nm C
es una tran:^ ormada de cumulantes libre entonces
A T
ª
1
n C 9
ste una
n = nm nm ::: nm 9
|
{z
}
m veces
Esto
A
;P_ ¬
Más
KØ
A
a ­_ n es J
TC¿
=A
¹T:T¬
nitamente di
9
n, la divisibilidad in
nita libre de
ne un j
01)
=
% o continuo de medidas (t)t0
3'
`K
en el e:; KL io de medidas de ;PB babilidad en R con la tB;B B²
o convergencia
7
ema
e
ÙVÙ-
@
n¬
=T@ @
K
il de medidas de ;PB¬ K¬ i
DC
de convergencia en distribuci
9
Sea una medida de probabilidad -in
nitamente divisible. Existe una familia
(t )t0 de medidas de probabilidad en R tal que
i) 0 = 0 ; 1 = .
ii) t+s = t s para = s; t 0
iii) La aplicación t ! t es continua con respecto a la topología débil.
Ic
i014j
tr6()
*%
T
R
2 ID(); de la
=
T
Ct cuando t es r KL BC K 9 De
PB;B:TLTDC
Q
E9F98
N
F9 9E
eorema
]
cumulante libre ; ara todo t real 9 De la misma
; KPU
A
TT
o p
DC
^BP
DC
se sigue de la de
nici
­_
se sigue
de convoluci
y
A
«
oE98p
DC
la ^_ nci
tC es de la ^BPH K
@
T
tC tam¬ n n es una trans^BPH K
ma iii p se sigue del ]eorema
libre ya
­_
A
N
F9 9E9
K
Por otra
Ct+s = (t + s)C = tC + sC =
Ct + Cs :
aracteriBaciones
ÓôÓô
ø
@
A ; artir de la trans^BPH K
2 ID(), con
A
A
P ;P :
TDC ; KP K
caracteriz KL
en
UnPHTCB:
W
eorema
K
÷
de
otras
DC
entaci
oiculescu y sus variantes es ; osible caracterizar las medidas
análoga a la re;P
medidas con
:B;
` UTLB
ÙVÙV
iedades
ö
a
de un ; KP caracter :
e
ro
A A
:
U KLTDC
n
de
A
¹¶J ·
µ
A
A
>
a
orte no acotado ^ ue dada ; or
intchin
rcovici y
9
La
A
;PTH P K
oiculescu
±
°8c
(; ) 9
[10, Teo. 5.10] Sea una medida de probabilidad en R. Los siguientes enun-
ciados son equivalentes
i) es -in
nitamente divisible.
ii) tiene una extensión analítica de
nida en C+ con valores en C [ R.
iii) Existe una medida
nita en R y una constante real tal que
(z) = +
Z
1 + tz
(dt);
z t
R
z 2 C+ :
En caso de que se cumpla (i), (ii) y (iii) para (; ) se le conoce como par generador de .
i014j
;_
tr6()
*%
Omitimos ; artes
ongamos ­ ue es una medida de ; robabilidad J
ft : t 0g es como en el Lema
A T UA
ª :
en
­
E9F989
ea
R
;
;
" > 0 tal ue ara todo t 2 C con jtj ", la
0 ; 0
; :
La
^_
DC
nci
coincide con Gt (z) en
A
P :;
nicas de la ; rueba ; ara su ^ ácil lectura 9 La
;P_
A
ba se
±
°8c 9
ede ver a detalle en
_;
R
UnL
0 ; 0
F (t; z) es
; KP K
=
KC K `
t 09
TC¿
nitamente divisible en R y
Un
un domino donde (z) es
^_CLTDC
­_
A
bien de
nido,
z+t (z) tiene inversa F (t; z) de
nida
TD
tica en t y z 9 Además la ^ unL n G(t; z) = 1=F (t; z)
:` «
TDC
derivando la ec_ KL
G(t; z + t (z)) = 1=z, con
ecto a t, obtenemos
@G
@G
(t; z + t (z)) + (z)
(t; z + t (z)) = 0
@t
@z
I8
; KP K
t0yz2
0 ; 0 9
En ; articular ; KP K t = 0 tenemos
@G
@t (0; z)
@G
@t (0; z)
(z) =
=
@G
@t (0; z)
@
@z (1=z)
= z2
@G
(0; z)
@t
1
= z 2 lim [G("; z) G(0; z)]
"!0 "
Z
1
1 1 1
[
]" (dt)
= z 2 lim
"!0 "
z
t
z
1
Z
1 1 zt
2
= z lim
(dt) 9
"!0 "
t "
1 z
T
R
de
nimos la
scribir el Ø ltimo
^ KHT=T
UnPHTCB
1
"
Z
1
1
a de medidas f " g">0
or d " (t) = 1" t2 =(1 + t2 )" (dt); ; odemos
AA
P
J
como
zt
z
;
t
" (dt) =
Z
1
1
1 + tz
1
" (dt) +
z t
"
Z
1
t
(dt),
t2 + 1 "
1
=`
omando el mite cuando " ! 0 obtenemos
]
(z) = +
donde = lim"!0 " y = lim"!0
La
A
­_
ivalencia entre
TTT TH;=TL K T
o
p
o p
TT
o p
y
TTT
o
p
1
"
R1
1 t=(t
Z
2
1
1
+ 1)" (dt) 9 Esto muestra ­ ue
se sigue de las
se sigue de ­ ue si se ;_ ede P
(z) = +
n (z) = +
A
A
;
Z
entonces de
niendo
1 + tz
(dt)
z t
osiciones
F9E98
y
N
F9 989
El hecho de ­_
1
n
n
1 + tz
d(t)
z t
1 + tz
d(t)
z t
N
se tiene ­_ n (z) = n (z) ; KP K algunas medidas de ;PB babilidad n 9 El ]eorema 2 9
­_
A
A
A
= 9 El mismo resultado se ;_ ede obtener ; ara =k; lo ­_ dice ­_ es J
T¬=A
divis
A
resentar de la ^ orma
1
Z
PB;
Q
T TH;=TL K TTT
o p
o
p
9E
nos dice
TC¿
nitamente
9
434/63)
f
o
e
e
ÙVÙ
Sea : C+ ! C
una función analítica. Entonces es la continuación
IF
analítica de para una medida 2 ID() si y solo sí
(z)
=0
z
lim
jzj!1;z2
para alguna > 0:
A
L
S
A
T=T
ordemos ­_ una medida de ;PB¬ K¬ dad es in
nitamente divisible en el sentido clásico
TDC
D
si y s lo si su ^_CL
A A
:
cumulante clásica log b tiene la re;P
1 2
au +
2
log b(u) = iu
Z
(eiut
(f0g) = 0 9
i
R
A A
;P :
esta re
`:UTL K
se llama la terna caracter
La corres; ondiente
A
A
P ;P :
U KLTDC «
eorema
e
l
ÙVÙ
1;1] (t))
n¹¶
µ
u 2 R;
(dt) ;
en R, es decir
R
tchine
R min(1; t
2 )(dt)
la terna (; a; ) está determinada de ^ orma
n
oE9Ip
< 1 y
ØCTL
ay
clásica de 9
DC
entaci
n¹¶J ·
µ
de
ibilidad in
nita libre ^_ e ; rB; uesta ; or
W
iut1[
¸TC
Ln v¶J ·
R
donde 2 R; a 0 y es una medida de
A T UA
ª :
1
U KLTDC
n
hintchine en
KP
>
@
n
BP
º GT
J
elsen y
Un
rminos de una terna ; ara divisJ
¸BP¬ » ¼PC:A
]
n
±
°M 9
[7, Prop 4.16] Una medida de probabilidad en R es -in
nitamente divisible
si y sólo si existen 2 R; a 0 y una medida de Lévy en R de tal forma que
2
C (z) = z + az +
Z R
1
1
zt
tz1[ 1;1] (t) (dt) ;
1
z2C .
oE9bp
En este caso la terna (; a; ) esta determinada de forma única y se llama la terna característica
libre de .
i014j
tr6()
*%
A
R
@
a 2 ID() con tran:^BPH K
es decir
(z) = +
Z
R
K
1 + tz
(dt);
z t
IE
a
de oiculescu dada ; or el ]eorema
z 2 C+ :
E9F9F
«
De
nimos la terna (; a; ) ; or
a = (f0g);
1 + t2
(dt) =
1
(t)(dt);
t2 Z Rnf0g
t(1[
= +
1;1] (t)
R
@
Ahora, ; KP a z 2 C , la tran:^BPH K
=
=
=
=
A `
L ;
DC
=A
:
DC
ema
veremos algunas
Antes, necesitamos enunciar un resultado
9
en la demostraci
7
cumulante libre está dada ; or
roco los ; asos anteriores se ;_ eden revertir 9
Para terminar con esta secci
visib
e
ÙVÙV
1
) (dt) 9
1 + t2
Z
Z 2
1
1 + t(1=z)
z + tz
z ( ) = z +
(dt) = z +
(dt)
z
z
t(1=z)
tz
R
R 1
Z
Z
z 2 + tz
t2
1
2
)
(dt)
z
+
az
+
(
)
v(dt)
t(1[ 1;1] (t)
z
1 + t2
tz 1 + t2
R 1
R
Z
Z
z2
tz
t
2
1
(t))
(dt)
z
+
az
+
(
+
)t2 (dt)
t(
z
R=[
1;1]
2
2
1
+
t
1
tz
1
+
t
R
R
Z 2 2
t
z
z + az 2 +
tzR=[ 1;1] (t) (dt)
tz
R 1
Z 1
1 tz1[ 1;1] (t) (dt)
z + az 2 +
zt
R 1
C (z) =
y ; KP K el P
K
oE9Mp
de la
PB;B:TLTDC
Q
E9F9
2, ver
;PB;TA@
UnLC
T
ades de las leyes in
nitamente d J
`K
ico de teor
±
; KP K
°8c
de ^ unciones ­ ue usaremos
TDC
una demostr KL
Sea u : C+ ! C+ una función analítica, y sea
9
una curva en C+ que se aproxima
a cero no tangencialemente a R. Si limz!0;z2 u(z) = L, entonces limz!0;z2
u(z) = L para
todo > 0:
osi
234
()*% e
ÙVÙV
Sea una medida -in
nitamente divisible en R.
i) Se tiene que F (z) + (F (z)) = z, además
1 + C (G (z)) = zG (z);
ii) tiene a lo más un átomo.
N
I
z 2 C+ :
oE9dp
iii) Si no es una medida de Dirac, entonces, para n su
cientemente grande, la medida
n = ::: |
{z
}
n veces
no tiene átomos.
i014j
tr6()
*%
DC KC K=`
continuaci
A
El hecho de ­_ F (z) + (F (z)) = z
A
TDC
tica, ya ­_ tiene contin_ KL
; KP K
`UTL K ;
anal
todo z 2 C+ se obtiene como
or el ]eorema
E9F9F9
La identidad
1 + C (G (z)) = zG (z) se obtiene de la siguientes siguientes igualdades
z = F (z) + (F (z))
1
1
=
+ (
)
G (z)
G (z)
C (G (z))
1
+
=
G (z)
G (z)
T TDC
donde usamos la de
C L
TD
de la trans^BP mada cumulante libre C dada ; or la ecuac n
oF98bp9
Asumiendo = (fag) > 0, es decir, a es un átomo de la medida , se tiene
jG (a + iy)j jIm G (a + iy)j y entonces jF (a + iy)j y
9
Más
KØC
jRe(F (a + iy))j jF (a + iy)j entonces F (a + iy) 2
K;PBªT
1=
; KP K
,
y
y
Im jF (a + iy)j =
todo y 9 Entonces la curva
= fF (a + iy : y 2 (0; 1)g se está
mando a cero no tangencialemente, y
lim (z + (z)) = a:
z!0;z2
Por lo tanto limz!0;z2 (z) = a y ; or el Lema
=`
mite no ; uede tomar dos valores 9
II
2 tenemos la unicidad de a; ya ­ ue el
E9F9
Finalmente su; ongamos ­ ue tiene re;P
(z) = +
UK
BHB
9 <
A A
:
U KLTDC
n
Z
R
1 + tz
(dt),
z t
no es una medida de Dirac, eª isten a y b tales
con 2 R y una medida
ni
­_
A
[a; b] > 0: Entonces
Z
b
1 + t2
(dt) 9
tj2
a jz
1
1
cy max
;
;
jz aj2 jz bj2
Im (z) y
A
@A
;
D
donde z = x+iy y c es una constante ­_ s lo
n
o
0 se tiene max jz 1aj2 ; jz 1bj2 1=nc 9
:` ; KP K
;
n su
cientemente grande la desigualdad Imfz + n (z)g > 0
;
TDC
articular, ninguna distribuL
trastando el hecho de
A
H;
ej
A
A
se
K;PBª
­_
A
ue jzj > 0 y
ime a cerB 9 Entonces, n no tiene átomos
los de distribuciones con s
=
:D B
discreta no trivial es J
en el caso clásico
B;
en el caso clásico
orte
LBH;
A T UA
C
ª :
e
ÙVÙ
; KPU
A
«
A T
ª
LBCJ
sten muchos
­
acto ue son in
nitamente divisible, mientras
­_
A
`
«
as como la divisibilidad in
nita clásica, la divisibilidad
DC
()*% e
nitamente divisible,
muchas 9 Por otra
in
nita libre es cerrada bajo convergencia en distribuci
osi
TC¿
las acumuladas en un ; unto lo :BC 9
El siguiente teorema ; rueba
234
TH;=TL K ­
esos valores de n 9
En
­_
­_
Fn
or lo tanto no habrá curva
; KP K
ende de ; a y b: Entonces si Imfz +n (z)g >
9
Sea fn g1
n=1 una sucesión de medidas de probabilidad -in
nitamente di-
visibles en R convergente en distribución a una medida de probabilidad . Entonces es
-in
nitamente divisible.
i014j
­_
A
tr6()
la suce:
eorema
]
TDC
E9F9F
*%
N
Por el ]eorema 2 9
de continuidad de
n¹¶
µ
libre eª isten ; de tal ^ orma
^
LBH;
fn g1
actos de
n=1 converge uni ormemente en
n se
A U
ª
iende a una
A
de , se sigue ­_ tiene una
A
E9F9F
9E
se sigue ­_ es J
TC¿
A U
ª
^_CLTDC
DC
ensi
;
TDC
a la ^_CL
: Por el
A
b : C+ ! C [ R 9 Dado ­_ es la restricLTDC
n
en C+ con valores en C [ R 9 Finalmente del ]eorema
nitamente divisible
Ib
Ci+ecci>n entre e+es nAnitamente @i isi es
Ê
+
sicas
ÎÏ
ÐÏÑ
i res
Î
De las
A
ª;
y
oE9bp
de Lévy-Khintchine clásica
; KP K
U KLTDC
sen
resiones
de Lévy-Khintchine
A A
;P :
estas re
^_
oE9Ip
ntaciones es claro ue
A
PLB
ni()
medidas ?J
; KP K
­
e introducida ; or >
i0 k
A A
:
se ve ­ ue eª iste una gran similitud entre la re;P
*% e e
Ù Ù-
A
A
TC ¿
nitamente divisibles clásicas ID(?) y la re;P
medidas J
A
ªT:U
vici y Pata en
U KLTDC
n
J
TC¿
nitamente divisibles ID() 9 De hecho de
TD
TDC
una biyecL n entre ID(?) y ID() 9 Esta biyeLL
±
°\ 9
En
UnPHT
UAP`:UT
nos de ternas caP KL
cas es la siguiente 9
Por la Biyección de Bercovici-Pata denotamos a la aplicación : ID(?) !
ID() que manda la medida en ID(?) con terna característica clásica (; a; ) a () en
ID() con terna característica libre (; a; ).
DC ;PB¬ KHB:
A continuaci
W
eorema
e e
Ù ÙV
algunas
@
;PB;TA@ K
DC
es de la biyecci
:
La biyección : ID(?) ! ID() tiene la siguientes propiedades
i) Si 1 ; 2 2 ID(?); entonces (1 ? 2 ) = (1 ) (2 ):
ii) Para toda constante c en R, se tiene ( c ) = c :
iii) Sea 2 ID(?) y c 2 R, se tiene (Dc ) = Dc ():
i014j
tr6()
*% T
A
p R
` UTL K:
an 1 y 2 con ternas caracter :
`:UTL K
entonces 1 ? 2 tiene terna caracter
clásicas ( 1 ; a1 ; 1 ) y ( 2 ; a2 ; 2 )
( 1 + 2 ; a1 + a2 ; 1 + 2 ), donde ( 1 + 2 )(A) :=
1 (A) + 2 (A) ; KP K todo conjunto A 2 B(R) 9 En
A
^
ecto,
Z
1
2
log c1 (u) + log c2 (u) = i 1 u
a2 u + (eiut 1 iut1[ 1;1] (t)) 1 (dt) +
2
ZR
1
a2 u2 + (eiut 1 iut1[ 1;1] (t)) 2 (dt)
ic2 u
2
R
Z
1
2
(a1 + a2 )u + (eiut 1 iut1[ 1;1] (t))( 1 + 2 ) (dt) :
= i( 1 + 2 )u
2
R
Un argumento idnCtico ; ara la tran:^ ormada cumulante libre ; ermite ver
tiene la terna
ii p Esto es
A
L KP KLU P`
=
:D B
­_
A
(1 ) (2 )
stica libre ( 1 + 2 ; a1 + a2 ; 1 + 2 ):
` UTL K
observar ­ ue la terna caracter :
terna libre es (c; 0; 0):
IM
clásica de c es (c; 0; 0), mientras ­ ue su
T
ii
A
HB:
p O
visto en la
@
^BPH K K
­
igual ue la trans
, sino
;PB¬ K¬
­_
A
­_
­
ue la tran:^ ormada cumulante de Dc se
A
P :;
A
y
TTT
o
p
ecto a la dil
KU KLTDC
LBH;
orta
en consecuencia CDc () (z) =
en el teorema anterior tenemos el siguiente corolariB 9
este corolario no
TDC
; KP K
sirve
dar una biyeLL
=
:D B
da una idea de
²ABHAUP` K
de la biye
LLTDC
A
entre las leyes ?J stables y sus corres; ondientes en
A
ilidad libr
434/63)
f
T « TT
o p o p
consecuencia de
Debemos mencionar
E98
de Fourier con
C() (cz) = C(Dc ) (z) 9
BHB
<
DC
ecci
R
o
e e e
Ù Ù
9
La biyección : ID(?) ! ID() es invariante bajo transformaciones a
nes,
: R ! R es un transformación afín entonces
es decir, si 2 ID(?) y
( ()) = (()).
i014j
; KP K
tr6()
*%
A
R
: R ! R una
a
una medida de ; robabilidad
ID(?) 9 Por
TT
o p
UP KC:^
DC K^`
ormaci
n de la ^ orma (t) = dt + c 9 Entonces
T
() = Dd ? c ; y tam¬ nC
y oiii p del ]eorema
() = Dd c : ]omamos 2
E9E9F
( ()) = (Dd ? c ) = Dd () ( c ) = Dd () c = (());
lo ­ ue demuestra el corolario
DC
Para terminar con esta secci
, estudiamos una ;PB;
TA@
D²TL K
ad to; ol
TDC
de la biyeLL
TD
9 El
UK
J
siguiente es un teorema análogo a la vers n clásica de convergencia de distribuciones in
ni
mente divisibles en
K­_` ^BPH
W
UnPHT
±
«
°M
ulada se da en
eorema
e e l
Ù Ù
` UTL K«
nos de la terna caracter :
A
P:TDC
una v
e­ uivalente de la ; rueba
en tn rminos del ; KP generador (; ) 9
Sea una medida en ID(), y sea (n ) una sucesión de medidas en ID().
Para cada n sea ( n ; an ; n ) la terna característica libre de n . Las siguientes condiciones son
equivalentes.
w
i) n ! ; cuando n ! 1
w
ii) an ! a, n ! y n ! cuando n ! 1:
i014j
tr6()
*%
De
generador (; ) cuH;
=
«
°M
K
eo 9
]
±
I98E
w
, n ! ; cuando n ! 1 es
w
A
­_T¹
alente a
w
n ! y n ! 9 Ahora, si n ! y n ! :
Id
A
L
S
­_
A
el ; ar
ordemos de la
T TD
DC
de la Pro; os L n
demostraci
N ­_A
E9F9
`
la terna caracter : tica se obtiene de la siguiente ^ orma
a = (f0g);
1 + t2
(dt) =
1
(t)(dt);
t2 Z Rnf0g
t(1[
= +
1;1] (t)
R
oE9\p
1
) (dt) 9
1 + t2
U
Es claro ­ ue an ! a ;_ es n f0g ! f0g 9 Por otra ; KP e como
j n
Z
j + t(1[
R
Z 1
j + ( n
j j n
j n
;_
de donde n ! la
A
­_T¹
1
TDC
es n ! y la ^_CL
w
1
)(
)
(dt)
n
1;1] (t)
1 + t2
Z
1
( n ) (dt)
) (dt) + 2
1+t
R
f (t) =
1
1+t2
A
w
@
KLBU K K
es continua y esta
alencia entre n ! y n ! se sigue de ­_ limt!1
1+t2
t2
9
Por Ø
=UT
HB «
= 19
Finalmente, como consecuencia del teorema anterior y el corre:; ondiente en ; robabilidad
clásica tenemos el siguiente resultado
434/63)
f
o
e e
Ù Ùt
La biyección de Bercovici-Pata : ID(?) ! ID() es un homeomor
smo en
la convergencia en distribución. Es decir, si es una medida en ID(?) y (n ) es una sucesión
w
w
de medidas en ID(); entonces n ! ; cuando n ! 1, si y sólo si (n ) ! (), cuando
n ! 1.
i014j
tr6()
*%
UAP`
la terna L KP KL
N
E9E9
`
Para cada n, sea ( n ; an ; n ) la terna caracter : tica libre de n y sea (; a; )
stica libre de () 9
w
an ! a, n ! y n ! :
_;
R
BHB
<
:TDC
(; a; ) la de ; se sigue de la ver
argumento
T@nC
w
` UTL K
( n ; an ; n ) es la terna caracter :
A [
C
clásica de Gned
A
w
w
oy
tico nos dice ­_ (n ) ! () si n ! 9
@istri
Ê
A
ongamos ­_ (n ) ! () 9 Entonces ; or el ]eorema
ciones
Îÿ
TDC
Los resultados de esta seLL
o
þ
·B
lmogorov
clásica de n y
±
­
°F8
w
ue n ! 9 Un
egati as
þ
no se encontraron
A
P ;
nos restringimos al conjunto de medidas ­ ue son in
nitamente divisibles y tienen
I\
TDC
ortados en la literatura 9 A contin_ KL
:B;
orte en
R+ 9 Denotaremos entonces como ID+ (?) y ID+ () al conjunto de medidas con :B; orte en R+
UA
in
nitamente divisibles en el sentido clásico y libre, res; ectivamen
Es conocido
­_
A
D=
2 ID+ (?) si y s o si la terna ca
H;
siguientes tres condiciones se cu
T
p
9
A
P KLU P`:UT
ca (; a; ) es tal
­
ue las
=A
C
a=0
ii p esta concentrada en (0,1) y
Z
1
min(1; t)(dt) < 1
0
T
ii p 0 = R1
0
t(dt) 0 es la derivK9
TDC
En este caso la ^_CL
BC:
<
cumulante clásica es
log b = i 0 u +
Z
1
(eiut
ideremos ahora = () 2 ID(): De
C (z) = 0 z + z
Utilizamos la identidad
u 2 R:
oE98cp
z2C :
oE988p
1)(dt)
0
Z
0
1
oE98cp
t
1
tz
tenemos
(dt)
oE9dp
1 + C (G (z)) = zG (z)
oE98Fp
de donde obtenemos
Im C (G (z)) = Im(zG (z)):
A
R
an
e (z) =
H
H (z) =
Z
1
Z0 1
0
(1
(1
t2
(dt) 0
t Re G (z))2 + t2 (Im(G (z))2
t
(dt) 0
2
t Re G (z)) + t2 (Im G (z))2
las cuales son
nitas como veremos en el siguiente
bc
=A
HK
9
70
ma
e l
Ù Ù-
Im C (G (z)) = H (z) Im G (z) + 0 Im G (z) = x Im G (z) + y Re G (z):
i014j
tr6()
*%
Para la igualdad entre el
;PT
mer y
Ø=UTHB UnPHTCB
de
oE98Fp
tenemos
­_
e,
escribiendo z = x + iy
Im C (G (z)) = Im(zG (z)) = Re z Im G (z) + Im z Re G (z) = x Im G (z) + y Re G (z):
U
Por otra ; KP e, de
tenemos
oE988p
Z
Im C (G (z)) = 0 Im G (z) + Im G (z)
0
1
1
t
(dt)
tG (z)
z2C :
A
Observemos ­_
Z
0
esto
A
;P_ ¬
1
1
t
v(dt) =
tG (z)
Z
1
t(1 t Re G (z))
v(dt)
(1 t Re G (z))2 + t2 (Im(G (z))2
0
Z 1
t2 Im G (z)
(dt)
+i
(1 t Re G (z))2 + t2 (Im(G (z))2
0
A
e v (z) y Hv (z) AªT:UAC y además
a ­_ H
Z
Im G (z)
1
0
1
Z 1
t
v(dt) = Re G (z) Im
tG (z)
1
0
Z 1
+ Im G (z) Re
t
(dt)
tG (z)
t
v(dt)
1 tG (z)
0
e (z)
= Re G (z) Im G (z)H
+ Im G (z)(H (z)
= Im G (z)H (z)
de donde se sigue el
=A
HK
e (z) Re G (z))
H
9
Del lema anterior se sigue el siguiente res_
=U @
K B
x0 , es decir (fx0 g) > 0 9
b8
A
@A
LBP
9 S
mos ­ ue tiene a lo más un átomo
70
ma
e l
Ù ÙV
Sea = (); 2 ID? (R+ ) y sean a,b tales que (fag) = (fbg) = 0: Entonces
1
lim
y!0+
((a; b]) =
i014j
tr6()
*%
Z
b
a
N
E9 98
De Lema
Entonces usando la ^
1
lim
y!0+
observemos
­_
A
DPH
Z
b
a
A
P:TDC
ula de inv
y Re G (z)):
y escribiendo z = x + iy
oF9dp
1
((H (x + iy) Im G (x + iy) + 0 Im G (x + iy)
x
DC
H(x) = limy!0+ Re G (x + iy) donde H es la ^ unci
limy!0+ y Re G (x + iy) = 0 y se sigue el
=A
HK
más iH; ortante de la sec
434/63)
f
o
i014j
e l
Ù Ù-
tr6()
y Re G (x + iy)) dx:
de
T=¬ APU
O
9
De donde
9
Del lema anterior ; odemos obtener los siguientes corolarios,
LTDC
oE98Ep
obtenemos
1
(H (z) Im G (z) + 0 Im G (z)
x
Im G (z) =
((a; b]) =
1
fH (x + iy) Im G (x + iy) + 0 Im G (x + iy)g dx.
x
­_
A
nos llevarán al resultado
9
Si a < b < 0 y (fbg) = 0 entonces (a; b] = 0:
*%
Para y > 0 y a < x < b < 0, H (x + iy) 0 y Im G (x + iy) 0 de donde
1
(Im G (x + iy))H (x + iy) Im G (z)) 0
x
y
1
(Im G (x + iy)) Im G (z)) 0
x
de donde ; or
oE98Ep
en el lema anterior tenemos ((a; b]) 0:
A
HB:
;
Para el osible átomo ten
434/63)
f
o
i014j
e l
Ù ÙV
tr6()
9
Sea 2 ID+ (?) y = () con un átomo en x0 . Entonces x0 0:
*%
_;
R
ongamos ­ ue x0 < 0 entonces eª iste " > 0 tal
como x0 es el Ø nico átomo, (fx0 + "g) = 0 9 Por el
(x0
BP
<
olario
"; x0 + "] = 0
bF
N
E9 98
­_
e x0 + " < 0 además
anterior
DC
de donde (fx0 g] = 0 y ; or lo tanto se llega a una contradicci
Finalmente de los
si 2 ID(?) tiene
W
eorema
e l e
Ù Ù
5j03g
*
aci n
=
BPB K
<
:B;
rios
N
E9 98
y
N
E9 9F
9
se tiene el siguiente resultado,
¬T n
orte en R+ ; entonces () 2 ID() tam
n tiene
:B;
­_
e nos dice
­_
e
orte en R+ 9
2 ID+ (?) =) () 2 ID+ ():
e l l
Ù Ù
cierto, es decir Es importante mencionar que el recíproco del teorema anterior no es
1 (ID ())
+
6 ID+ (?): Dos contraejemplos de naturaleza diferente se darán
en las Subsecciones 3.7.2 y 3.7.3 al
nal de este capítulo.
UA
Otro resultado im; ortante sobre el :B; orte de es el siguien
434/63)
f
o
e l
Ù Ùt
9
Si 0 a < b y (fbg) = (fag) = 0 entonces
1
(a; b] 0 (a; b];
b
donde 0 es la deriva.
i014j
434/63)
f
o
tr6()
e l
Ù Ù
A
R
*%
sigue de
oE98Ep9
Si a < b y (a; b] > 0, entonces b 0 :
=UT
Finalmente de estos dos Ø mos corolarios se ;_ ede mejorar el ]eorema
W
eorema
e l
Ù Ùm
N
E9 9E
Sea = () una medida in
nitamente divisible. Si es una medida con
soporte en R+ con terna característica (; 0; ) entonces el
sop() ( 0 ; 1):
donde 0 es la deriva.
2 @istri
Ê
A
R
ciones 3imDtricas
Îÿ
a una medida de ; robabilidad en ID(?) 9
=
KP K
<
mente = D
T
divisible y ; or lo tanto e = ( ) tam¬ n n lo
bE
A
:
9
1
T
tam¬ n n es in
nitamente
En ; articular, cuando 2 D+ (?), e es
:THn PTL K
9
Una ; regunta natural es si toda medida e
t
;_
ede escribir e = ( )
@T `
^
; KP K
direcci
DC
TC¿
nitamente divisible se
A
>
de
TLT
JQ
rcov
ata se
;_
;PB¬
=A
HK ;
arece
ede obtener un resultado en esta
9
TDC
Los resultados de esta seLL
234
y J
alguna medida en ID() 9 Abordar este
cil, sin embargo usando la biyecci
DC
:THnUPTL K
osi
()*% e
satisface
R
U_P K
no se encontraron en la liter K
9
e una medida en ID() con terna característica libre (0; 0; ) tal que
Sea ÙtÙ-
(0;1) x(dx)
e puede escribirse como
< 1 y = : Entonces e = ( )
donde es -in
nitamente divisible con soporte en R+ :
i014j
;_
tr6()
*%
El
ede escribir como Y
BP
<
olario
N
98b
A
R
stica (0; 0; ) tal ­ ue 9
:`
ace
y
R
=
:D B
or la ; rB; iedad
T
o p
N ± ;P_A¬
° M
;
N
E9 9E
en la
se tiene
­_
A
T
p
9
UT:^
P K^B
ace
R
(0;1) x(dx)
anterior e = ? ( ) donde tiene
() tiene
:B;
e
orte en R+ y ;_
:B;
orte
ede escribirse como
PB;B:TLTDC
Q
E9E9F9
:`
e = ( ) donde es JT C¿nitamente
T
TDC
en el caso de las medidas con so; orte ; ositivo, es bien conocida la caracter ³ KL
A
L KP KLU P`:UT
:THn PTL K:
t
9
Una medida 2 ID(?) es
=A
ca (; a; ) es tal ­ ue se cuH; n
=0
T
<
e = ( ), donde = ()
medidas de ; robabilidad 2 ID(?)
la terna
<1y=
stica libre (0; 0; ) tal ­ ue : K
divisible y tiene :B; orte en R+ 9
BHB
<
a ­ ue una variable aleatoria X se
si X es in
nitamente divisible y tiene terna
(0;1) x(dx)
A
L KP KLU P`
De las consideraciones del ár
en R+ 9 Por el ]eorema
;
: KUT:^
e = (e
e tiene terna
a
) donde 1y=
tel
Y 0 donde Y y Y 0 son in
nitamente divisibles en el sentido clásico y
donde Y = Y 0 tiene so; orte en R+
A
L KP KLU P`
UA_
R
de
UPTL K
ii p es : Hn
N
b
:THnUPTL K
si y
=
:D B
de
si
TDC
En este caso la ^_CL
_
<
cumulante clásica es
log b=
1 2
u a+2
2
T
Z
1
(cos ux
N
oE98 p
u 2 R:
1)(dt)
0
U
ando es una medida
nita : Hn P ica, s_; oniendo ­ ue = a = 0, obtenemos
C() (z) =
Z
R
(
1
1
1) (dx) :
zx
En este caso
Z
1
(dx) (R)
1
zx
R
Z
1
= z 1
(dx) (R)
1
z
x
R
(R):
= z 1 G z 1
C() (z) =
Usando
oF98bp
TDC
Esta Ø ltima ec_ KL
nos ; ermite dar un resultado ; KP
T
UPD
ciones siHn tr L K: 9 Este sencillo resultado no se encon
eorema
oE98bp
obtenemos
1
(z) = z 2 G (z) + z((R)
F()
W
oE98Ip
e
ÙtÙ-
1):
A T@
L
B
oE98Mp
al ]eorema
N
;
E9 9E
ara distribuJ
re; ortado en la literatur K9
Si 2 ID(?) es una distribución simétrica entonces = () 2 ID() es
simétrica.
i014j
; KL
la
tr6()
*%
U
_;
R
A
TDC :THn
ongamos ­_ 2 ID(?) es una distribuL
to y ; KP e Gaussiana cero, esto es con terna (0; 0; ) y PB;B:TLTDC
Q
F9F9F
TH; KPA:
1
es
se tiene ­_ e F()
TH; KP «
:THn PTL K
t
9
trica con sB; orte cBHJ
Entonces de
oE98Mp
y ; or
T
de donde F() y G() tam¬ n n deben de ser
DC
y en consecuencia, otra vez ; or la PrB; osici
T
T
, () es una medida : Hn tP L K9
oF9F9Fp
Finalmente sea una medida con sB; orte no acotado, ; KP K cada n 2 N de
namos n como la
A
medida en [ n; n] de tal ^BPH K ­_ (B) = n (B) ; KP K todo B [ n; n], entonces n converge
TDC «
en distribuL
cuando n ! 1 a la medida medida ; or lo tanto ; or el ]eorema
terna (0; 0; n ) converge a con terna (0; 0; n ) 9 En
bI
; KPU
N
E9E9
nUP
icular cuando n es sim
n con
ica se tiene
TAP
el resultado ; KP K cual­_
;
Finalmente
; KPU
A
medida con P
;
; KP
de ser ar 9 La im
5j03g
*
aci n
U KLTD
resen
ara el caso más general, donde la
Gaussiana basta observar
A
;
­_
n de
A
P ;
n¹¶J ·¸TC
µ
resen
^
n¹¶J ·
µ
de
hintchine tiene
;
;
e C es la suma de dos unciones ares y or lo tanto C debe
TDC
`K
idad de G y ; or lo tanto la simetr
e
tchine (0; 0; ) 9
U KLTDC
de se sigue de esta observKL
9
El inverso del resultado anterior también es cierto, sin embargo posponemos
ÙtÙV
la prueba para el Capítulo 4.
5
on o ci>n
Ê
Ð
DC
En esta secci
r)
? ti icati a i re de ?edidas
Ïÿ
/)53
/)(6r)g
a
ÿÏ
mencionamos de
e
; KP K
mutativas en un C J
El estudio de
;
ÌÏ
^BP
ma muy breve lo
:B;
medidas con
A
:; KL
Î
orte
@
LK B
/
*%
se conoce como congo 'ci
/
m'
io de ; robabilidad 9
; KP
CBJL
a el caso de media cero ; or
recalcar la iH; ortancia de este estudio, no
=T
A
acto asociadas a variables aleatorias no cBCJ
roductos de variables aleatorias
tomado recientemente
K;
LBH;
­_
=
:D B
;
R
onmutativas en
eicher y
K
S
j
A=
P
KLTDC
N ±
° b 9
KB
S
libre ^ ue reJ
Es
TH;
ortante
T
D
desde el ; unto de vista te rico sino tam¬ nC del
9
En el conteª to de matrices aleatorias, casos interesantes se encuentran dentro de este L K:B 9
A
H;
Por ej
lo, ya
­_
A
A
HTL`P
la ley de s
TDC
culo es la distrib_L
UDUT
e:; ectral asin
LTD
aleatorias Gaussianas, y un resultado similar se tiene ; ara la distribu
; KP K
matrices de
una ley de
ÈT:¸ KPU «
A
HTL`P
R
UAPn:
entonces es de in
A
culo con una Poisson Libr
TD
TDC
dar una inter; retac n a la distribuL
De
A=
muestra la r
P
A=
KLTD
similar a la trans
KLTDC
@
:^BPH K K
entre la tran
;
DC ;
Otra raz
TDC
T
=T
L KUT¹
mult ;
a libre de
ara abordar este tema es el ; oder
TDC
cumulante libre el siguiente teorema de
S y el
;PB
B;
ducto de medidas con s
orte
E9M9M9
a
oiculescu
LBH; KL
to en
a
n libre de
nida or oiculescu 9
TDC
Las demostraciones de los resultados de esta subseLL
W
[
n de Marchen oJ Pastur
beta siHn trica ­_ e ; resentamos en la RubsecL
@
^BPH K K
^BPH K
9
=
conocer la convB _L
ca de matrices
eorema
e
Ù
Ù-
se encuentran en
N ±
° b 9
Sean a1 y a2 variables aleatorias no conmutativas en relación libre tales que
(a1 ) 6= 0 y (a2 ) 6= 0. Si 1 y 2 son las -distribuciones de a1 y a2 , denotamos por S1 a la
bb
transformada S de 1 y por S2 a la transformada S de 2 . Entonces
S1 2 (z) = S1 (z)S1 (z)
es la S-transformada de 1 2 :
=
UT;=TL KUT
TDC
En el estudio de convB _L
cuando ambos
A
^ KLUBP :
tienen
mul
:B;
va libre, normalmente nos restringimos al caso
orte en R+ 9 Este resultado es su
ciente en este caso, sin
embargo, eª isten muchos casos interesantes donde uno de los
En estos casos trabajar la convoluL
en la
A
LLTDC
R
A
el
A
;PTH P
media cerB 9
DC
distribuci
W
eorema
e
con la tran:^ ormada S tiene una ^ alla como se menciono
« ; KP K ;
hemos visto en la R
de
nidas en
no tiene sB; orte en R+ 9
2 9I9
A
LLTDC
BHB
<
­_
TDC
A
^ KLUBP :
resuelve el
GBUAHB: ­_A
HTL`P
de se
oder invertir las serie de ; otencias M (z) necesitamos
momento sea di^ erente de cerB 9
oF9I9Fp
Ù
F9I
ÙV
;PB
TC
R
blema al menos
distribuciones
TH;
embargo, trabajar con las tran:^ ormadas S
; KP K
cuando
=
:D B
una de las medidas tiene
ortantes entran dentro de este caso, tales como la
culo o la ley arcoseno:
Sean a1 y a2 variables aleatorias libres tales que (a1 ) = 0; (a21 ) = 0 y (a2 ) 6=
0. Sean 1 y 2 las -distribuciones de a1 y a2 , respectivamente. Denotemos por S1 y Se1 a
las dos transformadas S de 1 y por S2 a la transformada S de 2 . Entonces
S1 2 (z) = S1 (z)S2 (z) y Se1 2 (z) = Se1 (z)S2 (z)
son las dos S-transformadas de 1 2 :
GBUAHB: ­
¬Tn
tam
8
;
ue
; KP K ­_
A
CTLTDC
n entre en la de
DC
la de
nici
F9I9F9
sea correcta necesitamos
Esto se obtiene
A
^ ?LT=H C
y además
bM
A
@
TDC
la J istribuL
te de la relaciones en el
ara los ; rimeros momentos de a1 a2 cuando a1 y a2 están en P
(a1 a2 ) = (a1 ) (a2 ) = 0
­_
A=
=T
A
KLTDC
¬P
9
En
A
^
de a1 a2
<
K;`
ecto,
tulo
((a1 a2 )2 ) = (a21 ) (a2 )2 + (a1 )2 (a22 )
(a1 )2 (a2 )2 = ((a1 a2 )2 ) 6= 0:
=
TDC
Entonces ; ara este caso ; odemos obtener las convB _L
1 2 a travn s de las trans^BPJ
madas S 9
_
R
En la
E
Ê
Ë
DC N
bsecci
DC
los de esta convoluci
=`UT
usamos los resultados ana
L K;`
cos de este
tulo
; KP
a veri
car y construir
los de medidas de ; robabilidad in
nitamente divisibles en el sentido
Mostramos
LTDC
­
T:T¬=A
ue la ley arcoseno no es in
nitamente div
A
PLB
>
de
la biyec
de semic rculo, Poisson libre,
estables
=T
A
¬P :
K_L
<
A
¬P
Por otra
9
;
arte, mediante
A
hy, 1=2J stable libre y más generalmente las distribuciones
`
As mismo, se encuentra
9
9
=T
vici Pata estudiamos la divisibilidad in
nita libre de las distribuciones
`
in
nitamente divisible libre con medida de
¾ K= KC@B
de distribuciones beta B(; ); se
;
9
ÌÏ
DC
ej
A
H;
se dan ej
em os
En esta secci
A
H;
N
9b9
­_
n
µ
A
DC
la distribuci
B
vy arcosen
9
beta
:THn
trica BS(1=2; 3=2) es
Finalmente consideramos las ^ amilias
algunos valores de los ; arámetros y ; KP K los cuales
T
odemos decidir si estas distribuciones son o no in
nitamente divisibles en el sentido l ¬P
el
<
=
K;`U_ B N
se consideran otros valores de estos ; KP
?HAUP
A
¯
en
os usando herramientas del en^B­_
A
T
combinator B 9
F
Ó
ÓÒ
!e
÷
Arcoseno
TDC
En esta subsecL
sentido
;_
=T
A
¬P
9
:`
DC
mostramos ­ ue la distribuci
=
H; B
mismo, este eje
­_
muestra
arcoseno no es in
nitamente divisible en el
ede ser absolutamente continua, como se menciona en la
osi
234
()*% e
ÙmÙ-
DC
e la convoluci
A
LLTDC
R
E989
Sea la medida puramente atómica dada por
1
= (
2
1
bd
+ 1 ):
libre de medidas
KUDHTL K:
Entonces es la distribución del arcoseno en ( 2; 2) con densidad
a0;2 (x) =
i014j
tr6()
*%
La tran:^ ormada de
G (z) =
De
oF98Ip
Z
1
1
1
z
t
1
1
p
1
4 x2 (
<
uchy de está dada ; or
1 1
1
z
(dt) = (
+
)= 2
2 z+1 z 1
z
1
y escribiendo K (z) = R (z) +
1
z
tenemos ­_ e G (K (z)) = z y ; or lo tanto
(K (z))
= 1:
z
olviendo ; KP K K (z) tenemos las soluciones
K (z) =
UP KC:^
Obtenemos entonces la RJ
=
=
@
K L_ KC
1
p
1 + 4z 2
:
2z
ormada
R (z) =
<
oE98dp
K
(K (z))2
A
:
S
2;2) (x):
p
1 + 4z 2
2z
1
:
o R obtenemos
1
1
+ R (z) = + 2R (z) =
z
z
de donde
p
p
1 + 4z 2
z
1 + 4(G (z))2
= z:
G (z)
Por lo tanto
G (z) = p
­_
A
«
DC
como se vio en R_ bsecci
«
F9b9F
1
z2
4
z 2 C+ ;
;
@
es la trans^BPH K
b\
K
oE98\p
de <K_Lhy de la ley arcoseno en ( 2; 2):
A
Del resultado anterior tenemos ­_ = 12 (
sigue del hecho de
y de la
E9F9Fp
A `
P
lo deb
­_
A
con dos átomos no
;_
1 + 1)
no es J
ede ser J
T T
nitamente div : ¬
TC¿
A
PB;B:TLTDC
Q
E9F98
TC¿
=A
Esto se
9
B;
nitamente divisible oPr
, ya ­_ si una medida es J
DC
osici
TC¿
T
nitamente divisible tam¬ n n
a ser su LBH; onente 9
Otra ^ orma de ver ­ ue la ley arcoseno no es J
a
TC¿
nitamente divisible es veri
car ­ ue la
A A
`UT
tran:^ ormada de oiculescu (z) no es anal L K9 En ^ cto, de oE98\p se tiene ­_ e F (z) =
p
p
a
U
1
(z) = z 2 + 4 de donde obtenemos la P KC:^ ormada de oiculescu
z 2 4 y F
(z) =
TDC
la cual no es una ^ unL
­_
A
z2 + 4
z;
ca en z = 2i 2 C+ : Por lo tanto, del
eorema
]
2, tenemos
E9F9
la ley de arcoseno no es in
nitamente divisible en el sentido libre 9
F
Ó
=`UT
ana
p
!e
÷
Óô
En la
HTL`P
se
de emic7rcûúo
A
LLTDC
R
F9b98
mostramos
A
­_
@
la trans^BPH K
K
TDC
cumulante libre de la distribuL
culo Wm; con media m y varianza 2 está dada or
CWm; (z) = mz + 2 z 2 :
De esta
234
del
;
A
A
ª;P : DC
i
osi
()*% e
obtenemos ^
ÙmÙV
?LT=HAC
te varios resultados
TH;
oE9Fcp
UA:
ortan
9
Sean Wm1 ;1 ; :::; Wmn ;n distribuciones de semicírculo con medias m1; :::; mn
y varianzas 21 ; :::; 2n respectivamente. Entonces Wm; = Wm1 ;1 Wmn ;n tiene distribu-
ción de semicírculo con media m1 + + mn y varianza 21 + + 2n :
i014j
tr6()
*%
Usando
oE9Fcp
obtenemos
CWm; (z) = C1 (z) + + Cn (z) =
= ( 21 z 2 + m1 z) + + ( 2n z 2 + mn z)
= ( 21 + + 2n )z 2 + (m1 + + mn )z
TA A
y ; or lo tanto Wm; es como se ­_ r
9
Mc
T TDC
De la ;PB;B: L
ible en el sentido
=T
TDC
`
anterior es claro ­ ue la distrib_L
A
¬P
del semic rculo es in
nitamente divisJ
@
T
Esto tam¬ nC se ;_ ede ver directamente de su tran:^BPH K
9
­
ya ue claramente CWm; (z) tiene
A
P ;
U KLTDC
resen
n¹¶J ·
µ
hintchine
oE9bp
con terna
K
cumulante
A
L KP KLU P`:UT
ca
libre (m; 2 ; 0) 9
TDC
Usando la biyecL
de
A
ercoviciJ Pata , se tiene trivialmente ­_ Wm; = (m; ), donde
>
UAP`:UT
m; es la medida Gaussiana con media m; varianza 2 , terna caP KL
ca clásica (m; 2 ; 0)
y densidad
1
'm;2 (dx) = p exp(
2
Esta es una
P K³DC
más
A
; KP K P ^
m)2 );
1
(x
2 2
TDC
1 < x < 1:
TDC
`
erirse a la distribuL
del semic rculo como la distrib_L
Gaussiana libre Ù
=
Este ejeH; B muestra claramente ­_ e la biyeLL
con
:B;
UB
orte no cBH; KL
TDC
A
T T
de > rcov L J Qata ;_ ede enviar medidas
UB
a medidas con so; orte cBH; KL
9
Más
KØ
n, tomando la distrib_L
TDC
A
normal 2;1 con media dos y varianza uno, se tiene ­_ W2;1 = (2;1 ) tiene sB; orte no negativo,
A
T `
ya ­_ es la ley del seH L P culo con densidad
w2;1 (x) =
Esto ;P_
F
Ó
A
R
Ó
A
¬
2p
1
A
a ­_ el inverso del ]eorema
istriûciün
Ô
DC
a la distribuci
N
E9 9E
UB
no es cier
de Poisson clásica Poiss? () con media > 0
UAP`:UTL K
En esta caso la terna car KL
DC
BC:
<
ideremos la
de Poisson clásica ; 0 con deriva 0 > 0, la cual denotamos ; or Poiss? (; 0 ) 9
DC 2
LBH;
n
; n = 0; 1; 2:::
n!
es (0; 0; ) con medida de Ln vy = 1 :
Llamamos a (; 0 ) la distribuci
BHB
<
9
oisson !ire
(fng) = exp( )
distribuci
2)2 1[1;3] (x)dx:
(x
se muestra en la siguiente
oisson
7)530
; B;B:TLTDC «
r
y la denotamos ; or Poiss (; 0 ):
DC
la distribuci
Poisson libre tiene
:B;
orte
acto, tiene al cero como átomo cuando 0 < 1 y es absolutamente continua cuando
1:
M8
osi
234
()*% e
e
ÙmÙ
a) La distribución Poiss (; 0 ) es una medida con soporte compacto dada
por
(; 0 )(dx) =
p
donde a = (1
p
1
(1 ) 0 + 2x
(x a)(b x)1[a;b] (x)dx;
p
1
(x a)(b x)1[a;b] (x)dx
2x
)2 + 0 y b = (1 +
p
si 0 1
si > 1
oE9F8p
)2 + 0 :
b) La transformada de Cauchy está dada por
p
1
G(z) =
2
(z
a)(b
2z
z)
+
1
2z
:
c) La transformada cumulante libre es
C(z) =
z
1
z
:
d) La transformada S de Voiculescu de 1;0 es
S(z) =
i014j
tr6()
TC ;
R
*%
1
:
z+1
erdida de generalidad tomamos 0 = 0 9 La
^_CLTDC
cumulante libre
de (;0 ) es
C(z) =
Ahora, usando
oE9dp
Z R
1
1
zt
tz1[ 1;1] (t) (dt) =
1
1
z
=
z
1
z
:
tenemos
1+
1
G(z)
= zG(z)
G(z)
y ; or lo tanto
zG(z)2
A
:
S
olviendo ; KP K G(z)
G(z) =
1
2z
UBH KC@B
o
z
(z
+ 1)G(z) + 1 = 0:
A
`
la P K ³ ; ara ­_ se cum;
q
(z
(1
p
)2 )((1
MF
+
p
=
K
)2
¹
o p
DC
en la PrB; osici
z) + 1
si z 6= 0
F9F98p
p
escribiendo a = (1
)2 y b = (1 +
p
)2 obtenemos
p
1
G(z) =
2
Ahora, ; KP a 1; G(1
f (x) =
:` «
de
oF9dp
) 0
=
1
1
lim Im( +
y!+0
2
1 z ,
(z
a)((b
2z
z)
1
+
2z
:
la densidad es
p
(z
a)((b
2z
z)
1
)=
p
x (4 8
2x
x)
; KP K
x 2 [a; b]:
oE9FFp
tenemos ­ ue
(; 0 )(dx) =
p
1
(x a)(b x)1[a;b] (x)dx;
(1 ) 0 + 2x
p
1
(x a)(b x) 1[a;b] (x)dx
2x
=
de donde se sigue el resultado ; KP a L_ K ­_
Finalmente de
oF98dp
TAP
si 0 1
si > 1
derivK9
tenemos ­ ue la serie de ; otencias M está dada ; or
1
1
G ( )
z
z
M (z) =
1=1
p
1
4z
2z
y
z
:
(1 + z)2
(z) =
:` «
obtenemos ­ ue la tran:^ ormada S de la Poisson libre es
1
:
z+1
S (z) =
DC
En ; articular, ; ara = 1; 0 = 0 se obtiene la distribuci
f (x) =
;_
es a = 0; b = 4 y x(4
±
°EI
como el
BC
<
=`
HT
x) = 4
1 p
4
2x
(2
x)2 :
(2
K¬
<
[
BJ
de Marchen
Pastur
x)2 1[0;4] (x)dx;
A
DC
e destacar ­_ esta distribuci
es obtenida en
te de la medida es; ectral de un ensamble de matrices aleatorias de
res; ecto al inverso del
eorema
]
N
«
E9 9E
una modi
c
A
±
°EI
KLTDC
DC
de la distribuci
È
ishaP
U
9
de Poisson
libre nos ; ermite ver ­_ una medida in
nitamente divisible libre () con sB; orte en R+ ;_ ede
ME
venir de una medida in
nitamente divisible clásica con
n¹¶
µ
si su ; arte Gaussiana es cero y la medida de
`:UTL K
con terna caracter
=D
1 1
(3; 0; ) donde = DC
ecto, si () = D
1 (1 ) 4
la densidad de () es como en
istriûciün de
Ó
Ô
A
H;
­_
lo muestra
DC
distribuci
Poiss? (1),
D
n = 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2::::
n)!
1 (1 )
4 con densidad
x)(x
2) 1[2;4] (x):
oE9FEp
entonces ()(dr) = (1 )(4 dr) y sustituyendo en
oE9FEp9
A
H;
Este ej
oE9F8p
«
=
lo nos ^ ue comunicado ; or el DP 9 A ^ onso
A
aûc:÷
ø
TDC
la distribuL
de
<
K_
chy ola cual tiene so; orte no
in
nitamente divisible tanto en el sentido clásico como en el
TDC
nto
jo de la biyeLL
A
R
^_
ecto, sea UA K² K
9
Este ej
;_
A
^
KØC
cha Ar
F
Ó
orte en R+ 9 En
Entonces, si 1 es la distribu
19
p
1
(4
2(4 x)
f (x) =
B
S
:B;
LTDC
1
(4
mientras ­ ue () tiene distribuci
A
^
no tiene
orte no concentrado en R+ ,
? 4 está dada ; or
(fng) = exp(1)
En
:B;
de
A
PLB
>
T
N«
F9b9
TDC
la distribuL
1
; b (u) = e
2
+ x2
Entonces su tran:^ ormada cumulante clásica está dada
distribuci
de
Además, es un
de
K_L
<
hy tiene densidad y
stica dadas ; or
f (x) =
DC
es una
UK
9
=
nci
9
p
vic J QK
an > 0; como vimos en el Ejem; B
DC L KP KLUAP`
=T
A
¬P
@
KLBU K B
<
K_L
hy es ?J
=A
TC¿
nitamente divisib
(dr) = dx= jxj es una medida de
n¹¶ :THnUPT
µ
ca:
N
M
9
;
juj
:
or log b (u) =
A
P KLU P`:UTL K
u terna ca
R
juj de donde la
es (; 0; ) donde
Por otro lado, GHI a encontrar () usamos la tranJK ormada cumulante libre
C() (z) = z +
Z R
Z 1
1
zt
1
1
1
zt
Z zt
dt
= z +
;
1
zt
jtj
R
=
iz:
= z +
R
de donde G or L2.35) MN
1
tz1[ 1;1] (t) (dt)
dt
tz1[ 1;1] (t)
jtj
z2C :
O H PQRJMSSTUN 2.6.4 JM VTeNM WQe () = :
XYZY[ \istri]^ci_n `eta aibo c
dJVM MeMfGOg TOQJVIa WQe MhTJVM QNa dTJVITRQSTUN iTJVTNV H a O H de jHQckl WQM eJ TNmNTV HfMNVM
iTnTJTROM V HNVg MN JMNVTdg SOoJTSg cgfg MN JMNVTig OTRIMp
O T V TR TU Oo T
o V
O
T
V RO
Sea H d J I QS N S J SH 1=2-eJ H M SgN GHI fM Ig de MJSH H = 1 l dMI na 0 > 0: PQ
JgGgIVM eJV o MN ( 0; 1). dO cHJg 0 = 0 JM SgNg ce cgfg iTJVITbQSTUN de qrnl l VTMNe dMNJTdad
1 e 1=2x
;
f (x) = p
2 x3=2
x > 0:
JMI QNa dTJVITRQSTUN MJV HROMs MJ QNH Oel TNmNTV HfMNVM dTnTJTROM MN eO JMNVTig SOoJTSgs SgN
VMINH caIHSVMItJVTSH (0; 0; )s SgN (dx) = dx=r3=2.
uJHNig O H RTlecSTUN de BeIcgnTSTvwHV H s JM VTMNe WQM O H KQNSTUN SQfQO HNVe de = () MJ
PgI
C (z) =
TUN gbVMNMfgJ WQM F 1(z) =
V
o
k
V
HQS
MJ
GgI
l
de j
de dada
De MJ a MhGIMJ
G (z) =
PHI a iz 1=2
iz 1=2 z de
igNie JM eNSQMNVIa WQM O H VIHNJKgIfHi H
p
1
2z + 4z + 1 + 1 :
2
2z
xMNMIHO Je GQMiMN k HSMI S oOSQOgJ JTfTO HIMJp jgNJTiMIefgJ > 0 l 0 = 0:
75
DPH
Usando la ^
A
P:TDC
ula de inv
A
, se tiene ­_ tiene densidad
oF9\p
g(x) =
(x)2
TDC
DC
es una distribuL
Esta distribuci
­_
A
_LTDC
una distrib
s
2
;
4
(x)
UT;
beta
;
x>
2
+ 0:
4
2
o 2 B2 (1=2; 3=2) con rango ( 4 ; 1):
A
L
S
ordamos
es beta ti o 2 B2 (; ), > 0; > 0; si es absolutamente continua con
densidad
f; (x) =
DC
Esta distribuci
clásico
N « ;
° M
ag
N
tiene
±
8I 9
:B;
1
x
B(; )
TDC
istriûciones
Ó
Ô
Una medida de
B :TH;
o
;PB¬ K¬
lemente 0 < x < 1:
A
T
1=2J stable libre = () es tam¬ nC
9
sta es
ú
ilidad en R se dice esta5 e con res ecto a
/
0jr65/
/6
/'()*% /)53
cong4
e
e p« si la clase
f () :
es cerrada bajo la
1 +
)
;
1+x
Por lo tanto la distrib_L
=? T
: LB
Ó
(
orte no acotado en R+ y es in
nitamente divisible en el sentido
in
nitamente divisible en el sentido L
F6
1
TDC K^`C
: R ! R es una tran:^BPH KL
A
B; P KLTDC
N
oE9F p
crecienteg
9 Denotamos ; or S() a la clase de medidas de ; robabilidad
A
J stable en R 9
BHB
<
U KLTDC
consecuencia del LBH; ortamiento de C con re:; ecto a la dil K
medida de ;PB¬ K¬
; KP K
o
z
1
en una
T=T@ K@
A
P ²TD
en R ; ertenece a S() si y :
n de la
^BPH K
; ) ´
; KP K
D=B
@T TD
L
C
si la siguiente con
todo a > 0
A T UA
C
ª :
­_
A
TDC
la distribuL
de
A
HTL`PL_
R
osi
()*% e
l
ÙmÙ
DC
lo, la distribuci
de
<
K_
i) Toda distribución de Semicírculo Wm; es -estable.
ii) Toda distribución de Cauchy Ca() es -estable.
Mb
­_
e
A
oE9FIp
2 B2 (1=2; 3=2) son estable: 9
234
UT:^ KL
se : K
a> 0 y b 2 R tales
C (z) + C (az) = C (az) + bz:
de donde se sigue
A
tenemos ­_ una
chy y la beta ti; o
iii) La distribución beta tipo 2 B(1=2; 3=2) es -estable.
i014j
ciones de
tr6()
*%
U KH K¾B
A
Es ^ ácil ver ­_ S() es cerrada bajo o; eraciones Da (a > 0) y bajo tran:
A
@
b 2 R 9 Entonces basta ver ­_ las trans^BPH K
y C (z) = i jzj cuH;
=A
C
con
oE9FIp9
DC
Para la distribuci
K:
`
=
KJ
cumulantes libres C (z) = z 2
de semic rculo
p
C (z) + C (az) = z 2 + a2 z 2 = 1 + a2 z 2 = C (( 1 + a2 )z)
DC
y ; KP K la distribuci
de
<
K_L
hy
C (z) + C (az) = i jzj + i jaj jzj = (1 + a) i jzj = C ((1 + a)z):
A
A
Finalmente, B(1=2; 3=2) ; ertenece a S(), ya ­_ satis^ KL
C (z) + C (az) =
iz 1=2 + i(az)1=2 =
« ;_
oE9FIp
esto ­_
A
1 + a1=2 iz 1=2 = C ((1 + a1=2 )2 z):
En general las distribuciones estables son el rango de las distribuciones estables clásicas
TDC
bajo la biyeLL
de
A
PLB¹TLTJ
>
Q
TD
`
A
at K9 Es; ec
camente, la terna de una distribuL n J stable no
Gaussiana, 0 < < 2, es (; 0; ) con
(dx) =
Entonces,
;
or la
@
:^BPH K K
tran
UP KC:^
DC
ormaci
A
>
de
c
dx:
jxj1+
T T
rcov L J Qata y la
C (z) = z +
R
1
zt
1
a
eamos entonces ­ ue se c_H; le
n¹¶J ·
µ
hintchine
«
oE9bp
la
stable libre es
cumulante libre de la distrib
1
ula de
A
J
_LTDC
Z ^DPH
oE9FIp´
MM
tz1[ 1;1] (t)
c
1+ dt:
jtj
oE9Fbp
Z tz1[ 1;1] (t)
c
1
1+ dt
1
zt
jtj
R
Z 1
c
+az +
1 taz1[ 1;1] (t)
dt
1+
azt
jtj
R 1
Z c
1
dt
1 tz1[ 1;1] (t)
= z +
1+
zt
jtj
R 1
Z 1
c
+az + a
1 yz1[ 1;1] (t)
1+ dt
1
zy
jyj
R
Z c
1
1 tz1[ 1;1] (t)
dt
= (1 + a)z + (1 + a )
1+
zt
jtj
R 1
C (z) + C (az) = z +
1
= (1 + a (1 + a )1= )z + (((1 + a )1= )z
Z 1
1 t(1 + a )1= z1[
+
)1= t
1
z(1
+
a
R
= C ((1 + a )1= ) + (1 + a
(1 + a )1= )z:
Las distribuciones estables libres ^ ueron estudiadas a detalle en
K;nC
T KCA±
9 >
dice de P
,
­_TAC
A
(t)
1;1]
c
jtj
A
PLB
>
vici y Pata
DC
;
s caracterizaron los dominios de atracci
y robaron
distribuciones son absolutamente continu K: 9 Asimismo, encontraron las ecuaciones
­_
A
A
A
:
satis^ KL n sus densidad
D=B AªT:UA
R
9
TDC
`
de ley del semic P culo, la distribuL
LLTDC
;
Es un
tam
FF
Ó
A
=
ª; `LTU K ; KP
TDC
hy y la distribuL
UT;
beta
con
estas
renciales
o 2 B2 (1=2; 3=2) de
`
;
ara 0 < < 2; son
TDC
UT;
o 2 B2 (1=2; 3=2):
istriûciün
Ô
A
H;
GB
conocemos la res;_ esta a esta
; KP
a demostrar
A
­_
TDC
arcoseno es una distrib_L
ordamos ­_
A
; KP K
K_
<
chy y
UK
n
9
eta imytrica BS(1=2; 3=2)
;_
ede usarse
A
;P ²_
de
Ö
lo ilustramos como la
A
L
S
@T A
^
A
a la densidad en los casos
roblema abierto el s las distribuciones estables libres,
En este ej
n¹¶
µ
K_L
mula
n in
nitamente divisibles en el sentido clásico, como lo son la distrib_L
la beta
Ó
<
^DP
­_
«
°\
anteriBP 9
la se
¬Tn
de
una
1+ dt
A
A
ª;P :TDC
oE98Mp
_LTDC
la distrib
; KP K
medidas de
n¹¶ :THnUPT
µ
cas y
nitas,
in
nitamente divisible libre con medida de
T
beta : Hn trica BS(1=2; 3=2):
; > 0; una medida de ;PB babilidad tiene distribuL
Md
TDC
beta siHn trica
TDC
BS(; ); si es absolutamente continua con ^_CL
g (x) =
A
H;
Este ej
1
jxj
2B(; )
lo muestra como se
;_
1
a
la densidad de la ley arcoseno Ao;s
B
varianza un
9
DC
De la Recci
F9b9F
1
(s
x2 )
0
p p
en (
s; s) 9
se tiene
­_
A
TDC
n¹¶
µ
de densidad de leyes in
nitamente
p
< s
p
jxj > s;
1=2 ; jxj
oE9FMp
omaremos A0;1
]
­_
Ao;s tiene tran
1
z2
2s
a = () la medida in
nitamente divisible libre coPP
mente divisible con medida de
jxj < 1:
,
@
:^BPH K K
GAo;s (z) = p
A
R
1
n¹¶
µ
9
divisibles no triviales a artir de su medida de
ao;s (x) =
jxj)
(1
ede obtener la ^ unL
;
A
R
de densidad
A
de
tiene media cero y
K_
<
chy
:
oE9Fdp
A
:;
TDC
ondiente a la distribuL
(dx) = a1;0 (x)dx 9 De
A
oE98bp
obtenemos ­_ la
in
C
TU K
J
UP KC:^
orJ
mada cumulante libre de es
C (z) = p
Usando
oF98bp
y
A
oE98Mp
obtenemos ­_ la
UP KC:^
1
1
ormada de
1 G (z) = p 1
2
Por lo tanto
G
TD
234
1
z2
z2 1
TDC
La siguiente identi
cac n de la distrib_L
KU_P K
p
1:
2z 2
4z
<
oE9F\p
K_
2 1=2
=z
1
UT:^
chy G de : K
ace la ecu KL
TDC
1=2
:
)
:
oE9Ecp
D PA;
BS(1=2; 3=2) no se encontr
TUAP
ortada en la l
J
9
osi
()*% e
ÙmÙt
a) La función G dada por (3.30) es la transformada de Cauchy de la
distribución beta simétrica BS(1=2; 3=2) en [ 2; 2] con densidad
g (x) =
1
jxj
2
1=2
(2
M\
jxj)1=2 ,
jxj < 2:
b) La distribución beta simétrica BS(1=2; 3=2) es in
nitamente divisible en el sentido libre.
i014j
tr6()
*%
D
Usaremos la ^ P mula de
ªT:U
A
;
­
Para x 6= 0
1 Im p 1
2
1 ! Im p 1
2
Im G (x + iy)
'
oF9\p9
=
1
4(x + iy)
1
4x
2 1=2
1=2
:
)
1=2
)
arte imaginaria cuando jxj < 2 y x 6= 0: Para x
jo en este conjunto, buscamos b < 0
tal ue
1
1
1=2
2 1=2
4x
Es decir
1
2
i 4x
de donde obtenemos ­ ue a2 = b2 + 1:
1
4x
1=2
2
1
= a + ib:
= a2
1=2
=
b2 + 2iab;
2ab:
Por lo tanto
2
x
(4
x2 ) = 4a2 b2 = 4b4 + 4b2 ;
DC
de donde obtenemos la ecuaci
1
x
4
b4 + b2
A
:
S
2 1=2
olviendo ; KP K b2
A=
o
2
x2 ) = 0:
(4
cual tiene ­ ue ser ; ositivB p
b
2
=
1+
=
1
jxj
2
b=
r
y ; or lo tanto
p
1
1+x
2
(2
1
jxj
2
80
2 (4
jxj);
1
(2
jxj):
x2 )
:` «
la densidad g de G es
g (x) =
TDC
T
la cual es una distribuL
La ; KP
_
R
UA
1
jxj
2
UPT
beta : Hn
Ó
A
L
S
A²_C
rge la ;P
UK
o
¬TnC
m
T
istriûciün
­_
A
;
eta
Ö
{|i
UT;
llamada beta de
`U_=B
o
ö
UA
siguien
~
o
LTDC
tiene tambi n una distribu
de Poisson
p
«
}
Ò
si es absolutamente continua y su
1
x
B(; )
1
T¬PA
µ
oE9FEp
1
beta B(; )
de densidad es
, 0 < x < 1:
1 p
x(1
x
_LTDC
en el caso B(1=2; 1=2) y a la distrib
la distribuci
AS(0; 1)
U KH;
T
un ^BP me, de la
_
R
DC
TH;
beta B(1=2; 3=2) 9 La ^ amilia de
A
@T
:J
ortantes, tales como la ley arcoseno AS(0; 1)
A
CT^BPH
u
en [ 1; 1] en el caso B(1; 1) 9
A
HB:
O
visto
arcoseno AS( 1; 1) no es in
nitamente divisible en el sentido libre, or lo
A
oco lo es, ya ­_ es una tP K:
bseLL
TDC
F9b9E
=
KLTDC
T
A
de la ;P H
PK
ze2=z
T T
oco es in
nitamente di¹ : ¬
TDC
En el caso de la distribuL
9
tenemos ­ ue su tran:^ ormada de
a
oiculescu es
z + e2=z + 1
;
1
e2=z
la cual tiene una singularidad en z = 0, lo cual ; or el ]eorema
U KH;
X con densidad
;
(z) =
un ^BP me
X=2
x) 1[0;1] (x):
como una distribuci
tribuciones beta incluye otras distribuciones
DC
; KP K
mediante un argumento de cambio de variable sencillo se encuentra ­_
TDC
T
^_CLTDC
in
nitamente divisible libre 9 En articular,
Identi
camos a esta distribuL
A
x)
(1
;
f (x) =
­_
9
TDC
Y tiene densidad
A
cas son in
nitamente divisible: 9
a X una variable in
nitamente divisible libre, entonces la variable aleatoria Y = 2
n
­_
UPT
9
ara ; > 0; una medida de ; robabilidad tiene distribuL
f (x) =
A
R
ca BS( 21 ; 32 ) reescalad K9
ta natural si otras distribuciones beta : Hn
Ô
ordamos
jxj < 2
A
:
A
Ó
jxj)1=2 ,
(2
b p del ]eorema se sigue entonces de las consideraciones anteriBP
Una res;_ sta ; arcial se da en el L K;
Fz
1=2
=A
9
d8
2 iH; lica ­ ue la distribuL
E9F9
TDC
Finalmente debemos mencionar ­ ue el caso B(3=2; 3=2) con densidad
1 p
x(1
2
f (x) =
DC
es una distribuci
`
semic P culo W1;1=2 9
De las consideraciones anteriores surge la
T
in
nitamente divisibles en el sentido l ¬P
UA
siguien
F
Ó
Ó
A
A
;P ²_C
ta de cuáles distribuciones beta no son
Damos una
9
A
P :;
uesta ; arcial al
nal del
L K;`U
ulo
9
onùoúûciün
ø
TDC
DC
tiene distribuci
A
divisible libr
istriûciün de
tiöúicatiùa con ûna
ûú
estudiamos la convoluci
oisson !ire
Ô
UT;=TL KUT¹
mul
a de dos medidas, cuando una de ellas
A
TD
TDC
Poisson Libre (1): Esta convoluc n siem;P una distribuL
A
BH C
9 <
;
medidas, tratados or
ordemos
DC
En esta subseLL
A
L
S
x)
­_
=
B _LTDC
zamos estudiando dos ejeH; B: de conv
;
R
eicher y
S
K
j
KB
S
DC
e si tiene distribuci
=
in
nitamente
UT;=TL KUT¹
mul
a libre entre
N ±
° b 9
A
R
de
@
`
mic P culo su trans^BPH K
K
S es
1
S (z) = p :
z
Mientras ­_
A
«
DC
de la PrB; osici
@
E9M9E
la tran:^BPH K
S (z) =
Entonces la
UP KC:^
ormada S de la convoluL
:` «
usando
«
oF98dp
la
UP KC:^
ormada de
K_L
<
TDC
Poisson libre es
multi; licativa libre es
1
:
z(z + 1)
hy G de la medida de ;PB babilidad _ KLTDC
la ec
z 2 G4
DC
S de con distribuci
1
:
z+1
S (z) = p
K
zG + 1 = 0:
82
: KUT:^
ace
TDC
Esta ecu KL
=
TDC
Finalmente de la ecu KL
oE9dp
1
tenemos ­_
A
@
K
cumulante libre
C (z) =
TDC
ideremos ahora la convoluL
DC
con distribuci
S
=
z
p
1 4z 2
:
2z 2
1
TDC
multi; licativa entre con distrib_L
Poisson libre trasladada ; or
La Poisson libre trasladada ; or
p
1 4G(z)2
;
2G(z)2
1
C(G(z)) = zG(z) =
de donde se obtiene la trans^BPH K
es
p
1 4G(z)2
:
2G(z)2
1
zG(z) =
BC:
<
TDC
se ; uede ver como un cuadrática en zG cuya :B _L
19
@
tiene tran:^BPH K
1++
p
Poisson libre y
K
S
z 2 + 2z + 2z + 1
2z
2 + 2
;
UT
en ; KP cular ; KP a = 1 tenemos
S =
Entonces la
UP KC:^
S1
z+
=
TDC
ormada S de la convoluL
S =
@
de donde la trans^BPH K
K
de
K_L
<
p
z 2 + 4z
:
2z
multi; licativa libre es
p
z + z 2 + 4z
;
2z(z + 1)
hy de la medida de
z 2 G4 + z 2 G3
zG2
dE
;PB¬ K¬T=T
dad zG + 1 = 0:
: KUT:^
DC
ace la ecuaci
TDC
Esta ecu KL
tambin n se ; uede ver como un cuadrática en zG, obteniendo en este caso
C (z) =
De las consideraciones anteriores se
A
H;
ej
n:
los a trav
^BP
de su trans
1+z
;_
p
1 2z
2(z + z 2 )
3z 3
:
ede demostrar la divisibilidad in
nita de estos dos
mada cumulante libre 9
A
in embargo, en el
R
UB
baremos ­_ si es una medida de ; robabilidad en R con :B; orte com; KL
DC
con distribuci
eorema
]
N
9b98
; BJ
r
y es una medida
Poisson Libre (1), entonces es in
nitamente divisible en el sentido libre 9
N
d
a t o
no
e
om inatorio
El objetivo ; rinci; al de este
NN± ; KP
°
L K;`
DC
a estudiar la convoluci
L K;`
R 9 Además, este
tulo es
A A
;P :
ntar el en^B­ ue combinatorio de
y divisibilidad in
nita libre de medidas de
tulo eª; lica de manera más
KH;
A TD
ª
lia la con
suma de variables aleatorias CBJLBC mutativas libres de
nida en le
Para leer este c
sobre ; articiones
estar
^ KHT=T
=
K;`U_ B
­_
e no se cruzan
­_
se
;P
;n
En todo este
L K;`
tulo se s_; ondrá
­_
A
ndice
9
Es
TH;
dad en
9
:`
y la
89
CBU KLTDC
ndice
N ±«
° E
de combinatoria
mismo, se
KLTDC
A
A
P ­_TAP
con sucesiones
>9
las medidas de
todos sus momentos
nitos ¯ lo cual se c_H; le, en
LBH; KLUB
<
=
K;`U_ B
A=
;n
;PB¬ K¬T=T
n entre estos conce
arizado con los ; roblemas de momentos de medidas y su r
ositivas de
nidas, lo cual se resume en el
;
esentan en el
eicher
;UB:
es necesario conocer las herramientas y la
A
;
R
;
;
robabilidad consideradas tienen
articular, si las medidas tienen sB; orte
A
A
ortante reiterar ­_ contrario a lo ­_ sucede en divisibilidad in
nita clásica
TDC
en donde una distrib_L
libre varias distribuciones
UB «
no trivial no ; uede tener :B; orte com; KL
TH;
C¯
ortantes si lo tiene
en divisibilidad in
nita
`
como hemos visto en el L K; tulo anteriBP 9
`
`
Los objetos ; rinci; ales de este L K; tulo son los cumulantes 9 A lo largo del L K; tulo mostramos
­_
«
E
A
A
los cumulantes libres des
H; ¾ KC
e
=
=T
A
B _LTDC
¬P
debido a ­ ue linealizan la conv
y se
el ; K; el de la tran:^ ormada cumulante libre del
A
;P :
A
H;
entan ej
A
;
9 R
K;`
tulo
resentan criterios en base a estos cumulantes
los, tanto nuevos como conocidB: 9
dI
<
m antes
ÊÉ
Ðÿ
ÿÏ
En este trabajo
en Lehner
i0 k
ni()
+ ?omentos
@
K B;U KHB:
DC
la de
nici
general de cumulantes de acuerdo a la
KªTBH KUT³ KLTDC
±
°EE 9
*% l
Ù-Ù-
Dada una noción de independencia en un espacio de probabilidad no-conmutativo
(A, ) decimos que una sucesión de aplicaciones tn : A ! C, que manda a ! tn (a), n = 1; 2; 3:::
se llama sucesión de cumulantes (con respecto a la independencia) si cumple las siguientes tres propiedades
a) tn (a) es un polinomio en los primeros n momentos de a con término mayor mn (a). Esto
asegura que se pueden recuperar los momentos en términos de los cumulantes.
b) Homogeneidad de grado n: tn (a) = n tn (a):
c) Aditividad con respecto a la independencia: si a y b son variables aleatorias independientes, entonces tn (a + b) = tn (a) + tn (b).
A TD
:
C
Dado la ; rB; iedad a p se tiene ­_ e una suc
TC^ PH KLTDC ­
o
se
LBH;
ÓÒÓÒ
A TD
:
C
ue la suc
UB:
de momen
9
Las ;PB;
de cumulantes tiene
TA@
A
A
ª KLU KH C
te la misma
A
ades b p y L p nos dicen ­_ los cumulantes
ortan bieC 9
mûúantes
øû
BHB ;PT
<
=
mer ejem; B
;
;
sicos
øú×
resentamos de
^BP
UA:
ma breve el caso más conocido de cumulan
;
´
los
;
cumulantes ara la inde endencia clásica de variables aleatorias, estudiados inicialmente or
¸TA
]9 ]
le en
A
8dd\9 S
A
cordemos ­_ los momentos de una medida en R se de
nen como
n
mn () = E(X ) =
Z1
xn (dx):
1
Estas constantes sirven en algunas ocasiones ; ara de
nir una medida 9
TC
R
embargo, otras
constantes asociadas a una medida, conocidas como los cumulantes clásicos, tienen ;PB; iedades
D
más Ø tiles desde el ; unto te P ico
LBH
o
T
A
H;
binator B p« ; or ej
lo, el segundo cumulante clásico es
UB:T:
la varianza y el cuarto cumulante clásico está asociado a la cur
De
namos entonces
; KP K
9
cada n 2 N, el cumulante clásico cn como la nJn sima derivada
db
A
¹
o
aluada en
cp
de Cx (t) = log c
X (t), de
nida en el
log b(t) =
Esto es
exp(c1 t +
de donde se ;_ eden derivar
; K²TC K«
N«
8\
<
1
X
cn
n=1
=
K;`U_ B
n!
: Es decir,
8
tn :
c2 2
cn
m2 2
t + ::: + tn ::) = 1 + m1 t +
t + :::;
2!
n!
2!
A
A
ª;P :
iones ; KP K los momentos en
UnPHTCB:
N
o 98p
¹
o
de los cumulantes
er
±
«
889EM °E\ p
Ejercicio
mn =
X
Q
2P (n) V 2
N
o 9Fp
cjV j
donde P (n) denota el conjunto de todas las ; KP ticiones de f1; 2; :::; ng 9 Los ; rimeros momentos
K:`
se ven
N
o 9Ep
m1 = c1
m2 = c2 + c21
m3 = c3 + 3c2 c1 + c31
N N
o 9 p
m4 = c4 + 4c3 c1 + 3c22 + 6c2 c21 + c41
m5 = c5 + 5c4 c1 + 10c3 c2 + 10c3 c1 2 + 15c22 c1 + 10c2 c31 + c51 :
Además, usando el
A
A
ª;P : DC ; KP K
i
A
P:TDC
eorema de Inv
]
de M
¬T_:
:B¬P
o
A
los cumulantes en tn rminos de los momentos,
cn =
X
( 1)k
1
(k
1)!
Q
V 2
2P (n)
P (n) p
¹
o
;_
ede darse la siguiente
TD
er subsecL n
9E98p
N
o 9Ip
mjV j
A
donde ; KP K cada 2 P (n), k denota el nØH ero de blo­_ s de :
A²ØC
Es ^ ácil ver ­ ue los cumulantes clásicos son de hecho cumulantes s
D
N
Las condiciones a p y b p se siguen directamente de la ^ rmula o
= f[1; 2; :::; n]g
K;
9Ip´
T TDC N
la De
C L
A
K
p
se sigue de ­_ la ; KP
orta con el sumando mn y b p se sigue de la homogeneidad de la
dM
98989
UTLTDC
^_
DC
nci
Q
p() =
V 2
mjV j
; KP K
cada 9 Finalmente c p es consecuencia de la linealidad de la derivada y
TD
b linealiza la convoluL n L
del hecho de ue log øû
('1'/6%
/)530j
tes
cumulantes a
4r6()*% l
Ù-Ù-
9
=@
BC K
;
S
R
(kn ); introducidos ; or
similar a los cumulantes clásicB: 9
; KPU
=? T
: LK
!ires
mûúantes
ÓÒÓô
Los
­
TC
R
eicher en
embargo, necesitamos
;PT
N ±«
° E
mero
A U
ª
se de
nen de manera
T TDC
ender la de
C L
de
iciones ; ara ; oder entender la combinatoria detrás de ellB: 9
Sea A un álgebra unitaria y sea : A ! C una funcional lineal unitaria.
Dada una sucesión de funcionales multilineales (pn )n2N en A,
pn
An ! C;
:
(a1 ; :::; an ) 7 ! p [a1 ; :::; an ]
extendemos esta sucesión a una familia (p )n2N;2N C(n) de funcionales multilineales a través
de la formula
p [a1 ; :::; an ] :=
Y
p(V )[a1 ; :::; as ]
para a1 ; :::; an 2 A
V 2
donde
N
o 9bp
p(V )[a1 ; :::; as ] := ps (ai1 ; :::; ais )
para V = fi1 ; i2 :::; is g y i1 < i2 ::: < is :
La ^ KH ilia (p )n2N;2N C(n) se llama la
DC
determinada ; or la sucesi
T TDC
la de
n L
; KPUT
la
­_
A
emos
A
­_
/r )
m'
/)(6r)g
a de
usamos dos
@T
^
X'%()4%6/0j
en N C(n)
T;
erente t os de ; aPnCtesis en
A
y ­_ pn (a1 ; :::; an ) = p1n [a1 ; :::; an ] ; KP K toda n 1 y ; ara todas a1 ; :::; an o1n es
DC ­_A :D=
ci
A
T³ KLTDC
Ù-ÙV
T
o tiene un blo­_ p: La mult ;
tenemos una ^ actor
4r6()*% l
(pn )n2N 9
GBU
X61)/)6
=T T@ @
L
K
de la
^ KHT=T
a (p )n2N;2N C(n) signi
ca
A
de acuerdo a la estructura en blo­_ s de N C(n) 9
Sea A un álgebra unitaria y sea :A! C una funcional lineal unitaria. De-
namos las funcionales multilineales ( n )n2N en A a través de la fórmula
n (a1 ; :::; an ) := (a1 an ).
88
Extendemos esta notación para las correspondientes funcionales multiplicativas en las particiones que no se cruzan a través de la formula
[a1 ; :::; an ] :=
Y
(V )[a1 ; :::; an ] para a1 ; :::; an 2 A
V 2
donde (V )[a1 ; :::; as ] se de
ne como en (4.6).
A
P:TDC
Ahora ; odemos de
nir los cumulantes libres ; or medio de la inv
i0 k
ni()
*% l
Ù-ÙV
de
<
¬T_:
9
Sea (A; ) un espacio de probabilidad no-conmutativo. Los correspondientes
cumulantes libres (k )2N C(n) son, para cada n 2 N , 2 N C(n); funciones multilineales
k
An ! C;
:
(a1 ; :::; an ) 7 ! k [a1 ; :::; an ]
donde
k [a1 ; :::; an ] :=
X
[a1 ; :::; an ](; );
2N C(n)
y es la función de Möbius en N C(n), (ver A.3.2).
T
TDC
Debido a la ^ KL tBP ³ KL
; KP K
234
DCTL K
can
DPH
en intervalos de N C(n) se obtienen ^
ulas más sencillas
los cumulantes libres 9
osi
()*% l
Ù-Ù-
La aplicación 7 ! k es una familia multiplicativa de funcionales, es
decir
k [a1 ; :::; an ] :=
Y
k(V )[a1 ; :::; an ]:
V 2
Más aún, la De
nición 4.1.2 es equivalente a los siguientes enunciados.
i) 7 ! k es una familia multiplicativa de funcionales y para todo n 2 N y todos los
a1 ; :::; an 2 A se cumple que
k (a1 ; :::; an ) =
X
2N C(n)
d\
[a1 ; :::; an ](; 1n ):
N
o 9Mp
ii) 7 ! k es una familia multiplicativa de funcionales y para todo n 2 N y todos los
a1 ; :::; an 2 A se cumple que
X
(a1 ; :::; an ) =
N
o 9dp
k [a1 ; :::; an ]:
2N C(n)
A
L
S
A
`U
ordemos del <a; ulo 8 ­_ cuando trabajamos con variables aleatorias CBJL onmutativas,
T
=
A
C
estamos interesados ; rinL ; K H
TDC
te en los momentos y su distribuL
9
UAPA
J
Ahora estamos in
sados en los cumulantes libres de variables aleatorias CBJL onmutativK: 9
4r6()*% l
e
Ù-Ù
Sean (ai )i2I variables aleatorias en una espacio de probabilidad no-conmutativo
(A; ) y sean (kn )n2N las funcionales de cumulantes libre correspondientes.
a) Los cumulantes libres de (ai )i2I son todas las expresiones de la forma kn (ai(1) ; :::; ai(n) )
para n 2 N y i(1); :::; i(n) 2 I.
b)Si (A; ) es un -espacio de probabilidad, entonces los -cumulantes libres de (ai )i2I
son los cumulantes de (ai ; ai )i2I .
c) Si sólo tenemos una variable aleatoria no-conmutativa a usamos la notación kna :=
kn (a; a; :::; a):
d) Cuando la medida de probabilidad es la -distribución de a decimos que sus cumulantes
son (kn )n2N := kna .
T=T
Entonces si (kn )n2N y (mn )n2N son los cumulantes y momentos de la medida de ;PB¬ K¬ dad
D
, llegamos a una ^ P mula análoga a
N
o 9Fp
entre los momentos mn y los cumulantes libres kn
mn =
X
N
o 9\p
k
2N C(n)
donde ! k es la eª teC:
TDC
multi; licativa de los cumulantes a ; articiones ­ ue no se cruzan,
es decir
; KP K
k := kjV1 j kjV1 j
?
T
Podemos calcular ^ L ilmente los ;P H
ogo libre a
A
PB
= fV1 ; :::; Vr g 2 N C(n) 9
D
s tn rminos usando la ^ P mula
N
o 9Ep
\c
N
o 9\p
, obteniendo el
=
KC ? J
m1 = k1
m2 = k2 + k12
m3 = k3 + 3k2 k1 + k13
m4 = k4 + 4k3 k1 + 2k22 + 6k2 k12 + k14
m5 = k5 + 5k4 k1 + 5k2 k3 + 10k3 k 2 + 10k22 k1 + 10k2 k 3 + k15 :
DC
Además, usando la inversi
obtener
A
=
A
ª; `LTU KH C
<
¬T_
de
A=
P
KLTD
te una
A
s en la látiz de las ; KP ticiones ­_ no se cruzan ; odemos
N
o 9Ip
n análoga a
entre los cumulantes libres kn y los
HBJ
mentos mn 9 Es decir,
X
kn =
Q
2N C(n) V 2
GDUA:A ­
;
=A
H
TD
ue calculamos la ^ unc n de
ento de
·P
<
¬T_:
eras de K() como y sn = (
Ø
Observemos ue la nica
@T
^
N
o 98cp
sjU j 9
U 2K()
(; 1n ) en la
A
­
Q
mjV j
1)n Cn
¹
o
^DP
mula
N
o 9Mp
TDC
er subseLL
erencia entre las relaciones
N
o 9Fp
y
en
Un
rminos del
LBHJ
A 9E9Fp9
N
o 9\p
es ­ ue la ; rimera suma
U
es sobre todas las ; articiones, mientras ­_ e la segunda es sobre las ; KP iciones ­ ue no se cruzan
; KP K
N C(n) 9 Además, como P (n) = N C(n)
Esto
A
=T
ª;
ca de alguna manera ; or
­_n
en el
n = 1; 2 y 3 se tiene ­ ue ci = ki i = 1; 2; 3 9
K;`U
<
ulo
A
;
e Y se ven iguales ; ara dos variables aleatorias ind
CBJ
DC
conmutativas en relaci
ÓÒÓ
eúaciün entre
mûúantes
DC ;PA:A
!ires
÷
­
meros momentos
endientes y
; KP K
mûúantes
øû
HTª
tos de X
dos variables aleatorias
sicos
øú×
D
ntamos una ^ rmula ; ara los cumulantes libres en
A
=
H; B
de los cumulantes clásicB: 9 Este es muy buen ej
;
;PT
libre 9
øû
Para terminar con esta secci
los
8
la látiz de articiones ue no se cruzan
o
;n
ndice
N
o 9dp
m =
X
TD
p9
2N C(n)
\8
A
P:TDC
de como se usa la inv
de
UnPHTCB:
<
Utilizamos una vers n más de la
k :
¬
ius en
^DPH
ula
W
eorema
l
e
Ù-Ù
Sea (mn ) una sucesión de momentos con cumulantes clásicos cn . Entonces
los cumulantes libres kn de mn están dados por la fórmula
X
kn =
N
o 988p
c
2conn
n
Q
:= f 2 P (n) : está conectadag y c =
donde conn
n
i014j
más chica
cruz
KC
tr6()
­_
A
*%
V 2
cjV j :
UTLTDC
Para 2 n denotamos ; or a su cerradura en N C(n), esto es la ; ar
­_
no se cruza tal
A
9 Esto es tomar y unir todos los blo­_
A
: ­
ue se
9
Entonces ; ara cada 2 N C(n) de
nimos
e
k =
/
A A
_ P HB:
ver la ; reimagen de
X
c :
2P (n)
=
=
L_ K ­_TAP ; PUTLTD
a
n 2 N C(n) bajo la
decir, ­ uienes son las ; articiones 2 P tales ­ ue = : Pero
es la
AT
A
;P H K² C
; KP K
B;
TD
erac n cerradura, es
esto basta con ver ­ uien
=UT =T
de = ff1; 2; 3; :::; ngg ya ­ ue claramente e
k es m_ ; cativK9 Para ­ ue la
UTLTDC
cerradura de una ; KP
sea = ff1; 2; 3; :::; ngg ­_
A A
P H
os ­ ue de hecho sea una ; aP
lo ­ ue se traduce en
conectada, es decir ­ ue 2 conn
n
e
kn := e
k1n =
X
k :
2conn
n
En general ; KP a 2 N C(n) tenemos
m =
X
c
2P (n)
=
P
P
c
2N C(n) 2P (n)
=
=
P
2N C(n)
A
P:TDC
de donde ; or la Inv
de
<
¬T_:
e
k
A
se tiene ­_ e
k = k y se sigue el resultado 9
\F
UTLTD
n
on o ci>n
Êý
O
Ð
K:U K
Ïÿ
+
m antes i res
Ðÿ
ÿÏ
A
TDC AªT
ahora no hemos visto ­_ rel KL
Ï Î
=
TDC
ste entre los cumulantes libres y la convB _L
A
libre
DC N
9 Primero ­_ remos mostrar ­ ue los cumulantes libres son cumulantes se²ØC la De
nici
; KP K
DC
9898
DC
de inde; endencia libre 9 Las condiciones a p y b p se siguen de la de
nici
la relaci
DC L
de cumulantes libres 9 La condici
variables aleatorias
CBJL
p
UA
es consecuencia de lo siguien
onmutativas son
nde
T
;
endiente: se
;_
A
´
el hecho de
­_
A
dos
de describir de una manera
TD
muy sencilla, como se muestra en el siguiente resultado, cuya demostrac n ;_ ede verse en
eorema
]
W
°E\
«
±
8898b
eorema
l
Sea (A, ) un C -espacio de probabilidad no-conmutativo y sean (kn )n2N los
ÙVÙ-
cumulantes libres correspondientes. Consideremos subálgebras unitarias (Ai )i2I de A. Entonces
los siguientes enunciados son equivalentes.
i) (Ai )i2I están en relación libre.
ii) Para todo n 2 y para todo aj 2 Ai(j) , (j = 1; :::; n) con i(1); :::; i(n) 2 I se tiene que
kn (a1 ; :::; an ) = 0 siempre que existen 1 l; k n con i(l) 6= i(k).
BHB
<
A
T TDC N
De
n L
434/63)
f
DC L
consecuencia directa se tiene ­_ los cumulantes libres c_H; len la condici
o
9898
; KP
l
ÙVÙV
a la P
A=
=T
A
KLTDC
¬P
p
de la
9
Sean a y b variables aleatorias libres en algún espacio de probabilidad no-
conmutativo. Entonces se tiene
kna+b = kna + knb
i014j
tr6()
*%
Del ]eorema
para todo n 1.
A
N
9F98
se tiene ­ ue todos los cumulantes ­_ tienen ambas a y
b como argumentos deben anularse y ; or lo tanto
kna+b = kn (a + b; :::; a + b)
= kn (a; :::; a) + kn (b; :::; b)
= kna + knb 9
\E
=
KP
<
amente todos los cumulantes libres
A T UA
C
ª :
`
si y solo s todos los momentos eª isteC 9
Además, ; idiendo ciertas restricciones a los momentos,
;
tiene or
; KPU
A
K
p
TLTD
en la De
n
­
n
N
9898
_H;
el hecho de ue se c
­_
A
­_
A
serán claras más adelante, se
@
TDC
los cumulantes de
nen la J istribuL
DC N
la c p en la De
nici
9898
nos dice
­_
A
dados a y b en
@
TDC
libre ; odemos encontrar los cumulantes de a + b y ; or lo tanto su J istribuL
de alguna ^ orma
­_
A
A `
P
se deb
=
TDC
a de ; oderse entender la convB _L
@
Entonces los cumulantes libres y la
LBH;
W
^_
DC
nci
orta bien como vemos en el siguiente
eorema
l
e
ÙVÙ
P
De
N
o 98Fp
TD
UABPAH K
9
tenemos
Ca (z) + Cb (z) =
P
kna z n +
P
knb z n
P a
(kn + knb )z n
P a+b n
=
kn z
=
= Ca+b (z)
lo ­ ue demuestra
K
o p9
TDC
La demostr KL
de
n
Esto nos dice
Ca tienen la misma in^BP mac n, además Ca se
La transformada Ca cumple con las siguientes condiciones.
*%
KLTD
N
o 98Fp
b) Cam (z) = Cm (az)
tr6()
A=
K
kna z n :
a) Ca (z) + Cb (z) = Ca+b (z)
i014j
9
P
libre Ø nicamente con los
cumulantes libres, cuando estos eª isten 9 Ahora de
namos la trans^BPH K
Ca (z) =
de a 9 Por otra
¬
o p
Cam (z) =
se sigue la misma ^ orma
P
knam z n
P n m n
(a kn z )
P m
=
kn (az)n
=
= Cm (az):
N
\
TDC ­_A
Entonces llegamos a una ^ unL
LBH;
<
tiene toda la
TC^
orH KL
TDC
del e:; ectro y además se
orta bieC con re:; ecto a la inde; endencia y a la di
= U
K KLTDC
=
K;`U_ B:
2y
E
vimos
eorema
l
l
ÙVÙ
A
@
^BPH K K
¬TnC
la trans
A
=T
ª; L K
El siguiente teorema
W
­_
la
P
A=
KLTDC
cumulante libre tam
@
^BPH K K
entre Ca y la trans
Por otra
9
H;
cu
=A
estas
;
arte en los
;PB;TA@
ades 9
cumulante libre C (z) 9
Sean (mn (a))n2N y (kna )n2N los momentos y cumulantes libres de alguna vari-
able aleatoria y consideremos las series formales de potencias
Ma (z) = 1 +
P
mn (a)z n
y
P
Ca (z) = 1 +
Entonces
kna z n .
N
o 98Ep
Ma (z) = Ca [zMa (z)]:
i014j
tr6()
gn (1n ) := kn la
^_
DC
nci
*%
T TD
De la de
n L n de cumulantes se tiene
A=
P
KLTDC
A
N
­_
o 98cp
DC
zeta de la De
nici
ivale a
­_
A
f = g&
DC
A 9E9Fp9 Por la inversi
de
=
o
­_
A
;
oniendo fn (1n ) := mn y
TDC
a convoluL
<
¬
de la ^ unciones g y la
DC
ius en N C(n), se tiene la relaci
N
o 98Ep9
La
<
K_L
A=
P
KLTDC
N
o 98Ep
hy dada en el
<
A
­_T¹
es
DC
alente a la de
nici
=
K;`U_ B
A
@
TDC
oiculescu de la siguiente
P
kn ()z n =
N
oF98 p
Esto nos dice
TC^ PH KLTDC ­
o
­_
K
de
P
N
N
o 98 p
kna z n = Ca (z)
N
N
;
o 98 p
y
odemos ver a la
UP KC:^
ormada R de
^BPH K
R =
A
@
de la trans^BPH K
de a 9
En este caso de las ecuaciones
a
UnPHTCB:
2, ;_ s G (z) = z1 M ( z1 ) 9 Entonces
C (z) =
donde es la J istribuL
de C en
LTDC
en convolu
ue trabajar con la
UP KC:^
1
P
kn+1 ()z n :
N
o 98Ip
n=0
libre, trabajar con los cumulante libres da la misma
ormada cumulante libre 9
\I
En las siguientes secciones veremos como se ve la biyeLL
Un
decir ­ ue una medida sea in
nitamente divisible libre en
a Ci+ecci>n 0.a
Ê
Una manera de entender , en
en el c
A
R
K;`U
­_TAP
A
rminos de los cumulantes libres 9
DC
de los cumulantes, la biyecci
ulo anterior ue observada or Anshelevich
;PB¬ K¬
A
ÿÏ
;
a una medida de
de >ercoviciJ Pata y ­_
m antes
Ðÿ
UnPHTCB:
^
TDC
A
PLB¹TLTJ
de >
ata descrita
Q
±
°E 9
ilidad in
nitamente divisible en el sentido clásico, con cumuJ
A
TD
A
T T
T
TDC
lantes clásicos n 9 Entonces la biyecL n de > rcov L J Qata ;_ de ser de
nida como la K; l L KL
­_
A
=
manda a a la medida de ;PB¬ K¬ ilidad v en R con cumulantes libres n 9 En otra ; K K¬P Ks
los cumulantes libres () son los cumulantes clásicos de 9 Esto es
cn () = kn (()):
Usando las eª; resiones
N
« N
o 988p o 98cp
y
N
o 9Ip
TDC
de la seLL
anterior, lo anterior se traduce en
la siguientes relacione: ´
kn (()) =
X
( 1)k
1
(k
1)!
Q
v2V
V2P (n)
X
2conn
n
mjvj () =
X
k ()
Q
V2N C(n) v2V
mjvj (())
Q
SjU j :
U 2K(U)
Esto ; ermite decidir si una variable aleatoria es o no in
nitamente divisible en el sentido libre
veri
cando si sus cumulantes libres son cumulantes clásicos de una medida ­ ue es in
nitamente
divisible en el sentido clásico y viceversa 9
En Rteutel y
a
an
orn
O
N ±
° M
se consideran algunas condiciones necesarias ; ara los cumuJ
lantes clásicos de una medida in
nitamente divisible, estos criterios son válidos ; or s_; uesto
; KP K
TDC
los cumulantes libre: 9 A contin_ KL
cumulantes clásicos ­_
A
H;
Por ej
medida es
234
osi
UT;
A
;_
A
=
H; B:
damos ej
eden ser traducidas a los cumulantes libre: 9
lo, el siguiente resultado es bien conocido
o Poisson si su medida de
()*% l e
Ù Ù-
de restricciones conocidas ; ara los
n¹¶
µ
N
o° M
,
; K²
±
8d8 p9
A
L
S
ordamos ­ ue una
esta concentrada en un ; untB 9
Los cumulantes clásicos c2 , c3 y c4 de una distribución in
nitamente di\b
visible en el sentido clásico con cuarto momento
nito satisfacen la ecuación
c2 c4 c23
con igualdad si y sólo si es Gaussiana o de tipo Poisson.
TDC
La biyeLL
la misma P
434/63)
f
A=
KLTDC ;
l e
Ù Ù-
o
A
>
de
A
T T
rcov L J Qata nos dice ­ ue los cumulantes k2 , k3 y k4 deben de satis^ KL r
T
ara una medida en ID(), obteniendo el siguiente corolar B 9
Los cumulantes libres k2 , k3 y k4 de una distribución in
nitamente divisible
en el sentido libre con cuarto momento
nito satisfacen la ecuación
k2 k4 k32
con igualdad si y sólo si tiene distribución de semicírculo o de tipo Poisson libre.
Otro criterio Ø
UT=
TDC
se obtiene de la siguiente observKL
i es in
nitamente divisible en el
´ R
sentido clásico entonces c2m 0:
A
L
S
A
ordemos ­_ la
('3r4j)j
de una medida v se de
ne como
Kur(v) =
Una consecuencia de ­ ue c2m 0 es
­_
m4 (v)
(m2 (v))2
A
3:
TDC
si una distrib_L
nitamente divisible en el sentido clásico, entonces n sta es
_ KLTDC
K
no negativ
T
in
nita l ¬P
234
Obtenemos a contin
9
A
9
=A U
; BLØ
*%
9
Si es una medida in
nitamente divisible en el sentido libre, entonces la
curtosis de es mayor que
tr6()
J
un resultado análogo con res; ecto a la divisibilidad
U_P K
()*% l e
Ù ÙV
TC
rtica, es decir con curtosis
Este resultado, aun­ ue sencillo, no ^ ue encontrado en la liter K
osi
i014j
con cuarto momento es
_;
R
1.
ongamos
­_
TDC
e = (v) 9 La curtosis de una distrib_L
divisible en el sentido clásico debe ser mayor
­_
A
cero, esto viene del hecho de
cumulante debe ser ; ositivB 9 Esto es,
k4 ()
c4 (v)
m4 (v)
2 =
2 =
(k2 ())
(c2 (v))
(m2 (v))2
\M
3 = Kur(v) 0:
in
nitamente
­_
A
el cuarto
<
=
=
@
K L_ KC
o la curtosis de c4 ()
m4 () 3(m2 ())2 4m3 ()m1 ()
=
2
(m2 ())2
(c2 )()2
2
m4 () 2(m2 ())
4m3 ()m1 () m1 ()
(m2 ())2
Kur() =
=
m1 ()
1=
k4 ()
(k22 ())2
1
se tiene
Kur() TDC ;
En la siguiente secL
N
o 98bp
1:
; KP K ­_
resentamos un criterio
e una medida sea J
TC¿
nitamente
TDC
divisible en tn rminos de sus cumulantes libre: 9 De las consideraciones hechas en esta seLL
se tiene
­_
A
T
este criterio tam¬ nC es válido
; KP K
los cumulantes clásicos de una medida ?J
=A
in
nitamente divisib
Ê
9
m antes de
Ðÿ
ÿÏ
Es de intern s determinar en
el sentido libre en
UnPHTCB:
e+es nAnitamente @i isi es i res
ÎÏ
­_n
A
:
:
9 S
de los cumulantes libre
sucesiones ; ositivas de
nid K: 9
A
L
S
DC
se traduce ­ ue una distribuci
A TD
:
C
ordamos ­ ue una suc
r)g
r = 0; 1; 2; ::: y ; KP K todo z1 ; :::; zr 2 C se cuH;
r
X
i;j=0
=A
­
te semi ositiga
z1 ; :::; zr 2 C se cuH;
=A
­
&0 k
r
X
i;j=1
Observemos
­_
A
A TD
A
:
C : HTJ;
una suc
&0 k
adecuado es el de
nida si se tiene ­_
A
;
ara todo
ue
^BPH K
nida si se tiene
ue
a
UB
N
o 98Mp
zi zj ai+j 0;
en este caso escribimos fan g1
n=0 0(+): De igual
()4%6/10%
sea in
nitamente divisible en
A
ulta ­_ el conce;
(an )n0 es sem) osi
Î
­_
A
A TD
:
C
una suc
; KP K
(an )n0 se dice condi
todo r = 1; 2; ::: y
; KP K
todo
zi zj ai+j 0:
ositiva de
nida es en
\d
; KPUT
cular condicionalmente
A
: HTJ
;
ositiva de
nid K9
En el
;
K;n
ndice
>
«
se hace un resumen de los
A=
ositivas de
nidas y su P
KLTDC
DC
eorema
l l
Ù Ù-
=A
T
nL ; K
:
T
resultados sobre sucesiones seH J
con los ;PB blemas de momentos 9
El siguiente resultado es una versi
W
;PT
un ; oco más general del ]eorema
8E98b
en
±
°E\ 9
Sea una medida de probabilidad en R con cumulantes libres kn < CDn (n 1)!
para algunos C; D > 0: Entonces las siguientes enunciados son equivalentes:
i) La medida es in
nitamente divisible en el sentido libre.
ii) La transformada R de Voiculescu es de la forma
R (z) = k1 +
Z
z
1
xz
N
o 98dp
(dx)
donde tiene todos sus momentos.
iii) La sucesión de cumulantes libres es condicionalmente semi-positiva de
nida.
Más aún, se tienen las siguientes caracterizaciones para el soporte de la medida :
a) tiene soporte en [0; 1];si y sólo si fkn+3 g1
n=0 0(+)
b) tiene soporte acotado si y sólo si kn crece subexponencialmente.
c) tiene soporte en [ 1; 1] si y sólo si fkn+2
d) tiene soporte en [0; 1] si y sólo si fkn+2
fkn+3 g1
n=0 0(+)
i014j
tr6()
*%
Primero ; robaremos ­ ue
TT
o p
kn+4 g1
n=0 0(+)
kn+3 g1
n=0 0(+), fkn+3
TTT
o
p
y
son
A
­_T¹
alente: 9
kn+4 g1
n=0 0(+)
_;
R
ongamos ­ ue la
TD
suces n (kn+2 )n0 de cumulantes libres es de
nida ; ositiva, esto ­ uiere decir ; or el criterio de
O
KH
burger over ]eorema
«
>9F98
;nC
dice
kn+2 =
Z
>p
­_
A A T
ª
xn d(x)
ste una medida con momentos kn+2 ;
(n 0):
R
UT:^
Esta medida es ØC ica ya ­_ e los cumulantes libres : K
kn < CDn (n
1)!:
\\
@T TD
L
C
acen la con
A
ª;
de sub
onencialidad
Entonces R (z) de
N
o 98Ip
se ve de la siguiente ^BPH K
R (z) = k1 +
= k1 +
= k1 +
= k1 +
1
X
n=0
1
X
n=0
1
X
kn+2 z n+1
z
Z
xn d(x)
R
z
n=0
Z
1
R
n+1
n
Z
(xz)n d(x)
R
z
xz
d(x);
y claramente los ; K: os se ;_ eden revertir 9
TDC
Además, de la demostr KL
¬ «
o p o p
c y
@
o p
anterior y el
eorema
]
en los cumulantes libres de la medida >9F9E
se sigue
TH;=TL KC
A
­_
las condiciones
K «
o p
las condiciones sobre el :B; orte
de la medida 9
A
R
«
E9F9F
T
A
a una medida in
nitamente divisible en el sentido l ¬P
9
omo vimos en el
<
eorema
]
una medida es in
nitamente divisible si y solo si
(z) = +
TD
de donde ; or la ecuac n
N
oF98 p
Z
R
1 + zx
(dx);
z x
(z 2 C+ )
se tiene
Z
1 + ( z1 )x
1
R (z) = ( ) = +
(dx)
1
z
x
R z
Z
z+x
(dx)
= +
1
xz
Z
ZR
z
x
(dx) +
(dx)
= +
1
xz
1
xz
R
ZR
z
= k1 +
d(x);
1
xz
R
y nuevamente los ; K: os se ; ueden revertir 9
BHB
<
434/63)
f
corolario del teorema anterior obtenemos una eª ten:
o
l l
Ù ÙV
TDC
del
BPB
<
=
ario
N
9E989
Sea (ki )i>0 la sucesión de cumulantes libres de la medida in
nitamente
divisible. Entonces se cumplen las siguientes desigualdades para los cumulantes libres
8cc
a) k2m 0 con igualdad si y sólo si tiene distribución de semicírculo.
b) k2m + k2n 2km+n :
c) k2m k2n (km+n )2
i014j
tr6()
*%
Del inciso od p del teorema anterior si es in
nitamente divisible entonces
;
fkn+2 g1
n=0 0(+) de donde or el
KØC
;
, si k2m = 0
=
; KP K K ²ØC
eorema
]
>9F9F
or lo tanto la medida debe ser una distribu
en la
entaci
la misma ^ orma ­ ue
DC
A continuaci
su medida de
K
o p
A
si k2m 0,
es
T@n
A
HTL`P
de s
­_
A
de los incisos
A
o p
y
^
o p
kn = 0
culo, en otras
nticamente cerB 9 Las desigualdades en
en el ]eorema
; KP K
todo m: Más
; KP K
=
; K K¬P K: «
¬
o p
y
L
o p
n>2y
la medida
se siguen de
>9F9F9
damos algunas relaciones entre una medida in
nitamente divisible libre y
n¹¶
µ
9
osi
234
N
o 98dp
DC
­_
m > 1 entonces ; ara todo n 2 se tiene
LTDC
A
A
P ;P :
se tiene
()*% l l
Ù Ù-
Sea una medida de probabilidad in
nitamente divisible libre con todos
sus momentos, con función cumulante dada por
C (z) = k1 z +
Z
z2
(dx); (z 2 C).
1 xz
Entonces
a) La medida es simétrica si y sólo si la medida de es simétrica.
b) El soporte de es acotado si y sólo si el soporte de es acotado.
i014j
tr6()
*% K
p
U
Una medida con todos sus momentos y media cero es simn P ica cuando
sus momentos iH; ares son cerB 9
entonces los momentos
se tiene y observando
TH;
­_
A
_;
R
;PT
ongamos
TA
cual­_ r
m2n+1 =
; KPUTLTDC
X
Q
El regreso se sigue de la misma ^BPH K usando
=
:D B
es
:THnUPT
ca y tiene media cero,
de [2n + 1] tiene al menos un elemento
V2N C(n) v2V
A
p S
A
­_
ares de son cero 9 Esto es k2n+1 = 0, usando nuevamente
tiene
¬
mero
@
cordemos del A;nC ice A, ]eorema
kjvj =
X
N
o 9\p
TH; KP
se
0 = 0:
V2N C(n)
N
o 98cp9
N ­
>9F9
ue una medida tiene sB; orte acotado si y
A
ª;
si tiene todos sus momentos y estos crecen sub
8c8
UA
onencialmen
9
De esta
^BPH K«
su;BC²J
amos ­ ue el
:B;
obtiene
jmn j lo ­_
A
;P_
A
A T
ª
orte de es acotado, esto es
X
Q
V2N C(n) v2V
ba ­ ue el :B; orte de @
KLBU K B
9
ste D > 0 tal ­ ue kn < Dn : Usando
kjvj 2n
n
n+1
N
o 9\p
se
Dn 4n Dn
El regreso se sigue de la misma ^BPH K« sim;
=A
A
H
nte
necesitamos acotar kn
jkn j =
5j03g
*
aci n
l l e
Ù Ù
X
Q
V2N C(n) v2V
mjvj ()
Q
U 2K(V)
SjU j 4n Dn 4n 9
Observemos que las condiciones sobre el soporte no pueden ser aplicados
en probabilidad clásica ya que el número de particiones es n! que no es subexponencial.
5j03g
*
aci n
l l l
Ù Ù
De la prueba del teorema anterior y un argumento límite idéntico al uti-
lizado en Teorema 3.5.1 se sigue el inverso del Teorema 3.5.1.
2
Ê
oeAcientes de aco i
Ð
Î
Finalmente, ; resentamos un Ø ltimo criterio combinatorio
UnPHTCB:
de los co
cientes de aco
0k
5)
9
Este
A
C^
o­_
A
^
; KP K
la divisibilidad in
nita libre en
ue ;PB;_ esto ; or
È
ojciech
<
= U[
B
o:
[T
A
y ^_ anunciado en el evento "28th Conference on Quantum Probability and Related Topics", en
Guanajuato, en :
­_
A
A
;
tiembre del
LTBCD
nos ;PB; or
; KP K
TDC
Lo ; resentado en esta secL
es un resumen del material
el autor 9
La idea es encontrar una ^
sus momentos en
FccM9
UnPHTCB:
DPH
A
ula ­_ eª; resa los cumulantes libres de una medida con todos
de su coe
cientes de
KLB¬T
9
Esto ; ermite dar condiciones necesarias
A
divisibilidad in
nita libr
9
Los coe
cientes de Jacobi m = m () 0; m = m () 2 R; se de
nen a travn: de la
siguiente rec_P:
TDC
xPm (x) = Pm+1 (x) + m Pm (x) + m
8cF
1 Pm 1 (x);
donde P
A
P :;
1 (x)
TD
D
= 0; P0 (x) = 1 y (Pm )m0 es la suces n de ; olinomios m nicos ortogonales con
ecto a , es decir
Z
Pm (x)Pn (x)(dx) = 0
si m 6= n:
R
A
PK
Entonces ; odemos escribir la tran:^ ormada de <K_ chy de la medida de la siguiente man
G (z) =
'
A
ªT:U
de la
X*3
una
m'
/6
A=
P
KLTDC
Z
1
1
1
z
t
(dt) =
1
z
0
z
0
1
z
1
´
2
2
9
9
9
entre los momentos y los coe
cientes de Jacobi, sta se obtiene a travn:
, o
de Accardi
4
0
X
mn =
n
±
o °Fb p
Y
d(V;)
Y
d(V;)
v2;jvj=2
2N C1;2 (n) v2;jvj=1
@A
don
´
T
p
N C1;2 (n) : las ; articiones 2 N C(n) tales jV j 2 f1; 2g: ; KP K toda V 2 ii p d(V; ) : la ;PB^_ ndidad del blo­ ue V en :
Además, a
UnPHTCB:
;
artir de
N
o 9Fp
se
;_
A
de obtener la siguiente
^DPH
ula
;
ara los cumulantes en
de los coe
cientes de Jacobi
kn =
X
(;k)2N CL11;2 (n)
Y
w(V; k(V )):
V 2
De
nimos como (t); (t) a los coe
cientes de Jacobi de la ; otencia libre t ;
k(t ):
Entonces se ; ueden obtener las siguientes relaciones
8cE
N
o 98\p
0 (t) = t 0
0 (t) = t 0
1 (t) = 1
0 + t 0
1 (t) = 1
0 + t 0
1 ( 2 1 )
2 (t) = 1 (t)
1 (t)
(
1 ) 1 (t)
2 (t) = 1 (t) + 1 2
`
R
(1 t) 0 1 ( 2
1 (t)2
1 )2
:
es in
nitamente divisible entonces limt!0+ m (t) 0 ; KP K toda m 0:
434/63)
f
l
o
ÙtÙ-
Si es in
nitamente divisible en el sentido libre entonces 0 1 y
1 )2 ( 1
0 1 ( 2
434/63)
f
l
o
ÙtÙV
h
0 ) 1 ( 2
1 ) + ( 1
i
0 )2 :
Si a; b > 0; a 6= b y es una medida con transformada de Cauchy
G (z) =
1
z
a
0
z
b
1
z
2
z
a
2
3
..
.
entonces no es in
nitamente divisible
5
Ê
6
Ó
ÓÒ
em os
Ë
ÌÏ
istriûciones
|i
Ô
En las subsecciones
«
E9M9d
o
ö
E9M9I
eta
Ö
=
y
E9M9M
se dan ejem; B: de distribuciones
DC
in
nitamente divisibles en el sentido libre 9 En esta subsecci
DC N
encontrado en la PrB; osici
9E9F
;
T
=A
:
N
8c
9
UT;
AU
K
ob
A
­_
son
usamos el criterio de la curtosis
ara determinar otros valores de ; KP
estas distribuciones no son in
nitamente divis ¬
?HAUPB
s ; KP K los cuales
T
R
DC
beta B(; ), su curtosis de está dada ; or
es una distribuci
Kur() = 6
TD
La PrB; osic n
2 (2 1) + 2 ( + 1) 2( + 2)
:
( + + 2)( + + 3)
3
A
N
9E9F
TDC
nos dice ­_ si una distrib_L
entonces debe tener una curtosis mayor
A
­_
menos uno 9
N
o 9Fcp
B(; ) es in
nitamente divisible,
:` «
DC
de la ecuaci
N
o 9Fcp
se obtiene
la desigualdad
3 + 63 + 22 2
­_
A
T
UPT
es : Hn
TDC
trib_L
7 2
18 + 6 3 + 6 2 0
ca con res; ecto a y 9
­_
Observemos
B(3=2; 3=2),
72 + 62 + 3
­_
A
A
esta desigualdad se cuH;
son J
TC¿
nitamente divisibles
=A
; KP
A
: ²Ø
a los casos B(1=2; 3=2), B(3=2; 1=2) y
A
=
H; B
n el Ej
8, mientras
E9M9
­_
A
T
la d :J
B(1=2; 1=2) no la c_H; le 9
Esta desigualdad ; ermite encontrar ^ amilias de ^ unciones ­ ue no son in
nitamente divisible: 9
A
H;
Por ej
T¬=A
divis
­_
A
9
lo, tomando = obtenemos ­ ue si < 3=2, entonces B(; ) no es J
Por otra
; KP
B(1=2; ) no es J
=²ØC
te, si tomamos a
TC¿
nitamente
valor
jo de ; digamos = 1=2, se obtiene
TC¿
nitamente divisible si 2 [0:236; 0:913] 9 Por
A
:TH UP`
a, si tomamos
B(; 1=2), entonces no debe estar en el intervalo [0:236; 0:913] 9
De igual ^BP ma ­_
; KP K
TD
A
; KP K
la distribuc n beta
DC
la distribuci
:THnUPT
beta, ; odemos obtener una desigualdad como
TDC
`
c K9 As , sea una distrib_L
es in
nitamente divisible se tiene ­_
beta siHn trica BS(; ), si A
N
o 9F8p
( + 2)( + 3)( + )( + + 1) 2( + 1)( + + 2)( + + 3) 9
A
En ; articular, cuando = se tiene ­_ si > 7=25 entonces BS(; ) no es J
@T T T =A
¹ : ¬
9
En ; KP ticular los caso BS(3=2; 3=2) y BS(1=2; 1=2) no son J
omando = 1=2, se obtiene
]
A
L
S
­_
A
N
o 9Fcp
BS(1=2; ) no es J
TC¿
TC¿
nitamente
T T
nitamente di¹ : ¬
=A
9
TC ¿
nitamente divisible si < 1=2 9
ordemos ­_ e el caso BS(1=2; 3=2) si lo e: 9
Para el caso distribuciones B2 (; )
¬
o
eta ti; o
Fp
no se ; uede utilizar este criterio, ; ues
UB:
estas distribuciones no tienen curtosis de
nida, debido a la ^ alta de momen
8cI
9
6
Ó
otencias de emic7rc
Óô
AU
BH KHB:
S
÷
o
ûú
A
HTL`P
las ; otencias de s
a
ssiana
û
DC
culo introducidas en la Recci
si estas distribuciones son in
nitamente divisibles en el sentido
=
; KPLT K
a este ;PB¬
A
L
S
=A
HK
TH;
T `
del seH L P culo ( = 0) es J
( =
1); un
Es
@T
^
TH;
ortantes de esta
^ KHT=T K
ortante resaltar
­_
A
^PBC
tera ( =
3=2) no lo sBC 9
=`
HTU
¹
o
er
±
«
°8M p
la ley del s
e ( ! 1) es la distribuci
T KC K
aus:
Ç
ÇK_::
ian K: 1) desem;
; KP K
A¾
a el
culo o = 0 p en
Gaussiana clásic K9 El otro caso
en la convolu
mostramos, utilizando la PrB;B: L
A
HTL`P
DC
T TDC N
TDC
las distribuciones arcoseno
ya se ha mencionado, la ley arcoseno ( =
3=2) es la re:; ectiva
A continu KL
A
esta ^ amilia contiene a las distribuciones
BHB
<
libre y el caso
­_
nitamente divisible, mientras
el de la Gaussiana en convoluci
convolu
TD
TC¿
DC HBCDUBC K
LTDC
Damos una re:; uesta
9
ya han sido tratadB: 9 La distribuc n
1=2) y el caso ^PBCtera ( =
me ( =
erentes convolucione: 9
; K;
A
¬P
Es de intern s saber
y ; resentamos algunas conjeturas 9
ordemos ­ ue casos
T^BP
=T
F9b9I9
LTDC
9E9F
­
booleana over
TDC
ue la distrib_L
N ±
° I p9
de ; otencia
`
del semic rculo S no es in
nitamente divisible en el sentido libre cuando es negativK9
osi
234
()*% l
i014j
Ù
tr6()
Si < 0; entonces S no es in
nitamente divisibles.
Ù-
*%
T TDC
De la PrB;B: L
F9b9F
ES2k =
:` «
1 (2k)!
( + 2)
:
2k
2 (k)! ( + 2 + k)
calculando la curtosis de S obtenemos ´
1 (4)!
ES4
24 (2)!
3=
2
2
1
(ES )
( 22 (2)!
1!
;
tenemos ­ ue
(+2)
(+2+2)
(+2) 2
(+2+1) )
DC N
or lo ­ ue de la PrB; osici
Observemos ­_
3=
9E9F
3
( ( + 3))2
( + 2) ( + 4)
( + 2) ( + 4) <
obtenemos el resultadB 9
A
lim (
!1
3
( ( + 3))2
( + 2) ( + 4)
Esto viene del hecho de
mulante clásico de orden
­_
A
; KP
( + 2) ( + 4) ) = 0 9
c4 ! 0 cuando n ! 1 9 De hecho, cual­_ ier
mayor
­_
A
c2 tiende a
8cb
A
L PB
9
=`
HTU
Esto se sigue del
e de
L_J
eorema de
]
1;
A
Poincarn F9b98 ya ­_ fn (x ;
p
( 2) 1 exp( x2 =(2 2 )) 9
p
(n + 2)=2) converge, cuando n ! 1; a la densidad Gaussiana
TDC
Además la convergencia en distribuL
`
de las ; otencias de semic rculo a la Gaussiana nos
TDC
dice ­ ue si eª iste N > 0 tal ­_ e ; KP K todo > N la distrib_L
TDC
en el sentido libre, entonces la distribuL
A
H;
ej
TDC ­
lo de una distrib_L
La distribu
La distrib
a
-
4% 0r'3
f
a
V
LTDC ;
_LTDC
=
KC
;
otencias de se
en
UnPHTCB:
A
HTL`P
otencia de s
; KPUT
un nuevo
N
Gaussiana es in
nitamente divisible en el sentido libre o
^DP
mula
A
=
ª; `LTU K ; KP K
98Mp9
los cumulantes libres de las
TDC
culo, ; odemos calcular los cumulantes libres de la distribuL
Gaussiana
de ciertos ti; os de diagramas 9
UT
`
A @
P K:
;
`K
culo es in
nitamente divisible ; KP K 0 9
Un diagrama de cuerdas es un c P culo con 2n vnP ces o nodos y n
unidos
Esto daP
teamos las siguientes conjetur K: 9
A ; esar de ­ ue no hemos encontrado una
HTL`P
A `
P K
9
Gaussiana tambin n lo s
ue es in
nitamente divisible en ambos sentidos 9
De las observaciones anteriores ;
4% 0r'3
f
P S es in
nitamente divisible
or n cu
ciones ; or
A
; KP :
A
9
LTDC
Eª iste una biyec
A
; KP :
de nodos ajenos
clara entre los diagramas de 2n cuerdas y las
=
de f1; 2:::; 2ng 9 Esto nos dice, ; or ejeH; B « ­ ue el nØ mero de diagramas
A
A
A
; KP : ­_
UT
de cuerdas ­_ no se intersectan es igual al nØH ro de ; KP ciones ; or
Diremos ­ ue un diagrama de cuerdas está conectado si al
­_TU K
no se cruzan 9
`
r el c rculo original, la
gura
A
BC ª K
9
;
hecha or las cuerdas es c
UAP;PAU KLTDC
Lo anterior nos ; ermite dar una in
Gaussiana 9 Esto ^_ e observado en Lenher
osi
234
()*% l
Ù
ÙV
TD
de los cumulantes libres de la distribuc n
±
°EE 9 R
in embargo,
K­_`
damos una ;P_
A
¬
a
@T
^
erente 9
Sea una medida con distribución Gaussiana estándar. Entonces el n-
ésimo cumulante libre kn () es igual al número de diagramas de cuerdas conectados de 2n
nodos.
i014j
conocido
tr6()
¶ ^ ?LT=
o
*%
Denotemos In a los nØH eros de diagramas de cuerdas de 2n nodos, es bien
A
de demostr KP p ­_ In = (1)(3)(5):::(2n + 1) =
I(z) =
X
(2n)!
2n n! 9
A
R
a
In z n
n0
DC
la ^ unci
A
generatriz corres; ondiente a In 9 Además, denotemos ; or Dn al nØH ro de diagramas
8cM
conectados de 2n nodos y sea
X
D(z) =
Dn z n :
n0
Entonces de
±
°8b
A=
KLTDC
se tiene la r
N
o 9FFp
I(z) = D(zI(z)2 ):
Observemos
A
A
ª KLU KH C
libres
te la
N
o 98Ep9
­_
P
A=
A
TDC
si es una distrib_L
A
KLTDC ­_
se cuH;
=A
Gaussiana, entonces In = m2n () y
N
o 9FFp
es
entre la serie de momentos y la serie de cumulantes
`
As , tenemos ­ ue Dn no es otra cosa ­ ue el cumulante libre k2n ():
Más KØ n, de
±
«
°8b
UAP;PAU KLTDC
nos da una ^
esta in
DPH
ula recursiva ; ara los cumulantes libres
de k2n () = (n
nP1
1)
k2n
2i ()k2i ();
i=1
DC
donde es distribuci
6
Ó
A
R
Gaussiana 9
istriûciün
Ó
Ô
onenciaú
ö
DC Aª;
DC
onencial estándar con ^_ nci
a una distribuci
x
g(x) = e
Es bien conocido
=
L ?:TLB
9
­_
A
TD
la distribuc n
`UTL KHAC
Podemos calcular anal
@
de la tran:^BPH K
K
N
o 98p
; x > 0:
onencial es in
nitamente divisible en el sentido
U
te los momentos y los cumulantes clásicos de a ; KP ir
de Fourier
b(z) =
Por lo tanto,
y de
A
ª;
de densidad
@ (log b(z))
=
@z
DC
se tiene la relaci
La tran:^ ormada de
@ log( 1 1 z )
@z
1
1
z
=
:
@ ( log(1
@z
cr+1 = mr 9
K
<
uchy
C (z) =
Z
1
0
8cd
e x
dx
z x
z))
=
1
1
z
no tiene una ^ orma
« ;
,
°FF
I
TC
R
A
=
ª; `LTU K
, más allá de estar en
UnPHTCB:
de una Integral
'
ª;
onencial Ei; ver
±
9 dMb 9
T
TD
TD
embargo, tamb nC se ; uede obtener una descri;L n de la distribuc n eª; onencial desde
A
T
el eC^ o­_ combinator B 9
osi
234
()*% l
Ù
e
Ù
Sea una medida todos sus momentos. Entonces tiene cumulantes
clásicos cr () = (r
i014j
tr6()
/
A A
_ P HB:
*%
1)! si y solo si sus momentos son mn () = n!
_;
R
ongamos ­ ue tiene cumulantes clásicos cr = (r
mostrar entonces ­ ue
X
Q
2P (n) V 2
Utilizamos la
1)!:
UnL
(jV j
1)! = n!:
nica de contar de 2 ^ ormas una misma cosa 9 En este caso contaremos el nØH ero
de ; ermutaciones del conjunto f1; 2; 3; :::; ng 9 Es bien conocido ­_ e el nØH ero de ; ermutaciones
; KPU
del conjunto f1; 2; 3; :::; ng es n! 9 Por otra
UA
la siguien
;
; PUTLTDC «
Escojamos una a
´
U KLTDC L`L=TL K
ermu
del blo­_
A
9
e, una ^ orma de hacer una
; KPUT
dada esta
­_
El hecho de
A
DC
ci
con este
_U KLTDC
de las ; articiones viene del hecho de ­ ue toda ; erm
;
ermutaciones
=T
L`L L K:
ajenas de una y
A
hacer estB 9 Para cada blo­_ de
; PUTLTD
Lo ­ ue ; KP K cada a
la
; KPUT
=
:D B
U KH K¾B
n da V 2 (jV j
ciones obtenemos
X
V
A
³
una v
A T UA
C
ª :
9
;PB
(jvj
n es
cedimiento obtenemos cada una
A
se ;_ de escribir como ;PB ducto de
Ahora contemos cuantas
(jV j
U KLTD
ermu
, ; ara cada blo­ ue escojamos una
1)! ; ermutaciones
T^APAC
1)! ; ermutaciones d
Q
;
^BP
mas hay de
=T
@T A
L`L L K:
^
rentes 9
tes y sumando sobre todas
1)! = n! 9
V2P (n) v2V
=
KP
<
UB
amente los momentos determinan los cumulantes, ; or lo ­ ue el inverso es cier
;P_
Esta
A
LLTDC
ba nos ; ermite trabajar la biye
UAP;PAU KLTDC
lantes 9 De hecho, encontramos una in
LTD
momentos de la distribu
234
osi
()*% l
Ù
l
Ù
de
A
>
­_
o
rcov
ata a travn: de sus cumuJ
D
U_P K
e no se hall en la liter K
p
TD
A
ª;
n in
nitamente divisible libre asociada a la distribuc n
Sea una medida con cumulantes libres kr () = (r
8c\
9
TLT
JQ
; KP K
los
=
CLT K
one
9
1)! y sea (n) el
conjunto de permutaciones de n elementos. Los momentos
n
o
mn () = # s 2 (n) : 8a; b (8m; sm (a) < b ) =) (8l; a < sl (b))
N
o 9FEp
es decir, las permutaciones cuya factorización en permutaciones cíclicas no tiene intersecciones.
i014j
; KP K
^ KL
­_
tr6()
*%
Un argumento idnCtico al de la
este casB 9 La Ø nica
@T A A
^ P C
A
ba de la
;PB;B:TLTDC
anterior sirve
A
cia es ­_ ahora ­ ueremos contar solo las ; ermutaciones cuyas
` =T
tores L L cos no se intersecten, esto corres; onde a haber escogido inicialmente una ; KP
A
A
:
o
no se cruza
claro
­_
A
UTLTD
si tomamos dos blo­ ues de una ; aP
` =TL K: ­_
dar lugar a ; ermutaciones L L
TDC
Finalmente, observemos ­_
densidad de
A
;
Ó
nteröretaciün de úa
õ
TDC
TDC
en la R_ bseLL
E9M9\
x
e
; x > 0:
x
eta imytrica BS(1=2; 3=2)
Ö
UAP;PAU KLTDC
y damos una in
TD
T
U
de la distribuc n beta s Hn P ica BS(1=2; 3=2)
nos del ;PB ducto de las variables aleatorias estudiadas en las Rubsecciones
`
­_
@
variables aleatorias a = s2 y b = u + u en r
A
=
HTLTPL_ KP
y s es un elemento s
A
BH C
<
KLTDC
del
;PB
N
89 98
N
89 9F9
y
ducto ab de las
libre, donde u es un elemento
KKP
O
unitario
9
zamos con un resultado general sobre la combinatoria de los cumulantes libres de
DC
ductos de variables aleatorias libres, cuya demostraci
osi
TDC
e BS(1=2; 3=2) es la J istribuL
A=
234
como una medida con
continuamos con el estudio de ;PB ductos de variables aleatorias libres iniciado
Es; ec
camente, mostraremos
;PB
n¹¶
µ
n¹¶
µ
En esta subsecL
UnPHT
eª; onencial () es una medida con momentos
odemos reconocer la medida de
g(x) =
Ó
n ­ ue no se cruza van a
N
o 9FEp9
como en
6
UTLTDC
e no se intersectan p9
Entonces, si es una medida con distribuL
en
;P_
()*% l
Ù
Ùt
se ;_ ede encontrar en
« ;;
°E\
±
FFM 9
Sean a; b 2 (A; ) en relación libre con cumulantes libre ka y kb respecti-
vamente, entonces
knab =
P
2
b
:
ka kK()
88c
N
N
o 9F p
:` « ;
muestra
odemos obtener el siguiente resultado anunciado al
nal de la
­_
­_TAP
cual
UnC
A
@
otra variable b, es in
nitamente divisible en el sentido libre,
DC =T¬PA
en relaci
Este resultado
9
consideraciones en la ;
W
eorema
TDC
el ; roducto de una variable aleatoria a con J istribuL
l
Ù
Ù-
?²TC K
;_
A
de obtenerse a
;
_
R
bseLL
TDC
A
Poisson Libre (1) con
:TAH;
re
­_
A
PB;B:TLTDC
Q
artir de la
« ­_
E9M9\
a y b esJ
8 y las
8F9
±
« ;;
°E\
FFM 9
N
2 F en el libro
Sea una medida de probabilidad en R con soporte compacto y sea una
medida con distribución Poisson Libre (1). Entonces
i) es in
nitamente divisible en el sentido libre.
ii) Su transformada cumulante libre tiene la representación
C (z) =
i014j
tr6()
*%
A
R
Z R
1
1
zt
N
o 9FIp
1 (dt):
@
TDC
a a; b 2 (A; ), donde a tiene J istribuL
Poisson Libre (1); entonces ; ara n 1 se tiene
@
y b tiene J istribuL
TDC
knb = 1;
y sustituyendo en
N
N
o 9F p
obtenemos
knab =
D
De la ^ rmula
N
o 9Fp
tenemos
P
2
ka :
N
o 9Fbp
knab = mn (a) = mn ():
TD
Por la PrB; osic n
>9F98
«
A TD
:
C
la suc
HTJ;
(knab )1
n=0 es condicionalmente se
La P
A
A
;P :
DC
entaci
N
o 9FIp
C (z) =
Finalmente estamos en
T
H J;
(knab )1
ositiva de
nida 9 En
n=0 es se
;B:TLTDC N N
9 98
ositiva de
nida 9 De la Pro
;
se tiene
articular,
T
o p9
se obtiene de la siguiente ^ orma
X
knab z n
n=1
;B:TLTDC
=
X
n
mn ()z =
Z R
n=1
1
1
UAP;PAU KLTDC
de dar la in
D PA;
BS(1=2; 3=2) 9 Este resultado no se encontr
zt
1 (dt):
TDC
de la distribuL
ortado en la liter
888
KU_P K
9
beta
:THn
trica
osi
234
()*% l
Ù
Sea A0;1 la distribución arcoseno en ( 1; 1) y la distribución Poisson
Ù
Libre (1). Entonces A0;1 es la distribución beta simétrica BS(1=2; 3=2):
i014j
tr6()
TDC
*%
La demostr KL
TDC «
de ­ ue ; or construcL
se sigue trivialmente del teorema anterior y del hecho
DC
la distribuci
(0; 0; A0;1 ); como se ; rueba en la
_¬
R
:THnUPT
beta
TDC
seLL
` UTL K
ca BS(1=2; 3=2) tiene terna caracter :
E9M9M9
6 ; oisson !ire
enera iBada emic7rc
Ó
Ó
÷
ú
TDC
En esta subseLL
introducimos
o
ûú
^ KHT=T K
UK
J
s no encontradas en la literatura de medidas in
ni
T
mente divisibles en un sentido más general ­ ue el ; resentado en las secciones anter BP
es, las medidas
;
A
­_
obtenemos no son in
nitamente divisibles en los reales sino en los
;
La idea rinci al es trabajar con cumulantes
A `
P
­
estudiar lo ue s
BHB
<
a la biye
KLTD
motiv
=
L ?:TL K
o
p
aleatoria
LLTDC
de
A
­_
dan lugar a medidas sobre los
A
PLB¹TLTJ
>
Q
ata
; KP
a este
LTDC
­
n consideremos ue es la distribu
TD
con distribuL n :
A
=
HTL`PL_ B
^ KHT=
?LT=
U
BHB
<
ias pJ Qoisson libre y pJ:
son
A
:
a; arecen como momentos de estas distribucion
9
A
HTL`P
culo,
TDC
K:`
conocidos como de
9
DC
T²_TAC
R
lejos y
A
vimos anteriormente todos los cumulantes de la distribuci
T²_ K=A:
lejos 9
ver ­_ Y 2 tiene distribuL
A
PB:
Fu::J <K alán
LBH;
Esto
9
como sus análogas en el sentido clásicB 9 Además, veremos ­ ue los nØH
±
o °FI p
9
LBH;
de Poisson libre y Y es una variable
estándar 9 Es ^
9 Generalizamos este resultado obteniendo las
L K:B
A
:
de Poisson clásica y libre
TD
do estas ideas a continuac n introducimos dos ^ amilias de distribuciones
relacionadas con estas distribucione: 9
i0 k
ni()
*% l
Ù
ÙV
1) La medida tiene distribución p-Poisson libre() si todos los cumu-
lantes clásicos múltiplos de p son iguales a y los demás son cero. Más formalmente
8
< si s = pn
cs () =
: 0 si p no divide a s
s 0:
N
o 9FMp
2) La medida tiene distribución p-Poisson libre() si todos los cumulantes libres múltiplos de
88F
p son iguales a y los demás son cero. Más formalmente
8
< si s = pn
ks () =
: 0 si p no divide a s
N
o 9Fdp
s 0:
De ahora en adelante nos restringiremos al caso = 1: Encontramos ; rimero los momentos,
@
la tran:^BPH K
K
osi
234
()*% l
UP KC:^
cumulante libre y la
Ù
ormada de
K_L
<
hy9
Sea una medida de probabilidad con distribución p-Poisson libre(1):
Ùm
i) Los momentos de están dados en términos de los números de Fuss-Catalán, es decir
ms () =
8 (p+1)n
< ( n )
pn+1
si s = pn
0
si p no divide a s
:
s 0:
ii) La transformada de Cauchy G satisface la ecuación
zGp+1
N
o 9F\p
zG + 1 = 0:
iii) La transformada cumulante libre de es
C (z) =
i014j
tr6()
*% T
A
y observemos ­_ la
p
zp
:
1 zp
=UT
;
El caso en ­ ue s no es mØ
^_CLTDC
ks () es la
^_CLTDC
N
o 9Ecp
=
lo de k es trivi K 9
_;
R
Ø=UT;
indicadora en los m
ongamos
­_
A
s = pn
los de p: Usando
N
o 9\p
tenemos ­ ue
k =
Q
V 2
no es otra cosa
­_
A
TDC
la ^ unL
los cuales son contadas en la
ms = mpn =
;
or la
A
A
ª;P : DC
i
A
indicadoras en las ; articiones cuyos blo­_ s son mØ
PB;B:TLTDC
Q
X
Q
2N C(pn) V 2
De la
kjV j
989E9
`
0+
62N C(kjpn)
X
A
A
ª;
debe tener so; orte
@
KLBU K B
88E
1=
2N C(kjpn)
anterior vemos ­_ los momentos crecen sub
N«
PB;B:TLTDC
Q
>9F9
los de p,
As obtenemos
X
kjV j =
=UT
;
9
(p+1)n
n
pn + 1
:
onencialmente y ; or lo tanto
A
@A
LBP
H
S
os ­ ue
; KP K
el caso en ­ ue
tiene
;
:B;
orte
LBH; KL
@
to la tran:^BPH K
K
cumulante libre ; uede ser
A
A
@
ª;P : K
a como serie de
otencias de los cumulantes libre 9 Entonces
C (z) =
lo cual ; rueba
TTT
o
p9
1
X
kn ()z =
n=1
Finalmente ; robamos
@
de donde la trans^BPH K
K
de
DC
ulta ­_ e la ecuaci
z pn = (z p + z 2p + :::) = (
n=1
1+(
A
:
S
1
X
n
K_L
<
TT
o p9
Usando
oE9dp
zp
);
1 zp
tenemos ­_
A
G(z)p
) = zG(z)
1 G(z)p
DC N
o 9F\p9
hy G debe resolver la ecuaci
=
N
:D B
o 9F\p
`
se ; uede resolver de ^ orma eª; l L ita ; KP K los casos p = 1
y p = 2 dando
p
1 z
z2 4
si p = 1
2z
r
r
1
3 9
3 2
L(z) +
) si p = 2
G2 (z) =
3
2 L(z)
G1 (z) =
p p
donde L(z) = z1 ( 3 27z 4
TC
R
TDC
embargo, usando la biyecL
estas distribucione: 9
kn
9z 2 )1=3 9
4z 6
():
:` «
la
K¬
R
^_CLTDC
A
emos ­_ de
A
>
1 ()
T
DC
cuyos cumulantes son cn (
es la distribuci
1 ()
cumulante clásica de log f
TDC
rcoviciJ Qata ; odemos dar una mejor descr ;L
1 ())
de
=
es
1
X
z pn
:
1 () (z) =
(n)!
N
o 9E8p
n=1
_ KLTDC
A contin
­
demostramos ue los casos p = 1; 2 son distribuciones in
nitamente divisibles
A
en el sentido libr
W
eorema
l
Ù
e
Ù
9
Sea con distribución p-Poisson libre. Entonces es in
nitamente divisible
en el sentido libre para p = 1; 2.
i014j
tr6()
*%
De
N
o 9E8p
TDC
tenemos, ; KP K p = 1, la ^_CL
log f
1 ()
(z) = ez
N
88
1:
cumulante clásica
Esto nos dice
­_
e la
^_CLTDC
A
P KLU P`:UTL K
con terna ca
1 ()
Es decir, A
P ;
`
caracter : tica de tiene una
n¹¶
µ
(; &) con = 0 y la medida de
U KLTDC
resen
n¹¶J ·
µ
de
hintchine
& está acumulada en un
;
es una Poisson clásica y or lo tanto es una Poisson
=T
A
¬P
;_CUB
9
9
Para k = 2
log f
En este caso la
1 ()
(z) = cosh(z) = (
A
^_CLTDC L KP KLU P`:UT
con = 0 y & acumulada en los untos 1 y
2
)+(
A A
:
z
e
1
2
U KLTDC
n
1 9 Es decir, Poisson(1):Por lo tanto, = 1 D
1 (1 )
U KLTDC
resen
¸TC
integral de Ln v¶J ·
@
CT@ K
`
las P K ces pJn simas de la u
9
A
H
@T A
^
dida de
de una
endientes con
=T
A
¬P
9
A
rencia es ­_ se tendrá
n¹¶
µ
concentrada en
Esto se sigue de la identidad
1=
(ew1 z
1) + (ew2 z
1) + ::: + (ewp z
1)
k
n=1
,
@
`
donde w1 ; w2 ; : : : ; wp son las pJn simas P K ces de las unid K
KØ
TDC
donde 1 es una Poisson
tchine ; ero con la
1
X
ew1 z + ew2 z + ::: + ewp z
z kn
=
(kn)!
k
Más
intchine (; &)
es la distribuL
X2 dondeX1 y X2 son variables aleatorias ind
A
A
P ;
n¹¶J ·¸
µ
de
1 ()
El caso general se ; uede tratar de la misma ^BPH K ­_ p = 1; 2 9 La
una
):
A
;
variable aleatoria Y = X1
distribuci
1
ca de tiene una re;P
;
DC
ez
9
TDC
n, si Z1 ; Z2 ; ::; Zk son variable aleatorias con distribuL
entonces
Z=
k
X
de Poisson clásica (1),
N
o 9EFp
wi Zi
i=1
LTD
tiene distribu
n pJ Qoisson
=
L ?:TL K
9
'
­_
ivalentemente, si 1 ; 2 ; :::; k ; son medidas Poisson
libre(1), entonces
= Dw1 1 Dw2 2 Dw3 3 ::: Dwk k
DC
tiene distribuci
TDC
pJ Qoisson libre 9 Donde la convoluL
de medidas sobre C en la
A
ª;
TD
res n
TD
anterior se entiende en el sentido de la RecL n
­
Observemos ue
; KP K
p > 2, la medidas pJ Qoisson libre y pJ Qoisson no tienen
;
los reales, sino en los com
A
cero, ­_
:` «
; KP K
89E9
=A»
;
os 9 De hecho, edimos
D=
­_
A
:B;
orte en
;
el rimero y segundo cumulante sean
DC
el caso real : o se L_H; le ; ara la distribuci
A
PB
acumulada en L
9
los momentos y cumulantes considerados, si bien no dan lugar a leyes in
nitamente
88I
divisibles en R; dan lugar a leyes in
nitamente divisibles en los
LTDC
no
LBH;
»
le B: 9
A
L
S
ordemos la
A
HB:
de variables aleatorias in
nitamente divisible en C, más generalmente ten
i0 k
ni()
*% l
Ù
l
Ù
9
Sea una medida de probabilidad en (H; B), donde H es un espacio de
Hilbert y B es la clase de los Boreleanos en H. Decimos que es in
nitamente divisible con
respecto a la convolución , si para todo entero positivo n, existe una medida de probabilidad
n en B, tal que
N
o 9EEp
= n n n .
{z
}
|
n veces
Una medida de
;PB
DC
babilidad en C es in
nitamente divisible si es la distribuci
de una
variable aleatoria Z = X + iY donde el vector (X; Y ) es in
nitamente divisibles en R2 :
:` «
es claro de
A
N
­_
o 9EFp
TD
la distribuL n pJ Qoisson clásica es in
nitamente divisible en el
sentido clásicB 9 Por lo tanto la pJ Qoisson libre es J
el sentido de la
nitamente divisible en los LBH; jos
A
o
n
A
LLTDC
R
89Ep9
TD
Una observac n iH; ortante es
A
A
ª KLU KH C
=A
TC¿
­
ue la medida de
@
TDC
te la medida descrita como la J istribuL
DC
pJ OKKP unitaria en la Rubsecci
UAªU
En este mismo con
n¹¶
µ
asociada a la pJ Qoisson libre es
de una variable aleatoria CBJL onmutativa
N
89 989
o, de
nimos la medida pj
01)( 3('/4
TDC
como la distrib_L
con
cumulantes
8
< 1 si s = p + 1
ks () =
: 0 si s 6= p + 1
DC
El caso p = 1 es la distribuci
osi
234
()*% l
Ù
s
Ù
del :
A
=
HTL`PL_ B
N
N
o 9E p
s 0:
9
Sea una medida p-semicírculo.
i) Los momentos de están dados en términos de los números de Fuss-Catalán, es decir
ms () =
8 (p+1)n
< ( n )
:
pn+1
si s = (p + 1)n
0
si p + 1 no divide a s
s 0:
ii) La transformada de Cauchy G de cumple la ecuación
1 + Gp+1
88b
zG = 0:
N
o 9EIp
iii) La transformada cumulante libre de es
N
o 9Ebp
C(z) = z p+1 :
i014j
T
p
N
o 9\p
tr6()
*%
A
Ø=UT;
­
El caso en ue s no es m
lo de p + 1 es trivi
Q
V 2
TDC
es la ^_CL
;
_;
9 R
ongamos
­_
A
9b9M9
s = (p + 1)n 9 Usando
kjV j
U KH K¾B
indicadora en las ; articiones cuyos blo­ ues tienen
PB;B:TLTDC
Q
N
989 9
A
A
ª;P : DC
i
As obtenemos
anterior vemos
T TDC
or la PrB;B: L
N«
>9F9
­_
X
A
A
ª;P :
(p+1)n
n
kjV j =
pn + 1
A
ª;
e los momentos crecen sub
@
KLBU K B
9
:
onencialmente y ; or lo tanto
Entonces, nuevamente la tran:^ ormada
ada como serie de ; otencias de los cumulantes libre: 9
C(z) =
TT
o p9
Q
2N C(pn) V 2
debe tener :B; orte
cumulante libre ; uede ser
Finalmente ;PB¬ KHB:
p+1 9 Estos son contadas
`
ms = m(p+1)n =
De la
=
K
tenemos ­ ue
k =
en la
T TDC N
Procederemos como en la ;P_ ba de la PrB;B: L
Usando
oE9dp
1
X
:`
kn ()z n = z p+1 :
n=1
tenemos ­ ue
1 + G(z)p = zG(z)
­_
A
tiene mucha similitud con
De nuevo ; odemos resolver
N
o 9Ecp
:
A
=
ª; `LTU K
mente ; KP K p = 1 y p = 2; obteniendo
p
1 z
z2 4
si p = 1
2z
r
r
1
3 9
3 2
L(z) +
) si p = 2
G2 (z) =
3
2 L(z)
G1 (z) =
p p
donde L(z) = z1 ( 3 27z 3
4z 4
9z 2 )1=3 9 Observando la gran similitud con el caso de la pJ
88M
Poisson
=T
A
¬P
DC
distribuci
9
Otra
TH;
TDC
ortante observKL
A
es ­_ si X tiene es variable aleatoria
pJ Qoisson libre y Y es variable aleatoria
=
L ? TL K
o
p
s
_LTDC
con distrib
=
L ?:TL K
o
p
A
T `
J: H L P
p
con
culo
libre , entonces
m(p+1)n () = mpn ();
lo ­ ue ;P_
A
¬
/
A A
_ P HB:
234
osi
TDC
a ­ ue la distribuL
de Y p+1 es igual a la de X p :
T
saber si las distribuciones son in
nitamente divis ¬
()*% l
Ù
Z
Ù
=A
:
9
Sea una medida en C con distribución p-semicírculo libre. Entonces es
-in
nitamente divisible sí y sólo si p = 1.
i014j
tr6()
*%
R
DC
De donde la ^_ nci
K¬
DC
emos ­ ue () es la distribuci
cumulante clásica es
log f (z) =
­_
­_
A
A
=
:D B
cuyos cumulantes son cn (()) = n ():
z p+1
;
p!
A
TDC
es in
nitamente divisibles en los casos p = 1 ­_ es una distribuL
TDC
usando la biyecL
, se tiene el resultado 9
88d
Gaussiana, ; or lo
A
ndice A
articiones
K;n
Este
=
;K
o se
TDC
A
L ;
las herramientas y con
; KPUT
K;`
N
tulo
; KP
en el subconjunto de
; KPUT
A
­_
tos ­ ue se usan en el eC^ o
ciones ­ ue no se cru³ KC 9
ciones ­ ue no se cruzan, la inv
; KPUT
de M
¬T_:
=A
A
H
UPB:
, entre o
el tema de ; KP iciones ­_ no se cruzan el libro reciente de
Por LBH;
A
ÊÉ
=AU
n:
=
ntan
GTL K
nto de
·P
eras
A
; KP
a
y
;
R
±
«
°8
eicher
A
`U
mientras
­_
e ; ara
±
°E\ 9
=`UT
y KC K B² a con el <K; ulo 2, relacionado con el en^B­_ ana
co del <K;
`U_=B
entamos demostraciones de algunos resultadB: 9
articiones
Í
TDC ;PA:A
En esta secL
q'0
`
A A
;P :
9
ciones en general sugerimos el libro de Aigner
A
U
e
R
combinatorio ; ara divisibilidad in
nita
UT
A
P:TDC
A
« ;P :
;PTCLTJ
ticiones, al ­ ue damos un estructura de látiz 9
algunos resultados de conteo de ; KP ciones, el cBH;
´
Para el tema de
E
an
T
objeto de estudio es el conjunto de las
<
r
ndice se incluye de manera es; ecial ; ara ^ acilitar la lectura de esta te: : 9 El
En^B camos nuestra atenL
del
e
'
no se cr
6
+ articiones e no se cr an
Í
ÿ
ntamos los conjuntos P(n) de
`
n, as como resultados de conteo
ÿ
63r)
­_
A
ciones y NC(n) de
se utilizan en el
demostraciones y resultados sobre el conjunto P (n) no se detallan
;_
A
63r)
ciones
=
K;`U_ B N
<
9
B:
s son bien conocid
Las
in
9 R
;
embargo, hacemos demostraciones detalladas ara los resultados sobre N C(n):
i0 k
ni()
*%
Ù-Ù-
Sea S un conjunto totalmente ordenado:
(1) Decimos que = fV1 ; :::; Vr g es una partición del conjunto S si y sólo si los Vi
(1 i r) son subconjuntos no vacíos de S, ajenos por pares tales que V1 [ V2 ::: [ Vr = S.
88\
Llamamos a V1 ; V2 ; ::; Vr los bloques de . El número de bloques de se denota como jj.
(2) El conjunto de todas las particiones de S se denota como P (S): Cuando S = f1; :::; ng,
entonces hablaremos de P (n).
(3) Una partición = fV1 ; :::; Vr g se dice que se cruza si existen Vi ; Vj con j 6= i y
a < b < c < d tales que a; c 2 Vi y b; c 2 Vj .
(4) El conjunto de particiones que no se cruzan se denotará N C(S). Cuando S = f1; :::; ng
entonces hablaremos de N C(n).
osi
234
()*%
Ù-Ù-
Sea n un entero positivo y sean r1 ; r2 ; :::rn 2 N [ f0g tales que r1 + 2r2 ::: +
nrn = n. El número de particiones de en P (n) que tienen r1 bloques con 1 elemento, r2 bloques
con 2 elementos, ..., rn bloques con n elementos es igual a
n
Y
i=0
i014j
tr6()
*%
n!
.
n
Y
r
ri !
i! i
i=0
Podemos dan un orden arbitrario a los blo­_ es B1 ; B2 ; B3 ; :::Bk , con
UB:
b1 ; b2 ; :::bk 9 re:; ectivamente 9 En cada blo­ ue ordenamos sus elemen
LTDC
tenemos ­ ue ; oner b1 elementos en B1 , b2 en B2 ,
b1 elementos del total n, de:;_n: b2 de los n
n
n b1
n
b1
b2
La
Ø=UTH K
U KH K¾B
;
A
P ;
Ù-ÙV
2n!
:
2n n!
DC ;PA:
osi
()*%
n
b1
bn
Un
9
De
K­_`
­_
b2
A
bn elementos en Bn , es decir, escoger
­
uedan,
=
DC
ci
; KPUTJ
«
999
AU
L
9
Esto es
n!
n!
= r 1 r2
9
b1 !b2 !b3 !:::bn !
1! 2! ::: (n!)rn
rminos iguale: 9
; KPUT
Para hacer una
TC
R
embargo blo­_
, entonces tenemos
A
­_
A
:
del mismo
dividir entre ri !
se obtiene el resultado al dividir entre r1 !r2 ! rn !:
El número de particiones por pares del conjunto f1; 2; :::; 2ng es (2n)!! =
A continuaci
234
eticiones de la misma
A
­_ :
or cada t o de blo
D
T;
o
b2
igualdad es s lo reordenar los
dan lugar a
434/63)
f
b1
b3
b1
9
U KH K¾B:
Ù-ÙV
entamos resultados análogos ; ara las ; articiones
A
­_
no se cruz KC 9
Sea n un entero positivo y sean r1 ; r2 ; :::rn 2 N [ f0g tales que r1 + 2r2 ::: +
nrn = n. El número de particiones de en N C(n) que tienen r1 bloques con 1 elemento, r2
8Fc
bloques con 2 elementos, ::: , rn bloques con n elementos es igual a
n!
n
P
(n + 1
n
Y
ri )!
i=0
i014j
­_
el caso en
A
H;
ej
tr6()
^ ?LT=
lo
K
_;
p R
A
*%
ongamos
­_
98p O
; KPUT
K²
A
A
:
las
de
amos una biyec
dados ai
a < b:
­_
=
:D B
; KP
n entre las
ongamos ­ ue 1 2 A1 ; y
A
R
rimero resolvemos el
;PB¬
9
A
;
d
/
A A
_ P HB:
mostrar
calcular un
­_
A
el nØ mero de
; KPJ
enden de m 9
ticiones de la ^ orma (a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; :::; am ) y las
1; a3 ; :::; am ) 9 Donde ai indica el
A
=A
H K ; KP K
9
son distingu
U KH K¾B:
LTD
AUT
A
­_ U K:
T¬=A:
ciones de la ^BP ma (a1 + 1; a2
_;
R
A
; KPU : « ;
TDC ; KP K
A
; KPU :
98p
ri !
son distinguibles, de:;_n: hacemos una biyeLL
y
nalmente ­ uitamos las
ticiones con m blo­_
K
A
:
o
i=0
Esta ; rueba se dividirá en 3
los blo­_
.
U KH K¾B
del blo­ ue Ai 9
A1 no cubre a A2 9 Esto es, si a 2 A1 y b 2 A2 entonces
a b1 el más chico; b2 el segundo más chico y bk el más grande de los elementos de A2 9
DC
A continuaci
enemos cuatro
]
TDC
describimos la biyeLL
UT;
´
­
o de blo ues, haremos modi
caciones de los blo­ ues de la siguiente
maner K9
T
A1 será cambiado ; or A1 [ fbk + b2
p
b1 g y A2 ; or B1 =b1 :
ii p Ri un blo­ ue esta contenido en el intervalo [1, k] 2 A1 , o [b2 ; n] entonces ese blo­ ue se
T²_ K=
deja
T
ii
;
T
p R
or s
9
un blo­ ue esta contenido en intervalo [b1 ; b2 ] 9
ambiamos los elementos s del blo­_
b1 + k 9
A
iv p Finalmente si un blo­_ tiene x1 ; x2 ; ::xk en el intervalo [bk ; bk + b1
biaremos estos los elementos xi ; or xi + b2
¬:n
K
9Fp
DC ;_
rvese ­_ e esto es una biyecci
DC
´
'
ªT
U KLTDC
ste una Ø nica ro
2] entonces c KHJ
b1 9
es ; odemos invertir los ; K:B: 9
En general si 1 62 A1 la biyecci
U K@B
resul
A
<
D tal
se hará de la misma manera, usando el siguiente
­_
A
A1 y A2 son tales
­_
A
1 2 A1 y A1 no cubre a
A2 9
DC
Entonces la biyecci
anterior y
nalmente
K;
será
K;
U KLTDC
licar la Ø nica ro
DC
licar la rotaci
inversa D
8F8
19
TDC
D de:;_n: la biyecL
como en el caso
A
K
9Ep
Observemos ­_ en
A
@
P ;TUTAC
o
K
o 98p
obtener una
¬
BHB
p <
U KH K¾B:
; KPUT
y
; KPUT
K
o 9Fp
DC
ci
K
o 98p
A
muchas veces, a
de la
D
se mostr en
^BPH K
K
o p
(n
; KPUT
=
UTLTDC
r de c_ K ­ uier ; ar
TDC
se tiene una biyeLL
U
;_
ede
entre las ; articiones con k blo­ ues con
k + 1; 1; 1; :::1; 1; ) 9 Es ^
T
k + 1; 1; 1; :::1; 1) esto es : H;
n!
n
con k blo­ ues se
k + 1; 1; 1; :::1; 1; ) 9
dados y ; KP iciones de la ^ orma (n
ciones de la ^BP ma (n
`
los conjuntos A1 y A2 se ;_ den escoger arbitrariamente 9 As ,
k!
=A
A
H
n!
=
(n + 1
n
X
?LT=
calcular el nØ mero de
nte
9
ri )!
i=0
L
A
A
¾
En el caso en ­_ dos blo­_ : del mismo tama o no son distinguibles,
n
Y
A
A
¾
U
ri ! donde ri es el nØH ro de blo­_ s de KH K B de i 9
debemos dividir ; or
p
:TH;
lemente
i=0
El resultado se sigue de las observaciones anteriore: 9
Observemos ­ ue la ^
UT
de ; KP ciones de la
434/63)
f
^BP
DPH
ula
ma 4
o
4
98p
= @A
:D B
;
=
ende de los ri , ; or ejeH; B
A
2 ­_ de la ^BP ma 3
3
A T UA
ª :
A
el mismo nØH ro
49
e
Ù-Ù
El número de particiones por pares que no se cruzan del conjunto f1; 2; :::; 2ng
(2n
n)
.
es igual al n-ésimo número de Catalán Cn = n+1
o
i014j
434/63)
f
o
tr6()
*%
l
Ù-Ù
Esto es calcular el caso r2 = n
Para 1 < m n se tiene que
1 n
n
#f 2 N C(n) j tiene m bloquesg =
n m m 1
i014j
tr6()
*%
X
=
KP
<
r1 +r2 +::rn =k
r1 +2r2 +::nrn =n
amente ­ ueremos la siguiente suma
(n + 1
n!
n
X
i=0
ri )!
n
Y
X
=
n!
r1 +r2 +::rn =k
r1 +2r2 +::nrn =n
ri !
i=0
=
=
8FF
n
k
1
n
k
(n + 1
k)!
n
Q
ri !
i=0
X
(k 1)!
n
Q
ri !
r1 +r2 +::rn =k
r1 +2r2 +::nrn =n i=0
1 n
1 n k
donde la suma de la Ø ltima igualdad se sigue de la siguiente identidad
X
1
=
n
Q
(k
ri !
r1 +r2 +::rn =k
r1 +2r2 +::nrn =n i=1
A
(n 1)!
9
1)!k!(n k)!
o
9Fp
Para ; robar ­_ esta identidad es cierta basta ver ­ ue si
X
D(k; n) =
1
9
n
Q
ri !
r1 +r2 +::rn =k
r1 +2r2 +::nrn =n i=1
Entonces
1
X
1
1
=
n
Q
r1
ri ! r1 =0
X
D(k; n) =
r1 +r2 +::rn =k
r1 +2r2 +::nrn =n i=0
TD
X
1
X
1
1
D(r1 ; k):
=
n
Q
r1
ri ! r1 =0
r2 +::rn =k r1
r2 +2r3 +:::+(n 1)rn =n k i=2
Esta recurs n claramente de
ne a D(k; n) si se ; ide D(1; n) = 1=n y haciendo cálculos sencillos
A
U
se ;_ ede ver ­_ la ; KP e derecha de
osi
234
()*%
e
Ù-Ù
Sea
G
o
T
9Fp
tam¬ n n c_H; le con la rec_P:
(k j nk) el conjunto de las particiones de f1; 2; 3; :::nkg cuyos
(k+1)n
n
kn + 1
i014j
con
G
tr6()
U KH K¾B
(1 j n) = Cn =
<
*%
un mØ
9
<
bloques son de tamaño un múltiplo de k. El número de particiones en
En particular
TDC
G
(k j nk) es
<
.
(2n
n)
n+1 :
A
Primero calculemos cual es el nØH ro de ; articiones con m blo­ ues todos
=UT
;
lo de k 9 Esto es
8FE
X
(nk)!
n
n
Y
P
r1 +r2 +:::+rn =m
ri )!
ri !
r1 +2r2 +:::+nrn =n (nk + 1
i=0
X
=
(nk)!
r1 +r2 +:::+rn =m
r1 +2r2 +:::+nrn =n
i=0
X
=
=
=
(nk)!
(nk + 1 m)!
m)!
ri !
n
Y
ri !
i=0
(nk)!
r1 +r2 +:::+rn =m
r1 +2r2 +:::+nrn =n
=
(nk + 1
n
Y
(nk + 1
m)!
i=0
X
1
n
Q
r1 +r2 +:::+rn =m
ri !
r1 +2r2 +:::+nrn =n i=0
(nk)!
(nk + 1 m)! (m
1
n
nk
n m 1 m
(n 1)!
1)!m!(n
m)!
Finalmente es bien conocido ­ ue
n
(k+1)n
X
nk
n
1
n
=
n m 1 m
nk + 1
m=1
de donde se obtiene el resultadB 9
434/63)
f
o
Ù-Ùt
El número de particiones de (k + 1)n elementos en bloques de tamaño k es
igual al número de particiones de kn elementos en múltiplos de k.
A `
K
R
interesante contar con una ; rueba biyectiva ; KP K este resultado, la cual desconoceHB: 9
r
A
A
R
Êý
þÐ
rá muy Ø
UT=
n +
Í
n como tices
Ñ
dotar a los conjuntos P (n) y N C(n) de una estructura de látiz 9
una látiz es un conjunto ; arcialmente ordenado (L; ); en donde cada
A
_;P H
Ø
tiene un nico s
TC^
cota
i0 k
erior con
ni()
*%
A
P :;
ÙVÙ-
o
H`
o
;
;
; KP
Ø
ecto a ) 9 Más
te
Sea (L; ) un conjunto parcialmente ordenado
N
8F
mos ­_
A
de elementos (x; y)
nima cota su erior con res ecto a ) y un nico
=
A
^BPH K H C
A
@A
LBP
S
`C¿
mo
H ?ªT
o
ma
i) Sean ; 2 L, Si el conjunto U = f 2 P j ; g es no vacío y tiene un mínimo
0 ; entonces 0 es el supremo de y y se denota por _ ii) Sean ; 2 P , Si el conjunto L = f 2 P j ; g es no vacío y tiene un máximo
0 ; entonces 0 es el ín
mo de y y se denota por ^ iii) Si para cualesquiera ; 2 P , existen _ y ^ , entonces decimos que P es una
látiz.
A veces nos
A
P ^
eriremos a la Látiz (L; ) solamente
;
or L y a un conjunto
; KP
cialmente
ordenado (P; ) solamente ; or P 9
osi
234
()*%
ÙVÙ-
Sea (P; ) un conjunto
nito parcialmente ordenado. Si (P; ) tiene un
elemento máximo 1P ; y cualesquiera dos elementos de (P; ) tienen ín
mo, entonces P es una
látiz.
i014j
DC
inducci
A
R
tr6()
en k
T
R
*%
A
­_ ; KP
cuale:­_
=
_K ­
ac
TAP K
uier
`
dos elementos de P tienen n
mo entonces se sigue
^ KHT=
;
or
ia
nita de elementos en P , eª iste 0 = 1 ^ 2 ^ ::: ^ k :
`
an ; 2 P , entonces U = f 2 P j ; g es no vKL B (1P 2 U ), entonces ; odemos
listar los elementos de U = f1 ; 2 ; :::; k g 9 Entonces se veri
ca ­ ue si 0 = 1 ^ 2 ^ ::: ^ k ,
entonces _ = 0 9
!a ! tiB {n} a tiB {n}
Sean ; 2 P (n) dos particiones que no se cruzan.
AÓôÓÒ
i0 k
ni()
÷
×
*%
ú
û
ú×
ø
ÙVÙV
De
nimos el orden
parcial (P (n); ) de la siguiente forma: si y sólo si todo bloque v 2 está contenido
completamente en un bloque w 2 .
osi
234
()*%
i014j
LTDC
ÙVÙV
tr6()
*%
El orden parcial (P (n); ) induce una estructura de látiz en P (n):
BHB
<
A
T
T
1n 2 P (n) es el m᪠HB re:; ecto al orden (P (n); ), ; or la ; rB;B: J
anterior basta ver ­_ si ; 2 P (n); entonces eª iste ^ 2 P (n):
= fW1 ; W2 ; :::; Wl g; observemos ­_ e
T
R
= fV1 ; V2 ; :::; Vk g,
= fVi \ Wj j1 i k; 1 j l; Vi \ Wj 6= ?g 2 N C(n)
8FI
=
KP
<
­_
A
amente es menor
lo
L_H;
i0 k
ni()
A
­_
P :;
o
y
e ecto al orden (P (n); ) p y es la
=A
*%
; KPUTLTDC
más grande
9
e
ÙVÙ
Sean ; 2 N C(n) dos particiones que no se cruzan. De
nimos el orden
parcial (N C(n); ) de la siguiente forma: si y sólo si todo bloque v 2 está contenido
completamente en un bloque w 2 .
osi
234
()*%
i014j
e
ÙVÙ
tr6()
*%
El orden parcial ((N C(n); )) induce una estructura de látiz en N C(n):
T TD
Por la Pro; os L n
A
=
_K ­
N C(n), ; ero esto es claro ya ­_ c
9F98
uier tal
A
­_
cruz K9
AÓôÓô
A
:
S
omöúemento de
ø
A
­_
basta ver
si ; 2 N C(n) entonces ^ 2
UT
A
K : N C(n) ! N C(n) llamado el LBH; lemento de
ni()
*%
l
ÙVÙ
no se
reeras
ulta ­_ N C(n) tiene una ; rB; iedad de autoJ dualidad 9 Más aØ n,
i0 k
DC ­_A
es tambin n una ; KP ci
·P
e
A
P K:
A T UA
ª :
un antiJ isomor
smo
9
La función complemento K : N C(n) ! N C(n) se de
ne de la siguiente
manera. Consideramos elementos adicionales 1; 2; :::; n y los intercalamos de la siguiente manera
1122:::nn.
Sea 2 N C(n) entonces su Complemento de Kreweras K() 2 N C(1; 2; :::; n) = N C(n)
es el elemento más grande de los 2 N C(1; 2; :::; n) con la propiedad que
[ 2 N C(1; 1; :::; n; n):
o
. 01
/
ÙVÙt
Sea
= f(1; 2; 7); (3); (4; 6); (5); (8)g 2 N C(8)
entonces
K() = f(1); (2; 3; 6); (4; 5); (7; 8)g:
DC
A continuaci
enunciamos algunas de las ; rB; iedades del LBH; lemento de
8Fb
·P
A
A
P K:
9
osi
234
()*%
l
ÙVÙ
Sea K : N C(n) ! N C(n) la función complemento de Kreweras. Entonces
se cumplen los siguientes enunciados:
i) Sea 2 N C(n) entonces K 2 () es una permutación cíclica de , es decir, si =
fV1 ; V2 ; :::; Vk g, entonces K 2 () = f(V1 ); (V2 ); :::; (Vk )g, donde (Vi ) = f(i)ji 2 Vi g y
= (12:::n)m 2 Sn para algún m n. En particular, K 2 () tiene la misma estructura de
bloques que .
ii) K 2n es la identidad, en consecuencia, K es una biyección.
iii) K es un anti-isomor
smo, es decir, si ; 2 N C(n); ; entonces K() K().
iv) jj + jK()j = n + 1:
AÓôÓ
La
Ø= U
; KPUT
actoriBaci
ima
;PB;TA@
ad
n en
ü
A
­_
o ûes
Öú
necesitamos ; ara un buen entendimiento de la combinatoria en las
T
TDC L KCDC
ciones ­ ue no se cruzan se conoce como ^ actor ³ KL
TDC
Usaremos la ^ unL
i0 k
*%
nici
ÙVÙ
cBH;
=A
A
H
nto de
·P
ica en blo­_ es de los intervalos 9
eeras ; ara entender esta ^ actor ³ KL
T
TDC
9
Sean ; 2 N C(n), : Entonces
[; ] = f 2 N C(n)j g:
i0 k
ni()
*%
ÙVÙm
Sean P1 ; P2 ; :::; Pn conjuntos parcialmente ordenados. Entonces el producto
de órdenes parciales de P1 ; P2 ; :::; Pn en P1 P2 ::: Pn está de
nido por
( 1 ; 2 ; :::; n ) ( 1 ; 2 ; :::; n ) () i i ; 8 i = 1; 2; :::; n:
osi
234
()*%
ÙVÙt
Sean ; 2 N C(n), : Entonces existen enteros k1 ; k2 ; :::; kn tales
que
[; ] = N C(1)k1 N C(1)k2 ::: N C(1)kn :
A esta factorización se le llama factorización canónica de [; ].
8FM
i014j
tr6()
*%
A
Observemos ; rimero ­_
[; ] =
TD
Usando la biyecL n
­
ue
A
;P :
[ ; 1jV j ] 9 Ahora, usando la
T:BHBP^B
^_
DC LBH;
nci
Y
lemento de
W 2
UBPT
o
/
s
ÙVÙ
@
@
BC
o
[0jV j jW ; jW ] =
de donde se sigue ­ ue [; ] tiene la ^ KL
. 01
[jV ; jV ]
V 2
erva ordenes entre V y f1; 2; :::; jV jg resulta
a un intervalo de la ^ orma [0jV j ; ]
[0jV j ; ] =
Y
eras, obtenemos
A
·P
­_
­
A
ue [jV ; jV ] =
e = K( ) p9 Finalmente
Y
W 2
N C(W ) =
Y
W 2
N C(jW j)
TD
z KL n desead K9
Sean ; 2 N C(12), donde
= f(1; 9)(2; 5)(3)(4)(6)(7; 8)(10)(11)(12)g y
= f(1; 6; 9; 12)(2; 4; 5)(3)(7; 8)(10; 11)g:
Entonces tenemos
[; ] = [f(1; 9); (6); (12)g; 1f1;6;9;12g ] [f(2; 5); (4)g; 1f2;4;5g ]
[f(3)g; 1f3g ] [f(7; 8)g; 1f7;8g ] [f(10); (11)g; 1f10;11g ]
= [f(1; 3); (2); (4)g; 14 ] [f(1; 3); (2)g; 13 ] [11 ; 11 ]
[12 ; 12 ] [02 ; 12 ].
8Fd
T
[ ; 1jV j ] es ant J
Aplicando el complemento de Kreweras obtenemos que
K(f(1; 3); (2); (4)g)
=
f(1; 2)(3; 4)g
[f(1; 3); (2); (4)g; 14 ] = N C(2)2
= [04 ; f(1; 2)(3; 4)g] =)
K(f(1; 3); (2)g)
=
f(1; 2)(3)g
[f(1; 3); (2)g; 13 ] = N C(1) N C(2)
= [03 ; f(1; 2)(3)g] =)
[11 ; 11 ]
=
N C(1)
[12 ; 12 ]
=
N C(1)2
[02 ; 12 ]
=
N C(2).
Entonces, la factorización canónica de [; ] es
[; ] = N C(1)4 N C(2)4 :
n ersi>n de ? i s
s es bastante conocida en el marco de teor
La inv
de <
A
Ê
Î ÿ
A
P:TDC
¬T_
`K
de nØ meros, en donde se cBCJ
sidera el conjunto de los enteros ; ositivos dotado con el orden ; arcial dado ; or la divisibilidad 9
TC
R
=
embargo, los mismos resultados se ;_ eden generalizar ; KP K L_ K ­_
A
:
ordenado y látic
G
9
TDC
En esta seLL
TAP
A
P:TDC
estamos interesados en la inv
conjunto ; KP cialmente
de
<
¬T_: ; KP K
la látiz
C
<o p9
Advertimos
­_
e muchas
generales y conocidB: 9 Una
ver en
AÓÓÒ
A
;P_
DC
bas de esta secci
A
=T
ª;
c
KLTDC
es son resultados muy
DC
más detallada sobre la inversi
onùoúûciün e õnùersiün de
ø
TDC
ç
;_
de
<
¬
ius se ; uede
± D N ±
°8
° b 9
Em; ecemos de
niendo la convoluL
À
serán omitidas
½
i
s
û
T K=
en el marco de conjuntos ; KPL
o conèundir con el conceÂto de convoluciÃn e
mente ordenadB: 9
licado en los ca tulos y 2 de esta tesis
Â
Â
8F\
Å
i0 k
ni()
*%
e
Ù Ù-
Sea P un conjunto parcialmente ordenado, y sea P (2) := f(; ) : ; 2
P; g
Para F; G : P (2) ! C; su convolución F G : P (2) ! C es la función de
nida por:
(F G) :=
P
F (; )G(; ).
2P
Más aún, para funciones f : P ! C y funciones G : P (2) ! C consideremos la convolución
f G : P ! C de
nida por
(F G) :=
P
F ()G(; ).
2P
Las convoluciones de
nidas arriba tienen las ;PB;
TA@
ad de asociatividad y de distributividad
con re:; ecto a tomar combinaciones lineales de ^_ nciones en P (2) o en P 9 Es decir,
(F G) H = F (G H);
(f G) H = f (G H)
(F + G) H = F H + G H;
; KP K
F; G; H : P (2) ! C y
: P (2) ! C de
nida ; or
;
ara f; g; : P ! C 9 Además es
d(; ) =
es la unidad con P
A
:;
(f + g) H = f H + (g H)
1
0
=
<
T TDC
ecto a la convoluciones en la De
C L
^
LTD
El siguiente resultado nos dice cuando una un
LTDC
^ ?LT=
veri
car
­_
e la
^_CLTDC
9E989
n tiene inversa con re:; ecto a la convoluJ
9
234
osi
()*%
e
Ù Ù-
Sea P un conjunto parcialmente ordenado
nito. Consideremos la con-
volución para funciones en P (2) como en la De
nición A.3.1. Una función F : P (2) ! C es
invertible con respecto a la convolución si y sólo si F (; ) 6= 0 para todo 2 P:
A
P:TDC
Ahora ; odemos de
nir las ^ unciones y , las cuales son claves ; ara la inv
i0 k
ni()
*%
e
Ù ÙV
de
<
¬
iu: 9
Sea P un conjunto parcialmente ordenado
nito. La función zeta de P ,
8Ec
: P (2) ! C está de
nida por
8(; ) 2 P (2)
(; ) = 1;
La inversa de bajo la convolución es llamada la función de Möbius de P , la cual denotaremos por :
GBUAHB: ­
^_CLTDC
ue la
de M bius está bien de
nida ya
A
;PTH P K
ahora en condiciones de ^BPHular la
234
osi
()*%
e
Ù ÙV
A
P:TDC
­_
A
(; ) = 1 6= 0 9 Estamos
A
v
del ]eorema de Inv
P:TDC
de M
¬T_:
Sea P un conjunto parcialmente ordenado y sea la función de Möbius
en P . Consideremos dos funciones f; g : P ! C. Entonces el siguiente enunciado
X
f () =
g()
para todo 2 P
2P
es equivalente a
g() =
X
f ()(; )
2P
DC
La siguiente ; rB; osici
versiones
=
; KPLT K
es del
; KP K ;PB¬ KP ;PB;TA@
osi
234
()*%
muestra
­_
e ; ara el caso en ­ ue se tiene una látiz se
DC
eorema de Inversi
]
de M
¬T_:
9
4sta v
A
P:TDC
;_
eden dar
será de mucha utilidad
A
ades de las ; articiones ­_ no se cruz KC 9
e e
Ù Ù
Sea L una látiz y sea la función de Möbius en L. Considera dos fun-
ciones f; g : L ! C que se relacionan por la siguiente fórmula
f ( ) =
X
g()
para todo 2 P:
2P
Entonces para todo w; 2 P , con w , se tiene la siguiente relación:
X
f ()(; ) =
2P
w
X
2P
_w
8E8
g():
T TDC
EL siguiente corolario es una consecuencia de la ;PB;B: L
^_
nciones de <
¬T_
osi
234
()*%
s en casos concretos, en
e l
Ù Ù
; KPUT
cular
; KP K
anterior y es Ø
UT= ;
ara calcular
la látiz N C(n) 9
Sea L una látiz y sea la función de Möbius en L. Para toda partición
! 6= 0P se tiene
X
f ()(0P ; ) = 0:
2P
_w=1P
i014j
tr6()
*%
BC:
<
TDC
ideremos la ^_CL
g : P ! C de
nida ; or
g() = (0P ; ); 2 P 9
Ahora, sea f = g , ; KP K cada 2 P tenemos
X
f () =
X
g() =
2P
(0P ; )(; )
2P
0P = ( )(; (0P ; )) =
AÓÓô
<
!a
=
=
K L_ KP
TDC
la ^ unL
de
<
UB:
cumulantes y momen
LTD
vista en la sec
234
i
nciün de
û
osi
()*%
¬
9
ius en N C(n)
1 si = 0P
:
0 si 6= 0P
{n}
ø
A
=
A
ª; `LTU KH C
te ; ermite dar
El siguiente hecho junto con la
n anterior
e
Ù Ùt
s en
û
=T
: TH; ¿
=
_ B:
cará los cálc
^ KLUBPT
^DPH
ulas
TDC L KCDC
z KL
A
=
ª; `LTU
as
; KP K
ica en intervalos
9
i) Sean (P; ) y (Q; ) conjuntos parcialmente ordenados y supóngase que
: P ! Q es un isomor
smo de órdenes. Entonces Q ((); ()) = P (; ) para toda ; tales que .
ii) Sean (P1 ; 1 ); (P2 ; 2 ); :::; (Pk ; k ) conjuntos parcialmente ordenados. Consideremos el
producto directo P = P1 P2 ::: Pk (con orden parcial descrito en la De
nición A.2.7).
Entonces para i i i en Pi se tiene
P (( 1 ; :::; k ); ( 1 ; :::; k )) = P (( 1 ; 1 )) P (( k ; k ))):
8EF
DC
Para cada n 1 denotaremos la ^ unci
donde 0n y
T
8n
son el m᪠HB y el
TDC
hecha en la seLL
LBH;
­_
A
H`CTHB
de
<
¬
ius en N C(n) ; or n y sn := n (0n ; 1n )
de N C(n), re:; ectivamente 9 Dada la
anterior, los valores de las ^_C ciones de
;
letamente determinadas or los valores de sn : En
UBPT
el intervalo [; ] tiene la ^ KL
z KL
TDC
A
^
DCTL K
<
¬T_:
^ KL
toriz KL
TDC
en las látices N C(n) estarán
D
ecto, sea 2 N C(n) y :_; ngase
can
[; ] = N C(1)k1 N C(2)k2 N C(n)kn ,
DC
entonces de la PrB; osici
9E9I
tenemos ­ ue
n (; ) = s1k1 sk22 sknn ,
entonces basta calcular sn 9
<
=
KU K
234
án ¯ ver
osi
±
; KP K
°E\
()*%
e
Ù Ù
A
:
S
D
ulta ­ ue la ^ rmula general está relacionada con los
DC
una demostraci
9
Para cada n 1; se tiene
sn = n (0n ; 1n ) = ( 1)n
8EE
1
Cn
1:
GØ
meros de
N
8E
A
ndice
cesiones
atrices
ositi as
e nidas
@
A
P LB;
En este a;nC ice
KH
UTA=U»A
R
º
de
nid K: 9 Estos resultados se oL_; an en los
<
resultados
C
ÊÉ
O
A
KL H
i0 k
A
K­_` ;P :
O
entados recomendamos
ales sobre los tres
;
roblemas clásicos de
TD
p
oO
sy
;PTCLT;
aussdor
momentos
burger,
ilamos los resultados
±
°F
y su relac n con matrices y sucesiones ; ositivas
=
K;`U_ B:
,
E
y
N
9
Para un estudio
LBH;
=AU
B
de los
± D
±
°FM
°Fd 9
?atrices ositi as @eAnidas
Í
A¾
os un ; e­ u
ni()
*%
,
Ù-Ù-
B
T@ K:
resumen de los resultados ; KP a matrices ; ositivas de
n
9
La matriz Hermitiana M = (mij )ni;j=1 es positiva de
nida si y sólo para
todo z 2 Cn ; z 6= 0 se cumple
z M z > 0.
o>98p
Si en lugar de (B.1) sólo se cumple
zM z 0
diremos que la matriz es semi-positiva de
nida.
Nótese que en esta de
nición implícitamente usamos que z M z 2 R para cualquier matriz
Hermitiana M .
8EI
En el caso de una matriz A de dimeC:
_;
las submatrices cuadradas si s
En la siguiente
;PB;B:TLTDC ;
eriores son
A
osi
()*%
,
Ù-Ù-
in
nita decimos
A
: HT ;
o
p
A
­_
ositivas de
nid
A
HT
es os
K:
p
;
ositiva de
nida
9
resentamos algunas de
niciones e uivalentes de matriz ; ositiva
de
nid K9 Para una ;P_ ba se ; uede ver
234
TDC
­
±
°FM 9
Sea M = (mij )ni;j=1 una matriz Hermitiana. Los siguientes enunciados
son equivalentes.
1) La matriz M es positiva de
nida.
2) Todos los valores propios i de M son positivos.
3) La forma sesquilineal hx; yi := x M y de
ne un producto interno en Cn .
4) Todas las submatrices en la esquina superior derecha tienen determinante positivo. Es
decir, si M = (mij )ni;j=1 y de
nimos, para t = 1; :::; n; las matrices de tamaño t t , como
Mt = (mij )ti;j=1 ; entonces det(M1 ) > 0, det(M2 ) > 0; :::; det(Mn = M ) > 0:
5) Existe una matriz positiva de
nida B tal que B 2 = M:
5j03g
*
aci n
,
Ù-ÙV
El inciso 4) se conoce como el criterio de Sylvester. Una forma equiva-
lente de este criterio es simplemente pedir que exista alguna sucesión de n menores anidados
positivos. El criterio de Sylvester no se aplica para matrices semi-positivas de
nidas. Claramente si M es una matriz de n n con n2
1 ceros y un
1 en la esquina inferior cumple que
det(M1 ) 0, det(M2 ) 0; :::; det(Mn = M ) 0 y no es semi-positiva de
nida. Para matrices
semi-positivas de
nidas todos los menores deben de ser no negativos.
Las siguientes son ; rB;
osi
234
()*%
,
Ù-ÙV
TA@
ades básicas de las matrices ; ositivas de
nid K: 9
Sean M = (mij )ni;j=1 y N = (nij )ni;j=1 matrices Hermitianas positivas
de
nidas.
1) Si r es un real positivo entonces rM también es positiva de
nida.
2) La suma M + N y los productos M N M y N M N también son positivos de
nidas. Si
M N = N M , entonces M N también es positiva de
nida.
3) Sea M = (mij ) > 0 entonces las entradas mii son positivas. Como consecuencia tr(M ) >
0. Más aún
jmij j p
mii + mjj
< mii mkk
2
8Eb
4) El producto de Hadamard M N = H = (hij )ni;j=1 con entradas (hij )ni;j=1 = (mij nij )ni;j=1
es positivo de
nido.
Una matriz A = (aij )ni;j=0 se llama de
matriz de
;
O
KC
[
$ 0/
6%
si ai;j = ak;l siem;P e ­ ue i + j = k + l 9 Una
K:`
el está determinada ; or sus elementos de la diagonal,
tambin n será denotada
or A = (aii )ni=0 9
Las matrices ; ositivas de
nidas están asociados a sucesiones ; ositivas de
nidas y ; roblemas
TDC
de momentos como veremos en la siguiente seLL
9
3 cesiones 3emi ositi as @eAnidas
Decimos ue una suc
(an )n0 es sem osi a
nida si
C
Êý
ÿ
Í
A TD
:
C
­
todo z0 ; :::; zr 2 C se cuH;
=A
­
ue
r
X
i;j=0
T
R
A TD
:
C
fan g1
n=0 es una suc
si y solo si la matriz de
O
r)g
)
KC
A
[
&0 k
A TD
C
ª
o>9Fp
;
de nØH ros LBH; lejos, entonces fan g1
n=0 es semi- ositiva de
nida
el in
nita A = (ann = an )1
n=0 es
con los ; roblemas de momentos de
teorema de
W
eorema
O
,
KH
A
burger da una P
$
ÙVÙ- ð
;
U KLTD
resen
%
615'3
ara todo r = 0; 1; 2; ::: y ; KP K
zi zj ai+j 0
caso escribimos fan g1
n=0 0(+); estas sucesiones son muy
con
;
'03 ó
KH
O
TH;
A
: HTJ;
ositiva de
nid K9 En este
ortantes en ; robabilidad ; or su
burger, Rtieltjes y
K_::
O
@
BP
º
9
El siguiente
T
n ; ara las sucesiones seH J; ositivas de
nid K: 9
1
Sea fan g1
n=0 con a0 = 1 y an 2 R; n 1: Entonces fan gn=0 0(+) si y solo si
an =
Z
1
xn (dx);
o>9Ep
1
para n = 0; 1; 2::: y una medida de probabilidad en R.
TDC
En general, dada una suce:
T
o>9Ep
A T UA
ª :
no es ØC L K9
TC
R
de momentos fmn g1
n=0 ; la medida en la
A
A
P ;P :
DC
entaci
A
embargo, si eª isten constantes C y D tales ­_ jan j < CDn (n)! entonces
A
una Ø nica medida ­_ cum;
=A
Las siguientes son algunas de las
con esta re;P
; B;
r
A A
:
U KLTDC
n
a
9 o
er
N ±
° 8 p
iedades ^ undamentales de las sucesiones
A
A
;
ositivas
de
nidas ­_ nos ; ermiten asumir sin ;n rdida de generalidad ­_ a0 = 1 y an 2 R 9 Algunas de
8EM
estas ;PB; iedades son consecuencias de resultados ; KP a matrices ; ositivas de
nidas sin embargo
las ; ruebas se reducen ; KP K matrices de
W
eorema
,
ÙVÙV
KC
O
[
el 9
Sea fan g1
n=0 0(+): Entonces
i) Los términos pares a2n 0;
ii) Todos los an 2 R ;
iii) a2m + a2n 2am+n para todo m; n 0;
iv) a2m a2n (am+n )2 para todo m; n 0;
v) Si a0 = 0, entonces an = 0 para todo n = 1; 2; 3; :::;
vi) Si a2N = 0, N 0 entonces an = 0 para todo n = 1; 2; 3; :::;
1
1
vii) Si fbn g1
n=0 0(+);entonces fan bn gn=0 0(+) y fan + bn gn=0 0(+) ;
viii) Si a0 a2 = a21 , entonces an0
i014j
tr6()
*% T
p
Este hecho
1
an = an1 para todo n = 1; 2; 3; :::
;_
ede ser ; robado utilizando
A
damos una ;P_ ba directa utilizando
TT
o p
y
«
o>9Ep
, tomando zm = 1 y zi = 0 siem;P
`
sin embargo a­_
A
o>9Fp
­_
A
i 6= m
(zm )2 a2m 0:
a2m 0
A
­_
A
ii p ]omamos a0 = 1; an = 1;; or lo ­_ a0 + 2an + a2n 2 R;como a0 0 y a2n 0; tenemos
a0 + a2n 2 R, entonces am+n 2 R
T
ii
omando zm =
p ]
1; zn = 1 se tiene
(zm )2 a2m + z n zm am+n + zn z m am+n + (zn )2 a2n 0
a2m
2am+n + a2n 0
a2m + a2n 2am+n :
=
T
iv p Ri am+n = 0 la desigualdad es trivi K «R a2m = 0 y a2n = 0; ; or la desigualdad anterior,
T
am+n = 0 tam¬ nC 9 Entonces ; odemos
:_;
oner sin ; erdida de generalidad ­ ue a2m > 0 9
8Ed
T
R
tomamos zm =
1, zn = a2m =am+n se obtiene
(zm )2 a2m + z n zm am+n + zn z m am+n + a2n
a2m
a2m 2
a2m 2
a2n
k+
am+n
am+n
a2m 2
a2n
a2m a2m +
am+n
a2m 2
a2n
am+n
a2m a2n
¹
p
0
0
0
a2m
(am+n )2 9
Utilizando i¹ p tenemos ­ ue si a0 = 0;
a0 a2n (an )2
0 (an )2
A
de donde an = 0 9 La ;P_ ba de
T
vi
_;
p R
U KLTDC
sen
¹T
o
p
=
es simi
KP
9
A
;P J
1
e fbn g1
n=0 0(+) y fan gn=0 0(+): Entonces utilizando la re
R1 n
R1 n
A
dada ; or o>9Ep an =
1 x (dx) y bn =
1 x (dx): R an X y Y variables
ongamos
A
;
aleatorias ind
­_
endientes con distribuciones X = y Y = : Entonces los momentos de la
variable aleatoria Z = XY están dados ; or
Z
1
1
Z
xn X (dx)
Z
1
1
1
1
xn Z (dx) = E[Z n ] = E[X n ]E[Y n ] =
Z 1
Z 1
xn (dx) = an bn 9
xn (dx)
xn Y (dx) =
1
1
De la misma ^BPH K los momentos de la variable aleatoria W = X + Y están dados ; or an + bn :
Esto
A
;P_ ¬
a
­_
A
1
fan bn g1
n=0 0(+), fan + bn gn=0 0(+)
;_
es tienen
A
P ;
TD
resentac n como en
o>9Ep
TT
A
K
p R
T
;
_;
2 ;
fan g1
oner a0 = 1 entonces sea X
n=0 0(+), con a0 a2 = a1 , or v p odemos s
R
A
A
T
1
de tal ^ orma ­_ an = 1 xn (dx) = E(X n ) calculando los ;P H PB: momentos de X tenemos
vi
2
E(X ) =
Z
1
2
x (dx) = a0 a2 =
1
a21
8E\
=
Z
1
1
2
x(dx) = E(X)2
entonces V ar(X) = E(X 2 )
E(X n ) = E(X)n y an0
1
DC
BHB
<
una sucesi
`«
E(X)2 = 0 y X debe de ser una variable aleatoria constante 9 As
; KP K
an = an1
todo n = 1; 2; 3:::
;
es ositiva de
nida si y :
D=B
si la matriz de
KC
O
[
el es ; ositiva de
nida,
=T
el criterio de Rylvester ; KP K matrices ; ositivas debe cuH; P se ; ara la matrices de
TDC ;PA:A
A continu KL
@
BP
ntamos las versiones del
º
T
;PB¬
=A
HK
TDC ; KP K
, estos criterios clásicos dan una caracter ³ KL
UB:
momen
de momentos de
el
:B;
O
UTA=U»A
R
orte de en
KC
[
sy
UnPHTCB:
el 9
K
O
ussJ
de sus
9
,
W
eorema
e
ÙVÙ
Sea fan g1
n=0 0(+), de tal forma que an =
de probabilidad en R. Entonces
R1
n
1 x (dx)
para alguna medida
i) El soporte de esta contenido en [0; 1) si y sólo si fan+1 g1
n=0 0(+)
an+2 g1
n=0 0(+)
ii) El soporte de esta contenido en [ 1; 1] si y sólo si fan
iii) El soporte de esta contenido en [0; 1] si y sólo si fan+1 g1
n=0 0(+), fan
an+2 g1
n=0 0(+)
0(+) y fan+1
Finalmente
B;
tenga s
()6/
orte
A A
;P :
ntamos un criterio en tn rminos de los momentos
LBH; KL B
t
9
Antes recordamos
­_
A
;
DC
­
se dice ue una sucesi
ara
­_
crece
A
an+1 g1
n=0 una medida
on j'5 0
0%
mente si eª iste una constante c tal ­ ue jan j cn 9
,
W
eorema
l
ÙVÙ
Sea fan g1
n=0 0(+), de tal forma que an =
R1
n
1 x (dx)
para alguna medida
de probabilidad en R. Entonces el soporte de está acotado si y sólo si an crece subexponencialmente.
i014j
tr6()
*%
_;
R
ongamos
­_
A
el so; orte de esta contenido en el intervalo [R; R]:
Entonces tenemos
jan j ;_
es es una medida de
B;
El s
;PB¬ K¬
Z
R
R
jxn j (dx) Rn
ilidad 9
orte de está acotado ; or limn!1
p
2n
entonces
lim
n!1
p
2n
a2n lim
n!1
N
8 c
UA
a2n nos dice los siguien
p
2n
c2n = c
9
`
As , si jan j cn ,
i iogra a
±
°8
Aigner, M 9
¸ K^
sensc
±
°F
±
°E
[¸TA
³
ten
er,
G
Combinatorial Theory 9 Grundlehren der Mathematischen
o8\M\p9
el
V
,
;
R
a
J
I
Documenta Mathematica
N±
°
Arnold,
>9 <9
S9
`
>
The Classical Moment Problem. Oliver &
Anshelevich, M 9 oFcc8p9 Partition
@A
;
@
KPC
>
;PB
±
°b
º GT
J
or
elsen,
'
9
9
R9
º GT
J
or
elsen, O 9 '9 R9 ]
¸BP¬ » ¼PC:A
]
¸BP
; B;
ome
o8\dcp9 R
cesses in ^ ree ; robability9 Bernoulli
@
KPC
>
yd, EdinburghJ µBC
endant stochastic measures in ­J
Journal of the American Statistical Association
±
°I
B
>
@A
A@
^BPH
@
BC
9
cumulants 9
N
N
E EJ Ed 9
Groeneveld
9
isJ
erl C 9
ringer erlag,
9 9 o8\bIp9
È
s
mt
n
r
erties o^ the arcsine distribution 9
8MEJ 8MI9
oFccFp9
A= @
^J
R
ecom; osability and
n¹¶
µ
EFEJ Ebb9
N
¼
bj P nsen oFcc
p9
A connection beteen ^ ree and classical
in
nite divisibility9 In
nite Dimensional Anlysis, Quantum Probability and Related Topics
m
±
°M
IMEJ I\c9
@
KPC
>
and
±
°d
º GT
J
or
n¹¶ ;PB
µ
@
9
A
>
Franz oe
¸
nayc
~
cesses.
elsen,
:
9
C
p9
A
J Ç BP²
A
>
rcovici,
O9
¼
orbj rnsen
GBUA:
a
9
=
K::
oFccbp9 <
in Mathematics
=
=
®
K::TL K
9 oFccIp9 <
es,
¸
R9 ]
ical and ^ ree in
nite divisibility
Quantum Independent Increment Processes II 9 <9 Rch
´
Lecture
Annals of Probability
±
°\
E9
ee
Pata
,
and
^P
,
s
-
AA
@
i9
9
;
R
ringer,
PH KCC
and
A =T
C
>
9
r
distributions and random matrices 9
N
88E J 88Mc9
U K¬
o8\\\p9 R
theory9 Annals of Mathematics
lZ
-
,
le la: and domains o^ attraction in ^ ree
LBC K;nC
8cFEJ 8cbc9 o
N
8 8
T KCA
9 >
p9
dice de P
;PB¬ K¬
ility
±
°8c
A
>
;
±
°88
rcovici,
O9
=
oiculescu
o8\\Ep9
Free convolution o^ measures
orts 9 Indiana Journal of Mathematics
T KCA
>
, P9
±
°8F
=@T
P_ K
«
>
S9
±
°8E
Donoghue,
GA
A A
:
e;P
o8\\dp9 S
or
es
-
Mathematics
N±
°8
a
9
B^
ntations
l
,
V
MEEJ MME9
symmetric
N
o8\M p9
TLTD
±
°8b
Flajolet, P
AA
;PB¬ K¬T=T
ty9 Advances in
or
[
GA
Introductory Combinatorics. ]ercera Ed L n 9 Elsevier,
;
R
Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation 9
n revisada, John
]9 o8\\bp9
<
9
È
iley
BC:
R
9
ringer,
a
GB
ringerJ erlag, ;;
Franz, U 9
y
Analytic combinatorics
oFcccp9
9
Mur K
=
9 ·
oFccIp9
<
KP
[
ov
;PB;
ienti
c,
ore, ;;
A
; KL :
9
A
P:
an numb
Scienti
c American
Gentle,
'
GA
[
or
~
N
9 oFcc p9
9
-9
B^
9
man
==
K
O
@
, Lon
~
chord diagr KH: 9
[¸ =A
K ¹
Mi
and
C
´
<
9
Formal
T[¸ K=A¹
a
9
BC
9
9
irai,
]9 O
n¹¶ ;PB
µ
azoe,
K
]9 ·
A
:
cess
In In
nite
9
·9 R
aito oeds p9
È
orld
EMJ IM9
U K=
Gardner, M 9 o8\Mbp9 <K
=
rob, A 9
¸ K;
<
erty o^ monotone
Dimensional Harmonic Analysis III 9 O9 Oeyer,
TC² K;
R
Ù
8\8J Fc89
[T
G
ñ4/
Inc 9
A Course in Large Sample Theory 9
Power Series and Algebraic Combinatorics.
el
V
,
A
´
An integer se­ uence that materializes in un
ª;
ected
8FcJ 8FI9
Random Number Generation and Monte Carlo Methods.
;
R
ringer,
9
±
°Fc
Gessel,
±
°F8
Gneden o,
_;
9 o8\\Fp9 R
[
a
>9
9
er ballot numbers 9 Journal of Symbolic Computation
G
9
=
B
9 ·
mogorov
N
o8\I p9
È
Gradshteyn,
~ <
9
9
and M 9
¶
S
¸T[
z
N
o8\\ p9 ]
l
-
,
N
8 M \ 8\ 9
Limit Distributions of Sums of Independent
Random Variables 9 AddisBCJ esley Publishing
±
°FF
^P
An Introduction to Probability Theory and its Applications 9
9 o8\Mcp9
Ferguson,
±
°8\
and
T TD
È
±
°8I
±
°8d
²PB_;:
8FbJ 8d89
9 o8\\8p9
È
ercera Ed
L
R
unbounded su;J
9
]
±
°8M
TU¸
[
Feller,
;
R
BH; KC
<
y,
KH
<
AUU
:
bridge, Massachus
U:
able B^ Integrals, Reries and ProduL
T TD
Ed L n 9 Academic Press, London 9
N
8 F
9
/
9
_T C
ta
±
°FE
Guionnet,
U ®=
J
TUn:
des Probabil
GA
N±
°F
or
Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics.
9oFccdp9
de Rain
~
a
our
T KT
O
=
®
9
,
Petz
9
ton, P9
9
BP
O
a, A 9
¸A
]
G
e
-
Obata
9
,
oFcc8p9 <
American Mathematical
N
b
BP
O
n,
S9
±
°Fd
BP
O
n,
S9 o8\b\p9
<9
n
A
· PB
v,
or
~ II,
A
;PTC² P « GA
EM8 R
a
KH
<
Matrix Analysis.
A
A
­_
Z
9
KH
<
large random matrices
¸BP_³
9 ·
«
9 >9
9
TU
bridge 9
nce: 9 Transactions of the Amer-
ransition ;PB babilities ^BP continual oung diagrams and the
<
A TA
P :
R
8MMJ Fc9
,
9 o8\\Ep9 ]
zhy,
9
[
bridge University Press,
moment ; robleH 9 Functional Analysis and Applications
¸
· BP_C
A
ciety, ProvidenL
umbers, their Generalizations, and their Uses 9
In
nitely Divisible Positive De
nite R
a
R9
G
B
R
Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs 9
o8\MIp9
ican Mathematical Society
±
°Ec
ringer,
MI9
oFccMp9
Johnson
mm
=
KU K K
oretical and Mathematical Physics,
±
°FM
±
°F\
A
H KUTL: «
;
p R
es in Math
The Semicircle Law, Free Random Variables and Entropy 9
oFcccp9
Pedersen
Math. Intelligencer
±
°Fb
GBU
9
¸
T=
O
ture
Un
L
[
Mathemathical Rurveys and MonogP K; s
±
°FI
A
L
oµ
,
Fccb
4 ole d
[
hen o
@A
;
L 9
9
Pastur
Vm
,
<
KP
[
ov
N
8c J 88M9
o8\\bp9
Asym;
UBU
ic
;PB;
B^
erties
h in
endent entrie: 9 Journal of Mathematical Physics.
andom
a
e
,
m
IcEEJ Icbc9
±
°E8
T
·
ngman,
®
9 9<9 o8\bEp9 S
=[
:
TU¸
¡
¸
s; erical symmetry Acta Mathematica
Z
-
88J IE9
±
°EF
LedB_ª « M 9
N
oFcc p9
Tº
D erential
B;
erators and s; ectral distributions
=
bles ^PBH the classical orthogonal ; olynomi K : 9
Probability
±
°EE
Lenher,
Z
,
®
9 oFccFp9
Maaseen,
A
HJ
invariant ens
continuous case 9 Electronic Journal of
8MMJ Fcd9
Free cumulants and enumeration
Journal of Combinatorics
N±
°E
¸A
]
B^
O9 o8\\Fp9
tional Analysis
¡
-
e
V
Addition
N
B^
connected
;
artition: 9 European
8cFIJ 8cE89
AA=
B^ ^P
¶
T K¬=A:
inde; endent random vaP
N
c\J Ed9
N
8 E
9
Journal of Func-
±
°EI
[
Marchen o,
a
9
¸
µ9
Pastur o8\bMp9 ] e distribution B^ eigenvalues in certain sets B^ random
matrice: 9 Mathematics Sbornik
±
°Eb
Mehta, M 9
±
°EM
Mezzadri, F 9
N
µ9 oFcc p9
G
,
mV
IcMJ IEb9
T TD
Random Matrices 9 ]ercera Ed L n 9 Academic Press,
C
9 <9 R
aith
Z
Journal
± GT
L K«
°E\
;
S9 R
9
PnP
A
³J
BHH
o8\\dp9 <
eicher
9
;
S9 R
B
R
Abreu,
eicher
AA
S
d, M 9
utators B^ ^P
ciety Lecture
a
9 oFccbp9
A
GBU
KC
@
S
N
tV
es
A TA ee
P :
R
t
;
R
AA
;
R
KH
<
eicher,
CT J
AA
random variable: 9 Duke Mathematical
KH
<
bridge University Press,
T
T
<
UTBC
9
KH
bridge
Periodica
Fourier Analysis and
@»
A
^J
R
l
ointness
ñ4/
VÙ
Methods of
N
8 IJ FcI9
A
brid²
9
Multi; licative
S9 o8\\Fp9
;
R
;
R
^_
nctions on the lattice
convolution, Mathematische Annalen
eicher,
eicher,
-V
N ±
° b
bridge
MJ bI9
THBC
>9 R
o8\MIp9
S9
;PB
Free
o8\\Mp9
Lotharingien de Combinatoire
N ±
° I
KH
ato, ·9 o8\\\p9 Lévy Processes and In
nitely Divisible Distributions. <KHbridge University
^P
NN±
°
<
R
Press,
N ±
° E
A TA e
P :
R
VV
om matP ª model ^ or the Gaussian distP ¬_
Modern Mathematical Physics, Academic Press,
N ±
° F
GBUA:
Lectures on the Combinatorics of Free Probability. London
oFccbp9
Mathematica Hungarica
N ±
° 8
ciety Lecture
V IIEJ I\F9
Mathematical
N ±
° c
B
R
A
KH¬PT@²
<
9
versity Press,
Die²B 9
KC
Recent Perspectives in Random Matrix Theory and
oFccIp9
Number Theory. London Mathematical
± GT
L K«
°Ed
R
=
S9
È
@
a
9
oiculescu, oe
eicher,
S9
tran:^ oPH ´
¸
]
G
p9
K
9 S
e case
,
eZ
L
>E\
B^
K
S
o
oFccMp9
; KP
titions and
CBCJ
crossing
;
artition: 9 Seminaire
A=A U
L PBCTL
o
p9
olean convolution, Fields Institute Communications,
American Mathematical
j
noncrossing
b 8 8 bFd9
bability theory and
B
o8\\Mp9 >
oroudi
S9
Zs
V
B^
B
R
ciety, ;; 9 2 bMJ 2 M\
Multi; lication
AA
B^ ^P
random variables and the
vanishing mean 9 Electronic Communications in Probability
N
F dJ FId9
NN
8
RJ
-V
N ±
° M
® È
9
9
teutel,
R
·9
a
an
O
[[
the Real Line. MarcelJ De
N ±
° d
Ç9 oFcccp9
eschl,
]
matical
N ±
° \
_
R
Uribe, G 9
KPC
er,
oFccEp9
In
nite Divisibility of Probability Distributions on
or
[
GA
9
A
Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices. Math
rveys and
®
9 oFccFp9
<
BCB²P K;¸:
American Mathematical
mV
B
R
J
A
ciety, Providenc
9
La Ley Arcoseno en Caminatas Aleatorias, Movimiento Browniano y
en el Proceso Poisson Compuesto. ]esis de Licenciatura, Facultad de Matemáticas, AM,
G
<
nªTLB
9
± a?
A
³­_
°Ic
z,
9 oFccbp9
Teoría Espectral de Operadores de Jacobi. ]esis de Licenciatura, FacJ
ultad de Matemáticas, Universidad de Guanajuato,
± a
°I8
oiculescu,
=
A
¶HH UPT
9 o8\dIp R
es o^ some reduced
<
nªTLB
^P
AA
9
;PB
duct
¢
< J
?=²A¬ K:
r
9
In ´ Oper-
ator Algebras and their Connections with Topology in Ergodic Theory. Lecture Notes in
Mathematics
e
-- V
,
± a
°IF
oiculescu, D 9
;
R
o8\dbp9
Functional Analysis
a
ringer erlag ;;
Addition
,
B^
IIbJ Idd9
certain nonJLBHHuting random variable: 9 Journal of
N
EFEJ E b9
± a
°IE
oiculescu, D 9 o8\dMp9 Multi; lication B^ certain nBCJL ommuting random variable: 9 Journal
of Operator Theory
N± a
°I
oiculescu, D
Mathematica
± ÈT
°II
gner, E 9
s
-
o8\\8p9
¡
l
-
,
,
FFEJ FEI
Limit La:
^BP
random matrices and
^P
AA
;PB
U:
d_L
9
Inventiones
Fc8J FFc9
¸ KP
o8\IIp9 <
acteristic vectors
mensions 9 Annals of Mathematics
,
V
B^
bordered random matrices
N
N
I dJ Ib 9
N
8 I
th in
nite
T
@T
J
