introducción al cálculo simbólico con mathematica

INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO SIMBÓLICO
CON MATHEMATICA
Profesora: Dra. Rosa Eva Pruneda
Alumno: Marcelo Julio Marinelli
Tema: Carga y descarga de un capacitor
Carga y descarga
de un capacitor
Carga de un capacitor
En el circuito de la Fig. 1 al cerrar el interruptor S0
comienza a circular una corriente i = dq/dt provocando
una diferencia de potencial en el capacitor Vcap= q/c.
Aplicanley de Kirchoff :
i.R + (1/C) .q - V = 0
Sabemos que i=dq/dt y dV/dt =0 (por ser un potencial
constante), si derivamos con respecto al tiempo:
i´ R + i(1/C) = 0
Clear@"Global`*"D
Obtenemos la función que rige la corrienete de carga
de un capacitor:
IC = DSolve@8R i' @tD + 1 ê Ci@ tD ä 0, i@0D ä V ê R=, i, tE; i@ t_D = i@ tD ê. IC
:
− t
CR
V
R
>
Graficamos para R=1000 W, C=.001 mF y V=10 Volts
iI@ t_D = i@ tD ê. 8R Æ 1000, C Æ .001, V Æ 10<
:
−1.t
>
100
Plot@8iI@ tD<, 8t, 0, 12<, PlotLabel Æ 8"
Corriente de carga de un capacitor"<,
PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"tHsegL", "IHAL"< , GridLines Æ Automatic,
PlotStyle Æ 88RGBColor@1, 0, 0D<<D
IHAL
0.01
de carga de un capacitor <
Corriente
0.008
0.006
0.004
0.002
2
4
6
8
10
12
tHseg L
Graphics
Ahora calcularemos la forma de onda de tensióndurante la carga :
VCap= V-i(t).R
VCap@ tD = V - i@ tD R
:V −
− t
CR
V>
Vcap@ t_D = V - i@ tD R ê. 8R Æ 1000, C Æ .001, V Æ 10<
810 − 10 −1.t<
Plot@8 Vcap@ tD<, 8t, 0, 12<, PlotLabel Æ 8"
Tensión de carga de un capacitor"<,
PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"tHsegL", "VcapH voltL"<, GridLines Æ Automatic,
PlotStyle Æ 88RGBColor@0, 1, 0D<<D
Vcap Hvolt L
Tensió n de carga de un capacitor
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
tHseg
Graphics
Constante de tiempo
Como se ve en el gráfico de tensión de carga de un capacitor la diferencia
de potencial entre los bornes del capacitor crece exponencialmente hacia
el valor V, en este ejemplo 10 (v), de acuerdo a la función:
Vcap = V J1 - „- C R N
t
Se define la constante de tiempo de carga de un circuito RC (resistenciacapacitor) como el producto de R . C
τ = R. C (seg.)
Si en la ecuaciónV J1 - „- C R N reemplazamos t por RC nos queda :
t
NAVcap = VI1 - „-1 ME
0.632121 V
0.6321205588285577` V
Donde el valor de tensión alcanzado por el capacitor es
aproximadamente el 63% del total V.
La ecuación de carga del capacitor se expresa :
i
-t y
Vcap = V 1 - „ τ
k
{
Si en la ecuacion anterior multiplicamos por C nos queda :
i
i
-t y
-t y
Vcap. C = VC 1 - „ τ = > qcap = q 1 - „ τ
k
{
k
{
donde Q es el la carga máxima que alcanza el capacitor H V.CL
El valor de t depende unicamente de los valores de los elementos R y C
por lo que es independiente de la fuente de tension que se conecte. El va
de t se interpreta como el tiempo que tarda el capacitor en alcanzar un 63
del total de la carga
Descarga de un capacitor
Aplicando Kirchoff queda:
V = VCap- i.R
Derivando respecto a t:
i´R + i(1/C) = 0
Pero para t=0 => i=V/R
Clear @iD
IC = DSolve@8R i' @ tD + 1 ê Ci@ tD ä 0, i@0D ä V ê R<, i, tD; i@ t_D = i@ tD ê. IC
:
− t
CR
V
R
>
iI@ t_D = i@ tD ê. 8R Æ 1000, C Æ .001, V Æ 10<
Plot@8iI@ tD<, 8t, 0, 12<, PlotLabel Æ 8"
Correinet de descarga de un capacitor"<,
PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"tHsegL", "IHAL"< , GridLines Æ Automatic,
PlotStyle Æ 88RGBColor@0, 1, 0D<<D
IHACorreinet
L
0.01
de
descarga
6
8
de un capacit
0.008
0.006
0.004
0.002
2
:
1
100
−1.t
4
10
12
tHseg L
H Graphics L>
ÜGraphicsÜ
Ahora obtenemos la función de descarga de la tensión
del capacitor
Como VCap=VR=I(t).R
Vcap@t_D = i@tD R
:
− t
CR
V>
Vcap@ t_D = i@ tD R ê. 8R Æ 1000, C Æ .001, V Æ 10<
810 −1.t<
Plot@8 Vcap@ tD<, 8t, 0, 12<, PlotLabel Æ 8"
Tensión de descarga de un capacitor"<,
PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"tHsegL", "VcapH voltL"< , GridLines Æ Automatic,
PlotStyle Æ 88RGBColor@0, 1, 0D<<D
Vcap Hvolt L
Tensió n de descarga
de un capacitor
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
tHseg
Graphics
Vemos que la constante de tiempo para la descarga
surge de reemplazar t por t =RC en
:
NA
−CR
CR
VE
0.367879 V
0.36787944117144233` V
0.367879 V
Entonces para un t =t el capacitor se descarga hasta
el 37% del valor total.
Ejercicios propuestos
1.- Calcular la tensión alcanzada por el capacitor al cabo de 1
seg. en un circuito RC donde C=1 µf, R=100 Ω y v=100 v.
2.- En el circuito del punto anterior calcular la caida de tensión
en la resistencia al cabo de .5 seg.
3.- En un circuito de temporización basado en un circuito RC
cuyo τ = 12 seg. se necesita que la diferencia de potencial en la
resistencia alcance 5 V al cabo de 3 seg de cerrado el
interrruptor. Calcular el capacitor si la resistencia es de 100 Ω y
la fuente de alimentación es de 12 V.
4.- Calcular la potencia disipada por el capacitor y la
resistencia de un circuito RC durante los primeros 2 seg. de
descarga, si el capacitor estaba cargado con una tensión de 10
V , C = 10 µf y la resistencia es de 200 Ω.
5.- En un circuito RC cuyo capacitor es de 10 µf y su resistencia
de 1KΩ se desa saber la carga del capacitor para un tiempo t=
τ/2 y t = τ si la tensión de alimentación es de 9 V.
6.- En un circuito RC con R= 100Ω V= 100 V Graficar i(t), q(t) y
v(t) para C = 1µf , 10 µf y 50 µf.
Rutina de cálculo de la tensión de carga de un C desde
un archivo
a) Instrucciones:
En el archivo "Problema.txt" se cargan los datos de la siguiente forma:
C=10 nanofaradios
R=20 meghoms
V=10 voltios
T= 1 segundos
Se pueden utilizar las siguientes unidades:
.- Para el capacitor nanofaradios o microfaradios.
.- Para la resistencia meghoms o kilohms.
.- Para el tiempo segundos o milisegundos.
Una vez ingresados los datos al archivo presionar el botón calcular del punto
siguiente.
Obtendremos dos archivos de salida:
SALIDA.DAT proporciona un listado de datos tiempo- tensión del capacitor que
permite tomarlo con Excel y realizar el gráfico.
En el archivo SOLU.TXT se gravan los resultados de la constante de tiempo en
segundos y el valor de la tensión del capacitor para el tiempo ingresado.
bL CALCULAR