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Geometría Proyectiva
Segundo Cuatrimestre — 2015
Práctica 7: Más variedades algebraicas
A lo largo de esta guía k es un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero.
Funciones racionales
1. Hallar parametrizaciones racionales de las siguientes curvas en A2 y probar que son birracionales a la recta afín A1 :
(a) X 2 + Y 2 = 1;
(b) Y 2 = X 3 ;
(c) Y 2 = X 3 + X 2 .
Sugerencia: para (a) considerar la proyección estereográfica; para (b) y (c) intersecar a la curva con una
recta por el origen de pendiente t.
2. Sea F ∈ k [ X, Y ] una curva irreducible. Supongamos que F = Fn + Fn−1 + Fn−2 con Fi un
polinomio homogéneo de grado i.
(a) Reemplazando a Y por tX en la ecuación F = 0 –es decir, intersecando a F con la recta
por el origen de pendiente t– y cancelando un factor X n−2 , obtener una expresión de la
forma
a(t) X 2 + b(t) X + c(t) = 0.
Tomar s = 2aX + b para completar cuadrados y probar que F es birracional a una curva
de ecuación
s2 = p ( t ).
(1)
Mostrar que si p tiene grado par 2m, factorizándolo como p = (t − α)q y dividiendo la
ecuación (1) por (t − α)2m , se llega a que esta curva es, a su vez, birracional a una dada
q(t)
por η 2 = h(ξ ), con ξ = t−1 α , η = (t−sα)m y h(ξ ) = (t−α)2m−1 , donde h es un polinomio de
grado ≤ 2m − 1 en ξ.
(b) Supongamos ahora que n = 3 –es decir, F es una cúbica que pasa por el origen. Sabemos
que F es birracional a una curva de ecuación Y 2 = f ( X ) con f un polinomio de grado
≤ 3.
(i) Probar que si el grado de f es ≤ 2 entonces F es birracional a A1 .
(ii) Probar que si el grado de f es 3, entonces F es birracional a una curva de ecuación
Y 2 = X 3 + uX + v,
u, v ∈ k.
Multiplicidad y números de intersección
3. Encontrar los puntos singulares de las siguientes curvas en A2C y estudiar las rectas tangentes en cada uno de ellos:
(a) Y 3 − Y 2 + X 3 − X 2 + 3Y 2 X + 3X 2 Y + 2XY;
(b) X 4 + Y 4 − X 2 Y 2 ;
(c) X 3 + Y 3 − 3X 2 − 3Y 2 + 3XY + 1;
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Práctica 7
(d) Y 2 + ( X 2 − 5)(4X 4 − 20X 2 + 25).
4. Calcular I ((0, 0), F ∩ G ) en los siguientes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
F
F
F
F
= Y − X 2 , G = Y − X 3 + X;
= Y2 − X 3 , G = Y − X 3 + X;
= X 4 + X 2 Y2 − 2X 2 Y − XY2 + Y2 , G = X 6 − X 2 Y3 − Y5 ;
= Y2 − X 3 − X 2 ; G = Y2 − X 3 + X.
5. Sean F ∈ k[ X, Y ] y L = {( a + bt, c + dt) : t ∈ k} una recta que no es una componente de F.
Definimos G (t) = F ( a + bt, c + dt).
(a) Mostrar que a cada raíz r de G le corresponde un punto Pr ∈ F ∩ L.
(b) Probar que I ( Pr , F ∩ L) es la multiplicidad de r como raíz de G.
6. Sea P un punto doble en la curva definida por un polinomio F, y supongamos que hay una
única recta tangente a F en P, que llamamos L.
(a) Mostrar que I ( P, F ∩ L) ≥ 3. Decimos que P tiene una cúspide ordinaria si vale la igualdad.
(b) Supongamos que P = (0, 0) y L = Y. Probar que P es una cúspide de F si y solo si
FXXX (0, 0) = 0.
7. Sea F una curva en P2 . Probar que P es un punto múltiple de F si y solo si
F ( P) = FX ( P) = FY ( P) = FZ ( P) = 0.
8. Encontrar los puntos singulares de las siguientes curvas en P2C y estudiar las rectas tangentes en cada uno de ellos:
(a)
(b)
(c)
(d)
XY 4 + YZ4 + XZ4 = 0;
X 2 Y 3 + X 2 Z3 + Y 2 Z3 = 0;
Y 2 Z − X ( X − Z )( X − λZ ) = 0 con λ ∈ k;
X n + Y n + Z n = 0, con n > 0.
9. Sin usar el teorema de Bézout, probar que dos curvas en P2 sin componentes comunes se
cortan en un número finito de puntos.
10. Sea F un polinomio irreducible. Probar que alguna de las derivadas parciales de F es no
nula. Concluir que F tiene un número finito de puntos múltiples.
11. Sean F ⊂ P2 una cónica irreducible y P = (0 : 1 : 0) ∈ F un punto no singular con recta
tangente Z = 0.
(a) Probar que F = aYZ − bX 2 − cXZ − dZ2 con a, b 6= 0.
(b) Probar que mediante un cambio de coordenadas proyectivo podemos tomar
(i) a, b = 1;
(ii) c, d = 0.
(c) Concluir que a menos de un cambio de coordenadas proyectivo, hay una única cónica
irreducible en P2 , que además es no singular.
(d) Sea φ : P1 → P2 dada por ( x : y) 7→ ( x2 : xy : y2 ). Probar que φ(P1 ) es una cónica
irreducible y que φ induce un isomorfismo P1 ' φ(P1 ). Concluir que toda cónica
irreducible es isomorfa a una recta proyectiva.
(e) Probar que una cónica reducible es la unión de dos rectas (posiblemente iguales).
12. Sean F ⊂ P2 una cúbica irreducible y P = (0 : 0 : 1) ∈ F una cúspide con recta tangente
Y = 0.
(a) Probar que F = aY 2 Z − bX 3 − cX 2 Y − dXY 2 − eY 3 .
(b) Probar que mediante cambios de coordenadas proyectivos podemos tomar
(i) a = b = 1;
(ii) c = 0 (mandar X a X − 3c Y);
(iii) d = e = 0 (mandar Z a Z + dX + eY).
(c) Concluir que a menos de un cambio de coordenadas proyectivo, hay una única cúbica
con una cúspide en P2 , que además es no singular.
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Práctica 7
Teorema de Bézout y aplicaciones
13. Sean F y G dos curvas en P2 de grados m y n respectivamente. Probar que si F y G
se intersecan exactamente en mn puntos, entonces los puntos de intersección son puntos no
singulares de F y de G.
14. Probar que si F define una curva no singular en P2 entonces F es irreducible. ¿Vale lo
mismo para curvas en A2 ?
15. Sea F una curva irreducible de grado n en P2 . Supongamos que FX 6= 0. Probar que
n ( n −1)
∑ P m P ( F )(m P ( F ) − 1) ≤ n(n − 1) y concluir que F tiene a lo sumo 2 puntos singulares.
16. El teorema de Pascal. Si los vértices de un hexágono pertenecen a una cónica, los tres
puntos obtenidos como intersecciones de lados opuestos son colineales.
P1
P6
P2
P3
P4
P5
Q1
Q2
Q3
Vamos a demostrar la versión proyectiva de este enunciado: Sea C ⊂ P2 una cónica
irreducible. Sean P1 , . . . , P6 ∈ C, y sea Li,j la recta que pasa por Pi y Pj . Para demostrar el
teorema, tenemos que ver que los puntos Q1 = L1,2 ∩ L4,5 , Q2 = L2,3 ∩ L5,6 , Q3 = L3,4 ∩ L6,1
son colineales.
(a) Sea F, resp. G, el polinomio cúbico que se anula sobre L1,2 , L3,4 , L5,6 , resp. L2,3 , L4,5 , L6,1 .
Probar que dado P7 en C distinto de P1 , . . . , P6 , existe λ ∈ k tal que H = F + λG se anula
en P1 , . . . , P7 .
(b) Probar que la cúbica H = 0 tiene una componente en común con C. Concluir que
Z ( H ) = C ∪ L, donde L es una recta.
(c) Probar que Q1 , Q2 , Q3 ∈ L, QED.
† (d) Usando el ejercicio 13 de la Práctica 6, deducir que también vale el enunciado dual al
Teorema de Pascal, conocido como Teorema de Brianchon.
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