Fluctuaciones de Polarización en Óptica Cuántica

Fluctuaciones de Polarización en
Óptica Cuántica
Memoria del Trabajo de Investigación realizado por
Ángel Rivas Vargas
para la obtención del título de Máster.
Madrid, Septiembre 2007
Trabajo dirigido por :
Dr. Alfredo Luis Aina
Departamento de Óptica
Facultad de Ciencias Físicas
Agradecimientos
A Alfredo por su interés y dedicación en la realización del trabajo, así como su diligencia para sobrellevar algún que otro contratiempo inesperado.
A mi familia siempre.
A amigos y colegas, por los buenos momentos que pasamos juntos, y por los no tan
buenos.
A Bach, Beethoven, Chopin, Brahms, Mozart, Rachmaninov, y otros muchos, , ,
por su inestimable ayuda.
Dixitque Deus: Fiat lux. Et facta est lux.
Ed vidit Deus lucem quod esset bona.
Génesis 1, 3-4.
i
Índice
1. Introducción
1
2. Descripción Cuántica de la Polarización
1
2.1. Operadores de Stokes y Distribución de Polarización .
2.2. Fluctuaciones de Polarización . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Varianzas de Operadores de Stokes . . . . . .
2.2.2. Certidumbres de Operadores de Stokes . . . .
2.2.3. Grado de Polarización . . . . . . . . . . . . .
2.3. Distancia No-Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
2
2
3
4
5
3. Varianzas Principales
5
4. Resolución Interferométrica
9
3.1. Matriz de Covarianza Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Matriz de Covarianza Hermítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Relaciones de Incertidumbre Invariantes SU(2) . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Resolución Interferométrica y Límite de Heisenberg . . . . . . . . . . . .
4.2. Resolución Interferométrica Intrínseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Estados con Máxima Resolución Interferométrica
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
Estados Coherentes SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . .
Estados Coherentes SU(2) Comprimidos . . . . . . . .
Estados Gaussianos en el Límite Brillante . . . . . . .
Estados Número Gemelos . . . . . . . . . . . . . . . .
Estados |ψiY2 = √12 (|ni1 |ni2 + |n + 1i1 |n − 1i2 ) . . . .
Estados |ψiY3 = √12 (|n + 1i1 |n − 1i2 + |n − 1i1 |n + 1i2 )
Estados NOON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Conclusiones
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7
8
9
9
10
11
12
12
13
13
14
14
15
ii
1.
Introducción
Desde que en 1900 Max Planck formulara la hipótesis de la cuantización de la energía
en la radiación del cuerpo negro y con ello el nacimiento de la teoría cuántica, se ha
descubierto el comportamiento cuántico de otros muchos observables. Dentro del marco
de la óptica cuántica es común tratar la polarización de la luz como un parámetro clásico,
perfectamente denido. Esta visión es sucientemente válida en determinadas y muy
comunes situaciones; sin embargo la naturaleza real de la polarización es muy distinta.
Está regida también por las reglas de la física cuántica [1] de tal manera que ningún
estado de luz resulta tener la polarización bien denida.
El objetivo del presente trabajo es estudiar las relaciones entre grado de polarización,
uctuaciones de los operadores de Stokes y resolución interferométrica, como manifestaciones de las uctuaciones cuánticas de la polarización. A nivel práctico nos centraremos
en los estados con buena resolución interferométrica. Dentro de esta familia parece ser
común la aparición de estados con valor medio nulo en los operadores de Stokes, peculiaridad que hace inservibles algunos de los métodos usuales hasta la fecha, siendo necesaria
la aplicación de otros enfoques. A tal efecto hemos desarrollado dos propuestas, para dos
problemas diferentes, que se discuten en las secciones 3 y 4.
Así el trabajo abarca una primera sección 2 donde se exponen las ideas y conceptos
de los que vamos a hacer uso a lo largo de él, las dos secciones 3 y 4 antes citadas, y
una nal 5 con el análisis de las uctuaciones en estados de interés metrológico, amén del
apartado de conclusiones.
2.
2.1.
Descripción Cuántica de la Polarización
Operadores de Stokes y Distribución de Polarización
Hay varias maneras de caracterizar las propiedades de polarización en óptica cuántica.
De la misma manera que en óptica clásica, la polarización es el efecto de superponer dos
campos ortogonales de la misma frecuencia, cuyos modos vienen dados en la descripción
cuántica por sus operadores destrucción a1 y a2 . Los operadores básicos de polarización son así la versión cuántica de los parámetros de Stokes clásicos, llamados por ello
operadores de Stokes, [2]
S0 = a†1 a1 + a†2 a2 ,
Sx = a†1 a2 + a†2 a1 ,
Sy = i(a†2 a1 − a†1 a2 ), Sz = a†1 a1 − a†2 a2 ,
(1)
que satisfacen el álgebra del grupo SU(2) como un momento angular,
[Sx , Sy ] = 2iSz ,
[S0 , S] = 0,
(2)
y permutaciones cíclicas. Además cumplen la relación de cierre
Sx2 + Sy2 + Sz2 = S0 (S0 + 2).
(3)
La equivalencia entre operadores de Stokes y un momento angular puede ser establecida
así por medio del modelo de los dos osciladores desacoplados de Schwinger.
La falta de conmutatividad de los operadores de Stokes conlleva que ningún estado
de luz puede tener polarización bien denida (dejando a un lado el vacío a dos modos),
1
esto es, el vector campo eléctrico no puede describir una elipse bien denida, de la misma
manera que las particulas cuánticas no siguen trayectorias determinadas [3].
Por otra parte los valores medios de los operadores de Stokes corresponderían a los
parámetros de Stokes clásicos que tienen una representación gráca sobre una esfera
unidad llamada esfera de Poincaré [4]. Y así como los momentos angulares generan las
rotaciones, los operadores de Stokes son generadores de las rotaciones en la esfera de
Poincaré, Uj = eiθSj ∈ SU(2), conservando estas transformaciones la energía representada
por S0 .
Como es sabido, otra manera de caracterizar un estado cuántico es mediante una
distribución en el espacio de fase. A efecto de analizar la polarización es suciente ceñirse
a la subvariedad del espacio fásico formada por la esfera de Poincaré. Debido a la no
conmutatividad de los observables no hay una única distribución asociada a un estado, si
bien la distribución más apropiada para nuestros intereses es la función de Husimi Q(Ω),
que corresponde al caso s = −1 (orden antinormal) de la familia Ws (Ω) de distribuciones
s-ordenadas. La razón es su cercanía con el comportamiento de las distribuciones de
probabilidad clásicas. Esta distribución puede ser evaluada [5] mediante la fórmula
Q(Ω) =
∞
X
n+1
n=0
4π
hn, Ω|ρ|n, Ωi,
(4)
donde |n, Ωi son los llamados estados coherentes SU(2) cuya expresión en términos de
los estados de Fock es:
|n, Ωi =
n 1/2 X
n
m=0
m
θ
cos
2
m θ
sin
2
n−m
e−imφ |mi1 |n − mi2 .
(5)
Estos estados son autoestados del número total de fotones S0 |n, Ωi = n|n, Ωi, y son la
proyección de los estados coherentes cuadratura |αi1 |βi2 sobre el subespacio Hn ∈ H de n
fotones. Además, cada uno de ellos en particular es autoestado de la proyección del vector
de Stokes sobre el vector unitario de ángulo sólido Ω que lo dene (S·uΩ )|n, Ωi = n|n, Ωi.
2.2.
Fluctuaciones de Polarización
En vista de que la polarización no está totalmente denida para cualquier estado de
luz, la caracterización de sus uctuaciones juega un papel esencial a la hora de obterner
la máxima información sobre su estado de polarización.
2.2.1.
Varianzas de Operadores de Stokes
La manera más usual y común de cuanticar uctuaciones sería la varianza estadística
de los operadores de Stokes, (∆Sj )2 = hSj2 i − hSj i2 , las cuales satisfacen la relación de
incertidumbre estándar de Schrödinger-Robertson [8, 9] en términos del conmutador:
1
∆Si ∆Sj ≥ |h[Si , Sj ]i| ⇒ ∆Sx ∆Sy ≥ |hSz i|,
2
(6)
y permutaciones cíclicas. No obstante esta expresión tiene algunos inconvenientes. El
primero es la no invariancia SU(2), esto es, dos estados conectados por una transformación
SU(2) son de hecho el mismo estado visto desde dos sistemas de referencia de Stokes, S y
2
S0 , uno rotado respecto del otro S0 = RS = U † SU . Sin embargo estados que son mínimos
de (6) no lo son de su versión rotada. En particular, entre los estados coherentes SU(2),
que están todos conectados por rotaciones, sólo algunos de ellos logran ser mínimos de
(6), por ejemplo |n; θ = 0i = |ni1 |0i2 .
Es evidente que detrás de la no invariancia SU(2) de (6) está el sistema privilegiado
de ejes (Sx , Sy , Sz ) que se toma para denirlas. Por tanto un método que garantiza la citada invariancia es usar componentes de Stokes referidas al valor medio hSi. Estas son la
componente paralela Sk a la dirección hSi, con |hSk i| = |hSi|, y dos componentes perpendiculares a hSi, denotadas por S⊥1 y S⊥2 , con hS⊥(1,2) i = 0. Además estas componentes
reducen las relaciones (6) a sólo una no trivial
(y ∆Sk ∆S⊥(1,2) ≥ 0),
∆S⊥1 ∆S⊥2 ≥ |hSk i|,
(7)
siendo ahora todos los estados coherentes SU(2) mínimos de estas relaciones. Este método
también permite denir criterios de compresión invariantes SU(2) [10, 11].
Si bien, el más profundo problema de estas relaciones tiene su origen en que en espacios
de dimensión nita no hay operadores canónicamente conjugados [12, 13], y la cota del
producto de dos varianzas es siempre el valor medio de un operador. En nuestro caso
todo el interés del desarrollo cae cuando hSi = 0, lo que sucede con frecuencia. Entonces
las direcciones paralela y perpendicular no están denidas lo que nos lleva de nuevo al
problema de la invariancia SU(2), y además todas las acotaciones para el producto de
varianzas se vuelven triviales ∆Si ∆Sj ≥ 0.
2.2.2.
Certidumbres de Operadores de Stokes
El problema de las cotas no canónicas para el producto de varianzas ha llevado, no
pocas veces durante las últimas dos décadas, a proponer relaciones de incertidumbre con
otros cuanticadores de uctuaciones. A estas relaciones se ha hecho costumbre llamarlas
relaciones de incertidumbre entrópicas, puesto que la primera propuesta fue formulada
con un par de entropías [14].
Con las relaciones de incertidumbres no triviales que damos en la sección 3, este problema ya no exige el uso de otros cuanticadores. Sin embargo es interesante considerarlos
en orden a dar una caracterización más completa de las uctuaciones [15, 16], ya que la
varianza sólo depende del primer y segundo momento de la distribución de probabilidad,
lo que puede ser insuciente en algunas situaciones [17].
Entre otras medidas de uctuaciones la conocida como certidumbre esquiva estos
inconvenientes, siendo a la par no demasiado complicada. Hay varias contextos distintos
de la polarización donde surge esta cantidad [1822]. Si P (x) es la probabilidad asociada
a la variable aleatoria discreta x ∈ X , su certidumbre puede denirse como la inversa de
la raíz cuadrada de la exponencial de su entropía de Rényi de segundo orden
!
H2 = − log
X
2
P (x)
s
⇒C=
X
P 2 (x).
(8)
x
x
De esta manera la máxima certidumbre C = 1 se alcanza cuando la variable está totalmente determinada P (x) = δx,x0 , mientras que la mínima ocurre
p en el caso de uniformidad
P (x) = 1/|X | (siendo |X | el rango de valores de x) y C = 1/ |X |. Además si NP 6=0 es el
3
número de puntos cuya probabilidad es distinta de 0, se tiene NP 6=0 ≈ 1/C 2 (en realidad
NP 6=0 = b1/C 2 c ó d1/C 2 e dependiendo del caso).
Para los operadores de Stokes, si ρ es un estado cuántico, la certidumbre de Su se
obtiene por medio de la expresión:
Cu2 =
X
Pu2 (m) =
m
X
|u hm|ρ|miu |2
(9)
m
donde |miu son los autoestados de la componente Su .
Relaciones de certidumbre que indiquen el límite de precisión alcazable simultaneamente por estas cantidades fueron obtenidas por [23]. Para dos componentes de momento
angular o del vector de Stokes se tiene
C12 + C22 ≤
2 + (d − 1)(1 + r(A))
,
d
(10)
siendo d = 2j + 1 la dimensión del espacio y r(A) el radio espectral de una matriz
que contiene productos escalares de los autovectores de ambos operadores Am0 ,m =
|1 hj, m0 |j, mi2 |2 − d1 = |djm0 ,m (π/2)|2 − d1 . Donde los coecientes d de Wigner se denen como djm,m0 (θ) = z hjm| exp(−iθJy )|jm0 iz , que en el caso de direcciones ortogonales
θ = π/2 pueden encontrarse algunas expresiones cerradas en [24].
Estas relaciones de certidumbre no son invariantes SU(2), porque la suma de certidumbres no es constante bajo transformaciones SU(2), como hemos comprobado usando
estados coherentes localizados en distintos puntos de la esfera de Poincaré. Así que será útil considerar certidumbres respecto a componentes longitudinal y perpendiculares
cuando las haya.
2.2.3.
Grado de Polarización
Hay otra medida de uctuaciones de polarización que es atractiva por su cercanía a
un concepto clásico: el grado de polarización. En óptica clásica éste se dene como un
cociente entre valores medios de operadores de Stokes:
Pclass =
|hSi|
.
hS0 i
(11)
Sin embargo esta denición es insactisfactoria fuera del caso de luz térmica, donde las
propiedades de polarización están totalmente determinadas por hSi. En especial en óptica
cuántica se tiene Pclass = 1 para un estado coherente SU(2), a pesar de que ningún estado
de luz puede tener polarización bien denida como hemos visto.
Se han propuesto otras deniciones del grado de polarización en donde intervengan
todos los momentos de la distribución y no sólo el primero; algunas de ellas están discutidas en [25]. En este trabajo nos concentramos en la medida dada en [26], donde el
grado de polarización de un estado cuántico de luz ρ es expresado como una distancia
entre su función Q(Ω) y la distribución uniforme Q(Ω) = 1/4π correspondiente a la luz
totalmente despolarizada:
Z
D = 4π
2
1
dΩ Q(Ω) −
,
4π
4
(12)
normalizando:
PQ =
Σ
D
=1−
,
D+1
4π
(13)
1
.
dΩQ2 (Ω)
(14)
así que 1 ≥ PQ ≥ 0, y
Σ= R
Es interesante advertir que Σ es la inversa de la certidumbre de la distibución de probabilidad Q(Ω), siendo así una medida del área efectiva sobre la esfera de Poincaré ocupada
por Q(Ω). Si bien hay diferencias entre certidumbres en variables aleatorias discretas y
continuas, estas últimas no están acotadas y tienen unidades.
Hay familias de estados para los cuales PQ → 1 cuando su intensidad aumenta. Si bien,
los estados con máximo grado de polarización a número de fotones jo son los coherentes
SU(2) [27].
Por otra parte, el grado de polarización es un cuanticador de uctuaciones globales
invariante SU(2).
2.3.
Distancia No-Clásica
La clasicidad de un estado cuántico, en sentido de Titulaer y Glauber [28] está asocidada al carácter de distribución de probabilidad auténtica de todas sus distribuciones
s-ordenadas. Ello requiere que su función P (caso s = 1) sea no negativa en todo su
dominio y menos singular que una delta.
Hay varias maneras de cuanticar cuánto de no-clásico es un estado, una de ellas
es conocida como profundidad no-clásica [2933], cuyo cálculo es complicado, aparte
de no ser demasiado discriminativa. Otras medidas han sido propuestas en términos de
la mínima distancia a los estados clásicos [3437]; resultando fácilmente calculables para
estados puros, ya que los únicos estados clásicos son los coherentes [38]. En estados de
dos modos de campo puede expresarse esta medida en función de la distribución Q(Ω),
que en el caso de estados con número de fotones n bien denido, toma la forma:
s
K = mı́n
Ω
p
1 − |hn, Ω|ψi| =
r
1 − máx
Ω
4π
Q(Ω).
n+1
(15)
siendo K = 1 el caso más no clásico y K = 0 el caso clásico de los estados coherentes.
Así, puesto que Q(Ω) muy picada signica estrecha (y así Σ pequeña), un estado
(puro) más no clásico que otro, tiene también menor grado de polarización. Es importante
reseñar que estas comparaciones han de hacerse a número de fotones jo, de hecho no es
cierto que menores uctuaciones de polarización (PQ grande) impliquen mayor clasicidad,
ya que varias familias de estados tienen PQ → 1 cuando hS0 i 1 y K → 1 al mismo
tiempo.
3.
Varianzas Principales
Los problemas de la falta de invariancia SU(2) de las varianzas pueden resolverse
para cualquier estado con la utilización de direcciones principales. Este método toma su
nombre del análisis multivariante [39] y está basado en la diagonalización de la matriz de
covarianza, que describe la estadística completa a segundo orden de una variable aleatoria
5
y que analizaremos en dos versiones, simétrica y hermítica, cuyas diferencias son debidas
a la no conmutatividad de los observables cuánticos.
3.1.
Matriz de Covarianza Simétrica
Para un estado cuántico ρ, la matriz de covarianza simétrica del vector de Stokes S
se dene como:
Mi,j =
1
(hSi Sj i + hSj Si i) − hSi i hSj i ,
2
i, j = 1, 2, 3;
(16)
siendo real, simétrica y denida positiva. Algunas de sus propiedades son las siguientes:
i) La varianza de una componente de Stokes arbitraria Su = u · S, donde u es un
vector unitario real, puede calcularse como
(∆Su )2 = ut M u,
(17)
y de manera análoga la correlación simétrica de dos componenetes cualesquiera.
ii) Puesto que M es simétrica puede ser diagonalizada por una matriz ortogonal Rd :


(∆S1 )2
0
0
(∆S2 )2
0  Rdt .
M = Rd  0
0
0
(∆S3 )2
(18)
Los autovalores (∆Sk )2 , k = 1, 2, 3, son las varianzas de los operadores Sk = uk · S, donde
2
uk son los tres autovectores ortonormales, M uk = (∆Sk ) uk , y siguiendo la nomenclatura
estándar en estadística nos referiremos a Sk = uk · S como componentes principales y a
sus varianzas como varianzas principales.
iii) Las varianzas principales aportan una caracterización invariante SU(2) de las
uctuaciones, puesto que los autovalores y autovectores son invariantes bajo cambios de
base de la matriz M . Y en particular este método puede aplicarse independientemente
del valor de hSi.
iv) Las varianzas principales son los extremos de la varianza de las componentes de
Stokes Su = u · S para ρ jo cuando variamos u. Más concretamente, de la ecuación
(17), teniendo en cuenta que M es real y simétrica e introduciendo un multiplicador de
Lagrange λ para la ligadura u2 = 1 se llega a la ecuación de autovalores:
M u = λu.
(19)
v) Es inmediato preguntarse por la relación entre componentes principales y las longitudinal y perpendiculares que se denieron en la sección 2. En general los dos conjuntos
de direcciones no coinciden, pues los primeros vienen denidos por los segundos momentos de la distribución, y los últimos dependen sólo de los primeros momentos. Ahora bien
pueden coincidir de existir determinadas simetrías de la distribución bastante comunes,
como por ejemplo, invariancia bajo giros en eje hSi implica que Sk es una componente
principal.
6
3.2.
Matriz de Covarianza Hermítica
Otra opción para construir una matriz de covarianza para los operadores de Stokes es
mediante la combinación
M̃k,` = hSk S` i − hSk i hS` i ,
(20)
siendo ahora M̃ hermítica en vez de simétrica. Las dos matrices M y M̃ contienen esencialmente la misma información puesto que dieren sólo en un factor hSi
Mk,` = M̃k,` − i
3
X
k,`,m hSm i,
(21)
m=1
coincidiendo ambas en el caso hSi = 0. En contraposición con las propiedades de M , M̃
tiene algunas diferencias:
i) M̃ aporta una manera de denir varianzas de combinaciones complejas de operadores de Stokes, Su = u · S para vectores unitarios complejos u con u† u = 1. En concreto
para u∗ 6= u se tiene que Su no es hermítico, Su† 6= Su , así que la varianza debe ser
redenida, por ejemplo en la forma [40, 41]
(∆Su )2 = hSu† Su i − |hSu i|2 ,
(22)
y de manera análoga para las correlaciones según la ecuación (20). Así queda generalizada
la relación (17) a combinaciones complejas
(23)
(∆Su )2 = u† M̃ u.
ii) Dada su hermiticidad, M̃ admite diagonalización D̃ por una matriz unitaria Ud ,
esto es M̃ = Ud D̃Ud† , siendo ahora los elementos diagonales las varianzas (22) de los
operadores S̃k = uk · S, donde uk son los tres autovectores complejos ortonormales de
M̃ . De nuevo utilizaremos la denominación direcciones principales y varianzas principales
para autovectores y autovalores respectivamente.
iii) Las relaciones de conmutación usuales (2) no son preservadas bajo la aplicación
de una matriz unitaria S̃ = Ud S, sin embargo considerando sin pérdida de generalidad
que Ud tiene determinante uno, puede verse que las reglas de conmutación invariantes son
muy parecidas a las usuales:
[S̃k , S̃` ] = 2i
3
X
†
k,`,m S̃m
,
[S0 , S̃] = 0,
(24)
m=1
que se reducen a (2) para operadores hermíticos.
iv) Análogamente al caso de M , las varianzas principales de M̃ son invariantes SU(2)
y son extremos de la varianza (∆Su )2 de cualquier combinación compleja de operadores
de Stokes Su = u · S donde u es un vector unitario complejo. De esta manera el proceso
de variación para el caso hermítico incluye las proyecciones sobre u real como un caso
particular, así las varianzas principales de M̃ son más extremas que las de M .
v) En la misma línea se puede probar que det M ≥ det M̃ mientras que el otro
invariante, la traza, coincide para ambas matrices
∆S̃
2
= (∆S)2 = hS0 (S0 + 2)i − hSi2 > 0.
7
(25)
por lo que al menos una varianza principal compleja debe ser no nula. Por otro lado
dos de ellas pueden anularse para el mismo estado, como pasa en los estados coherentes
SU(2).
iv) Es cuestionable si ∆Su para Su† 6= Su representa realmente uctuaciones observables. Por ejemplo, para Su = S1 + iS2 se tiene
(∆Su )2 = (∆S1 )2 + (∆S2 )2 − hS3 i2 ,
(26)
luego es posible que ∆Su = 0 con ∆Sk 6= 0 para k = 1, 2, 3. No obstante la (25) implica que
∆S̃ contiene todas las uctuaciones de operadores de Stokes. Por otra parte operadores
no hermíticos están relacionados con procesos experimentales, como se demuestra en el
esquema de la doble detección homodina para el operador amplitud compleja de un solo
modo de campo [4254]. En este sentido, por ejemplo los autoestados de Su = S1 +iS2 son
estados coherentes SU(2) rotados, que denen por proyecciones (4) la función Q(Ω), que
es una distribución de probabilidad observable, por ejemplo vía doble detección homodina
de dos modos de campo [5563].
3.3.
Relaciones de Incertidumbre Invariantes SU(2)
En orden a buscar relaciones de incertidumbre invariantes SU(2), el desarrollo de la
matriz de covarianza parece sugerir el uso de la suma de cuadrados de variazas [64], que
por ser la traza es ya de por sí invariante SU(2)
(∆Sx )2 + (∆Sy )2 + (∆Sz )2 = hS0 (S0 + 2)i − hSi2 .
(27)
Se pueden dar relaciones de incertidumbre para esta cantidad, por ejemplo usando la
desigualdad hS02 i ≥ hSi2 , que puede probarse por medio de la representación bosónica
(1), se obtiene
(∆S1 )2 + (∆S2 )2 + (∆S3 )2 ≥ 2hS0 i,
(28)
independientemente de a qué direcciones correspondan las varianzas ∆S1 , ∆S2 y ∆S3 .
Además, en estados donde existan las componentes longitudinal y perpendiculares de
manera similar puede derivarse que
(∆S⊥1 )2 + (∆S⊥2 )2 ≥ 2hS0 i,
(29)
con cualquier par de componentes perpendiculares. Nótese que esta desigualdad es más
fuerte que la que se puede obtener a partir de (7): (∆S⊥1 )2 + (∆S⊥2 )2 ≥ 2hSk i. Por
otra parte en el caso en que Sk sea dirección principal, aunque (29) es independiente
de las direcciones perpendiculares que tomemos, no así (7) que alcanza el mínimo para
las dos direcciones perpendiculares principales, como puede probarse vía invariancia del
determinante.
Por otra parte en el caso hSi = 0 tanto la ecuación (28) como la (29), que se cumple
para cualquier par de varianzas ortogonales, proporcionan relaciones de incertidumbre
invariantes SU(2) y no triviales. Si bien por motivos tanto históricos como prácticos el
reto está en dar una cota para el producto de dos varianzas que no predice la relación
de Schrödinger-Robertson. Para asegurar la invariancia SU(2) consideremos varianzas
principales con el orden ∆S1 ≥ ∆S2 ≥ ∆S3 , si hSi = 0. Aunque no de manera inmediata,
8
a partir de (29) y de la relación de cierre (3) es posible dar con la deseada expresión
∆S1 ∆S2 ≥
q
hS0 ihS02 i,
(30)
no trivial e invariante SU(2). Siendo además la mejor cota posible, pues veremos más
tarde que la igualdad la alcanzan los estados gato de Schrödinger.
4.
4.1.
Resolución Interferométrica
Resolución Interferométrica y Límite de Heisenberg
El concepto de resolución interferométrica en óptica cuántica está ligado a la sensibilidad que proporciona un estado de luz ante un desfase φ producido en un interferómetro.
En los llamados interferómetros SU(2), este desfase es generado por un operador de Stokes
Sj , esto es una rotación sobre la esfera de Poincaré con ángulo φ en torno a la dirección
Sj , Uφ = exp(iφSj ).
De esta forma las uctuaciones cuánticas de los observables de polarización juegan
un papel clave en la precisión alcanzable en una medida de φ. Más concretamente, si la
detección es llevada a cabo a través de la medida del observable Λ, la incertidumbre ∆φ
en la inferencia del parámetro de la transformación φ resulta ser [6567]:
∂hΛi −1
1
∆Λ
∆Λ =
≥
,
∆φ = ∂φ
|h[Λ, Sj ]i|
2∆Sj
(31)
donde hemos usado la relación de incertidumbre ∆Λ∆Sj ≥ |h[Λ, Sj ]i|/2. Así pues la
varianza principal ∆Smax aporta un límite natural para la resolución alcanzable por su
correspondiente estado en metrología. Por otra parte, la mejor resolución que puede ser
alcanzada en un dispositivo SU(2) es ∆φmin ∝ 1/hS0 i, que se conoce como límite de
Heisenberg [68].
Generalmente el observable medido Λ es también un operador de Stokes y la relación
anterior se escribe como
1
∆Si
≥
.
(32)
∆φ =
|hSk i|
∆Sj
Es necesario puntualizar que estas cotas en función de varianzas son sólo signicativas
para estados puros, pues de lo contrario la igualdad no puede alcanzarse. La caracterización de la resolución interferométrica en estados mezcla requiere métodos más sosticados,
por ejemplo basados en la versión cuántica de la información de Fisher [69, 70], o en la
generalización a estados no puros del método de la siguiente sección.
Por otra parte los estados coherentes SU(2) cumplen la desigualdad (32) como igualdad (Sk = Sk y Si = S⊥ ) pero están lejos de alcanzar el límite de Heisenberg. En orden
a este n se llaman estados comprimidos a los que presentan menores uctuaciones
de alguna componente perpendicular que los coherentes, si bien la manera exacta de
cuanticarlas responde a diversos criterios [10, 11, 75].
4.2.
Resolución Interferométrica Intrínseca
Aunque el límite interferométrico depende únicamente del estado de luz, la expresión
concreta de la resolución interferométrica usual depende también en cada caso particular
9
del observable a medir Λ. Esto hace que no se tenga una expresión general aplicable para
cualquier estado. En este sentido, la ecuación (32) no es válida en estados donde hSi = 0,
y sin embargo estos estados son muy útiles, pues puede demostrarse a partir del análisis
de las varianzas principales que todos tienen capacidad de saturar el límite de Heisenberg.
En este trabajo proponemos una alternativa a la resolución interferométrica usual,
que depende únicamente del estado en sí, a la denominamos resolución intrínseca y que
es una alternativa fácilmente computable de [69,71]. La idea del método es que un estado
ρ proporcionará buena resolución interferométrica si es muy distinguible de su rotado
ρφ = Uφ ρUφ† . En el caso de ρ puro esta medida de distinguibilidad entre los dos estados
se expresa como:
q
IRφ = 1 − |hψ|Uφ |ψi|2
(33)
de modo que un estado proporciona resolución nula si coincide con su rotado, i.e. IRφ = 0.
Sin embargo en orden a usar la anterior expresión como caracterización de la resolución de φ, ésta no debiera depender del propio ángulo φ. Una manera de eliminar esta
dependencia es considerar la trasformación SU(2) arbitraria y tomar el ángulo φ y la
dirección de Sj de manera que IRφ sea máxima. De hecho esta cantidad es considerada
como un grado de polarización por varios autores [72]:
Pd ≡ máx IRφ =
φ,Sj
r
1 − mı́n |hψ|Uφ |ψi|2 .
φ,Sj
(34)
En particular todos los estados que aparecen en este trabajo tienen Pd = 1.
Otro método es no dar preferencia a ningún ángulo y promediar sobre todos obteniendo curiosamente
q
IR = 1 − Cj2 ,
(35)
donde Cj2 es la certidumbre de Sj en el estado |ψi.
Ahora bien, para medidas precisas φ 1, que es donde las uctuaciones cuánticas tienen relevancia, puede hacerse el desarrollo de Taylor hasta segundo orden de la
exponencial en (33) que conduce a
IRφ1 ' φ∆Sj ,
(36)
resultado que es coherente con (31), pues indica que la resolución intrínseca de un estado
depende sólo de su varianza principal máxima.
5.
Estados con Máxima Resolución Interferométrica
Finalmente en esta sección analizamos las uctuaciones de polarización y la no clasicidad (15) en estados que alcanzan el límite de Heisenberg. Entre ellos analizaremos los
estados de Fock con el mismo número de fotones en ambos modos, algunas superposiciones de estados cercanos a él, que a veces se denominan tipo Yurke [65, 7375], y los
estados gato de Schrödinger o NOON [7581].
Todos los resultados se dan escuetamente y las certidumbres se representan conjuntamente en la Figura 1, ya que, salvo para los estados coherentes SU(2), no hemos encontrado relaciones cerradas para ellas. La letra N designa el número total de fotones
hS0 i del estado. Y siempre que aparezca el signo de aproximación ('), se sobrentenderá
10
la validez en el límite brillante N 1. También se obtendrán relaciones aproximadas
en este límite brillante para estados gaussianos y se contrastará su validez para los otros
estados.
5.1.
Estados Coherentes SU(2)
En orden a comparar resultados exponemos primero el caso de los estados cohenentes
SU(2) que son mínimos de las relaciones de incertidumbre (7), (29), (28), así como del
grado de polarización y la no clasicidad, si bien no son estados de máxima resolución
interferométrica. Para un estado coherente |n, Ωi se tiene hSi = nuΩ y las direcciones
principales coinciden con la longitudinal y cualquier par de transversales. Tenemos N = n
y
√
(37)
∆Sk = 0, ∆S⊥1 = ∆S⊥2 = N ;
2N
, Ck2 = 1;
=
= 2N
2
N
N +1
Θ
2N
Q(Ω) =
cos
;
4π
2
2
C⊥1
2
C⊥2
PQ = 1 −
1
2
2N + 1
'1− ;
2
(N + 1)
N
K = 0;
(38)
(39)
(40)
(41)
donde Θ es el ángulo entre hSi y el vector unitario en la dirección especicada por
Ω = (θ, φ).
Quizá el resultado más sorprendente de los estados coherentes SU(2) sea que no son
máximos de las relaciones con certidumbres (Figura 1), a pesar de serlo de todos los
demás cuanticadores de uctuaciones; especialmente baja es la suma componentes ortogonales (gráco de la derecha). A similar conclusion se ha llegado con estados coherentes
cuadratura en espacios de dimensión innita [17].
Figura 1: Suma de certidumbres principales y perpendiculares.
11
5.2.
Estados Coherentes SU(2) Comprimidos
Este nombre designa los estados mínimos de la relación de incertidumbre (7) invariante
SU(2) en los que las dos varianzas perpendiculares son distintas entre sí. Tales estados
cumplen la ecuación (S⊥1 + iλS⊥2 )|ψi = 0 reduciéndose a los coherentes SU(2) cuando
λ = 1 y a los estados de la sección 5.4 en el límite λ = 0. Y son comprimidos respecto a
todos los criterios usuales de compresión SU(2) [75]. La solución exacta de la ecuación se
puede encontrar por ejemplo en [67], pero es de complicada expresión en cualquier base.
En el caso de λ pequeño (mucha compresión) puede obtenerse una aproximación a primer
orden en λ, que correctamente normalizado toma la expresión
sin ϕ
sin ϕ
|ψiY 1 = i √ |n − 1i1 |n + 1i2 + cos ϕ|ni1 |ni2 − i √ |n + 1i1 |n − 1i2 ,
2
2
(42)
con ϕ perqueño (tan ϕ ∝ λ). La superposición de estos tres estados ya era conocida por
sus buenas propiedades metrológicas
[74, 75].
p
Para |ψiY 1 , hSi = (0, sin 2ϕ 2n(n + 1), 0), con direcciones principales (Sx , Sy , Sz ) y
pudiendo por tanto hacerlas coincidir con las longitudinal y transversales. Se tiene
q

2
N
2


∆Sx = q 4 (N + 2) (1 + cos ϕ) − 2 sin ϕ
∆Sy = N4 (N + 2) 2 + sin2 ϕ(1 − 8 cos2 ϕ) − 2 sin2 ϕ ;



∆Sz = 2 sin ϕ
2n + 1 2n
n
2n
tan2 (θ/2) + cot2 (θ/2) − 2 cos(2φ) +
Q(Ω) = 2n+3
sin θ sin2 ϕ
2
π n
n+1
#
r
2n
+ sin(2ϕ) sin φ
(tan(θ/2) + cot(θ/2)) + 2 cos2 ϕ ;
n+1
r
π
2
;
PQ ' 1 −
2
4
(6 cos ϕ + 3 − 7 cos ϕ) N
v
q
s
u
s
2n
1/4
u
sin ϕ + cos ϕ 2n
√
n+1
2
t
K = 1−
' 1 − ( 2 sin ϕ + cos ϕ)
;
2n
n
πN
(43)
(44)
(45)
(46)
con N = hS0 i = 2n.
Es patente aquí cómo la compresión, que aumenta K , aunque mejora la resolución
interferométrica (disminuye las uctuaciones en una dirección), reduce el grado de polarización (aumenta las uctuaciones globalmente).
5.3.
Estados Gaussianos en el Límite Brillante
Los dos estados anteriores responden bien de una aproximación en el caso de que la
distribución Q(Ω) se concentre en un pequeño entorno de un sólo punto de la esfera de
Poincaré al aumentar el número de fotones. En tal caso hS0 i = n̄ 1 puede aproximarse
[25] la distribución según Q(Ω) ' n̄2 Q(x, y), siendo (x, y) las coordenadas en el plano
tangente.
Además, el estado coherente SU(2) y el coherente SU(2) comprimido (para poca compresión) tienden a estados gaussianos en Q(x, y), para los cuales se puede establecer la
12
relación aproximada
PQ ' 1 −
2
.
n̄(1 − K 2 )2
(47)
Se aprecia así cuantitativamente el efecto de la compresión en el grado de polarización:
al aumentar la no clasicidad disminuye el grado de polarización, como hemos observado
en los resultados de los dos estados anteriores.
5.4.
Estados Número Gemelos
El estado |n, ni = |ni1 |ni2 puede alcanzar el límite de Heisenberg [82], pero como
hSi = 0 no hay direcciones longitudinales y ortogonales, mientras que las principales son
S3 = Sz y cualquier par de ellas en el plano transversal. Teniendo N = 2n y
r
N
(N + 2), ∆S3 = 0;
2 2n + 1 2n
Q(Ω) =
sin2n θ;
4π22n n
r
−2
4n + 1 4n 2n
π
PQ = 1 −
;
'1−
2
(2n + 1) 2n
n
N
v
s s
u
1/4
u
2n
2
1
t
K = 1− n
' 1−
.
n
2
πN
∆S1 = ∆S2 =
(48)
(49)
(50)
(51)
Quedando lejos del mínimo de las relaciones de incertidumbre de varianzas (28), (28)
y (30).Este estado corresponde al límite de compresión innita (λ = 0) de los estados
coherentes SU(2) comprimidos. Por tanto no es de extrañar que el grado de polarización
sea menor que el de los estados de las secciones 5.1 y 5.2. Además se aprecia en la gráca
1 que la suma de tres certidumbres de este estado (en direcciones principales Sx , Sy ,
Sz ) es bastante elevada, y está por encima del estado comprimido a primer orden. Esto
rearma de nuevo el destacado comportamiento de las certidumbres, en particular, más
compresión de un estado coherente SU(2) no implica menor valor de la suma de tres
certidumbres, a diferencia de lo que ocurre con el grado de polarización.
Por otra parte, aunque este estado ni siquiera se concentra en un punto de la esfera
de Poincaré es sorprendente la cercanía de la relación (47) con el resultado en el límite
brillante.
Estados |ψiY2 = √1 (|ni1 |ni2 + |n + 1i1 |n − 1i2 )
2
p
Estos estados tienen hSi = ( n(n + 1), 0, 1) y componentes principales S1 = Sy ,
S2 = Sx y S3 = Sz , coincidiendo con las longitudinal y perpendiculares sólo en el lími-
5.5.
te brillante. También presentan compresión SU(2) [11, 75], aunque no son mínimos de
ninguna relación de incertidumbre de varianzas. Para ellos N = 2n y se obtiene
r
∆S1 =
N
(N + 2) − 1,
2
r
∆S2 =
13
N
(N + 2) − 1,
4
∆S3 = 1;
(52)
r
θ
2n + 1 2n
θ
n
n
2n
2
Q(Ω) = 2n+3
sin (θ) 1 + 2
cot
cos(φ) +
cot
; (53)
2
π n
n+1
2
n+1
2
r
2 π
PQ ' 1 −
;
(54)
3 N
s
s
r
1/4
4π
8
K ' 1−
Q(π/2, 0) ' 1 −
.
(55)
2n + 1
πN
La función Q(Ω) se concentra en un punto en el límite brillante, pero sólo tiende a una
gaussiana en una coordenada, lo que los hace diferir en un ligero factor en la fórmula (47)
válida para un estado gaussiano.
En la Figura 1 puede apreciarse que estos estados tiene menor suma de tres certidumbres que cualquiera de los demás a estudio, aunque la suma de las dos permendiculares
es mayor que los coherentes.
5.6.
Estados |ψiY3 = √1 (|n + 1i1 |n − 1i2 + |n − 1i1 |n + 1i2 )
2
Estos estados tienen propiedades similares a los considerados en 5.5 pero con hSi =
0. Las direcciones principales son S1 = Sx y cualquier par de operadores en el plano
transversal. Se tiene N = 2n y
r
3
N
N (N + 2) − 2, ∆S2 =
(N + 2) − 2, ∆S3 = 2;
∆S1 =
4
4
2n + 1 2n
sin2n (θ) cot2 (θ/2) + 2 cos(2φ) + tan2 (θ/2) ;
Q(Ω) = 2n+3
2
π n
r
2 π
;
PQ ' 1 −
3 N
v
s s
u
1/4
u
1
2n
8
t
K = 1− n 2
;
= 1−
2
n
πN
r
(56)
(57)
(58)
(59)
con idénticas expresiones aproximadas en el límite brillante para varianzas, grado de
polarización, no clasicidad y certidumbres (ver gura) que los estados 5.5. Cumplen así
la relación (47) razonablemente bien, a pesar de no concentrarse en un sólo punto de la
esfera de Poincaré a diferencia del caso anterior. Tampoco alcanzan el mínimo de (28),
(28) y (30).
5.7.
Estados NOON
El estado NOON es denido como la superposición de dos estados coherentes SU(2)
opuestos en la esfera de Poincaré
1
|ψiNOON = √ (|ni1 |0i2 + |0i1 |ni2 ),
2
(60)
también se llaman estados gato de Schrödinger por ser la superposición coherente de
dos estados macroscópicamente distinguibles. Dejando fuera los casos n = 1 (por ser un
14
estado coherente SU(2)), y n = 2 (que corresponde a un caso de los estados vistos en
5.6), estos estados tienen hSi = 0 y sus direcciones principales son S3 = Sz y cuaquier
par de direcciones en el plano transversal, obteniéndose (con N = n)
√
∆S1 = N,
∆S2 = ∆S3 =
N;
1
N +1
2N
N
2N
cos (θ/2) + N −1 sin (θ) cos(N φ) + sin (θ/2) ;
Q(Ω) =
8π
2
q
4
−1
PQ ' 1 − , y K = 1 − 2 2 .
N
(61)
(62)
(63)
Estos estados alcanzan el límite de la relación de incertidumbre (30) conrmando
que ésta es la cota más alta posible, y también es estado mínimo de la suma de las dos
varianzas menores. Cuenta con grado de polarización y clasididad altos, herencia de los
estados coherentes SU(2) que lo componen y, a pesar de concentrarse en los dos polos de
la esfera de Poincaré, cumplen perfectamente la relación (47). Por otra parte, con bajo
número de fotones ganan en la suma de certidumbres a los estados coherentes (Figura 1).
6.
Conclusiones
En este trabajo hemos estudiado maneras de caracterizar las uctuaciones de polarización y la resolución metrológica que proporcionan estados cuánticos de luz, así como
su aplicación en aquellos de interés metrológico.
Hemos propuesto métodos novedosos para ambas cuestiones, motivados por la inecacia de los ya existentes en estados con hSi = 0. Esto es, el método de las varianzas
principales y el de la resolución interferométrica intrínseca. Además con el primero hemos
sido capaces de establecer relaciones de incertidumbre no triviales que hasta ahora no se
creían factibles, conrmando incluso el carácter inmejorable de ellas por obtención de sus
estados mínimos.
Y hemos establecido conexiones entre el grado de polarización y la distancia no-clásica,
así como con la compresión SU(2) de estados coherentes, dando relaciones aproximadas
entre ellas en el límite brillante.
No obstante, en la presente memoria se han omitido no sólo deducciones y pasos
intermedios sino también varios resultados más. Entre ellos pudieran destacarse la generalización de la resolución interferométrica intrínseca a estados mezcla, o casos concretos
de la utilización del método de la matriz de covarianza hermítica para caracterizar uctuaciones. Todas estas cuestiones están debidamente contenidas en las siguientes comunicaciones cientícas en proceso de elaboración
A. Rivas y A. Luis, Characterization of quantum angular-momentum uctuations
via principal components, arXiv:0710.4699.
A. Rivas y A. Luis, Intrinsic metrological resolution as a distance measure and
nonclassical light.
A. Rivas y A. Luis, Polarization uctuations in maximum interferometric resolution
states.
15
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