FÍSICA. PRUEBA ACCESO A LA UNIVERSIDAD +25 TEMA 1

FÍSICA. PRUEBA ACCESO A LA UNIVERSIDAD +25
TEMA 1. Magnitudes físicas.
http://www.youtube.com/watch?v=-oikvaCid_s
El método científico
El método científico es una forma planificada de trabajar, sus resultados son acumulativos, progresan a través del
tiempo evolucionando a niveles de saber cada vez mayores. Año tras año, generación tras generación, el mundo
científico lega su saber a los científicos sucesores en un constante estudio y revisión de todo tipo de conocimientos técnicos.
Aunque no todos los científicos emplean los mismos métodos para realizar los descubrimientos científicos, todos
tienen unas características comunes. Los dos métodos más representativos del trabajo científico son:

El método experimental o inductivo. Partiendo de la observación y la experimentación, el científico induce la explicación de los fenómenos; es decir, de la observación de los hechos particulares inducimos
proposiciones generales. Es el más utilizado.

El método deductivo. El científico formula unos principios teóricos (hipótesis básicas) a partir de los cuales y mediante razonamientos lógicos deduce consecuencias que tendrán una aplicación práctica; es decir, partiendo de verdades previamente establecidas como principios generales, deduce aplicaciones particulares que permiten comprobar su validez.
El método experimental o inductivo
Este método se compone de las siguientes fases:
Observación: La observación científica significa recopilar información sobre un hecho o fenómeno con un objetivo
claro, definido y preciso que es el conocimiento. Es una técnica que consiste en observar atentamente el fenómeno, hecho o caso, tomar información y registrarla para su posterior análisis. La observación es un elemento fundamental de todo proceso investigativo; en ella se apoya el investigador para obtener el mayor numero de datos.
Gran parte del acervo de conocimientos que constituye la ciencia ha sido lograda mediante la observación.
Problema: La determinación del problema es una operación mediante la cual se especifica claramente y de un
modo concreto sobre qué se va a realizar la investigación. Para que un problema sea científico debe de reunir
determinados requisitos como son:
 La formulación del problema debe basarse en un conocimiento científico previo del mismo.
 La solución que se alcance al problema estudiado debe de contribuir al desarrollo del conocimiento científico, al desarrollo de la ciencia.
 Debe de formularse y debe resolverse aplicando los conceptos, categorías y leyes de la rama del saber
que se investiga.
Hipótesis: Una hipótesis puede definirse como una solución provisional (tentativa) para un problema dado. El
nivel de “verdad” que se le asigne a tal hipótesis dependerá de la medida en que los datos empíricos recogidos
apoyen lo afirmado en la hipótesis. Esto es lo que se conoce como constatación empírica de la hipótesis o bien
proceso de validación de la hipótesis.
Se establece una hipótesis cuando el conocimiento existente en el área permite formular predicciones razonables
acerca de la relación de dos o más elementos o variables.
Experimentación: El experimento es la manipulación intencional que hace el científico del fenómeno en estudio al
cual somete a cambios deliberados para profundizar en su conocimiento. Generalmente establece las variables
que producen unos u otros efectos manteniendo fijas unas (variables independientes-causas) y analizando las
consecuencias producidas en otras (variables dependientes-efectos). La cuantificación de estas variables requiere
realizar medidas (obtener datos) cuyo análisis nos permite confirmar o negar la hipótesis planteada.
Formulación de leyes: Si la experimentación confirma la hipótesis planteada, del análisis de los datos experimentales se deducen relaciones matemáticas entre las diferentes variables que influyen en el fenómeno y que constituyen una ley. Las leyes se suelen escribir mediante expresiones matemáticas y su rango de validez queda definido en el marco del modelo seguido y de las condiciones en las que se ejecutaron los experimentos. Un conjunto
de leyes coherentes entre sí forman una teoría.
1
Veamos un ejemplo de una pequeña investigación:
1) OBSERVACIÓN: Todos nosotros hemos calentado alguna vez una sustancia y hemos realizado observaciones
sobre el fenómeno (aumento de temperatura, tiempo que tarda en calentarse la sustancia, etc.) y nos hemos
hecho preguntas ¿podríamos calentar una sustancia sin ponerla sobre un foco de calor? ¿se calientan todas las
sustancias igual de rápido? etc. Todas estas actividades son inherentes al comportamiento humano.
1) FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: ¿De qué factores depende la cantidad de energía (Q) que aumenta una
sustancia cuando aumenta su temperatura?
2) FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS: La discusión de este problema en clase, nos llevó a plantear las siguientes
hipótesis:
La cantidad de energía que gana una sustancia, cuando aumenta su temperatura, depende de la cantidad (masa)
de la sustancia; es decir, cuanto mayor sea la masa de la sustancia, mayor será la cantidad de energía que gana.
La cantidad de energía que gana una sustancia, cuando aumenta su temperatura, depende del tipo de sustancia
de que se trate; es decir, sustancias diferentes necesitan distintas cantidades de energía para aumentar igual su
temperatura.
La cantidad de energía que gana una sustancia, cuando aumenta su temperatura, depende de lo que aumentemos su temperatura; es decir, cuanto más aumente su temperatura, más energía deberá ganar.
3) CONTRASTACIÓN DE LAS HIPÓTESIS: Para contrastar las hipótesis anteriores debemos diseñar la experiencia correspondiente para cada una de ellas. Para la primera hipótesis planteada el diseño experimental podría ser:
ANALIZAR LAS VARIABLES: Si suponemos que la cantidad de energía (Q) depende de la masa de la sustancia
(m), queremos decir que si variamos la masa de la sustancia también variará la cantidad de energía; es decir, la
cantidad de energía (Q) es una variable dependiente de la masa (m) de la sustancia que será la variable independiente (los valores de esta variable los elegiremos nosotros).
Sin embargo, también hemos supuesto que la cantidad de energía (Q) depende de otros factores: el aumento de
temperatura y el tipo de sustancia. Para evitar que estos factores puedan interferir en el estudio de la relación entre la masa (m) y la cantidad de energía (Q) lo que podemos hacer es mantenerlos fijos; es decir, tomaremos
siempre la misma sustancia y le aumentaremos siempre la misma temperatura.
MEDIDA DE LAS VARIABLES:
Masa (m): en g con la balanza.
Cantidad de energía (Q): Esta variable no se mide directamente sino a través del tiempo que la sustancia permanece calentándose en un foco de calor (mechero). Mediremos el tiempo en minutos.
Aumento de temperatura: Lo mediremos en ºC con un termómetro.
DISEÑO DE LA EXPERIENCIA: Vamos a tomar distintas masas de agua a las que vamos a comunicar energía
(calor) para que su temperatura aumente siempre lo mismo, anotando en cada caso el tiempo invertido (energía
que ha recibido).
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: Tomaremos distintas masas de agua (50 g, 100 g, 150 g y 200 g) y mediante un foco calorífico (mechero) les comunicaremos energía (calor) para producirles a todos ellos el mismo aumento
de temperatura (de temperatura ambiente a 40ºC) anotando el tiempo que se invierte en cada caso.
Masa (g)
50
100
150
200
Tiempo (min)
3,98
8,02
11,84
15,49
MATERIAL:
Mechero Bunsen. Soporte y rejilla de amianto. Vaso de
precipitado de 250 ml. Termómetro. Reloj-cronómetro. Balanza.
4) ANÁLISIS DE LOS DATOS:
De la tabla de datos se deduce que al aumentar la masa (m), aumenta la
cantidad de energía (Q) necesaria para producir un mismo aumento de
temperatura.
Un análisis gráfico pone de manifiesto una relación de proporcionalidad
directa (línea recta que pasa por el origen) entre la masa del sistema y la
energía que este gana para producir un mismo aumento de temperatura.
Finalmente podemos concluir que los datos experimentales confirman la
hipótesis planteada.
2
Magnitudes. La medida y las unidades.
Las magnitudes físicas son aquellas propiedades de los sistemas que pueden cuantificarse de manera objetiva.
Una de las finalidades de la Física es cuantificar el valor de las magnitudes físicas; es decir, medir. Medir una
cantidad de una magnitud es comparar cuantitativamente esa cantidad de magnitud con otra cantidad de la misma
magnitud que tomamos como unidad de medida. Por eso, toda medida deber ir seguida de la unidad en que


medimos. Así por ejemplo: 3 kg, 9 s o 3i  2 j m/s.
Las magnitudes fundamentales se escogen por convenio como tales y no se definen en función de ninguna otra.
De ellas se derivan todas las demás, que son las magnitudes derivadas.
A.1 Haz una lista de magnitudes físicas y clasifícalas como fundamentales o derivadas.
En la Física se han definido bastantes magnitudes algunas de las cuales ya conoces de cursos anteriores: Longitud, masa, tiempo, densidad, rapidez, energía, etc. En la actualidad todas las magnitudes Físicas y Químicas se
pueden definir a partir de siete magnitudes fundamentales. La elección de estas magnitudes determina el sistema
de unidades de medida. En España el REAL DECRETO 1317/1989, de 27 de octubre de 1989, establece como
obligatorio el Sistema Internacional de Unidades (SI). Para completar la información visita la página
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
Magnitud
Nombre
Símbolo
Longitud
metro
m
Masa
kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
Intensidad de corriente eléctrica
ampere
A
Temperatura termodinámica
kelvin
K
Cantidad de sustancia
mol
mol
Intensidad luminosa
candela
cd
A.2 Completa el siguiente cuadro:
magnitud
medida
220 K
cantidad
unidad
4
kg
1500 kg/m3
Dependiendo de la unidad elegida la cantidad de la medida puede ser un número pequeño o grande por lo que en
ocasiones es conveniente utilizar divisores o múltiplos de la unidad de medida de la magnitud.
A.3 Realiza las siguientes conversiones:
3500 mm
→
600 ms
→
25 hg
→
3 cm2
→
5 dam3
→
25 m/s
→
3
13,6 g/cm
→
2 horas 3 minutos
m
s
mg
m2
mm3
km/h
3
kg/m
→
s
prefijo
teragigamegakilohectodecadecicentimilimicronanopico-
símbolo
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
factor
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
En los casos de las medidas que hemos visto antes, nos ha bastado con expresar
la cantidad con la unidad colocada a continuación. Esto es así en las magnitudes
escalares. Pero hay otras magnitudes en las que tenemos que expresar la dirección y sentido en que manifiesta, son las magnitudes vectoriales como es el caso
de la velocidad, aceleración, fuerza, etc. Más adelante veremos la manera de expresar las medidas de estas magnitudes.
3
Cuando medimos una cantidad de una magnitud comparándola con otra cantidad de la misma magnitud (unidad)
se dice que hemos realizado una medida directa. A partir de las magnitudes medidas directamente podemos
calcular otras magnitudes mediante la realización de cálculos más o menos complejos y diremos que son medidas
indirectas. Por ejemplo, las medidas de superficie son medidas indirectas.
A.4 Deduce las unidades de velocidad, aceleración, y densidad en el SI.
Profe ¿con cuántas cifras?
Esta suele ser una pregunta frecuente de los alumnos cuando realizan operaciones con calculadora, es decir,
siempre. Los números en Física corresponden a medidas de las magnitudes físicas y estas medidas pueden tener
mayor o menor precisión. La precisión de una medida depende del aparato con que se realiza. Podemos medir la
masa de una pieza y obtener 7,4 g pero si utilizamos una balanza de precisión podemos obtener 7,406 g. Esta
segunda medida tiene más precisión ya que aprecia hasta las milésimas de gramo. En el primer caso la medida
tiene dos cifras significativas y en el segundo tiene cuatro cifras significativas.
Si con las medidas de varias magnitudes efectuamos operaciones matemáticas y obtenemos el valor de
otra magnitud, parece de sentido común que el resultado tenga menos precisión que los datos de los que procede.
No es nuestro objetivo hacer un tratamiento riguroso de los errores sino que seamos conscientes de ellos y busquemos un criterio para expresar las medidas de las magnitudes.
Para este curso nos bastará con expresar las medidas con una cifra significativa menos que el dato que
tenga menos cifras significativas. Como lo normal será que la calculadora nos entregue los resultados de las operaciones con más cifras, habrá que truncar y redondear el resultado. No cabe duda que esta operación es otra
causa de error en nuestra medida por lo que tendremos que procurar que el error introducido sea lo menor posible. Por ejemplo 6,54 podemos redondearlo a 6,5 o a 6,6; en el primer caso disminuimos la medida en 0,04 y en
el segundo caso la aumentamos en 0,06. Es evidente que tomaremos 6,5 como medida más adecuada. En general, si la primera cifra que tenemos que truncar es inferior a cinco, truncaremos sin más; pero si es cinco o más,
truncaremos y la última cifra la incrementamos en uno.
A.5 Calcula la longitud de la diagonal de un cuadrado de 1,2 m de lado. (Sol: 2,0 m)
Notación científica
La notación científica consiste en escribir los números como el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia
de base 10.
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/notacion/notacion_cientifica.htm
A.6 Escribe en notación científica y con dos cifras significativas las siguientes cantidades:
5894,65
0,00046201
1,786542
0,72063
(Sol: 5,9x103; 4,6x10-4; 1,8; 7,2x10-1)
Vectores
Las magnitudes vectoriales requieren que se exprese, además de la cantidad, la
dirección y el sentido en el que se manifiestan. La matemática tiene
un instrumento que cumple con estos requisitos, los vectores. Un
vector es un segmento orientado en que el distinguiremos el punto
de aplicación, el extremo y su longitud que será proporcional a la
cantidad de magnitud o módulo. En adelante supondremos que los
vectores están aplicados en el punto (0,0) por lo que podremos iden
tificarlos dando sólo el punto extremo v (x,y)1





A.7 Dibuja los vectores a (4,6), b (0,4), c (-3,3), d (-5,0), e (-4,-6)
Operaciones con vectores


Suma: Para realizar la suma de dos vectores a  b pondremos un
vector a continuación del otro conservando el módulo, la dirección y
el sentido. El vector suma será el que resulte de unir el punto de
aplicación del primero con el extremo del segundo en este sentido.
También podemos utilizar la regla del paralelogramo para sumar
vectores.
1
Los vectores se nombran mediante letras minúsculas sobre las que se coloca una pequeña flecha o bien mediante letras minúsculas en negrita.
4
Como podemos ver, el resultado es el mismo.



     
 
Realiza gráficamente las siguientes operaciones: a  b , c  d , e  f y g  h ¿Cuánto vale el





A.8 Dados los vectores: a (4,0), b (2,0), c (5,0), d (-3,0), e (4,0), f (0,3), g (-2,3) y h (4,3)

a
módulo del vector suma en
cada caso?

b
Como podemos ver, el cálculo del módulo del vector
suma en el último caso no
es fácil. Más adelante resolveremos este problema.
¿Cuál
será
la
suma
 
a b

a
 
f  e ?¿qué propiedad es

b
ésta?

a

v
a
a

v
a

v
a

v
a

v

v

v

Como hemos visto, la suma
b
de dos vectores es otro
vector, luego cualquier vector puede ser descompuesto como la suma de dos vectores. Supongamos que queremos des

componer un vector a en otros dos vectores que sumados nos den el vector a .
 
a b

Vector opuesto: El vector opuesto a un vector cualquiera v , es otro vector que tiene el mismo módulo, la misma

dirección y sentido contrario, y se denomina  v .




A.9 Dibuja los vectores  g y  h ¿Cuál será la suma de un vector y su opuesto, por ejemplo g  (  g ) ?


Resta: Para restar dos vectores a  b , sumaremos al minuendo el opuesto del sustraendo. Es decir:

  
a  b  a  ( b )

 
 

A.10 Con los mismos vectores de A.8, realiza gráficamente las siguientes operaciones: a  b , c  d , e  f y
 
gh .

Producto de un número por un vector ( kv ): Es otro vector que tiene la
misma dirección, el módulo multiplicado por el número y el sentido depende del signo del número.

a

2a
Cualquier vector puede ser expresado como el producto de un número por

otro vector. Por ejemplo, si el

 2a

vector a tiene de módulo 5
a



u

 puede ser expresado como 5a , donde u es un vector de módulo 1
a  5u (vector unitario)
y
vy
Ecuación de un vector




vy

v

Un vector cualquiera v puede ser descompuesto como la suma v  v x  v y .


A su vez v x y v y pueden ser expresados como:


v x  vx  i


vy  vy  j
  
donde (v x,v y) son las coordenadas del extremo del vector v e i y j son dos vectores
unitarios (módulo 1) sobre los ejes x e y, y con sentido positivo. Finalmente podemos expresar:

j

i

vx
vx



v  vx  i  v y  j


El módulo del vector v que representaremos v o v (sin negrita), se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras:

v  v 2x  v 2y
5
x







A.11 Construye las ecuaciones de los vectores de la actividad A.7 (Sol: a  4i ; b  2i ; …..; g  2i  3 j ;
…..)
Dado que ahora los vectores los podemos representar mediante una ecuación que es un binomio, las operaciones
vistas antes son inmediatas:








Suma: a  b  ( a x i  a y j )  (bx i  by j )  (a x  bx )i  (a y  by ) j
Para diferenciar las componentes de los vectores ahora se les llaman (ax,ay) y (bx,by) que siguen siendo las coordenadas de los extremas de los vectores.








Resta: a  b  ( a x i  a y j )  (bx i  by j )  (a x  bx )i  ( a y  by ) j






Producto de un vector por un número ka : ka  k ( a x i  a y j )  ( k  a x )i  ( k  a y ) j
A.12 Utilizando ecuaciones realiza las operaciones propuestas en A.8 y A.10. Además calcula el módulo del vector

resultante. Divide el vector h por 2.
e
Introducción a la trigonometría
Para un ángulo cualquiera α se verifica que:
c
ab cd ef


 ...  sen
oa oc oe
a
ob od of


 ...  cos 
oa oc oe
o

d
b
f
ab cd ef


 ...  tg
ob od of
A.13 Coge una regla, mide (en mm) los segmentos anteriores y comprueba que sucede lo que se indica en los
casos anteriores.

2 90º
Además de medir los ángulos en grados sexagesimales, también se pueden medir en
radianes, recuerda que en cualquier circunferencia se cumple que
L

2r
Para cambiar las unidades para medir los ángulos podemos utilizar cualquiera de las
3
 2

2  2
relaciones que aparecen en el gráfico:


90º 180º 270º 360º

A.14 Utiliza la relación
 para realizar las siguientes conversiones: 25º, 125º,
180º
0º
2
180 º

270º 3
2
0.5π, 1.3π
Para calcular las relaciones trigonométricas (sen, cos, tg) podemos utilizar la calculadora pero debes tener en
cuenta que la medida de los ángulos debes introducirlas como indica la calculadora (DEG o RAD) si bien estos
modos pueden cambiarse.
A.15 Completa la tabla:
0º
senα
cosα
30º
90º
120º
180º
250º
270º
330º
360º
Habrás observado que sen y cos toman valores comprendidos entre -1 y +1
A.16 ¿A qué ángulo/s α le corresponden el valor senα=0,345?
6
Producto escalar de dos vectores
 
Esta operación se define como: a  b  a  b  cos ; siendo φ el ángulo que forman ambos vectores. En cursos

anteriores hemos utilizado esta operación para calcular el trabajo W realizado por una fuerza f que se desplaza
 

x (vector desplazamiento). Así, W  f  x  f  x  cos , como recordarás. Observa que el producto escalar
de dos vectores es un valor escalar (un número) que puede tener valor positivo, negativo o nulo ya que la función
cos φ toma valores entre +1 y -1.
Considerando las ecuaciones de los vectores y teniendo en cuenta que son binomios y aplicando la propiedad
distributiva:




 
 
 
 
 
a  b  (a x i  a y j )  (bx i  by j )  a x i  bx i  a x i  by j  a y j  bx i  a y j  by j agrupando
 
 
 
 
 
a  b  (a x  bx )  (i  i )  (a x  by )  (i  j )  (a y  bx )  ( j  i )  (a y  by )  ( j  j )
Teniendo en cuenta la definición que hemos dado de producto escalar y aplicándolo al producto escalar de los
vectores unitarios:
 
i  i = 1 x1 x Cos 0º = 1 x 1 x 1= 1
i  j = 1 x1 x Cos 90º = 1 x 1 x 0 = 0
 
j  i = 1 x1 x Cos 90º = 1 x 1 x 0 = 0
 
j  j = 1 x1 x Cos 0º = 1 x 1 x 1= 1
 
Finalmente: a  b  a x  bx  a y  by
 
 
Comprueba que el producto escalar de dos vectores es conmutativo, es decir a  b  b  a
     
 
A.17 Calcula los siguientes productos escalares a  b , c  d , e  f y g  h con los vectores dados en la A.5. Después deduce o calcula el ángulo que forman cada par de vectores entre si. (Sol: 8, -15, 0, +1; 0º, 180º, 90º, 86º
49’)
Vectores en el espacio
Hasta ahora hemos supuesto que los vectores se encuentran en un espacio de dos dimensiones (sobre un plano)
pero también podemos considerar a los vectores en un espacio de tres dimensiones. Para ello necesitamos un
tercer eje y en las ecuaciones de los vectores aparecerá una tercera componente.




v  v xi  v y j  v z k
Donde (v x,v y,vz) son las coordenadas del extremo del vector.
Es evidente que si alguna componente es nula tendríamos un vector sobre el plano formado por los otros
dos ejes.
En este caso se puede demostrar que el módulo del vector vale:
v  v x2  v 2y  v z2
 

a
Producto vectorial de dos vectores a  b


 
Dados dos vectores a y b se define su producto vectorial a  b como otro vector cuyo módulo toma el valor:
 
a  b  a  b  sen siendo φ el ángulo que forman ambos vectores.
Su dirección es perpendicular al plano formado por ambos vectores y el sentido viene dado por
2


la regla del tornillo o sacacorchos al girar a sobre b por el camino más corto. También podemos deducir que el producto vectorial de dos vectores paralelos (φ=0º) es nulo ya que sen
0º=0
 
a b

b
Considerando las ecuaciones de los vectores y teniendo en cuenta que son binomios y aplicando la propiedad
distributiva:
2
Si tomas un tornillo y lo giras en el sentido de las agujas del reloj (a derechas), el tornillo de desplaza hacia la punta, y a la
inversa. Lo mismo ocurre con el sacacorchos.
7







 
 
 
a  b  (a x i  a y j  a z k )  (bx i  b y j  bz k )  a x bx (i  i )  a x b y (i  j )  a x bz (i  k ) 
 
 
 
 
 
 
a y bx ( j  i )  a y b y ( j  j )  a y bz ( j  k )  a z bx (k  i )  a z b y ( k  j )  a z bz (k  k )
     
0
obsérvese que i  i  j  j  k  k  1  1  sen 0  1  1  0  0
por lo que los términos en los que aparecen estos productos vectoriales son nulos y queda:
 
 
 
 
 
 
 
a  b  a x by (i  j )  a x bz (i  k )  a y bx ( j  i )  a y bz ( j  k )  a z bx ( k  i )  a z by ( k  j )
Veamos ahora que aplicando la regla del tornillo:

 
(i  j )  k
 

(i  k )   j

 
( j  i )  k
  
( j k)  i
 

(k  i )  j
 

( k  j )  i
Sustituyendo:






 
a  b  a x by (k )  a x bz (  j )  a y bx ( k )  a y bz (i )  a z bx ( j )  a z by ( i )
z

k

 j
Finalmente y agrupando términos semejantes:



 
a  b  (a y bz  a z by )i  (a z bx  a x bz ) j  (a x by  a y bx )k

i
Las matemáticas utilizan los determinantes para realizar el producto vectorial. Para el
 
caso anterior a  b forman un determinante:




i
i
j
k
ax
bx
ay
by
az
bz
ax
bx

j

k

i

j

k
ay
by
az
bz
ax
bx
ay
by
az
bz

i

j
y

k
x



 
a  b  (a y bz  a z by )i  (a x bz  a z bx ) j  (a x by  a y bx )k
Si observas, cada paréntesis se obtiene mediante la diferencia de los productos cruzados de las zonas sombreadas. El resultado es el mismo por los dos procedimientos.


A.18 Dados los vectores a (-2, 3, 0) y b (3, 0, -1)
 




a) Construye sus ecuaciones. (Sol: a  2i  3 j ; b  3i  k )
 

 
 
 



c) Calcula b  a . Comenta el resultado. (Sol: b  a  3i  2 j  9k )
 
d) Calcula el módulo del vector a  b . (Sol: 9,7)
 
e) Calcula el ángulo que forman entre si los vectores a y b . (Sol: 121º 40’)


b) Realiza el producto a  b por los dos procedimientos. (Sol: a  b  3i  2 j  9k )

Finalmente veremos cómo se puede deducir la ecuación de un vector v cualquiera cuando se conoce su

módulo v y el ángulo α que forma el vector con el eje +x. Hemos visto que en el plano la ecuación de un vector



es: v  v x  i  v y  j
Aplicando trigonometría:
sen 
vy
v
v
cos  x
v
Sustituyendo:
de donde
v y  v  sen
de donde
v x  v  cos



v  ( v  cos )i  (v  sen ) j
A.19 Construye las ecuaciones de cuatro vectores de módulo 6 y que forman 32º, 127º, 270º y 328º respectiva-







mente con +X. (Sol: 5,1i  3,2 j ;  3,6i  4,8 j ;  6 j ; 5,1i  3,2 j )
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



A.20 Dibuja los vectores a (6,2), b (-6,2), c (-6,-2), d (6,-2) y calcula el ángulo que forman con +X (Sol: 18,43º;
161,6º; 198,43º; 341,6º)
EJERCICOS DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD +25
1) Indique si las siguientes magnitudes físicas tienen carácter vectorial o escalar: temperatura, energía cinética,
aceleración, velocidad, energía potencial, campo eléctrico, potencial eléctrico, campo magnético, fuerza y presión.
2) Contesta verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones:
a) Velocidad, masa y aceleración normal son magnitudes vectoriales. (.......)
b) Temperatura, masa y espacio recorrido son magnitudes escalares. (.......)
c) La unidad de masa en el Sistema Internacional de Unidades es el gramo. (.......)
d) La aceleración es una magnitud fundamental en el Sistema Internacional de Unidades. (.......)
3) Contesta verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones:
a) Cantidad de movimiento, peso y fuerza son magnitudes vectoriales. (.......)
b) La intensidad de corriente eléctrica no es una magnitud fundamental en el SI. (.......)
c) La unidad de temperatura en el Sistema Internacional de Unidades es el kelvin. (.......)
d) La unidad de longitud en el Sistema Internacional de Unidades es el km. (.......)
4) Halla el módulo del vector resultante de dos vectores de módulos 9 y 12 que forman un ángulo de 30º entre si.
5) Descompón un vector de módulo 90 en otros dos perpendiculares entre si y que tengan el mismo módulo.






6) Dados dos vectores: a  3i  2 j y b  4i  j determina:
6.a) El vector suma.
6.b) El módulo del vector suma.
6.c) El ángulo que forma el vector suma con el eje +X.
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