Estabilidad de discretizaciones espaciales de la

Estabilidad de discretizaciones espaciales de la
ecuación de ondas con condiciones de frontera
absorbentes
Isaı́as Alonso Mallo,
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Valladolid
[email protected]
Ana M. Portillo
Dpto. de Matemática Aplicada, Universidad de Valladolid
[email protected]
Resumen
El problema puro de valor inicial en dominios no acotados para la ecuación de
ondas ocurre con frecuencia en muchos campos de la Matemática Aplicada. Para
obtener una aproximación numérica, se tiene que realizar la computación en un
dominio acotado e imponer condiciones de contorno artificiales. Una idea es usar
condiciones de frontera transparentes que están diseñadas para evitar cualquier
reflejo hacia el interior del dominio computacional. Con mucha frecuencia, estas condiciones de frontera transparentes no son locales y su implementación
puede ser difı́cil y costosa. Las condiciones de frontera absorbentes pueden ser
consideradas como una alternativa. La idea es permitir pequeños reflejos, pero
con una condición de frontera que ahora es local.
Consideramos condiciones de frontera absorbentes para la ecuación de ondas
unidimensional introducidas en [4]. Mostramos que las ecuaciones diferenciales
ordinarias que se obtienen están únicamente débilmente bien puestas si se considea la norma euclı́dea discreta. Para ello probamos condiciones necesarias con
la única restricción de que los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
al imponer las condiciones de frontera absorbentes sean de segundo orden en
tiempo. Obtenemos también una descripción completa del error de de la discretización completa, probando que el término debido a la discretización temporal puede crecer. Sin embargo, la posible inestabilidad es tan débil que puede
ser compensada usando un integrador temporal adecuado. Todos los resultados
están confirmados por experimentos numéricos.
Sección en el CEDYA 2011: AN
1.
Notación y preliminares
Consideramos la ecuación de ondas unidimensional
utt = uxx ,
x ∈ R, t ≥ 0.
(1)
Nuestro primer paso para obtener una aproximación adecuada de (1) es la
dicretización espacial. Sea h > 0 un tamaño de paso en espacio y consideramos
los nodos xj = jh para j ∈ Z. Tomamos
d2 U j
Uj+1 − 2Uj + Uj−1
=
,
dt2
h2
j ∈ Z, t ≥ 0.
(2)
donde Uj (t) ≈ u(xj , t).
Elegimos un intervalo finito y añadimos las condiciones de frontera absorbentes obtenidas en [4] mediante la aproximación para frecuencias bajas de
las condiciones de frontera transparentes usando para ello desarrollos de Padé de
grados (p, q), en cuyo caso usaremos la notación ABC(p, q). Si consideramos los
casos (p, q) = (1, 0), (2, 0), (1, 2), (2, 2), cubrimos todos los casos que originan
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en tiempo
d2 uh
(i)
(i) duh
= Ah uh + Bh
,
dt2
dt
(i)
(3)
(i)
donde Ah y Bh , 1 ≤ i ≤ 4 son matrices de gran dimensión que dependen de
h (1 ≤ i ≤ 4 denota las diversas condiciones de frontera absorbentes).
2.
Carácter de bien puesto en norma euclı́dea
Consideramos la norma euclı́dea discreta para estudiar si (3) está bien
puesto. Empezamos usando la cota
kuh k2 ≤ kuh k2 + kduh /dtk2 ,
(4)
donde uh (t) es la solución de (3). Entonces podemos reescribir (3) como el
sistema diferencial de primer orden
·
¸
·
¸ ·
¸·
¸
0
I
d uh
uh
(i) uh
= Ah
=
,1≤i≤4
(5)
(i)
(i)
vh
vh
dt vh
Ah Bh
donde vh = duh /dt, y estudiar entonces si (5) está bien puesto.
Notemos en primer lugar que la matriz de coeficientes no es normal y, por
tanto, no es posible usar técnicas clásicas para el estudio. Sin embargo, podemos
probar una condición necesaria. Supongamos que
(i)
(i)
(i)
(i)
Ah = Ph Dh (Ph )−1 ,
(i)
1 ≤ i ≤ 4,
(6)
(i)
donde Dh es la matriz diagonal de autovalores. Sea βh = {máx <(µ) : µ ∈
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
σ(Ah )} la abscisa espectral de Ah y sea κh = kPh kk(Ph )−1 k el número de
(i)
condición de Ph .
(i)
Teorema 1. Para cada 1 ≤ i ≤ 4, sea Ah la matriz de coeficientes de (5).
(i)
Entonces, <(µ) ≤ 0 para todo µ ∈ σ(Ah ).
(i)
Deducimos de este teorema que βh ≤ 0 y por tanto
k[uTh (t),
duTh (t) T
] k ≤
dt
≤
(i)
(i)
κh exp(tβh )k[uTh (0),
(i)
κh k[uTh (0),
duTh (0) T
] k
dt
duTh (0) T
] k.
dt
(i)
Es decir, el problema está bien puesto con la salvedad de que el valor κh puede
crecer cuando la discretización espacial es refinada. La figura siguiente muestra
(i)
el comportamiento de κh para todos los casos estudiados.
9
10
8
Condition number of a matrix of eigenvectors
10
ABC(1,0)
ABC(2,0)
ABC(1,2)
ABC(2,2)
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
10
0
10
1
2
10
10
3
10
N
3.
Discretización completa y estabilidad temporal
Finalmente, realizamos la discretización temporal. Consideramos el uso de
un método Runge-Kutta A-estable. Sea ∆t > 0 un tamaño de paso en tiempo
y denotamos tn = n∆t para n ∈ N. Si la función de estabilidad del método
Runge-Kutta es r(z), obtenemos una aproximación de (5) dada por
·
¸
·
¸
uh,n+1
uh,n
(i)
= r(∆tAh )
(7)
vh,n+1
vh,n
El error global completamente discreto en t = tn está dado por
eh,n = Ph Qh u(tn ) − uh,n
(8)
donde Ph es la restricción al intervalo computacional y Qh es la proyección sobre
la red espacial. Nuestro objetivo es obtener una cota adecuada de
máx keh,n k[x1 ,xM ],h .
0≤tn ≤T
El error (8) puede ser descompuesto en tres partes originadas, respectivamente, por la discretización espacial, la incorporación de condiciones de frontera
absorbentes y la discretización temporal final.
Estamos interesados en este último término que está dado por
eeh,n = [(uh (tn ) − uh,n )T , (vh (tn ) − vh,n )T ]T ,
Con un argumento estándar, resulta
(i)
ke
eh,n k = κh O(∆tp ),
donde p es el orden clásico del método Runge-Kutta
(i)
Por tanto, κh es un valor decisivo para evaluar la estabilidad de la dis(i)
cretización completa. Podemos ver en la figura anterior que κh crece con el
tamaño de las matrices y con el orden de absorción (cf. [1, 2]). Otra manera de
medir la no normalidad de estas matrices de coeficietnes está dada por los llamados pseudoatovalores [5]. La parte real máxima de los ε-pseudoautovalores para
N = 512 y h = 0,15625 × 10−2 , que es una medida de la posible inestabilidad
numérica, se muestra en tabla siguiente, mostrando un buen comportamiento.
²\ ABC
10−14
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
4.
ABC(1,0)
1,09 × 10−11
7,97 × 10−10
8,13 × 10−8
9,85 × 10−6
7,97 × 10−4
5,46 × 10−2
ABC(2,0)
3,02 × 10−12
7,58 × 10−10
7,45 × 10−8
8,57 × 10−6
6,83 × 10−4
4,83 × 10−2
ABC(1,2)
1,63 × 10−12
8,90 × 10−10
7,54 × 10−8
8,11 × 10−6
9,38 × 10−4
6,32 × 10−2
ABC(2,2)
4,83 × 10−12
6,72 × 10−10
6,65 × 10−8
4,87 × 10−6
5,23 × 10−4
5,37 × 10−2
Resultados numéricos
Tomamos como condición inicial un perfil gaussiano con soporte incluido en
el intervalo computacional. Nuestro primer experimento pretende estudiar la
influencia de la discretización espacial y la elección de condiciones de frontera
absorbentes sobre el error. Para ello, consideramos un método Runge-Kutta de
oren 4 y elegimos un tamaño de paso temporal suficientemente pequeño. En la
figura siguiente mostramos la evolución del error frente al tiempo para ABC(2,0)
y valores creciente de N .
−3
0.02
4
N=512
0.015
2
0.005
1
0
50
100
0
150
−3
1
N=1024
3
0.01
0
x 10
0
50
100
150
−4
x 10
3
2.5
N=2048
0.8
x 10
N=4096
2
0.6
1.5
0.4
1
0.2
0
0.5
0
50
100
0
150
0
50
100
150
Podemos ver que los errores interiores al intervalo y los reflejos decrecen cuando
se refina la discretización espacial. Hemos repetido el experimento con las otras
tres condiciones de frontera absorbentes y los resultados son similares.
−10
5
−10
x 10
5
x 10
4.5
4
4
3.5
3
3
2.5
2
2
1.5
110
120
130
140
150
1
110
−10
5
120
130
140
150
120
130
140
150
−10
x 10
5
4.5
x 10
4.5
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
110
1.5
110
120
130
140
150
Quremos ahora estudiar la influencia en la estabilidad de las discretizaciones
(i)
totales. Elegimos ABC(2,2), que presenta el peor comportamiento de κh y
tomamos un valor muy pequeño de h para conseguir que los errores debidos a la
discretización espacial y el error de absorción sean muy pequeños. Finalmente,
tomamos un integrador en tiempo de orden 2, A-estable y conservativo. De esta
manera, cualquier error originado por la posible inestabilidad temporal es más
fácilmente detectado. Mostramos en la figura final la evolución del error frente
al tiempo con pasos en tiempo decrecientes. La perturbación observada en la
frontera es pequeña y tiene un tamaño similar para todos los valores de ∆t.
Cuando ∆t disminuye, las oscilaciones de las soluciones se reducen tanto en
tiempo como en duración temporal. Concluimos que, incluso en el peor caso, la
inestabilidad es muy pequeña.
Bibliografı́a
[1] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, Weak Ill-posedness of spatial Discretizations of Absorbing
Boundary Conditions for Schrödinger-type Equations, SIAM J. Numer. Anal. 40 (2002),
134-158.
[2] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, Discrete Absorbing Boundary Conditions for Schrödingertype Equations. Construction and Error Analysis, SIAM J. Numer. Anal. 41 (2003),
1824-1850.
[3] T. Hagstrom, New results on absorbing layers and radiation boundary conditions.
Topics in computational wave propagation, 1–42, Lect. Notes Comput. Sci. Eng., 31,
Springer, Berlin, 2003.
[4] L. Halpern, Absorbing Boundary Conditions for the Discretization Schemes of the OneDimensional Wave Equation, Math. Comput. Volume 38 (1982), 415–429.
[5] L. N. Trefethen, Pseudospectra of linear operators, SIAM Review 39 (1997), 383–406.
[6] L. N. Trefethen, L. Halpern, Well-posedness of one-way wave equations and absorbing
boundary conditions, Math. Comput. 47 (1986), no. 176, 421–435.