SOLUCION AL PROBLEMA 4 DE LAS 2nd OLIMPIADAS BENELUX AMSTERDAM. 4 PROBLEMA PROPUESTO EN LAS OLIMPIADAS BENELUX AMSTERDAM NOMBRE: ANDRES ZORRILLA VACA GRADO: 9° (bachillerato) Nivel Medio PAIS: COLOMBIA CIUDAD: CALI COLEGIO: Colegio Lacordaire SOLUCIÓN.// (1,1,2,1) ; (1,2,3,2) y (2,1,3,2) Primero factorizamos el lado izquierdo de la igualdad teniendo de esta forma: luego, se tendría: 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑛 �(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑝 Descomponiendo el radical, se tiene: 𝑛 𝑛 �(𝑎 + 𝑏) × �(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑝 Siendo “p” un numero primo cualquiera, y de acuerdo a la ecuación anterior entonces concluimos,( por la definición de primo: es un numero primo aquel que tiene como divisores únicamente al uno y el mismo) que: A) Uno de los dos factores (a+b) ó (a2-ab+b2) tiene que ser uno (1), ya que el numero primo “p” debe ser divisible por uno o por el mismo. Luego si (a+b) es uno(1) entonces una de las variables ya sea “a” o “b” tendría que ser cero o un numero negativo pero de acuerdo a la información del enunciado estas variables deben ser únicamente números enteros positivos, es decir, mayores que cero (0); solamente nos resta evaluar cuando (a2-ab+b2) es igual a “uno” y razonando obtenemos de que: (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 1 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) − 𝑎𝑏 = 1 − 𝑎𝑏 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 1 − 𝑎𝑏 , por conveniencia agrego “-ab” a ambos lados de la ecuación para factorizarlo como un cuadrado perfecto: (𝑎 − 𝑏)2 = 1 − 𝑎𝑏 , razonamos de que el producto (ab) debe de ser menor o igual a “uno”, ya que todo numero elevado al cuadrado es “positivo”; entonces: 0<ab≤1; y la única solución acondicionada y coherente es cuando a=b=1. (𝑎2 Tenemos entonces ya una primera cuaterna: (1,1,2,1) Prueba: 13+13=21 1+1=2 2=2 1* B) Ó de que los dos factores sean iguales. En este caso, continuamos (factorizando): (𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎 − 𝑎2 = 𝑏 2 − 𝑎𝑏 − 𝑏 𝑎(1 − 𝑎) = 𝑏 2 − 𝑏(𝑎 + 1) ,ya factorizado procedemos a pasar a restar a ambos lados “a(1-a)” 0 = 𝑏 2 − 𝑏(𝑎 + 1) − 𝑎(1 − 𝑎) Teniendo de esta forma un polinomio de grado 2, cuyos coeficientes son: (1; -(a+1); -a(1-a))respectivamente (a1,b1,c1); que se puede resolver (resolver las raíces) mediante la ecuación cuadrática, teniendo: , reemplazando obtenemos: −𝑏1 ± �𝑏12 − 4𝑎1 𝑐1 2𝑎1 (𝑎 + 1) ± �(𝑎 + 1)2 − [4(1) ∗ −𝑎(1 − 𝑎)] 2(1) Evaluando la expresión “-a(1-a)”, en este caso a≥1 (de acuerdo al enunciado del problema) y lógicamente podríamos expresarlo por “a(1-a)” positivo, ya que ( –) × (−) = (+). Entonces transformada la ecuación cuadrática con los argumentos anteriores nos quedaría: 𝑏= (𝑎 + 1) ± �(𝑎 + 1)2 − 4𝑎(1 − 𝑎) 2 , en este caso, como “b” es un numero entero positivo(por el enunciado) entonces la discriminante debe de ser un numero positivo cuadrado perfecto, es decir mayor que cero, por lo tanto(razonando): 𝑏= Si |-4a(1-a)|≥|(a+1)2|∀ {a|a є Z+ Λ a<2 ó a>2} , entonces no existe un numero “b” dentro del conjunto de los enteros positivos. Si |-4a(1-a)|<|(a+1)2| ∀{a|a є Z+ Λ a=2}, entonces si existe un numero “b” dentro de los números enteros positivos; ya que resolviendo la desigualdad tenemos de que la única solución para los valores de “a” es que sea igual a dos(2): Prueba: |-4(2)(1-2)|<(2+1)2 |8|<32 8<9, ya esta demostrado; ahora procedemos a resolver la ecuación cuadrática sabiendo de que “a” obligatoriamente debe de ser igual a dos(2) para una solución de “b” dentro del conjunto de los enteros positivos: 𝑏= (2 + 1) ± �(2 + 1)2 − 4(2)(1 − 2) 2 𝑏= 4 2 𝑏= =2 3 ± √9 − 8 2 𝑏= 3±√1 2 ó 2 2 𝑏= =1 Resolviéndolo podemos observar de que “b” puede tener dos valores, dos(2) [que no se puede tener en cuenta como componente de una nueva cuaterna ya que el “p” no sería primo]*; ó uno(1)**. *no se debe tener en cuenta como cuaterna por que: 23+23=16=42, por tanto “4” no es un numero primo(es un numero compuesto). **Entonces trasladando los valores anteriores para la cuaterna (2,1,3,n),[ en donde “n” no lo conocemos](falta hallarlo) tenemos: 2 3 + 1 3 = 3𝑛 9 = 3𝑛 Ahora despejo “n”: 𝑛 = log 3 9 𝑛=2 Teniendo de esta forma las dos ultimas formas de cuaterna, (hay que probarlas): 2* (2,1,3,2) (1,2,3,2) 3* PRUEBAS DE LAS TRES CUATERNAS DICHAS ANTERIORMENTE: 1* (1,1,2,1) 13+13=21 1+1=2 2=2 2* (2,1,3,2) 3* 23+13=32 8+1=9 9=9 13+23=32 1+8=9 9=9