Pérdidas en tuber´ıas y máquinas hidráulicas

Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas
Problema 4.1
Determinar el tiempo de vaciado de la gasolina del tanque de
la figura que tiene forma de un paralelepı́pedo rectangular con
área de la base S = 0,5 m2 y altura H = 0,6 m. El área de
la sección transversal del tubo de vaciado es S2 = 20 cm2 y el
coeficiente global de pérdidas ξ2 = (K + λL2 /D2 ) = 2. El área
de la sección transversal del tubo de drenaje a través del cual
se aspira aire durante la salida de la gasolina es S1 = 1 cm2 con
un coeficiente global de resistencia ξ1 = (K + λL1 /D1 ) = 3. La
3
densidad de la gasolina es de 720 kg/m .
Aire
H
Gasolina
La presión del aire a la entrada del tubo de drenaje y a la salida del tubo de vaciado es igual a la
atmosférica.
Nota: Considerar el volumen del tanque mucho mayor que el de las tuberı́as y por lo tanto considerar en
éstas el movimiento casi permanente. Considerar el aire incompresible.
Solución:
t = 177 s
Problema 4.2
1o ) Convertir la canalización hidráulica compleja representada en la figura en una longitud equivalente
de tuberı́a de 150 mm de diámetro.
2o ) Calcular el caudal correspondiente a una diferencia de niveles de h = 20 m.
K1
C
B
K2
L
K7
K3
D
K4
F
K2
K5
G
Factores de pérdida de carga
Filtro en B................................................
Codos 300 f en C y F ............................
Unión en T en D ......................................
Válvula de 300 f en E ...........................
Derivación doble T reduct ora de 300 f
150 f en G .............................................
Medidor 150 f en H...............................
Codos de 150 f en J y K........................
Válvula de 150 f en L ...........................
Solución:
1o ) Leq = 125,06 m
2o ) Q = 0,0857 m3 /s
N
K8
E
H
K7
K6
Ki
Tubería BG:
K 1 = 8,0
K 2 = 0,5
K 3 = 0,7
K 4 = 1,0
Diámetro 300 mm
Longitud 46 m
f = 0,025
K 5 = 0,7
K 6 = 6,0
K 7 = 0,5
K 8 = 3,0
Tubería GN:
Diámetro 150 mm
Longitud 30,5m
f = 0,02
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Problema 4.3
Dado el sistema indicado en la figura de caracterı́sticas: L1 = L2 = L3 = L4 = 100 m , H = 24 m ,
D1 = D2 = D4 = 0,1 m , D3 = 0,2 m ; f1 = f2 = f4 = 0,025 ; f3 = 0,02 y Kv = 30. Se pide:
1o ) Longitud equivalente del sistema referida a la tuberı́a 1
2o ) Caudal correspondiente a cada tuberı́a
H
A
L1
D1
1 f1
L 2 D2 f 2
2
C
B
L 4 D4 f4
4
D
KV
L 3 D3 f3
3
Solución:
1o ) Longitud equivalente = 205,78 m
2o ) Q1 = 23,5 l/s , Q2 = 5,65 l/s , Q3 = 17,87 l/s
Problema 4.4
Se trata de llevar agua a un depósito C desde otros
depósitos A y B a través del sistema de tuberı́as mostrado en la figura. Considerando el problema como estacionario y suponiendo que las tuberı́as AN, BN y AB
llevan el mismo caudal, calcular:
5m
A
25m
1o ) Caudal que llega al depósito C
Q
2o ) Longitudes de las tuberı́as BN y AB (despreciar
pérdidas secundarias y alturas de velocidad)
Datos:
Tuberı́a
AN
BN
NC
AB
B
Q
Q
N
C
Longitud (m)
100
?
80
?
Diámetro (cm)
20
25
30
30
f
0,02
0,02
0,02
0,02
Solución:
1o ) Q = 0,369 m3 /s
2o ) LBN = 218,53 ; LAB = 215,83 m
Problema 4.5
Una turbina está instalada en una tuberı́a rectilı́nea que une dos depósitos de grandes dimensiones cuya
diferencia de nivel es de 30 m.
1o ) Cuando por la tuberı́a circula el caudal máximo, que resulta ser de 10 m3 /s, la pérdida de carga en
la tuberı́a es de 1 m. Calcular la potencia desarrollada por la turbina, suponiendo que el rendimiento
de la misma es del 80 %.
2o ) A fin de obtener una mayor producción diaria de energı́a, se instala una nueva turbina más potente,
manteniéndose la misma tuberı́a. Suponiendo que el parámetro de fricción λ de la tuberı́a no varı́a,
determinar:
a) La expresión de la pérdida de carga en función del caudal que circula por la tuberı́a. Hpérd = kQ2 .
2
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b) Expresión de la potencia desarrollada por la nueva turbina en función del caudal, en el supuesto
de que su rendimiento sea constante.
c) Caudal a turbinar para conseguir la potencia máxima, pérdida de carga correspondiente a este
caudal y valor de dicha potencia máxima suponiendo que el rendimiento de la turbina es del 80 %.
3o ) Si la tuberı́a es de fundición (rugosidad 1 mm) y de 2 m de diámetro, determinar:
a) Tipo de flujo en la tuberı́a en el caso del apartado 1 (diagrama de Moody).
b) Tipo de flujo en la tuberı́a del apartado 2 (caudal correspondiente a potencia máxima).
c) Longitud total de la tuberı́a.
Nota: Despreciar la pérdidas locales. Suponer g = 10 m/s2 . Dar los resultados en unidades del S.I.
Dz = 30 m
D
l
T
L
Solución:
1o ) W = 2,32 MW
[
2o ) a) k = 1/100 ; W = ηt ρgQ 30 −
Q2
100
]
c) Q = 31,62 m3 /s ; Hf = 10 m ; W = 5,0592 MW
3o ) a) Re = 6,366 × 106 ; b) Re = 2,013 × 107 ; c) f = 0,017 ; L = 232,22 m
Problema 4.6
En una prospección de petróleo se encuentra una bolsa
que contiene un volumen inicial de gas Vg (0) a la presión
pg (0), ambos conocidos. Se hace una perforación con un
tubo de diámetro D hasta una profundidad H. Se pide:
pa
g
D
1o ) Gasto volumétrico Q de petróleo en función de la
presión del gas en cada instante (y de los demás
parámetros del problema), suponiendo que el movimiento en el tubo es casiestacionario y a muy altos
números de Reynolds, de forma que λ no depende
de la viscosidad.
o
2 ) Volumen del gas en función del tiempo suponiendo
que el proceso de expansión de éste en la bolsa es
isotermo.
TIERRA
H
GAS
p g, V g
h
PETROLEO
3o ) Calcular el instante en que se anula el gasto volumétrico.
Nota: Supongan h << H.
Solución:
1o ) Q(t) =
√
πD
2
2
pg (t)−patm
−gH
ρp
2 1+λ H
D
(
)
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Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Problema 4.7
Un depósito que contiene agua (µ = 0,01 gr/cm · s) posee dos
salidas tal como se indica en la figura. Suponiendo que en las
tuberı́as de salida se alcanza la turbulencia completa, que el
material de las mismas es hierro galvanizado y que los acoplamientos depósito-tuberı́a tienen un coeficiente K de pérdida de
carga de 0,5 se pide:
1o ) Calcular la relación h1 /h2 para que por ambas tuberı́as
circule el mismo caudal
h1
L1=60 m
D1=35 cm
h2
L2=80 m
D2=25 cm
2o ) Estimar el valor mı́nimo de h1 para que se alcance el régimen de turbulencia completo en la primera tuberı́a
Solución:
1o ) h1 /h2 = 0,158
2o ) h1 = 43,28 m
Problema 4.8
La figura 1 representa el perfil simplificado de un oleoducto real en el Ártico que
funciona en régimen estacionario. Los tres
grandes tramos tienen pendiente constante. Como la pérdida de carga es muy grande, pero no se pueden poner presiones de
bombeo elevadas, se instala una estación de
bombeo cada 100 km. La figura 2 representa los tres tipos de tramos.
100 km
60 m
500 km
300 m
42,9 m
Figura 1
100 km
Figura 2
Los datos de que se dispone son: gasto másico 50 × 106 Tm/año, densidad 860 kg/m3 ,
sección del tubo circular de diámetro 1,6 m, λ = 0,35 Re−1/4 y ν = 10−5 m2 /s. Despreciar las pérdidas
de carga en codos, válvulas, etc. Se pide:
1o ) Velocidad media.
2o ) Valor del coeficiente de pérdida de carga o de fricción.
3o ) Caı́da de energı́a mecánica (p + ρgz) a lo largo de cada tramo de 100 km (es la misma para los tres
tipos de tramos).
4o ) Presión a la salida de las bombas de los tres casos suponiendo que al final de cada tramo de 100 km
la presión es patm . (Las bombas funcionan en régimen isentrópico).
5o ) Potencia de cada tipo de bomba (η = 0,65 para todas) y potencia total de las 17 del oleoducto.
Solución:
1o ) v = 0,917
m
s
2o ) λ = 0,0179
3o ) 4,1244
kg
cm2
kg
cm2 (absoluta)
kg
horizontal: ps = 5,1104 cm
2 (absoluta)
kg
descendente: ps = 1,4210 cm
2 (absoluta)
4o ) Tramo ascendente: ps = 10,2704
Tramo
Tramo
o
5 ) WTramo ascendente = 2,582 MW
WTramo horizontal = 1,146 MW
WTramo descendente = 0,119 MW
WT otal = 19,473 MW
4
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Problema 4.9
Se utiliza el sifón de sección uniforme y diámetro D de la figura para
drenar agua del depósito (1) al depósito (2).En el supuesto de que los
depósitos sean muy grandes se pide determinar en función de los datos
del problema, teniendo en cuenta las pérdidas por rozamiento y descarga
en C:
1o ) La velocidad media a través del sifón y presión en el punto B.
B
H
D
g
pa
o
2 ) En el supuesto de que a la temperatura ambiente a la que está el
agua, ésta hierva a una presión absoluta pV indicar el valor máximo
de H para que esto no ocurra, y decir también cuál es el punto más
desfavorable del circuito.
A
1
h
pa
Datos: lAC = l; lAB = l1 ; h; D; pa ; pV ; f (factor de rozamiento)
C
Solución:
√
1o ) v = f 2gh
l
+1
;
D
2o ) H =
patm −pv
ρg
−
(
)
l1
pB = patm − ρgH − 1 + ρf D
2
gh
l
fD
+1
l
f D1 +1
h
l
fD
+1
Problema 4.10
Se trata de llevar agua desde un embalse, en el que el nivel de agua es de 5 m
2 km
respecto al fondo, a una distancia de 2 5 m
L0
x
km y a una cota de 15 m por debajo del
A
fondo del embalse con una tuberı́a de 1
15 m
m de diámetro y rugosidad 0.2 mm, tal
como se indica en la figura. Para ello,
se han dispuesto dos tramos de tuberı́a
rectos: el primero horizontal y el segundo inclinado. Se puede suponer que la pendiente de la segunda
tuberı́a es muy pequeña de manera que su longitud es su proyección horizontal x y que la longitud total
de los dos tramos es 2 km.
El problema que puede tener la configuración anterior es que si x no es suficientemente grande, en el
punto A puede haber depresiones importantes y hasta cavitación.
Despreciando todas las pérdidas locales, excepto la energı́a cinética del chorro de salida, se pide:
1o ) Caudal que circula por la tuberı́a.
2o ) Valores de x para que en el punto A se cumpla que:
a) La presión manométrica sea nula.
b) Haya cavitación, entendiendo por ello que la presión absoluta sea nula.
3o ) Distribución de presiones manométricas a lo largo del tubo para los casos indicados en el apartado 2.
Solución:
1o ) Q = 2,89 m3 /s
2o ) xa = 1556,7 m ; xb = 517 m
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Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Problema 4.11
En la instalación de la figura un depósito de grandes
dimensiones que contiene agua se vacı́a a través de los
conductos indicados. Suponiendo régimen estacionario y que el factor de fricción f = 0,02 calcular:
6m
K6=0,3
K5=0,3
100mm
h=2
20 m
1o ) Caudal de descarga
2m
2o ) En qué punto del sistema de tuberı́as la presión
es mı́nima
3m
3o ) Máximo valor de h que permitirı́a una descarga
del depósito sin que aparezca cavitación (pv =
0,3 kg/cm2 )
3m
K1=0,5
K4=0,5 (vsalida)
K2=0,5
K3=0,5
2m
Solución:
1o ) Q = 20,76 l/s
2o ) En 6
3o ) h = 5,34 m
Problema 4.12
En las chimeneas, la menor densidad de los gases calientes respecto a la del
aire frı́o exterior provoca la ascensión de los gases calientes por el interior
de las mismas. La chimenea indicada en la figura tiene una altura h = 45 m
y un diámetro de 0,6 m y está construida en hormigón (rugosidad 6 mm).
Suponiendo uniforme la densidad del aire exterior ρa = 1,23 kg/m3 y de
los gases calientes ρc = 1,1 kg/m3 , siendo la viscosidad de estos últimos
µc = 1,9 × 10−4 poise, calcular:
D
g
H
rc
ra, pa
1o ) Velocidad media de ascensión de los gases calientes.
2o ) Gasto de aire caliente.
3o ) Justificar que la hipótesis de densidades uniformes es correcta.
Solución:
√
1o ) vs =
2gH ( ρρa
−1)
c
1+f H
D
2o ) G = 1,52
rc
kg
s
Problema 4.13
A través de la red de tuberı́as indicada en la figura fluye un
caudal de agua de 560 l/s. Para una presión manométrica efectiva de 7 kg/cm2 en el nudo A. ¿Qué presión se tendrá en el
nudo B?
1
Q=560 l/s
B
A
Las tuberı́as son de fundición con las caracterı́sticas siguientes:
2
Tramo 1: longitud equivalente con codos incluidos 600 m, D =
30,5 cm.
Tramo 2: longitud equivalente con codos incluidos 457 m, D = 46 cm.
Solución:
pB = 6,398 kg/cm2
6
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.14
En un campo petrolı́fero próximo al mar, se aprovecha
la diferencia de densidades entre el agua salada (ρw =
1030 kg/m3 ) y el petróleo (ρp = 900 kg/m3 ) para la
extracción de petróleo. Para ello se inyecta agua salada
en la bolsa de petróleo tal como se indica en la figura a
través de la tuberı́a 1 y se extrae por medio de la 2. Suponiendo que la producción del pozo es de 500 barriles/dı́a
(barril≈120 litros) y que la bolsa siempre está llena de
lı́quido manteniéndose los dos lı́quidos en capas separadas, calcular:
Tubería 1
L2=3,5 Km
D1=?
e=0,05 mm
Tubería 2
L2=3,5 Km
D2=5 cm
e=0,05 mm
GAS
pg
PETROLEO
1o ) La presión manométrica pg que debe existir en la
zona gaseosa de la bolsa de petróleo para mantener
los 500 barriles dı́a de producción, sabiendo que la
viscosidad del petróleo es de µp = 0,02 poise.
AGUA
2o ) Pérdida de carga en la tuberı́a 1 (µagua = 0,01 poise).
3o ) Diámetro de la tuberı́a 1.
Suponer despreciables la dimensión vertical de la bolsa de petróleo frente a las longitudes de las tuberı́as
y las pérdidas de carga locales incluida la energı́a cinética de los chorros a la salida.
Solución:
1o ) 31,06 × 106 Pa
3o ) D1 = 2,580 × 10−2 m
2o ) 336,1 m
Problema 4.15
La instalación de la figura está constituida por tres depósitos. Por cada una de las tuberı́as 1 y 2 fluye un
caudal de 10 l/s de los depósitos A y B hacia el depósito C. Para conseguir estos caudales en la tuberı́a
1 hay una bomba b1 y en la 2 hay una válvula V 2.
25 m
B
V2
2
2m
A
1
b1
Q2
Q1
3
V3
Q3
0m
C
Suponiendo que el flujo es estacionario, calcular:
1o ) La constante k asociada a las pérdidas en la válvula situada en la tuberı́a 2.
2o ) La altura suministrada por la bomba y la potencia consumida, suponiendo que su rendimiento es del
0,7.
3o ) Si se cierra instantáneamente una válvula V 3 en la salida de la tuberı́a 3, se pide calcular la velocidad
de la onda que se genera a lo largo de esa tuberı́a, ası́ como la sobrepresión correspondiente, suponiendo
que el espesor de la pared es de 1 mm y su módulo de elasticidad E = 1011 N/m2 .
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Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Longitud (m)
Diámetro (m)
Espesor (mm)
Rugosidad (mm)
Caudal (l/s)
Tuberı́a 1
100
0,1
1
0,1
10
Tuberı́a 2
300
0,1
1
0,1
10
Tuberı́a 3
200
0,1
1
0,1
Solución:
1o ) kV 2 = 72,66
2o ) 15,18 m
3o ) 832 m/s
Problema 4.16
Un fluido, de densidad ρ = 992,2 kg/m3 y viscosidad µ = 1,31 × 10−2 Ns/m2 , fluye desde el depósito A
hacia el B tal y como se muestra en la figura (a). Ignorando las pérdidas a la entrada del tubo, determinar:
1o ) El caudal que fluye desde el depósito A al B, justificando las hipótesis realizadas.
2o ) El error que se comete al considerar la presión a la entrada del tubo como la hidrostática.
3o ) Asumiendo este error como aceptable, hallar el tiempo que tardará en vaciarse el depósito A.
Con objeto de maximizar el caudal desalojado, se decide sustituir el tubo por un difusor como se muestra
en la figura (b).
4o ) Determinar el incremento de caudal logrado.
AA=0,0156 m2
A
0,1m
A
0,1m
D1=4 mm
D=4 mm
0,3 m
0,3 m
D2=5 mm
0,08 m
B
AB=AA/1,25
Figura (a)
0,08 m
B
Figura (b)
Solución:
−t
1o ) Q = 4,914 × 10−6 exp 564
2o ) −1,98 %
3o ) t = 481 s
4o ) Q = 7,55 × 10−6 m3 /s
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.17
Un sistema de protección contra incendios consta
de tres rociadores (1, 2 y 3 de la figura) a los que
llega agua desde un depósito presurizado situado
por debajo de dichos rociadores. El caudal que
expulsa cada rociador depende de la presión del
fluido a la entrada del mismo, según la expresión:
√
Q = 33 p , siendo Q el caudal que expulsa el
rociador en l/min y p la presión del agua a la
entrada del rociador en bar.
3m
4m
1
2m
2
2m
A
3
3m
C
B
La condición de diseño obliga a que la presión a la
entrada del rociador más alejado del depósito sea
de 1 bar.
V
20m
pe
1m
1m
La tuberı́a que une los rociadores 1, 2 y 3 tienen
25 mm de diámetro y un coeficiente de fricción de
Bomba
D
0,046. El resto de las tuberı́as tienen un diámetro
3m
3m
3m
−6
de 30 mm y una rugosidad ε = 5 × 10 m. La
válvula V tiene una constante de pérdida de carga
local KV = 0,7 y cada uno de los codos KC = 0,5 (despreciar la pérdida de carga local en A). Suponiendo
que los tres rociadores funcionan simultáneamente, hallar:
1o ) El caudal que expulsa cada rociador (Q1 , Q2 y Q3 ).
2o ) La presión que debe tener el depósito presurizado (pe ).
3o ) La potencia que debe tener la bomba para que la altura de agua en el depósito permanezca constante,
si su rendimiento es del 75 %.
Solución:
1o ) Q1 = 5,5 × 10−4 m3 /s
;
Q2 = 5,6256 × 10−4 m3 /s
;
Q3 = 5,80738 × 10−4 m3 /s
2o ) pe = 393111,7 Pa
3o ) W = 697,4 W
Problema 4.18
En el sistema de tuberı́as indicado en la figura y
que está contenido en un plano horizontal, la presión manométrica en el punto A es de 280 kN/m2 .
La tuberı́a AD tiene un diámetro de 400 mm y el
resto de tuberı́as 300 mm. Suponiendo para todas
las tuberı́as un coeficientes de fricción de 0,02 y
despreciando todas las pérdidas secundarias, calcular:
B
Q2
300 m
140 m
Q1
A
100 m
C
1o ) Q1 , Q2 , y Q3 y la presión manométrica en C
cuando las descargas en B y D son atmosféricas.
140 m
300 m
Q3
2o ) Q1 y la presión manométrica en C cuando la
descarga en B es atmosférica y la salida D ha
sido cerrada.
D
Solución:
1o ) Q1 = 1,7 m3 /s
o
3
2 ) Q1 = 0,86 m /s
Q2 = 0,653 m3 /s
;
;
;
Q3 = 1,046 m3 /s
;
pC = 72593 Pa
pC = 223883 Pa
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Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Problema 4.19
El abastecimiento de agua de una ciudad se realiza desde 3
depósitos elevados, ubicados en colinas próximas. Estos depósitos suministran agua a una tuberı́a principal en forma de anillo
que rodea a la ciudad. El suministro final hacia la ciudad se realiza a través de múltiples tomas distribuidas uniformemente a lo
largo el anillo circundante. Para garantizar dicho suministro, la
presión manométrica en el anillo debe de ser de 5 m.c.a, donde
se puede suponer despreciable la velocidad del agua. El consumo de la ciudad es de 9 m3 /s, aportado a partes iguales por
todos los depósitos. Las tuberı́as de descarga de los depósitos
son de idéntico diámetro y material, con un factor de fricción
f = 0,02. La ciudad se encuentra a una altura de z = 0 m, y el
nivel de agua de los depósitos a zA = 25 m y zB = zD = 15 m.
Las tuberı́as de descarga de los depósitos tienen una longitud
de LA = LD = 1500 m y LB = 1000 m. Calcular:
zB=15m
zD=15m
LB=1km
Bomba
Anillo
LD=1,5km
CIUDAD
Válvula
z =25m
LA=1,5km
1o ) Diámetro de las tuberı́as de descarga de los depósitos.
2o ) Constante de pérdidas de la válvula.
3o ) Potencia de la bomba, suponiendo un rendimiento unidad.
Nota: Despreciar todas las pérdidas de carga locales (excepto la de la válvula)
Solución:
1o ) D = 1,08 m
2o ) kv = 9,23
3o ) W = 147 kW
Problema 4.20
La figura 1 corresponde a un esquema del circuito cerrado de
depuración de una piscina climatizada. La bomba B1 proporciona un incremento de presión de 1 bar, las constantes
de pérdidas locales en el filtro y en la válvula anti-retorno
son kF = 15 y kV = 2,5 respectivamente. Todas las tuberı́as tienen un diámetro D1 = 10 cm y las longitudes son
LEB = 2 m, LBA = 15 m, y LAS = 3 m, con un coeficiente
de fricción f1 = 0,05.
kV
S
A
kF
B
E
B1
Figura 1: Circuito de depuración
1o ) Calcular el caudal que circula por la bomba.
Panel
solar
Se incorpora a la instalación un circuito de energı́a solar
térmica como se indica en la figura 2. La bomba B2 proporciona un incremento de presión de 1 bar, la constante
de pérdidas locales en la válvula anti-retorno es kV = 2,5,
el diámetro de las tuberı́as es D2 = 4 cm y la longitud del
circuito LBC + LDA = 20 m con un coeficiente de fricción
f2 = 0,02. Además, el panel solar posee una longitud equivalente de 30 metros referida a la tuberı́a de diámetro D2 .
D
g
3 ) ¿Dónde colocarı́as la bomba B2 en el circuito de energı́a
solar para evitar posibles problemas de cavitación? Justifica la respuesta.
B2
kV
2o ) Calcular el caudal que circula por cada bomba.
o
C
kV
S
A
kF
B
E
B1
Figura 2: Circuito de depuración y de energía solar
Nota: Despreciar las pérdidas locales sólo en codos y ”Tes”.
Solución:
1o ) Q = 20,6255 l/s
2o ) Q2 = 3,07759 l/s
10
;
Q1 = 20,1736 l/s
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.21
T2
g
4·105 Pa
10 m
El depósito de la figura, de grandes dimensiones, se vacı́a a través de la tuberı́a T1 de 100
m de longitud por lo que se pueden despreciar todas las pérdidas locales. La rugosidad
de la tuberı́a es de 0,1 mm. La cámara de aire
del depósito se encuentra a una presión manométrica de 4 × 105 Pa.
T1
T1
25 m
75 m
1o ) Determinar el diámetro de la tuberı́a T1 para que el chorro formado al final de dicha tuberı́a alcance
una altura de 10 m. Se supone que el chorro evoluciona idealmente.
2o ) ¿Qué altura alcanzará el agua en el tubo T2 , supuesto éste de gran longitud?
3o ) Suponiendo ahora que la tuberı́a T2 tiene la misma rugosidad que T1 y un diámetro de 0,5 m, ¿Cuál
deberı́a ser su longitud para que el caudal que descargasen las dos tuberı́as fuese el mismo?
Solución:
1o ) D1 = 0,37 m
2o ) h = 48,77 m
3o ) L = 22,38 m
Problema 4.22
Un depósito que contiene agua posee dos salidas tal como
se indica en la figura A. La tuberı́a 1 tiene un diámetro
D1 = 35 cm, una longitud L1 = 60 m y el coeficiente
de fricción es f1 = 0,016, ası́ mismo la tuberı́a 2 tiene
un diámetro D2 = 25 cm, una longitud L2 = 80 m y
f2 = 0,018. Los acoplamientos depósito tuberı́a tienen
una Ke = 0,5. Calcular:
h2
H
Tubería 1
1o ) El valor de la relación h1 /h2 para que por las dos
tuberı́as circule el mismo caudal.
2o ) Si las tuberı́as fueran verticales y estuvieran colocadas en el fondo del depósito, figura B, calcular la
presión en la sección de entrada de las tuberı́as 1 y
2.
Tubería 2
h1
Tubería 2
Tubería 1
Figura A
Figura B
3o ) Para evitar la cavitación se coloca una válvula en el extremo final de cada tuberı́a. Cuál tendrı́a que
ser el valor mı́nimo de la k de cada una de estas válvulas.
Solución:
1o )
h1
h2
= 0,152
2o ) Cavita en ambas
Problema 4.23
En la figura se muestra un esquema de la instalación
de refrigeración del bloque motor de un automóvil. La
Vaso expansión
instalación está compuesta por los siguientes elementos:
Bloque
Radiador
p
Motor
radiador, bomba de agua, circuito de refrigeración bloque
motor y tuberı́as y vaso de expansión. Las tuberı́as y el
Bomba Agua
vaso de expansión tienen una longitud equivalente de
pérdidas de 2 m con un diámetro D = 0,01 m y una
rugosidad ε = 0,01 mm. En un ensayo de caracterización
hidráulica se ha determinado que para un caudal de 5 × 10−4 m3 /s la pérdida de presión en el radiador
es de 5 m.c.a y en el bloque motor es de 15 m.c.a.
0
1o ) Suponiendo despreciables las pérdidas en la bomba, calcular la potencia consumida por la bomba de
agua durante el ensayo.
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11
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
2o ) Para el máximo régimen de giro del motor, el caudal que debe suministrar la bomba es de un 40 %
superior al del ensayo. ¿Cuál es, en este caso, la potencia consumida por la bomba?
3o ) Sabiendo que la presión de vapor del agua es pv = 0,5 bar, calcular la presión mı́nima en el vaso de
expansión para que no haya cavitación en el circuito en el caso b)
Solución:
1o ) W = 146,63 W
2o ) W = 396,8 W
3o ) p = 6,16 bars (absoluta)
Problema 4.24
Un elevador hidráulico de 1,5 m de recorrido y carga máxima de
3000 kg se acciona mediante 2 cilindros hidráulicos de diámetro interior 30 cm cada uno. Los dos cilindros se alimentan de
un conducto de 40 mm de diámetro interior, longitud 10 m y
rugosidad 0,16 mm, colocado en horizontal.
3000 kg
2o ) Para conseguir un tiempo de elevación de 10 segundos y
duplicar la carga máxima se añaden dos nuevos cilindros de
iguales caracterı́sticas. Calcular la nueva presión máxima a la
entrada del conducto.
H=1,5 m
1o ) Sabiendo que el tiempo que tarda en elevarse la carga es
de 1 minuto y que el desplazamiento es a velocidad constante,
calcular la presión máxima necesaria a la entrada del conducto.
L = 10 m
Entrada
D = 40 mm; e = 0,16 mm
Despreciar los tramos de conducción entre el final del conducto
principal y la entrada de cada uno de los cilindros, tanto a
efectos de diferencias de altura, como de pérdidas locales y de fricción. Datos del fluido: viscosidad
cinemática ν = 10−4 m2 /s y densidad ρ = 850 kg/m3 .
Solución:
1o ) pe = 2,6828 × 105 Pa
2o ) pe = 44,5635 × 105 Pa
Problema 4.25
En la instalación indicada en la figura se bombea
agua del depósito A al depósito B. Se suponen
despreciables las pérdidas por fricción en las tuberı́as 0 y 3 y que los depósitos son de grandes
dimensiones.
13 m
T1
T3
8m
5m
1o ) Sabiendo que la altura que proporciona la bomba es de 20 m.c.a., determinar el caudal que
circula por cada una de las tuberı́as.
2o ) Justificar si serı́a posible instalar la bomba en
la tuberı́a T3.
A
T0
B
T2
Bomba
Longitud (m)
Diámetro (cm)
Rugosidad (mm)
T0
0,5
8
0,045
T1
36
4
0,045
T2
36
8
0,045
T3
0,5
8
0,045
Solución:
1o ) Q1 = 0,041 m3 /s
;
Q2 = 0,0243 m3 /s
2o ) No es posible
12
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.26
En la instalación de la figura hay dos bombas idénticas
B. Cada una de las bombas aporta al fluido un incremento de presión p = 3 × 105 Pa Una bomba impulsa
el agua del depósito C al depósito A, ambos de grandes
dimensiones. La otra bomba aspira el agua del depósito C a través de la tuberı́a T 3. Supuesta la válvula V 5
cerrada, calcular:
z=20 m
A
T4
V5
T2
T5
z=10 m
T1
T3
1o ) Los caudales Q1, Q2 y Q4, que circulan por las tuberı́as T 1, T 2 y T 4 respectivamente.
C
B
2o ) ¿Hasta qué altura subirı́a el agua que descarga por
el extremo de la T 4, supuesto que el chorro de agua
evoluciona idealmente?
Tubería L (m) D (m)
T1
30
0,1
T2
30
0,1
T3
20
0,1
T4
10
0,1
T5
10
0,1
3o ) ¿Por qué alcanza mayor altura el agua que circula
por la tuberı́a T 4 que por la T 1?
z=2 m
z=0 m
B
e (mm) f ó l
0,02
0,02
0,02
0,02
0,001
4o ) Supuesta la válvula V 5 abierta, calcular el valor de
la constante de pérdidas de V 5 para que por T 4 y
T 5 circule el mismo caudal.
Solución:
1o ) Q1 = 0,044 m3 /s
;
Q2 = 0,0538 m3 /s ;
Q4 = 0,044 m3 /s
2o ) h = 21,6 m
4o ) kV 5 = 47
Problema 4.27
Se dispone de una instalación con dos depósitos A y
B, cuatro tramos de tuberı́a que confluyen en la unión
C y una turbina localizada entre las secciones D y E.
El caudal suministrado por el depósito A es 430 l/s y
la presión en la sección E de salida de la turbina es
−3 mca. Las cotas de elevación de diferentes secciones de la instalación están representadas en la figura
y las caracterı́sticas geométricas de los diferentes tramos de tuberı́a están recopiladas en la tabla adjunta.
Sabiendo que las únicas pérdidas locales despreciables
son las de la unión C, determinar:
1o ) El caudal que circula por cada tuberı́a
66,2 m
65,4 m
B
A
T1
T3
T4
C
T2
D
21 m
Longitud (m)
Diámetro (cm)
Rugosidad (mm)
T1
1800
50
3
T2
2400
60
9
Turbina
E
W
T3
2400
75
3
T4
3000
75
3
2o ) La potencia que la turbina extrae del agua.
Solución:
1o ) Q1 = 0,197 m3 /s
;
Q2 = 0,233 m3 /s ;
Q3 = 0,466 m3 /s
;
Q4 = 0,896 m3 /s
2o ) W = 156,3 kW
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13
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Problema 4.28
En la figura se muestra el esquema de una instalación
de distribución de agua. Desde un depósito cuyo nivel
se mantiene constante a 80 m de altura se conduce
agua hacia dos direcciones. El punto C se encuentra
en la cota 0 m y tiene una presión manométrica de
25 m.c.a. El punto D se sitúa a una cota 10 m. La
lı́nea B-D no se ha dimensionado aún, pero se desea
que por ella circule un caudal de 120 l/s. Calcular:
1o ) Los caudales que circulan por los tramos A-B y
B-C
LAB= 2 km
DAB = 600 mm
QAB= ¿?
A
z = 80 m
B
LBC = 5 km
DBC = 500 mm
QBC = ¿?
D
LBD = 5 km
DBD = ¿?
QBD = 120 l/s
z = 10 m
C
z=0m
2o ) El mı́nimo diámetro comercial que debe tener el tramo B-D para asegurar en el punto D una presión
manométrica mı́nima de 25 m.c.a. Los diámetros comerciales de que se dispone son: 200 mm, 300 mm,
400 mm, 500 mm y 600 mm.
3o ) La presión final del punto D. Nota: Todas las tuberı́as son de acero con una rugosidad superficial de
60 µm.
Despreciar las pérdidas en el nodo B. Considerar una constante de pérdidas a la salida del depósito
k = 0,5. Trata de ser cuidadoso al utilizar el diagrama de Moody.
Solución:
1o ) QBC = 0,50 m3 /s ; QAB = 0,62 m3 /s
2o ) DBD = 400 mm
3o ) p4 = 496860 Pa
Problema 4.29
Un pequeño pueblo tiene un consumo de agua en horas punta de 1 m3 /s. Las fuentes de abastecimiento son dos grandes depósitos donde la cota de la superficie del agua puede
considerarse constante. La del depósito 1 está a 50 cm por
encima del pueblo y a 5 km de distancia y la del depósito
2 está a 30 m por encima del pueblo y a 1.5 Km de distancia del mismo. Calcular el diámetro de las tuberı́as de
abastecimiento y el caudal circulante por cada una de ellas,
teniendo en cuenta que:
z=50 m
z=30 m
2
El suministro debe ser simultáneo a través de las dos tuberı́as
1
5 km
1,5 km
z=0 m
La presión manométrica del agua al llegar al pueblo debe
ser 8 m.c.a.
Las tuberı́as deben tener igual diámetro dentro de los comerciales disponibles, que son: 200 mm, 300 mm,
400 mm, 500 mm, 600 mm, 700 mm, 800 mm, 900 mm y 1000 mm. Todas ellas tienen una rugosidad
absoluta de ε = 1,2 mm
La pérdida de carga local a la salida de los depósitos es k = 0,5
Solución:
D = 600 mm ; Q1 = 0,577 m3 /s ; Q2 = 0,756 m3 /s
14
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.30
Los depósitos de compensación se instalan próximos a las ciudades para dar apoyo al depósito de suministro durante las
horas punta. El depósito de compensación suele llenarse durante las horas valle, cuando la energı́a es más barata y hay
menor demanda de agua por parte de la población, y se vacı́an
durante las horas punta, de mayor consumo. De esta forma permite tener grupos de bombeo más pequeños ya que sólo deben
garantizar el caudal medio diario y no los elevados caudales
de punta. En una pequeña población se instala un depósito de
compensación C a un nivel 12 metros por debajo del depósito
principal A. La conexión a la red hidráulica local se realiza en
un punto intermedio B.
A
12 m
B
C
Tramo Longitud Diámetro Rugosidad Desnivel
AB
4800 m 700 mm 0,25 mm
12 m
BC
1200 m 400 mm 0,25 mm
0
1o ) Calcular el caudal consumido por la población cuando el caudal del depósito de compensación es
nulo, QBC = 0.
2o ) Calcular el caudal que circula por cada tuberı́a cuando el caudal consumido por la población en las
horas valle es Qdem = 0,2 m3 /s.
NOTA: Se asumen despreciables las pérdidas locales en las entradas de las tuberı́as y en la unión en B.
Solución:
1o ) Q = 0,56 m3 /s
2o ) QAB = 0,388 m3 /s ; QBC = 0,188 m3 /s
Problema 4.31
Una instalación hidráulica trabaja de forma estacionaria suministrando tres caudales iguales a través de
tres tuberı́as verticales dispuestas tal y como se muestra en la figura. Todas las tuberı́as poseen igual
diámetro D1 = D2 = D3 = 20 cm y una rugosidad de ϵ = 1,2 mm , los tramos horizontales de tuberı́a
poseen una longitud de L1 = L2 = L3 = 1 m y los tramos verticales poseen longitud despreciable. La
conexión entre la tuberı́a y el depósito posee un coeficiente Ke = 0,5. Las uniones en ”T”presentan un
coeficiente de pérdidas locales de KT = 0,8 basado en las condiciones aguas abajo. El codo del último
tramo de tuberı́a posee un coeficiente Kc = 0,3 y la válvula que se encuentra a continuación posee un
coeficiente de pérdidas KV 3 = 2.
1o ) Se sabe el depósito está presurizado a una presión P0 = 2,5 atm, su nivel de lı́quido es H = 2 m, y el
flujo es completamente turbulento en todas las tuberı́as.
a) Determinar el caudal que circula por cada tramo de tuberı́a.
b) Determinar el coeficiente de pérdidas de las válvulas V1 y V2 que garantiza que el caudal suministrado por los tres surtidores es constante.
2o ) Se considera realizar una reforma en la instalación anterior para lo cual se van utilizar tuberı́as de
diferentes diámetros de forma que la velocidad del fluido se conserve constante, tal y como se muestra
en la figura (b). Para esta situación, los coeficientes de pérdidas de las uniones en T con disminución
de diámetro son KT = 1,2.
a) Si el diámetro de la tuberı́a D3 = 20 cm KV 3 = 2, determinar el valor de la presión P0 a la que
es necesario presurizar el depósito para obtener el caudal del apartado anterior.
b) Justifica qué instalación te parece mejor como ingeniero de proyecto.
3o ) Para mantener el funcionamiento estacionario de la instalación, una bomba impulsa fluido al depósito
presurizado tal y como se muestra en la figura (c). La bomba posee la siguiente curva caracterı́stica
a un cierto régimen de giro: H(Q) = 30 − 20Q2 . Esta bomba trabaja acoplada con una instalación de
diámetro D = 60 cm y una rugosidad ϵ = 0,6 mm.
a) Si se sabe que el desnivel entre los dos depósitos es H0 = 5 m, determinar la longitud equivalente
de la instalación acoplada con la bomba para los dos casos anteriores.
b) Representar gráficamente las curvas de la bomba y la instalación para ambos casos.
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
15
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Po
Po
H
L1 l1
L2,l2
L3,l3
KV1
KV2
KV3
Q
Q
L1, D1,l1 L2, D2,l2
H
KV1
Q
Q
Figura (a)
L3, D3,l3
KV3
KV2
Q
Q
Figura (b)
Po
Ho
Le, De,le
H
B
Figura (c)
Solución:
1o ) Q = 0,155 m3 /s ;
kV 1 = 6,3 ;
kV 2 = 2,46
o
2 ) p0 = 156854,9 Pa
3o ) L1 = 1123,9 m
;
L2 = 3263,1 m
Problema 4.32
En la instalación de la figura (a), se establece un flujo de aceite entre los depósitos A y B cuyas superficies
libres están separadas una cota ∆z = zA − zB . Las propiedades del aceite son: ρ = 800 kg/m3 y
µ = 0,013 Ns/m2 . La comunicación entre los depósitos se establece mediante diferentes accesorios con
un coeficiente de pérdidas global kT = 3,1 y tramos de tuberı́a de diámetro D = 0,45 m y rugosidad
ϵ = 1,8 mm siendo la longitud total L = 110 m. Se pide:
1o ) Determinar el rango de variación del desnivel entre los depósitos ∆z para que el flujo sea laminar.
2o ) Determinar el rango de variación del desnivel entre los depósitos ∆z para que el flujo sea completamente turbulento.
3o ) El caudal que circula entre los depósitos cuando ∆z = 10 m.
4o ) Para acelerar el proceso de descarga del depósito A, se estudia la posibilidad de introducir una bomba,
figura (b), de curva caracterı́stica H = 20 − 4Q2 . Determinar el rango de variación de ∆z para el cual
serı́a efectivo el acoplamiento de la bomba con nuestra instalación.
ZA
ZA
DZ
A
Leq, D, l
ZB
DZ
A
Leq, D, l
B
Figura (a)
16
ZB
B
Figura (b)
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.33
En la instalación de la figura la bomba se encuentra inicialmente en reposo y el depósito de sección
constante, se mantiene a una presión manométrica p0 = 3 × 105 Pa. En un determinado instante se abre
la válvula V, comenzando a disminuir la presión en el depósito mientras que la bomba permanece parada.
A partir de los datos situados al final del problema y suponiendo el proceso cuasiestacionario e isotermo,
calcular:
1o ) La velocidad inicial de salida del agua vb0
Transcurrido un cierto tiempo se alcanza la presión de consigna en el depósito, comenzando a funcionar
la bomba. Sabiendo que la aspiración de la bomba se encuentra a presión atmosférica, se pide:
2o ) Caudal suministrado por la bomba cuando se vuelve a alcanzar la presión inicial en el depósito.
3o ) Velocidad de salida del agua vb en ese instante.
4o ) Presión máxima que puede llegar a alcanzar el aire en el depósito.
Datos:
patm = 10 × 105 Pa.
Coeficiente de pérdida de carga a la salida del depósito: kd = 0,2
Coeficiente de pérdida de carga en el válvula antirretorno: kA = 2
Coeficiente de pérdida de carga en la válvula: kV = 2
[
( )2 ]
Curva caracterı́stica de la Bomba: H = H0 1 − QQ0
con H0 = 50 m y Q0 = 0,02 m3 s
V
Vbo
KV
P0
Aire
fb = 0,04
Lb = 50 m
Db = 5 cm
h0 = 0,2 m
hd = 1 m
hs = 10 m
Válvula
antirretorno
Agua
KA
fa = 0,02
La = 2 m
Da = 5 cm
Bomba
B
fc = 0,02
Lc = 5 m
Dc = 5 cm
Solución:
1o ) v0 = 3,088 m/s
2o ) Qbomba = 10,91 l/s
3o ) vb = 3,049 m/s
4o ) p = 393855 Pa
Problema 4.34
Una instalación hidráulica se utiliza para elevar el nivel de agua desde el depósito U1 al depósito U2 y
ambos abiertos a la atmósfera. Para ello se utilizan dos bombas, cuya curva es H(Q) = 100 − 100Q̇2
colocadas al mismo nivel del agua del depósito inferior. En paralelo a las dos bombas se ha colocado una
tuberı́a T5 de rugosidad ϵ5 = 0,0046 cm y longitud L5 = 40 m. Con el fin de medir el caudal que circula
por el circuito se ha instalado en el conducto 2 una tobera de coeficiente de descarga CD = 0,717 que
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
17
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
descarga directamente a la atmósfera. El manómetro situado a la entrada de la tobera marca una presión
Pm = 26,23 m.c.a (manométrica). Despreciar las pérdidas locales en codos y ”tes suponer despreciables
las longitudes del conducto T7 , T1 y T2 . Calcular:
2
1o ) Caudal que circula por el tubo T2
2o ) Caudal que circula por el tubo T1
3o ) Caudal que circula por los tubos T3 , T4 y T5
4o ) Diámetro del conducto D5
Conducto
1
2
3
4
5
6
7
Diámetro
(cm)
D1 = 50
D2 = 25
D3 = 20
D4 = 30
D5 ?
D6 = 40
D7 = 50
Longitud
(m)
0
0
L3 = 20
L4 = 20
L5 = 40
L6 = 50
0
Coef. fricción
Pérdida local
0
0
f3 = 0,05
f4 = 0,02
?
f6 = 0,202
0
0
k2 = 18,9
0
0
0
0
0
Rugosidad
(cm)
ϵ5 = 0,0046
U2
z = 20 m
T3
B3
T4
B4
T6
U1
B
K2
T7
C
T1
A
T2
T5
Pm
Patm
D2 = 25 cm
Ds = 6,25 cm
Problema 4.35
En la instalación de la figura, se sabe que la bomba proporciona una altura que viene dada por: HB =
20 − 500Q2 . Las pérdidas de carga por fricción y locales entre los puntos 1 y 2 son también función del
caudal y valen hf 12 = 300Q2 . ¿Qué caudal atraviesa la instalación si entre los puntos 1 y 2 existe una
diferencia de presiones de 10 m.c.a.? Si el rendimiento global es del 75 %, ¿Qué potencia consume la
bomba?
1
D1=200 mm
18
2
D2=100 mm
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.36
En la figura se presenta una instalación hidráulica que se alimenta de un depósito A impulsando agua hacia un depósito B y/o hacia una boquilla, según las válvulas 1 y 2 estén abiertas
o cerradas. La entrada de la tuberı́a de aspiración es muy perfilada por lo que su pérdida
local es nula. Además las longitudes de la tuberı́a de aspiración y del tramo de tuberı́a de
impulsión desde la bomba hasta la unión en
T son despreciables frente al resto de las longitudes, L1 y L2 . Se sabe además que el flujo
en las tuberı́as es completamente turbulento.
Para el instante inicial en el que los niveles de
los depósitos A y B son respectivamente HA y
HB , mostrados en la figura, se pide:
KC
B
HB=2,3m
K1
HA=0,7m
L1 D1 e1
A
K2
HC=1,5m
L2 D2 e2
KC
Kb
1. Determinar el caudal bombeado desde el depósito A al B, cuando la válvula 2 está totalmente
cerrada.
2. Determinar el caudal de la boquilla C, cuando la válvula 1 está totalmente cerrada.
3. En las condiciones del apartado anterior, se decide cerrar parcialmente la válvula 2 para reducir el
caudal de la boquilla en un 20 %. Determinar el valor de la constante de pérdidas locales K2 que
permitirı́a obtener el nuevo punto de funcionamiento.
4. Determinar el caudal que circula por cada tuberı́a en el supuesto de que las válvulas 1 y 2 están
totalmente abiertas.
5. Para las condiciones del último apartado, calcular la potencia de accionamiento de la bomba.
6. Representar gráficamente la solución de cada apartado sobre una curva H-Q.
Detalles de tuberı́as:
L1 = 10 m , D1 = 0,3 m, ϵ1 = 1,2 mm , L2 = 4 m ,D2 = 0,2 m , ϵ2 = 4 mm
Detalles de accesorios:
Unión en ”T”: KT = 2,4 respecto a la salida
Codos: KC = 0,3
Válvulas abiertas: K1 = K2 = 4,5
Boquilla C: Kb = 0,33 respecto a la salida
Diámetro de salida de la boquilla: Ds = 0,1 m
Curvas de la bomba:
HB = 3 − 75Q2 unidades: H(mca), Q(m3 /s)
η = 80Q (0,2 − Q)
Solución:
1o ) Q = 0,091 m3 /s
4o ) Q1 = 0,064 m3 /s
2o ) Q = 0,057 m3 /s
5o ) Q2 = 0,052 m3 /s
3o ) k2 = 14,9
6o ) W = 2,9 W
Problema 4.37
Se tiene una instalación, indicada en la figura adjunta, que incluye una bomba para trasvasar agua del
depósito A al B. Despreciando el efecto de las pérdidas locales, se pide:
1o ) Dar la fórmula que relaciona la altura que debe de suministrar la bomba con el caudal Q.
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
19
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
2o ) En el supuesto de que la bomba funciona a una velocidad de giro determinada, ya que la curva
caracterı́stica que relaciona la altura que da la bomba con su caudal, a dicha velocidad de giro, es la
que viene en la tabla adjunta, se pide determinar qué altura y caudal darı́a la bomba en la instalación
anterior.
3o ) Potencia que consume la bomba, en el supuesto de que el rendimiento para cada funcionamiento es
el indicado en la tabla adjunta.
4o ) Justificar que las pérdidas locales son realmente despreciables.
Q(l/s)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
H(m)
38
38
38
38
38
37
36
34
32
30
26
20
13
0
(%)
0
26
45
58
67
74
77
78
77
75
68
50
30
0
B
10 m
L2 = 500 m
A
D2
D1
D1 = 20 cm , f1 = 0,015
D2 = 15 cm , f2 = 0,020
B
L1 = 200 m
Solución:
1o ) Hm = 10 + 11868,7 · 10−6 Q2 (l/s)
2o ) Q = 42 l/s ; Hm = 30,9 m
3o ) W = 16751,86 Watios
Problema 4.38
Una bomba B alimenta una caldera C tomando agua a 75 o C de un depósito de nivel
V
pa
C
constante A. La tuberı́a de aspiración tiene
100 m de longitud y 10 cm, de diámetro.
La de impulsión tiene 150 m de longitud
pa
7m
e idéntico diámetro. Esta última está do150 m
A
pa
tada de una válvula de regulación V que
1
2
permite variar el caudal de la instalación, 1 m
B
dado que la bomba B trabaja a revolucio75ºC
100 m
nes constantes. Se desea obtener un caudal
de 8 l/s. Considerando que f = 0,02 para
todas las tuberı́as, que las únicas pérdidas locales significativas son las que se producen en la válvula V,
y que el proceso es isotérmico, calcular:
1o ) Presión a la entrada de la bomba (Punto 1). ¿Existirı́a peligro de cavitación? Razonar la respuesta.
2o ) Grado de apertura de la válvula V necesario para conseguir el caudal de 8 l/s.
3o ) Potencia consumida por la bomba.
Datos: pa = 1 kg/cm2 .
20
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Curva caracterı́stica de la bomba.
Q(l/s)
Hm (m)
η ( %)
0
14
8
2
15
42
4
14
58
6
13
65
8
12
70
10
9
62
12
5
38
14
0
0
Relación entre la pérdida de carga en la válvula y el grado de apertura:
% apert.
K
100
8
90
11
80
14
70
18
60
23
50
29
40
36
30
45
20
60
10
90
0
∞
Propiedades del agua lı́quida a 75◦ C: densidad: ρ = 1000 kg/m3 , presión de vapor: pV = 0,386 kg/cm2
Solución:
2o ) K = 42,9 ; 30 %
3o ) W = 1344 Watios
Problema 4.39
Un depósito se carga con una bomba cuya curva caracterı́stica y rendimiento vienen dados por las ecuaciones:
[
(
H = H0 1 −
Q
Q0
)2 ]
4 (Q0 − Q) Q
η = η0
Q20
mediante una tuberı́a de longitud L, diámetro D, y factor de fricción
λ. Se pide
At
h
B
L
1o ) Caudal que da la bomba cuando la altura del agua en el depósito es nula, h = 0.
2o ) Altura del agua en el depósito cuando el rendimiento de la bomba es máximo, η = η0
3o ) Altura máxima del agua en el depósito.
Hacer aplicación en los tres casos anteriores a:
H0 = 20 m; Q0 = 4 l/s; λ = 0,01; L = 100 m; D = 0,05 m; η0 = 0,7
4o ) Estudiar el proceso de llenado del depósito, calculando el tiempo que se tardará en alcanzar la altura
máxima. Suponer que AT = 100 dm2
5o ) ¿Cómo se modificarı́a lo anterior si la bomba girase al doble de revoluciones (en especial la curva de
la bomba)?
Nota: Suponer el proceso cuasipermanente y que la única pérdida local es la energı́a cinética del chorro
de salida.
Solución:
1o ) Q = Q0
√
H0
8Q2
L
H0 + π2 D0 g (1+f D
)
4
2o ) h = 34 H0 −
2Q20
π2 D4 g
(
= 3,618 l/s
)
L
1+fD
= 13,89 m
3o ) hmáx = H0 = 20 m
4o ) t = 184,247 min
Problema 4.40
En la figura se representa esquemáticamente un túnel hidrodinámico, donde el agua es impulsada por
una bomba centrı́fuga que tiene la siguiente curva caracterı́stica:
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
21
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
H (m)
Q (m3 /h)
η ( %)
18
0
0
16
180
60
15
210
66
14
240
73
13
270
77
12
300
82
10
330
80
9
360
77
7
390
70
5
420
60
Para regular el caudal que circula por la instalación se dispone de un válvula de compuerta cuyo coeficiente
de pérdidas en función del grado de apertura queda reflejado en la siguiente tabla:
Grado de apert.
KV
0,2
23
0,3
11
0,4
5
0,5
3
0,6
1,5
0,7
1,0
0,8
0,6
0,9
0,4
1,0
0,25
Sabiendo que la presión en la cámara de aire del depósito es la atmosférica pa = 1 kg/cm2 y suponiendo
que el parámetro de fricción de las tuberı́as es constante y vale λ = 0,02. Se pide:
1o ) Velocidad de la corriente en la sección de ensayo para que en esta empiece la cavitación, es decir,
velocidad para la cual la presión absoluta alcanza la presión de vapor de agua, pv = 0,0234 bar, en la
zona de esta sección donde la presión es mı́nima.
2o ) Caudal, altura manométrica y potencia absorbida en las condiciones del apartado 1.
3o ) Grado de apertura de la válvula de compuerta en el caso del apartado 1
4o ) Sobrepresión mı́nima que debe existir en la cámara de aire del depósito para que no haya cavitación
en la sección de ensayo, cuando por la instalación circule el caudal máximo posible correspondiente a
válvula completamente abierta
Cámara
de aire
200
50
Ø15
50
K5=0,3
Ø10
K3=0,3
K2=0,5
1000
K4=9
Ø20
200
K1=1
Secc. de ensayo
Ø20
Ø15
100
KV
Todas las dimensiones están expresadas en centímetros.
Los valores de K correspondientes a cada elemento están
referidos a la energía existente a la salida del elemento.
K6=0,15
Q
Bomba
Ø20
Solución:
1o ) V2 = 11,4 m/s
2o ) Q = 0, 09 m3 s; Hm = 10,53 m; η = 0,8; W = 11,4 kW
3o ) kv = 1,087; α = 0,7
4o ) ∆p = 0,05 kg/cm2
Problema 4.41
La figura adjunta representa un sistema para transvasar un caudal Q0 de agua de un gran embalse, que
se mantiene a nivel constante H, hasta un punto situado a una altura h < H por encima de la base de
dicho embalse.
El agua circula por los conductos en las direcciones indicadas en la figura, de forma que la viscosidad
no influye en la pérdida de carga. Supongan que las pérdidas de presión estática en las bifurcaciones son
despreciables.
22
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Dado que el caudal Q0 que se necesita elevar a la altura h es uno determinado, es preciso utilizar una
bomba cuyas caracterı́sticas están dadas por:
(
)2
(
)
Qb
∆P
Qb
a
Qb
=a−b
η=
−
ρΩ2 D02
ΩD03
ΩD03 b
ΩD03
donde ∆P es el incremento de presión total a través de la bomba, Qb es el caudal
que mueve la bomba, η su rendimiento, D0
su diámetro y Ω la velocidad angular de
giro del motor que mueve la bomba. Las
constantes a y b son conocidas y tales que
a/b < 2.
L3
pa
L1
H
h
L2
Supuesta conocida la geometrı́a de la red (la
N
L0
longitud de cada tramo, todos del mismo
orden, el área A de todas la tuberı́as y las
alturas H y h , el caudal Q0 que se precisa
suministrar y el diámetro D del tubo. Se pide determinar los caudales por cada rama de la tuberı́a y la
potencia que debe suministrársele.
Solución:
Problema 4.42
Un sistema complejo de ventilación para
una mina cuyo esquema simplificado se representa en la figura, se utiliza para sacar
los gases de las voladuras y el polvo producido por los barrenos. Las pérdidas de
presión para las tres secciones principales
de la mina, en el supuesto de una densidad
del aire de 1,2 kg/m3 . están definidas por:
h1
P0
h3
P0
1
V
3
P0
h2
2
∆h1 = 49 mm.c.a de presión total para un caudal de 100 m3 /s.
∆h2 = 73 mm.c.a de presión total para un caudal de 100 m3 /s.
∆h3 = 10 mm.c.a de presión total para un caudal de 200 m3 /s.
La ecuación caracterı́stica de funcionamiento del ventilador para una densidad del aire de 1,2 kg/m3
está dada por la siguiente tabla:
Caudal de descarga Q(m3 /s)
Incremento de presión total del ventilador (mm.c.a.)
0
175
100
180
150
175
200
160
250
135
300
100
350
60
En el supuesto de despreciar las fuerzas másicas y considerar el aire como incompresible. se pide:
1o ) Determinar el punto de funcionamiento del ventilador
2o ) Si se precisase incrementar el caudal de ventilación. al mismo sistema definido anteriormente. en un
10 % en qué proporción habrı́a de incrementarse la velocidad del ventilador? Razonar la respuesta.
Nota: Se considerarán las pérdidas de presión proporcionales al cuadrado del caudal es decir ∆h = KQ2
Solución:
1o ) Q = 266 m3 /s , ∆h = 122,43 mm.c.a
2o ) n′ = 1,1n
Problema 4.43
En la figura se representa una instalación para bombear agua desde los depósitos inferiores A y B al
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
23
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
depósito superior C. La impulsión del agua se realiza mediante dos bombas iguales B1 y B2 cuya curva
caracterı́stica viene dada por la ecuación H = H0 (1 − (Q/Q0 )2 ) donde H0 = 297 m y Q0 = 3 m3 /s. En
la tuberı́a 2 hay una válvula cuya misión es regular los caudales suministrados. En el caso propuesto la
abertura de la válvula es tal que se cumple la condición de que el caudal Q1 suministrado por el depósito A
es el doble del caudal Q2 suministrado por el depósito B. Se sabe que el flujo es completamente turbulento
y que las pérdidas locales en las entradas, codos y uniones en T son despreciables frente a las pérdidas
de fricción. Se pide:
1o ) Determinar los caudales Q1 , Q2 y Q3
que circulan por cada tuberı́a.
140 m
C
2o ) Alturas HB1 y HB2 suministrados por
cada una de las bombas.
3o ) Valor de la constante K de la válvula.
4o ) Potencia consumida por cada bomba,
sabiendo que su rendimiento viene dado por
la expresión:
[
]
4 (Q0 − Q) Q
η = 0,8
Q20
30 m
Q3
L3=1200 m
D3=0,7 m
e3=0,07 cm
Q1
L1=630 m
D1=0,5 m
e1=0,02 cm
Q2
20 m
kv
0m
B
A
L2=500 m
D2=0,5 m
e2=0,02 cm
B2
B1
5o ) Calcular el rendimiento de la instalación.
6o ) Obtener la curva de la instalación total suponiendo que la cota de la unión en T es ZT = 30 m.
Solución:
1o ) Q1 = 1,47 m3 /s ;
Q3 = 2,2 m3 /s
2o ) HB1 = 225,7 m
3o ) kv = 11,8
4o ) W1 = 4067 kW
;
W2 = 3408 kW
o
5 ) η = 0,37
Problema 4.44
En la instalación de la figura una bomba impulsa agua de un depósito abierto A, a otro cerrado B a
través de una tuberı́a cuyas dimensiones se muestran en la figura. En el instante inicial el nivel de agua
en el depósito B es de 10 m por encima de la bomba y el aire en el mismo está a la presión atmosférica.
Aire
Aire
pa= 1 bar
Ta=288 K
13 m
11 m
L2=100 m
D2=10 cm
e2=0,1 mm
B
10 m
BOMBA
L1=5 m
D1=10 cm
e1=0,1 mm
5m
A
(
)
La curva caracterı́stica de la bomba es: H = H0 1 − (Q/Q0 )2 donde H0 = 30,6 m y Q0 = 20 l/s
24
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Considerando como única pérdida local la de la energı́a cinética del chorro de salida, se pide en el instante
inicial:
1o ) Caudal que circula por la tuberı́a, altura y potencia de la bomba, suponiendo un rendimiento de la
bomba de 0,7.
2o ) Presiones manométricas a la entrada y salida de la bomba.
En la parte superior del depósito hay dos compartimentos prismáticos de igual base cuadrada (área 2 m2
cada compartimento) pero distinta altura H1 = 11 m y H2 = 13m. Suponiendo que el aire encerrado se
comprime isotérmicamente:
3o ) Nivel máximo del agua
4o ) Calcular el mı́nimo diámetro de la tuberı́a de aspiración para que no aparezca cavitación. (pv =
0,3 bares)
Solución:
1o ) Q = 12,7 l/s ;
HB = 18,26 m
2o ) pe = −5,3 m
;
3o ) Hg = 11,36 m
ps = 12,2 m
Problema 4.45
Un circuito hidráulico, con la disposición vertical indicada en la figura, está compuesto de los siguientes elementos: una bomba hidráulica B cuya curva caracterı́stica
es:
[
( )2 ]
Q
H = H0 1 −
Q0
donde (Q0 = 40 l/s y H0 = 27 mca); una tuberı́a de
longitud L = 50 m, diámetro D = 0,1 m y rugosidad
ϵ = 0,1 mm; cuatro codos con una constante de pérdidas
K = 1; una válvula de regulación V de constante Kv
función del grado de abertura y un depósito presurizado
adicional D para evitar la cavitación.
Si se desea que por la instalación circule un caudal Q =
20 l/s, calcular:
5m
D
P0
Pa
g
2m
5m
B
V
2m
KC
1o ) El valor de la presión P0 de la cámara de aire del
depósito presurizado para que no exista cavitación en la instalación. PV,H2 O = 0,1 atm.
2o ) La potencia consumida por la bomba suponiendo un rendimiento para ésta de 0,7.
3o ) La fuerza que se ejerce sobre el codo A.
4o ) El caudal que circuları́a por la instalación para válvula completamente abierta.
Solución:
1o ) p0 = 13,6 mca
2o ) W = 5,67 kW
3o ) Q = 0,03 m3 /s
Problema 4.46
La instalación de la figura está constituida por tres depósitos a presión ambiente. Por cada una de las
tuberı́as 1 y 2 fluye un caudal de 10 l/s desde los depósitos A y B hacia el depósito C. Para conseguir estos
caudales en la tuberı́a 1 hay instalada una bomba B1 y en la tuberı́a 2 hay una válvula V2 . Suponiendo
flujo estacionario calcular:
1. La constante de pérdidas de V2.
2. La altura manométrica de la bomba. Si la potencia eléctrica consumida por esta es de 23 kW ¿Cual
es su rendimiento?
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
25
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
3. Calcular la presión en el punto de unión de las tres tuberı́as
4. Si no existiera la válvula V2, ¿cuál tendrı́a que ser el diámetro de la tuberı́a T2 para que Q1 =
Q2 = 10 l/s?
z = 25 m
BB
V2
Longitud (m)
Tubería 1
100
Tubería 2
300
Tubería 3
200
Diámetro (m)
0.1
0.1
0.1
Rugosidad (mm)
0.1
0.1
0.1
T2
z=2m
BA
B1
T1
T3
BC
z=0m
Solución:
1o ) kv = 64,5
2o ) H = 14 m
;
η = 0,06
o
3 ) p0 = 11,1 mca
4o D2 = 8,6 mm
Problema 4.47
En un recinto como el de la figura se utiliza un ventilador axial de
20 cm de diámetro para extraer el aire contaminado y expulsarlo al
exterior. El aire fresco entra en el recinto a través de una tobera de
15 cm de diámetro. Si la curva del ventilador a 1450 rpm es: ∆Pv =
800 − 400 Q2
Ventilador
Pa
Pa
Tobera
Calcular:
1. El caudal de ventilación
2. Potencia de accionamiento del ventilador suponiendo que su rendimiento es del 75 %
3. ¿ Cual serı́a el caudal de ventilación si se instalara un segundo ventilador, idéntico al existente, en
paralelo?
Solución:
1o ) Q = 0,52 m3 /s
2o ) W = 481,3 W
3o ) QT = 0,6 m3 /s
Problema 4.48
En la instalación de bombeo de la figura se trasvasa agua desde los depósitos A y B hasta el C. Las
cotas de la superficie libre de los tres depósitos son 0 m, 25 m y 150 m respectivamente. Las tuberı́as
procedentes de los depósitos A y B se unen en un punto intermedio a una tercera tuberı́a que llega hasta
el depósito C. La longitud, diámetro y rugosidad de cada tuberı́a son:
A la salida del depósito A se dispone de una bomba que proporciona al agua un incremento de presión
de 20 bar. A la salida del depósito B se dispone de una bomba que proporciona un incremento de presión
de 18 bar. Para establecer la proporción entre los caudales que se bombean desde los depósitos A y B se
26
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
utiliza la llave de la tuberı́a 2, que tiene una constante de pérdidas k2 . Se supondrán despreciables las
pérdidas locales en codos, uniones en T y salidas desde los depósitos hacia las tuberı́as.
Con la condición de que el caudal extraı́do
del depósito A sea el mismo que el extraı́do
del B, calcular:
Tubería
1
o
1 ) Los caudales en cada tramo, Q1 , Q2 y
Q3 .
L (m)
600
D (m)
0.70
e (mm)
1.40
2
500
0.80
0.16
3
1200
1.00
0.20
2o ) El valor de la constante de pérdidas de
la válvula k2 .
BC
z = 150 m
Q3
T
Solución:
Q2
Q1
B
K2
z=0m
A
z = 25 m
B2
B1
Problema 4.49
En un proyecto de acueducto se conducirán
20 l/s de agua desde el tanque de aguas claras de la planta de tratamiento hasta el tanque de distribución.
La longitud de la conducción, determinada por la topografı́a, es de 1500 m. El desnivel entre las superficies
libres del agua entre los dos tanques es de 37,75 m.
Para el diseño se cuenta con dos tipos de tuberı́a, cuyos precios por metro lineal de tuberı́a instalada son:
Diámetro (mm)
Tipo Roja (ϵ = 0,2 mm)
Tipo Azul (ϵ = 4,5 mm)
100
40 euros/m
35 euros/m
125
55 euros/m
45 euros/m
150
70 euros/m
50 euros/m
200
85 euros/m
75 euros/m
La entrada a la conducción es redondeada con ke = 0,2 y en el medio existe una válvula esférica con
kv = 0,05.
1o ) Suponiendo que el precio de los accesorios es constante, determinar el tipo y diámetro de tuberı́a a
instalar. Justifica la respuesta.
2o ) Calcular el caudal real que circulará por la instalación una vez construida y comentar alguna posibilidad para alcanzar el caudal deseado.
Solución:
Problema 4.50
Se tiene una bomba que alimenta con
agua dos depósitos 2 y 3 cuyos niveles iniciales están situados a las alturas H2 = 7 m y H3 = 5 m respecto al
depósito que suministra el agua. La
curva de la bomba viene dada por la
ecuación HB = H0 [1 − (Q/Q0 )2 ]. Sabiendo que en la tuberı́a 3 hay una
válvula que hace que el caudal Q3 sea
la mitad del Q2 y que se desprecian
las pérdidas locales en la entrada y
en la unión en T, determinar:
Tubería
L (m)
D (cm)
l
1
10
5
0.02
2
15
5
0.02
3
10
5
0.02
2
H2 = 7 m
Q2
Q3
3
H3 = 5 m
T
Q1
H1 = 0 m
o
1 ) el punto de funcionamiento de la bomba
1
Kv
B
2o ) la constante de pérdidas de la válvula Kv
En instantes de tiempo posteriores, los niveles de los depósitos siguen aumentando. La válvula es accionada
de forma que se mantiene la condición Q3 = Q2 /2. Además λ sigue siendo 0,02 para todas las tuberı́as.
Las áreas transversales de los depósitos son A2 = A3 = 1 m2 . Además el nivel del depósito 1 se mantiene
constante.
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
27
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
3o ) Calcular la evolución de H2 en función del tiempo. Igualmente determinar el valor máximo de H2 y
el tiempo para el cual se alcanza.
4o ) Determinar la evolución temporal de la constante Kv de la válvula.
Datos : H0 = 15 m, Q0 = 0, 01 m3 /s
Solución:
1o ) Q1 = 0,0057 m3 /s ; HB = 10,1 m
2o ) kv = 66,3
[
]
[
2
t
3o ) H2 = 15 − 8 1 − 4192
4o ) kv = −60 + 124,5 1 +
]−2
t
4192
Problema 4.51
Una instalación consta de un depósito cerrado que está lleno parcialmente de agua siendo P0 la presión
del aire sobre la superficie libre.
) debajo de la superficie libre y con
[ Una bomba,] situada a H0 = (15 m por
curva caracterı́stica H = 30 1 − (Q/0, 03)2 con H(m) y Q m3 s−1 , trabaja sobre un circuito cerrado
que se alimenta del depósito y descarga de nuevo al mismo. La descarga se produce mediante una tuberı́a
T1 de longitud L1 = 500 m, diámetro D1 = 15 cm y rugosidad ϵ1 = 0,15 mm en la que existen dos codos,
cada uno con un coeficiente de pérdida de carga local K1 = 0,5. La alimentación se produce mediante
la tuberı́a T2 de longitud L2 = 2400 m, diámetro D2 = 20 cm y rugosidad ϵ2 = 0,08 mm que posee una
válvula que permite regular el caudal con un coeficiente de pérdida de carga local K2 variable en función
del grado de apertura. Se desprecian las pérdidas locales a la entrada de la tuberı́a. Calcular:
1o ) El caudal que circula por el circuito cerrado cuando K2 = 5
2o ) El valor máximo de la presión P0 del depósito que garantiza que no se alcanza la presión de 5,88
bares en algún punto del circuito para K2 = 5
3o ) El valor máximo que puede tener el coeficiente K2 para garantizar que la presión en la aspiración de la
bomba es superior a 0,85 P0 , siendo P0 la calculada en el apartado anterior y suponiendo (únicamente
en este apartado) un factor de fricción en las tuberı́as f1 = f2 = 0, 022.
Solución:
1o ) Q = 0,023 m3 /s
3o ) p0 ≤ 3,8 × 105 Pa
3o ) k2 ≤ 1735,8
Problema 4.52
Representar analı́tica y gráficamente la curva de una instalación de ventilación.
Aplicación: Se dispone de un ventilador de diámetro 20 cm que extrae el aire viciado de una habitación
no presurizada y lo expulsa a la atmósfera. Sabiendo que la curva del ventilador es ∆Pv = 100 − 200Q2
con Q(m3 /s) y ∆Pv (Pa), y que la densidad del aire es 1,2 kg/m3 ; determinar el caudal expulsado.
Solución:
Problema 4.53
La bomba de la instalación de la figura impulsa agua del depósito A al depósito B. Sus curvas caracterı́sticas cuando gira a 1450 rpm son:
H = 55 + 75Q − 150Q2
η = 3,2Q − 3,3Q2
La presión manométrica de la cámara de aire del depósito A es de 0 Pa y la del B de 105 Pa. Sabiendo
que el caudal bombeado es de 0,58 m3 /s:
1o ) Hallar la curva de la instalación de bombeo.
2o ) Determinar la potencia del motor eléctrico que acciona la bomba.
28
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
3o ) Estimar el rendimiento de la instalación
4o ) Diámetro de la tuberı́a T2 (rugosidad= 0.02 mm) para que el nivel en los depósitos permanezca
constante.
Nota: usar g = 10 m/s
Solución:
1o ) Hi = 35 + 38,7Q2
3o ) W = 376,2 kW
3o ) ηi = 0,54
Problema 4.54
En un sistema de almacenamiento de productos petrolı́feros, se utiliza la instalación
de la figura para el llenado de las cisternas
de reparto de gasolina (ρ= 730 kg/m3 ; µ=
65,8 10−5 N s/m2 ).
Válvula
K= 0.19
Codo
K= 0.2
6m
La tuberı́a de llenado es de hierro forjado (ε= 0,046 mm) de 100 mm de diametro y 100 m de longitud. Los coeficientes de
pérdidas de carga de los accesorios son los
indicados en la figura.
2m
1o ) Determinar el caudal suministrado en
m3 /s cuando la altura de la gasolina en el depósito de almacenamiento sea de 6 m y en la cámara de aire
del depósito y de la cisterna la presión sea la atmosférica.
Como el llenado de las cisternas de esta forma es lento se proyecta utilizar aire comprimido para presurizar
el depósito de almacenamiento.
2o ) Calcular la presión manométrica a que deberá estar el aire comprimido para duplicar el caudal de
gasolina en las condiciones anteriores.
A medida que se llena la cisterna es necesario permitir la salida del aire de su interior a través de un
orificio.
3o ) Estimar el diámetro mı́nimo del orificio para que la máxima sobrepresión del aire dentro de la cisterna
no supere 1 cm de columna de agua en las condiciones de llenado del apartado 1. Suponer un coeficiente
de descarga del orificio de 0,6.
4o ) Comentar las hipótesis más significativas empleadas en cada apartado.
Solución:
1o ) Q = 0,022 m3 /s
3o ) ∆p = 1,65 × 105 Pa
3o ) D = 84 mm
Problema 4.55
Se tiene una central hidroeléctrica de acumulación por bombeo. El grupo, localizado en la parte inferior,
es reversible. Durante las horas punta del dı́a, el grupo turbina agua y, durante la noche, en que la
energı́a es más barata la vuelve a bombear al embalse superior. El volumen total de agua que se turbina
es el mismo que se bombea, V = 1,2 × 106 m3 . En el nivel inferior, el grupo, como turbina, descarga a
velocidad nula y presión ambiente y como bomba toma agua también a velocidad nula y presión ambiente.
El rendimiento del grupo como bomba es de ηB = 0,82 y como turbina ηT = 0,89. La tuberı́a tiene un
diámetro de 4,10 m y una longitud de L = 1000 m. La rugosidad es de 1,025 mm. Suponiendo que la
diferencia de niveles entre el embalse superior e inferior se mantenga constante e igual a H = 300 m. y
que el coeficiente de pérdidas a la entrada desde el depósito a la tuberı́a es Ke = 0,50, se pide calcular:
1o ) El caudal, la potencia y la energı́a consumida durante las 6 horas de funcionamiento de la bomba.
2o ) El caudal, la potencia y la energı́a suministrada por la turbina durante las 4 horas de funcionamiento
de la misma.
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29
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
3o ) Calcular el rendimiento de la instalación.
4o ) Determinar cuál es el precio mı́nimo de venta de la energı́a producida para que la instalación sea
rentable cuando la energı́a de bombeo se está pagando a 0.12 euros/kWh.
Solución:
Problema 4.56
Una bomba radial de agua tiene las siguientes caracterı́sticas: el diámetro exterior del rodete es 600 mm;
el área de salida del rodete es de 1080 cm2 ; el flujo tiene un ángulo de salida β2 = 35o . El diámetro de
la tuberı́a de aspiración (entrada de la bomba) es 300 mm y el de la tuberı́a de impulsión (salida de
la bomba) es 225 mm. Los dispositivos de medida de presión conectados a las tuberı́as de aspiración e
impulsión, ambas a la misma cota, marcan presiones de 4 m.c.a. y 18 m.c.a. por debajo y por encima
de la presión atmosférica respectivamente. La bomba proporciona entonces un caudal de 190 l/s con el
rodete girando a 600 rpm. La entrada del fluido en el rodete es radial (α1 = 90o ). Calcular:
1o ) La altura útil.
2o ) La altura manométrica.
3o ) El rendimiento manométrico.
4o ) La potencia útil.
Solución:
1o ) Hu = 31,42 m
2o ) Hm = 22,79 m
3o ) ηm = 0,73
4o ) Wu = 85,5 kW
Problema 4.57
El rodete de una bomba radial de agua gira a 1450 rpm, tiene un diámetro exterior de 250 mm y un área
de salida para el flujo de 150 cm2 . El ángulo de salida del fluido del rodete es β2 =17o . El diámetro de la
tuberı́a de aspiración es 150 mm y el de la tuberı́a de impulsión 125 mm, ambas situadas a la misma cota.
La presión del agua en la tuberı́a de aspiración es -4 m.c.a. y en la de impulsión 14 m.c.a. (manométrica).
La potencia útil es de 7,2 kW. La entrada del fluido en el rodete es radial (α1 = 90o ). Calcular:
1o ) El caudal que circula por la bomba.
2o ) El rendimiento manométrico.
Solución:
1o ) Q = 0,031 m3 /s
2o ) ηm = 0,77
Problema 4.58
Se pretende diseñar una bomba radial capaz de bombear 0,02 m3 /s de agua girando a 3000 rpm con
un rendimiento manométrico del 53 %. La corona directriz a la entrada hace que el flujo entre en el
rodete con un ángulo de 75o con relación a la velocidad tangencial. Por otro lado, en la salida del rodete
la velocidad del fluido relativa al rodete forma un ángulo de 7.3o respecto al sentido negativo de la
velocidad tangencial. El ancho de los álabes entre la entrada y la salida se conserva (b1 = b2 = 30 mm).
Se han realizado medidas de la presión manométrica en la aspiración y en la impulsión cuyos valores son
respectivamente 0,1 y 5 bar. Considérese que los tubos de aspiración e impulsión son del mismo diámetro
y se encuentran a la misma cota. Determinar:
1o ) La altura manométrica.
2o ) La altura útil.
3o ) Los diámetros interior y exterior del rodete si D1 /D2 = 0,2.
4o ) Los triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete.
30
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Solución:
1o ) 49,99 m
2o ) Hu = 94,24 m
3o ) D2 = 0,22 m
D1 = 0,044 m
Problema 4.59
En una instalación industrial para extraer agua a temperatura ambiente de un depósito cerrado, se ha
colocado una bomba cuyas caracterı́sticas a la entrada del rodete son D1 = 0,115 m y b1 = 0,021 m,
siendo la velocidad absoluta en dicha entrada radial (α1 = 90o ). El punto óptimo de funcionamiento de
dicha bomba corresponde a un caudal de 18 l/s girando a 1000 rpm con una curva caracterı́stica a esta
velocidad de giro de: H = 24 − 1,85 × 104 Q2
En la aspiración se ha colocado una tuberı́a cuyas caracterı́sticas son: Da = 0,10 m, La = 7 m y fa =
0,016. Siendo la altura de aspiración za = 5 m y la presión en el depósito de aspiración pa = 1,20 kg/cm2 .
La tuberı́a de impulsión tiene las caracterı́sticas siguientes: Di = 0,15 m, Li = 40 m y fi = 0,020 con
una altura de impulsión desde la cota de la bomba de 3,50 m y descargando a la atmósfera. En la tuberı́a
de impulsión se ha colocado una válvula reguladora de caudal, cuya altura de pérdidas corresponde a la
expresión K · vi2 /2g, estando el coeficiente K relacionado con el grado de apertura de la misma. Calcular:
1o ) la relación existente entre el coeficiente K de pérdidas de la válvula y el régimen de giro de la bomba
para conseguir puntos de funcionamiento semejantes al óptimo citado anteriormente.
2o ) la variación del N P SHdisponible a la entrada de la bomba en función del caudal.
Solución:
1o ) k = 325,5 −
1416850
ω2
2o ) NPSHd = 6,82 − 1354Q2
Problema 4.60
En la instalación de bombeo de la figura
se trasvasa agua desde los depósitos A y B
hasta el C. Las cotas de la superficie libre
de los tres depósitos son 0 m, 25 m y 150 m
respectivamente. Las tuberı́as procedentes
de los depósitos A y B se unen en un punto
intermedio a una tercera tuberı́a que llega
hasta el depósito C. La longitud, diámetro
y coeficiente de fricción de cada tuberı́a son:
A la salida de cada uno de los depósitos inferiores se dispone de sendas bombas idénticas. Cuando la velocidad de giro de los rodetes es 1500 rpm, las curvas caracterı́sticas
reales se muestran en la tabla adjunta.
[
H = 300 1 −
(
Q
3
z=150m
BC
Tubería
1
L (m)
600
D (m)
0.45
f
0.020
2
500
0.45
0.020
3
1200
0.90
0.015
Q3
K2
Q1
z=0 m
B2
Q2
B1
BA
)2 ]
η = ηmax
BB
z=25m
4 (3 − Q) Q
9
con H (m), Q (m3 /s). Para establecer la proporción entre los caudales que se bombean desde los depósitos
A y B se utiliza la llave de la tuberı́a 2. Se supondrán despreciables las pérdidas locales en codos, uniones
en T y salidas desde los depósitos hacia las tuberı́as.
Con la condición de que el caudal extraı́do del depósito A sea el mismo que el extraı́do del B y las bombas
giren a 1500 rpm, calcular:
1o ) Los caudales en cada tramo, Q1 , Q2 y Q3 y las alturas manométricas proporcionadas por cada una
de las bombas.
2o ) El rendimiento total de cada bomba y el rendimiento máximo de las bombas, si la potencia consumida
por la bomba 1 es W1 = 4459 kW
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31
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Se suprime la válvula de la tuberı́a 2 y el caudal se regula mediante la variación del régimen de giro de
las bombas. Si se mantiene la velocidad de giro de la bomba 1 y se pretende que los caudales que circulan
por ambas bombas fueran iguales, calcular:
3o ) La nueva velocidad de giro de la bomba 2.
4o ) Las potencias consumidas por ambas bombas.
Solución:
1o ) Q = 1,24 m3 /s
H = 248,74 m
o
2 ) ηmax = 0,69
3o ) ω2 = 1400 rpm
4o ) WB1 = 4459 kW
WB2 = 3752 kW
Problema 4.61
En la figura se muestran las curvas de una familia
de bombas radiales con cuatro posibles diámetros
de rodete, para una velocidad de giro de 2900 rpm.
¿Cuál serı́a el diámetro más adecuado si se pretende mover un caudal de agua de 250 m3 /h en
el circuito adjunto? Determinar, además, la potencia consumida y la altura máxima a la que se
podrı́a situar la bomba elegida sobre la superficie
del agua del depósito de succión.
Nota: pv = 1600 Pa.
z = 93 m
D = 190 mm
f = 0,012
Lasp = 20 m
kasp = 0,5
Limp = 90 m
kimp = 0,3
z =15 m
Solución:
1o ) D = 260 mm
2o ) W = 75 kW
3o ) za = 3,12 m
32
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
Problema 4.62
Se pretende instalar una bomba radial en un edificio para elevar el agua a una altura de 40 m. La
instalación tiene una longitud equivalente de tuberı́as de 100 m con un diámetro de 45 mm y se estima
un coeficiente de fricción de 0,02. La bomba que mejor se aproxima a las necesidades tiene la siguiente
curva cuando gira a 1000 rpm: H = −8 · 106 Q2 − 2300Q + 110
1o ) Calcular el punto de funcionamiento.
En un instante dado aumenta el caudal demandado al doble.
2o ) Calcular la nueva velocidad de giro del rodete de la bomba.
En las condiciones iniciales (ω = 1000 rpm), se instala un filtro al inicio del tubo de aspiración (Lasp =
2 m) para prevenir la entrada de impurezas en el rodete. La bomba está cebada y la superficie del agua
en el depósito de alimentación se encuentra 0,5 m por encima de la aspiración del rodete.
3o ) Calcular la máxima pérdida de presión admisible en el filtro (en Pa).
Nota: Tomar la presión de vapor del agua la temperatura ambiente 2300 Pa. El NPSHreq de la bomba a
ω = 1000 rpm) es:
(
)
N P SHreq = 856286Q2 − 3097Q + 4 m
N P SHreq = 1,2 m
si
si
Q ≥ 1,66 · 10−3 m3 /s
Q < 1,66 · 10−3 m3 /s
(Unidades NPSHreq en el S.I.)
Solución:
1o ) Q = 9,64 m3 /s
H = 46,43 m
o
2 ) ω = 1695,57 rpm
3o ) ∆PF = 8,89 Pa
Problema 4.63
En un determinado punto de funcionamiento, una bomba radial consume una potencia de 6,7 kW cuando
está girando a 1350 rpm. La curva caracterı́stica experimental de la bomba viene dada por Hm = 20 −
4734Q2 estando la Hm y el Q expresados en m y m3 /s respectivamente. Los diámetros interior y exterior
del rodete son D1 = 11 cm y D2 = 25 cm y las anchuras en las secciones de entrada y salida del rodete
son b1 = 42 mm y b2 = 20 mm. El ángulo de salida del fluido de los álabes del rodete es β2 = 20o . El agua
entra radialmente en el rodete (α1 = 90o ). Se supondrá un rendimiento volumétrico igual a la unidad y
un rendimiento orgánico igual a 0,96. Determinar:
a) El caudal y la altura manométrica que proporciona la bomba en ese punto de funcionamiento.
La bomba descrita anteriormente presta servicio transvasando agua entre dos depósitos no presurizados
de grandes dimensiones trabajando en el punto de funcionamiento considerado antes. La tuberı́a de
aspiración tiene un diámetro Da = 16 cm y una longitud La = 6 m, siendo su coeficiente de pérdidas por
fricción fa = 0,019. Esta tuberı́a está provista de un filtro a la entrada con un coeficiente de pérdidas
de carga locales Ka = 4. La bomba funciona con una altura de aspiración za = 0, 8 m. De la tuberı́a de
impulsión (mismo coeficiente de fricción que la de aspiración) se conoce su diámetro Di = 12 cm.
b) Determinar las presiones manométricas en las secciones de las tuberı́as de aspiración e impulsión
situadas junto a las bridas de unión a la bomba.
c) Si la máxima altura de aspiración que admite la bomba para las condiciones de funcionamiento anteriores es de 5 m, estimar el N P SHrequerido de la bomba en dicho punto. Se supondrá una presión de
vapor de 0,017 kg/cm2 .
d) Determinar las curvas caracterı́sticas Hu , Hm cuando la bomba opera al doble del régimen de giro.
Solución:
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33
Problemas de Ingenierı́a Fluidomecánica
Problema 4.64
Se necesita elevar agua entre un depósito inferior a una presión manométrica de 125 kPa y un
depósito que está 57 m por encima a la presión
atmosférica. Para ello se dispone de una bomba
de diámetro del rodete 448 mm con las curvas de
la figura. Todas las tuberı́as son de acero comercial (ϵ = 0,046 mm) con un diámetro D = 20 cm.
La entrada de la bomba está situada a 4 m sobre
el nivel del depósito inferior y la tuberı́a que los
conecta mide 5 m y tiene dos codos a 90o con una
constante de pérdidas kc = 0,3. La tuberı́a desde
la bomba hasta el depósito superior mide 195 m y
tiene cinco codos a 90o con la misma constante de
pérdidas que los anteriores y una válvula de regulación que abierta tiene una constante de pérdidas
kv = 6.
1o ) Calcular el punto de funcionamiento de la instalación.
2o ) ¿Se producirá cavitación? Razona la respuesta.
Tiempo después de montar la instalación se decide que es mejor trabajar con los dos depósitos
abiertos a la atmósfera. Además, la tuberı́a ha envejecido y se ha estimado un f = 0,017.
3o ) Determinar la nueva constante de pérdidas de la válvula para que en el nuevo punto de funcionamiento
la bomba no cavite. (Tomar la presión de vapor del agua pv = 2337 Pa).
Solución:
1o ) Q = 0,2 m3 /s HB = 95 m
2o ) N P SHR = 4,8
3o ) Kv = 15,3
Problema 4.65
Una bomba insertada en la instalación de la figura
impulsa un caudal Qd = 4,288 litros/s en condiciones de diseño cuando gira a ω = 300 rad/s.
Esta instalación está formada por dos depósitos
abiertos a la atmósfera y dos tubos: uno de aspiración antes de la bomba y otro de impulsión
desde la bomba al depósito superior. El conducto
de impulsión contiene una válvula de coeficiente
Kv = 4 y el conducto de aspiración tiene un filtro de coeficiente Kf = 2. Las caracterı́sticas de
los conductos están en la figura. Calcular en estas
condiciones:
e = 0.02 mm
z=5 m
Kv= 4
L imp = 300 m
Dimp = 50 mm
Kfiltro = 2
B
f = 0.02
Lasp = 2 m
Dasp = 30 mm
1) El coeficiente de fricción fimp del tubo de impulsión
2) La altura manométrica de la bomba
3) Velocidad especı́fica
4) NPSHreq de la bomba si la máxima altura de aspiración de la bomba es zasp = 1 m . La presión de
vapor en estas condiciones es pv = 2300 Pa .
Si la bomba centrı́fuga tiene un rodete de diámetro exterior D2 = 150 mm , un diámetro interior D1 =
50 mm y anchuras b1 = 10 mm y b2 = 5 mm y el fluido entra radialmente en el rodete (α1 = 90o ), trabaja
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IV. Pérdidas en tuberı́as y máquinas hidráulicas (Marzo. 2014)
con rendimientos orgánico y volumétrico iguales a la unidad, y en condiciones de diseño, determinar:
5) El triángulo de velocidades en la entrada del rodete.
6) El triángulo de velocidades en la salida del rodete si el ángulo de la velocidad relativa es β2 = 30o .
7) Altura útil de la bomba en condiciones de diseño.
8) Potencia en el eje de la bomba.
9) El rendimiento total de la bomba.
Solución:
Problema 4.66
Un amortiguador estanco contiene en su interior un volumen V constante de aceite de densidad ρ y viscosidad µ. La presión ”de timbre”p0 a la
que se tara de fábrica se tiene cuando el émbolo de diámetro D se encuentra en el fondo (máxima extensión), y en ese estado el amortiguador
contiene en su parte superior un volumen V03 de aire. Se supone que la
correspondiente masa de aire atrapada no varı́a en ningún momento de la
vida del amortiguador, y que la carrera (desplazamiento total máximo)
del émbolo es inferior a 4V03 /(D02 ). El émbolo está taladrado axialmente
por un número N de orificios cilı́ndricos de diámetro d, y el vástago tiene diámetro D0 . Estando el amortiguador en su posición más extendida,
se somete a una compresión a velocidad uniforme U . Despreciando las
fuerzas gravitatorias, se pide:
1o ) Calcular la variación que experimenta el volumen de aire V3 (t) como
función del tiempo, de la velocidad U y de los datos geométricos del
problema.
V3(t), p2(t)
aire
D
V2(t), p2(t)
aceite
U
d
L
V1(t), p1(t)
2o ) Suponiendo que la compresión es muy rápida (adiabática), expresar
la presión del aire y del aceite superior p2 (t) como función del tiempo.
D0
3o ) Expresar la presión p1 (t) en la cámara inferior de aceite en el supuesto
de que el flujo en los conductos de diámetro d sea laminar. Dar criterios
para ello.
4o ) Velocidad máxima U para que no se produzca cavitación en el amortiguador en ningún punto del
recorrido del émbolo (partiendo del fondo).
Solución:
1o ) V3 (t) = V03 − π4 D02 U t
2o ) p2 (t) =

1−
(
3o ) p1 (t) = p0 1 −
πD02 U t
4V03
)−γ
−
32(D 2 −D02 )U Lµ
N d4
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
p0
γ
πD02 U t

4V03
4o ) Umax =
p0 N d4
32(D 2 −D02 )Lµ
35