Castilla y León

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1. [2014] [EXT-A] Sea la función f(x) = x2e-x. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,
intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
2. [2014] [EXT-B] Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una
capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa
posible en su construcción?
2
3. [2014] [JUN-A] Sea la función f(x) = e-x . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de
inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
4. [2014] [JUN-B] Sea la función f(x) = +2 x.
a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Calcular el punto de la gráfica de f(x) más cercano al punto (4,0).
5. [2013] [EXT-A] Sea f(x) = (x+1)e-x. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de
concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
6. [2013] [EXT-B] a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica.
b) Estudiar la continuidad de la función f(x) =
si x < 0
e1/x
 
k
si x = 0
en el intervalo - , , según los valores de k.
2 2
1-cos(x)
si x > 0
sen(x)
7. [2013] [JUN-A] a) Estudiar el crecimiento de la función f(x) = x3+3x2-3.
b) Probar que la ecuación x3+3x2-3 = 0 tiene exactamente tres soluciones reales.
8. [2013] [JUN-B] Determinar, de entre todos los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima.
9. [2012] [EXT-A] Sea la función f(x) = 2x2+3 ex.
a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
b) Esbozar su gráfica.
10. [2012] [EXT-B] a) Determinar los extremos absolutos de la función f(x) = x2-4x+4 en el intervalo [1,4].
b) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por f(x) =
x-x2 si 0  x  1
en el punto
ln2(x)
si 1 < x  2
x-1
x = 1, donde ln denota el logaritmo neperiano.
ae2x
, se pide:
1+x
a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0 valga 2.
b) Para a =1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
c) Para a =1, hallar sus asíntotas.
11. [2012] [JUN-A] Dada la función f(x) =
12. [2012] [JUN-B] Se considera la función f(x) =ex + ln(x) , x(0,) donde ln denota el logaritmo neperiano.
a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f(x).
b) Demostrar que la ecuación x2ex -1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,1].
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13. [2011] [EXT-A] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y determina en el primer cuadrante un triángulo con los
ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área.
ln x
, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de
x
inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica.
14. [2011] [EXT-B] Dada la función f(x) =
15. [2011] [JUN-A] a) Estudiar si la función f:[0,2]   dada por f(x) =
si 0  x  1
x
verifica la hipótesis del teorema
3 2 7
- x + x-1 si 1 < x  2
2
2
de Rolle. Enunciar dicho teorema.
cos(2x)-e-x-x
.
xsen(x)
x0
b) Calcular lim
x2-3x+3
x-1
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus
asíntotas.
b) Esbozar su gráfica.
16. [2011] [JUN-B] Sea f(x) =
17. [2010] [EXT-A] Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitud x y 100-x. Con el de longitud x se forma
un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para qué valor de x dicha suma es mínima?
18. [2010] [EXT-B] Sea la función f(x) = x 4-x2 .
a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
b) Esbozar su gráfica.
19. [2010] [JUN-B] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie
lateral se usa un material que cuesta 5€/cm2 y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para
que el coste sea mínimo.
20. [2010] [JUN-B] Hallar el valor de a para que se verifique que
21. [2009] [EXT-A] Calcular el límite lim
x0
ln 2sen(x)
ex-1
lim
x+
2x+a
2x-1
x+5
= lim
x2-x3
x0 sen2(x)
.
.
22. [2009] [EXT-A] Hallar los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x3 es paralela a la recta de
ecuación y = 3x+2.
23. [2009] [JUN-B] Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos
semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para
que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.
24. [2009] [JUN-B] Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) =
ln x
en su dominio de definición.
x
25. [2008] [EXT-A] Hallar, de entre todos los puntos de la parábola de ecuación y = x2-1, los que se encuentran a distancia mínima
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del punto A -1,-
1
.
2
26. [2008] [EXT-A] Estudiar la continuidad de la función f(x) =
1-cosx
si x  0
x
0
si x = 0
27. [2008] [EXT-B] Sea f(x) = 2-x+lnx, con x(0,+),
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y
las asíntotas de f. Esbozar la gráfica de f.
b) Probar que existe un punto c
1
e2
,1 tal que f(c) = 0.
28. [2008] [EXT-B] Calcular los valores del número real a sabiendo que lim
x0
29. [2008] [JUN-A] Calcular lim
x0
eax-1-ax
x2
= 8.
sen2(2x)
x3+x2
30. [2008] [JUN-A] Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f(x) = x3+ax en el punto x = 0 sea perpendicular
a la recta y+x = -3.
31. [2008] [JUN-B] Calcular las asíntotas de f(x) =
(2x-1)2
4x2+1
2
32. [2007] [EXT-A] Sea f la función dada por f(x) = e2x-x .
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f.
b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f(x) = 2 en el intervalo 0,1 .
33. [2007] [EXT-A] Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = x3-3x2+x+1, la recta tangente a la misma es paralela a la
recta y = x+7.
34. [2007] [EXT-B] Calcular, si existe, el valor de lim
x0
35. [2007] [JUN-A] Calcular lim
x0
ex-e-x
2
x2
1
1
.
ln(1+x) x
36. [2007] [JUN-B] Sea la función f(x) = x+e-x.
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las
asíntotas. Esbozar su gráfica.
b) Demostrar que existe algún número real c tal que c+e-c = 4.
37. [2006] [EXT-A] a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = xe-x, sus máximos y mínimos relativos,
1
asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para todo x se tiene que f(x)  .
e
b) Prúebese que la ecuación 3x = ex tiene alguna solución en (-,1].
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38. [2006] [EXT-A] Calcúlese lim
ln cos(x) -1+cos(x)
x2
x0
39. [2006] [EXT-B] ¿Existen máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = cos(x)+1 en el intervalo 0, ? Justifíquese su existencia
y calcúlense.
40. [2006] [EXT-B] Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f(x) =
x2
x2+1
en el punto x = 0.
41. [2006] [JUN-A] Considérense las funciones f(x) = ex y g(x) = -e-x. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los
puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es
de longitud mínima.
42. [2006] [JUN-A] Calcúlese el valor de lim
ln(cos2x)
x0
x2
43. [2006] [JUN-B] Sea f(x) = ax3+bx2+cx+d. Determínese a, b, c y d para que la recta y+1 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el
punto 0,-1 , y la recta x-y-2 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto 1,-1 .
44. [2005] [EXT-A] Calcúlense los valores de   0 para los cuales lim
x0
sen x2
cos2(x) -1
= -1.
45. [2005] [EXT-B] Calcúlese lim ln(x)·sen(x).
x0
46. [2005] [JUN-A] Calcúlese lim
x+
x·ln(x)
ex
47. [2005] [JUN-A] Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para x > 0 se verifica:
x
arctg(2x)-arctg(x) <
.
1+x2
48. [2005] [JUN-B] Sea f(x) = ex+ln(x), x (0,+).
(a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.
1
(b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo
,1 y esbócese la gráfica de f.
2
49. [2004] [EXT-A] Sea f la función dada por f(x) = x2-3|x|+2, x.
a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada.
b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos.
c) Esbócese la gráfica de f.
50. [2004] [EXT-A] Calcúlese el valor de lim
x/2
51. [2004] [JUN-B] Calcúlese lim
x0
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tg(2x)
.
tg(6x)
1
1
.
x sen x
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52. [2003] [EXT-A] Calcular lim x ln(x+1)-lnx
x
53. [2003] [EXT-A] Hallar los puntos de la gráfica de f(x) = x3-3x2+x en los que la tangente a la curva es paralela a la recta y = x.
54. [2003] [EXT-B] Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función f(x) = x|x-1| en x = 1.
55. [2003] [JUN-A] Calcular lim
x0
ex-x-cosx
sen2x
ln(e+senx) si x < 0
56. [2003] [JUN-B] a) Halla a y b para que la función siguiente sea continua en x = 0: f(x) =
x3+ax+b si x  0
.
b) Hallar a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.

c) Calcular f' .
2
Soluciones
9. a) a.h. y = 0; crec: ; conv: -,
4 Y
3
2
1 X
-4- 2
-4+ 2
-4- 2 -4+ 2

,+ ; p.i:
,
b)
2
2
2
2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
10. a) mx: (4,4); min: (2,0) b) cont.; no deriv. 11. a) 2 b) crec:
1
Y
2
-1
-1
,+ ; min:
c) x = -1; y = 0 12. a) crec: (0,+) c)
2
2
1 Y
1
X
-1
1
13. y = -2x+4; 4 14. dom: (0,+); asint: x = 0; y = 0; max: e; p.i.: e e
-1
2
X
1 2 3 4 5
-1
3 Y
15. a) si b)
-5
2
1
16. a) crec: (-,0)(2,+); max: 0; min: 2; conv: (1,+)<; asin: x = 1; y = x-2 b) -3
-1
-2
X
1 2 3 4 5
17. 56'5
18. a) [-2,2]; crec: - 2, 2 ; min:
-4
Y
1
- 2; max:
2 b)
X
-2 -1
19. 6; 7'5
1 2
20. -1
21. ln2
22. (-1,-1), (1,1)
23. 100, 63'66 (diametro)
24. crec: (0,e)
25.
-
3
4
,2
3
2-2
2
26. 
27. a)
-2
1
cerc: (0,1); concava: (0,+); a.h. x = 0
Y
X
1 2 3 4
28. 4 29. 4 30. 1
31. y = 1
32. a) Creciente: -,1 . Máximo: 1. Asíntotas: y = 0 b) Existe una solución
Y
3
0,1 y 2,-1
33.
34. 4 35.
1
2
36. Creciente: 0,+ . Convexa: . Asíntotas: y = x. Gráfica:
1
-2 -1
2,
2
e2
37. a) Creciente: -,1 . Máximo: 1,
2
. Asíntotas: y = 0 38. -1 39. Máximo: 0,2 ; mínimo ,0
X
1 2
40. y=0; x=0 41. x=0 42. -2 43. 1, -1, 0, -1 44. 1 45. 0 46. 0 48. (a) Creciente: (0,+);
Y
Y
1
as. vert: x = 0 (b)
X
-1
1
. P. inflexión:
e
1
2
49. a) no b) Creciente:
-3
3
,0  ,+ ; max: (0,2); min:
2
2
-1
-3 -1
,
,
2 4
3 -1
,
2 4
2
c)
1
-3 -2 -1
50.
X
1
3
51. 0
52. 1
53.
1 2 3
1
(0,0), (2,-2) 54. no 55. 1 56. a) b = 1, a b) b = 1; a =
c) 0
e
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