Estimación del modelo lineal con dos variables

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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Estimación del modelo lineal con dos variables
el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO)
Mariana Marchionni
[email protected]
Mariana Marchionni
Estimación del modelo lineal por MCO
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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Temario de la clase
1
Estimación del modelo lineal
2
Propiedades de los estimadores
3
Ejemplo empírico
Mariana Marchionni
Estimación del modelo lineal por MCO
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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
El modelo lineal simple (2 variables)
Y
Y
i
= 1, ...N
: variable dependiente; X : variable explicativa.
α, β :
i:
u
i = α + β Xi + ui
parámetros desconocidos
término aleatorio, no observable
(carácter aleatorio por cuestiones de modelización)
Datos:
(Yi , Xi ) con i =1, ...N
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Estimación del modelo lineal por MCO
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Estimación
Objetivo: estimar
α
y
β
a partir de
(Yi , Xi ) i = 1, ...N .
Notación y deniciones:
α̂
y
β̂−→
estimadores de
i ≡ α̂ + β̂ Xi −→
Ŷ
α
y
β
es la versión estimada de Yi
es como si hubiésemos reemplazado los parámetros por
estimaciones y a
µi
por su valor esperado
i ≡ Yi − Ŷi = Yi − (α̂ + β̂ Xi ) −→
e
error de estimación o
residuo. Es una suerte de estimación de
Mariana Marchionni
µi
Estimación del modelo lineal por MCO
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Representación gráca
Recordar que podemos representar los puntos
(Yi , Xi )
en el
plano Y , X
Consideremos la función de regresión estimada Ŷi
Elegir valores de
α̂
y
β̂
≡ α̂ + β̂ Xi
es equivalente a elegir una línea en el
plano Y , X
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Representación gráca
Mariana Marchionni
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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
¾Cómo elegimos la línea?
Parece razonable elegir
α̂
y
β̂
de manera que la línea elegida pase lo
más cerca posible de todos los puntos
¾Qué signica que la línea esté cerca o lejos de los puntos?
Mariana Marchionni
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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
¾Cómo elegimos la línea?
Parece razonable elegir
α̂
y
β̂
de manera que la línea elegida pase lo
más cerca posible de todos los puntos
¾Qué signica que la línea esté cerca o lejos de los puntos?
Mariana Marchionni
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
¾Cómo elegimos la línea?
Consideremos el siguiente criterio
SRC
(α̂, β̂) =
N
X
i =1
SRC:
2
i
e
Suma de los Residuos Cuadráticos
Es una medida global de los errores de estimación
(función de penalización)
¾Por qué errores al cuadrado?
Es una funcion de
SRC
≥ 0.
α̂
y
β̂ ,
por qué?
Es cero si y solo si...
Entonces SRC grande signica que los errores de estimación
son grandes
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Ejemplo empírico
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)
Criterio de MCO: elegir
α̂
y
β̂
de manera de minimizar SRC
Formalmente:
Min
α̂,β̂
SRC
(α̂, β̂) =
CPO
:
N
X
i =1



(1)


(2)
2
i =
e
N
X
i =1
[Yi − (α̂ + β̂ Xi )]2
∂ SRC
∂ α̂
=0
∂ SRC
∂ β̂
=0
al pizarrón!
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)
Criterio de MCO: elegir
α̂
y
β̂
de manera de minimizar SRC
Formalmente:
Min
α̂,β̂
SRC
(α̂, β̂) =
CPO
:
N
X
i =1



(1)


(2)
2
i =
e
N
X
i =1
[Yi − (α̂ + β̂ Xi )]2
∂ SRC
∂ α̂
=0
∂ SRC
∂ β̂
=0
al pizarrón!
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Los estimadores MCO
(3)
α̂ = Ȳ − β̂ X̄
N
P
(4)
i i − N Ȳ X̄
X Y
β̂ = i =1N
P
X
i =1
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2
2
i − N X̄
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
La regresión estimada por MCO
Ŷ
i = α̂ + β̂ Xi
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Notación: variables en forma de desvíos
Denotemos: xi
= Xi − X̄
y yi
= Yi − Ȳ
Entonces (4) puede escribirse como:
N
P
0
(4 )
i i
x y
β̂ = i =N1
P
i =1
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2
i
x
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Ejemplo: desempeño académico y tamaño de clase
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Ejemplo: desempeño académico y tamaño de clase
ˆ i
Regresión estimada: puntaje
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= 698,9 − 2,28 × ratio _almai
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Ejemplo empírico
Propiedades algebraicas
Recordemos las ecuaciones normales del problema de Min SRC:
CPO
:



(1)
∂ SRC
∂ α̂
=
P
[Yi − (α̂ + β̂ Xi )] = 0


(2)
∂ SRC
∂ β̂
=
P
[Yi − (α̂ + β̂ Xi )]Xi = 0
Llamamos propiedades algebraicas de los estimadores a las que se
derivan de las CPO
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Algunas de las propiedades
1
2
3
PN
i =1 ei = 0
PN
i =1 ei Xi = 0 (⇒ Cov (X , e ) = 0)
Ŷ (X̄ ) = Ȳ
(⇒la recta de regresión
pasa por las medias
muestrales)
4
β̂ = rY ,X SY /SX
(relación entre el coeciente de regresión y el
de correlación)
5
Ȳ
6
r
= Ŷ¯
(la media de las estimaciones de Y coincide con Ȳ )
Ŷ ,e = 0
(la correlación entre las estimaciones de Y y los
residuos es nula)
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Bondad del ajuste del modelo:
R2
Regresión estimada como resumen de los datos: ¾cuán buen
resumen es?
Puede mostrarse que si se estima por MCO:
N
X
|i =1
(Yi − Ȳ )
{z
2
}
STC
=
=
N
X
|i =1
2
(Ŷi − Ȳ )
{z
SEC
}
+
+
N
X
2
i
i|={z
1
}
e
SRC
STC : Suma Total de Cuadrados, SEC : Suma Explicada de Cuadrados,
SRC : Suma de los Residuos al Cuadrado
Proponemos como medida de bondad del ajuste:
R
2
=
SEC
STC
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=1−
SRC
STC
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Propiedades del
STC
0
R2
= SEC + SRC −→ R 2 = SEC /STC
≤ R2 ≤ 1
2
= 1:
relación lineal exacta entre Y y X .
2
R
= 0:
cero correlación entre Y y X .
R
la regresión estimada es una recta horizontal (β̂ = 0)
Importante: STC depende sólo de los datos, pero SEC y SRC
dependen del modelo y del método de estimación.
2
Dado el modelo, MCO minimiza SRC , es decir, maximiza R .
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
¾Cuán lejos está la recta estimada de los puntos? En ese sentido A
es bueno, B es peor, C es aún peor
De hecho, en A el ajuste es perfecto (R
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2
= 1)
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
En el ejemplo de rendimiento académico
R
2
= 0,049
sólo 5 % de la variabilidad de los puntajes es explicada por el
tamaño de la clase
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Ejemplo: función de consumo keynesiana
En su Teoría general del interés, la ocupación y el dinero
(1936) Keynes estableció la existencia de una relación estable
entre el consumo y el ingreso agregados:
C
= f (I )
La propensión marginal a consumir es positiva y menor que 1:
0
<
dC
dI
<1
La propensión media a consumir cae cuando aumenta el
ingreso:
d
(C/I )
dI
<0
El consumo también depende de otras situaciones y de las
necesidades subjetivas, hábitos, etc. de una determinada
sociedad
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Ejemplo empírico
Modelo teórico
La formulación teórica más usual de la función de consumo es
la lineal:
C
= a + bI
¾Dónde estudiaron esta función?
Los postulados keynesianos se satisfacen si se cumple:
→0<b<1
→a>0
C
⇒ d (dI/I ) = −a/I 2 < 0
Estas proposiciones teóricas dan las bases para un estudio
empírico
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Ejemplo empírico
Una aplicación empírica
Datos de consumo e ingreso disponible de USA, 1970s
(Greene, Econometric Analysis, 4th edition, examples 1.1 & 6.1)
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Modelo empírico
Los datos se ajustan sólo aproximadamente a una relación
lineal exacta
⇒
la relación determinística es inadecuada
Para representar los datos proponemos el siguiente modelo
lineal:
C
a
+ bIi
i = a + bIi + µi
es la
con i
= 1970,
1971, ..., 1979
función de regresión: es la parte del consumo
que se determina sistemáticamente a partir del ingreso
µi
resume el efecto de los otros factores que afectan al
consumo agregado en cada año i más allá del ingreso. Se lo
considera como aleatorio por una cuestión de modelización. No
debería haber nada sistemático en el efecto de
µ
sobre el
consumo.
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Estimación del modelo por MCO
C
Ĉ
b̂
= 0,98:
i = a + bIi + µi
i = −67,6 + 0,98 Ii
por cada aumento de un millón de dólares del
ingreso disponible, el consumo aumentó en promedio en 0.98
millones de dólares en USA durante los 70s.
marginal al consumo
â
= −67,6:
Propensión
es el valor del consumo que deberíamos esperar si
el ingreso fuera cero.
Consumo autónomo
Cuidado con las conclusiones que surgen de extrapolar la
relación a valores de las variables fuera del rango de los datos
Estimaciones puntuales: necesario evaluar mediante tests
estadísticos
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
La regresión estimada
Mariana Marchionni
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
La hoja de cálculo
Notar: la suma de los errores de estimación es cero
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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
La regresión estimada pasa por las medias muestrales
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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Los errores de estimación suman cero y no estan
correlacionados con el ingreso
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Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Bondad del ajuste
R 2 = 0,99
el 99 % de la variabilidad del consumo en los 70s en USA puede
explicarse por la variabilidad del ingreso disponible
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Estimación del modelo lineal
Propiedades de los estimadores
Ejemplo empírico
Mismas variables, otra década
Consumo e ingreso, USA, 1940s
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