La calculadora ............................... 4

Materiales de Matemáticas para 3er Curso de
E.S.O.
Números
Actividades para los alumnos y las alumnas
Francisco Jesús García García
Dibujos: Javier Redondo Giménez
(Col.lectiu Mosaic)
2
Números
3º E.S.O.
Índice
La calculadora............................................................................... 4
Cálculo Mental ............................................................................. 8
Potencias y raíces ....................................................................... 14
Números grandes y pequeños ................................................... 21
Propiedades geométricas de los números................................ 26
Cálculo aproximado .................................................................... 31
Números enteros ......................................................................... 34
Fracciones y repartos ................................................................. 43
Números irracionales ................................................................ 51
Fibonacci y Tartaglia ........................................................... 54
Los números y el dinero ............................................................. 62
Números en la prensa ................................................................. 65
3
La calculadora
4
1. Además de las teclas de las cifras y de los operadores elementales, la
calculadora dispone de otras que aumentan inmensamente su potencial
calculístico.
Puesto que utilizaremos la calculadora a lo largo de todo el curso, no está de
más que dediquemos algún tiempo a explorar sus posibilidades.
Es preciso advertir que no todas las calculadoras tienen las mismas teclas (por
ejemplo, unas disponen de paréntesis y otras no) y hasta pueden existir
pequeñas diferencias de unas a otras en el modo de funcionar o en la precisión
con que presentan los resultados. En todo caso, el manual que acompaña al
aparato te ayudará a resolver las dudas al respecto.
2. Hay una tecla que permite escribir números negativos en la pantalla de la
calculadora. Búscala.
¿Cómo se escribe un número decimal en la pantalla?.
3. Las teclas
Min
M+
M-
MR
gestionan la memoria de la calculadora, permitiendo anotar resultados
intermedios en los cálculos.
Investiga su funcionamiento realizando pruebas como las siguientes:
2 Min 6
3 Min
+
4
8
=
M+
5
:
MR
M-
=
MR
Realiza la operación
4515
4239 + 2128 -6152
sin utilizar para nada las tecla de suma ni la de resta, y sin anotar ningún
resultado en papel.
4. Las siguientes operaciones conducen por supuesto a resultados distintos:
5
(3 + 4) x 6 - 2 =
3 + (4 x 6) - 2 =
3 + 4 x (6 - 2) =
(3 + 4 x 6) - 2 =
3 + (4 x 6 - 2) =
(3 + 4) x (6 - 2) =
Deduce cuál es la que realiza la calculadora cuando se pulsa la secuencia de
teclas
3 + 4 x 6 - 2 =
¿Qué consecuencias se extraen respecto al orden en que realiza la calculadora
las operaciones?.
5. Las teclas A y AC borran de la pantalla el número que está escrito, pero
no producen el mismo efecto.
Averigua la diferencia que existe entre ambas realizando cálculos y pulsando
entre medias esas teclas.
6. Pulsa
98 Min
Si se realizan operaciones sin pulsar ninguna tecla de memoria, el 98
permanece almacenado constantemente, como puedes comprobar en el
momento que pulses MR.
Descubre cómo se "borra" la memoria.
6
7. ¿Qué ocurre cuando se pulsa la secuencia
3 x
x
5
=
=
=
=
.... ?
¿Pasa algo similar con otras operaciones?.
8. Para escribir en la pantalla cien millones es preciso prestar mucha atención
para no errar el número de ceros.
La tecla
EXP
facilita en gran medida el trabajo. Descubre cómo actúa.
¿Cómo se escribirá en la pantalla cien mil millones?.
9. Explora cómo y qué hacen las teclas
X2
1/X
10. Pulsa estas secuencias de teclas e interpreta el resultado:
20 x %
20 : %
20 x 4 %
20 : 4 %
11. Hay un procedimiento de realizar muy rápidamente la suma
1 + 2 + 3 + .... + 97 + 98 + 99 + 100
pulsando solamente cuatro teclas distintas de la calculadora. Intenta
descubrirlo.
¿Cuántas teclas menos se pulsan con ese procedimiento que con el
convencional?.
12. Encuentra con la calculadora un número x y otro z que cumplan
x2 + x = 79
z3+ z2 + z = 100
7
Cálculo Mental
8
13. El prodigioso progreso de la técnica en los últimos decenios ha hecho
posible la aparición de máquinas electrónicas de tamaño cada vez más
reducido, a precios decrecientes y capaces de realizar cálculos a grandes
velocidades. Cualquier ordenador corriente de hoy en día es cientos de veces
más rápido y tiene miles de veces más capacidad de almacenamiento que el
ENIAC, el primer computador digital, fabricado en la Universidad de Pensilvania
en 1946, tan grande que ocupaba varias plantas de un edificio y que dejaba
sentir su puesta en marcha en el fluido eléctrico de toda la ciudad.
A pesar de su complejidad, ni los más potentes aparatos existentes alcanzan la
capacidad de memoria y las conexiones neuronales del más mediocre de los
cerebros humanos. Ciertamente su velocidad y fiabilidad en el cálculo es muy
superior al de las personas, pero éstas disponen de cualidades como la
intuición y de capacidades como la de creación que, hoy por hoy, no son
programables.
En este apartado comprobaremos que, además, la mente humana, con un
poco de adiestramiento, es también una potente calculadora. Sin ni siquiera
lápiz ni papel, se pueden realizar sorprendentes operaciones, con las que
asombrarás a tus familiares y amigos.
9
14. La clave para efectuar cálculos mentales rápidos y eficientes está en
diseñar métodos que reduzcan los casos complejos a otros más simples que se
puedan resolver recurriendo a la memoria. Es preciso retener algunos
resultados, recordar un puñado de procedimientos y, por encima de todo,
practicar constantemente.
Naturalmente, cuántos más datos se memoricen más veloces serán los
cálculos. Ciertos calculistas que antiguamente viajaban de feria en feria
exhibiendo sus habilidades, eran capaces de obtener inmediatamente, por
ejemplo, la raíz cuadrada de cualquier número hasta el millón. ¿Cómo?
¡Aprendiendo de memoria los cuadrados de los números de 1 a 1000!.
Esos calculistas eran profesionales y nosotros no podemos aspirar a su
capacidad memorística, pero seguro que ahora mismo dispones, o puedes
disponer rápidamente, de más datos de los que tú crees:
¿Te sabes la tabla de multiplicar del 11?.
¿Cuáles son los cuadrados de los primeros quince números?.
¿Sabes las raíces cuadradas, cuando sean exactas, de los doscientos
cincuenta primeros números?.
15. Para adquirir agilidad en el cálculo mental es necesario empezar
practicando con las operaciones elementales y con combinaciones entre ellas.
Sobre la marcha irás descubriendo que para calcular de cabeza no son
siempre efectivos los procedimientos que se utilizan con papel y lápiz. Así, por
ejemplo, para restar mentalmente 99 a cierta cantidad, es mucho más simple
restar 100 y sumar 1 que seguir el procedimiento escrito habitual. Del mismo
modo, la multiplicación por 5 se simplifica si se multiplica por 10 y luego se
halla la mitad del resultado.
En los cálculos propuestos a continuación interesa que, después de resueltos
mentalmente, discutas en tu grupo de trabajo qué táctica has seguido:
45 x 6
7 x 20 + 50
7 x 21 + 32
132 : 18
1632 - 999
774 : 24
9.5 x 6.5
25 x 32
17 x 92
31 x 27
15 x 5 + 99 x 3
10
282:6
16. Si bien los datos memorizados ayudan a ganar velocidad de cálculo, sólo
con la memoria es imposible realizar todos los cálculos. Afortunadamente
existen un sinfín de trucos o reglas que puedes ir descubriendo para ampliar
cada vez más tu capacidad calculística. A continuación tienes dos de esos
trucos.
101 x 56 = 5656
101 x 73 = 7373
37037 x 3 = 111111
99099 x 3 = 297297
Analiza cómo y por qué funcionan estos trucos y enuncia otros parecidos, como
por ejemplo el que permita realizar rápidamente la operación
297297 : 33
17. El alemán Gauss, el mejor matemático del siglo XIX hasta el punto de que
se le llamaba "el príncipe de las matemáticas", fue tan precoz que se cuenta de
él la anécdota de que, todavía niño, descubrió un procedimiento para calcular
rápidamente determinados tipos de multiplicaciones largas. En realidad, el
método ya se había inventado algunos siglos antes pero, si la historia es
verdadera, constituía un anuncio inequívoco del genio de Gauss.
Supónte, como ejemplo ilustrativo, que deseamos realizar el siguiente
producto:
P = 3 x 6 x 12 x 24 x 48
Gauss observó que, puesto que el orden de los factores no altera el producto,
al escribir
P = 3 x 6 x 12 x 24 x 48
P = 48 x 24 x 12 x 6 x 3
ocurre un hecho relevante con el producto de la pareja de números que figuran
en la misma columna: ¡Todos dan el mismo resultado, 144!. Así, como en total
hay 5 factores, multiplicando las dos igualdades se tiene que
P2 = 1445
P = 125 = 248832
¿Qué tienen de especial los factores del producto del ejemplo para que se les
pueda aplicar el método descrito?.
18. El procedimiento de la anécdota de Gauss es en realidad poco útil para
realizar cálculos mentales. Para obtener el resultado final en el ejemplo es
11
necesario elevar 12 a la quinta potencia, operación que no parece apropiada
para calcular sin máquina o, por lo menos, sin papel y lápiz. No obstante, tan
curioso procedimiento proporciona una pista para diseñar un procedimiento
que resuelva, ahora sí mentalmente, determinadas sumas largas, tales como
5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 + 35 + 38
¿Serías capaz de, razonando de modo parecido (pero no exactamente igual) al
de antes, diseñar un método o fórmula que proporcione rápidamente la suma
del ejemplo y otras del mismo tipo?.
¿Qué tienen de especial los sumandos de las sumas que se pueden calcular
con ese método?.
En treinta segundos:
9 + 14 + 19 + .... + 54
= ?
En veinte segundos:
95 + 85 + 75 + .... + 25 + 15 + 5 =
?
En quince segundos:
la suma de los cien primeros números pares es..?.
En diez segundos:
los diez primeros números suman...?.
12
19.
S = 5 + 15 + 45 + 135
3·S=
15 + 45 + 135 + 405
2 · S = 405 - 5 = 400
S = 200
Este proceso sugiere un procedimiento para sumar rápidamente determinados
tipos de sumas.
¿Qué condición deben reunir los sumandos para que sea aplicable el
procedimiento?.
Describe el método verbalmente y practícalo en las siguientes sumas:
15 + 75 + 375 + 1875 + 9375 + 46875 =
4 + 8 + 16 + ... + 32768 + 65536 =
81 + 27 + 9 + 3 + 1 =
?
?
?
2 + 1 + 0.5 + 0.25 + .... (indefinidamente) =
13
?
Potencias y raíces
14
20. Observa la espiral del dibujo. Denominemos radios de la espiral a los
segmentos que unen el punto O con los vértices del contorno de la espiral. Así,
el primer radio mide 1 unidad.
¿Cuánto mide el décimo radio realizando la cuenta desde el primero en sentido
contrario al de movimiento de las agujas del reloj?.
¿Y el radio número n?.
¿Qué radios miden exactamente un número entero de unidades?.
¿Qué radios contienen exactamente un número entero de veces al segundo
radio de la espiral?.
20. Situamos dos puntos arbitrariamente en el interior de un cuadrado de lado 1
¿Cuál es la mayor distancia que puede haber entre ellos?.
¿Cómo habrá que distribuir tres puntos en el interior del cuadrado para que la
distancia entre los dos puntos más cercanos sea la mayor posible?.
Si en lugar de 3 son 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 los puntos que se colocan, ¿cuál es en
cada caso la mayor distancia que puede haber entre los dos puntos más
próximos?.
15
21. Uno de los entretenimientos a que se dedican los matemáticos consiste en
generalizar las propiedades o conceptos que se conocen para aplicarlos a
campos cada vez más y más amplios. A continuación vamos a imitar a los
profesionales de la matemática reproduciendo uno de esos procesos de
generalización.
La potencia 53 tiene un significado bien claro y puede entenderse en primera
instancia como una abreviatura de una multiplicación reiterada:
53 = 5 x 5 x 5
Igualmente se tiene
54 = 5 x 5 x 5 x 5
57 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
¿Qué relación tienen entre sí las potencias 53, 54 y 57?.
Inspeccionando potencias similares a las anteriores se puede enunciar la
propiedad que regula el producto de potencias que tienen la misma base.
¿De qué propiedad se trata?.
Hasta aquí se entendía por exponente cualquier número entero mayor o igual
que uno. Ahora empieza nuestro trabajo de generalización: deseamos que
también el cero pueda ser un exponente.
¿Qué significado habrá que atribuir a una potencia de exponente 0, si
queremos que la propiedad anterior se siga manteniendo?.
52 x 50 = ?
50 = ?
Ampliar el reino de los exponentes para que quepa el cero ha sido una tarea
tan sencilla que podemos proponernos una misión más complicada:
Para que se mantenga la propiedad del producto de las potencias de la misma
base, ¿qué significado hay que atribuir a una potencia de exponente negativo?.
5-3
= ?
16
22. Los matemáticos son seres muy ambiciosos a los que no es fácil contentar:
además de los números negativos existen otros, los fraccionarios, que también
quieren tener el derecho de formar parte de un exponente.
Empecemos por la más sencilla de las fracciones: 1/2.
Si el producto de dos potencias de la misma base se rige por la propiedad
anteriormente enunciada, se tendrá:
51/2
51/2
x
=
?
y por lo tanto
51/2=
?
¿Qué resultado darán entonces las siguientes potencias:
51/3
,
51/4
52/3
,
, 53/2
?
(Utiliza en todos los casos la calculadora para obtener los valores numéricos de
cada potencia).
23. ¿Qué significado y qué valor numérico habrá que atribuir a las potencias
cuyo exponente es un número decimal, como por ejemplo
7 0.25
,
5 0.1
,
2 0.333...
17
,
3 -1.5
?
24. En la mayoría de las calculadoras científicas se halla disponible la tecla
X 1/Y
que permite calcular directamente una potencia cuyo exponente es una
fracción de la forma 1/y.
Así pulsando sucesivamente
3
X 1/Y
2
=
se obtiene en la pantalla de la calculadora
1.732050808
que es el valor numérico aproximado de 3 1/2 .
¿Qué otra tecla distinta de la calculadora conduce a la aparición del mismo
resultado en la pantalla, partiendo del número 3?.
3
?
=
25. Utilizando la tecla
X 1/Y
de la calculadora, ¿cómo puedes averiguar qué número multiplicado por sí
mismo seis veces da como resultado 6?.
26. Sin calcular su valor, y sin usar por lo tanto máquinas calculadoras,
compara entre sí los siguientes números:
230
, 89 , 98 , 320
27. En cambio ahora sí que puedes usar la calculadora para comparar los
siguientes:
777 77
,
18
77 777
28. Los antiguos matemáticos griegos se plantearon tres famosos problemas
que no pudieron resolver: la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo y la
duplicación del cubo.
Este último consistía en construir a partir de un cubo de lado 1 unidad un nuevo
cubo que tuviese justamente el doble del volumen que el inicial. Aunque
parezca mentira, el problema resultó ser tan difícil que hubo que esperar hasta
el siglo XIX para que quedase claro que ¡el problema no tiene solución!, siendo
imposible realizar tal construcción de modo exacto: cientos de matemáticos de
todos los países y de todas las épocas habían estado perdiendo
miserablemente el tiempo buscando un método fantasma para duplicar el cubo.
Naturalmente, lo que sí se puede es obtener una solución aproximada del
problema.
¿Cuánto debe medir la arista de un cubo cuyo volumen duplique al del cubo de
lado 1 metro?.
29.
( 1+
2 )2 =
( 5 +
(
8 +
6 )2 =
2 +
9
120 +
3 )2 =
( ? )2 =
24 +
19
121
?
25
30. Las cámaras fotográficas disponen de una escala para graduar la abertura
del diafragma y permitir así la mayor o menor entrada de luz en la exposición.
La escala es la misma en todas las marcas, pero abarca más o menos
graduaciones según la calidad del aparato. En una cámara de tipo medio las
posibles aberturas son
4
,
5.6
,
8
,
11
y
16
Encuentra una fórmula que permita obtener aproximadamente las anteriores
aberturas.
¿Qué escala figuraría entonces en una máquina que tuviera la posibilidad de
realizar una abertura inmediatamente menor y dos aberturas mayores que las
de la escala anterior?.
20
Números grandes y pequeños
21
31. Una persona muy ahorradora puede llegar a reunir unos cuántos
centenares de monedas en su hucha. Los maniáticos de la numismática
coleccionan algunos millares de sellos. ¿Cuál es el número más grande de
objetos que has tenido, de personas que has visto juntas, de kilómetros que
has recorrido de una vez, ... en lo que llevas de vida?.
32. Entre otras muchas utilidades, los números sirven para dar una idea del
tamaño que tienen las cosas. Si no se es muy exigente con la precisión, las
sucesivas potencias de diez permiten realizar una clasificación simple de las
dimensiones que tienen los objetos, los seres o las entidades con las que
tratamos a diario. Por ejemplo, la gran mayoría de los vehículos que circulan
por las carreteras tienen una longitud comprendida entre 101 y 102 metros. En
cambio, las distancias entre puntos distintos de una misma Comunidad
Autónoma no suelen superar los 106 metros. Del mismo modo, la longitud de
un lápiz oscila alrededor de 10-1 metros.
Confecciona una tabla con las sucesivas potencias de 10, incluyendo las
negativas, y busca para cada una de ellas un ejemplo representativo del
tamaño que sugiere el número de metros correspondiente.
33. Calcula la edad que tendrás al finalizar la clase, precisada al segundo.
¿Cuántos minutos habrás vivido en el momento en que empiece el siglo XXI?.
¿Cuántas horas transcurren en un milenio?.
Construye una fórmula que permita obtener, sin realizar el cálculo completo en
cada ocasión, el número de meses completos transcurridos entre dos fechas,
por ejemplo entre el día d del mes m del año a y el día e del mes n del año b.
34. Respiramos unas trece veces por minuto. ¿Cuántas veces respiraste el año
pasado?.
22
35. Un cubo de 1 metro de lado se divide en cubitos, cada uno de ellos de 1
milímetro de lado. Estos se ponen en línea recta uno al lado del otro. ¿Qué
distancia cubrirá la fila de cubitos?.
Si se utilizan los cubitos como si fueran baldosas para pavimentar, ¿cuántos
campos de fútbol se podrían cubrir?.
36. Muchas personas aseguran haber visto alguna vez en su vida un OVNI.
Incluso algunos afirman haber entrado en contacto con sus tripulantes. Si se da
crédito a la teoría que sostiene que son extraterrestres que provienen del
espacio, habría que concluir que su lugar de residencia habitual está más allá
del Sistema Solar, pues después de que la sonda espacial Voyager haya
visitado los planetas conocidos, está demostrado sin lugar a dudas que somos
los únicos habitantes inteligentes del sistema planetario solar.
La estrella más próxima es Alfa-Centauro. Admitamos por un momento que los
visitantes provienen de algún planeta suyo. Para devolverles la visita, se
organiza hoy una expedición en una nave similar a la Voyager. ¿En qué fecha
llegaría la embajada terrícola a su destino?.
Distancia media al sol
Tierra
Júpiter
Alfa-Centauro
149.6 millones de Km.
740.9 millones de Km.
4.3 años-luz
La nave Voyager
Lanzamiento
Paso por Júpiter
20 de agosto de 1977
4 de marzo de 1979
Velocidad de la luz
299800 Km/seg.
23
37. Siendo optimistas, supongamos que en el viaje interestelar anterior,
tripulado por diez personas, el problema de la alimentación se ha resuelto de
modo que cada pasajero sólo necesita tomar al día una pastilla de peso un
gramo y de un milímetro cúbico de volumen.
¿Cuál sería el peso de las provisiones que se necesitaría embarcar?.
El almacén de las provisiones es un depósito cilíndrico de 22 metros de
diámetro. ¿Qué altura tendría que tener la nave como mínimo para poder
transportar todas las pastillas?.
38. Supónte que, por término medio, tú y todos tus descendientes tenéis dos
hijos.
¿Cuántos descendientes tendrás al cabo de 20 generaciones?.
¿Hacia qué fecha será tal acontecimiento?.
Admitiendo que fuese posible, ¿cuánto tiempo tardarían en presentártelos a
todos, uno por uno?.
39. En la cima de las colinas que bordean la ciudad suiza de Zurich hay un
famoso paseo planetario en el que está reproducido a escala todo el Sistema
Solar. Ayudándote de la siguiente tabla, dibuja un croquis del paseo marcando
las distancias que corresponda entre cada planeta y el tamaño de la esfera que
representa a cada astro, sabiendo que la que representa a la Luna tiene
aproximadamente el mismo diámetro que una moneda de 1 peseta de las más
pequeñas.
distancia media al sol
(unidades astronómicas)
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Plutón
0.39
0.72
1.00
1.52
5.20
9.54
19.18
30.06
39.44
4880
12104
12756
6787
142800
120000
51800
49500
3000
distancia media a la Tierra
(kilómetros)
Luna
diámetro ecuatorial
(kilómetros)
384400
diámetro
(km.)
3476
24
40. Un turista recorre el paseo planetario de Zurich a paso normal, saliendo a
las 12 horas de la esfera que representa a Plutón en dirección al Sol. ¿A qué
hora aproximada pasará por cada uno de los modelos de los restantes
planetas?.
Si el turista representa un cometa que se desplaza por el Sistema Solar, ¿a
qué velocidad real viajaría el cometa?.
41. Cuenta la mitología que la ciudad de Cartago fue fundada por la reina
fenicia Dido que, huyendo de su tierra, desembarcó en las costas
norteafricanas. Allí, tras largas disputas, los nativos le permitieron asentarse en
tanto terreno como pudiese abarcar con una piel de toro. Astuta como era, Dido
mandó hacer tiras con la piel y trazó una circunferencia de tamaño suficiente
para albergar a la ciudad que luego sería capital del imperio cartaginés.
Supónte que en una situación similar dispones de un folio para marcar un
recinto circular de un kilómetro cuadrado de superficie. ¿Qué anchura deberían
tener las tiras en las que habría que cortar el folio?.
42. Los cosmólogos estiman que el número total de protones y neutrones que
hay en todo el universo es
1080
Por otra parte disponemos de los siguientes datos astronómicos:
Masa del Sol aproximada = 1.99 x 1033 gramos
Número aprox. de estrellas en la Vía Láctea = 1.6 x 1011
Número aprox. de galaxias = 1011
Realiza una estimación de cuál es la masa de un protón o de un neutrón.
25
Propiedades geométricas de los números
26
43. Las configuraciones geométricas de la figura marcan una pauta para
descomponer el cuadrado de un número en una suma de tres sumandos, dos
de los cuáles son a su vez cuadrados, mientras que el tercero es un número
par.
¿Cuál será la descomposición de un millón en tres sumandos que reúnan esas
condiciones?. ¿Es única la solución?.
44. ¿Cuántas piezas cuadradas hay que añadir para construir a partir de la
figura número 50 la que hace 51 en la serie de la figura?.
27
45. Etapa 1. Se coloca un duro encima de la mesa.
Etapa 2. Se colocan encima de la mesa duros tangentes entre sí y con el
primero, hasta rodear a éste completamente.
Etapa 3. Se colocan duros encima de la mesa, tangentes entre sí y con los
colocados en la etapa anterior, hasta rodearlos completamente.
Etapa 4. ....
¿Cuántos duros se necesitarán para cubrir la etapa 20?.
¿Cuántos duros habrá sobre la mesa en ese momento?.
1=1x1
1+5=2x3
1+5+9=4x7
46. ¿Cómo se puede poner la suma
1 + 5 + 9 + ... + 393 + 397
como un producto de dos factores?.
5 = 12 + 4
5 + 8 = 32 + 4 = 13
5 + 8 + 16 = 52+ 4 = 29
47. ¿Cuál es el resultado de la suma
5 + 8 + 16 + ... + 800 ?
28
48. Construye dos sucesiones de figuras que
geométricamente con claridad el resultado de las sumas
permitan
deducir
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 1001
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 5000
49. ¿Cuántos cuadrados harán falta para construir la vigésima figura de la
serie?.
1,
1+4,
1+4+8,
1+4+8+12
50. Construye una sucesión de figuras a partir de cuadrados iguales, en
número tal que se corresponda con la serie de los números impares
1 , 3 , 5 , 7 , ...
51. ¿Qué propiedad aritmética puedes deducir de esta sucesión de figuras?.
(1 + 2)
29
+
1
(1 + 2 + 3)
(1 + 2 + 3 + 4)
+
( 1 + 2)
+
(1 + 2 + 3)
52. (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99) = ?
53. ¿Cuántos cuadrados compondrán la figura número 1000 de cada una de
estas dos series de figuras?.
30
Cálculo aproximado
31
54. Los matemáticos griegos sabían ya que el área de un círculo de radio r
mide
π r2
en donde π (leído PI) es un número fijo, sin duda el más famoso de los
números.
Cualquier calculadora científica proporciona el valor del número PI con muchas
cifras decimales exactas
3.141592654
y un ordenador de los corrientes puede calcular rápidamente más de cien
cifras decimales.
Cómo se sabe que ése precisamente es el valor de PI es una buena pregunta,
pero difícil de contestar. Lo que no es tan difícil es la determinación de una
primera aproximación, que tú mismo puedes deducir ayudándote del dibujo.
55. En las indicaciones técnicas de una báscula automática se especifica que
la precisión es de 1 Kg.
¿Qué se puede decir acerca del peso verdadero de una persona si al subirse
en la báscula la aguja indicadora marca 52 Kg?.
32
56. Una encuesta realizada a mil setenta alicantinos escogidos al azar de entre
los doscientos cincuenta y uno mil trescientos ochenta y siete habitantes de la
ciudad revela que el sesenta y dos por ciento de los ciudadanos fuma
habitualmente.
La ficha técnica de la encuesta atribuye a la misma un error del dos por ciento.
¿Qué se puede decir acerca del número de fumadores de esa ciudad?.
57. Una avería en el teclado numérico de un ordenador intercambia
sistemáticamente el 6 por el 7. Se han tecleado las siguientes operaciones:
526 + 287 ,
68 x 15 ,
526 - 181 ,
522 : 6 ,
76
Sin calcular los resultados de las operaciones, formula una estimación del error
que cometerá el ordenador.
¿En qué operación se comete mayor error?.
33
Números enteros
34
58. Resuelve este crucigrama numérico
+
A
C
B
D
30
18
-
43
A=
B=
C=
D=
?
?
?
?
59. Los números primos eran conocidos ya por los primeros matemáticos
griegos, que descubrieron algunas de sus asombrosas propiedades. Los
griegos sabían por ejemplo que los números primos son infinitos. Sin embargo,
a pesar de los siglos transcurridos, nadie ha sido capaz de diseñar un
procedimiento para obtener todos los números primos y, naturalmente, no te
vamos a pedir a ti que lo intentes. Pero seguro que sí eres capaz de descubrir
las siguientes propiedades de tales números:
¿En qué dígitos puede acabar un número primo?.
¿Qué resto se obtiene si se divide cualquier primo entre 6?.
En 1985 se encontró el mayor número primo conocido hasta la fecha:
2216091 - 1
¿En qué dígito termina?
60. Si un número es una unidad menor que un cuadrado perfecto (como por
ejemplo el 15 o el 63) puede ser escrito como un producto de dos factores de
un modo particularmente especial. ¿Cuál es ese modo?
61. Un número es divisible por 6 y por 45. ¿Qué otros números le dividen
exactamente?.
35
62. La tecla de dividir en la calculadora proporciona el resultado de la división
de dos números, con los decimales correspondientes si la división no es
exacta. Por ejemplo
913 : 15 = 60.86666667
Sin embargo, a veces, se tiene interés en conocer cuál es el resto de la división
entera de dos números:
cociente de 913 y 15 = 60
resto de 913 entre 15 = 13
Diseña un procedimiento, utilizando sólo la calculadora, para obtener el resto
de una división de números enteros.
63. En una oficina de Correos disponen sólo de sellos de 4 y de 7 ptas. Un
paquete que necesite 135 ptas. de franqueo podrá ser entonces enviado con
17 sellos de 7 ptas. y con 4 sellos de 4 ptas.
¿Es esta la única manera de franquear el paquete?.
¿Qué costes de envío no podrán ser franqueados exactamente en esa oficina?.
63. En una oficina de Correos disponen sólo de sellos de 4 y de 7 ptas. Un
paquete que necesite 135 ptas. de franqueo podrá ser entonces enviado con
17 sellos de 7 ptas. y con 4 sellos de 4 ptas.
¿Es esta la única manera de franquear el paquete?.
¿Qué costes de envío no podrán ser franqueados exactamente en esa oficina?.
36
64. Pitágoras ha pasado a la posteridad por ser el fundador de una escuela
filosófica que realizó muchísimos descubrimientos matemáticos. El más famoso
de ellos, el teorema que lleva su nombre, asegura que "el área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos.
65. Una consecuencia inmediata del teorema es que no se pueden construir
triángulos rectángulos arbitrariamente. Por ejemplo, no se puede construir un
triángulo rectángulo en el que un cateto mida 1 cm. y el otro cateto y la
hipotenusa midan un número entero de centímetros. ¿Por qué?.
66. Los discípulos de Pitágoras, en honor a su maestro, denominaron
pitagóricas a las ternas de números naturales que pueden ser medida de los
lados de un triángulo rectángulo.
Encuentra algunas ternas de números pitagóricos.
Busca un procedimiento para obtener infinitas ternas de números pitagóricos.
37
67. En el Egipto de los faraones, los constructores de pirámides utilizaban el
siguiente método para construir ángulos rectos:
"Se hacen dos nudos en una cuerda larga y después se van haciendo más,
situados a la misma distancia que los dos primeros, hasta disponer de un total
de 12. Se une el primero con el último y se tensa la cuerda por el quinto y el
octavo hasta formar un triángulo. El vértice correspondiente al quinto nudo
forma un ángulo recto."
¿Por qué funciona bien este método?.
38
68. En esta canción del grupo Mecano queda definida una curiosa aritmética en
la que, citando textualmente, "la quinta es la una ... el siete es tres."
¿Qué sería entonces el 10?. ¿Y el 25?.
¿Qué procedimiento se podría utilizar para saber qué sería, siempre con la
regla de la canción, un número cualquiera, por grande que fuera, como por
ejemplo el 123456789?.
Si hacemos caso a la letra de la canción tendríamos que concluir que
3+4=3
pues tres más cuatro es siete y el siete es tres.
Construye la tabla de sumar y de multiplicar para este procedimiento de operar.
69. La suma de dos números es 10. ¿Cuál es el mayor producto que se puede
formar con ellos?.
¿Y si la suma de los dos números es 11?.
¿Cuál es el mayor producto posible de dos números de los que sólo se sabe
que suman n?.
39
70. La tabla adjunta está construida escribiendo en cada fila los productos
posibles, de menor a mayor, de dos números naturales cuya suma es la
posición que ocupa la fila en la tabla.
Así, como la suma 5 se obtiene de dos modos
1+4=5
,
2+3=5
la quinta fila está formada por
1x4=4 , 2x3=6
Añade más filas a la tabla y describe las regularidades que observes en ella.
0
1
2
3 4
4 6
5 8
9
6 10 12
7 12 15 16
8 14 18 20
9 16 21 24 25
....................................
71. La posición de un punto en un plano se puede identificar numéricamente
con dos números tal y como se muestra en el dibujo.
P
P(3,5)
C
Q
A
B
Q(-3,2)
D
¿Dónde estarán situados los puntos identificados respectivamente con
(3,-1) , (1,3) , (-5,-2) ?
¿Con qué parejas de números quedan identificados los puntos A, B, C y D del
dibujo?.
40
72. Señala en el gráfico los puntos para los que los números identificadores
son uno positivo y otro negativo.
73. Señala en el gráfico los puntos para los que el producto de los números
identificadores es negativo.
74. Señala en el gráfico los puntos para los que la suma de los números
identificadores es 0.
41
75. Señala en el gráfico los puntos para los que la resta de los números que
identificadores es 0.
76. Señala en el gráfico los puntos para los que el primero de los números
identificadores es mayor que el segundo.
77. ¿Qué tienen en común los números identificadores de los puntos que están
en la zona sombreada del dibujo?.
42
Fracciones y repartos
43
78. Diez piratas han conseguido como botín los seis lingotes de oro de la figura
y se los quieren repartir a partes iguales. Realiza la partición sobre el diagrama
adjunto.
79. ¿Entre cuántas personas podrían dividirse exactamente 360 pesetas?.
44
80.
1 = 1/2 + 1/4 + 1/4
1=?
1=?
1=?
?
45
81. Representa gráficamente las fracciones que se indican de al menos dos
modos distintos:
= 4/3 =
= 3/25 =
= 25/100 =
= 2/6 =
= 3/4 =
= 7/10 =
= 5/2 =
= 2n/3n =
82. Expresa en forma de la fracción más simple posible la relación
área sombreada
área total
en las siguientes figuras:
46
83. Los tableros de ajedrez tienen 8 x 8 casillas que son alternativamente
blancas y negras. Imaginemos que hay tableros de 2x2, 3x3, ... 20x20, ....
casillas.
¿Qué dimensión tiene el tablero para el que la fracción
número casillas negras
número total de casillas
es la mayor posible?.
¿Qué dimensiones tiene el tablero para el que la misma fracción anterior es la
menor posible?.
84. Escribe un buen número de fracciones equivalentes a las siguientes:
4/9 = 8/18 = .....
2/6 = 4/12 = .....
¿Cuántas fracciones equivalentes a 4/9 tienen el mismo denominador que una
fracción equivalente a 2/6?. ¿Qué tienen en común los denominadores que se
repiten?.
¿Qué relación tienen esos denominadores con los de las fracciones
originarias?.
85. ¿Cuál es la manera más simple de escribir las fracciones
5/12
y
con el mismo denominador?.
47
17/30
4/5
+
3/10
=
11/10
86. Resuelve gráficamente de modo similar estas operaciones:
1/2 + 1/4 =
5/6 + 2/15 =
4/5 - 2/3 =
2/3
x
5/6
=
2/3
x
4/5
=
2/3 : 4/5 = 2/3 x 4 x
48
1/5 =
87. Las fracciones que tienen el mismo denominador se suman y se restan sin
complicación:
7/11
+
2/11 = 9/11
7/11
-
2/11 = 5/11
¿Cómo se podrá realizar la suma y la resta de fracciones con distinto
denominador?.
11/21
+
7/36
= ?
11/21
-
7/36
= ?
88. Una fotocopiadora puede reproducir los documentos originales
reduciéndolos a los 5/6.
Si de la copia reducida se saca otra también reducida, ¿qué fracción del
original sería esta última copia?.
¿Cuántas veces se deberá repetir el proceso para obtener una copia más
pequeña que la mitad del documento original?.
89. Marisa, Pedro y Juan deciden apostar unos ahorrillos, que ascienden
respectivamente a 1000, 250 y 110 pesetas, a la Lotería Primitiva.
¿Cuántas semanas podrán jugar?.
Después de agotar todo el dinero, han tenido la enorme suerte de reunir ciento
setenta y cinco mil cuatrocientas veintidós pesetas en premios.
¿Cómo se podrán repartir los beneficios?.
¿Hay sólo una manera de efectuar el reparto?.
¿Cuál es, a tu juicio, el modo más justo?.
En vista del éxito que han tenido, deciden realizar una nueva ronda de
apuestas, poniendo cada uno la misma cantidad que la primera vez. Como
están seguros de su suerte, efectúan los cálculos antes de empezar a jugar,
con la suposición de que ganarán P pesetas. ¿Qué cantidad le corresponderá a
cada uno?.
49
90. ¿Cuántas fracciones distintas y menores que la unidad tienen un
denominador menor o igual que 100?.
91. Observa la siguiente argumentación:
Deseamos encontrar una fracción que tenga como valor el decimal
1'92929292...
Si tal fracción existe, aunque de momento sea desconocida, podemos
identificarla por un símbolo o una letra, pongamos por caso f, inicial de la
palabra fracción.
Andamos buscando que
f = 1'92929292...
Naturalmente, cien veces f será entonces cien veces 1'92...
100 · f = 100 · 1'92929292...
Es decir,
100 · f = 192'929292...
A la luz de las igualdades anteriores, se deduce que las fracciones f y 100 · f
tienen la curiosa propiedad de que tienen exactamente igual su parte decimal,
aunque no su parte entera. Pero entonces será cierto que
100 · f - f = 192'9292... - 1'9292...
o lo que es lo mismo
99 · f = 191
de modo que f tiene que ser forzosamente 191/99, con lo que hemos
encontrado la fracción que andábamos buscando.
En efecto, dividiendo 191 entre 99 con la calculadora, se comprueba que
191/99 = 1'929292...
¿Podrías encontrar ahora las fracciones que tienen como valor decimal,
respectivamente,
0'15,
25'427427427...,
7'1,
16'123515151... ,
15'152
y
0'999999..?.
50
Números irracionales
51
92. El siguiente es un pequeño juego para practicar en grupo:
Gana el que encuentre la fracción cuyo cuadrado se aproxime más a 6.
93. (7/5)2 < 2 . Encuentra otra fracción que, siendo mayor que 7/5, sea más
pequeña que la raíz cuadrada de 2.
¿Se puede encontrar otra que reúna la misma condición y que sea mayor que
la que acabas de encontrar?.
¿Cuántas veces se podría repetir el proceso, encontrando fracciones cada vez
mayores pero tales que el cuadrado de cada una de ellas no llegue a 2?.
94. El número 3'23145454545... se denomina decimal periódico y se
caracteriza porque a partir de determinado momento las cifras 4 y 5 se repiten
indefinidamente en ese orden.
Por el contrario el número 3'25 se denomina decimal puro, porque tiene un
número finito, dos en este caso, de cifras decimales.
Escribe un número decimal que no sea ni puro ni periódico.
95. Observa el número 26'346346346346...
En ese número se distinguen dos partes, 26, que se denomina su parte entera,
y 0'346346346346...., que se denomina su parte decimal.
Naturalmente cualquier número es igual a la suma de su parte entera y su parte
decimal.
¿Cuál es la mayor diferencia que puede haber entre dos números que tengan
la misma parte entera?.
52
96. Estamos interesados en encontrar una fracción que elevada al cuadrado
sea lo más próxima posible a 5. Observa cómo podemos organizar los cálculos.
(11/5)2 = 121/25 ,
(más pequeña que 5.)
(12/5)2
(más grande que 5.)
= 144/25,
Pero 11/5 = 22/10 y 12/5 = 24/10, luego 23/10 es una fracción
comprendida entre 11/5 y 12/5.
La raíz cuadrada de 5 es entonces
mayor que
menor que
22/10
44/20
89/40
178/80
357/160
715/320
1431/640
2862/1280
5724/2560
11448/5120
22897/10240
45794/20480
23/10
45/20
90/40
179/80
358/160
716/320
1432/640
2863/1280
5725/2560
11449/5120
22898/10240
45795/20480
Fracción
intermedia
45/20
89/40
179/80
357/160
715/320
1431/640
2863/1280
5725/2560
11449/5120
22897/10240
45795/20480
91589/40960
elevada al
cuadrado es
5.0625
4.9506
5.0064
4.9784
4.9924
4.9994
5.0029
5.0011
5.0002
4.9998
5.0000
4.9999
se pasa
no llega
se pasa
no llega
no llega
no llega
se pasa
se pasa
se pasa
no llega
se pasa
no llega
En definitiva se puede concluir que la raíz cuadrada de 5 está comprendida
entre
45794
20480
y
45795
20480
con una precisión de al menos 4 cifras decimales.
Si se continuase la tabla por el mismo método se podrían conseguir fracciones
que se pareciesen tanto a la raíz cuadrada de 5 como deseásemos, siempre
que estuviésemos dispuestos a invertir el tiempo y el esfuerzo necesario para
ello.
Encuentra por este método una fracción próxima a la raíz cuadrada de 3.
53
Fibonacci
y
Tartaglia
54
97. Leonardo Fibonacci, matemático italiano nacido en Pisa en 1175 y
conocido por eso en su época como Pisano, fue el introductor en el mundo
occidental del sistema de numeración que hoy utilizamos. Antes de la
publicación de la obra que tituló Liber abacci, se representaban en Europa los
números con el procedimiento inventado por los romanos, del que todavía se
conservan algunos pequeños restos en la actualidad (siglo XXI, Carlos III,...).
Los números romanos complicaban mucho las operaciones elementales y
Fibonacci, en los numerosos viajes que realizó al mundo musulmán, se percató
de las enormes ventajas operatorias que reunía el sistema de numeración
decimal utilizado por los matemáticos árabes, y las expuso de modo tan
convincente en su libro que en relativamente poco tiempo los números
romanos cayeron en desuso.
En otro de sus libros, Fibonacci planteó el siguiente problema.
Supongamos los conejos empiezan a criar a los dos meses de vida y que cada
pareja es capaz de engendrar una nueva pareja cada mes.
Colocamos una pareja de conejos en un corral. ¿Cuántas parejas de conejos
habrá en el sexto mes?. ¿Y en el octavo?.
55
98. El número de propiedades y resultados relacionados con el problema de los
conejos es verdaderamente asombroso, hasta el punto que existe en la
actualidad una revista trimestral americana dedicada exclusivamente a publicar
nuevos descubrimientos relativos a la cuestión formulada por Fibonacci.
Por ejemplo, si se escribe una secuencia o sucesión con el número de conejos
existentes cada mes
1 , 1 , 2 , 3 , 5 ...
se puede descubrir un procedimiento simple para obtener fácilmente nuevos
términos de la sucesión.
¿Cuál es ese procedimiento?.
99. Si se multiplica el número de parejas de conejos que existía en un mes
determinado por el número existente dos meses después, se obtiene un
resultado curioso que está relacionado con la misma sucesión de Fibonacci.
¿Cuál es ese resultado?.
100. ¿Cuántas parejas de conejos nacen el tercer mes?. ¿Y el octavo mes?.
Si escribimos en forma de sucesión el número de parejas que nace cada mes,
¿qué tiene de particular la secuencia?.
101. Hoy se sabe que la siguiente fórmula permite calcular el número de
parejas de conejos que habrá en un mes cualquiera sin tener que obtener el
número existente en los meses anteriores.
n
⎛1+ 5⎞
⎛1− 5⎞
⎜
⎟ −⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
n
5
n = meses transcurridos
Comprueba que, a pesar de su sorprendente complejidad, la fórmula funciona
bien.
56
102. En su problema originario, Fibonacci admitía una serie de suposiciones o
hipótesis acerca de la reproducción de los conejos, específicamente que cada
pareja engendra una nueva pareja todos los meses desde el segundo mes de
vida.
En la secuencia resultante los números crecen rápidamente, tal y como parece
que ocurre en la naturaleza con las poblaciones de conejos, ratas y otros
roedores.
Sin embargo, las hipótesis de Fibonacci son sólo unas de entre otras muchas
posibles y ni siquiera demasiado realistas. Por ejemplo, los conejos, como todo
ser vivo, al cabo de un tiempo mueren.
Explora qué sucesiones numéricas se generan al modificar los supuestos del
problema por otros como los siguientes:
a) Cada pareja de conejos engendra dos parejas todos los meses desde el
segundo mes de vida.
b) Inicialmente hay cuatro parejas de conejos en lugar de una.
c) Las parejas de conejos sólo engendran descendencia a partir del tercer mes
de vida.
d) Cada pareja de conejos muere después de vivir tres meses.
103. Si se bombardea con neutrones una sustancia radiactiva se produce una
reacción en cadena, caracterizada por los choques que se producen de los
neutrones con los átomos de la sustancia y de unos neutrones con otros.
En una décima de segundo cada neutrón choca con un átomo dejando en
libertad otros dos neutrones, aparte de él mismo. Al mismo tiempo, en dos
décimas de segundo cada neutrón colisiona con otro, aniquilándose
mutuamente.
Construye, completando la siguiente tabla, la secuencia o sucesión del número
de neutrones que se encuentran libres en la reacción iniciada por un sólo
neutrón:
tiempo
número de neutrones libres
primera décima de seg.
segunda décima de seg.
tercera décima de seg.
cuarta décima de seg.
¿Cuántos neutrones estarán en libertad al cabo de n décimas de segundo?.
57
104. El nemátodo hermafrodita causante de cierta enfermedad intestinal que
sufren los caballos se reproduce poniendo un huevo cada día. Al cabo de doce
horas del huevo nace una larva que después de otras doce horas ya es un
animal adulto.
¿Cuántos nemátodos tendrá al cabo de un mes el intestino de un caballo que
ha ingerido una única larva al beber de un charco de agua infectada?.
Para combatir la enfermedad existe un fármaco que destruye a los parásitos
adultos dos días después de que el medicamento se ha infiltrado por su piel,
pero que desgraciadamente no impide la reproducción ni afecta a las larvas.
¿Cómo evoluciona la población de parásitos después de administrar al caballo
enfermo el medicamento?.
¿Es efectivo el fármaco para acabar con la infección?.
58
105. El matemático italiano del siglo XVI conocido por Tartaglia, nombre que
significa "tartamudo", dedicó su vida a estudiar las soluciones de las
ecuaciones de tercer grado, aunque era también un experto en cuestiones de
balística y explosivos. A él se le atribuye la invención de la siguiente tabla
triangular de números enteros, también conocida como triángulo de Pascal:
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
1 4 6 4 1
5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1
Esta disposición triangular de números presenta una gran cantidad de
regularidades interesantes que permiten predecir muchas propiedades de la
tabla sin necesidad de construirla explícitamente. En este apartado
exploraremos algunas de esas regularidades.
Por ejemplo, cada fila del triángulo está construida a partir de la fila anterior por
una regla precisa. ¿Cuál es esa regla?.
Añade algunas filas más al triángulo.
106. ¿Cuántos números tendrá la fila 999 del triángulo?. ¿Y la fila n?.
¿Cuántos números compondrán el triángulo si se construye hasta la fila 100?.
¿Y hasta la fila n?.
107. Si se suman los números de cada fila se obtiene una sucesión de
números.
¿Cuál es el elemento que ocupa la posición n en esa sucesión?.
108. ¿Qué resultado se obtiene si se suman todos los números que están
situados por encima de una fila dada?.
109. Se suman y se restan alternativamente los números que componen una
fila
1- 9 + 36 - 84 + ... + 36 - 9 + 1
¿Se puede predecir qué resultado dará una operación similar realizada con los
elementos de la fila 250?.
59
110. ¿De qué números se puede afirmar con toda seguridad que no forman
parte de la fila 1000 del triángulo?.
111. Se deja caer una bola por una tabla inclinada que tiene distribuidos, en la
disposición de la figura, clavos que obstaculizan el paso de la bola.
¿Por cuántos caminos distintos puede ir la bola desde el punto de partida hasta
el punto A?.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* * * *
* * * *
* * * * * * * * *
* * * * * * * * * *
A
*
*
*
*
*
*
*
112. Se puede llamar "diagonal" del triángulo de Tartaglia cualquier ristra de
números que discurre "paralela" a los lados del triángulo. Por ejemplo,
1
4
10
20
35
56
84 ....
es una diagonal.
¿Qué relación tiene con los números del triángulo la suma de los elementos,
hasta uno dado, de una diagonal cualquiera?.
1 + 2 + 3 + 4 = ?
1 + 6 + 21 + 56 + 126 = ?
113. Se suman dos elementos consecutivos de la tercera diagonal del triángulo
de Tartaglia.
¿Cuál es el resultado?.
114. Se escogen tres elementos consecutivos de la cuarta diagonal del
triángulo y se suman el primero, el tercero y cuatro veces el segundo.
¿Qué resultado se obtiene?.
60
115. Denominemos "diagonal trasversa" a la que contiene números del
triángulo que discurren "paralelamente" a los que están señalados:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
10 10 5 1
15 20 15 6 1
1 7 21 35
35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1
5
6
¿Qué tiene de particular la sucesión de los números construida sumando los
elementos de cada diagonal trasversa?.
116. Formula la regla que permitiría reconstruir "hacia arriba" el triángulo de
Tartaglia a partir de una fila dada.
61
Los números y el dinero
62
117. Una barra de pan de un cuarto de kilo cuesta en la actualidad 35 pesetas.
Las estadísticas dicen que el precio del pan ha subido un 120% desde 1980.
¿Cuánto costaba entonces una barra de medio kilo?.
118. Se desea invertir cierta cantidad X durante un año.
¿Cuál de estas dos opciones es preferible?.
OPCIÓN A) una cuenta ahorro que proporciona un 12% de interés anual que
se paga una vez vencido el año.
OPCIÓN B) una cuenta a plazo fijo que renta un 1% pagadero al final de cada
mes.
119. La supercuenta del banco VVB ofrece un 13% de intereses anuales para
el dinero depositado, descontando las primeras cincuenta mil pesetas.
La supercuenta de la Caja A.A. da por el contrario un 14%, dejando sin
remunerar las primeras 80.000 pesetas.
Susana dispone de unos ahorros de cien mil pesetas. ¿En qué supercuenta le
interesa depositarlos?.
¿Y si hubiese dispuesto de un millón de pesetas?.
¿A partir de qué cantidad resulta preferible una supercuenta a la otra?.
¿Qué tanto por cien real de interés anual proporciona cada supercuenta para
una inversión de C pesetas?.
63
120. Cierta empresa solicita un préstamo de un millón de pesetas a una
compañía financiera con las siguientes condiciones:
a) el interés que percibirá la compañía financiera será del 12% anual.
b) el dinero prestado se devolverá en tres meses.
c) La empresa pagará tres recibos mensuales de igual cuantía.
c) El recibo de cada mes será el resultado de sumar la parte de capital que se
devuelve y la parte de intereses que se paga.
¿A cuánto ascenderá el importe del recibo mensual?.
Recurre a la ayuda de una tabla como la de abajo para realizar tanteos hasta
que encuentres la respuesta.
C.P. antes
I.P.
C.D.
T.R.
C.P. después
= Capital pendiente antes del pago del recibo.
= Intereses pagados con el recibo.
= Capital devuelto con el recibo.
= Importe total del recibo.
= Capital pendiente después del pago.
C.P. antes
recibo 1
recibo 2
recibo 3
I.P.
C.D.
T.R.
C.P. después
1000000
0
64
Números en la prensa
65
121. El cuadro adjunto muestra una información condensada acerca de las
características de la flota de aviones de la compañía española Iberia. De la
tabla se pueden deducir una serie de datos que no figuran explícitamente
expuestos. Redacta un informe que presente tus conclusiones. Como ayuda,
aquí tienes una muestra de cuestiones, de entre otras muchas posibles, que se
pueden indagar:
¿Cuál es el número máximo de pasajeros que simultáneamente pueden volar
con Iberia?.
¿Qué porcentaje de la flota de Iberia está adquirida en cada una de las casas
fabricantes de aviones?.
¿Qué tipo de aviones será el más adecuado para vuelos nacionales, para
vuelos continentales y para viajes intercontinentales?.
¿Qué número de ventanillas cabe esperar que tenga cada modelo?.
¿Existe relación entre la longitud de los aparatos y el número de butacas que
tienen?.
66
122. En el gráfico están reflejados los registros, a mitad de carrera y en la meta
final, los tiempos obtenidos por los primeros clasificados en la etapa
contrarreloj de la setenta y una edición de la Volta a Catalunya.
¿Qué corredor fue el más lento en el segundo tramo?.
¿Qué fue más rápida, la primera o la segunda mitad de la etapa?.
Si la etapa hubiese consistido sólo en el segundo tramo, ¿cuál hubiese la
clasificación?.
¿Quién y en qué tramo alcanzó la velocidad media mayor?.
La que figura en la parte derecha es la clasificación general antes de comenzar
la etapa contrarreloj. ¿Qué se puede decir de la clasificación general después
de dicha etapa?.
123. Esta es la lista ordenada de las mejores películas, según un diario de
difusión nacional, que estaban en pantalla en el verano del 91.
Determina con exactitud el procedimiento que se ha seguido para establecer el
orden de las películas.
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124. Aquí tienes algunos de los registros efectuados por los atletas en el
campeonato mundial de atletismo celebrado en Tokio en agosto de 1991.
Las personas que corren, saltan y lanzan objetos
en el deporte de alta competición, son las más
rápidas, las más ágiles y hábiles físicamente de la
especie humana. ¿Qué se puede decir, a la vista
de los resultados de Tokio, acerca de la velocidad
máxima que puede alcanzar el homo sapiens?.
¿Qué tanto por cien son más rápidos los hombres
que las mujeres?.
Algunos de los resultados especifican la velocidad
del viento en el momento de la prueba. ¿Cómo se
podría hacer una estimación de la influencia del
mismo sobre la velocidad de los atletas?.
¿Quiénes son más veloces, los españoles o las
españolas?.
Cómo es lógico, debido al cansancio, se tarda más
del doble en correr 400 metros que 200 metros.
¿Cómo se podría medir el cansancio medio de los
atletas al aumentar la distancia que corren?.
Naturalmente, se tarda más en cubrir una
distancia lisa que la misma saltando vallas. ¿Qué
media de tiempo se pierde en el total de los saltos de obstáculos?. ¿Qué
porcentaje representa del total?. ¿Qué resultados se podría esperar si la final
masculina de 800 metros hubiese sido con vallas?.
125. La tabla clasificatoria de los equipos en la Jornada futbolística tiene
muchas propiedades numéricas curiosas, como por ejemplo que en la primera
columna todos los números son iguales. Deduce otras. Aquí tienes dos
propuestas para empezar:
Las columnas G, E, P y Ptos están
relacionadas entre sí. Escribe una
fórmula que refleje la relación.
Hay varias columnas que sumadas
dan el mismo número. ¿Cuáles y
por qué?.
Sin perder información, ¿cómo se
podría escribir la tabla del modo
más reducido posible?.
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126. Observa el palmarés de los vencedores de las sucesivas ediciones del
Tour de Francia.
¿Cómo está calculada la columna de los promedios?.
¿En qué año hubo mayor porcentaje de abandonos?.
¿Se puede decir algo, a la vista del palmarés, acerca de cuánto tiempo dura el
pleno rendimiento en un ciclista profesional de alto nivel?.
¿Existe alguna relación entre los dorsales que llevaron los vencedores de cada
edición?.
A medida que transcurrieron los años, los promedios de los vencedores han ido
evolucionando de un modo particular. ¿A qué se puede atribuir este hecho?.
La 78 edición del Tour, correspondiente al año 1991, tuvo el siguiente perfil:
Total de etapas: 22
Total de kilómetros: 3.913
Etapas contrarreloj: 3
Kilómetros contrarreloj: 177
Kilómetros de montaña: 226
¿Se puede decir algo acerca del perfil aproximado que pudo tener el Tour en el
año 1988?.
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127. ¿Qué artículo ha sido más rebajado en proporción?.
¿Cuál ha sido, por termino medio, el tanto por cien de las rebajas efectuadas?.
¿Da el mismo resultado la media aritmética de los tantos por cien rebajados en
cada artículo que el tanto por cien de rebaja de la media de los precios
antiguos respecto a la media de los precios nuevos?.
128. Antes del partido que enfrentó a España e Italia en las Semifinales del
Eurobasket 91, se publicó la siguiente estadística sobre la marcha de cada
equipo en el campeonato.
Comenta el significado de cada número y determina cómo se obtiene.
70
129. Pichichi fue el jugador que marcó el primer gol en la inauguración del
estadio San Mamés, en el partido Athletic de Bilbao - Real Unión de Irún, el 21
de agosto de 1913. Pichichi fue el mejor delantero de su época y murió muy
joven de tifus. En homenaje póstumo, se bautizó con su nombre al trofeo que
premia al máximo goleador de la Liga de cada temporada.
La tabla adjunta muestra los ganadores del torneo Pichichi desde que se
instituyó hasta el año 1991.
¿Qué representa la columna encabezada con el título "promedio"?. ¿Cómo se
calcula?.
¿Quién ha sido, y en qué temporada, el máximo goleador absoluto?. ¿Y el
máximo goleador relativo?.
A la vista de la tabla, ¿se puede decir algo acerca de la duración del periodo de
máximo rendimiento de los futbolistas profesionales?.
En cada campeonato de Liga cada equipo juega dos veces con cada uno de
los demás, una en su terreno y otra en el del contrincante. Los torneos Pichichi
se otorgan sólo a jugadores de primera división. ¿Cuántos equipos jugaban en
la división de honor en cada temporada?. ¿Cuántos partidos se jugaban cada
domingo en esa división?. Construye una fórmula que proporcione, a partir del
número N de equipos que participan en un campeonato de liga, las jornadas
que se necesitarán.
¿Se observa algún hecho relevante en la evolución de los promedios a medida
que transcurre el tiempo?. ¿A qué se podría atribuir ese fenómeno?.
Algunos jugadores han recibido el trofeo varias veces. ¿Cómo se podría
confeccionar una lista en la que apareciese una sola vez cada ganador, con
indicación del promedio de goles que ha marcado?.
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130. ¿Cómo se puede confeccionar una lista ordenada en función de los
recursos que dedican a gastos militares de los países que figuran en la tabla?.
¿Existe sólo un procedimiento?. Si hay varios, ¿conducen todos a la misma
ordenación?.
131. ¿Qué se podría comprar para los países más necesitados del mundo con
lo que costaron las operaciones militares de la guerra del Golfo?.
¿Y con lo que cuestan algunas de las unidades de material que allí se
emplearon?.
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132. En los cuadros se recoge, para las cuatro Universidades madrileñas, la
nota mínima necesaria para acceder a cada carrera universitaria y el número
de plazas que se oferta en cada Facultad y Escuela.
Observando los datos se comprueba que en la Complutense es más difícil
matricularse de Publicidad que de Ciencias de la Imagen, pues con igual
número de plazas en aquella carrera se requiere más nota. Igualmente se
puede comprobar que es más fácil entrar en Derecho en la Complutense que
en Alcalá pues, para la misma nota exigida, en esta última Universidad hay
menos plazas.
¿Cómo se podría establecer una medida del grado de dificultad que permita
comparar estudios en los que se requiera notas mínimas y se oferten número
de plazas distintas?.
Con esa medida, ¿qué estudios y en qué Universidad son los de más difícil
acceso?.
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133. El lunes siguiente a las elecciones vascas celebradas el 28 de octubre de
1990, determinado periódico publicó los siguientes resultados provisionales de
las mismas.
Completa la columna de tantos por ciento que se encuentra en blanco. ¿Qué
suposiciones hay que efectuar para poder realizar la estimación pedida?.
134. ¿Qué compañía petrolífera de entre las diez grandes es la más rentable?.
¿Qué porcentaje del mercado del crudo controla cada una?.
¿Cómo se podría determinar el valor de cada compañía?.
¿Qué beneficios tendría cada compañía si los piases miembros de la OPEP
decidiesen de repente suspender todas sus exportaciones durante un año?.
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135. Este artículo se publicó en el año
1988. ¿Qué número de afectados por el
SIDA habrá el día de hoy en Francia?.
¿Y en el mes de Enero del año 2000?.
¿Cuándo afectará a un millón de
franceses, si no se encuentra un
remedio que combata eficazmente el
síndrome?.
136. Para calibrar la magnitud de los disturbios que tuvieron lugar en octubre
de 1990 en la ciudad hindú de Ayodhya, traduce a términos de tu población,
manteniendo la proporción, las cantidades a que hace referencia el suceso:
¿Cuántos templos habría?.
¿Qué número de soldados y policías habría destacado el Gobierno?.
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137. ¿Cuánto vale el Banco de Bilbao - Vizcaya?.
138. En esta tabla, las casillas en blanco son partidos todavía no jugados.
¿En qué Jornada se encontraba la Liga?.
¿Cómo se sabe el número de partidos que faltan por jugar para terminar el
campeonato?.
Se realiza la resta de las cifras que en cada casilla reflejan el resultado de un
partido (por ejemplo, Betis-Sevilla, 0-3 = -3) y se suman en cada
fila y en cada columna los resultados.
¿Qué significa el número que se obtiene restando al resultado de la fila 7, por
ejemplo, el resultado de la columna 7?.
¿Qué representa la cantidad de números negativos que hay en una fila?. ¿Y en
una columna?.
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139. Se llama crecimiento
bruto de la producción al
incremento que ha
experimentado la misma a
lo largo de un determinado
periodo de tiempo. Con la
tabla adjunta, ¿cuántos
crecimientos brutos
distintos se pueden
calcular para cada país?.
¿Cómo se puede definir
con un sólo número, que
se denomina tasa de
crecimiento,
el incremento anual que ha
experimentado
la
producción en cada país?.
¿Cómo se definiría la tasa
de crecimiento relativa
para cada país?. ¿Qué país es el que ha aumentado relativamente más su
producción electrónica?. ¿Qué país es el que ha aumentado relativamente
menos?.
Suponiendo que los de la tabla son los únicos países que producen electrónica,
¿a qué ritmo anual ha crecido la industria electrónica en el bienio 88-90?.
140. ¿Qué tienen de especial los números pintados sobre el rostro y las manos
de esta composición fotográfica?.
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141. Realiza una
estimación numérica de
cómo evoluciona con el
tiempo la población de
"moscas asesinas",
suponiendo que
inicialmente hay una única
hembra fértil.
¿En cuánto puede
estimarse el precio de cada
macho estéril de los que se
utilizan para la extinción de
la plaga,
suponiendo incluidos en
ese precio los gastos de
personal técnico y de
transporte desde México a
Libia?.
El coste del proyecto, a desarrollar en un
año, es de tres mil millones de dólares
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142. ¿Qué porcentaje de españoles leía el Diario 16 en abril de 1990?.
¿Cuántos lectores perdió El País desde mayo de 1989 hasta abril de 1990?.
Según este estudio, ¿en cuánto puede estimarse el número de personas que
no lee ningún periódico en España?.
¿A qué puede deberse el hecho de que la suma de los porcentajes
correspondientes al año 89 no dé el mismo resultado que la suma de los del
año 90?.
143. ¿Qué quiere decir el periodista cuando
afirma que el trabajo duró "275 años de
ordenador."? ¿Cómo se ha calculado ese dato?.
¿Qué horario de "trabajo" tuvieron los
ordenadores que participaron en los cálculos?.
¿Cuántos ordenadores harían falta para
completar la descomposición factorial en una
hora?.
¿Existe alguna relación entre el número de cifras
del número descompuesto y el número de cifras
de los factores simples hallados?. ¿Ocurre lo
mismo con cualquier número?.
¿Cuántos divisores tiene el número que lograron
descomponer los dos matemáticos americanos?.
79
144. La segunda etapa del rallye de San Remo de 1990 se corrió entre San
Remo y Arezzo, con un total de diez tramos cronometrados (numerados del 2
al 11).
¿Qué se puede decir de la clasificación de la etapa con los datos de que se
dispone?. ¿A qué velocidad media aproximada se ha corrido la etapa?.
¿En qué tipo de tramo, de tierra o de asfalto, son más rápidos los
automóviles?.
¿Cuál ha sido la máxima velocidad media alcanzada en un sólo tramo?.
Biasion corrió con un coche de marca italiana y tanto Sainz como su
compañero de equipo Schwarz con uno japonés. ¿Se puede decir algo acerca
de para qué tipo de carretera son más apropiados a los autos de cada una de
esas marcas?.
La tercera etapa del rallye se disputó entre Arezzo y Perugia, con quince
tramos numerados del 12 al 27. Después del tramo 17 la carrera discurrió un
tiempo por el bucle que se aprecia en el plano. ¿Cuántas vueltas dieron los
corredores a ese circuito?.
145. ¿Qué composición tendrá
comisión que se menciona?.
¿Hay más posibilidades?.
la
80
146. ¿Qué quiere decir el
dato de que la precisión del
aparato es del 99%?
Se
utiliza
el
medidor
ultrasónico para medir el
largo, ancho y alto de un
depósito con forma de
prisma recto, obteniéndose
en
la
pantalla,
respectivamente, 7.37, 5.15
y 6.25 metros. ¿Qué se
puede decir acera del
número exacto de litros de
agua que caben en el
depósito?.
147. ¿Qué número de ojales corresponden a un cordón de 100 cms?.
Empleo habitual de los distintos tamaños y número de ojales que les corresponden
Tamaño
45 cms.
60 cms.
80 cms.
100 cms.
Zapatos y
Zapatos de vestir
Zapatos de vestir
Calzado de montaña,
cordón
Nº de ojales
botitas de niño
de caballero y
botitas de niño.
de caballero y
calzado deportivo.
2-3
4
5-6
81
caza, tenis, atletismo,
fútbol, etc.
148. ¿A qué precio saldrá finalmente cada metro de túnel?.
¿Qué tanto por ciento de aumento, respecto a las previsiones iniciales, ha
sufrido la inversión necesaria para la construcción del eurotúnel?.
¿Cuántos botes de refresco, aproximadamente, podrían ser llenados con la
tierra extraída por la perforación del túnel que se anuncia a punto de finalizar?.
¿Qué distancia falta por perforar en los otros dos túneles que completan el
proyecto?.
149. ¿Qué relación existe entre las tres filas de la tabla?.
¿Qué porcentaje suponen, en cada año, las subvenciones del BCCI respecto a
los resultados sin ayudas del BCCE?.
¿Qué tanto por cien hubo de disminución en el resultado contable declarado de
1990 respecto al de 1986?.
¿En cuál de los cinco años los resultados sin ayudas del banco fueron los
mejores?.
LAS CUENTAS DEL BCCE
Principales partidas
Resultado contable
declarado
Subvenciones del BCCI
Holding
Resultado sin ayudas
1986
1987
1988
1989
1990
40
82
82
86
-2175
399
-359
287
-205
180
-98
393
-307
64
-2239
* Elaboración propia. En millones de pesetas.
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