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Geometría
Selectividad CCNN Murcia
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Colecciones de ejercicios
1. [2014] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a:
x
y
z+6
x+3y = 8
r:
; s: =
=
4y+z = 10
7 a-4 5a-6
b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.
2. [2014] [EXT-B] Considere la recta r y el plano  dados por las ecuaciones siguientes:
x-2 y+4 z+1
=
=
y : 7x-y = 8
r:
-4
0
3
a) Compruebe que la recta r corta al plano  y calcule el ángulo que forman.
b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano .
x+y+z = 1
es perpendicular al plano : -6x+ay+2z = 0.
-x-2y+z = 0
b) Demuestre que si a = -8, la recta r corta al plano  en un punto y calcule dicho punto de corte.
3. [2014] [JUN-A] a) Determine para qué valor del parámetro a la recta r:
4. [2014] [JUN-B] Dos de los tres vértice de un triángulo son A=(1,1,1) y B=(1,1,3). El tercer vértice C está en la recta r que pasa
por los puntos P=(-1,0,2) y Q=(0,0,2).
a) Determine la ecuación de la recta r.
b) Calcule las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea 15 unidades cuadradas.
Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas.
5. [2013] [EXT-A] Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A=(3,4,0), B=(2,1,0) y C=(5,1,0). El cuarto vértice D
está en la recta r que pasa por los puntos (1,2,3) y (-1,4,5).
a) Determine la ecuación de la recta r.
b) Calcule las coordenadas del vértice D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidades cúbicas.
Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas.
6. [2013] [EXT-B] a) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A=(2,3,0) y B=(-1,8,1).
b) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (1,2,3) y es perpendicular a la recta r.
7. [2013] [JUN-A] Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (1,3,-4), B = (2,6,7) y
C = (5,-1,2).
a) Calcule el área del paralelogramo.
b) Determine el cuarto vértice, D.
8. [2013] [JUN-B] a) Determine la ecuación del plano  que contiene a los puntos A=(3,2,0), B=(5,1,1) y C=(2,0,-1).
b) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos D=(1,2,1) y E=(2,-6,0).
c) Estudie la posición relativa de r y .
9. [2012] [EXT-A] Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A = (0,1,2) y es perpendicular a la
2x+y-z = -1
.
recta r:
x-y+z = 3
10. [2012] [EXT-B] Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones r:
y
z+6
x-5 y-1 z-6
x
=
=
y s:
=
=
.
3
-1
4
7 a-4 5a-6
a) Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a.
b) Calcule el punto de corte de r y s en los casos en que se corten.
11. [2012] [JUN-A] Considere la recta r y el plano  dados por las ecuaciones r:
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x+1 y-1 z-2
=
=
y : x-2y-z = 4.
-1
1
2
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a) Calcule el ángulo que forman la recta r y el plano .
b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano .
x = 1+2-
y = -3+ .
z = 2+3
b) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular al plano  y pasa por el punto (-1,2,3).
12. [2012] [JUN-B] a) Halle la ecuación implícita (o general) del siguiente plano :
13. [2011] [EXT-A] Determine el punto de la recta r:
x+3 y+5 z+4
=
=
que equidista del origen de coordenadas y del punto A=(3,2,1).
3
3
2
14. [2011] [EXT-B] Considere los puntos A=(2,0,1) y B=(2,0,3) y la recta r:
x+1 y z-2
= =
. Determine los puntos C de la recta r para
0
0
-1
los cuales el área del triángulo ABC es 2.
(Indicación: Hay dos puntos C que son solución del sistema)
15. [2011] [JUN-A] Determine el plano que contiene a la recta
3x+2y-5z = -2
4x-3y-2z = -1
y es paralelo a la recta
x-5 y+2 z-17
=
=
.
3
-2
-1
16. [2011] [JUN-B] Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto
medio del lado opuesto a dicho vértice.
a) Calcule las tres medianas del triángulo de vértices A=(5,-1,4), B=(-1,7,6) y C=(5,3,2).
b) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto (llamado baricentro) y calcule las coordenadas de dicho punto.
17. [2010] [EXT-A] Calcular el punto más cercano al punto P=(1,0,-1) de entre todos los puntos del plano determinado por los puntos
Q=(2,2,1), R=(0,1,2) y S=(0,0,1). Calcular la distancia de punto P al plano.
x=
18. [2010] [EXT-B] Estudiar la posición relativa de las rectas r: x+1 = y = 1-z y s: y = 1+
z = 2-
y calcular la distancia entre ellas.
19. [2010] [JUN-A] Calcular el punto más cercano al punto P=(1,3,0) de entre todos los puntos de la recta determinada por el punto
Q=(-2,2,1) y el vector v=(1,1,1). Calcular la distancia del punto P a la
recta.
20. [2010] [JUN-B] Comprobar que las rectas r: x+1 =
x=
y+2 z-1
=
y s: y = 1+
3
2
z = 2-
no se cortan y no son paralelas. Calcular la distancia
entre ellas.
21. [2009] [EXT] Calcule el punto de la recta r:
x-1 y
= = z-1 más cercano al punto P = (1,-2,-7).
3
2
22. [2009] [EXT] Calcule la distancia entre las rectas r1: x = y = z y r2:
x-1 y
= = z-1.
2
3
23. [2009] [JUN] Calcule la ecuación del plano determinado por los puntos P=(1,0,1), Q=(2,2,2) y R=(1,-1,0) y la distancia entre dicho
plano y la recta determinada por el punto S=(1,0,0) y el vector v=(1,1,0).
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24. [2009] [JUN] Calcule el punto del plano x+y+z = 1 más cercano al punto (1,2,-3). Calcule la distancia entre ambos puntos.
25. [2008] [EXT] Dada la recta r determinada por el punto P=(1,2,-3) y el vector de dirección v = (1,-1,2), calcule el punto de r más
cercano al punto Q=(1,0,2).
26. [2008] [EXT] Dadas las rectas r1: x = y = z y r2 determinada por los puntos P=(1,2,3) y Q=(1,-1,0), calcule la ecuación de la recta
que une ambas rectas por el camino más corto.
27. [2008] [JUN] Calcule la distancia entre la recta r1: x+1 = y = z-3 y la recta r2 determinada por el punto P2= 1,-1,3 y el vector de
dirección v 2= 1,0,3 .
28. [2008] [JUN] Calcule el punto del plano 2x+y-z = 1 más cercano al punto (1,2,-3).
29. [2007] [EXT] Estudie si las rectas siguientes se cruzan, se cortan, son paralelas o son coincidentes y calcule la distancia entre
x=
x-1 y+2
z
3
=
= 1- ; r2: y = 1+
.
ellas: r1:
2
3
2
2
z = 2-
30. [2007] [EXT] Estudie si existe algún punto que pertenezca a la vez a los tres planos siguientes. Calcule los puntos en común (si
x = 1+
existen): 1: x-y+z = 0, 2: x = 2y, 3: y = 1++ .
z = 1+2-
31. [2007] [JUN] Un helicóptero situado en el punto P= 1,2,1 quiere aterrizar en el plano : x+y+3z = 0.
i) Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que le lleve al punto más cercano del plano .
ii) Calcule dicho punto.
iii) Calcule la distancia que deberá recorrer.
32. [2007] [JUN] Un asteroide, que sigue aproximadamente la trayectoria dada por la recta r: x+1 =
y
= 2z+1, se está acercando a un
2
planeta situado en el punto P= 1,1,2 .
i) Calcule la distancia más cerca a la que se encontrará del planeta.
ii) Calcule el punto de la trayectoria del asteroide donde se alcanzará dicha distancia mínima.
1
iii) Si inicialmente el asteroide se encuentra en el punto Q= -1,0,- , calcule la distancia que deberá recorrer para alcanzar dicho
2
punto.
33. [2006] [EXT] Calcule la distancia del punto P=(1,-1,3) a la recta r:
x = 1+
y = 1- .
z = 1+2
x = 2-
x = 1+
34. [2006] [EXT] i) Demuestre que las rectas siguientes se cortan en un punto. ¿Cuál es ese punto? r1: y = 3+ , r2: y = 6+ .
z = 1+2
z = 6+
ii) Calcule la ecuación general del plano determinado por ambas rectas.
35. [2006] [JUN] Las trayectorias de dos aviones vienen dadas por las rectas r1:
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x = 1+
y = 1- , r2:
z = 1+2
x = 1-
y = .
z=2
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i) Estudie si las trayectorias se cortan, se cruzan o son coincidentes.
ii) Calcule la distancia mínima entre ambas trayectorias.
x = 2-
y = 3+ .
z = 1+2
i) Estudie si el proyectil impactará con la superficie determinada por el plano 3x+y-z = 0.
ii) Calcule el punto del impacto y la distancia recorrida por el proyectil desde el punto inicial P= 2,3,1 hasta el punto de impacto.
36. [2006] [JUN] La trayectoria de un proyectil viene dada por la recta r:
x= t
y = t y L2=
z = 2+t
(b) Encontrar la distancia entre dichas rectas.
37. [2005] [EXT] (a) Estudiar si las recta L1=
x+y-z+1 = 0
se cruzan.
x+2y+3 = 0
x = 1+ t
3x-y+4 = 0
son paralelas.
y = 3+3t y L2=
x-z+4 = 0
z = 3+ t
(b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo al determinado por dichas rectas y que diste de él
38. [2005] [EXT] (a) Demostrar que las recta L1=
6.
x = 1+2t
x= t
y = 1-t y L2= y = 0 se cortan en un punto. ¿Cuál es ese punto?
z= t
z = 4-t
(b) Encontrar la ecuación del plano determinado por dichas rectas.
39. [2005] [JUN] (a) Demostrar que las rectas L1=
40. [2004] [EXT] a) Estudiar, según los valores del parámetro real a, la dependencia lineal de los vectores e 1 = (1,0,a), e 2 = (2,a,-1) y
e 3 = (0,1,a).
b) Para a = 2, escribir el vector (-4,-8,3) como combinación lineal de los e 1, e 2 y e 3.
41. [2004] [EXT] Encontrar la distancia del punto P(1,-1,2) al plano que contiene a la recta :
x=t
y = 2-t y pasa por el punto 2,1,3 .
z = 3+t
x = 4+t
x+y-5 = 0
, se pide:
y = 7+2t y 2 =
3x+z-8 = 0
z = -t
a) Demostrar que están contenidas en un plano cuya ecuación se determinará.
b) Encontrar la perpendicular común a dichas rectas.
42. [2004] [EXT] Dadas las rectas 1 =
43. [2004] [JUN] a) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta  dada por la intersección de los planos: 1: x+y-z-1 = 0 y
2: 2x-y+z = 0.
b) Encontrar la distancia del punto (1,0,1) a dicha recta.
44. [2004] [JUN] a) Demostrar que las rectas 1=
x=t
y = -t y 2=
z = 2+t
x+y-z = 0
se cruzan en el espacio.
2x+y+1 = 0
b) Encontrar la distancia entre dichas rectas.
45. [2003] [EXT] Encuentre la distancia del punto P(1,0,1) a la recta determinada por los planos 1, que pasa por los puntos A(1,1,1),
B(0,1,1) y C(-1,0,0), y 2, de ecuación x+y = 2.
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46. [2003] [EXT] Encuentre la distancia del punto P(0,6,1) al plano determinado por el punto A(0,1,3) y la recta L que pasa por los
puntos B(1,0,1) y C(0,0,2).
x=1-t
y = 1 - t y L2 =
z=2
b) Encuentre la distancia entre dichas rectas.
47. [2003] [JUN] a) Estudie si las rectas L1 =
x= t
y = 1 + t se cruzan en el espacio.
z=2-t
Soluciones
9. y+z-3 = 0
10. a) a = 4: secantes; a  4: se cruzan b) (8,0,10)
12. a) 3x-6y+z-23 = 0 b)
x = -1+3
y = 2-6
z = 3+
13. (-1,1,2)
14. (0,0,2), (4,0,2)
x = 5+p
4 -1 -2
3
2 6
42
b) (3,3,4) 17.
, ,
;
18. paralelas;
19. (1,3,2); 2 2 20.
21. (-1,-3,0) 22.
y=3
3 3 3
3
3
7
z = 2-p
x=1
3
4 7 -8
3
4 14
11 17
1 1 -1
x-1 y-2 z-1
23. x-y+z-2 = 0;
24.
, ,
;
25. (3,0,1) 26. y = 1- 27.
28. (-1,1,-2) 29. paralelas ; d=
30.
, ,
31. i)
=
=
3 3 3
3 6 6
1
1
3
3
3
7
17
z = 1+
5 16 -7
6 11
21
2
, ,
iii)
32. i) 6 ii) 0,2,0 iii)
33. 2 34. i) 0,5,5 ii) x-3y+2z+5 = 0 35. i) se cruzan ii)
36. i) si ii) 0,5,5 , 2 6 37. (a) si
11 11 11
11
2
2
4242
38. (b) x-y+2z+2 = 0 ó x-y+2z-10 = 0 39. (a) (3,0,1) (b) x+3y+z-4 = 0 40. a) a = -1: l.d. a  -1: l.i. b) 2e 1-3e 2-2e 3 41. 6 42. a) 7x-2y+3z-14 = 0
7
1
x=
x = 2-7
3
66
14
6
7 3
2
b)
44. b)
45.
46.
47. a) si b)
2
y = 3+2 43. a)
y= +
6
14
3
3
2
z = 2-3
3
z=

2x+7y-8z+3 = 0 16. a)
17 de julio de 2015
x = 5+k
y = -1-2k ;
z=4
x = -1+2m
y = 7-m ;
z = 6-m
11. 30º; x+y-z+2 = 0
15.
6
6
ii)
(b)
b)
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