Inconsistencia económica de las fórmulas de Carli, Dutot y Jevons

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 47, Núm. 160, 2005, págs. 423 a 446
Inconsistencia económica de las
fórmulas de Carli, Dutot y Jevons para
calcular el índice elemental del IPC con
estratos básicos homogéneos
por
RODRÍGUEZ FEIJOÓ, SANTIAGO
GONZÁLEZ CORREA, CARLOS
RODRÍGUEZ CARO, ALEJANDRO
Departamento de Métodos Cuantitativos en E. y G.
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Las Palmas de Gran Canaria
RESUMEN
Las fórmulas más utilizadas a la hora de elaborar el índice elemental del Índice de Precios de Consumo son las fórmulas de Carli,
de Dutot y de Jevons. Bajo el supuesto de homogeneidad en el nivel
elemental del índice, en este trabajo se demuestra que las tres fórmulas son incongruentes con una función de demanda caracterizada
por presentar la segunda derivada positiva. Partiendo de la existencia
de esta función de demanda para el consumidor, se define una nueva
fórmula para calcular el índice elemental de un Índice de Precios de
Consumo que, además de las propiedades generalmente exigibles a
las fórmulas de números índices, cumple la propiedad de la reversión
temporal, propiedad fundamental para el cálculo de un índice encadenado, y es consistente con la forma habitual de una función de demanda. Este nuevo índice se calcula como la media armónica de los
ratios de precios, ponderada de forma inversa por el nivel de precios
en el instante base.
424
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Palabras clave: Números Índices, IPC, Fórmula del Agregado Elemental.
Clasificación AMS: 91B82, 91B24, 62P20
1. INTRODUCCIÓN
El precio de una economía y, más concretamente, el control de sus cambios, se
ha convertido en uno de los objetivos prioritarios en el marco del análisis macroeconómico. En esta línea y en el ámbito de la Comunidad Europea, esta medida
juega un papel fundamental en las deliberaciones del Banco Central Europeo.
El primer paso para alcanzar este objetivo consiste en disponer de una medida
fiable de la inflación. Para ello se hace uso de la Teoría de los Números Índices con
el fin de elaborar un Índice de Precios de Consumo (IPC). La Organización Internacional del Trabajo, (OIT), define el IPC como "un indicador social y económico de
coyuntura, construido para medir los cambios experimentados a lo largo del tiempo
en relación con el nivel general de precios de los bienes y servicios de consumo
que los hogares pagan, adquieren o utilizan para ser consumidos" [OIT (2003a),
página 1]. Dado que las familias adquieren un conjunto amplio de bienes y servicios
y, tanto los precios como las cantidades compradas cambian de forma desigual, el
IPC debe ser una función que venga determinada por las variaciones individuales
de los precios y las cantidades. El problema es cómo concentrar todos estos cambios en una única medida que sea lo más representativa posible de todos ellos.
Con el fin de mejorar esta representatividad, la elaboración del IPC ha sufrido
múltiples y continuos cambios, tanto en los sistemas y procedimientos para la
obtención de los precios y cantidades, como en las expresiones matemáticas
utilizadas para su cálculo.
La cuestión que se plantea en este trabajo se refiere únicamente a la primera
fase de elaboración de un IPC. En concreto, el trabajo se centra en las fórmulas
con las que se elaboran los índices elementales, no entrando a abordar otras
cuestiones relevantes, tales como el diseño muestral, la selección de productos, los
cambios de calidad, los cambios de establecimientos o la fórmula agregada. El
enfoque que se realiza parte de ciertos supuestos, que se comentarán más adelante, y se ajusta a las recomendaciones de los organismos encargados de velar
por la validez de los IPC (OIT (2003a), (2003b)).
Dentro de este marco, a lo largo del trabajo se demuestra que las fórmulas más
utilizadas para el cálculo de los índices elementales presentan incompatibilidades
con la Teoría del Consumidor, por lo que se propone una nueva fórmula para su
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
425
cálculo, que, además de satisfacer los principales axiomas que debe cumplir un
índice elemental, es congruente con dicha teoría.
En lo que sigue, el trabajo se estructura en cuatro partes. En el epígrafe segundo se presentan las fórmulas más utilizadas para el cálculo de los índices elementales, indicando las ventajas e inconvenientes que la literatura sobre el tema ha
identificado en cada caso. En el punto tercero se analizan comparativamente las
fórmulas que la Comunidad Europea permite a la hora de elaborar los índices
elementales necesarios para obtener el Índice de Precios de Consumo Armonizado
(IPCA), analizando, mediante un ejemplo numérico, su congruencia con la Teoría
del Consumidor. La falta de consistencia de las fórmulas analizadas con las hipótesis de trabajo nos lleva a plantear en el epígrafe cuarto una nueva expresión más
acorde con el comportamiento de los consumidores. En el epígrafe quinto se reseñan las principales conclusiones obtenidas.
2. LA FÓRMULA DE CÁLCULO DEL ÍNDICE ELEMENTAL PARA ELABORAR
UN IPC
El IPC es un indicador estadístico cuyo objetivo es medir la inflación. Para ello,
en su cálculo se tienen en cuenta los precios y cantidades de los bienes y servicios
consumidos por una determinada población. Dado el volumen de operaciones de
consumo que realizan las familias no es posible calcular el verdadero cambio en
precios y lo que se hace es obtener una estimación del mismo. Para ello, el gasto
realizado se subdivide sucesivamente en grupos buscando cada vez un mayor nivel
de homogeneidad dentro de cada subdivisión, hasta llegar a los agregados elementales, que conforman la unidad más pequeña sobre la cual se va a calcular la
inflación. Desde el punto de vista de la información disponible, el agregado elemental se caracteriza y define como el nivel de agregación para el que se dispone
de precios y ponderaciones, pero por debajo de cuyo nivel sólo es posible trabajar
con precios. En este objetivo, uno de los primeros pasos consiste en determinar
qué precios son los que van a medir la inflación en cada uno de los agregados
elementales. Las dos formas más habituales para representarlos son, bien seleccionando un artículo representativo del mismo −diseño producto−, bien realizando
una muestra aleatoria entre los productos que contiene dicho agregado −diseño
muestral−. Si se toma la primera opción, el primer paso consiste en obtener un
conjunto de precios de un mismo producto tomados en distintos establecimientos.
Si se toma la segunda opción, también se necesita un conjunto de precios, pero
éstos, además de obtenerse en distintos establecimientos, pueden hacer referencia
a distintos productos. En el caso español se define el producto como el elemento
para el cual se van a recoger precios a lo largo del tiempo. Por tanto, los productos
426
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
del agregado elemental sólo se diferencian en ciertas características (marca,
tamaño, etc...).
Las propiedades que presentan los datos basados en un diseño producto y los
de un diseño muestral son claramente distintos, sobre todo en términos de sustituibilidad, homogeneidad y variabilidad de los datos con los que se elaborará el índice
del agregado elemental. Sin embargo, los dos primeros términos son fundamentales a la hora de definir conceptualmente el agregado elemental y, el tercero, la
dispersión, es el elemento clave que diferencia los resultados que se obtienen a
nivel numérico al utilizar una u otra fórmula para sintetizar el cambio en el precio del
agregado elemental.
La OIT (2003a) define el agregado elemental como el conjunto de gastos correspondientes a un conjunto pequeño y relativamente homogéneo de productos. Para la
OIT (2003b), el agregado elemental es el conjunto menor y relativamente homogéneo
de bienes o servicios de usos semejantes (sustituibilidad) dentro del cual no se dispone
de pesos. Realmente, el cumplimiento de la propiedad de sustituibilidad exige que el
agregado elemental sea muy homogéneo y normalmente se define a un nivel de
desagregación superior a la subclase de la clasificación COICOP (Classification Of
Individual COnsumption by Purpuse). Por ejemplo, en el IPC español una subclase de
la COICOP como la 09111 formada por "equipos de imagen y sonido", se subdivide en
varios agregados elementales (video, DVD, cadenas musicales, etc.). Silver y Heravi
(2003) aportan evidencia a favor de la existencia de una gran dispersión en los precios
dentro de los agregados elementales, debido a la gran variedad de productos, marcas,
características y calidades.
En el caso de trabajar con agregados elementales heterogéneos, Moulton
(1993) indica que una característica razonable que debe cumplir el índice elemental
es que debiera medir la inflación correctamente cuando el conjunto de productos
del agregado fueran casi homogéneos, entendiendo por casi homogéneo cuando
los productos de todos los precios tuviesen una tendencia común. Esta hipótesis es
más necesaria si se tiene en cuenta el trabajo de Tellis (1988), en el cual se argumenta, desde el punto de vista teórico, y se encuentra evidencia, desde el punto de
vista empírico, a favor de que la elasticidad precio de la demanda para marcas y
tipos de establecimientos son mucho mayores que para conjuntos de bienes o
servicios más agregados, incluso con valores claramente superiores a la unidad.
Sin embargo, la heterogeneidad puede provocar tales distorsiones en el cálculo
del índice del agregado elemental que, como señala OIT (2004), lo ideal sería que
para cada agregado elemental se hiciera una estimación del grado potencial de
variabilidad y de sustitución de los puntos de venta y, en consecuencia, teniendo en
cuenta dichos factores, se decida entonces como se calcularía el índice del agregado.
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
427
Además de todo lo dicho, existe una propiedad que es fundamental en cualquier
IPC, la representatividad. El IPC final debe ser representativo de los hábitos de
consumo de la población. Si se realiza un muestreo aleatorio dentro del estrato
puede suceder que los productos seleccionados no sean representativos de la
población en estudio. Por ejemplo, partamos del agregado elemental del IPC
español definido como televisores. La cuestión es, ¿tiene sentido seleccionar como
artículo la televisión marca X de 42 pulgadas con pantalla plana TFT y con decodificador digital? Es evidente que los cambios en el precio de este producto debiera
tener una influencia mínima en el IPC español puesto que este producto es muy
poco representativo de los hábitos de consumo de los productos que incluye el
agregado elemental.
El diseño producto resuelve el problema de la representatividad, de la sustituibilidad y de la heterogeneidad. El método consiste en buscar los productos más
representativos de los hábitos de consumo. Esto reduce el número de productos
que se muestrean, con lo cual se gana en homogeneidad. Además, si se identifica
el índice del agregado elemental con el índice producto, el nivel de sustituibilidad
será muy elevado. Este es el criterio que utiliza el Instituto Nacional de Estadística
para calcular el IPC español. En concreto se seleccionan 484 artículos para los
cuales se elabora su descripción o especificación completa con el fin de facilitar su
identificación. La elaboración de estas especificaciones permite la comparación a lo
largo del tiempo de artículos iguales o de calidad equivalente, con el fin de medir
cambios puros en los precios no contaminados por cambios en la calidad. Entre las
especificaciones se encuentran la unidad de medida, la clase de envasado, la talla,
la composición, la forma, la dimensión, la marca y el modelo. El agregado elemental
es el artículo provincia. El hecho de que el ámbito territorial sea tan amplio como la
provincia afecta a la sustituibilidad reduciéndola pero, sin embargo, es compatible
con el concepto de casi homogeneidad de Moulton definido anteriormente. Para el
caso español, el INE no establece una especificación o descomposición mínima
para cada agregado elemental, sino que existen tantas especificaciones como
bienes o servicios componentes de cada agregado elemental.
El método que utiliza el INE es el que garantiza mayor representatividad de los
hábitos de consumo de la población, mayor nivel de sustituibilidad entre los precios
observados y completa homogeneidad de los productos que componen los datos a
nivel del agregado elemental. Además, es de esperar que la dispersión de los datos
en el agregado elemental sea más pequeña. Es evidente que en este caso se está
haciendo el supuesto de que todos los artículos que componen el agregado elemental evolucionan en términos de precios de forma similar a como lo hace el
artículo que los representa (se vuelve nuevamente al concepto de Moulton (1993)
de casi homogeneidad). Ahora bien, el incumplimiento de este supuesto es muy
poco relevante si el artículo seleccionado es realmente representativo del hábito de
428
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
consumo de la población. Es decir, si un agregado elemental fuesen los televisores
y el 90% de la población comprase un modelo determinado de televisor de una
determinada marca, el nivel de representatividad de este producto sería tan elevado que los cambios en precios del agregado elemental tendrían que ser fijados
fundamentalmente por el cambio en el precio de este producto, teniendo muy poco
peso el cambio en los precios del resto de productos que componen el agregado
elemental, tuviesen estos una tendencia común o no con el cambio en precios del
producto representativo.
En el caso de estratos homogéneos, el cumplimiento de la Teoría del Consumidor implicaría que los precios más altos tienen una menor demanda que los precios
más bajos y, además, el comportamiento de los consumidores es distinto si los
precios que cambian son los más altos o los más bajos dentro del conjunto de
precios que presenta el bien (servicio) o los bienes (servicios) que se utilizan para
obtener el cambio en precios del estrato. Esto implica que la forma de medir los
cambios debe permitir obtener un resultado distinto en función de la posición que
mantenga dentro de la distribución de precios el artículo que cambia su precio.
El primer problema, a la hora de definir una fórmula ideal para el índice elemental, es que, a este nivel, solo se dispone de los precios, con lo cual no es
posible calcular la importancia de cada uno de ellos dentro del total del agregado.
Esto obliga a trabajar con fórmulas no ponderadas (El INE mitiga en gran medida
este problema mediante un plan de muestreo con autoponderación). Siguiendo a
OIT (2003b), las más utilizadas son la de Dutot (ID), Carli (IC), Jevons (IJ), JevonsCoggeshall (IJC) y Fisher (IF). Para el cálculo de la inflación dentro del agregado
elemental i en el instante 1 con respecto al instante 0, se utilizan las expresiones [1]
a [5], siendo kpit el precio k-ésimo perteneciente al agregado elemental i en el
instante t={1,0} y Ki el número de precios observados en dicho agregado.
ID =
ki
1
Ki
∑
1
Ki
∑
k
ki
k
1
IC =
Ki
k =1
ki
k
p 1i
[1]
pi0
k =1
∑
k =1
p1i
k
p i0
[2]
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
IJ =
ki
K1
∏
k =1
IJC
1
=
 K i
Ki
∑
k =1
k
k
p1i
pi0
p1i 

k 0
pi 
k
IF = IC * IJC
429
[3]
−1
[4]
[5]
Como se puede deducir de estas expresiones, la fórmula de Dutot es el cociente
entre las medias aritméticas de los precios en el instante 1 y 0 respectivamente,
mientras que en el resto de los casos los promedios se calculan con respecto a
índices y no a precios. De esta manera, la expresión de Carli no es más que la
media aritmética de los índices de precios simples, la de Jevons coincide con la
media geométrica de los mismos, la de Jevons-Coggeshall con la armónica y la de
Fisher con la media geométrica de la de Carli y la de Jevons-Coggeshall.
Desde el punto de vista axiomático, la fórmula que cumple más propiedades deseables es la de Jevons, seguida por la de Dutot, la de Fisher, la de Carli y la de
Jevons-Coggeshall. Estas dos últimas incumplen, entre otras, la propiedad de
reversión temporal. Esta propiedad se puede enunciar diciendo que, si los precios
en los instantes de tiempo 0 y t son iguales, para cualquier instante temporal t'
comprendido entre ellos, se debe cumplir que el índice entre t' y 0 multiplicado por
el índice entre t y t' debe ser igual a la unidad. La propiedad de reversión temporal
es especialmente importante si el IPC se va a calcular de forma encadenada. La
fórmula de Dutot incumple únicamente la propiedad de proporcionalidad. Para que
una fórmula cumpla esta propiedad el valor obtenido para un conjunto de precios
en dos instantes de tiempo debiera ser el mismo que el que se obtiene cuando
cada uno de estos precios se multiplica por una constante positiva y distinta para
cada precio pero igual para ambos períodos de tiempo. Esta propiedad tiene una
importancia que depende directamente de la forma en cómo se seleccionan los
artículos que representan al agregado elemental. Si el agregado elemental se
representa por un único artículo, existe una única unidad de medida y, por tanto,
una homogeneidad total. En este caso, tienen sentido las medias de los precios en
cada instante de tiempo y la fórmula de Dutot es tan válida como la de Jevons. Por
el contrario, si los precios con los que se calcula el índice elemental se corresponden con productos distintos, incluso con unidades de medida distintas, la fórmula
de Dutot empieza a no ser válida. En consecuencia, la validez o no de la fórmula de
Dutot depende directamente del grado de homogeneidad de los productos que
430
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
contiene el agregado elemental, o lo que es lo mismo, de si las medias aritméticas
de precios tienen o no sentido.
Circunscribiéndose a las fórmulas más utilizadas, en concreto, la de Dutot, lJevons y Carli, las diferencias numéricas entre ellas se deben a las distintas ponderaciones que cada una de ellas utiliza a la hora de resumir los datos. En el índice de
Carli, todos los índices simples tienen la misma ponderación, cuyo valor es 1/Ki,
siendo Ki el número de índices que se promedian. Por tanto, la existencia de valores extremos en los ratios de precios provoca un desplazamiento sensible en el IC
hacia dichos valores extremos.
Para analizar la ponderación en la fórmula de Dutot, partiendo de la expresión
[1], siguiendo los pasos que se muestran en [6], se concluye que cada ratio de
precios está ponderado por la importancia del precio en el período de referencia
con respecto a la suma de todos los precios para dicho período.
ID =
ki
1
Ki
∑
k
1
Ki
∑
k
k =1
ki
k =1
ki
p1i
=
pi0
∑
k =1
k
p1i x
ki
∑
k
k
k
pi0
k =1
pi0
pi0


 k pi0
x
=
 ki
k =1 
k 0
pi

 k=1
ki
∑
∑


k 1
pi 
k 0
pi 


[6]
Por tanto, en esta formulación, cuanto más alto sea el precio en el período de
referencia del índice, su ratio de precios tiene un efecto mayor en el índice final.
En la fórmula de Jevons, todos los ratios tienen la misma ponderación, pero esta
no es aditiva sino potencial y multiplicativa, lo cual dificulta la comparación con las
otras dos fórmulas.
IJ =
Ki
∏
k =1
1
 k p1i  ki


 k p0 
i 

[7]
Lo que esta claro es que para que los tres resultados coincidan es necesario
que todos los ratios de precios coincidan. Esto indica que, de alguna manera, la
dispersión en los ratios de precios, y en definitiva, la dispersión de los propios
precios, explican las diferencias en los resultados de las tres fórmulas. Carruthers,
Sellwood y Ward (1980) demuestran que aproximadamente se cumple [8].
1
 1

IJ ≈ ID * 1 + σ 2eu − σ 2er 
 2 i 2 i
[8]
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
σ 2e0 y σ
i
2
e 1i
k
son las varianzas de las variables
das en [9], siendo
pit
ei0
y
k
ei1
431
respectivamente, defini-
el precio medio aritmético en el estrato elemental i en el
instante t={0,1}.
k
eit
=
k
−t
pit − pi
−t
[9]
pi
De forma similar a [8], Dalen (1992) y Diewert (1995) obtienen la expresión [10]
que relaciona el índice de Jevons con el de Carli,
 1

IJ ≈ IC x 1− x σ 2si 
2


siendo
σ s2i la varianza de la variable k si
k
k
k
Si
=
definida como [11].
p 1i 1
−
p i0 k i
1
ki
[10
ki
∑
p1i
k 0
pi
k =1
k 1
pi
k 0
pi
k =1
ki
k
[11]
∑
A partir de la expresión [8] se concluye que los índices de Jevons y Dutot tienden a
ser iguales cuando las dispersiones de los precios medios coinciden para los dos
períodos de tiempo que se comparan. Sobre la base de la expresión [10] es obvio
que los índices de Jevons y Carli también se igualan cuando la dispersión de los
ratios de precios es igual a cero, es decir, cuando todos los precios presentan un
mismo cambio relativo. En caso contrario, el índice de Jevons siempre es inferior al
obtenido con Carli. Sin embargo, el índice de Dutot se puede situar, según el caso,
por encima o por debajo del de Jevons, representando el primero unas preferencias
del consumidor con cantidades proporcionales, tipo Leontief, y el segundo con
gastos proporcionales, tipo Cobb-Douglas.
3. LAS FÓRMULAS ELEMENTALES EN EL ÍNDICE DE PRECIOS DE CONSUMO
ARMONIZADO
La Comunidad Europea permite a los países miembros, para elaborar sus Índices de Precios al Consumo Armonizados, elegir entre la fórmula de Dutot y la de
Jevons, para calcular los índices de los agregados elementales. Incluso, bajo
432
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
ciertas circunstancias, autoriza el uso de la fórmula de Carli [Commission of the
European Communities (2000), pag. 52)].
Como una primera aproximación a las diferencias que se pueden obtener al hacer uso de una u otra fórmula, supóngase que para un determinado agregado
elemental se recogen tres precios, correspondientes cada uno de ellos a un establecimiento distinto, siendo los tres productos perfectamente sustituibles, por tanto
homogéneos en su finalidad y representativos del agregado elemental. En el instante base, estos precios son 40, 50 y 60 euros. En el gráfico 1 se representan los
valores de los índices elementales de Dutot, Carli y Jevons para dicho agregado en
6 situaciones distintas. Tres se corresponden con un incremento del 20%. En un
caso, en el precio más bajo, en otro en el más alto y el tercero en el precio intermedio. Las otras tres situaciones se refieren a una reducción, también del 20%, en
cada uno de estos precios. Como es lógico, las situaciones de incremento de
precios se reflejan en la parte alta del gráfico y las de reducción en la parte baja.
El aspecto que más destaca en este gráfico en la gran variabilidad del índice de
Dutot. Es necesario destacar que si el precio que sube un 20% es el más alto, la
inflación medida con esta fórmula es un 51% más alta que si el precio que sube es
el más bajo. En el caso de que lo que se produzca es una reducción de precios, el
comportamiento es simétrico con respecto al valor 1. Este resultado se justifica
perfectamente en base a las ponderaciones implícitas que usa la fórmula de Dutot.
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
433
Gráfico 1
EFECTO DE UN INCREMENTO/REDUCCIÓN DEL 20 % EN UN ÚNICO PRECIO
1,1000
1,0800
Valores de los índices
1,0600
1,0800
1,0667
1,0667
1,0627
1,0533
1,0400
1,0200
1,0000
0,9800
0,9600
0,9400
0,9467
0,9333
0,9333
0,9200
0,9283
0,9200
0,9000
Carli
Dutot
Jevons
Incremento en el precio más bajo
Incremento en el precio más alto
Incremento en el precio central
Reducción en el precio más bajo
Reducciópn en el precio más alto
Reducción en el precio central
El segundo elemento que destaca en el gráfico 1 es la asimetría de la fórmula
de Jevons ante un incremento o disminución de los precios. Es decir, una subida
del 20% para uno de los precios en el instante 0, supone una inflación del 6,3%,
mientras que si es una bajada, ésta se cifra en un 7,2%. La diferencia de inflación
en términos relativos alcanza casi el 14,3%.
Por último, el tercer elemento a destacar en el gráfico 1 es la distancia que hay
entre el índice de Carli y el de Jevons. Para los datos del ejemplo con el que se
está trabajando, si los precios suben un 20%, la inflación medida con el índice de
Carli es un 6,3% más alta que la calculada con la fórmula de Jevons. Si los precios
bajan un 20%, el índice de Carli cifra la inflación en −6,7%, mientas que con la
fórmula de Jevons la inflación medida es del −7,2%. Es decir, la diferencia en la
medición de la inflación es del 7,5%.
434
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
La razón de estas diferencias se encuentra en las fórmulas [8] y [10], expresiones que pueden reescribirse como [12] y [13] respectivamente.


2 1 
 1 σ 2p0
σ
1
p
i
i
IJ ≈ I D * 1+
−

2
2  1 2 
 2 p0 
p





 i 
 i  
[12]
 1 σr2 
IJ ≈ I C x 1− x i2 
 2 r 
i 

[13]
()
Denotando por
σ p2t
i
y
pit
a la varianza y la media aritmética de los precios en el
agregado elemental i en el instante t, y por
σ r2
i
y
ri
a la varianza y la media arit-
mética del ratio de precios.
Como se puede deducir de [12], las diferencias entre los valores obtenidos con
las fórmulas de Jevons y Dutot se deben a los cambios en el cuadrado de la dispersión relativa de los precios entre los dos instantes de tiempo que se comparan. Si
esta dispersión crece del instante cero con respecto al instante uno, el índice
elemental de Jevons será inferior al de Dutot, en caso contrario será superior. OIT
(2003b) afirma que en condiciones normales la variabilidad no cambia, con lo cual
ambos índices tienden a arrojar la misma cifra. A pesar de ello, señalan dos situaciones en las cuales se pueden producir diferencias significativas entre ambos
índices: cuando se producen cambios fuertes en la inflación global y cuando se
dispone de pocos precios dentro del estrato elemental i. Estas dos situaciones se
justifican por los cambios que se pueden producir en los datos muestrales.
Volviendo a las expresiones [12] y [13], se deduce directamente que el índice de
Dutot no es invariante ante desplazamientos aditivos de los precios y sí lo es si el
desplazamiento es multiplicativo, lo cual sería equivalente a un desplazamiento
aditivo de los índices, lo que a su vez implica que las diferencias absolutas entre el
índice de Carli y Dutot permanecen constantes. Por el contrario, si el desplazamiento en los índices es multiplicativo, lo que permanece constante es la diferencia
entre Carli y Jevons.
El análisis de los resultados realizado hasta ahora tiene naturaleza estadística,
en el sentido de que las diferencias entre las tres fórmulas se traducen en cambios
en la dispersión relativa de los precios o de sus cambios. La cuestión que se plantea ahora es si los cambios en la dispersión pueden venir motivados por distintos
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
435
comportamientos del consumidor frente a la forma de los cambios de cada uno de
los índices que se promedian y si la fórmula con la que se calcula el índice del
agregado elemental es capaz de modificar su resultado, tanto en la cifra como en la
dirección, con el objeto de reflejar dichos comportamientos del consumidor. En este
sentido, y bajo ciertos supuestos, demostraremos que los cambios en la variabilidad
no son independientes del comportamiento del consumidor y los tres índices analizados presentan unos resultados ante cambios en los precios que pueden no
ajustarse totalmente al comportamiento teórico esperado por parte del consumidor.
Para ver algunas de estas incongruencias volvemos al ejemplo de los tres precios que se ha estudiado anteriormente. Esto es, 40, 50 y 60 unidades monetarias
en los establecimientos 1, 2 y 3 respectivamente.
Comencemos por el índice de Jevons. Supongamos que el precio más alto se
reduce un 10%. En esta situación los nuevos precios son 40, 50 y 54 unidades
monetarias en los establecimientos 1,2 y 3 respectivamente, lo cual conlleva una
reducción en la dispersión relativa de los precios desde el instante inicial al final.
Comparando los precios en ambos instantes, desde el punto de vista de la Teoría
del Consumidor, no es previsible un cambio de demanda en los establecimientos.
Es decir, los consumidores que compraban en el instante 0 en los establecimientos
1 y 2, lo seguirán haciendo en t=1, ya que sus precios no han cambiado y, además,
el precio en el tercer establecimiento aún es superior al de cualquier otro. Por otra
parte, los que ya consumían en el establecimiento más caro lo seguirán haciendo,
aunque a un precio inferior. En esta situación, IJ=0,9655. Supongamos ahora que
es el precio más bajo el que se reduce un 10%. El valor del índice de Jevons no se
modifica con respecto al caso anterior, sin embargo, la dispersión de los precios se
ha incrementado. En términos de demanda esta segunda situación es completamente distinta a la primera. Los nuevos precios son 36, 50 y 60 unidades monetarias en los establecimientos 1, 2 y 3 respectivamente. Ahora, todos los consumidores que compraban en el establecimiento 1 lo seguirán haciendo, puesto que en el
instante 1 el precio es más barato que en 0. Dado que partimos de precios de
bienes homogéneos es de esperar que los precios más altos presenten menor
demanda, en cuyo caso la reducción en el precio del producto más barato afecta a
muchos más consumidores que en el caso anterior. Además, existe la posibilidad
de que consumidores que consumían antes en los establecimientos 2 y 3 se pasen
a consumir en el establecimiento 1, siempre y cuando el cambio en los precios
compense otras características del producto (cercanía, fidelidad, etc...) y el consumidor esté informado de todos los precios. Esto significa que la reducción de precios debiera ser más fuerte para el caso en el que se reduce el precio más barato
que para el caso en el cual la reducción se produce en la observación del precio
más caro. Dado que el índice de Jevons es el mismo en los dos casos, claramente
esta fórmula no es capaz de reflejar las distintas situaciones que se espera que
436
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
presente la demanda del consumidor. La misma crítica es aplicable a IC, puesto que
para su cálculo solo se tienen en cuenta los índices y no los precios, lo que conlleva tratar de forma equivalente el cambio en cualquiera de los precios, no discriminando el hecho de que dependiendo de que el precio que cambio es más o menos
grande puede producir distintas reacciones en los consumidores. El ID es incluso
más incongruente, al ponderar el ratio de precios directamente por el precio en el
instante base, lo que implica que si el precio más alto es el que sube su ponderación es mucho más elevada. Por el contrario, si el precio más bajo se reduce, este
adquiere menor peso relativo, cuando lo esperado es que incremente su demanda
y, por tanto, su peso. Esto nos llevaría a afirmar que, si el comportamiento del
consumidor se ajustara a las hipótesis planteadas, el uso de la fórmula de Dutot no
debería recomendarse como alternativa para obtener el índice del agregado elemental. En cualquier caso, el razonamiento realizado es completamente teórico y
no considera otros factores que el consumidor analiza antes de modificar sus
hábitos de consumo, tales como los costes de desplazamiento, comodidad, información incompleta, etc...
Por último, las diferencias numéricas que arrojan las distintas fórmulas debieran
justificar la necesidad de seguir profundizando en el análisis de sus propiedades,
sobre todo debido a que la libertad que da Eurostat a los países para seleccionar
una u otra expresión matemática puede estar obstaculizando el objetivo de armonización del propio Índice de Precios de Consumo Armonizado.
4. UNA FÓRMULA ALTERNATIVA PARA EL CÁLCULO DEL IPE
En este apartado se presenta una fórmula para el cálculo del IPE que es válida
desde el punto de vista axiomático y que es congruente con las hipótesis que se
han planteado para el comportamiento del consumidor. Si se acepta, además, que
los establecimientos con los precios más bajos deben presentar una mayor demanda, ello nos conduce a que la fórmula de cálculo del índice elemental, bajo los
supuestos discutidos en las páginas anteriores, debe estar ponderada de forma
inversa por los precios de partida. Una posibilidad es la que se obtiene al definir k fit
como [14].
ki
k
Y la ponderación como [15].
f it =
∑
k =1
k
k
pit
pit
[14]
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
k
w it =
k
ki
∑
f it
k
f
437
[15]
t
i
k =1
Estas ponderaciones son inversamente proporcionales al tamaño de los precios
en el instante temporal t.
La fórmula del índice elemental debe incluir estas ponderaciones. Una posible
fórmula es [16].
 ki
IA (t / 0 ) = 
 k =1

∑
k
w i0
−1
 k pit  
x k 0  
 pi  
−1
[16]
Esta fórmula cumple la propiedad de reversión temporal y, además, discrimina
por el hecho de que los precios que cambian sean los más altos o los más bajos. El
cumplimiento de esta propiedad en el índice elemental es considerada por Fisher
(1922) como fundamental, hasta el punto de que descarta el uso de la fórmula de
Carli por no cumplirla, diciendo que el uso de la media aritmética de los índices
produce uno de los peores errores en la elaboración de los números índices [Fisher
(1922), páginas 29-30].
La demostración analítica de que IA cumple la propiedad de reversión temporal
es la siguiente. Sean 0, t' y t tres instantes temporales tales que 0< t’ <.t. Denotemos por k pi0 , k pit' y k pit los precios en el agregado elemental i en cada uno de
los instantes de tiempo correspondientes a los establecimientos k={1,2,...,Ki}.
Supongamos que se produce una reversión temporal desde el instante 0 al t, lo
cual implica que k pi0 = k pit para todo k. La fórmula IA cumple la propiedad de
reversión temporal si se verifica [17].
{ }{ } { }
I A (t'/ 0 ) x I A (t / t') = 1
[17]
Sustituyendo [16] en [17] y teniendo en cuenta que los precios en el instante 0
son iguales a los precios en el instante t, la propiedad de reversión temporal se
cumple si se verifica [18].
 KI

K

w i0 x 
 K =1

∑
pi0 

K t' 
pi 
K
−1
 ki
x
 k =1
∑
K
w it'

x 

pit' 

K 0 
pi 
K
−1
=1
[18]
438
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Sustituyendo [14] en [15], se puede escribir la ponderación en un instante de
tiempo genérico t como [19].
k
1
w it =
k
pit
x
ki
∑
k =1
19]
1
k t
pi
Por último, reemplazando [19] en [18] y reordenando adecuadamente los términos se obtiene [20], que demuestra el cumplimiento de la propiedad de reversión
temporal de IA.
 KI


 k =1
∑
K
K
K
1   i 1   I 1   i 1 
x
x
=
k t'  
pi   k =1 k pi0'   k =1 k pit'   k=1 k pi0' 
∑
∑
∑
[20]
Partiendo de esta última expresión, es inmediato demostrar que IA no es más
que el cociente entre la suma de los inversos de los precios en el instante 0 y 1.
KI
IA =
∑
k =1
Ki
∑
k =1
k
1
pi0
1
k 1
pi
[21]
Además, IA cumple las 8 propiedades que OIT (2003b) considera como fundamentales para cualquier fórmula de números índices. Estas son: continuidad,
identidad, monotonía en precios corrientes, monotonía en el período base, proporcionalidad en precios corrientes, proporcionalidad inversa en precios del período
base, valor medio y tratamiento simétrico de establecimientos.
La demostración de estas 8 propiedades es inmediata.
Continuidad: IA debe ser una función continua para cualquier par de conjuntos
de precios correspondientes a los instantes temporales base (0) y actual (1) respectivamente. Dado que los precios son siempre mayores que cero, el IA existe
siempre y es una función continua para cualquier par de conjuntos de precios k pi0
y
k
p1i con k={1,2,...,Ki}.
Identidad: un índice cumple la propiedad de identidad cuando el valor del índice
entre dos instantes de tiempo para los cuales el conjunto de valores de precios es
el mismo es igual a 1. IA cumple la propiedad de identidad, puesto que de [21] es
inmediato demostrar que si, k pi0 = k p1i ∀ k = {1, 2 ...,K i } el valor de IA es igual a 1.
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
439
Comportamiento monótono en los precios actuales: partiendo de unos precios
iniciales para el agregado elemental i, k pi0 , y ante dos posibles situaciones de
crecimiento de los precios en el instante actual 1, denotadas por k p1i, a y, k p1i, b tal
que los precios en la situación a son mayores que en la situación b, la propiedad de
monotonía sobre el instante actual implica que se cumpla que IA(a/0) >IA(b/0). La
demostración de esta propiedad para IA es inmediata si se tiene en cuenta que al
ser k p1i, a > k p1i, b se cumple [22].
k
1
<
p1i,a
k
1
p1i,b
[22]
Teniendo en cuenta [21] y dado que el numerador es el mismo para el caso a y
b, incorporando la información de [22] queda demostrada la propiedad de comportamiento monótono para el instante actual.
Comportamiento monótono sobre el instante base: la propiedad de monotonía
sobre el instante base parte de dos situaciones en el instante base, denotadas por
k 0 ,a
y k pi0,b , tal que los precios en la situación a son mayores que en b. Bajo
pi
estas circunstancias y suponiendo crecimiento entre ambas situaciones con respecto al instante actual 1, el cumplimiento de esta propiedad exige que el
IA(1/a)<IA(1/b). Para demostrar esta propiedad nuevamente se parte de [21]. El denominador de dicha expresión es el mismo para el caso a y b, mientras que el numerador es más pequeño para el caso a que para el b dado que si k pi0,a > k pi0,b
implica que
k
1
<
pi0,a
k
1
, por lo que se cumple que IA(1/a)< IA(1/b).
pi0,b
Proporcionalidad directa sobre el período actual: si se multiplican los precios en
el período actual por una constante positiva, el índice se ve multiplicado por dicha
constante. Matemáticamente esta propiedad se puede escribir como [23], en donde
p ij = 1 pij , 2 pij ,...,ki pij con j={0,1}.
{
}
(
)
(
)
I A pi0 , λ 1i − λI A pi0 , p1i con λ > 0
[23]
La demostración vuelve a ser inmediata a partir de [21] y se desarrolla en [24].
ki
(
)
I A pi0 , λ p1i =
∑
1
k 0
pi
∑
1
λ k p1i
k =1
ki
k =1
ki
=
∑
k =1
ki
1
λ
1
k 0
pi
∑
k =1
1
k 1
pi
ki
=λ
∑
k =1
ki
∑
k =1
k
1
pi0
1
λ k p1i
(
= λ I A pi0 , λ p1i
)
24]
440
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Proporcionalidad inversa sobre el período base: si los precios en el instante base se multiplican por una constante positiva, el índice se multiplica por la inversa de
(
)
dicha constante. Es decir, I A λpi0 , p 1i =
(
1
)
IA pi0 , p1i con λ > 0. Teniendo en
λ
cuenta la demostración de la propiedad anterior, esta propiedad es inmediata de
demostrar.
Valor medio: el índice del estrato elemental i se encuentra entre el valor más
pequeño y más grande de los ratios de precios para cada k. El cumplimiento de
todas las propiedades anteriores implica el cumplimiento de la propiedad del valor
medio [Eichhorn (1978), página 155].
Simetría entre establecimientos: si
k
pi0* y
k
p1i*
k
pi0 y
k
p1i son dos vectores de precios y
son permutaciones respectivas de los dos primeros, el índice para
k
pi0 y k p1i es igual al índice para k pi0* y k p1i* . Partiendo de [21] es inmediato
comprobar el cumplimiento de esta propiedad por parte de IA.
Además de estas propiedades, las cuales no presentan ninguna duda sobre su
necesidad, OIT (2003b) propone otras 4 para los índices elementales para las
cuales indica que no siempre existirá consenso para su exigibilidad presentando,
por tanto, cierta controversia sobre si se debe exigir su cumplimiento o no. Dos de
estas nuevas propiedades ya han sido demostradas para IA al demostrar el cumplimiento de la propiedad que hasta ahora hemos definido como reversión temporal y
que OIT (2003b) divide en dos que denomina reversión en el tiempo, "Time rever-
(
)
sal", que implica, I A pi0 , p1i =
1
y la propiedad de circularidad, "Circularity",
I A pi0 , pi0
(
)
que se enuncia como I A (pi0 , p 1i ) * IA (p1i , p i2 ) = I A (pi0 , p i2 ).
La décimo primera propiedad es una generalización del tratamiento simétrico de
los establecimientos, se cumple cuando el índice del agregado elemental no cambia para cualquier permutación de los precios de p0 y p1, aunque el orden final de
los establecimientos en el primer conjunto de precios sea distinto al orden de dichos
establecimientos en el segundo conjunto de precios. Nuevamente, partiendo de [21]
es inmediato demostrar que IA cumple esta propiedad.
La última propiedad que enuncia OIT(2003b) es la de proporcionalidad, "commensurability". Para que IA cumpla esta propiedad debiera cumplir [25] para cualquier conjunto {λ i }i={1,2,...k } con todos los valores positivos.
i
(
)
I A λ 1 1 pi0 , λ 2 2 pi0 ,..., λ k1 k1 pi0 , λ 1 1 p1i , λ 2 2 p1i ,..., λ k1 k1 p1i =
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
IA
(1 pi0 ,
2
pi0 ,..., ki pi0 ,1 p1i , 2 p1i ,..., ki p1i
)
441
[25]
IA solo cumple esta propiedad cuado λi es igual a una constante para todo i. La
propiedad de proporcionalidad está directamente relacionada con la homogeneidad
de los productos que se promedian. Si estos son homogéneos el incumplimiento por
parte de una fórmula de esta propiedad no presenta ningún problema, pero según se
incremente el grado de heterogeneidad la propiedad se hace más necesaria.
Resumiendo los visto hasta ahora y utilizando los resultados de OIT (2003b),
desde el punto de vista axiomático la fórmula de Jevons cumple todas las propiedades, la de Dutot y Carli incumplen la de proporcionalidad, y esta última tampoco
cumple la propiedad de generalización del tratamiento simétrico de los establecimientos, la de reversión temporal y la de circularidad. Además, las tres fórmulas,
Jevons, Dutot y Carli, son incongruentes con el comportamiento del consumidor tal
y como se define en este trabajo. Por último, IA incumple únicamente la propiedad
de proporcionalidad y es congruente con las hipótesis fijadas sobre la base de la
Teoría del Consumidor.
Para analizar la congruencia de IA con el comportamiento del consumidor se
vuelven a utilizar los datos de precios de los tres establecimientos y se rehace el
gráfico 1, incorporando el nuevo índice. El resultado se muestra en el gráfico 2.
Como se puede observar, y era de esperar, el comportamiento de IA es opuesto al
de Dutot, puesto que en la nueva fórmula cada cambio pondera de forma inversa a
la importancia del precio en el instante 0, mientras que en ID la ponderación es
directa. Esto significa que si, por ejemplo, los precios suben, su repercusión sobre
el valor del índice del agregado elemental i será mayor cuando el que sube es el
precio más bajo. En este caso, todos los consumidores que compraban a este
precio, que, por otra parte, dado que era el precio más bajo se supone que presentaba una mayor demanda, se ven obligados a pagar un precio más alto. Es
decir, cuando el que sube es el precio más bajo esto afecta más a los consumidores y, por tanto, el cambio debe trasladarse con más fuerza sobre el índice del
agregado elemental. Por el contrario, cuando el precio que sube es el más alto,
habrá consumidores que no están dispuestos a pagar este incremento y se pasarán
a comprar en un establecimiento con precio más bajo. Esto implica que solo los que
ya pagaban un precio alto se ven afectados por el incremento. Además de que el
establecimiento más caro debe presentar una menor demanda, para algunos
consumidores el precio se reduce, ya que cambian de establecimiento pasando a
comprar en uno con precio inferior.
En definitiva, si el precio que se incrementa es el más alto, su efecto sobre el
índice del agregado elemental debe de ser inferior al caso de que lo que se incremente sea el precio más barato. Este efecto, como ya se ha dicho, no lo tiene en
442
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
cuenta ni la fórmula de Jevons ni la de Dutot, mientras que IA sí lo recoge, como a
continuación se demuestra. Con los datos del ejemplo, la inflación en el agregado
elemental i, ante un incremento del 20%, pasa del 4,7% al 7,2% dependiendo de si
el precio que sube es el más alto o el más bajo respectivamente.
Ante un proceso de reducción de precios el índice IA vuelve a manifestarse en
congruencia con la teoría del consumidor. Tal y como se observa en la parte inferior
del gráfico 2, si lo que se reduce es el precio más alto, esto afectará a menos
consumidores que son los que pagaban este precio. En principio, los consumidores
de los establecimientos 1 y 2 seguirán comprando en sus establecimientos habituales (a no ser que la reducción de precios en el establecimiento 3 sea tan fuerte
que deje de ser el más caro). Ahora bien, si la reducción se produce en el establecimiento con el precio más bajo, todos los consumidores de este establecimiento se
beneficiaran de esta reducción y, además, a los consumidores en otros establecimientos más caros ahora les puede resultar rentable pasar a consumir en un punto
de venta más barato.
Gráfico 2
EFECTO DE UN INCREMENTO/REDUCCIÓN DEL 20% EN UN ÚNICO
PRECIO
1,1000
Valores de los índices
1,0800
1,0600
1,0667
1,0800
1,0667
1,0533
1,0627
1,072
1,057
1,047
0,9333
0,9467
0,9333
0,9200
0,9283
0,937
0,925
1,0400
1,0200
1,0000
0,9800
0,9600
0,9400
0,9200
0,908
0,9000
Carli
Dutot
Jevons
IA
Incremento en el precio más bajo
Incremento en el precio más alto
Incremento en el precio central
Reducción en el precio más bajo
Reducciópn en el precio más alto
Reducción en el precio central
INCONSISTENCIA ECONÓMICA DE LAS FÓRMULAS DE CARLI, DUTOT Y JEVONS PARA CALCULAR EL ÍNDICE …
443
Siguiendo este criterio, el índice del agregado elemental debe recoger una caída más fuerte en los precios cuando el precio que baja es el más bajo. En los datos
del ejemplo, el IA es igual a 0,908, cuando lo que se produce es una reducción en el
precio más bajo, frente al valor 0,937, cuando lo que se reduce es el precio más
alto. En términos de inflación y para los datos del ejemplo, la diferencia en la reducción de precios en el agregado elemental i es un 47,6% más fuerte cuando la
reducción se produce en el precio más bajo con respecto a la misma reducción en
el precio más alto.
Por tanto, desde el punto de vista axiomático la decisión sobre la fórmula más
idónea está entre IJ e IA. Si la representación del agregado elemental se hace de
forma homogénea, como por ejemplo hace el INE al utilizar el agregado-producto,
la fórmula idónea es IA ya que cumple con todas las propiedades. Sin embargo, la
fórmula de Jevons jamás podrá tener en cuenta la respuesta de los consumidores
al distinto comportamiento que presentan debido a que los cambios en precios se
produzcan por la parte superior, medio o inferior de su distribución. Además, si se
exige el cumplimiento de la propiedad de proporcionalidad, sería necesario estudiar
las reducciones que se pueden producir en la representabilidad, en concreto,
debido al distinto peso (desconocido) de cada uno de los productos que se utilizan.
5. CONCLUSIONES
En el trabajo se demuestra la inconsistencia que presentan las fórmulas habitualmente utilizadas para el cálculo de los índices en los agregados elementales de
un IPC bajo ciertos supuestos acerca del comportamiento del consumidor. En
concreto, se analizan axiomáticamente las fórmulas de Dutot, Carli y Jevons por ser
las que la Comunidad Europea permite a la hora de elaborar el IPCA, llegando a la
conclusión de que ninguna de ellas reproduce al comportamiento teórico de los
consumidores ante un cambio en los precios y entre ellas arrojan resultados numéricos distintos que dificultan el objetivo de armonización que se persigue con el
Índice de Precios al Consumo Armonizado.
A partir de estos resultados y bajo las hipótesis: a) los precios medidos en el
agregado elemental se corresponden con productos homogéneos; b) los precios
más bajos acaparan más demanda; c) los cambios de demanda se producen con
signo positivo ante reducción en los precios y de forma negativa ante un incremento, se define una nueva fórmula para el índice del agregado elemental como la
media armónica de los ratios de precios ponderada de forma inversa por el tamaño
del precio en el instante de referencia. Esta nueva fórmula se ajusta al comportamiento de las hipótesis planteadas sobre la Teoría del Consumidor y, además,
cumple todas las propiedades generalmente aceptadas para los índices elementa-
444
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
les, incluyendo la de reversión temporal, propiedad ésta de importancia capital
cuando la estructura del índice es de tipo encadenado, como es el caso del IPCA
español.
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446
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
ECONOMIC INCONSISTENCY OF THE FORMULAE OF CARLI,
DUTOT AND JEVONS TO CALCULATE THE ELEMENTARY INDEX
OF THE CPI WITH HOMOGENEOUS ITEMS
ABSTRACT
The formulas more used to calculate the elementary index number
of the CPI are the formulas of Carli, of Dutot and of Jevons. Under the
supposition of homogeneity in the elementary level of the index, in this
work it is demonstrated that the three formulas are incongruous with a
demand function characterized to present the second derived positive.
For this case, in the work we will define a new formula to calculate the
elementary index of a CPI that is consistent with the habitual form of a
demand function. This formula is defined as the harmonic average of
the item price relatives, pondered in an inverse way for the level of
prices in the instant base.
Keywords: Index Numbers, CPI, Elementary Index Number Formula.
AMS classifications: 91B82, 91B24, 62P20