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MATERIALES POLIMÉRICOS Y COMPUESTOS.
Tema 11.- DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE LOS COMPUESTOS DE FIBRA LARGA Y DE LOS
LAMINADOS
1.- Introducción.
2.- Propiedades mecánicas de los compuestos de fibra larga. Análisis micromecánico de la lámina.
2.1.- Introducción.
2.2.- Fracciones volumétrica y másica, densidad y contenido de huecos.
2.3.- Evaluación de los cuatro módulos elásticos.
2.4.- Resistencia a la rotura (final) de una lámina unidireccional
2.4.1.- Introducción
2.4.2.- Resistencia a tracción longitudinal
2.4.3.- Resistencia a compresión longitudinal
2.4.4.- Resistencia a tracción transversal
2.4.5.- Resistencia a tracción transversal
2.4.6.- Resistencia a cortadura en el plano
2.5.- Coeficientes de expansión térmica
2.6.- Coeficientes de expansión por la humedad
3.- Análisis macromecánico de la lámina
3.1.- Introducción.
3.2.- Relaciones entre esfuerzos y deformaciones. Ley de Hooke. Propiedades elásticas de una lámina
unidireccional.
3.3.- Ley de Hooke para una lámina unidireccional bidimensional
3.3.1.- Suposición de estado tensional plano
3.3.2.- Reducción de la ley e Hooke de tres a dos dimensiones
3.3.3.- Relación de las matrices de flexibilidad y rigidez con las constantes ingenieriles de una
lámina
3.3.4.- Ley de Hooke para una lámina de dos dimensiones en ángulo
3.3.5.- Constantes ingenieriles de una lámina en ángulo
3.4.- Tensiones y deformaciones higrotérmicas en una lámina en ángulo
3.4.1.- Introducción
3.4.2.- Relaciones tensión-deformación higrotérmicas en una lámina unidireccional
3.4.3.- Relaciones tensión-deformación higrotérmicas en una lámina en ángulo
3.5.- Forma invariante de las matrices de flexibilidad y rigidez de una lámina en ángulo
3.6.- Criterios de fallo de una lámina en ángulo
3.6.1.- Introducción
3.6.2.- Criterio de fallo de la tensión máxima
3.6.3.- Relación de resistencia
3.6.4.- Envolventes de fallo
3.6.5.- Criterio de fallo de la deformación máxima
3.6.6.- Criterio de fallo de Tsai-Hill
3.6.7.- Criterio de fallo de Tsai-Wu
3.6.8.- Comparación de los resultados experimentales con los obtenidos de los criterios de fallo
4.- Análisis macromecánico de los laminados.
4.1.- Introducción.
4.2.- Nomenclatura de laminados
4.3.- Relaciones tensión-deformación en un laminado
4.3.1.- Ecuaciones tensión-deformación de una viga isotrópica unidimensional
4.3.2.- Ecuaciones deformación-desplazamiento
4.3.3.- Deformaciones y tensiones en un laminado
4.3.4.- Fuerza y momento resultantes relacionados con las deformaciones en el plano medio y
las curvaturas
4.4.- Módulos de flexión en el plano de un laminado
4.4.1.- Introducción
4.4.2.- Constantes ingenieriles en el plano de un laminado
4.4.3.- Constantes ingenieriles de flexión de un laminado
4.5.- Efectos higrotérmicos en un laminado
4.5.1.- Introducción
4.5.2.- Tensiones y deformaciones higrotérmicas
4.5.3.- Coeficientes de expansión térmica y humedad de un laminado
4.6.- Alabeo de laminados
4.7.- Bordes
5.- Diseño, análisis y rotura de laminados
5.1.- Introducción
5.2.- Casos especiales de laminados
5.2.1.- Introducción
5.2.2.- Laminados simétricos
5.2.3.- Laminados de láminas cruzadas
5.2.4.- Laminados con la lámina en ángulo
5.2.5.- Laminados antisimétricos
5.2.6.- Laminados balanceados
5.2.7.- Laminados cuasi-isotrópicos
5.3.- Criterios de rotura de un laminado
5.3.1.- Introducción
5.3.2.- Fallo inicial
5.3.3.- Fallo final y resistencia
5.4.- Diseño de materiales compuestos laminados
5.5.- Otros diseños mecánicos
5.5.1.- Materiales compuestos sandwhich
5.5.2.- Efectos ambientales a largo plazo
5.5.3.- Tensiones interlaminares
5.5.4.- Resistencia al impacto
5.5.5.- Resistencia a la fractura
5.5.6.- Resistencia a la fatiga
6.- Vigas.
6.1.- Introducción.
6.2.- Vigas simétricas
6.3.- Vigas no simétricas
MATERIALES POLIMÉRICOS Y COMPUESTOS.
Tema 11.- MECÁNICA DE LOS MATERIALES COMPUESTOS. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE LOS
COMPUESTOS DE FIBRA LARGA Y DE LOS LAMINADOS
1.- Introducción.
Un material compuesto está formado por dos o más componentes, por lo que el análisis y el diseño de estos
materiales son diferentes que el que se realiza para los materiales convencionales, como los metales. El
enfoque para analizar el comportamiento mecánico de las estructuras de materiales compuestos es el siguiente
(Figura 1.1):
1.- Encontrar las propiedades promedio de una lámina a partir de las propiedades de los constituyentes
individuales. Las propiedades incluyen la rigidez, resistencia, térmicas, la humedad y los coeficientes de
expansión. Hay que tener en cuenta que las propiedades promedio se derivan de considerar que la capa sea
homogénea. En este nivel, se pueden optimizar los requisitos de rigidez y de resistencia de una lámina. Esto se
conoce como la micromecánica de una lámina.
2.- Desarrollar las relaciones tensión-deformación de una lámina unidireccional/bidireccional. Las cargas se
pueden aplicar a lo largo de las direcciones principales de simetría de la lámina o fuera de eje. Además, se
desarrollan las relaciones para la rigidez, los coeficientes de expansión térmica y humedad y las resistencias
de las láminas en ángulo. Las teorías de fallo de una lámina se basan en las tensiones en la lámina y las
propiedades de resistencia de la lámina. Esto se denomina macromecánica de una lámina.
Figura 1.1.- Esquema del análisis de un laminado.
Una estructura de materiales compuestos es generalmente una estructura laminada hecha de varias láminas
apiladas unas sobre otras. Conociendo la macromecánica de una lámina única, se desarrolla la macromecánica
de un laminado. Se puede determinar para todo el laminado la rigidez, resistencia y los coeficientes de
expansión térmica y humedad. La rotura del laminado se basa en las tensiones y la aplicación de las teorías de
rotura de cada lámina. Este conocimiento del análisis de los materiales compuestos puede servir de base para
el diseño mecánico de estructuras de materiales compuestos.
Usando las propiedades de la interfase, es posible calcular la distribución de esfuerzos y deformaciones en un
material compuesto en función de la forma, la distribución y fracción de volumen de las fibras y las
propiedades elásticas de las fibras y de la matriz. Algunos de estos cálculos son muy complejos y,
verdaderamente, algunos problemas están aún por resolver. A partir de la distribución de esfuerzos y
deformaciones pueden calcularse las propiedades elásticas del material compuesto. A causa de la complejidad
de los cálculos a menudo es necesario usar fórmulas determinadas empíricamente.
Se determinará la relación entre las propiedades elásticas de una lámina unidireccional y las propiedades de
los constituyentes y se comparan con los resultados experimentales. Esto viene seguido por una descripción de
las relaciones correspondientes para láminas de fibras largas en disposición aleatoria. En ambas láminas, la
unidireccional y la de fibras largas en disposición aleatoria, pueden ignorarse los efectos asociados a las
puntas de las fibras, excepto cuando se consideren los procesos de rotura. Esto no es verdad para materiales
compuestos de fibra corta.
2.- Propiedades mecánicas de los compuestos de fibra larga. Análisis micromecánico de la lámina.
2.1.- Introducción.
Las relaciones tensión-deformación, las constantes ingenieriles y las teorías de rotura de una lámina en ángulo
que se desarrollarán más adelante (apartado 3, macromecánica de una lámina) utilizan 4 módulos elásticos, 5
parámetros de resistencia, dos coeficientes de expansión térmica (CTE) y dos coeficientes de expansión de
humedad (CME) de una lámina unidireccional. Esos 13 parámetros se pueden encontrar experimentalmente
mediante la realización de varios ensayos de tracción, compresión, esfuerzo cortante e higrotérmicos en una
lámina unidireccional (laminados).
Sin embargo, a diferencia de los materiales isotrópicos, la evaluación experimental de estos parámetros es
muy costosa y se consume mucho tiempo, porque son funciones de varias variables: los componentes
individuales del material compuesto, la fracción volumétrica de fibras, la geometría del empaquetamiento, el
procesamiento, etc. Por lo tanto, la necesidad y motivación para el desarrollo de modelos analíticos para
determinar dichos parámetros son muy importantes.
Se van a desarrollar relaciones simples de los parámetros de la lámina en términos de las rigideces,
resistencias, coeficientes de expansión térmica y de humedad de los componentes individuales del material
compuesto, fracción volumétrica de fibras, geometría del empaquetamiento, etc. La comprensión de dichas
relaciones, denominada micromecánica de la lámina, ayuda al diseñador a seleccionar los componentes de un
material compuesto para su uso en una estructura laminada. La pregunta básica de la micromecánica de una
lámina es: ¿cuál es la relación de las propiedades de la lámina en relación con las propiedades de los
componentes? (Figura 2.1.1).
Una lámina unidireccional no es homogénea. Sin embargo, se puede asumir que la lámina sea homogénea,
centrándose en la respuesta promedio de la lámina a las cargas mecánicas y higrotérmicas. La lámina es
simplemente vista como un material cuyas propiedades son diferentes en varias direcciones, pero no
diferentes de un lugar a otro.
Figura 2.1.1.- Pregunta básica de la micromecánica.
2.2.- Fracciones volumétrica y másica, densidad y contenido de huecos.
Antes de modelar los 13 parámetros de una lámina unidireccional, se va a introducir el concepto de fracción
volumétrica de fibras en el material compuesto. Este concepto es fundamental, porque las fórmulas teóricas
para encontrar la rigidez, la resistencia y las propiedades higrotérmicas de una lámina unidireccional son
función de la fracción volumétrica de fibras. Las mediciones de los componentes se basan generalmente en su
masa, por lo que también puede definirse la fracción másica de fibras. Por otra parte, la definición de la
densidad de un material compuesto también es necesaria debido a que su valor se utiliza en la determinación
experimental del volumen de fibras y de huecos de un material compuesto. Además, el valor de la densidad se
utiliza en la definición de módulo específico y resistencia específica.
Fracción volumétrica.
Consideremos un material compuesto que tiene como componentes fibras y matriz y tomemos las siguientes
notaciones de símbolos:
vc, f, m = Volumen del material compuesto, fibra y matriz respectivamente.
ρc, f, m = Densidad del material compuesto, fibra y matriz respectivamente.
Se define la fracción de volumen de las fibras Vf y la fracción de volumen de la matriz Vm como:
Vf 
vf
vc
y Vm 
vm
vc
La suma de las fracciones volumétricas es:
Vf  Vm 
vf
vc

vm vf  vm vc

  1, es decir : Vf  Vm  1
vc
vc
vc
ya que :
vf  vm  vc
(2.2.1)
Fracción másica.
Consideremos un material compuesto que tiene como componentes fibras y matriz y tomemos la siguiente
notación de símbolos:
wc, f, m = Masa del material compuesto, fibra y matriz respectivamente.
Se define la fracción másica de las fibras Wf y la fracción másica de la matriz Wm como:
Wf 
wf
wc
y
Wm 
wm
wc
(2.2.2)
La suma de las fracciones volumétricas es:
Wf  Wm 
wf
wc

w m wf  w m wc


 1, es decir : Wf  Wm  1
wc
wc
wc
ya que :
wf  w m  wc
De la definición de densidad de un material simple, se tiene:
wc  cv c
w f  f v f
(2.2.3)
w m  m v m
Sustituyendo la ecuación (2.2.3) en la (2.2.2) se obtienen las relaciones entre las fracciones volumétricas y
másicas:
Wf 
f
V
c f
y
Wm 
m
V
c m
(2.2.4)
en términos de las fracciones de volumen de fibra y matriz. En términos de las propiedades de los
constituyentes individuales , las fracciones de masa y de volumen están relacionados por:
Wf 
f
m
f
V V
m f m
Vf
y
Wm 
1
f
1  Vm   Vm
m
Vm
(2.2.5)
En base a la ecuación (2.2.4), es evidente que las fracciones de volumen y masa no son iguales y que el
desajuste entre las fracciones en masa y volumen aumenta cuando la relación entre la densidad de la fibra y la
matriz es diferente de uno.
Densidad.
La derivación de la densidad de un material compuesto en términos de las fracciones de volumen se
determina de la siguiente manera. La masa del material compuesto wc es la suma de la masa de las fibras wf y
la masa de la matriz wm:
wf  w m  wc
(2.2.6)
Sustituyendo la ecuación (2.2.3) en la (2.2.6) se obtiene:
cv c  f v f  mv m
y dividiendo por vc:
c  f
vf
v
 m m
vc
vc
y usando las definiciones de las fracciones volumétricas de las fibras y de la matriz dadas por las ecuaciones
(2.2.1) se tiene
c  f Vf  mVm
(2.2.7)
La fórmula anterior no depende de la geometría de las fases que componen el material compuesto.
Considerando que:
vf  vm  vc
la densidad del material compuesto en términos de las fracciones de masa es:
1
c

Wf
f
Wm

m
También se puede derivar una expresión para ρc en términos de las fracciones másicas. Así:
c 
wc
wc
wc


vc vf  v m  vv wf  wm  v
v
f
(2.2.8)
m
donde vv es el volumen de huecos.
De la ecuación (2.2.8) se obtiene:
c 
wf
wc
f
1
wm


wc
m

vv
wc
Wf
f

1
Wm
m


vv
wc
1
Wf
f

Wm
m

vv
c v c
o bien:
c 
Wf
f

1
Wm
m

Vv
c
; si Vv  0, se tiene : c 
1
Wf
f

Wm
m
(2.2.9)
Durante la fabricación de un material compuesto, pueden introducirse huecos como se muestra en la figura
2.2.1. Esto hace que la densidad teórica del compuesto sea mayor que la densidad real. Además, el contenido
de huecos en un material compuesto es perjudicial para sus propiedades mecánicas, lo que incluye una menor:
• Rigidez de corte y resistencia
• Resistencia a la compresión
• Resistencia a la tracción transversal
• Resistencia a la fatiga
• Resistencia a la humedad
La ecuación (2.2.9) puede usarse para determinar, de forma indirecta, la fracción de volumen de los huecos
presentes en un material compuesto (VV). Así:
c 
c
 Mf
c 
 f

Mm 
 V
m  v
y despejando VV:
M M 
Vv  1  c  f  m 
 f  m 
(2.2.10)
Figura 2.2.1.- Microfotografía de la sección transversal de una lámina con huecos.
Determinación experimental: las fracciones en volumen de fibra de los componentes de un compuesto se
determinan, por lo general, por combustión o mediante ensayos de digestión ácida. Estos ensayos consisten
en tomar una muestra de material compuesto y pesarla. Entonces la densidad de la muestra se encuentra por el
método de desplazamiento de líquido en el que se pesa la muestra en el aire y sumergida en agua. La densidad
del material compuesto está dada por:
c 
wc
w
wc  w i
donde:
wc = Peso del material compuesto
wi = Peso del compuesto cuando se sumerge en el agua
ρw = Densidad del agua
(2.2.11)
Para las muestras que flotan en el agua, se coloca una plomada se adjunta. La densidad de la
compuesto es declarado por:
c 
wc
w
wc  ws  ww
(2.2.12)
donde
wc = Peso del material compuesto
ws = Peso de la plomada cuando se sumerge en el agua
ww = Peso de la plomada y la muestra cuando se sumerge en el agua
La muestra se disuelve en una solución ácida o se quema. Los materiales compuestos a base de vidrio se
queman y los basados en carbono y aramida son digeridos en soluciones ácidas. Los materiales compuestos de
carbono y aramida no pueden ser quemados, porque el carbono se oxida en el aire por encima de 300 °C y la
fibra de aramida se puede descomponer a altas temperaturas. Los materiales compuestos a base de epoxi
pueden ser digeridos por el ácido nítrico o de una mezcla caliente de etilenglicol e hidróxido de potasio. Los
materiales compuestos a base de poliamida y de resinas fenólicas utilizan mezclas de ácido sulfúrico y
peróxido de hidrógeno. Cuando la digestión o quemado se hayan completado, las fibras restantes se lavan y
secan varias veces y luego se pesan.
Las fracciones en peso de fibra y matriz se pueden encontrar usando la ecuación (2.2.2). La densidad de la
fibra y la matriz son conocidos, por lo que se puede utilizar la ecuación (2.2.4) para determinar la fracción de
volumen de los constituyentes del material compuesto y la ecuación (2.2.7) para calcular la densidad teórica
del compuesto.
2.3.- Evaluación de los cuatro módulos elásticos.
Al igual que para los materiales compuestos de fibra corta (SFRTP’s), las propiedades mecánicas de los
materiales compuestos de fibra larga (LFRTP’s) dependen del contenido y de la orientación de las fibras. Sin
embargo, como las fibras son largas, es decir, de relaciones de aspecto altas, los efectos finales (de borde)
pueden despreciarse, por lo que el factor de corrección de la longitud es igual a la unidad.
En una lámina unidireccional hay cuatro módulos de elasticidad:
• Módulo de elasticidad longitudinal, E1
• Módulo de elasticidad transversal, E2
• Coeficiente de Poisson, ν12
• Módulo de cortadura planar, G12
Enfoque de resistencia de materiales.
A partir de una lámina unidireccional, se toma un elemento de volumen representativo (RVE) (la parte más
pequeña del material que representa al material en su conjunto), que consiste en la fibra rodeada por la matriz
(Figura 2.3.1). Este elemento de volumen representativo (RVE) puede ser visto como bloques rectangulares.
La fibra, la matriz, y el material compuesto se supone que son del mismo ancho, h, pero de espesores de tf, tm,
y tc, respectivamente.
Figura 2.3.1.- Volumen representativo de una lámina unidireccional
El área de la fibra está dada por
Af  htf
la de la matriz por:
Am  htm
y la del material compuesto por
Ac  htc
La fracción volumétrica de la fibra viene dada por:
Vf 
y la fracción volumétrica de la matriz:
Vm 
Af
Ac

tf
tc
Am tm
  1  Vf
Ac tc
Se realizan las siguientes suposiciones en el modelo de enfoque de resistencia de los materiales:
•
•
•
•
•
•
La unión entre las fibras y la matriz es perfecta.
Los módulos elásticos, los diámetros y el espacio entre las fibras son uniformes.
Las fibras son continuas y paralelas.
Las fibras y la matriz siguen la ley de Hooke (linealmente elásticas).
Las fibras poseen una resistencia uniforme.
El material compuesto está libre de huecos.
Módulo de elasticidad longitudinal.
Si se aplica la condición de igual deformación o isodeformación (la deformación ε1, en la matriz será la
misma que la deformación en la fibra si la unión entre la fibra y la matriz es perfecta) (modelo de bloques o
de Voigt) a un material compuesto reforzado con fibras dispuestas unidireccionalmente , que se somete a una
carga de tracción (o compresión) en la dirección del eje de las fibras (Figura 2.3.2), se obtiene la expresión
del módulo de Young dado por la ecuación (2.0). La condición de isodeformación (o acción en paralelo) nos
da que la deformación en la fibra, en la matriz y en el material compuesto es idéntica, con lo que se puede
escribir:
 f   m   c1 
L
L
(2.3.1)
donde ε es la deformación, ΔL es el cambio de longitud, L la longitud inicial y los subíndices f, m y c1
indican fibra, matriz y material compuesto en la dirección longitudinal, respectivamente.
Figura 2.3.2.- Material compuesto con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se somete a una carga de
tracción en la dirección del eje de las fibras
Suponiendo comportamiento elástico y aplicando la ley de Hooke, las tensiones uniaxiales (σ) actuando sobre
las fibras y la matriz vienen dadas por:
 f  Ef  c 1 ,  m  E m  c 1
(2.3.2)
Se sigue que si Ef >Em el esfuerzo en las fibras es mayor que en la matriz. Esto es, por supuesto, la base
subyacente del refuerzo con fibras puesto que las fibras soportan la parte principal de la carga aplicada PC.
La carga aplicada al material compuesto, FC, se reparte entre la fibra y la matriz (Figura 2.3.3), es decir:
FC  Ff  Fm (FC   c Ac , Ff   f Af , Fm   f Af )
o bien:
(2.3.3)
 c1AC   f Af   m Am  Ef  c1Af  Em c1Am   Ef Af  Em Am  c1
(2.3.4)
de donde:

 c1  Ec1 c1   Ef

Af
A 
 Em m   c 1
Ac
Ac 
(2.3.5)
Figura 2.3.3.- Esfuerzo longitudinal aplicado al elemento de volumen representativo para calcular el módulo
de elasticidad longitudinal de una lámina unidireccional.
Luego, identificando con la ley de Hooke, σ = Eε, se tiene:
Ecl  Ef
Af
A
 Em m  Ef Vf  EmVm  Ef Vf  Em 1  Vf   E11  E1  EII (Regla de las mezclas)
Ac
Ac
ya que:
Fracción volumétrica de fibras =
Vf 
vf
VT

Af L
AT L

Af
AT

Af
AC
( Af  Vf AT )
y
Fracción volumétrica de matriz = Vm 
v m Am L Am Am



VT
AT L AT
AC
( Am  Vm AT )
(2.3.6)
Si existe más de un tipo de fibras, la ecuación (2.3.6) se transforma en:
E11  E1  EII  Ecl  EmVm  Ef 1Vf 1  Ef 2Vf 2  ............
(2.3.7)
Las predicciones de la ecuación (2.3.6) están de acuerdo (dentro del 5%) con los datos de los experimentos de
carga de tracción cuidadosamente controlada. Las predicciones no son tan buenas para una carga de
compresión debido a que los resultados experimentales son muy sensibles al diseño del equipo y a la
alineación de las fibras en la muestra.
Además se tiene:

 c 1   Ef

Af
A 
 Em m   c1   Ef Vf  EmVm   c1  Ef Vf  c1  EmVm c1
Ac
Ac 
y como:
 f   m   c1
luego:
se tiene:
 c1  Ef Vf  f  EmVm m
 c   f Vf   mVm
(2.3.8)
(2.3.9)
(2.3.10)
La variación del módulo de elasticidad longitudinal Ed (o E11 o E1) en función de la fracción de volumen de
las fibras, Vf, dado por la ecuación (2.3.6), se muestra en la figura 2.3.4.
Figura 2.3.4.- Variación del módulo de elasticidad longitudinal Ed y transversal Ect con la fracción de
volumen de las fibras, Vf.
La proporción de la carga soportada por las fibras Ff con respecto a la soportada por el material compuesto Fc
es una medida de la carga compartida por las fibras. De la ecuación (2.3.3) y la ley de Hooke, se tiene:
Ff
Fc

Ef
Ec
Vf
y análogamente:
Fm Em

Vm ,
Fc Ec
con lo que:
Ff
Fm

Ef Vf
Em Vm
(2.3.11)
En la figura 2.3.5, se puede ver la representación gráfica de la relación de la carga soportada por las fibras con
respecto a la soportada por el material compuesto en función de la relación de los módulos de elasticidad
Ef/Em, para valores constantes de la fracción volumétrica de fibras Vf. Se puede observar que a medida que
aumenta la relación de los módulos, la carga soportada por la fibra aumenta enormemente.
El análisis anterior se basa en la suposición de que la ecuación (2.3.3) es válida. Esto no es estrictamente
cierto puesto que las desiguales contracciones de Poisson (es decir, υm ≠ υf) ocasionarán esfuerzos
adicionales que no han sido considerados aquí. Sin embargo el error en Ed es probablemente menor que un
1 o 2 % y la verificación experimental para la ecuación (2.3.6) se ha obtenido para muchos sistemas de fibraresina.
Figura 2.3.5.- Relación de la carga soportada por las fibras con respecto a la soportada por el material
compuesto en función de la relación de los módulos de elasticidad Ef/Em, para diversos
valores de la fracción volumétrica de fibras Vf.
Módulo de elasticidad transversal.
Se puede usar el mismo procedimiento para predecir el módulo transversal de una lámina unidireccional. El
módulo de elasticidad longitudinal transversal Ect (o E22 o E2) puede determinarse usando una condición de
igual tensión o isotensión o acción en serie (Modelo de Reuss), es decir las fibras, la matriz y el material
compuesto soportan la misma tensión (Figura 2.3.8), que es una aproximación inexacta. En este caso se tiene:
 f   m   ct
(2.3.12)
Figura 2.3.8.- Material compuesto con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se somete a una carga de
tracción en la dirección perpendicular a la dirección del eje de las fibras
El desplazamiento, Δt, en la dirección transversal (en el espesor) es la suma de la extensión transversal de la
fibra Δtf, y que es la matriz, Δtm:
tc  tm  tf
(2.3.13)
dividiendo por el espesor inicial, tc, se obtiene la deformación en la dirección transversal:
 ct 
tc t m t m tf tf


tc
t m tc
tf tc
(2.3.14)
o bien:
 ct   m
tm
t
  f f   mVm   f Vf
tc
tc
(2.3.15)
Ya que las fracciones entres espesores son las mismas que las fracciones en volumen, ya que las otras dos
dimensiones son iguales en la fibra y la matriz. La fibra, la matriz y el material compuesto se supone que son
de la misma anchura, h, pero de espesores de tf, tm, y tc, respectivamente. El área de la fibra, de la matriz y del
material compuesto están dadas, por (Recordando lo expuesto anteriormente sobre el elemento representativo
de volumen, RVE) (Figura 2.3.9):
A  ht , A  ht ,
f
f
m
m
A  ht
c
c
Vm 
v m Am htm tm



VT
AT htC tC
luego:
Vf 
vf
VT

Af
AT

htf
htC

tf
tC
y
Figura 2.3.9.- Elemento de volumen representativo de una lámina unidireccional.
Usando la ley de Hooke, la ecuación (2.3.15) se puede escribir:
 ct
Ect   E2 

 ct
Em
Vm 
 ct
Ef
Vf
(2.3.16)
de donde:
1 Vm Vf
1
1

 

Ect Em Ef E22 E2
(2.3.17)
Ef E m
Ef E m

EmVf  Ef 1  Vf  EmVf  Ef Vm
(2.3.18)
y operando:
Ect   E2  
La ecuación (2.3.18) puede escribirse en forma adimensional como sigue:
Ect E2
1


Em Em V  V  Em 

f 
m
 Ef 
(2.3.19)
La variación del módulo de elasticidad transversal Ect (o E22 o E2) en función de la fracción de volumen de
las fibras, Vf, dado por la ecuación (2.3.18), se muestra en la figura 2.3.10. Se representa la relación del
módulo de elasticidad transversal con respecto al de la matriz en función de la fracción volumétrica de las
fibras, para diversos valores de la relación de los módulos de elasticidad Ef/Em. Para los materiales
compuestos de matriz cerámica y metálica, los módulos de elasticidad de la fibra y de la matriz elástica son
del mismo orden. (Por ejemplo, para un material compuesto de matriz metálica (carburo de silicio/aluminio)
Ef/Em = 4 y para un material compuesto de matriz cerámica (SiC/CAS) Ef/Em = 2). En tales casos, el módulo
de elasticidad transversal del material compuesto, cambia con más suavidad en función de la fracción
volumétrica de fibra.
Para los materiales compuestos de matriz polimérica, la relación de módulos fibra/matriz es muy elevada.
(Por ejemplo, para un material compuesto de matriz polimérica (vidrio/epoxi), Ef/Em = 25). En estos casos, el
módulo de elasticidad transversal del material compuesto cambia apreciablemente sólo para grandes valores
de la fracción volumétrica de las fibras. La figura 2.3.10 muestra que, para valores altos de la relación Ef/Em,
la contribución del módulo de la fibra sólo se incrementa sustancialmente por una fracción volumétrica de
fibra superior al 80 %. Estas fracciones volumétricas de fibra no se presentan en la práctica y en muchos casos
son físicamente imposibles debido a la geometría del empaquetamiento de la fibra.
Figura 2.3.10.- Relación del módulo de elasticidad transversal con respecto al de la matriz en función de la
fracción volumétrica de las fibras, para diversos valores de la relación de los módulos de
elasticidad Ef/Em.
La figura 2.3.11 muestra dos posibilidades de empaquetamiento de las fibras. Puede observarse, que la
relación entre el diámetro de las fibras, d, y su espaciado, s, (d/s), varía con la geometría del
empaquetamiento. Para fibras de sección transversal circular con una disposición cuadrada, la relación d/s,
toma el valor:
4Vf
d

s

Lo que nos da un valor máximo para la fracción volumétrica de fibras del 78.54 %, cuando s ≥d.
Si las fibras adoptan una disposición hexagonal, la relación d/s, toma el valor:
2 3Vf
d

s

Lo que nos da un valor máximo para la fracción volumétrica de fibras del 90.69 %, cuando s ≥d.
Los valores máximos anteriores para la fracción volumétrica de fibras no se usan en la práctica, porque las
fibras se tocan unas a otras y, por lo tanto, tienen superficies en las que la matriz no impregna a las fibras.
Figura 2.3.11.- Espaciado entre fibras (a) disposición cuadrada (b) disposición hexagonal.
La forma general de la ecuación (2.3.18) está razonablemente de acuerdo con los resultados experimentales,
que se muestran en la figura 2.3.12, donde puede verse la variación de Ect (=E2) con Vf para materiales
compuestos de resina de poliéster-fibra de vidrio. Sin embargo, la ecuación no es un buen ajuste a los
resultados reales y hay una cantidad considerable de dispersión. Esto establece la necesidad de usar técnicas
mejores de modelado. Estas técnicas incluyen los métodos numéricos, tales como elementos finitos y
diferencias finitas y métodos de elementos límite, soluciones basadas en la elasticidad y modelos
variacionales. Desafortunadamente, estos modelos sólo están disponibles en forma de ecuaciones complicadas
o en forma gráfica. Debido a estas dificultades, se han desarrollado modelos semiempíricos para fines de
diseño. El más útil de estos modelos es el de Halpin y Tsai, ya que se puede utilizar en una amplia gama de
propiedades elásticas y fracciones volumétricas de fibras.
Se han propuesto otras ecuaciones semiempíricas alternativas de la ecuación (2.3.18) para tener en cuenta
los efectos de la contracción de Poisson, que se ilustran también en la figura 2.3.12, y dan un mejor ajuste a
los resultados experimentales para algunos valores de Vf. Así, por ejemplo, la expresión (Ecuación de
Brintrup):
Ef Em'
Ect  '
EmVf  Ef 1  Vf 
donde : Em'

Em
1  m2
(2.3.20)
da una curva (Figura 2.3.12) que se acerca más a los resultados experimentales a valores elevados de Vf.
Figura 2.3.12.- Módulos elásticos medidos transversalmente a las fibras de láminas unidireccionales de resina de
poliéster y fibra de vidrio con diferentes Vf.
Existe una aproximación más exacta, en la que se supone desigual tensión (Figura 2.3.13)
Figura 2.3.13.- Condición de desigual tensión.
En términos prácticos el análisis antes expuesto es demasiado simplista, particularmente en relación con la
asunción de que las tensiones en la fibra y la matriz son iguales. Las fibras se dispersan generalmente al azar
en cualquier sección representativa del material compuesto (Figura 2.3.14) y así la fuerza aplicada será
compartida por las fibras y la matriz pero no necesariamente igualmente. Otras inexactitudes también se
presentan debido a desajuste en los coeficientes del Poisson para las fibras y la matriz. Así, se han sugerido
ecuaciones empíricas para tomar estos factores en cuenta. Uno de ellas es la ecuación de Halpin-Tsai.
Figura 2.3.14.- Dispersión de las fibras en la sección transversal de material compuesto unidireccional.
La teoría de la elasticidad y el análisis por elementos finitos han sido usados para predecir Ect y otros
módulos usando hipótesis más realistas. Una simplificación de algunas de estas soluciones ha sido
desarrollada por Halpin & Tsai (1967) y sus ecuaciones son útiles para la predicción de las propiedades de los
materiales compuestos. Generalmente se aplican más que ecuaciones tales como la (2.3.18). Siguiendo el
método de Halpin-Tsai se tiene:
Ect 
Em 1  Vf 
1 Vf 
(2.3.21a)
donde:
 Ef


1


Em 


 Ef

 

 Em

con ξ ≈ 1 (Factor de refuerzo) y ajustable
(2.3.21b)
El parámetro ξ, denominado factor de refuerzo, depende de varias características de la fase de refuerzo tales
como la forma y la relación de aspecto de las fibras (Geometría de la fibra), forma y regularidad del
empaquetamiento y también de las condiciones de carga.
Halpin y Tsai obtuvieron el valor del factor de refuerzo ξ mediante la comparación de la ecuación (2.3.20) y la
ecuación (2.3.21) con las soluciones obtenidas a partir de la teoría de la elasticidad. Por ejemplo, para una
geometría de fibras circulares con una geometría de empaquetamiento de ordenamiento cuadrado, ξ = 2. Para
fibras de sección transversal rectangular de longitud a y anchura b en un ordenamiento hexagonal, ξ = 2
(a/b), donde b es en la dirección de la carga. El concepto de dirección de carga se ilustra en la figura 2.3.15.
Figura 2.3.15.- Concepto de dirección de carga para el cálculo del módulo de elasticidad transversal
mediante la ecuación de Halpin-Tsai.
Los parámetros ξ y η tienen significado físico, así:
Ef
 1 , implica η = 0 (Medio homogéneo)
Em
Ef
  , implica η = 1 (Inclusiones rígidas)
Em
Ef
 0 , implica η = -(1/ ξ) (Huecos)
Em
Existen métodos más exactos, como el de Eshelby, pero es muy complicado.
En la figura 2.3.16 puede verse variación del módulo de elasticidad transversal Ect (o E22) en función de la
fracción de volumen de las fibras, Vf, para dos materiales compuestos en el caso de igual tensión (modelo de
Reuss), que nos da un límite inferior, y para los métodos de Halpin-Tsai (nos da una buena aproximación para
ξ = 1) y de Eshelby.
Como en el caso del módulo extensible transversal, E2 el análisis antedicho tiende para subestimar el módulo
de corte del plano interior. Por lo tanto es de nuevo común el recurso a las relaciones empíricas y la más
popular es la ecuación Halpin-Tsai.
Figura 2.3.16.- Variación del módulo de elasticidad transversal Ect (o E22) en función de la fracción de
volumen de las fibras, Vf, para dos materiales compuestos en el caso de igual tensión (modelo de
Reuss), que nos da un límite inferior, y para los métodos de Halpin-Tsai (nos da una buena
aproximación para ξ = 1) y de Eshelby.
Coeficiente de Poisson principal, υ12.
El coeficiente de Poisson principal se define como la relación entre la deformación normal en la dirección
transversal (negativa) con respecto a la deformación en la dirección longitudinal, cuando se aplica una carga
normal en la dirección longitudinal.
Supongamos que un material compuesto se carga en la dirección paralela a las fibras, como se muestra en la
figura 2.3.17, donde las fibras y la matriz están representadas por medio de bloques rectangulares.
Considerando otra vez el material compuesto reforzado con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se
somete a una carga de tracción en la dirección del eje de las fibras (Figura 2.3.17), se alargara en la dirección
longitudinal (dirección 1), ε1 y se contrae transversalmente (dirección 2), ε2.
Figura 2.3.17.- Efecto de Poisson.
La contracción en la dirección 2 debida a todas las fibras será:
1Vff
donde Vf es la fracción de volumen de las fibras y υf es el coeficiente de Poisson de las fibras. Similarmente,
la contracción debida a la matriz será:
1Vmm
La contracción total del material compuesto en la dirección 2 vendrá dada, entonces, por:
 2  1Vff  1Vmm  1 Vff  Vmm 
(2.3.22)
con lo que definiendo el coeficiente de Poisson del material compuesto como:
será:
12  
12  Vff  Vmm
2
1
(2.3.23)
Por otra parte, como se cumplen las dos relaciones siguientes:
12
E1

21
G23 
y
E2
E2
2 1  23 
se tiene:
21  Vf f  Vmm 
E2
E
 12 2
E1
E1
(2.3.24)
y:
23 
E2
1
2G23
El valor de υ21 será menor que el de υ21, debido a que bajo tensiones transversales las fibras ofrecen una gran
resistencia a la contracción axial. Esto conduce a una contracción pronunciada en otras direcciones
transversales, de tal modo que υ23 se espera que tenga un valor alto.
Una expresión para υ23 puede obtenerse considerando la variación global de volumen experimentada por el
material, se tiene:
  1   2   3 
H
K
donde σH es la tensión hidrostática aplicada y K es el modulo volumétrico global del material compuesto. En
nuestro caso solamente se está aplicando una tensión simple, σ2, de tal modo que:
 1   2   3   2

3

 3
H  
así:
3 
2
3K
 1   2
lo que nos conduce a:
23  
2


  2  1 1
3
3K  2  2
o bien:
23  1  21 
E2
3K
(2.3.25)
donde:
K
Kf Km
K mVf  K f Vm
y
Kf (m) 
Ef ( m )
3 1  2f ( m ) 
(2.3.26)
La variación de los tres coeficientes de Poisson (υ12, υ21, υ23 ) en función de la fracción de volumen de las
fibras, Vf, se muestra en la figura 2.3.18.
Figura 2.3.18.- Variación de los tres coeficientes de Poisson en función de la fracción volumétrica de fibras.
Módulo de cortadura en el plano, G12.
En el caso del modulo de cortadura principal o longitudinal, tanto las fibras como la matriz están sometidas a
la misma tensión cortante (modelo de bloques), como se muestra en la figura 2.3.19. Las deformaciones en la
matriz y en las fibras están dadas por:
m 
respectivamente, donde τ de la tensión cortante y G
material compuesto Δ, debido a la tensión cortante, es:

Gm
y f 

Gf
(2.3.27)
el módulo de cortadura. El desplazamiento total del
  t
(2.3.28)
donde γ es la deformación a cortadura media del material compuesto y t su espesor.
En el caso de igual tensión el desplazamiento total del material compuesto Δ puede descomponerse en
términos del desplazamiento de los componentes:
   m  f
o bien:
  Vmt m  Vf t f
(2.3.29)
Figura 2.3.19.- Material compuesto con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se somete a una carga
cortante paralela a las fibras.
De las ecuaciones (2.3.28) y (2.3.29) se deduce:


 Vm m  Vf  f
t
(2.3.30)
y teniendo en cuenta las ecuaciones (2.3.27):

G12


Gm
Vm 

Gf
Vf
de donde:
1 Vm Vf


G12 Gm Gf
y operando:
G12 
Gf Gm
Gf Gm
Gf Gm


GmVf  Gf Vm GmVf  Gf 1  Vf  GmVf  Gf Vm
(2.3.31)
Como en el caso de E2, la expresión de G12 puede normalizarse del siguiente modo:
G12
1

Gm V  V  Gm 

m
f 
 Gf 
En la figura 2.3.20 se representa el valor de (G12/Gm) en función de la fracción volumétrica de fibras, Vf, para
varios valores de la relación, Gf/Gm. Se observa, que solamente para un valor de Vf mayor del 50 % el valor
de G12 es dos veces el de Gm, incluso cuando Gf/Gm = 10
Figura 2.3.20.- Variación de la relación (G12/Gm) en función de la fracción volumétrica de fibras, Vf.
Siguiendo el método de Halpin-Tsai (Modelo real) se tiene:
G12 
Gm 1  Vf 
1 Vf 
(2.3.32)
donde:
 Gf

 1

G
  m 
 Gf





 Gm

(2.3.33)
El valor del factor de refuerzo, ξ, depende de la geometría de fibra, de la geometría del empaquetamiento y de
las condiciones de carga. Por ejemplo, para fibras circulares en una disposición cuadrada, ξ = 1. Para fibras de
sección rectangular de longitud a y anchura b en una disposición hexagonal, ξ = √3Ln(a/b) donde a es la
dirección de la carga. El concepto de dirección de la carga se da en la figura 2.3.21.
Figura 2.3.21.- Concepto de dirección de carga para calcular el módulo de cortadura en el plano mediante las
ecuaciones de Halpin-Tsai.
El valor de ξ = 1 para las fibras circulares en una disposición cuadrada da resultados razonables sólo para
fracciones volumétricas de fibra de hasta 0.5. Por ejemplo, para una lámina típica vidrio/epoxi con una
fracción volumétrica de fibra de 0.75, el valor del módulo de cortadura en el plano utilizando la ecuación
Halpin-Tsai con ξ = 1 es un 30 % menor que el valor obtenido mediante el enfoque basado en la elasticidad.
Hewitt y Malherbe sugieren la elección de la función,
  1  40Vf10
(2.3.34)
G13  VmGm  Vf Gf
(2.3.35)
En el caso de igual deformación se obtiene:
En general debe señalarse que las ecuaciones anteriores se basan en una distribución ideal y uniforme de
fibras. En la práctica, las ecuaciones dan un límite inferior para los módulos, y se han propuesto varias
ecuaciones semiempiricas para proporcionar una descripción más exacta.
Las ecuaciones anteriores se aplican a cargas paralelas y transversalmente a la dirección de las fibras para un
material compuesto UD. La predicción de las propiedades mecánicas de un laminado más general, consistente
en varias capas de fibras en distintas orientaciones (Figura 2.3.22), es un poco más complicada.
Figura 2.3.22.- Esquema de un material compuesto laminado.
Puede obtenerse una predicción exacta transformando los ejes para la tensión o la deformación y aplicando la
teoría clásica de los laminados (CLT), para predecir sus propiedades. Sin embargo, pueden obtenerse
resultados aproximados utilizando el análisis de Krenchel donde introducimos un factor de rendimiento en la
regla de mezclas estándar.
E1  0Vf Ef  1  Vf  Em
(2.3.36)
donde el factor de rendimiento, η0, depende de la proporción de las fibras, ai, orientada un ángulo αi para la
carga utilizada:
0   ai cos4  i
(2.3.37)
i
En la figura 2.3.23 se dan variaciones típicas de las propiedades mecánicas predichas utilizando la relación
anterior.
Figura 2.3.23.- Variación del módulo de elasticidad en función de la fracción de volumen de las fibras usando
la regla de Krenchel
Módulos de elasticidad de una lámina con fibras transversalmente isotrópicas.
Las fibras de vidrio, aramida y grafito son tres de los tipos más comunes de fibras utilizadas en los
materiales compuestos, entre ellas, las de aramida y grafito son transversalmente isotrópicas. De la definición
de los materiales transversalmente isotrópicos, estas fibras tienen cinco módulos de elasticidad. Si L es la
dirección longitudinal a lo largo de la longitud de la fibra y T representa el plano de isotropía (Figura 2.3.24)
perpendicular a la dirección longitudinal, los cinco módulos de elasticidad de una fibra transversalmente
isotrópica son los siguientes:
EfL =Módulo de elasticidad longitudinal
EfT =Módulo de elasticidad en el plano de isotropía
νfL = Coeficiente de Poisson que caracteriza la contracción en el plano de isotropía cuando se aplica una
tensión longitudinal.
νfT = Coeficiente de Poisson que caracteriza la contracción en la dirección longitudinal cuando se aplica una
tensión en el plano de isotropía
GfT = Módulo de cortadura en el plano perpendicular al plano de isotropía
Los módulos elásticos utilizando el enfoque de la resistencia de los materiales para láminas con fibras
transversalmente isotrópicas son:
E1  Vf EfL  1  Vf  Em
1 Vf Vm


E2 EfT Em
12  fTVf  mVm
V
V
1
 f  m
G12 GfT Gm
(2.3.38)
(2.3.39)
(2.3.40)
(2.3.41)
Las expresiones anteriores son similares a las de una lámina con fibras isotrópicas. La única diferencia es que
deben usarse las propiedades transversales o longitudinales de las fibras adecuadas. En materiales compuestos
carbono-carbono, la matriz también es transversalmente isotrópica. En ese caso, las ecuaciones anteriores no
se pueden utilizar.
Figura 2.3.24.- Dirección longitudinal y transversal de una fibra transversalmente isotrópica.
2.4.- Resistencias a la rotura (final) de una lámina unidireccional.
2.4.1.- Introducción.
Se necesita conocer cinco parámetros de resistencia a la rotura (final) de una lámina unidireccional:
• Resistencia a tracción longitudinal, (σ1T)ult
• Resistencia a compresión longitudinal, (σ1C)ult
• Resistencia a tracción transversal, (σ2T)ult
• Resistencia a compresión transversal, (σ2C)ult
• Resistencia a cortadura en el plano (τ12)ult
En este apartado, vamos a ver de qué manera se pueden determinar dichos parámetros a partir de las
propiedades individuales de la fibra y la matriz, mediante el uso del enfoque de la mecánica de los materiales.
Los parámetros de resistencia de una lámina unidireccional son mucho más difíciles de predecir que las
rigideces. Esto se debe a varios factores: el carácter aleatorio del fallo y de ahí la necesidad de emplear
métodos estadísticos, el número de modos que pueden causar el fallo del material compuesto (fibra, matriz e
intercara), la naturaleza local de la iniciación del fallo y la influencia de del campo de tensiones asociado. La
resistencia es más sensible a las no homogeneidades de los materiales y geométricas (Detalles del
empaquetamiento de las fibras), a la intercara de fibra-matriz, al proceso de fabricación y al medio ambiente.
Por ejemplo, una intercara débil entre la fibra y la matriz puede resultar en un fallo prematuro de los
materiales compuestos bajo carga transversal, pero puede aumentar su resistencia a la tracción longitudinal.
Por estas razones de sensibilidad, algunos modelos teóricos y empíricos están disponibles para algunos de los
parámetros de resistencia. Finalmente, la evaluación experimental de las resistencias se convierte en
importante, ya que es directa y fiable. Las técnicas experimentales también se discuten en este apartado.
2.4.2.- Resistencia a tracción longitudinal.
Para la máxima eficiencia de la fibra esta debe soportar tanta carga como sea posible, lo que implica un alto
valor de Vf, y el proceso de fallo debe ser dominado por la fibra en lugar de por la matriz. Este último
requisito implica que la fracción volumétrica de fibras debe ser mayor que un cierto valor mínimo, por lo
general alrededor de 0.1. También se exige que las fibras refuercen a la matriz, es decir, que la resistencia del
material compuesto debe ser mayor que la resistencia de la matriz.
Lo que sucede cuando se aumenta la carga depende de la fracción volumétrica de fibras y de si la
deformación de rotura de las fibras, (εf)ult , es mayor o menor que la de la matriz, (εm)ult. Los detalles del fallo
se muestran esquemáticamente en la figura 2.4.2.0.
Un modelo de enfoque simple basado en la mecánica de los materiales se presenta (Figura 2.4.2.1). Se asume
que
• La fibra y la matriz son isotrópicas, homogéneas, y linealmente elásticas hasta la rotura.
• La deformación a rotura de la matriz es mayor que la de la fibra, que es el caso de los materiales compuestos
de matriz polimérica. Por ejemplo, las fibras de vidrio presentan deformaciones a la rotura de 3 a 5 %,
mientras que las deformaciones de una resina epoxi se sitúan entre el 9 y el 10 %.
Figura 2.4.2.0.- Cambio en el comportamiento del modo de fallo de un material compuesto en función de los
valores relativos de las deformaciones a rotura de la fibra y la matriz [(εf)ult, (εm)ult] y de la
fracción volumétrica de fibras.
Figura 2.4.2.1.- Curva tensión-deformación de un material compuesto unidireccional bajo carga de tracción
uniaxial a lo largo de las fibras.
Debido a que las fibras son más frágiles que la matriz, no se pueden alargar tanto como la matriz. Por lo tanto,
las fibras son el eslabón más débil, desde el punto de vista de la deformación, en la cadena de resistencia que
el material compuesto comprende.
Si se tiene:
(σf)ult = Resistencia a rotura a tracción de la fibra
Ef = Módulo de elasticidad de la fibra
(σm)ult = Resistencia a rotura a tracción de la matriz
Em = Módulo de elasticidad de la matriz
Entonces la deformación a rotura de la fibra es:
 f ult 
y la de la matriz:
 m ult 
 f ult
Ef
 m ult
Em
(2.4.2.1)
(2.4.2.2)
Según se muestra en la figura 2.4.2.2, los ensayos tensión- deformación sobre materiales compuestos de
fibras uniaxiales alineadas, vemos que su comportamiento está situado en alguna parte entre el
comportamiento de las fibras y el de la matriz.
Figura 2.4.2.2.- Comportamiento tensión deformación de varios tipos de refuerzo con fibras.
Con respecto a la resistencia del material compuesto, la regla de mezclas (La deformación de la fibra se
supone igual a la de la matriz en la dirección de las fibras, como en el caso de la predicción utilizada para la
determinación del módulo de elasticidad E1):
 c   f Vf   m Vm
ult
ult
ult
tiene que ser modificada para relacionar la tensión de la matriz,  m   fult (   m ) a la deformación de
fractura de las fibras, más bien que la resistencia a tracción última, (σm)ult, para la matriz, es decir, se tendría:
'
 c   f Vf   m   f Vm
ult
ult
ult
Esto es porque, con fibras frágiles, el fallo del material compuesto ocurrirá cuando las fibras alcanzan su
tensión de fractura. En este punto la matriz está sujeta a la máxima carga aplicada, que no puede soportar.
Debido a que las fibras soportan la mayor parte de la carga en los materiales compuestos de matriz polimérica,
se asume que, cuando las fibras fallan a la deformación (εf)ult, todo el material compuesto falla. Por lo tanto,
la resistencia a la tracción del material compuesto se puede predecir por la regla de mezclas del modo
siguiente:
1T ult   f ult Vf  f ult EmVm   f ult Vf  f ult Em 1Vf 
(2.4.2.3)
1T ult   f ult Vf   m' Vm
Una vez que las fibras han roto, ¿Puede el material compuesto soportar más carga?. La tensión que la matriz
puede soportar por sí sola está dada por (σmult) (1 - Vf). Sólo si esa tensión es mayor que (σ1T)ult [ecuación
(2.4.2.3)], es posible que el material compuesto pueda soportar más carga. La fracción volumétrica de fibras
para que esto sea posible se denomina fracción volumétrica de fibra mínimo, (Vf)mínimo, y se tiene:
 m ult 1  Vf minimo    f ult Vf minimo    f ult Em 1  Vf minimo 
de donde:
 m ult    f ult Em
Vf minimo   f   f  Em   m ult
ult
ult
(2.4.2.4)
Si la fracción volumétrica de fibras es inferior a (Vf)minimo la matriz puede soportar más carga después de la
rotura de todas las fibras. Esto puede verse en la figura 2.4.2.3.
También es posible que, mediante la adición de fibras a la matriz, el material compuesto pueda tener una
resistencia a la rotura menor que la matriz. En ese caso, la fracción volumétrica de fibras para que esto sea
posible se denomina fracción volumétrica de fibra crítica (Vf)crítica, y se tiene:
 m ult   f ult Vf critica    f ult Em 1  Vf critica 
de donde:
V 
f critica

 m ult    f ult Em
 f ult   f ult Em
  m ult   m  
 f ult

  f    m  
ult
f ult





(2.4.2.5)
Si la fracción volumétrica de fibras es inferior a (Vf)critica, la resistencia a tracción longitudinal del material
compuesto sería menor que la de la matriz, luego debe superarse ese valor crítico de la fracción volumétrica
de fibras para que refuercen al material compuesto En la figura 2.4.2.3 puede verse el valor de (Vf)critica.
Figura 2.4.2.3.- Efecto de la fracción de volumen sobre la resistencia.
En la práctica la fracción máxima de volumen, Vmax, que se puede alcanzar en materiales compuestos
unidireccionales de fibra es de 0.8. Los diseñadores deben, por lo tanto, adaptarse para que las fracciones del
volumen estén en la gama V1  Vmax. Debe observarse que en la producción comercial no siempre e posible
alcanzar los mayores niveles de la fabricación, necesarias para obtener el máximo provecho de las fibras. Se
sabe que generalmente que aunque la rigidez es predicha con fiabilidad por la ecuación (2.3.6), la resistencia
es solamente de, aproximadamente, el 65 % del valor calculado por la regla de mezclas. Para los demás
sistemas. Que no son de fibras unidireccionales, estos valores se pueden reducir aún más. Para tener en cuenta
esto se incluye, a veces, una constante “k” en la contribución de la fibra en la ecuación (2.4.2.3).
Evaluación experimental: El método general del ensayo que se recomienda para determinar la resistencia a la
tracción es el método de ensayo ASTM para evaluar las propiedades de resistencia a la tracción de las resinas
compuestas de fibra (D3039) (Figura 2.4.2.4). La probeta de ensayo (Figura 2.4.2.5) para encontrar la
resistencia a la tracción longitudinal consta de seis a ocho láminas 0 ° con una anchura de 12.5 mm (1/2
pulgadas) y 229 mm (10 pulgadas) de largo.
La muestra se monta con los indicadores de deformación (extensómetros) en sentido longitudinal y
transversal. La tensión de tracción se aplica en la muestra a una velocidad de aproximadamente 0.5 a 1 mm /
min (0.02 a 0.04 pulgadas/min). Se toman un total de 40 a 50 puntos de datos para la tensión y la deformación
de la muestra hasta que falla. La tensión en la dirección longitudinal se representa en función de la
deformación longitudinal, como se muestra en la figura 2.4.2.6. Los datos se analizan mediante regresión
lineal. El módulo de elasticidad longitudinal es la pendiente inicial de la curva de σ1- ε1. De la figura 2.4.2.6,
se obtienen los valores siguientes:
E1 = 187.5 GPa
(σ1T)ult = 2896 MPa
(ε1T)ult = 1.560 %
Figura 2.4.2.4.- Disposición del ensayo para encontrar la resistencia a la tracción de una lámina
unidireccional.
Figura 2.4.2.5.- Geometría de la muestra para determinar la resistencia a la tracción longitudinal.
Figura 2.4.2.6.- Curva tensión-deformación de un laminado [0]8 bajo carga de tracción longitudinal.
Discusión: El fallo de una lámina unidireccional bajo carga longitudinal de tracción tiene lugar por:
1.- Fractura frágil de las fibras
2.- Fractura frágil de las fibras con retirada
3.- Retirada de la fibra con pérdida de adherencia fibra-matriz
Los tres modos de fallo se muestran en la figura 2.4.2.7. El modo de fallo depende de la resistencia de la
unión fibra-matriz y de la fracción volumétrica de fibras. Para valores de la fracción volumétrica de fibras
bajos, 0 <Vf <0.40, un material compuesto típico vidrio/epoxy exhibe un modo de fallo de tipo (1). Para
valores intermedios de la fracción volumétrica de fibras, 0.4 <Vf <0.65, ocurre el modo de fallo de tipo (2).
Finalmente, para valores de la fracción volumétrica de fibra altos, Vf> 0.65, tiene lugar el modo de fallo tipo
(3).
Figura 2.4.2.7.- Modos de fallo de una lámina unidireccional bajo carga longitudinal de tracción.
2.4.3.- Resistencia a compresión longitudinal.
El modelo utilizado para el cálculo de la resistencia a la tracción longitudinal de una lámina unidireccional no
puede ser utilizado para determinar su resistencia a la compresión longitudinal debido a que los modos de
rotura son diferentes. Tres modos de rotura típicos se muestran en la figura 2.4.3.1:
• Fractura de la matriz y/o de la unión fibra-matriz debido a las deformaciones de tracción en la matriz y/o en
la unión.
• Micropandeo de las fibras en modo de corte o extensional
• Rotura de las fibras por corte
Figura 2.4.3.1.- Modos de rotura de una lámina unidireccional bajo una carga de compresión longitudinal.
Deformaciones finales de tracción en el modo de rotura de la matriz. Se da un modelo deducido a partir del
enfoque de la mecánica de los materiales, basado en la rotura del material compuesto en el sentido transversal,
debido a esfuerzos de tracción transversal. Asumiendo que se aplica una tensión de compresión longitudinal
de magnitud σ1, entonces la magnitud de la deformación longitudinal de compresión está dada por:
 
1

1
E1
(2.4.3.1)
Debido a que el coeficiente principal de Poisson es υ12, la deformación transversal es de extensión y está dada
por:

 
2
12
1
(2.4.3.2)
E1
Usando la teoría de la tensión de rotura máxima, si la deformación transversal es superior a la deformación
transversal de tracción máxima (ε2T)ult, se considera que la lámina ha fallado en el sentido transversal. Por lo
tanto:
 ult
 1C

 ult
E  2T
1
(2.4.3.3)

12
El valor del módulo longitudinal, E1, y el coeficiente principal de Poisson, υ12, se pueden determinar
mediante las ecuaciones (2.3.16) y (2.3.23), respectivamente. Sin embargo, para determinar el valor de (ε2T)ult
se puede utilizar la fórmula empírica:
 2T ult   mT ult 1 Vf1/3 
(2.4.3.4)
o la fórmula de la mecánica de materiales:
d  E
 
m 1 1
 
 
ult s  E
  f
 
 ult  
 2T
  mT
(2.4.3.5)
donde:
(εmT)ult = Deformación de rotura a tracción de la matriz
d = Diámetro de las fibras
s = Espacio entre las fibras de centro a centro
Las ecuaciones (2.4.3.4) y (2.4.3.5) se discutirán más adelante.
Modo de rotura de la fibra por micropandeo por cortadura/extensión. Se han desarrollado modelos locales de
pandeo para el cálculo de la resistencia a compresión longitudinal. Debido a que los resultados se basan en
temas avanzados, sólo se van a dar las expresiones finales:
1C ult  min S1C ,S2C 
(2.4.3.6)
donde:

E  VE E
S1C  2 Vf  1  Vf  m  f m f
Ef  3 1  Vf 

(2.4.3.7)
y:
S2C 
Gm
1  Vf
(2.4.3.8)
Hay que tener en cuenta que la tensión extensional en modo de pandeo (S1C) es más alta que la tensión
cortante en modo de pandeo (S2C) para la mayoría de los casos. El modo de pandeo extensional es frecuente
sólo en materiales compuestos fracción volumétrica de fibra baja.
Modo de rotura de las fibras por tensión de cortadura. Un material compuesto unidireccional puede fallar
debido a la rotura directa de las fibras por corte. En este caso, la regla de las mezclas da la resistencia a
cortadura del material compuesto unidireccional mediante la expresión:
12 ult   f ult Vf   m ult Vm
(2.4.3.9)
donde
(τf)ult = Máxima resistencia a cortadura de la fibra
(τm)ult = máxima resistencia a cortadura de la matriz
La deformación máxima a cortadura en una lámina bajo una carga de compresión longitudinal σ1C es (σ1C /2)
para un ángulo de 45 º con respecto al eje de carga. Así:
1C ult  2  f ult Vf   m ult Vm 
(2.4.3.10)
Los tres modelos basados en cada uno de los modos de rotura discutidos sirven para encontrar la magnitud de
la resistencia máxima a la compresión longitudinal. Hay que señalar que los resultados obtenidos mediante los
modelos no coinciden con los resultados experimentales como pone de manifiesto la tabla 2.4.3.1 donde se da
la comparación de los resultados de la resistencia de compresión longitudinal obtenidos experimentalmente y
los que predicen las ecuaciones de los modelos. La comparación con otras ecuaciones (2.4.3.3) y (2.4.3.10) no
está disponible debido a no existe referencia de las propiedades de los componentes, aunque el pandeo de la
fibra es el modo más probable de rotura de los materiales compuestos de matriz polimérica avanzados.
Tabla 2.4.3.1.- Comparación de los valores experimentales y predichos de la resistencia longitudinal a
compresión de laminados unidireccionales
Varios factores pueden contribuir a que exista discrepancia:
• Espaciado irregular de las fibras lo que puede ocasionar un fallo prematuro en las zonas ricas de matriz
• Unión imperfecta entre las fibras y la matriz
• Mala alineación de las fibras
• No tener en cuenta el desajuste entre los coeficientes de Poisson de la fibra y la matriz
• No tener en cuenta la naturaleza isotrópica transversal de las fibras como las de aramida y grafito
Además, existe controversia acerca de las técnicas utilizadas en la medición de resistencia a la compresión.
Determinación experimental: La resistencia a la compresión de una lámina se ha determinado por varios
métodos diferentes. Un método muy recomendable es el ensayo de compresión del IITRI (Illinois Institute of
Technology Research Institute). La figura 2.4.3.2 muestra el accesorio IITRI montado en un marco de ensayo
(ASTM D3410 Celanese). La muestra de ensayo (Figura 2.4.3.3) se compone generalmente de 16 a 20
láminas a 0 ° de 6.4 mm de ancho y 127 mm de largo. Galgas de deformación se montan en la dirección
longitudinal en ambas caras de la muestra para comprobar el paralelismo de los bordes y extremos.
La muestra se comprime a una velocidad de deformación de 0.5 a 1 mm/min. Un total de 40 a 50 puntos de
datos para la tensión y la deformación se toman hasta que la muestra falla. La tensión en la dirección
longitudinal se representa gráficamente en función de la deformación longitudinal. En la figura 2.4.3.4 se
muestra la curva típica para una lámina grafito/epoxy. Los datos se analizan mediante regresión lineal y el
módulo es la pendiente inicial de la curva tensión-deformación. De la figura 2.4.3.4, se obtienen los valores
los siguientes:
E1C = 199 GPa
(σ1C)ult = 1908 MPa
(ε1C)ult = 0.9550 %
Figura 2.4.3.2.- Accesorio IITRI montado en un marco de pruebas para encontrar la resistencia a la
compresión de una lámina.
Figura 2.4.3.3.- La geometría de una muestra de resistencia a la compresión longitudinal.
Figura 2.4.3.4.- Curva tensión-deformación de a [0] 24 grafito / epoxi laminado bajo una carga de compresión
longitudinal.
2.4.4.- Resistencia a tracción transversal.
Se da a continuación un modelo basado en la mecánica de los materiales para encontrar la resistencia a la
tracción transversal de una lámina unidireccional. Las suposiciones utilizadas en el modelo incluyen:
• Una perfecta unión fibra-matriz
• Espaciado uniforme de las fibras
• La fibra y la matriz siguen la ley de Hooke
• No existen tensiones residuales
Se asumirá un modelo de plano de un material compuesto como el que se muestra en la parte sombreada de la
figura 2.4.4.1. En este caso,
s = Distancia entre el centro de las fibras
d = Diámetro de las fibras
Los alargamientos transversales de la fibra, δf, la matriz, δm y el material compuesto δc, están relacionadas
mediante la expresión:
c  f   m
(2.4.4.1)
Ahora, por definición de deformación, los alargamientos están relacionados con las deformaciones
transversales, mediante las expresiones:
c  s c
(2.4.4.2)
 f  d f
(2.4.4.3)
m   s  d  m
(2.4.4.4)
donde:
εc,f,m =D eformación transversal del material compuesto, fibra y matriz, respectivamente.
Figura 2.4.4.1.- Elemento de volumen representativo para calcular la resistencia a la tracción transversal de
una lámina unidireccional
Sustituyendo las ecuaciones (2.4.4.2), (2.4.4.3) y (2.4.4.4) en la ecuación (2.4.4.1) y operando se obtiene:
d


d
c  f  1  m
s
s

(2.4.4.5)
Bajo carga transversal, se asume que las tensiones en la fibra y la matriz son iguales. Entonces, las tensiones
en la fibra y la matriz se relacionan a través de la ley de Hooke:
Ef  f  Em m
(2.4.4.6)
Sustituyendo la expresión para la deformación transversal de la fibra, εf, que se deduce de la ecuación
(2.4.4.6) en la ecuación (2.4.4.5), la deformación transversal en el material compuesto viene dada por:
 d Em
 d 
  1    m
 s Ef  s  
c  
(2.4.4.7)
Si se asume que el fallo transversal de la lámina se debe al fallo de la matriz, entonces la deformación de
rotura transversal es:
 ult
 2T
d E
 d 
  m   1     mT
 s Ef  s  
 ult
(2.4.4.8)
donde:
(εmT)ult = Deformación de rotura a tracción de la matriz
La resistencia de rotura a la tracción transversal está dada por:
 2T ult  E2 2T ult
(2.4.4.9)
donde (ε2T)ult viene dada por la ecuación (2.4.4.8). La expresión anterior supone que la fibra está
perfectamente unida a la matriz. Si la adhesión entre la fibra y la matriz es pobre, la resistencia transversal del
material compuesto se reducirá.
Determinación experimental: El procedimiento para determinar la resistencia a la tracción transversal es el
mismo que el utilizado para determinar la resistencia a la tracción longitudinal. Sólo son diferentes las
dimensiones de la muestra. El ancho estándar de la muestra es de 25.4 mm y se utilizan de 8 a 16 capas. Esto
se hace, principalmente, para aumentar la cantidad de carga necesaria para romper la muestra. muestra la
curva tensión-deformación típica de un laminado de grafito/PEEK 90º. De la figura 2.4.4.2, se obtienen los
datos siguientes:
E2 = 9,963 GPa
(σ2T)ult = 53.28 MPa
(ε2T)ult = 0.5355 %
Discusión: La predicción de la resistencia a la tracción transversal es bastante complicada. Bajo carga
transversal, además de las propiedades individuales de la fibra y la matriz, otros factores son importantes,
como pueden ser: resistencia de la unión entre la fibra y la matriz, la presencia de huecos y la presencia de
tensiones residuales debido a los diferentes valores de los coeficientes de expansión térmica de la fibra y la
matriz. Los posibles modos de fallo bajo tensiones de tracción transversales incluyen fallo de la matriz a
tracción acompañado de pérdida de adherencia de la matriz y/o separación de la fibra.
Figura 2.4.4.2.- Curva tensión-deformación de un laminado grafito/epoxi
tracción transversal.
[90]16 de bajo una carga de
2.4.5.- Resistencia a compresión transversal.
La ecuación (2.4.4.9), desarrollada para evaluar la resistencia a la tracción transversal, se puede utilizar para
determinar la resistencia a compresión transversal de una lámina. La resistencia a la compresión real es, de
nuevo, inferior debido a que la unión interfacial fibra/matriz no es perfecta y a la división de fibras
longitudinales. Usando los parámetros de compresión en la ecuación (2.4.4.9) se obtiene:
 2C ult  E2 2C ult
(2.4.5.1)
donde:
 ult
 2C
d E
 d 
  m   1     mC
 s Ef  s  
 ult
(2.4.5.2)
siendo:
(εmC)ult = Deformación de rotura a compresión de la matriz
Determinación experimental: El procedimiento para determinar la resistencia a la compresión transversal es el
mismo que el utilizado para determinar la resistencia a compresión longitudinal. La única diferencia está en
las dimensiones de la muestra. El ancho de la muestra es de 12.7 mm y se utilizan en el ensayo de 30 a 40
láminas. La figura 2.4.5.1 muestra la curva tensión-deformación típica de un laminado grafito/epoxy de 90 °.
De la figura 2.4.5.1, se obtienen los datos los siguientes:
E2C = 93 GPa
(σ2C)ult = 198 MPa
(ε2C)ult = 2.7 %
Discusión: Los métodos para determinar la resistencia a compresión transversal también aún no son
satisfactorio. Varios modos de fallo son posibles bajo una tensión de compresión transversal, entre los cuales
se encuentran: fallo de la matriz a compresión, fallo de la matriz a cortadura y el fallo de la matriz a cortadura
con pérdida de adherencia fibra-matriz y/o trituración de la fibra.
Figura
2.4.5.1.- Curva tensión-deformación de un laminado grafito/epoxy [90]40
compresión transversal perpendicular a las fibras.
bajo una carga de
2.4.6.- Resistencia a cortadura en el plano.
El procedimiento para determinar la resistencia final a cortadura de una lámina unidireccional usando un
enfoque basado en la mecánica de los materiales es similar al descrito en el apartado 2.4.4. Supongamos que
se aplica una tensión de corte de magnitud τ12 y que la deformación de corte en el elemento representativo
viene dada por la suma de las deformaciones en la fibra y la matriz, es decir:
c  f   m
(2.4.6.1)
Ahora, por definición de deformación, los alargamientos están relacionados con las deformaciones
transversales, mediante las expresiones:
c  s  12 c
(2.4.6.2)
f  d  12 f
(2.4.6.3)
m   s  d   12 m
(2.4.6.4)
donde:
(γ12)c,f,m =Deformación a cortadura en el plano del material compuesto, fibra y matriz, respectivamente.
Sustituyendo las ecuaciones (2.4.6.2), (2.4.6.3) y (2.4.6.4) en la ecuación (2.4.6.1) y operando se obtiene:
 12 c  ds  12 f   1  ds   12 m


(2.4.6.5)
Se asume, bajo tensión de corte, que las tensiones en la fibra y la matriz son iguales. Entonces, las
deformaciones en la fibra y la matriz se relacionan del modo siguiente:
 12 f Gf   12 m Gm
(2.4.6.6)
Sustituyendo el valor de (γ12)f, que se deduce de la ecuación (2.4.6.6) en la ecuación (2.4.6.5), la deformación
transversal en el material compuesto viene dada por:
 d Gm
 d 
  1      12 m
 s Gf  s  
 12 c  
(2.4.6.7)
Si se asume que el fallo a cortadura de la lámina se debe al fallo de la matriz, entonces la deformación de
rotura transversal es:
 d Em
 d 
  1      12 mult
 s Ef  s  
 12 ult  
(2.4.6.8)
donde:
(γ12)mult = Deformación de rotura a cortadura de la matriz
La resistencia de rotura a cortadura está dada por:


12 ult  G12  12 ult  G12  ds GGm   1  ds   12 mult

f

 
(2.4.6.9)
Determinación experimental: Uno de las métodos más recomendados para el cálculo de la resistencia a
cortadura en el plano es ensayar el laminado [± 45] 2S bajo carga de tracción (Figura 2.4.6.1). El laminado
[± 45]2S es un laminado de ocho láminas con la distribución de láminas [+45/-45/+45/-45/-45/+45/-45/+45] en
la parte superior de cada una.
Se aplica una tensión axial σx a la lámina de ocho capas y se miden la deformación axial εx y la transversal εy.
Si el laminado falla al alcanzarse la tensión de (σx)ult, la resistencia a cortadura final de una lámina
unidireccional está dada por:
12 ult 
 x ult
2
(2.4.6.10)
y la deformación a cortadura cortante de la lámina unidireccional es:
 12 ult    x ult    y ult
(2.4.6.11)
Figura 2.4.6.1.- Esquema del ensayo de cortadura en un laminado [± 45]2S.
Se utiliza un laminado de ocho capas [± 45] 2S por varias razones. En primer lugar, de acuerdo con las teorías
de rotura de la tensión y deformación máxima, cada lámina falla en el modo de corte y a la misma carga. La
tensión a la que se produce el fallo es el doble de la resistencia a cortadura de una lámina unidireccional y es
independiente de las otras propiedades mecánicas de la lámina, como se refleja en la ecuación (2.4.6.10). En
segundo lugar, la deformación de corte se mide simplemente por galgas de deformación en dos direcciones
perpendiculares y no requiere los valores de las constantes elásticas de la lámina.
La resistencia a cortadura en el plano no es más que la mitad de la tensión máxima uniaxial que se puede
aplicar a la lámina. La pendiente inicial de la curva que de τ12 en función γ12 nos da el módulo decortadura,
G12. Se toman un total de 40 a 50 puntos de la tensión y de la deformación hasta que la muestra falla. De la
figura 2.4.6.2, se obtienen, para un laminado típico grafito/epoxy, los siguientes valores:
G12 = 5.566 GPa
(τ12)ult = 87.57 MPa
(γ12)ult = 2.619 %
Discusión: La predicción de la resistencia final a cortadura es compleja. Parámetros similares, como las
intercara débiles, la presencia de huecos y la diferencia en los valores del coeficiente de Poisson, hace que los
modelos sean bastante complejos.
Métodos teóricos para la obtención de los parámetros de resistencia también incluyen métodos estadísticos y
avanzados. Los métodos estadísticos incluyen tener en cuenta las variaciones de resistencia de la fibra, la
adhesión fibra/matriz, los huecos, el espaciado de las fibras, el diámetro de la fibras, la alineación de las
fibras, etc. Los métodos avanzados utilizan la elasticidad, métodos de elementos finitos, métodos de
elementos límite, métodos de diferencias finitas, etc
Figura 2.4.6.2.- Esfuerzo de corte, corte la curva de tensión obtenida a partir de una [± 45] 2S grafito / epoxi
laminado bajo una carga de tensión.
2.5.- Coeficientes de expansión térmica.
Cuando un cuerpo experimenta un cambio de temperatura, sus dimensiones, en relación con sus dimensiones
originales, cambian en proporción al cambio de temperatura. El coeficiente de expansión térmica se define
como el cambio en la dimensión lineal de un cuerpo por unidad de longitud y por unidad de cambio de la
temperatura.
Para una lámina unidireccional, los cambios dimensiones difieren en las dos direcciones 1 y 2. Así, los dos
coeficientes de expansión térmica se definen como:
α1 = Coeficiente lineal de expansión térmica en la dirección 1, m/m/° C
α2 = Coeficiente lineal de expansión térmica en la dirección 2, m/m /° C
Las siguientes expresiones son las desarrolladas para los dos coeficientes de expansión térmica utilizando el
principio termoelástico extremo:
1 
1
 V E  mVmEm 
E1 f f f
2  1  v f f Vf  1  v m mVm  112
(2.5.1)
(2.5.2)
donde αf y αm son los coeficientes de expansión térmica de la fibra y la matriz, respectivamente.
Coeficiente de dilatación térmica longitudinal.
A modo de ejemplo, la ecuación (2.5.1) se puede obtener utilizando un enfoque basado en la mecánica de los
materiales. Consideremos la expansión de una lámina unidireccional en el sentido longitudinal bajo un cambio
de temperatura ΔT. Si sólo se aplica el cambio de temperatura ΔT, la lámina unidireccional tiene una carga
global, F1, nula en la dirección longitudinal. Entonces:
F1  1Ac  0   f Af   m Am
(2.5.3)
o bien:
 f Vf   mVm  0
(2.5.4)
donde:
Ac, f, m = Sección transversal del material compuesto, de la fibra compuesta y de la matriz, respectivamente
σ1, f, m = Tensión del material compuesto, de la fibra y de la matriz, respectivamente
A pesar de que la carga global en la dirección longitudinal 1 es igual a cero, se producen tensiones en la fibra
y la matriz debido a la diferencia entre los valores de los coeficientes de expansión térmica de la fibra y la
matriz. Esas tensiones vienen dadas por:
y:
 f  Ef  f  f T 
(2.5.5)
 m  Em  m  m T 
(2.5.6)
Sustituyendo las ecuaciones (2.5.5) y (2.5.6) en la ecuación (2.5.4) y teniendo en cuenta que las
deformaciones en la fibra y la matriz son iguales (εf = εm = ε1), se tiene:
f 
f Vf Ef   mVm Em
Vf Ef  Vm Em
T
(2.5.7)
Para la expansión libre en el material compuesto en la dirección longitudinal 1, la deformación longitudinal
es:
1  1T
(2.5.8)
Debido a que las deformaciones en la fibra y en el material compuesto también son iguales (εf = ε1), de las
ecuaciones (2.5.7) y (2.5.8), se deduce:
1

f Vf Ef   mVm Em
Vf Ef  Vm Em
(2.5.9)
y como
E1
 Vf Ef  VmEm
1

se tiene:
1
 V E  mVmEm 
E1 f f f
(2.5.10)
El coeficiente de dilatación térmica longitudinal puede reescribirse como:
1
 E
 f f
 E
 1

 E
Vf   m m

 E1

Vm

(2.5.11)
lo que demuestra que también sigue la regla de mezclas basada en la media ponderada del término (αE/E1) de
los constituyentes.
Coeficiente de dilatación térmica transversal.
Debido al cambio de temperatura ΔT y asumiendo la condición de compatibilidad de que la deformación en
la fibra y la matriz es igual en la dirección 1 - , es decir:
1   f
 m
La tensión en la fibra en la dirección longitudinal 1 es:
 f 1  Ef f 1  Ef 1  Ef 1  f  T
(2.5.12)
y la tensión en la matriz en la dirección longitudinal 1 es:
 m 1  Em  m 1  Em1  Em m  1  T
(2.5.13)
Las deformaciones en la fibra y la matriz en la dirección transversal 2 se obtienen mediante el uso de la ley
de Hooke:
 f 2  f T 
f  f 1
 m 2  m T 
Ef
m  m 1
Em
(2.5.14)
(2.5.15)
La deformación transversal del material compuesto viene dada por la regla de las mezclas:
 2   f 2 Vf   m 2 Vm
(2.5.16)
Sustituyendo las ecuaciones (2.5.14) y (2.5.15) en la ecuación (2.5.16) y teniendo en cuenta las ecuaciones
(2.5.12) y (2.5.13) se obtiene:

 2   f T 


y como:
se tiene:
Sustituyendo:
f Ef 1  f  T 
Ef

m Em  m  1  T 
Vf    m T 
Vm



E
m



 2  2T
2  f  f 1  f Vf   m  m m  1 Vm
12  f Vf  mVm
(2.5.17)
(2.5.18)
(2.5.19)
(2.5.20)
en la ecuación (2.5.19), se obtiene finalmente:
2  1  f f Vf  1  m mVm  112
(2.5.21)
En la figura 2.5.1, se representan los dos coeficientes de expansión térmica de un material compuesto vidrio/
epoxi en función de la fracción volumétrica de fibra.
Cabe señalar que en los materiales compuestos de matriz polimérica el coeficiente de dilatación térmica
longitudinal es menor que el coeficiente transversal. Además, en algunos casos, el coeficiente de expansión
térmica de las fibras es negativo, por lo que es posible que una lámina tenga un coeficiente de expansión
térmica nulo en la dirección de la fibra. Esta propiedad se utiliza ampliamente en la fabricación de antenas,
puertas, etc, cuando se desea estabilidad dimensional en presencia de fluctuaciones de temperatura.
Figura 2.5.1.- Coeficientes de expansión térmica longitudinal y transversal de una lámina unidireccional
vidrio/epoxi en función de la fracción volumétrica de fibra
Determinaciones experimentales: Los coeficientes de expansión térmica lineal se determinan
experimentalmente mediante la medición de los cambios dimensionales en una lámina que está libre de
tensiones externas. La probeta de ensayo, de dimensiones 50 × 50 mm, se compone de un material compuesto
laminado de ocho láminas unidireccionales (Figura 2.5.2).
Dos galgas se colocan perpendiculares entre sí en la muestra. También se coloca un sensor de temperatura. La
muestra se coloca en un horno y se incrementa poco a poco la temperatura.
Figura 2.5.2.- Probeta unidireccional de grafito/epoxy con galgas extensométricas y sensores de temperatura
para encontrar los coeficientes de expansión térmica.
Las mediciones de las deformaciones y la temperatura se toman y se representan gráficamente en función de
la temperatura como se indica en la figura 2.5.3. Los datos se ajustan mediante regresión lineal. La pendiente
de cada una de las dos curvas deformación-temperatura nos da el coeficiente de expansión térmica. De la
figura 2.5.3, se obtienen los siguientes valores para un laminado típico grafito/epoxy.
α1 = -1.3x10-6 m/m/ºC
α2 = 33.9x10-6 m/m/ºC
Figura 2.5.3.- Deformación inducida en función de la temperatura para encontrar los coeficientes de
expansión térmica de un laminado unidireccional grafito/ epoxy.
2.6.- Coeficientes de expansión por la humedad.
Cuando un cuerpo absorbe agua, como es el caso de las resinas poliméricas presentes como matriz en los
materiales compuestos, se expande. El cambio en las dimensiones del cuerpo se iden a través del coeficiente
de expansión de humedad, que se define como el cambio en la dimensión lineal de un cuerpo por unidad de
longitud, por unidad de cambio en el peso de la humedad contenida y por unidad de peso del cuerpo. Al igual
que en el caso de los coeficientes de expansión térmica, existen dos coeficientes de expansión de humedad:
uno en la dirección longitudinal 1 y otro en la dirección transversal 2:
β1 = Coeficiente de dilatación lineal de humedad en la dirección 1, m/m/kg/kg.
β2 = Coeficiente de dilatación lineal de humedad en la dirección 2, m/m/kg/kg.
Las expresiones de los dos coeficientes de la expansión de humedad son las siguientes:
1 
2 
f Cf Vf Ef  m CmVm Em
c
E1  Cf f Vf  Cm mVm 
(2.6.1)
Vf 1  f  Cf f  Vm 1  m  Cm m
Cf f Vf  Cm mVm
c  112
(2.6.2)
donde:
ΔCf = Concentración de humedad en la fibra, kg / kg
ΔCm = Concentración de humedad en la matriz, en kg / kg
βf = Coeficiente de expansión de humedad de la fibra, m / m / kg / kg
βm = Coeficiente de expansión de humedad de la matriz, m / m / kg / kg
Hay que tener en cuenta que, a diferencia de los coeficientes de expansión térmica, el contenido de humedad
entra en la fórmula porque la capacidad de absorción de humedad por cada componente puede ser diferente.
Sin embargo, en la mayoría de los compuestos de matriz polimérica, fibras no absorben o desorben humedad,
por lo que las expresiones de los coeficientes de la expansión de humedad se convierten en independientes del
contenido de humedad. Sustituyendo ΔCf = 0 en las ecuaciones (2.6.1) y (2.6.2), se tiene:
1 
E m c
m
E1 m
2  1  m 
(2.6.3)
c
 
m m 1 12
(2.6.4)
Una simplificación posterior para materiales compuestos, tales como el grafito/epoxi con un valor de la
relación de módulos (Ef/Em) alto y sin absorción de humedad por las fibras conduce a:
1  0
 2  1  m 
(2.6.5)
c

m m
(2.6.6)
Al igual que en la derivación de la expresión del coeficiente de dilatación térmica longitudinal, la ecuación
(2.6.1) se puede obtener utilizando un enfoque basado en la mecánica de los materiales. Consideremos la
expansión de una lámina unidireccional en el sentido longitudinal, debido a cambios en el contenido de
humedad en el material compuesto. La carga global F1 en el material compuesto, es igual a cero - es decir,
F1  1Ac  0   f Af   m Am
o bien:
 f Vf   mVm  0
(2.6.7)
donde:
Ac, f, m = Sección transversal del material compuesto, de la fibra compuesta y de la matriz, respectivamente
σ1, f, m = Tensión del material compuesto, de la fibra y de la matriz, respectivamente
Las tensiones causadas por la humedad en la fibra y la matriz son:
 f  Ef  f  f Cf 
 m  Em  m  m Cm 
(2.6.8)
(2.6.9)
Sustituyendo las ecuaciones (2.6.8) y (2.6.9) en la ecuación (2.6.7) y teniendo en cuenta que las
deformaciones en la fibra y la matriz son iguales (εf = εm),
f 
f Cf Vf Ef  m CmVm Em
(2.6.10)
Ef Vf  EmVm
Para expansión libre del material compuesto en la dirección longitudinal, la deformación longitudinal es:
1  1Cc
(2.6.11)
donde:
ΔCc =Concentración de humedad en el material compuesto.
Debido a que las deformaciones en la fibra y la matriz son iguales, se tiene:
1 
f Cf Vf Ef  m CmVm Em
Cc  Ef Vf  EmVm 
(2.6.12)
La ecuación (2.6.12) se puede simplificar relacionando la concentración de humedad en el material
compuesto (ΔCc) con la concentración de humedad en la fibra (ΔCf) y la matriz (ΔCm).
El contenido de humedad en el material compuesto es la suma de los contenidos de humedad en la fibra y la
matriz, es decir:
Cc wc  Cf wf  Cmw m
(2.6.13)
donde:
w c, f, m = Masa del material compuesto, de la fibra y de la matriz, respectivamente.
Así:
Cc  Cf Wf  CmWm
(2.6.14)
donde:
W c, f, m = Fracción másica del material compuesto, de la fibra y de la matriz, respectivamente.
Sustituyendo la ecuación (2.6.14) en la (2.6.12):
1 
f Cf Vf Ef  m CmVm Em
 Cf Wf  CmWm Ef Vf  EmVm 
(2.6.15)
Utilizando las ecuaciones (2.2.4) y (2.3.6), se puede reescribir la ecuación (2.6.5) en términos de las
fracciones volumétricas de fibra y del módulo de elasticidad longitudinal como:
1 
f Cf Vf Ef  m CmVm Em
c
E1  Cf f Vf  Cm mVm 
(2.6.16)
3.-Análisis macromecánico de una lámina.
3.1.- Introducción.
Los materiales compuestos tienen algunas propiedades que son similares a las que poseen los materiales
convencionales, pero otras son totalmente nuevas y requieren un estudio y una experimentación diferentes. A
menudo hay que asegurarse de que un componente no se rompe, es decir, que tenga la resistencia adecuada, o
que no sufre una deformación excesiva bajo carga, es decir, que tenga una rigidez adecuada.
Las cargas que actúan sobre una estructura o componente son de dos tipos básicos: fuerzas y momentos. A su
vez, las fuerzas pueden ser subdivididas en tracción, compresión y cortadura y los momentos pueden ser de
flexión y de torsión. Dichas cargas pueden actuar en forma aislada o en combinación, dependiendo de la
situación. Cada tipo de carga mencionada produce una deformación característica del cuerpo sobre el que
actúa (Figura 3.1.0a). También con frecuencia se refieren a estados de tensión plana y deformación plana. En
un estado de tensión plana, las tensiones normales al plano en el que actúan las tensiones se considera que
son nulas, por ejemplo, una placa en flexión simple. En deformación plana, las deformaciones normales al
plano en el que actúan las tensiones se considera que son nulas, por ejemplo, la sección transversal de una
barra que se mantiene entre paredes rígidas.
Para hacer frente a componentes de diferentes tamaños, se trabaja con cargas normalizadas. Así, las fuerzas
de tracción y compresión se dividen por el área de la sección transversal para dar la tensión correspondiente
directa (σ) y la fuerza cortante se divide por una superficie para dar una la correspondiente tensión de
cortadura (τ) (Figura 3.1.0b). La tensión, por lo tanto, tiene unidades de fuerza/área, es decir, N/m2 o Pascal
(Pa).
Un momento de flexión sólo dará lugar a una tensión directa que varía linealmente a través de la profundidad
del componente, la cual será de tracción en una superficie y de compresión en la otra. Una fuerza transversal
(perpendicular al eje longitudinal de la viga) dará lugar a tensiones de cortadura, así como a tensiones
normales (Figura 3.1.0b). Un par dará lugar a tensiones de cortadura, las cuales pueden variar de una manera
lineal, pero sólo se pueden calcular fácilmente para componentes simples, como por ejemplo, una varilla de
sección circular (Figura 3.1.0b). Para las placas es habitual trabajar con cargas (fuerzas y momentos) por
unidad de ancho, como se muestra en la figura 3.1.0c.
La deformación es una medida adimensional del cambio de dimensiones que experimenta el componente,
puede ser elástica (instantánea y reversible), anelástica (reversible dependiente del tiempo), inelástica
(irreversible dependiente del tiempo) o permanente. Hay dos tipos de deformación, directa y cortante, en
correspondencia con la tensión adecuada. Las definiciones (denominadas “deformaciones ingenieriles) se
obtienen de las cantidades dadas en la figura 3.1.1a. Por lo tanto, se tiene:
Deformación directa: ε =δ/l, que se toma como positiva para una fuerza de tracción y negativa si es de
compresión
Deformación de cortadura: γ = ϕ1+ϕ2
En el caso de la flexión, el radio de curvatura está relacionada con la deformación directa mediante la
expresión:
ε = y/R = κy
donde κ es la curvatura. La deflexión puede relacionarse con la curvatura.
Para el caso simple de torsión que se muestra en la figura 3.1.1b, la deformación de cortadura se obtiene
mediante:
γ = rθ/l
Figura 3.1.0a.-Cargas y deformaciones asociadas.
Figura 3.1.0b.- Cargas y tensiones asociadas.
Figura 3.1.0c.- Cargas que actúan sobre una placa: Fuerza por unidad de ancho, N = P/w; momento por
unidad de ancho, M = M0/w; tensión directa debida a P, σ = N/t = P/wt.
Una gran parte de los materiales son homogéneos e isótropos. La condición de homogeneidad en un cuerpo
implica que las propiedades no son función de punto en el cuerpo y, por tanto, tienen el mismo valor en todos
los puntos de él. Una barra de acero es un ejemplo de un cuerpo homogéneo. Sin embargo, si se calienta la
barra en un extremo, la temperatura en varios puntos de la barra sería diferente. Debido a que el módulo de
elasticidad del acero varía con la temperatura, ya no se tiene un cuerpo homogéneo. El cuerpo sigue siendo
isotrópico porque las propiedades en un punto determinado son idénticas en todas las direcciones.
Cuando las propiedades no dependen de la orientación en un punto del cuerpo se dice que dicho cuerpo es
isótropo. Los materiales compuestos son no homogéneos y anisótropos, y por ello, las propiedades no son
uniformes sobre el cuerpo.
Las preguntas básicas del análisis macromecánico de una lámina son:
(1) ¿cuáles son las características de la lámina?
(2) ¿cómo responde una lámina a las tensiones aplicadas como en la figura 3.1.0d?
Figura 3.1.0d.- Cuestiones básicas del análisis macromecánico de una lámina.
Una lámina es una capa delgada plana (o curvada como una concha) de un material compuesto, que
generalmente tiene un espesor del orden de 0.125 mm). Un laminado se construye apilando una serie de
láminas en la dirección del espesor de la lámina (Figura 3.1.1). Estructuras mecánicas hechas con laminados,
son sometidas a diferentes cargas, tales como la flexión y torsión. El diseño y análisis de tales estructuras
laminadas exige el conocimiento de las tensiones y deformaciones en el laminado.
Fibra
Matriz
Figura 3.1.1.- Laminado hecho con tres láminas.
Los bloques de construcción de un laminado son simples láminas, por lo que el estudio del análisis mecánico
de una lámina debe preceder al del laminado. Una lámina se diferencia de un material homogéneo isótropo.
Por ejemplo, si la lámina está hecha de fibras isotrópicas homogéneas y una matriz homogénea isotrópica, la
rigidez de la lámina varía de un punto a otro en función de si el punto está en la fibra, la matriz, o la intercara
fibra-matriz.
Tener en cuenta estas variaciones hace que los modelos mecánicos de la lámina sean muy complicados. Por
esta razón, el análisis macromecánico de una lámina se basa en trabajar con valores medios de las
propiedades y en que la lámina sea homogénea. Los métodos para encontrar las propiedades promedio
basados en las propiedades mecánicas individuales de la fibra y la matriz, así como en el contenido de fibras,
geometría del empaquetamiento y la forma de fibras se han visto en el apartado anterior.
A pesar de la homogeneización de una lámina, el comportamiento mecánico sigue siendo diferente del de un
material isotrópico homogéneo. Por ejemplo, si se toma una placa cuadrada de lado w y espesor t de un placa
grande isotrópica de espesor t (Figura 3.1.2) y se llevan a cabo los siguientes experimentos.
Caso A: Se somete a la placa cuadrada a una carga normal P en la dirección 1 y a continuación se miden las
deformaciones normales en las direcciones 1 y 2, δ1A y δ2A, respectivamente.
Caso B: Se aplica la misma carga normal P como en el caso A, pero ahora en la dirección 2 y a continuación
se miden las deformaciones normales en las direcciones 1 y 2, y δ1B δ2B, respectivamente.
Se puede observar que:
δ1A = δ2B
δ2A = δ1B
Figura 3.1.2.- Deformación de una placa cuadrada tomada de una placa isotrópica bajo cargas normales.
Sin embargo, si se toma una placa cuadrada unidireccional (Figura 3.1.3) de las mismas dimensiones w×w×t
de una lámina grande de un material compuesto de espesor t y se llevan a cabo los mismos experimentos A y
B, las deformaciones ya no son iguales:
δ1A ≠ δ2B
δ2A ≠ δ1B
lo que se debe a que la rigidez de una lámina unidireccional en el sentido de las fibras es mucho mayor que la
rigidez en la dirección perpendicular a las fibras. Por lo tanto, la caracterización mecánica de una lámina
unidireccional requiere más parámetros que una lámina isotrópica.
Figura 3.1.3.- Deformación de una placa cuadrada tomada de una lámina unidireccional, con la dirección de
las fibras formando un ángulo de 0 o de 90º con la dirección de la carga normal.
Además, hay que tener en cuenta que si la placa cuadrada (Figura 3.1.4) que se saca de la lámina tiene fibras
en ángulo con respecto a los lados de la placa cuadrada, las deformaciones serán diferentes para diferentes
ángulos. De hecho, la placa cuadrada no sólo tiene deformaciones en las direcciones normales, sino que
también se distorsiona. Esto sugiere que la caracterización mecánica de una lámina en ángulo se complica aún
más.
Figura 3.1.4.- Deformación de una placa cuadrada tomada de una lámina unidireccional, con la dirección de
las fibras formando ángulo con la dirección de la carga normal.
La caracterización mecánica de materiales en general, requiere de una experimentación costosa y que requiere
mucho tiempo y/o modelos teóricos. Por lo tanto, el objetivo es encontrar el número mínimo de parámetros
necesarios para la caracterización mecánica de una lámina.
Además, un material compuesto puede estar sometido a un cambio de temperatura y puede absorber humedad
durante su procesado y operación. Estos cambios en la temperatura y la humedad dan como resultado
tensiones y deformaciones residuales en el laminado. El cálculo de estas tensiones y deformaciones en un
laminado depende de la respuesta de cada lámina a dichos parámetros ambientales.
La familia más importante de cuerpos no isotrópicos asociada con la construcción de laminados sencillos es la
de los cuerpos ortotrópicos, los cuales tienen tres planos mutuamente perpendiculares de simetría material.
Un material ortotrópico posee propiedades en cualquier punto diferentes en tres direcciones mutuamente
perpendiculares, con tres planos de simetría mutuamente perpendiculares. Estos tres ejes se utilizan en el
análisis de tensiones y se denominan ejes naturales. Dos de estos ejes están en el plano de un laminado plano.
El tercer eje es perpendicular al plano del laminado plano. Una lámina unidireccional tiene tres planos de
simetría mutuamente perpendiculares como se ilustra en la figura. 3.1.5, y es, por tanto, ortotrópica.
Cuando el material ortotrópico tiene iguales propiedades respecto de cada uno de los dos ejes naturales del
plano de un laminado plano, entonces el laminado se denomina bidireccional. Un laminado plano
unidireccional es un material ortotrópico que muestra propiedades muy diferentes respecto a cada uno de los
dos ejes del plano del laminado.
Figura 3.1.5.- Tres planos mutuamente perpendiculares de simetría material en una lámina unidireccional.
Una lámina de tejido de mechas es ortotrópica y una lámina de fieltro de hebras cortadas se supone
normalmente isotrópica en el plano de la lámina.
En este apartado se van a describir los métodos que se usan para calcular las propiedades elásticas de los
laminados a partir de las propiedades, orientación y distribución de las distintas láminas. Esto es importante
en el diseño de los laminados compuestos ya que es esencial que la respuesta del laminado final a las cargas
exteriores pueda preverse. La consecución se basa en la teoría del laminado.
La teoría usa la teoría de elasticidad anisótropa que requiere un conocimiento de álgebra de matrices. Este
apartado empieza con una breve introducción a la teoría de la elasticidad y desarrolla los pasos principales que
se requieren para calcular las propiedades de los laminados. Se dan algunos ejemplos simples para mostrar la
forma en que se usa la teoría. También en este apartado, se describen los métodos para calcular los esfuerzos
en las láminas individuales cuando se aplica una carga a un laminado.
3.2.- Relaciones entre esfuerzos y deformaciones. Ley de Hooke. Propiedades elásticas de una lámina
unidireccional.
Al realizar en un sólido un corte ideal por un plano π (Figura 3.2.1) y suponer eliminada una de las dos
partes en que queda dividido, el equilibrio elástico de la parte que queda exige la existencia de una
distribución continua de esfuerzos df en todos los puntos del sólido pertenecientes a la sección Σ
determinada por el plano π. El vector tensión,  , se define como la fuerza de esa distribución continua por
unidad de superficie mediante el límite:
 f  df
(3.2.0)
  lim 

0 

 d
Fijado el plano π, la dirección del vector tensión, colineal con df , dependerá del sistema de fuerzas
exteriores.
Siempre se podrá considerar para cada orientación del plano π, que pase por un punto P, dos direcciones
particulares como son la normal exterior n y la que se obtiene al proyectar  sobre el plano π. Las
componentes de  según estas dos direcciones se llaman componentes intrínsecas del vector tensión. La
componente σn, según la normal al plano π, recibe el nombre de tensión normal y la proyección τ sobre
dicho plano se denomina tensión tangencial.
Figura 3.2.1.- Corte ideal de un sólido por un plano π .
Como estas dos direcciones son perpendiculares, entre el módulo del vector tensión y sus componentes
intrínsecas, se verificará la relación:
(3.2.1)
 2   n2   2
es conveniente hacer la observación que el vector tensión, por definición, se asocia a una superficie y no se
podrán componer vectorialmente tensiones en un punto como si se tratara de fuerzas a no ser que todas ellas
se refieran a la misma superficie.
Considerando el sistema cartesiano dextrógiro x-y-z y tomemos una sección transversal paralela al plano yz
en el cuerpo como se muestra en la figura 3.2.2. El vector de fuerza ΔP actúa sobre un elemento de área ΔA.
La componente ΔPx es normal a la superficie y la componente ΔPs es paralela y, esta última, puede
descomponerse en sus componentes a lo largo de los ejes y y z: ΔPy y ΔPz. La definición de las tensiones es,
 P 
 x  lim  x 
A0
 A 
 Py 

 A 
 P 
 lim  z 
A0 A


(3.2.2a)
 xy  lim 
A0
(3.2.2b)
 xz
(3.2.2c)
De forma similar, se pueden definir las tensiones para las secciones transversales paralelas a los planos xy y
xz.
Figura 3.2.2.- Fuerzas sobre un área infinitesimal en el plano y-z.
Consideremos el sólido y tomemos un sistema de referencia cartesiano ortogonal Oxyz (Figura 3.2.3).
Aislemos el paralelepípedo elemental de aristas dx, dy, dz que rodea a un punto P interior del sólido.
Sobre cada una de sus caras existe un vector tensión cuyas componentes intrínsecas normales tendrán las
direcciones de los ejes coordenados respectivos y las tangenciales se podrán descomponer a su vez en las
direcciones de los dos ejes paralelos a la cara que se considere.
Figura 3.2.3.-Componentes del esfuerzo que actúa sobre un cubo unidad elemental.
Las tensiones normales las denotaremos por:
σni (i = x,y,z)
(3.2.3)
en donde el índice i indica el eje al cual son paralelas y convendremos en asignarles signo positivo si son de
tracción y negativo si se trata de compresión.
Las tensiones tangenciales las representaremos por:
τij
(i ,j= x,y,z) i≠j
(3.2.4)
indicando el primer subíndice i la dirección normal al plano en que actúa y el segundo j la dirección del eje
al cual es paralela. En cuanto al signo de las tensiones tangenciales, diremos que son positivas cuando
actuando en una cara vista (Figura 3.2.3) tienen el sentido positivo de los ejes coordenados.
Sobre las caras del paralelepípedo elemental, dado que sus dimensiones son muy pequeñas, admitiremos
que los esfuerzos que se ejercen sobre ellas debidos a las tensiones se encuentran uniformemente repartidas,
por lo que podremos suponer que la resultante de estas fuerzas que actúan en cada cara pasa por el centro de
gravedad de la misma. Estas fuerzas de superficie son infinitésimos de segundo orden. Las fuerzas de
volumen, si las hay, las consideraremos despreciables por tratarse de infinitésimos de tercer orden.
Este paralelepípedo se encuentra en equilibrio. De la condición de ser nula la resultante de las fuerzas de
superficie ejercidas sobre sus caras, ya que las fuerzas de volumen son infinitésimos de orden superior, se
deduce que las fuerzas sobre dos caras opuestas son iguales y de signo opuesto y, por tanto, las tensiones,
ya que las áreas de dos caras opuestas son iguales.
Los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas constituyen pares de fuerzas. El equilibrio exige que sea nulo
el momento resultante (téngase presente que estamos estudiando equilibrio de fuerzas, no de tensiones, por
lo que habrá que multiplicar cada τij por el área de la cara respectiva).
Mx  0
;  yzdxdzdy   zy dxdydz  0
My  0
;  zx dxdydz   xz dydzdx  0
Mz  0
;  xy dydzdx   yx dxdzdy  0
de estas ecuaciones de deduce:
 yz   zy
,  zx   xz
(3.2.5)
,  xy   yx
(3.2.6)
igualdades que expresan una importante propiedad de la tensión cortante: las componentes de las tensiones
cortantes en un punto correspondientes a dos planos perpendiculares, en la dirección normal a la arista de su
diedro, son iguales (teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales). El sentido es tal que
considerando un diedro recto, ambas se dirigen hacia la arista o ambas se separan (Figura 3.2.4).
Figura 3.2.4.- Propiedad de la tensión cortante.
Se puede observar que de los 18 valores de las componentes de los vectores tensión correspondientes a las
seis caras del elemento cúbico considerado (tres por cada cara), solamente hay seis valores independientes.
 nx , ny , nz , yz , zx , xy
(3.2.7)
Veamos que conocidos estos seis valores queda determinada la tensión correspondiente a cualquier
orientación. En efecto, consideremos un tetraedro elemental como entorno de un punto P interior del prisma
mecánico, según se indica en la figura 3.2.5.
Figura 3.2.5.- Tetraedro elemental como entorno de un punto P interior del prisma mecánico.
Sean σx, σy, σz , las componentes del vector tensión a en la cara ABC de área dΩ y expresémoslas en
función de los seis valores (3.2.7) y de las componentes (cosα, cosβ, cosγ) del vector unitario u según la
normal a dicha cara.
Las áreas de las caras del tetraedro paralelas a los planos coordenados son las proyecciones ortogonales del
área dΩ del triángulo ABC, es decir, tienen de valores cosαdΩ, cosβdΩ, cosγdΩ respectivamente. Para
que el tetraedro esté en equilibrio la suma de componentes paralelas de cada eje debe ser nula. Recordemos
que los momentos eran infinitésimos de tercer orden, así como las fuerzas de volumen, por lo que no
aparecen en las ecuaciones de equilibrio.
Planteando las condiciones de equilibrio del tetraedro, se tiene:
 x d   nx cos d   xy cos  d   zx cos  d 
 y d   xy cos d   ny cos  d   yz cos  d
 zd   zx cos d   yz cos  d   nz cos  d
(3.2.8)
Se puede expresar este sistema de ecuaciones en forma matricial
  x    nx
  
  y     xy
     zx
 z 
 xy  zx   cos 

 ny  yz   cos  
 yz  nz   cos  
(3.2.9)
o bien simbólicamente:
   T  u 
 
 
(3.2.10)
donde la matriz
  nx

T     xy

 zx
 xy  zx 

 ny  yz 
 yz  nz 
(3.2.11)
que es simétrica y depende exclusivamente de los seis valores (3.2.7) se llama matriz de tensiones.
Las expresiones (3.2.9) ó (3.2.10) indican que se obtiene la matriz del vector tensión correspondiente a un
determinado plano multiplicando la matriz de tensiones por la matriz del vector unitario normal a dicho
plano. Se deduce de ello que el estado tensional en el interior de un sólido elástico es conocido, si lo es en
todos sus puntos la matriz de tensiones.
Las tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para la definición de las seis componentes de la tensión en
un punto. Para un cuerpo que es elástico lineal y pequeñas deformaciones, las tensiones y deformaciones en
un punto se relacionan a través de seis ecuaciones lineales simultáneas derivadas de la ley de Hooke. Hay que
tener en cuenta que hay 15 parámetros desconocidos en un punto: seis tensiones, seis deformaciones y tres
desplazamientos.
Cuando se aplica un esfuerzo unidireccional de tracción a un sólido la deformación elástica ε en la dirección
del esfuerzo aplicado se relaciona con éste por la ecuación:
σ= Eε o ε=σ/e
(3.2.12)
donde E es el módulo de Young. Esta es una sencilla expresión de la ley de Hooke. La deformación unitaria
transversal normal al esfuerzo aplicado es -υε donde υ es el coeficiente de Poisson. Para un material isótropo
E y υ son independientes de la dirección del esfuerzo aplicado. El módulo de cortadura G se define por
τ = Gγ
o γ= τ/G
(3.2.13)
donde γ es la variación angular en radianes.
Cualquier deformación longitudinal (en la dirección de la fuerza) vendrá acompañada por una deformación
lateral en el sentido contrario (Efecto del coeficiente de Poisson).
Las deformaciones en las dos direcciones ortogonales están relacionados por una cantidad conocida como el
coeficiente de Poisson, υ, es decir:
υ = -(εy/εx)
De ello se desprende, que se las tensiones directas están actuando en dos direcciones ortogonales, la
deformación resultante en cada dirección dependerá de ambas tensiones, es decir:
x 
x
E
y  

 y
 x
E
E

y
E
y resolviendo las expresiones anteriores:
x 
y 
E
1 2
E
1 2
 x   y 
 x   y 
Para un material isótropo se tiene:
G = E/2(1+υ)
(3.2.14)
La influencia del coeficiente de Poisson se ve, también, en la flexión de placas, que se traduce en una
distribución lineal de la tensión directa variable a través del espesor, de tracción sobre una superficie a
compresión en la otra. Asociada con la tensión de tracción hay una contracción lateral, y con la de compresión
una expansión lateral. El resultado de esto es la flexión de la placa en el sentido contrario a la flexión
principal, que es lo que se conoce como curvatura anticlástica (Figura 3.2.6).
Figura 3.2.6.- Deformación de flexión de una placa. Tensión de tracción en la superficie superior produce la
contracción lateral (opuesto a la superficie inferior).
Utilizando una generalización de la expresión de flexión de una viga, se pueden relacionar las deformaciones
y curvaturas que surgen de la aplicación de momentos de flexión:
x 
z
 z x
Rx
y 
z
 z y
Ry
siendo z la distancia medida a través del espesor. Si se aplica un momento de torsión, habrá una deformación
cortante correspondiente dada por
 xy  z xy
Sustituyendo las expresiones anteriores en las ecuaciones:
x 
x
E
y  
se puede obtener las tensiones directas correspondientes:
x 
y 
zE
1 2
zE
1 2
 x   y 
 x   y 

 y
 x
E
E

y
E
La ley de Hooke puede ser expresada en forma generalizada (para un cuerpo tridimensional en un sistema
ortogonal 1-2-3), usando la notación convenida anteriormente como:
6
 i  Cij  j
j 1
(3.2.15)
donde ij = 1,…,6. Las σi son las componentes del esfuerzo y las ε i son las componentes de la deformación. Se
pueden seguir las siguientes notaciones:
Tensiones:
Deformaciones:
 nx   1, ny   2 , nz   3 , yz   23 , zx   31, xy   12
 x  1, y   2 , z   3 , yz   23 , zx   31, xy   12
A Cij se le llama matriz de rigidez y tiene 36 constantes. La ecuación (3.2.15) en forma matricial es:
1   C
   11
  2   C21
   C
 3    31
 23   C41
  
 31   C51
   C61
 12 
C12
C22
C32
C42
C52
C62
C13
C23
C33
C43
C53
C63
C14
C24
C34
C44
C54
C64
C15
C25
C35
C45
C55
C65
C16   1 
 
C26    2 
C36    3 

C46    23 
 
C56    
 31
C66    
 12 
(3.2.16a)
que es la notación matricial para seis ecuaciones que relacionan esfuerzos con deformaciones, que son:
 1  C111  C12 2  C13 3  C14 23  C15 31  C1612
 2  C121  C22 2  C23 3  C24 23  C25 31  C26 12
 3  C131  C23 2  C33 3  C34 23  C35 31  C36 12
 23  C141  C24 2  C34 3  C44 23  C45 31  C46 12
 31  C151  C25 2  C35 3  C45 23  C55 31  C56 12
12  C161  C26 2  C36 3  C46 23  C56 31  C66 12
(3.2.16b)
Puede demostrarse que Cij =Cji, por lo que las 36 constantes que aparecen en las expresiones (3.2.16) se
reducen a 21.
La energía se define como la capacidad para realizar trabajo. En los sólidos elásticos deformables, bajo
cargas, el trabajo realizado por las cargas externas se almacena como energía de deformación recuperable. La
energía de deformación almacenada en el cuerpo por unidad de volumen se define como:
W
1
 x  x   y  y   z z   xy  xy   yz yz   zx  zx
2


Teniendo en cuenta la expresión anterior, la energía de deformación almacenada en el cuerpo por unidad de
volumen es:
1 6
W   i  i
2 i 1
donde se puede suponer:
σ4 = τ23, σ5 = τ31, σ6 = τ12, ε4 = γ23, ε5 = γ31, ε6 = γ12
Sustituyendo en la expresión de la energía la Ley de Hooke:
6
 i  Cij  j
j 1
Se obtiene:
1 6 6
W  Cij  j  i
2 i 1 j 1
de donde, derivando:
W
 Cij  j
 i
y volviendo a derivar:
 2W
 Cij
 j  i
De forma similar, se llega a:
 2W
 C ji
 i  j
y teniendo el teorema de Schwartz:
 2W
 2W

 j  i  i  j
con lo que:
Cij  C ji
¿Qué pasa si se cambia el sistema de coordenadas de un sistema ortogonal 1-2-3 a otro sistema ortogonal, 1'2'-3'? Entonces, las constantes de la matriz de rigidez y de complianza requerirán relacionar las tensiones y
las deformaciones en el nuevo sistema de coordenadas 1'-2'-3'. Sin embargo, las nuevas matrices de rigidez y
de complianza en el sistema de referencia 1'-2'-3 serán función de las matrices de rigidez y de complianza en
el sistema 1-2-3 y el ángulo entre los ejes del sistema 1'-2'-3' y los ejes del sistema 1-2-3.
Hay un conjunto correspondiente de ecuaciones que relaciona deformaciones con esfuerzos
6
 i   Sij j
j 1
donde Sij es la matriz de flexibilidad.
(3.2.17)
La ecuación (3.2.17) en forma matricial, que se obtiene invirtiendo la expresión (3.2.16a), es:
 1   S
   11
  2   S21
  S
 3    31
  23   S41
  
  31   S51
    S61
 12 
S12
S22
S32
S42
S52
S62
S13
S23
S33
S43
S53
S63
S14
S24
S34
S44
S54
S64
S15
S25
S35
S45
S55
S65
S16    1 
 
S26   2 
S36    3 

S46    23 
 
S56    
 31
S66    
 12 
(3.2.18)
Para materiales isotrópicos (Todos los planos de un material ortotrópico son idénticos) la matriz de rigidez es
mucho más sencilla porque las propiedades elásticas son las mismas en todas las direcciones. La ecuación
(3.2.16.a) se reduce a:
  1   C11 C12 C12
   C12 C11 C12
 2  
    C12 C12 C11
 3  0
0
0
 23  
  
0
0
 31   0

 
0
0
 12   0
C11 = C22,
C12 = C23,
0
0
0
0
0
0
1 C  C 
2 11 12
0
0
1 C  C 
2 11 12
0
0
0
0
0
  
 1 
 2 
 
 3 
0
  
  23 
  
0
  31 
1 C  C     12 
2 11 12 
(3.2.19)
C66 =( C22 – C23)/2 =( C11 – C12)/2
Así mismo, para un material isotrópico la matriz de flexibilidad es también sencilla y la ecuación (3.2.18) se
reduce a:
 1   S S S
12
   11 12

 2   S12 S11 S12
  S S
S11
12
 3    12
  23   0
0
0
  
0
0
  31   0
    0
0
0
 12 
0
0
0
  1 
 
0
0
0
 2 
 3 
0
0
0
 
2  S11  S12 
0
0
  23 
  
0
2  S11  S12 
0
  31 
0
0
2  S11  S12    
 12 
(3.2.20)
Las flexibilidades pueden expresarse en función de constantes ingenieriles y la ecuación (3.2.20) se convierte
en:
 1
E
 1  

  
 2   E
    
 3  E
  23   0
  
  31   0
  
 12  
 0


1
E
E



1
E
E
E
E
0
0
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0 
 
1
0  
 2 
0    
 3
  
0  23
 
  31 
0  
 
1   12 
G
(3.2.21)
A su vez la expresión matricial (3.2.19) en función de constantes ingenieriles se convierte en:
 E 1   

1  2 1   

 1 
  
E
 2  
    1  2 1   
 3 
E
 23  
   1  2 1   
 31  
0
  
 12  
0


0

C11 
E
1  2 1   
E
1  2 1   
0
0
E 1   
1  2 1   
E
1  2 1   
0
0
E
1  2 1   
E 1   
1  2 1   
0
0
0
0
0
0
0
0
E 1   
,
1  2 1   
C12 
G 0
0 G
0 0

0
  
 1 
0  2 
 
 3 
0    23 
 
   31 
0  

0   12 
G 
(3.2.22)
E
1  2 1   
C11  C12  / 2  21  1  2 1     1  2E 1      2 1E    G


E 1


Estas ecuaciones muestran que todas las relaciones entre esfuerzo y deformación para los materiales
isotrópicos pueden ser descritas en función de sólo dos constantes elásticas independientes, a saber las
flexibilidades S11 y Sl2 o las constantes ingenieriles E y υ puesto que G está definida por la ecuación (3.2.14).
Para el ensayo a tracción uniaxial sencillo al que nos referimos al principio de esta sección, σ1 = σ, σ2 = σ3 =
τ23 = τ31 = τ12 = 0. Por tanto, la ecuación (3.2.10) se reduce a
ε1 = (1/E)σ
(3.2.23)
que es la misma ecuación que la (3.2.12) y
ε2 = ε3 = -(υ/E)σ
(3.2.24)
Material anisotrópico.
El material que tiene 21 constantes elásticas independientes en un punto se denomina material anisotrópico.
Una vez que esas constantes se determinan en un punto particular, se pueden desarrollar las relaciones entre la
tensión y la deformación en ese punto. Hay que tener en cuenta que dichas constantes puede variar de un
punto a otro si el material no es homogéneo. Incluso si el material es homogéneo (o se supone que es), se
necesita encontrar las 21 constantes elásticas analítica y experimentalmente.
Sin embargo, muchos materiales naturales y sintéticos poseen simetría - es decir, las propiedades elásticas son
idénticas en las direcciones de simetría porque la simetría está presente en la estructura interna.
Afortunadamente, la simetría se reduce el número de constantes elásticas independientes. Esto simplifica las
relaciones de la Ley de Hooke para los distintos tipos de simetría elástica.
Material monoclínico.
Si, en un plano de simetría del material (Simetría del material implica que el material y su reflejo sobre el
plano de simetría son idénticas) (Figura 3.2.6), por ejemplo, la dirección 3 es normal al plano de simetría del
material, entonces la matriz de rigidez se reduce a:
 C11

 C12
 C13
C

  0

 0

 C16
C12 C13 0
0 C16 

C22 C23 0
0 C26 
C23 C33 0
0 C36 

0
0 C44 C45 0 
0
0 C45 C55 0 

C26 C36 0
0 C66 
(3.2.32)
La dirección perpendicular al plano de simetría se llama dirección principal. Se observa que hay 13 constantes
elásticas independientes. El feldespato es un ejemplo de material monoclínico.
La matriz de complianza o flexibilidad se reduce a:
 S11

 S12
 S13
S    0

 0

 S16
S12
S22
S23
0
0
S26
S13
S23
S33
0
0
S36
0
0
0
S44
S45
0
0
0
0
S45
S55
0
S16 

S26 
S36 

0 
0 

S66 
(3.2.33)
Figura 3.2.6.- Transformación de los ejes de coordenadas para el plano de simetría 1-2 de un material
monoclínico.
Para demostrar el significado de la simetría elástica de un material dado monoclínico, consideremos el
elemento cúbico de la figura 3.2.7 sacado de un material monoclínico, en el que la dirección 3 es la dirección
perpendicular al plano de simetría 1-2. Apliquemos una tensión normal, σ3, al elemento. Luego, utilizando la
ecuación de la Ley de Hooke (3.2.17) y la matriz de flexibilidad [Ecuación (3.2.33)] al material monoclínico,
se obtiene
ε1=S13σ3,
ε2=S23σ3,
ε3=S33σ3,
γ23= 0,
γ31= 0,
γ12= S36σ3
(3.2.34)
El cubo se deforma en todas las direcciones según lo determinado por las ecuaciones de deformación normal.
Las deformaciones a cortadura en el plano 2-3 y 3-1 son iguales a cero, mostrando que el elemento no va a
cambiar la forma en esos planos. Sin embargo, si cambian de forma en el plano 1-2. Por lo tanto, las caras
ABEH y CDFG, perpendiculares a la dirección 3, cambiarán de rectángulos a paralelogramos, mientras que
las otras cuatro caras ABCD, BEFC, GFEH y AHGD se mantendrán en forma de rectángulos. Esto es
diferente del comportamiento anisotrópico, en el que todas las caras se deforman en forma, y también a
diferencia del comportamiento isotrópico, en el que todas las caras se deforman de la misma manera.
Figura 3.2.7.- Deformación de un elemento cúbico de un material monoclínico.
Material ortotrópico (ortogonalmente anisotrópico) / Especialmente ortotrópico.
Si un material tiene tres planos de simetría perpendiculares, entonces la matriz de rigidez está dada por:
0
0 
 C11 C12 C13 0


0
0 
 C12 C22 C23 0
 C13 C23 C33 0
0
0 
C

  0 0 0 C 0 0
44


 0
0
0
0 C55 0 


0
0
0
0 C66 
 0
(3.2.35)
La matriz de rigidez anterior se puede derivar a partir de la matriz de rigidez [C] del material monoclínico
[Ecuación (3.2.32)]. Con dos planos más de simetría, se tiene:
C16= 0,
C26= 0,
C36= 0,
C45= 0
Tres planos perpendiculares de simetría también implican tres planos perpendiculares de simetría elástica. Se
puede observar que hay nueve constantes elásticas independientes. Este es un tipo simetría que se presenta
comúnmente en los materiales, a diferencia de los materiales anisotrópicos y monoclínicos. Ejemplos de
material ortotrópico incluyen una lámina única de un material compuesto de fibra continua, dispuesta en una
matriz rectangular (Figura 3.2.8), una barra de madera y acero laminado.
Figura 3.2.8.- Lámina unidireccional como material monoclínico con las fibras dispuestas en una matriz
rectangular.
La matriz de flexibilidad se reduce a
 S11 S12

 S12 S22
S S
S    013 023

 0
0

0
 0
S13
S23
S33
0
0
0
0
0
0
S44
0
0
0
0
0
0
S55
0
0 

0 
0 

0 
0 

S66 
(3.2.36)
La demostración del significado de la simetría elástica para un material ortotrópico es similar al enfoque
adoptado por un material monoclínico. Consideremos un elemento cúbico (Figura 3.2.9) tomada a partir del
material ortotrópico, donde 1, 2 y 3 son las direcciones principales y 1-2, 2-3, y 3-1 son los tres planos,
ortogonales entre sí, de simetría. Apliquemos una tensión normal, σ3 al elemento cúbico. Luego, utilizando
la ecuación de la Ley de Hooke (3.2.18) y la matriz de flexibilidad [Ecuación (3.2.36)] para el material
ortotrópico, se tiene:
ε1=S13σ3,
ε2=S23σ3,
ε3=S33σ3,
γ23= 0,
γ31= 0,
γ12= 0
(3.2.37)
El cubo se deforma en todas las direcciones según lo determinado por las ecuaciones de deformación normal.
Sin embargo, las deformaciones a cortadura en los tres planos (1-2, 2-3 y 3-1) son iguales a cero,
demostrando que el elemento no va a cambiar la forma en esos planos. De este modo, el cubo no se deforma
en la forma bajo cualquier carga normal aplicada en las direcciones principales. Esto es a diferencia de los
materiales monoclínicos, en el que dos de las seis caras del cubo cambian de forma.
Un cubo hecho de un material isotrópico tampoco cambia su forma, sin embargo, las deformaciones
normales, ε1 y ε2, serán diferentes en un material ortotrópico e idénticas en un material isotrópico.
Figura 3.2.9.- Deformación de un elemento cúbico de un material ortotrópico.
Material transversalmente isotrópico.
Consideremos la posibilidad de un plano de isotropía en uno de los planos de un cuerpo ortotrópico. Si la
dirección 1 es normal a ese plano de isotropía (2-3), entonces la matriz de rigidez está dada por:
 C11 C12 C12

 C12 C22 C23
 C12 C23 C33
C   
0
0
0

 0
0
0

 0
0
0

0
0
0
C22  C23
2
0
0
0
0
0
0
C55
0
0
0
0





0 

0 

C55 
(3.2.38)
La isotropía transversal se traduce en las siguientes relaciones:
C22 = C33,
C12 = C13,
C55 = C66,
C44 =( C22 – C23)/2
Hay cinco constantes elásticas independientes. Un ejemplo de este tipo de material es una lámina delgada
unidireccional en la que las fibras están dispuestas en una matriz cuadrada o hexagonal. Se puede considerar
las propiedades elásticas de las dos direcciones perpendiculares a las fibras de la lámina. En la figura 3.2.10,
las fibras están en la dirección 1, por lo que el plano 2-3 se considerará como el plano de isotropía.
La matriz de flexibilidad se reduce a
 S11 S12

 S12 S22
S S
S    012 023

 0
0

0
 0
S12
S23
S33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2(S22  S23 ) 0
0
S55
0
0
0 

0 
0 

0 
0 

S55 
(3.2.39)
Figura 3.2.10.- Lámina unidireccional de un material transversalmente isotrópico con las fibras dispuestas en
una matriz cuadrada.
Material isotrópico.
El material isotrópico ya se analizó con anterioridad y hay dos constantes elásticas independientes.
Resumiendo, el número de constantes elásticas independientes para diferentes tipos de materiales, es el
siguiente:
• Anisotrópico: 21
• Monoclínico: 13
• Ortotrópico: 9
• Transversalmente isotrópico: 5
• Isotrópico: 2
3.3.- Ley de Hooke para una lámina unidireccional bidimensional.
3.3.1.- Suposición de estado tensional plano.
Una placa delgada es una parte prismática con un espesor pequeño, y es el caso típico de una lámina. Si una
placa es delgada y no hay cargas fuera del plano, puede considerarse que está bajo un estado tensional plana
(Figura 3.3.1.1). Si las superficies superior e inferior de la placa están libres de cargas externas, entonces
σ3 = 0, τ31 = 0 y τ23 = 0. Debido a que la placa es delgada, estas tres tensiones dentro de la placa se supone que
varían muy poco en magnitud de la superficie superior a la inferior. Por lo tanto, también pueden ser iguales a
cero dentro de la placa.
Una lámina es delgada y, si no se aplican cargas fuera del plano, se puede asumir que se encuentra bajo
tensión plana. Este supuesto reduce las ecuaciones tensión-deformación tridimensionales a ecuaciones de
tensión-deformación de dos dimensiones.
Figura 3.3.1.1.- Condiciones de tensión plana de una placa delgada.
3.3.2.- Reducción de la ley de Hooke de tres a dos dimensiones.
Una lámina unidireccional cae dentro de la categoría de los materiales ortotrópicos. Si la lámina se supone
que es suficientemente delgada como para que los esfuerzos en la dirección del espesor sean cero (no se
presentan cargas fuera del plano), se pueden asumir condiciones de estado tensional plano.
La ecuación:
 1   S
   11
  2   S21
  S
 3    31
  23   S41
  
  31   S51
    S61
 12 
S12
S22
S32
S42
S52
S62
S13
S23
S33
S43
S53
S63
S14
S24
S34
S44
S54
S64
S15
S25
S35
S45
S55
S65
S16    1 
 
S26    2 
S36    3 

S46    23 
 
S56    
 31
S66    
 12 
0
0
0
0
S55
0
0   1 
 
0  2 
0    3 

0   23 
 
0   
 31
S66   
 12 
para el caso de materiales ortotrópicos se transforma en:
 1   S S
12
   11
  2   S12 S22
  S S
23
 3    13
  23   0
0
  
0
  31   0
    0
0
 12 
S13
S23
S33
0
0
0
0
0
0
S44
0
0
(3.3.2.1)
Asumiendo que σ3 = τ23 = τ31 = 0 (condición de tensión plana), entonces se tiene:
ε3 = S13σ1 + S23σ2,
γ 23 = γ 31 = 0
(3.3.2.2)
La deformación normal, ε3, no es una deformación independiente, ya que es una función de las otras dos
deformaciones normales, ε1 y ε2. Por lo tanto, la deformación normal, ε3, puede ser omitida de la relación
tensión deformación. Además, las tensiones de corte, γ23 y γ31, se pueden omitir, ya que son iguales a cero. La
ecuación tensión- deformación para materiales ortotrópicos en estado tensional plano se puede escribir como:
 1   S11 S12
  
  2    S12 S22
   0
0
 12  
0   1 
 
0  2 
S66   12 
(3.3.2.3)
donde Sij son los elementos de la matriz de flexibilidad. Hay cuatro elementos independientes en la matriz de
flexibilidad.
Invirtiendo la ecuación (3.3.2.3) se obtiene la relación tensión-deformación para una lámina unidireccional:
 1   Q
 1 
0   1 
11 Q12
  
 
 
  2    Q12 Q22 0    2   Q   2 
   0
 
0 Q66    12 
 12  
 12 
(3.3.2.4)
donde Qij son los elementos de la matriz de rigidez, los cuales están relacionados con los coeficientes de la
matriz de flexibilidad mediante las expresiones:
Q11 
S22
2
S11S22  S12
, Q12  
S12
2
S11S22  S12
, Q22 
S11
2
S11S22  S12
, Q66 
1
S66
(3.3.2.5)
Q11, Q12 , Q22 y Q66 se llaman rigideces reducidas, y sus valores no son los mismos que los elementos
correspondientes de la matriz de rigidez Cij.
3.3.3.- Relación de las matrices de flexibilidad y rigidez con las constantes elásticas ingenieriles de una
lámina.
Las ecuaciones (3.3.2.3) y (3.3.2.4) muestran la relación entre la tensión y la deformación a través de las
matrices de flexibilidad [S] y de rigidez [Q]. Sin embargo, las tensiones y las deformaciones están,
generalmente, relacionadas con las constantes elásticas ingenieriles.
En una lámina unidireccional, las constantes elásticas ingenieriles son:
E1 = Módulo de elasticidad longitudinal (en la dirección 1)
E2 = Módulo de elasticidad transversal (en la dirección 2)
ν12 = Coeficiente de Poisson principal, donde el coeficiente de Poisson general, νij se define como el cociente
entre la deformación normal en la dirección j (negativa) y la deformación normal en la dirección i,
cuando la carga normal, sólo se aplica en la dirección de i.
G12 = Módulo de cortadura en el plano (en el plano 1-2)
Experimentalmente, las cuatro constantes elásticas independientes ingenieriles se miden de la siguiente
manera y se pueden relacionar con los cuatro elementos independientes de la matriz de flexibilidad [S] de la
ecuación (3.3.2.3).
(i).- Aplicando una carga de tracción pura en la dirección 1 (Figura 3.3.3.1a), es decir,
σ1 ≠ 0, σ2 = 0, τ12 = 0.
Entonces de la ecuación (3.3.2.3) se obtiene:
1  S11 1
 2  S12 1
 12  0
(3.3.3.1)
Por definición, si la única tensión distinta de cero es σ1, como es el caso, se tiene:
1 1

1 S11

S
12   2   12
1
S11
E1 
(3.3.3.2)
(3.3.3.3)
(ii).- Aplicando una carga de tracción pura en la dirección 2 (Figura 3.3.3.1b), es decir,
σ1 = 0, σ2 ≠ 0, τ12 = 0.
Entonces de la ecuación (3.3.2.3) se obtiene:
1  S12 2
 2  S22 2
(3.3.3.4)
 12  0
Por definición, si la única tensión distinta de cero es σ2, como es el caso, se tiene:
2
1

 2 S22

S
21   1   12
2
S22
E2 
(3.3.3.5)
(3.3.3.6)
El término ν21 se denomina coeficiente de Poisson menor o secundario. De las ecuaciones (3.3.3.2),
(3.3.3.3),(3.3.3.5) y (3.3.3.6), se obtiene la relación recíproca:
12
E1

21
E2
(3.3.3.7)
Figura 3.3.3.1.- Aplicación de las tensiones para encontrar las constantes de ingeniería de una lámina
unidireccional.
(iii).- Aplicando una carga de cortadura pura en el plano 1-2 (Figura 3.3.3.1c), es decir,
σ1 = 0, σ2 = 0, τ12 ≠ 0
Entonces de la ecuación (3.3.2.3) se obtiene:
1  0
2  0
(3.3.3.8)
 12  S66 12
Por definición, si la única tensión distinta de cero es τ12, como es el caso, se tiene:
G12 
 12
1

 12 S66
(3.3.3.9)
Por lo tanto, hemos demostrado que
S11 
12
1
, S12  
,
E1
E1
S22 
1
1
, S66 
G12
E2
(3.3.3.10)
Además, los coeficientes de rigidez reducidos Qij se relacionan con las constantes ingenieriles a través de la
ecuación (3.3.2.5) y la ecuación (3.3.3.10) como
Q11  C11 
1  1221
Q12  C12 
Q22  C22 
Q66 
E1
12E2
21E1

1  1221 1  1221
E2
(3.3.3.11)
1  1221
1
C  C   G12
2 11 12
Las ecuaciones (3.3.2.3), (3.3.2.4), (3.3.2.10) y (3.3.2.11) relacionan las tensiones y las deformaciones a
través de cualquiera de las siguientes combinaciones de cuatro constantes:
Q11, Q12, Q22, Q66, o
S11, S12, S22, S66, o
E1, E2, υ12, G12
Sólo hay cuatro constantes independientes en estas ecuaciones, a saber, las rigideces reducidas Q11, Q12, Q22 y
Q66 o las constantes ingenieriles El, E2, υ12 y G12. La ecuación:
 1   Q
 1 
Q12 0   1 
   11
 
 
  2    Q12 Q22 0    2   Q   2 
   0
 
0 Q66    12 
 12  
 12 
indica que los materiales ortotrópicos ensayados a tracción o compresión según las direcciones principales
del material no manifiestan deformaciones angulares respecto a estas direcciones iniciales, siendo la
deformación independiente de G12.
Una lámina unidireccional es una lámina especialmente ortotrópica debido a que las tensiones normales
aplicadas en la dirección 1-2 no dan lugar a tensiones de cortadura en el plano 1-2, debido que Q16 = Q26 = 0
= S16 = S26. Además, las tensiones de cortadura aplicadas en el plano 1-2 no dan lugar a tensiones normales en
las direcciones 1 y 2, ya que Q16 = Q26 = 0 = S16 = S26.
Un tejido compuesto con sus tejidos perpendiculares entre sí y los materiales compuestos de fibra corta con
las fibras dispuestas perpendicularmente entre sí o alineadas en una dirección también son especialmente
ortotrópicos. En la tabla 3.3.3.1 se dan las propiedades mecánicas de algunas láminas unidireccionales típicas.
Tabla 3.3.3.1.- Propiedades mecánicas de algunas láminas unidireccionales típicas.
3.3.4.- Ley de Hooke para una lámina de dos dimensiones en ángulo.
De forma parecida, un esfuerzo cortante τ12 produce sólo deformaciones angulares que son independientes de
E2, υ12 y υ21. En otras palabras, no hay acoplamiento entre las deformaciones a tracción y angulares. Esto no
es aplicable cuando la lámina se ensaya con ángulos arbitrarios a las direcciones principales del material. Así,
considérese una lámina ensayada de tal forma que el nuevo sistema de coordenadas x-y forme un ángulo θ con
las direcciones principales del material como se ilustra en la figura 3.2.6, de modo que la dirección de la carga
aplicada no coincide con la dirección de las fibras. La dirección 1 coincide con la dirección de las fibras y la
dirección es perpendicular a ellas (Sistema local de ejes). La relación tensión-deformación en el sistema de
coordenadas 1-2 ya ha sido establecido con anterioridad y ahora se trata de desarrollar la las ecuaciones
tensión-deformación para el sistema de coordenadas x-y.
Por lo general, un laminado no consiste sólo de láminas unidireccionales, debido a su baja rigidez y
propiedades de resistencia en la dirección transversal. Por lo tanto, en la mayoría de los laminados, algunas
láminas se colocan en un determinado ángulo. Por tanto, es necesario desarrollar las relaciones tensióndeformación de una lámina en ángulo.
El sistema de coordenadas utilizado para mostrar una lámina en ángulo es como se indica en la figura 3.3.4.1.
Los ejes en el sistema de coordenadas 1-2 se llaman ejes locales o ejes del material. La dirección 1 es
paralela a las fibras y la dirección 2 es perpendicular. En otra nomenclatura, la dirección1 también se conoce
como la dirección longitudinal L y la dirección 2 como transversal T. Los ejes en el sistema de coordenadas xy se les llama ejes globales. El ángulo entre los dos ejes se denota como un ángulo θ.
Figura 3.3.4.1.- Ejes locales y globales en una lámina en ángulo.
Las relaciones tensión-deformación en el sistema de coordenadas 1-2 ya ha sido establecido en el apartado y
ahora lo que se va a desarrollar son las ecuaciones tensión-deformación para el sistema de coordenadas x-y.
Las tensiones globales y locales en una lámina en ángulo se relacionan entre sí a través del ángulo θ de la
lámina. Con referencia a la figura 3.3.4.2 se puede mostrar que σ1, σ2 y τ12 pueden resolverse en los ejes x, y,
en función de σx, σy y τxy como sigue:
   cos2    sen 2  2 xy sen cos
1
x
y
   sen 2   cos2   2 xy sen cos
2

12
x
y

  sen cos   sen cos   xy cos2   sen 2
x
y
(3.3.4.1)

y usando notación matricial:
2
s2
2sc    x 
 1   c

 
 
2
2

 y 


s
c

2
sc
 2
  
2
2 
 
 12   sc sc c  s   xy 
donde c = cosθ y s = senθ.
(3.3.4.2)
Figura 3.3.4.2.- Rotación de los ejes del sistema coordenado 1-2 al x-y.
La expresión matricial (3.3.4.2) puede ponerse en la forma:
 12  T  xy
(3.3.4.3)
donde:
 c2 s2
2sc   cos2 

 
T    s 2 c 2 2sc    sen 2

 
 sc sc c 2  s 2   sen cos

 
es la denominada matriz de transformación de tensiones.
sen 2
cos2 
sen cos
2sen cos 

2sen cos 

cos2   sen2 
(3.3.4.4)
De la ecuación (3.3.4.2) se puede deducir:
 x   c 2 s2
2sc 

   2
c 2 2sc 
 y    s
  
2
2




sc
sc
c

s
 xy  

1
2
 1   c
   2
 2    s
  
 12   sc
2sc    1 
 1 
 

1 
c2
2sc    2   T    2 
 
 
sc c 2  s 2   12 
 12 
s2
(3.3.4.5)
donde:
 cos2 
1 
T    sen 2

 sen cos

sen 2
cos2 
sen cos
2sen cos 

2sen cos 

cos2   sen2 
(3.3.4.6)
es la matriz inversa de la matriz de transformación de tensiones.
Transformación de tensiones.
Consideremos que σx, σy, y τxy son las tensiones en el elemento rectangular en un punto O en un cuerpo de
dos dimensiones (Figura 3.3.4.3). Ahora se quieren determinar los valores de las tensiones σ1, σ2, y τ12 en otro
elemento rectangular, pero en el mismo punto O del cuerpo. Para ello, se hace un corte formando un ángulo θ
con la dirección 1. Ahora las tensiones en el sistema de coordenadas local 1-2 se puede relacionar con los del
sistema de coordenadas global x-y.
Sumando las fuerzas en la dirección 1 se tiene:
 BC   xy AB cos   y ABsen   xy ACsen   x AC cos  0
1
   xy
1
(3.3.4.7)
AB
AB
AC
AC
cos   y
sen   xy
sen   x
cos  0
BC
BC
BC
BC
y como:
sen 
se tiene:
AB
;
BC
cos 
AC
BC
   xy sen cos   y sen sen  xy cos sen   x cos cos  0
1
o bien:

1
 x
cos2    y sen2  2 xy cos sen
(3.3.4.8)
Figura 3.3.4.3.- Diagramas de cuerpo libre para la transformación de las tensiones entre los ejes locales y
globales.
Similarmente, sumando las fuerzas en la dirección 2 se tiene:
 BC   xy ABsen   y AB cos   xy AC cos   x ACsen  0
12
   xy
12
(3.3.4.9)
AB
AB
AC
AC
sen   y
cos   xy
cos   x
sen  0
BC
BC
BC
BC
y teniendo en cuenta los valores del senθ y del cosθ, se tiene:
   xy sen sen   y sen cos   xy cos cos   x cos sen  0
12
o bien:

12
  x

cos sen   y sen cos   xy cos2   sen2

(3.3.4.10)
Haciendo un corte formando un ángulo θ con la dirección 2 y sumando las fuerzas en esa dirección se tiene:
 AB   xy BD cos   y ADsen   xy ADsen   x BD cos  0
2

2
  xy
(3.3.4.11)
BD
AD
AD
BD
cos   y
sen   xy
sen   x
cos  0
AB
AB
AB
AB
y como:
sen 
se tiene:

2
BD
;
AB
  xy sen cos
AD
AB
cos 
  x sen sen   xy cos sen   y cos cos  0
o bien:

2
  x sen
2
   y cos2   2 xy sen cos
(3.3.4.12)
Diferenciando las ecuaciones (3.3.4.1) con respecto a θ e igualando a cero para obtener los valores de las
tensiones normales máximas y de la tensión a cortadura máxima, se obtiene:

1,2

 
12
x y
2
1
2

1
2
 x   y 
 x   y 
2
2
2
 4 xy
2
 4 xy
Transformación de deformaciones.
Transformaciones similares pueden realizarse con las deformaciones. Consideremos una línea arbitraria, AB,
en la dirección 1 formando un ángulo θ con la dirección x. Bajo cargas, la línea AB se deforma para y se
transforma en la A'B ' (Figura 3.3.4.4). Por definición de deformación normal de a lo largo de AB:
1 
A ' B ' AB A ' B '

1
AB
AB
(3.3.4.13)
De la figura 3.3.4.4 se deduce:
1  1 
 AB 
2
 A 'B '
A'B '
AB
2
  x    y 
2
2
2
  x '    y ' 
(3.3.4.14)
2
De la definición de deformación:
u
 u 
x '   1   x  y
y
 x 
y ' 
 v 
v
x   1   y
x
 y 
Teniendo en cuenta las expresiones anteriores, (A’B’)2 se transforma en:
 A 'B '
2
2
 u 
 v  
u   v
  1   x  y    x   1   y 
y   x
 x 
 y  
2
Despreciando cuadrados y productos de las derivadas de las deformaciones se tiene:
 A 'B '
2
 u v 
u 
v 
2 
2

  1  2   x    1  2   y   2    x y
x 
y 


 x y 
Figura 3.3.4.4.- Elemento de línea para la transformación de las deformaciones entre los ejes locales y
globales.
Elevando al cuadrado la primera expresión (3.3.4.14) y sustituyendo los valores de (AB)2 y (A’B’)2 se tiene:
1   1 
2
A'B '
2
1  1    2
 AB 

2
 A'B ' 


 AB 
2
 u v 
u 
v 
2 
2

 1  2   x    1  2   y   2    x y
x 
y 


 x y 
2
 x    y 
2
2

2
 x 
 y 

 u v 
u 
v 
x y

 1 2 

1

2

2





2
2
x   x 2   y 2 
y   x 2   y 2

 x y   x    y 
y como:
cos 
x
2
 x    y 
2
;
sen 
y
2
 x    y 
2
resulta:
1  1 
2

 u v 
u 
v 

  1  2  cos2    1  2  sen2  2    sen cos
x 
y 


 x y 
2
1 1   1 2 x  cos2   1 2 y  sen2  2 xy sen cos


1  21  12  1  2 x  cos2   1  2 y sen2  2 xy sen cos
Despreciando el cuadrado de las deformaciones.
1  21  1  2 x cos2   2 y sen2  2 xy sen cos
y simplificado:
1   x cos2    y sen2   xy sen cos
(3.3.4.15)
Del mismo modo, se puede tomar una línea arbitraria en la dirección 2 y demostrar:
 2   x sen2   y cos2    xy sen cos
(3.3.4.16)
y, tomando dos líneas rectas en la direcciones 1 y 2 (perpendiculares entre sí), se puede probar que:

 12  2 x sen cos  2 y sen cos   xy cos2   sen2

(3.3.4.16)
Expresando de forma matricial las tres expresiones (3.3.4.15), (3.3.4.16) y (3.3.4.17) se tendrá:




 


  c 2 s2
2
sc
 x 
 1   2
c 2 2sc    y  ;
 2    s



 
2
2

 1
1

sc
sc
c

s
   
   xy 
12
2 
2









 x 
 1 
  2   T   y  ;




 1  
 1  
xy
 2 12 
2

(3.3.4.17)
Invirtiendo la ecuación (3.3.4.17) se tiene:



  c2
x

  2
y    s

 
1
    sc
xy
2



2sc   1 


c2
2sc    2 


sc c 2  s 2   1 
  12 
2 
s2
(3.3.4.17)
En cada caso las tensiones o las deformaciones en las direcciones globales x, y pueden expresarse en términos
de las tensiones o las deformaciones locales en las direcciones 1,2. Así, por ejemplo:
 x   c 2 s2
2sc 

   2
2




s
c

2
sc
 y

 
2
2




sc
sc
c

s
 xy  

1
 1 
 1 
 

1 
  2   T    2 
 
 
 12 
 12 
(3.3.4.18)
donde:
 c2
1 
T    s 2

 sc

2sc   cos2 
 
c2
2sc    sen2
 
sc c 2  s 2   sen cos
s2
2sen cos 

2sen cos 

cos2   sen2 
sen2
cos2 
sen cos
(3.3.4.19)
En el estado triaxial tensión-deformación, la transformación de las tensiones del sistema de coordenadas x-y-z
al 1-2-3 de la lámina, y viceversa puede expresarse como sigue:
 123  T  xyz
1
 xyz  T   123
donde la matriz de transformación [T] es:
 cos2 

 sen 2

0
T   

0

0

 sen cos

sen 2
0
cos2 
0
0
0
0
0
1
0
0 cos
0 sen
sen cos
0
0
0
0
0
sen
cos
0
0
2sen cos 

2sen cos 

0


0

0

2
2 
cos   sen  
y su matriz inversa es:
 cos2 

 sen 2

0
1
T   

0

0

sen cos

Para las deformaciones se tiene:
sen 2
0
cos2 
0
0
0
0
0
1
0
0 cos
0 sen
sen cos
0
0
0
0
0
0
sen
cos
0
2sen cos 

2sen cos 

0


0

0

cos2   sen 2 
T
 123  T   xyz
T
 xyz  T   123
donde los subíndices T y –T representan las matrices traspuesta y la traspuesta de la matriz inversa.
Para determinar la rigidez en las direcciones globales (x,y) de una lámina en la cual las fibras están alineadas
un ángulo θ con respecto a la dirección global x, es necesario seguir los tres pasos siguientes:
1.- Determinar las deformaciones en las direcciones locales (1,2) transformando las deformaciones aplicadas a
través del ángulo θ con respecto a las direcciones globales.
2.- Calcular las tensiones en las direcciones locales usando la matriz de rigidez [Q] derivada con anterioridad.
3.- Transformar las tensiones de nuevo a las direcciones globales a través de un ángulo - θ.
Paso 1.
  x   1 0 0   c 2 s2
2sc   1 0 0 1   x   c 2
s2
sc    x 
 1 









 
1

 2


c 2 2sc   0 1 0    y    s 2
c2
sc    y  ;
  2   R T R    y    0 1 0   s

  0 0 2  
 


 0 0 2  
 
2
2
2
2



   xy 



sc
sc
c

s

2
sc
2
sc
c

s




xy
xy
 12 



 



(3.3.4.20)
donde [R] es la matriz de Reuter:
 1 0 0
1 0 0 
1
R    0 1 0  , R    0 1 0 
0 0 2
 0 0 1/ 2 




Hay que señalar la modificación que hay que realizar en la matriz [Tσ] para obtener la matriz de
transformación de deformaciones [Tε], de manera que se puede utilizar γ12 en lugar de (1/2)γ12.
Paso 2.
 1   Q
 1 
Q12 0   1 
   11
 
 
  2    Q12 Q22 0    2   Q   2 
   0
 
0 Q66    12 
 12  
 12 
(3.3.4.21)
Paso 3.
 x   c2
   2
 y    s
  
 xy   sc
2sc    1 
 
2
c
2sc    2 
 
sc c 2  s 2   12 
s2
(3.3.4.22)
Uniendo los tres pasos para obtener las tensiones globales en términos de las deformaciones globales, se
tiene:
 x   c2
   2
 y    s
  
 xy   sc
 c2
2sc   Q
s2
sc    x 

Q
0
12
  11




2
2
2
c
2sc   Q12 Q22 0   s
c
sc    y 



0 Q66   2sc 2sc c 2  s 2    xy 
sc c 2  s 2   0



s2
lo que nos proporciona la matriz global de rigidez reducida transformada Q  :
(3.3.4.23)
  x   Q11 Q12 Q16    x 

  

  y    Q12 Q 22 Q 26    y  ,
 
  


Q
Q
Q
16
26
66
xy
  
   xy 
 x 
x 
 


 y   Q   y 
 


 xy 
  xy 
 
(3.3.4.24)
donde Q ij  son los denominados elementos de la matriz de rigidez reducida transformada Q  y vienen
dados por:
Q11  Q11c 4  2 Q12  2Q66 s 2c 2  Q22s 4



Q12  Q 21  Q11  Q22  4Q66  s 2c 2  Q12 s 4  c 4

Q 22  Q11s 4  2 Q12  2Q66  s 2c 2  Q22c 4
Q16  Q 61  Q11  Q12  2Q66  sc 3  Q12  Q22  2Q66  s 3c
(3.3.4.25)
Q 26  Q 62  Q11  Q12  2Q66  s 3c  Q12  Q22  2Q66  sc 3

Q 66  Q11  Q22  2Q12  2Q66  s 2c 2  Q66 s 4  c 4

o bien:
Q11 
1
E1 cos4   E2sen 4   212E2  4G12  sen2 cos2  


Q12  Q 21 
Q 22 
Q16


1
 E cos4   sen 4   E1  E2  4G12  sen 2 cos2  

  12 2
1
E2 cos4   E1sen 4   212E2  4G12  sen2 cos2  


1
 Q 61   E1  12E2  2G12  sen cos3    E2  12E2  2G12  sen 3 cos 

Q 26  Q 62 
Q 66 
(3.3.4.26)
1
E1  12E2  2G12  sen 3 cos   E2  12E2  2G12  cos3  sen 





1
 E  E  212E2  2G12  sen2 cos2   G12 cos4   sen4 
 1 2
en las cuales λ = 1- υ12υ21 y υ12E2 = υ21E1.
Se puede observar que la matriz Q  consta de seis elementos. Sin embargo, al observar las expresiones
(3.3.4.25), se puede ver que sólo son funciones de los cuatro coeficientes de rigidez, Q11, Q12, Q22, Q66 y del
ángulo de la lámina, θ.
Mediante un análisis similar se determina que hay una ecuación correspondiente para la relación
deformaciones-esfuerzos.
  x   S11 S12 S16    x 
 

 
  y    S12 S 22 S 26    y  ,
  

 
  xy   S16 S 26 S 66   xy 
y
S ij
x 
 x 


 
  y   S  y 


 
  xy 
 xy 

donde : S   Q 
1
puede ser presentada por un conjunto de ecuaciones similar a las ecuaciones (3.3.4.25).
(3.3.4.27)
S11  S11c 4   2S12  S66  s 2c 2  S22s 4

S12  S 21   S11  S22  S66  s 2c 2  S12 s 4  c 4

S 22  S11s 4   2S12  S66  s 2c 2  S22c 4
(3.3.4.28)
S16  S 61   2S11  2S12  S66  sc 3   2S22  2S12  S66  s 3c
S 26  S 62   2S11  2S12  S66  s 3c   2S22  2S12  S66  sc 3

S 66  2  2S11  2S22  4S12  S66  s 2c 2  S66 s 4  c 4

Puesto que S16 y S 26 no son nulas, se deduce que un esfuerzo unidireccional σ x (σ y = τxy = 0) producirá las
dos deformaciones, normal y angular, mientras el esfuerzo unidireccional σl previamente observado no
produce deformación angular con respecto a las direcciones principales.
Para una lámina unidireccional cargada en la dirección del material, no se produce el acoplamiento entre los
términos normales y de corte de las deformaciones y tensiones. Sin embargo, para una lámina en ángulo, si se
produce el acoplamiento entre dichos términos. Si sólo se aplican tensiones normales a una lámina en ángulo,
las deformaciones de corte son distintas de cero, si sólo se aplican tensiones de cortadura, las deformaciones
normales son distintas de cero. Por lo tanto, las ecuaciones (3.3.4.24) y (3.3.4.27) son las ecuaciones tensióndeformación de lo que se denomina una lámina generalmente ortotrópica.
Es posible obtener expresiones para las propiedades elásticas Ex, Ey, Gxy y υxy correspondientes al sistema de
coordenadas x-y. Estas son:
 1 212  2 2 1 4
1
1
 c4  

 s c  s
G
E x E1
E
E2
 12
1 
 1 212  2 2 1 4
1
1
 s4  

s c  c
G
E y E1
E1 
E2
 12
 2
1
2 4
1  2 2
1 4 4
 2    12 
s c
 s c 

Gxy
E1 G12 
G12
 E1 E2

 1
1
1  2 2
 xy  E x  12 s 4  c 4    
 s c 
E
E
G
 E1

 1
2
12 



(3.3.4.29)

Así uno puede utilizar las expresiones anteriores para calcular la rigidez de una lámina unidireccional cuando
se carga en algún ángulo θ de la dirección de la fibra. Si se conocen El, E2, G12 y υ12, pueden calcularse las
propiedades elásticas a cualquier ángulo. Como ejemplo, considérese una lámina unidireccional de fibra de
vidrio y resina de poliéster con Vf = 0.5. Las propiedades de esta lámina respecto al sistema de coordenadas 12 (Ejes en la dirección de las fibras y perpendicular a ellas) vienen dadas en la tabla 3.3.4.1: El = E║ = 40
GN/m2, E2 = E┴ = 8.2 GN/m2, G12 = G # = 3.9 GN/m2 y υ12 = υ║┴ = 0 . 2 6 . Aplicando estos valores en las
ecuaciones (6.23) se puede dibujar la variación de Ex/E1(=E║) Ey/E1(=E║), Gxy/G# y υxy en función de θ
como se muestra en la figura 3.3.4.5. La forma general de las curvas de la figura. 6.4 es independiente de
El(=E║) /E2(=E┴), pero los valores máximo y mínimo de Ex no se producen necesariamente para θ = 0° y θ =
90°, respectivamente.
Tabla 3.3.4.1.- Valores típicos de las constantes elásticas de las láminas unidireccionales, Vf ≈ 0.50.
Figura 3.3.4.5.- Módulos de una lámina de poliéster-fibra de vidrio (Vf = 0.5) (a) Ex/E1(=E║) Ey/E1(=E║) (b)
Gxy/G# y υxy
La ecuación (3.2.45) puede ser probada experimentalmente usando ensayos a tracción fuera ejes como los que
describen Sinclair & Chamis (1979). Las probetas de ensayo se cortan de una hoja plana de fibras orientadas
unidireccionalmente en un intervalo de ángulos como se indica en la figura 3.3.4.6. Las deformaciones se
miden usando extensómetros unidos al centro de la probeta de ensayo. Se necesita un gran cuidado para
minimizar las concentraciones de esfuerzos en los extremos de las muestras y obtener resultados
reproducibles. En la figura 3.3.4.7 se muestran los resultados obtenidos para fibra de carbono del tipo I en
matriz de resina epoxídica (Vf = 0.5). Estos se comparan con los calculados por la ecuación (3.2.45) usando
valores determinados experimentalmente de E║ (=E1), E┴ (=E2), G## (=G12) y υ║┴ (=υ12) (es decir. Ell = 241
GN/m2, E┴ = 7.7 GN/m2; G# = 6.1 GN/m2 y υ║┴ = 0.27). Hay una buena concordancia entre los valores
experimentales y los calculados. Se obtuvo una concordancia similar para otras constantes elásticas.
Figura 3.3.4.6.- Disposición de muestras para ensayos fuera de ejes de láminas unidireccionales para
determinar la variación de Eθ con θ.
Figura 3.3.4.7.- Módulos Eθ de una lámina unidireccional de resina epoxi y fibra de carbono (Vf = 0.50)
ensayada a diversos ángulos a la dirección de la fibra.
3.3.5.- Constantes ingenieriles de una lámina en ángulo.
Las constantes ingenieriles para una lámina unidireccional se relacionaron con las matrices de flexibilidad y
de rigidez. En este apartado, se aplicarán técnicas similares para relacionar las constantes ingenieriles de una
lámina en ángulo con las matrices de flexibilidad y rigidez transformadas.
1.- Para determinar el módulo de elasticidad ingenieril en la dirección x (Figura 3.3.5.1), se aplica una carga
de tracción pura en la dirección x, es decir:
σx ≠ 0, σy = 0, τxy = 0.
(3.3.5.1)
Entonces de la ecuación (3.3.4.27) se obtiene:
 x  S 11 x
 y  S 12 x
(3.3.5.2)
 xy  S 16 x
Por definición, el módulo de elasticidad en la dirección x es:
Ex 
x
1

 x S 11
(3.3.5.3)
y el coeficiente de Poisson , υxy, se define como:
xy  
S
y
  12
x
S 11
(3.3.5.4)
En una lámina en ángulo, a diferencia de una lámina unidireccional, existe interacción entre la tensión de
cortadura y las tensiones normales. Esto se conoce como acoplamiento de cortadura. El término de
acoplamiento de cortadura que relaciona la tensión normal en la dirección x con la deformación de corte se
denota por mx y se define como:

1
1
 x 
mx
 xy E1
E1S 16
(3.3.5.5)
Se puede ver que mx es un parámetro adimensional como el coeficiente de Poisson.
Más adelante, se verá que el mismo parámetro, mx, relaciona la tensión a cortadura en el plano x-y de la
deformación normal en la dirección-x
El término de acoplamiento de cortadura es particularmente importante en los ensayos de resistencia a la
tracción de las láminas en ángulo. Por ejemplo, si una lámina en ángulo se fija en los dos extremos, no se
permite que se produzca tensión de cortadura. Esto dará lugar a momentos de flexión y las fuerzas de
cizallamiento en los extremos sujetados.
Figura 3.3.5.1.- Aplicación de las tensiones para encontrar las constantes de ingeniería de una lámina
unidireccional.
2.- Del mismo modo, para determinar el módulo de elasticidad ingenieril en la dirección y (Figura 3.3.5.1b),
se aplica una carga de tracción pura en la dirección y, es decir:
σx = 0, σy ≠ 0, τxy = 0.
(3.3.5.6)
En este caso se puede determinar que:
Ey 
y
1

 y S 22
yx  
S
x
  12
y
S 22
1
1

my
E1S 26
(3.3.5.7)
(3.3.5.8)
(3.3.5.9)
El término de acoplamiento por cortadura my relaciona la tensión normal σy con la deformación de corte γxy.
Se verá que el mismo parámetro my relaciona la tensión a cortadura τxy en el plano x-y con la deformación
normal εy. De las ecuaciones (3.3.5.3), (3.3.5.4), (3.3.5.7) y (3.3.5.8), se deduce la relación recíproca
siguiente:
xy
Ex

yx
(3.3.5.10)
Ey
3.- Aplicando una carga de cortadura pura en el plano x-y (Figura 3.3.3.1c), es decir,
1σx = 0, σy = 0, τxy ≠ 0
1
(3.3.5.11)
se encuentra que:
1
1

mx
E1S 16
(3.3.5.12)
1
1

my
E1S 26
(3.3.5.13)
Gxy 
 xy
1

 xy S 66
(3.3.5.14)
Por lo tanto, la ecuación tensión-deformación
  x   S11 S12 S16    x 
 

 
  y    S12 S 22 S 26    y  ,
  

 
  xy   S16 S 26 S 66   xy 
x 
 x 


 
  y   S  y 


 
  xy 
 xy 

donde : S   Q 
1
de una lámina en ángulo se puede escribir en términos de las constantes ingenieriles de una lámina en ángulo
de la forma matricial siguiente:
 1

Ex
x  

   xy
y   
Ex

 

 xy   m
x

E1

 xy
1
Ex
Ey
m y
E1

E1 
 x 
m y   

E1   y 

  
  xy 
1
Gxy 
m x
(3.3.5.15)
Las últimas seis constantes ingenieriles de una lámina en ángulo también se pueden escribir en términos de las
constantes ingenieriles de una lámina unidireccional usando las ecuaciones (3.3.3.11), (3.3.4.28), (3.3.5.3),
(3.3.5.5), (3.3.5.7), (3.3.5.9) y (3.3.5.14):
 1 212  2 2 1 4
1
1
 S 11  S11c 4   2S12  S66  s 2c 2  S22s 4  c 4  

 s c  s
G
Ex
E1
E
E2
 12
1 
(3.3.5.16)
 1 212  2 2 1 4
1
1
 S 22  S11s 4   2S12  S66  s 2c 2  S22c 4  s 4  

 s c  c
G
Ey
E1
E
E2
 12
1 
(3.3.5.17)
 2
1
2 4
1  2 2 1 4 4
 S 66  2  2S11  2S22  4S12  S66  s 2c 2  S66 s 4  c 4  2    12 
s  c (3.3.5.18)
 s c 
E E
Gxy
E
G
G
 1
2
1
12 
12






xy  E x S 12  E x S12 s 4  c 4  S11  S22  S66  s 2c 2   E x 


12
 E1

 2 2
 s c 

12 
s 4  c 4    E1  E1  G1

1
2

(3.3.5.19)
 2 2
1  3  2 212
1  3 
mx  S 16 E1  E1 S11  2S12  S66  sc 3   2S22  2S12  S66  s 3c   E1    12 
sc   


s c 


E
E1 G12  
 E1 E1 G12 
 2
(3.3.5.20)
 2 2
1  3  2 212
1  3
my  S 26 E1  E1 S11  2S12  S66  s 3c   2S22  2S12  S66  sc 3   E1    12 
s c 


 sc 


E
E
G
 E1 E1 G12 

 2
1
12 
(3.3.5.21)
3.4.- Tensiones y deformaciones higrotérmicas en una lámina.
3.4.1.- Introducción.
Los materiales compuestos, generalmente, son procesados a altas temperaturas y luego se enfrían a
temperatura ambiente. Para los materiales compuestos de matriz polimérica, esta diferencia de temperatura se
encuentra en el rango de 200 a 300 ° C, para materiales compuestos de matriz cerámica, puede ser tan alta
como 1000 °C. Debido al desajuste de los coeficientes de expansión térmica de la fibra y la matriz, aparecen
tensiones residuales en la lámina cuando se enfría. Así mismo, el enfriamiento induce deformaciones de
expansión en la lámina.
Además, la mayoría de los materiales compuestos de matriz polimérica puede absorber o desorber humedad.
Este cambio de humedad conduce a deformaciones de hinchamiento y tensiones similares a las causadas por
la expansión térmica. Laminados en los cuales las láminas se colocan en diferentes ángulos tienen tensiones
residuales en cada lámina debido a la diferente expansión higrotérmica de cada lámina. Las deformaciones
higrotérmicas no son iguales en la dirección longitudinal y transversal de una lámina, porque las constantes
elásticas y los coeficientes de expansión térmica y humedad de la fibra y la matriz son diferentes.
3.4.2.- Relaciones tensión-deformación higrotérmicas en una lámina unidireccional.
En una lámina unidireccional, la relación tensión-deformación con la temperatura y la diferencia de humedad
es la siguiente:
C
T
 1   S
  1   1   1 

S
0
   11 12
    T   C 
  2    S12 S22 0    2    2   2
   0
    0   0 
0
S
66   12 
 12  
   
(3.4.2.1)
donde los subíndices T y C se utilizan para indicar la temperatura y la humedad, respectivamente. Se puede
observar que los cambios de temperatura y humedad no tienen término de deformación por corte, lo que se
debe a que no inducen deformaciones por cortadura en los ejes de material. Las deformaciones inducidas
térmicamente están dadas por:
T 
 1 
 1
 
T
  2   T   
(3.4.2.2)
2
 
0 
0 
 
 
donde α1 y α2 son los coeficientes de dilatación térmica longitudinal y transversal, respectivamente, y ΔT es el
cambio de temperatura.
Por su parte, las deformaciones inducidas por la humedad están dadas por:
C 
 1 
 1 
 
C
    C   
2
2
 

0 
0 

 
(3.4.2.3)
donde β1 y β2, son los coeficientes de humedad longitudinal y transversal, respectivamente y ΔC es la
absorción de humedad en peso por unidad de peso de la lámina.
Invirtiendo la ecuación (3.4.2.1), se obtiene:
  T   C 
1   Q

Q
0
1
1
1
12

   11
 
T
C
  2    Q12 Q22 0   2   2   2

   0
 
0
Q


66


 12 
12


(3.4.2.4)
3.4.3.- Relaciones tensión-deformación higrotérmica en una lámina en ángulo.
La relación de tensión-deformación de una lámina ángulo tiene la siguiente forma:
  x   S11 S12 S16    x    Tx    xC 
   T   C 

 


S
S
S
22
26    y     y     y 
 y   12

    T   C 

 
  xy   S16 S 26 S 66   xy    xy    xy 
donde:
(3.4.3.1)
 
  Tx 
 x 
 
T
  y   T   y 


 
  Txy 
  xy 
 


(3.4.3.2)
y
 
  xC 
 x 
 
C
  y   T   y 


 
  Cxy 
  xy 
 


(3.4.3.3)
Los términos αx, αy y αxy son los coeficientes de expansión térmica de una lámina en ángulo y se pueden
determinar en función de los coeficientes de expansión térmica de una lámina unidireccional a través de la
ecuación:


 1 
x 

1

  T    
(3.4.3.4)
 2
y




  xy 
0 
 2 
Del mismo modo, βx, βy y βxy son los coeficientes de la expansión de humedad de una lámina de ángulo y se
pueden determinar en función de los coeficientes de la expansión de humedad de una lámina unidireccional
por medio de la ecuación:


 1 
 x 

  T 1   
(3.4.3.5)
 2
 y 
0 
  xy 
 
 2 
De la ecuación (3.4.2.1) se deduce, que si no hay restricciones en la lámina, no se inducirán deformaciones
mecánicas en ella. Esto implica que tampoco se inducirán tensiones mecánicas. Sin embargo, en un laminado,
incluso si el laminado no tiene restricciones, la diferencia en los coeficientes de expansión térmica / humedad
de las distintas capas induce diferentes dilataciones térmica /de humedad en cada capa. Esta diferencia da
como resultado la aparición de tensiones residuales.
3.5.- Forma invariante de las matrices de rigidez y flexibilidad de una lámina en ángulo.
y S  no son analíticamente
conveniente, ya que no permiten un estudio directo del efecto del ángulo de la lámina en las matrices Q  y
S  . Los elementos de rigidez se puede escribir en forma invariante como:
 
Las ecuaciones (3.3.4.26) y (3.3.4.28) de los términos de las matrices Q 
Q11  U1  U2 cos2  U3 cos4
(3.5.1a)
Q12  U4  U3 cos4
(3.5.1b)
Q 22  U1  U2 cos2  U3 cos4
(3.5.1c)
Q16 
2
U2
sen2  U3sen 4
sen2  U3sen 4
2
1
 U1  U4   U3 cos4
2
Q 26 
Q 66
U2
(3.5.1d)
(3.5.1e)
(3.5.1f)
donde:
1
(3.5.2a)
 3Q11  3Q22  2Q12  4Q66 
8
1
(3.5.2b)
U2  Q11  Q22 
2
1
(3.5.2c)
U3  Q11  Q22  2Q12  4Q66 
8
1
(3.5.2d)
U4  Q11  Q22  6Q12  4Q66 
8
Los términos U1, U2, U3 y U4 y son los cuatro invariantes y son combinaciones de los Qij, que a su vez son
invariantes también.
U1 
De forma similar, la matriz transformada de flexibilidad reducida S  se puede escribir como:
S11  V1  V2 cos2  V3 cos4
(3.5.3a)
S12  V4  V3 cos4
(3.5.3b)
S 22  V1  V2 cos2  V3 cos4
(3.5.3c)
S16  V2sen2  2V3sen4
(3.5.3d)
Q 26  V2sen2  2V3sen4
(3.5.3e)
Q 66  2 V1  V4   4V3 cos4
(3.5.3f)
donde:
1
 3S  3S22  2S12  S66 
8 11
1
V2  S11  S22 
2
1
V3  S11  S22  2S12  S66 
8
1
V4  S11  S22  6S12  S66 
8
V1 
(3.5.2a)
(3.5.2b)
(3.5.2c)
(3.5.2d)
Los términos V1, V2, V3 y V4 y son los cuatro invariantes y son combinaciones de los Sij, que a su vez son
invariantes también.
La principal ventaja de escribir las ecuaciones de la forma anterior es que se puede examinar el efecto del
ángulo de la lámina sobre los elementos de la matriz de rigidez reducida. Además, las fórmulas dadas por las
ecuaciones (3.5.1) y (3.5.3) son más fáciles de manipular para integrarlas, diferenciarlas, etc El concepto es,
sobre todo, importante en la obtención de las propiedades de rigidez de los laminados.
Los módulos elásticos de los laminados cuasi-isotrópicos que se comportan como materiales isotrópicos se
dan directamente en términos de dichos elementos invariantes. Debido a que los laminados cuasi-isotrópicos
tiene la mínima rigidez de los laminados, estos pueden ser utilizados como una medida comparativa de la
rigidez con otros tipos de laminados.
3.6.- Criterios de fallo de una lámina en ángulo.
3.6.1.- Introducción.
Se pueden calcular las tensiones en cada lámina, cuando se conocen los valores de las cargas que actúan sobre
el laminado. Dichas tensiones se pueden comparar con el valor límite correspondiente y se puede decidir si el
laminado fallará o no cuando se somete a las cargas de trabajo.
Hay varias maneras de definir el fallo. La más obvia es cuando existe una separación completa o una fractura,
claramente, entonces el componente ya no puede soportar las cargas que actúan sobre él. Sin embargo, una
definición más general sería “cuando el componente ya no puede cumplir la función para la que fue
diseñado”. Esta definición incluye la fractura total, pero también podría incluir una deformación o deflexión
excesiva como cuando un laminado se alabea (básicamente un límite de rigidez más que un límite de
resistencia), o la formación de grietas incluso sólo de la matriz. Éste puede ser el fallo de un contenedor, ya
que cualquier contenido puede filtrarse a través de las grietas de la matriz de las paredes del contenedor.
Un buen diseño de una estructura requiere el uso eficiente y seguro de los materiales. Es necesario desarrollar
teorías para comparar el estado de tensión en un material con los criterios de fallo. Cabe señalar que se
exponen las teorías de fallo y su aplicación es validada por los experimentos.
En un laminado, la resistencia se relaciona con la resistencia de cada lámina individual. Esto permite un
método simple y económico para determinar la resistencia de un laminado. Varias teorías han sido
desarrolladas para el estudio del fallo de una lámina en ángulo. Las teorías se basan generalmente en las
resistencias normales y a cortadura de una lámina unidireccional.
Un material isotrópico, como el acero, por lo general tiene dos parámetros de resistencia: la normal y la
resistencia a cortadura. En algunos casos, como el hormigón y la fundición gris hierro, las resistencias
normales son diferentes a tracción y compresión. Una teoría simple de fallo para un material isotrópico se
basa en la búsqueda de las tensiones normales principales y las tensiones a cortadura máximas. Estas
tensiones máximas, si son mayores que cualquiera de las cargas de rotura correspondientes, indicará un fallo
en el material.
Sin embargo, en una lámina, las teorías de fallo no se basan en las tensiones normales principales y tensiones
máximas de cortadura. Por el contrario, las teorías de fallo se basan en las tensiones en el material o ejes
locales, porque la lámina es ortotrópica y sus propiedades son diferentes a diferentes ángulos, a diferencia de
lo que ocurre en un material isotrópico.
En el caso de una lámina unidireccional, hay dos ejes materiales: una paralelo a la dirección de las fibras y la
otra perpendicular a ellas. Por lo tanto, hay cuatro parámetros de resistencia normal en una lámina
unidireccional, uno para la tracción y otro para la compresión, en cada una de las dos direcciones de los ejes
materiales. El quinto parámetro de resistencia es la resistencia a cortadura de una lámina unidireccional. La
tensión a cortadura, ya sea positiva o negativa, no tiene un efecto sobre las resistencias de cortadura
reportadas de una lámina unidireccional. Sin embargo, el signo de la tensión de cortadura si que afecta a la
resistencia de una lámina en ángulo. Los cinco parámetros de resistencia de una lámina unidireccional, por lo
tanto son:
(σ1T)ULT = Resistencia a la rotura (última o final) a la tracción longitudinal (en la dirección 1),
(σ1C)ULT = Resistencia a la rotura (última o final) a la compresión longitudinal (en la dirección 1),
(σ2T)ULT = Resistencia a la rotura (última o final) a la tracción transversal (en la dirección 2),
(σ2C)ULT = Resistencia a la rotura (última o final) a la compresión (en la dirección 2)
(τ12)ULT = Resistencia a la rotura (última o final) a cortadura (en el plano 12).
A diferencia de los parámetros de rigidez, los parámetros de resistencia no se pueden transformar
directamente para una lámina en ángulo. Por lo tanto, las teorías de rotura o fallo se basan en encontrar
primero las tensiones en los ejes locales y luego usar estos cinco parámetros de resistencia de una lámina
unidireccional para saber si una lámina ha fallado o no. Se discutirán cuatro teorías habituales de fallo.
También se discutirán conceptos relacionados con la relación de resistencia y el desarrollo de envolventes de
fallo.
Un tema igualmente importante para el diseñador es evitar el fallo o fracaso. Si la definición de "fallo o
fracaso" es alcanzar una deformación especificada entonces puede utilizarse el análisis anterior. Sin embargo,
si la aparición de una tensión o fractura se prevé como una medida de seguridad adicional, entonces es
necesario utilizar otro enfoque.
En un material isótropo sometido a una tensión uniaxial, el fallo o fracaso es fácil de predecir. La resistencia a
la tracción del material (σ1T)ULT será un dato conocido a partir de las hojas de datos de los materiales y es
simplemente una cuestión de asegurar que la tensión uniaxial aplicada no sea superior a dicha resistencia.
Si un material isotrópico se somete a tensiones axiales múltiples entonces la situación es un poco más
compleja, pero no están bien establecidos los procedimientos para predecir el fracaso. Si se aplican las
tensiones σx y σy, no es simplemente una cuestión de asegurar que ninguno de esos valores excede de
(σ1T)ULT. Para valores de σx y σy por debajo de (σ1T)ULT puede haber plano dentro del material en donde la
tensión alcanza el valor de (σ1T)ULT y esto iniciará el proceso de fracaso.
Se han sugerido una serie de métodos con el fin de predecir el proceso de fallo de un material bajo tensiones
multiaxiales y alguno de ellos ha sido aplicado a los materiales compuestos.
La resistencia se puede determinar mediante la aplicación de los criterios de fallo, que suelen agruparse en
tres tipos: los criterios límite, los más simples, los criterios interactivos que tratan de permitir la interacción
de las tensiones multiaxiales y los criterios híbridos que combinan aspectos de los dos anteriores. En este
apartado nos limitaremos a examinar los criterios que se ajustan a los dos primeros tipos.
3.6.2.- Criterio de fallo de la tensión máxima.
Este criterio está relacionado con la teoría de la tensión normal máxima de Rankine y la teoría de la tensión
de cortadura máxima de Tresca, y es similar a los aplicados para los materiales isotrópicos. Las tensiones que
actúan sobre una lámina se resuelven en tensiones normales y de cortadura en la dirección de los ejes locales.
El fallo en una lámina tiene lugar, si alguna de las tensiones normales o de cortadura en los ejes locales de la
lámina es igual o superior a la resistencia final correspondiente de la lámina unidireccional.
Dadas las tensiones o deformaciones en los ejes globales de una lámina, se pueden encontrar las tensiones en
los ejes materiales o locales mediante el uso de la ecuación:
 x   c 2 s2
2sc 


 
2
2
c
2sc 
 y    s
  
2
2




sc
sc
c

s
xy
  

1
2
 1   c
   2
 2    s
  
 12   sc
2sc    1 
 1 
 

1 
c2
2sc    2   T    2 
 
 
sc c 2  s 2   12 
 12 
s2
Este criterio sugiere que el fracaso del material compuesto tendrá lugar si ocurre alguna de las circunstancias
siguientes:
 ULT
1  1T
 ULT
o  1   1C
 ULT
o  2   2T
 ULT
o  2   2C
o  12   12 
ULT
(3.6.2.1)
o bien:
 ULT  1  1T ULT
  2C 
  2   2T 
ULT
ULT
  1C
 12   12 
o
o
(3.6.2.2)
ULT
Es decir, si las tensiones locales de tracción, de compresión o de cortadura son superiores a las resistencias a
la tracción, a la compresión o a la cortadura se producirá el fallo. Cada componente de la tensión se compara
con la resistencia correspondiente y no interactúa con los demás. Hay que tener en cuenta que los cinco
parámetros de resistencia son tratados como números positivos y las tensiones normales son positivas si son
de tracción y negativas si son de compresión, así tendrá lugar el fallo si σ2 = - 200 MPa y (σ2T)ULT = -150
MPa.
Algunos valores típicos de la resistencia de materiales compuestos unidireccionales se dan en la tabla 3.6.2.1
Tabla 3.6.2.1.- Resistencias mecánicas típicas de plásticos reforzados con fibras unidireccionales.
Como en el caso del cálculo de la rigidez, es importante que se pueda hacer frente a la situación en la que las
fibras no están alineadas con la dirección de las tensiones aplicadas (Figura 3.2.6.1).
Figura 3.2.6.1.- Tensión uniaxial, σx, inclinada un ángulo θ con la dirección de las fibras de un material
compuesto unidireccional.
Usando las ecuaciones:
   cos2    sen 2  2 xy sen cos
1
x
y
2
   sen    cos2   2 xy sen cos
2

12
x
y

  sen cos   sen cos   xy cos2   sen 2
x
y

para obtener las tensiones en las direcciones principales de material. Suponiendo σy = τxy = 0 en esas
ecuaciones se obtiene:
   cos2  ,    sen2 ,
1
x
2
x

12
  sen cos
x
(3.6.2.3)
A continuación, se aplican las ecuaciones (3.6.2.1) para determinar si ocurre el fallo. Estamos buscando el
valor de σx que causa un fallo y de la ecuación (3.6.2.3) se deduce que hay tres resultados posibles, es decir:

x
 1T 

ult

o

x
cos2 
 2T 

ult

sen 2
, fallo de la fibra
, fallo transversal
(3.6.2.3)
o
 
x
12 ult
sen cos
, fallo a cortadura
El efecto del valor de σx sobre el modo de fallo al variar el ángulo θ, se ilustra en la figura 3.6.2.2. Se puede
ver que cada modo de fallo está representado por una curva independiente. El fallo de la fibra es más probable
cuando θ es pequeño, el fallo transversal (ya sea la matriz o la intercara) cuando el valor de θ se acerca al 90°
y el fallo a cortadura para valores del ángulo θ intermedios.
Figura 3.2.6.2.- Variación de σx en el fallo con el ángulo θ. Líneas llenas: criterio límite de la tensión,
máxima, línea de puntos: criterio interactivo de Tsai-Hill.
3.6.3.- Relación de resistencia.
En una teoría de fallo, como la teoría de la tensión de rotura máxima del apartado anterior, se puede
determinar si una lámina ha fallado si alguna de las desigualdades de la ecuación (3.6.2.1) es violada. Sin
embargo, no se da información acerca de la cantidad de carga que puede incrementarse si la lámina es segura
o la cantidad de carga que puede disminuirse si la lámina ha fallado. La definición de la relación de resistencia
(SR) es útil para eso. La relación de resistencia se define como:
SR 
Máxima c arg a que puede ser aplicada
C arg a aplicada
(3.6.3.1)
El concepto de relación de resistencia es aplicable a cualquier teoría de fallo. Si SR> 1, entonces la lámina es
segura y la tensión aplicada se puede aumentar por un factor SR. Si SR <1, la lámina no es segura y la tensión
aplicada debe ser reducida por un factor SR. Un valor de SR = 1 implica la carga de rotura.
3.6.4.- Envolventes de fallo.
Una envolvente de rotura o fallo es un diagrama en tres dimensiones de las combinaciones de tensiones
normales y a cortadura que pueden ser aplicadas a una lámina en ángulo justo antes de que se produzca el
fallo. Debido a que el dibujo de gráficos tridimensionales puede llevar mucho tiempo, se pueden desarrollar
envolventes de fallo suponiendo la tensión a cortadura, τxy, constante y luego usar las dos tensiones normales
σx y σy como ejes. Entonces, si la tensión aplicada se encuentra dentro de la envolvente de rotura, la lámina es
segura, de lo contrario, se produce el fallo.
3.6.5.- Criterio de fallo de la deformación máxima.
Este criterio está basado en la teoría de la deformación normal máxima de St. Venant y en la teoría de la
deformación de cortadura máxima de Tresca, y es similar a los aplicados para los materiales isotrópicos. Las
deformaciones aplicadas sobre la lámina se resuelven en deformaciones en la dirección de los ejes locales. El
fallo en una lámina tiene lugar, si alguna de las deformaciones normales o de cortadura en los ejes locales de
la lámina es igual o superior a las deformaciones finales correspondiente de la lámina unidireccional. Las
deformaciones de tracción se consideran positivas y las de compresión negativas.
Dadas las tensiones/deformaciones en los ejes globales de una lámina, se pueden encontrar las deformaciones
en los ejes materiales o locales mediante el uso de la ecuación:




2
2





c
s
2sc
x 
1






2
c 2 2sc    y  ;
 2    s



 
2
2


1
1

sc
sc
c

s

   
   xy 
12
2 
2








x 
1




  2   T   y  ;




1
1

  
  xy 
12
2 
2

Este criterio sugiere que el fracaso del material compuesto tendrá lugar si ocurre alguna de las circunstancias
siguientes:
 ULT
1  1T
o bien
 ULT
o 1  1C
 ULT
o  2   2T
 ULT  1  1T ULT
   2C 
  2    2T 
ULT
ULT
 1C
 12    12 
 ULT
o  2   2C
o
 12   12 
ULT
(3.6.5.1)
o
o
(3.6.5.2)
ULT
donde:
(ε1T)ULT = Deformación a rotura (última o final) a tracción longitudinal (en la dirección 1),
(ε1C)ULT = Deformación a rotura (última o final) a compresión longitudinal (en la dirección 1),
(ε2T)ULT = Deformación a rotura (última o final) a tracción transversal (en la dirección 2),
(ε2C)ULT = Deformación a rotura (última o final) a compresión (en la dirección 2)
(γ12)ULT = Deformación a rotura (última o final) a cortadura (en el plano 12).
Para determinar la tensión de rotura, aplicando este criterio, pueden presentarse dos casos: en el primero, la tensión
actuante sobre la lámina lo hace en la dirección de las fibras y, en el segundo, lo hace oblicuamente a la dirección
de aquellas.
En el primer caso el estado de deformaciones es:
1 

E1
 2  21

E1
 0
Por tanto,

 ULT
 1T
E1
21

 ULT
  2C
E1
La tensión deberá ser mayor que:
 ULT
E1   2C 
ULT
  E1 1T
 
21
En el segundo caso se tiene:
   cos2  ,    sen2 ,
1
x
 
1
 
2
2
x





12
  sen cos
x




1
1
      cos2    sen2
1
12
2
12
E
E x
1
1
1
1
      sen2   cos2 
2
21
1
21
E
E x
2

12

 12
G
12

2
1
  sen cos 
x
G
12
Estas últimas expresiones proporcionan el valor de las deformaciones longitudinales y de corte en función de
la tensión aplicada lo que permitiría su comparación con los valores máximos que aquéllas pueden alcanzar.
Por otra parte, si se admitiera un comportamiento elástico-lineal hasta rotura de la lámina, se tendría, aplicando la
ley de Hooke:

1
 1T 

ult

;
E

1
2
 2T 
 1T 


ult
ult

;  
;
E
2
1
E

1
2
 2T 
 1T 


ult
ult

; 
E
2
1
E
1
por lo que el criterio de rotura equivalente expresado en tensiones pasaría a ser:

x
 1T 

ult

 cos2    sen2 
12
o
 2T 

ult
 
 sen2  
x
21
cos2 

o
 
x
12 ult
sen cos
Las deformaciones finales se pueden encontrar directamente de los parámetros de resistencia a la rotura y del
módulo elástico, suponiendo que la respuesta tensión-deformación es lineal hasta el fallo. La teoría de la
deformación máxima de fallo es similar a la teoría de la tensión de rotura máxima en que no existe
interacción entre las diversas componentes de la deformación. Sin embargo, las dos teorías fallo dan
resultados diferentes debido a las deformaciones locales en una lámina incluyen el efecto del coeficiente de
Poisson. De hecho, si el coeficiente de Poisson es igual a cero en la lámina unidireccional, las dos teorías de
fallo darán el mismo resultado.
A pesar de que son simples de usar, los criterios límite no están de acuerdo con los datos experimentales, a
menos que el ángulo que forma la dirección de las fibras y la carga aplicada este próximo a 0° o 90°. Esto se
debe a que para ángulos intermedios habrá un campo tensional en el que tanto σ1 como σ2 pueden ser
significativas. Estas tensiones van a interactuar entre si y afectar a la carga de rotura, una situación que no está
representada en los criterios de fallo en los que se supone que el fallo no está influenciado por la presencia
de otras tensiones.
3.6.6.- Criterio de fallo de Tsai-Hill.
El criterio de Tsai-Hill es un criterio interactivo. Los criterios interactivos, como su nombre indica, se
formulan de tal manera que se tengan en cuenta las interacciones de las tensiones. El objetivo de este enfoque
es permitir el hecho de que las cargas de fallo existentes en un material, cuando está presente un estado de
tensión multiaxial, pueden diferir de las que existen cuando sólo actúa una tensión uniaxial.
Este criterio de fallo se basa en la teoría de fallo de la distorsión de energía de Von Mises. El criterio de los
materiales isotrópicos se aplica a los materiales anisotrópicos. La energía de distorsión es una parte de la
energía de deformación total de un cuerpo. La energía de deformación en un cuerpo se compone de dos
partes: una debida a un cambio en el volumen, que se denomina energía de dilatación y la segunda se debe a
un cambio en la forma y se denomina energía de distorsión. Se supone que el fallo del material solamente
tiene lugar cuando la energía de distorsión es mayor que la energía de distorsión de fallo del material. Hill
adoptó el criterio de la energía de distorsión de Von Mises para los materiales anisotrópicos. Entonces, Tsai
adaptó lo anterior a una lámina unidireccional. Con base en la teoría de la energía de distorsión, se propuso
que una lámina falla si se viola la siguiente expresión:
G2  G3 12  G1  G3  22  G1  G2  32  2G31 2  2G21 3  2G1 2 3  2G4 232  2G5132  2G6122  1
(3.6.6.1)
Las componentes G1, G2, G3, G4, G5 y G6 del criterio de resistencia dependen de las resistencias de rotura y
se determinan de la siguiente manera.
1.- Aplicando la tensión σ1 = (σ1T)ULT a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará. Así, la ecuación
(3.6.6.1) se reduce a:
G2  G3  1T 
2
ULT
1
(3.6.6.2)
2.- Aplicando la tensión σ2 = (σ2T)ULT a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará. Así, la ecuación
(3.6.6.1) se reduce a:
 
G1  G3   2T
2
ULT
1
(3.6.6.3)
3.- Aplicando la tensión σ3 = (σ2T)ULT a una lámina unidireccional, y asumiendo que la resistencia normal de
tracción de rotura es la misma en las direcciones (2) y (3), entonces la lámina fallará. Así, la ecuación
(3.6.6.1) se reduce a:
G1  G2   2T 
2
ULT
1
(3.6.6.4)
4.- Aplicando la tensión τ12 = (τ12)ULT a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará. Así, la ecuación
(3.6.6.1) se reduce a:
2G6  12 
2
ULT
1
(3.6.6.5)
De las ecuaciones (3.6.6.2), (3.6.6.3), (3.6.6.4) y (3.6.6.5) se deduce:




1
2
1
G1  

2
2
2  T
T




1
 2
ULT
ULT










1
1
G2  
2
2  T


 1
ULT








1
1
G3  
2
2  T


 1
ULT






1
1

G6  
2
2 
 



  12 ULT  
 
 
(3.6.6.6a)
 
(3.6.6.6b)
 
(3.6.6.6c)
(3.6.6.6d)
Debido a que una lámina unidireccional se supone que está bajo tensión plana, es decir, σ3 = τ31 = τ23 = 0,
entonces la ecuación (3.6.6.1), teniendo en cuenta las expresiones (3.6.6.6), se reduce a:
 
1

 T
 1 ULT
 
2
  
  1 2
  T 2
   1 ULT
 
2
 
  2
  T
   2 ULT

 
2
  
12
 
   
  12 ULT
2

 1

(3.6.6.7)
En la práctica el segundo término de la expresión anterior tiene un valor pequeño en comparación con el d e
los otros términos por lo que, a menudo, puede despreciarse y la expresión del criterio de Tsai -Hill se
reduce a:
 
1

 T
 1 ULT
 
2
  
2
 
  T
  2 ULT
 
2
  
12
 
   
  12 ULT
2

 1

(3.6.6.8)
Dadas las tensiones globales en una lámina, se pueden encontrar las tensiones locales en la lámina y aplicar el
criterio de fallo anterior para determinar si la lámina falla o no.
Los valores de resistencia en las ecuaciones (3.6.6.7) y (3.6.6.8) se eligen de modo que se correspondan con
la naturaleza de σ1 y σ2. Así, si σ1 es de tracción se elige (σ1T)ULT , y si σ2 es de compresión se utilizará ,
(σ2C)ULT, y así sucesivamente.
Cabe señalar que sólo ha de satisfacerse un solo criterio, a diferencia de los cinco sub-criterios de los criterios
límite. Por lo tanto, sólo se obtiene un valor de la tensión de rotura. Otro punto a tener en cuenta es que este
criterio no nos indica el modo de fallo, a diferencia de los criterios límite. Esta última cuestión tiene una
influencia sobre la forma en que se predice el fallo de los laminados. Para un material compuesto
unidireccional sometido a una tensión uniaxial paralela a la dirección principal el criterio de Tsai-Hill y el
de máxima tensión dan la misma tensión de rotura.
Al igual que en el caso de los criterios límite nos interesa el caso en el que la dirección de la carga no
coincide con del eje, es decir, la tensión y las fibras no están alineadas. Para ilustrar esto, se toma de nuevo el
caso más simple de una tensión única actuando en una dirección que forma un ángulo θ con la de las fibras.
La sustitución de las tensiones dadas por las ecuaciones (3.6.2.3) en la ecuación (3.6.6.7) nos da, en el fallo:
2
2
2


2 
2
2
2
2 


  x cos     x sen  cos     x sen     x sen cos   1
2
 T

 T
   
T

12 ULT

1
ULT 

 2 ULT  
1 ULT
 
 
 
(3.6.6.9)
La forma en la que σx, que se obtiene de la ecuación anterior, varía con el ángulo θ se muestra en la curva de
puntos de la figura 3.2.6.2. La variación es continua, en lugar de las tres curvas separadas obtenidas con el
criterio límite.
Se ha mostrado que la aplicación de un criterio de fallo nos dirá si, para un determinado conjunto de
tensiones, el fallo se produce o no. También es de interés ser capaces de predecir la magnitud de la tensión o
tensiones, que causan el fallo. Podemos lograr esto mediante una factorización simple. Si se trata de un
criterio límite nos limitaremos a examinar la relación más pequeña (deformación límite/ deformación
calculada) y la escala correspondiente.
El uso de un criterio interactivo es un poco más complicado. Supongamos que nuestro conjunto de tensiones
σ1, σ2 y τ12, (y las tensiones cartesianas asociadas, σx, σy y τxy) se escalan por el factor R. La ecuación (3.6.6.7)
se convierte en:
 R
1

T
 
 1 ULT
 
2
2
  R R   R
2
  1 2  


2
T

 
T
   1 ULT   2 ULT
 
 
2
  R
12
 
   
  12 ULT
2

 1

(3.6.6.10)
o bien:
 
1

 T
 1 ULT
 
2
  
  1 2
  T 2
   1 ULT
 
2
 
  2
  T
   2 ULT

 
2
2
  
12
 
   
  12 ULT

1
  2
R

(3.6.6.11)
R es una medida de la resistencia disponible en el sistema. A menudo, se denomina como el factor de reserva.
Se pueden aumentar todas las tensiones por ese factor antes de que ocurra el fallo.
3.6.7.- Criterio de fallo de Tsai-Wu.
Este criterio de fallo se basa en la teoría de fallo de la energía total de deformación de Beltrami. Tsai-Wu
aplicaron la teoría del fallo a una lámina sometida a un estado tensional plano. Con base en la teoría de rotura
de Tsai-Wu, se propuso que una lámina falla si se viola la siguiente expresión:
2
H11  H2 2  H612  H1112  H22 22  H6612
 2H121 2  1
(3.6.7.1)
Este criterio de fallo es más general que el de Tsai-Hill, ya que distingue entre resistencia a compresión y a
tracción de la lámina.
Las componentes H1, H2, H6, H11, H22 y H66 del criterio de fallo se determinan usando los 5 parámetros de
resistencia de rotura de una lámina unidireccional de la siguiente manera:
1.- Aplicando la tensión σ1 = (σ1T)ULT, σ2 = 0, τ12 = 0 a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará.
Así, la ecuación (3.6.7.1) se reduce a:
 
H1  1T
ULT
 H11
 
1T
2
1
ULT
(3.6.7.2)
2.- Aplicando la tensión σ1 = -(σ1C)ULT, σ2 = 0, τ12 = 0 a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará.
Así, la ecuación (3.6.7.1) se reduce a:
 
H1  1C
 H11
ULT
1C 
2
ULT
1
(3.6.7.3)
De las ecuaciones (3.6.7.2) y (3.6.7.3) se deduce:
H1 
1

 
H11 
 1T
ULT
1
 
 1C
ULT
1
   
 1T
 1C
ULT
(3.6.7.4)
(3.6.7.5)
ULT
3.- Aplicando la tensión σ1 = 0, σ2 = (σ2T)ULT, τ12 = 0 a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará.
Así, la ecuación (3.6.7.1) se reduce a:
 
H2  2T
ULT
 H 22
 2T 
2
ULT
1
(3.6.7.6)
4.- Aplicando la tensión σ1 = 0, σ2 = -(σ2C)ULT, τ12 = 0 a una lámina unidireccional, entonces la lámina
fallará. Así, la ecuación (3.6.7.1) se reduce a:
 
H2  2C
 H 22
ULT
 2C 
2
1
ULT
(3.6.7.7)
De las ecuaciones (3.6.7.6) y (3.6.7.7) se deduce:
H2 
1

 
H 22 
 2T
ULT
1
 
 2C
ULT
1
   
 2T
 2C
ULT
(3.6.7.8)
(3.6.7.9)
ULT
5.- Aplicando la tensión σ1 = 0, σ2 = 0, τ12 = (τ12)ULT a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará.
Así, la ecuación (3.6.7.1) se reduce a:
H6 12 
ULT
 H 66
12 
2
ULT
1
(3.6.7.10)
6.- Aplicando la tensión σ1 = 0, σ2 = 0, τ12 =- (τ12)ULT a una lámina unidireccional, entonces la lámina fallará.
Así, la ecuación (3.6.7.1) se reduce a:
H6 12 
ULT
 H 66
12 
2
ULT
1
(3.6.7.11)
De las ecuaciones (3.6.7.10) y (3.6.7.11) se deduce:
H6  0
H 66 
(3.6.7.12)
1
12 ULT
2
(3.6.7.13)
El único componente del criterio de fallo de Tsai-Wu que no se puede encontrar directamente a partir de los
cinco parámetros de resistencia de la lámina unidireccional es H12. Este parámetro se puede encontrar
experimentalmente conociendo una tensión biaxial a la cual falle la lámina y sustituyendo entonces los valores
de σ1, σ2 y τ12 en la ecuación (3.6.7.1). Hay que tener en cuenta que es necesario que σ1 y σ2 sean distintas de
cero para determinarH12. Los métodos experimentales para encontrar H12 son los siguientes:
1.- Se aplica cargas de tracción iguales a lo largo de los dos ejes del material en un compuesto unidireccional.
Si σx = σy = σ, τxy = 0 es el estado de carga en el cual la lámina falla, entonces
H1  H2   H11  H22  2H12  2  1
(3.6.7.14)
La solución de la ecuación (3.6.7.14) da:
H12 
1 
1   H1  H2    H11  H 22  2 
2
2
(3.6.7.15)
No es necesario seleccionar cargas de tracción en el ensayo biaxial anterior, pero se puede aplicar cualquier
combinación de:
σ1 = σ, σ2 = σ
σ1 = -σ, σ2 = -σ
σ1 = σ, σ2 = -σ
σ1 = -σ, σ2 = σ
Esto nos dará cuatro valores diferentes de H12, cada uno correspondiente a los cuatro ensayos.
2.- Se toma una lámina a 45 ° bajo una tensión uniaxial σx, y se determina su valor cuando ocurre el fallo. Si
esta tensión es σx = σ, entonces, utilizando la ecuación:
 x   c 2 s2
2sc 


 
2
2




s
c

2
sc
 y
  
2
2
 xy   sc sc c  s 
1
2
 1   c
   2
 2    s
  
 12   sc
2sc    1 
 1 
 
 

1
c2
2sc    2   T    2 
 
 
sc c 2  s 2   12 
 12 
s2
las tensiones locales de fallo son:
σ1 = σ/2
σ2 = σ/2
τ12 = - σ/2
Sustituyendo las ecuaciones precedentes en la ecuación (3.6.7.1) se obtiene:

H1  H2  2  H11  H22  H66  2H12 
H12 
2
2

H1  H2

2
4
1
1
 H11  H 22  H 66 
2
(3.6.7.16)
(3.6.7.17)
Algunas ecuaciones empíricas para determinar el valor de H12 son:
H12  
H12  
H12  
1
2
 
 1T
, (teoría de fallo de Tsai-Hill)
2
ULT
1
2
1
2
   
 1T
(3.6.7.18)
ULT
 1C
(Criterio de Hoffman)
(3.6.7.19)
ULT
1
       
 1T
ULT
 1C
ULT
 2T
ULT
 2C
(Criterio de Mises-Hencky)
(3.6.7.20)
ULT
3.6.8.-Comparación de los resultados experimentales con los obtenidos de los criterios de fallo.
Tsai comparo los resultados de diferentes teorías de fallo con algunos resultados experimentales. Considera
una lámina en ángulo sometida a una carga uniaxial en la dirección x, σx, como se muestra en la figura 3.6.8.1.
Las tensiones de fallo se obtuvieron experimentalmente para tensiones de tracción y de compresión para
diversos ángulos de la lámina.
Figura 3.6.8.1.- Carga fuera del eje en la dirección x en las figuras 3.6.8.2 a 3.6.8.5.
Los resultados experimentales se pueden comparar con las cuatro teorías de fallo determinando las tensiones
en los ejes del material para una tensión arbitraria, σx, para una lámina en ángulo con un ángulo, θ, entre la
dirección de la fibra y la dirección de la carga a partir de la ecuación:
 x   c 2 s2
2sc 


 
2
2




s
c

2
sc
 y
  
2
2




sc
sc
c

s
xy
  

1
2
 1   c
   2
 2    s
  
 12   sc
2sc    1 
 1 
 
 

1
c2
2sc    2   T    2 
 
 
sc c 2  s 2   12 
 12 
s2
obteniéndose:
   cos2 
1
x
   sen 2
2
(3.6.8.1)
x
   sen cos
12
x
Las deformaciones correspondientes en los ejes del material, se pueden determinar a partir de la ecuación:




 


  c 2 s2
2
sc
 x 
 1   2
c 2 2sc    y  ;
 2    s



 
2
2

 1
1

sc
sc
c

s
   
   xy 
 2 12 
2

obteniéndose:









 x 
 1 
  2   T   y  ;




 1  
 1  
xy
 2 12 
2


 
1
cos2    sen 2 
12
x
E1
 
1
sen 2   cos2  
12
x
E2
1
2

12


1
 sen cos  x
G12

(3.6.8.2)
Utilizando las deformaciones y tensiones locales anteriores, en las cuatro teorías de fallo dadas por las
ecuaciones:
 ULT  1  1T ULT
  2C 
  2   2T 
ULT
ULT
  1C
  12 
ULT
  12   12 
 ULT  1  1T ULT
   2C 
  2    2T 
ULT
ULT
 
1

T
 
 1 ULT
 
ULT
  12    12 
2
  
  1 2
  T 2
   1 ULT
 
o
(3.6.8.3)
ULT
 1C
   12 
o
o
o
(3.6.8.4)
ULT
2
 
  2
  T
   2 ULT

 
2
  
12
 
   
  12 ULT
2

 1

2
H11  H2 2  H612  H1112  H22 22  H6612
 2H121 2  1
(3.6.8.5)
(3.6.8.6)
se puede encontrar la carga final fuera del eje, σx, que puede ser aplicada en función del ángulo de la lámina.
Se utilizaron los siguientes valores para las resistencias y rigideces de una lámina unidireccional en las teorías
de fallo:
E1 = 7.8 Msi
E2 = 2.6 Msi
υ12 = 0.25
G12 = 1.3 Msi
(σ1T)ULT = 150 Ksi
(σ1C)ULT = 150 Ksi
(σ2T)ULT = 4 Ksi
(σ2C)ULT = 20 Ksi
(τ12)ULT = 6 Ksi
La comparación de las cuatro teorías de fallo se muestra en las figuras 3.6.8.2 a 3.6.8.5. Las observaciones
que se pueden realizar de las figuras son las siguientes:
• La diferencia entre los criterios de fallo de la
experimentales es bastante pronunciada.
tensión y la deformación máxima y los resultados
• Los criterios de fallo de Tsai-Hill y Tsai-Wu dan resultados que están en buen acuerdo con los resultados
obtenidos experimentalmente.
• La variación de la resistencia de la lámina en ángulo en función del ángulo es suave en los criterios de fallo
de Tsai-Hill y Tsai-Wu, pero tiene picos en los criterios de fallo de la tensión y deformación máxima. Los
picos se corresponden con el cambio en los modos de fallo en los criterios de fallo de la tensión y la
deformación máxima.
Figura 3.6.8.2.- Tensión de tracción normal máxima en la dirección x en función del ángulo de la lámina
usando la teoría de fallo de la tensión máxima.
Figura 3.6.8.3.- Tensión de tracción normal máxima en la dirección x en función del ángulo de la lámina
usando la teoría de fallo de la tensión máxima.
Figura 3.6.8.4.- Tensión de tracción normal máxima en la dirección x en función del ángulo de la lámina
usando la teoría de fallo de Tsai-Hill.
Figura 3.6.8.5.- Tensión de tracción normal máxima en la dirección x en función del ángulo de la lámina
usando la teoría de fallo de Tsai-Wu.
4.- Análisis macromecánico de los laminados. Teoría clásica (CLT).
4.1.- Introducción.
En el apartado referente al análisis macromecánico de una lámina, se desarrollaron las ecuaciones tensióndeformación para una lámina única. Una estructura real, sin embargo, no consiste en una lámina única, sino
que en lo que se refiere a un laminado, está compuesto por más de una lámina unidas a través de su espesor.
¿Por qué? En primer lugar, la lámina es de un espesor del orden de 0.125 mm, lo que implica que serán
necesarias varias con el fin de soportar cargas reales (una lámina típica vidrio/epoxi fallará para una carga
normal en torno a 131350 N/m de ancho a lo largo de las fibras).
En segundo lugar, las propiedades mecánicas de una lámina unidireccional son muy limitadas en el sentido
transversal. Si se apilan de forma unidireccional varias capas, puede obtenerse un laminado óptimo para
cargas unidireccionales. Sin embargo, para cargas complejas y los requisitos de rigidez, esto no sería
deseable. Este problema se puede solucionar haciendo un laminado con las láminas apiladas en ángulos
diferentes unidas entre sí, para que soporte la carga dada en varias direcciones y cumpla con los requisitos de
rigidez. Este enfoque aumenta el costo y el peso de la lámina y, por lo tanto, es necesario optimizar los
ángulos de la lámina. Por otra parte, se pueden utilizar láminas de diferentes materiales compuestos para
desarrollar un laminado óptimo. Un laminado actúa como un elemento estructural integrado (Figura 4.1.1)
Figura 4.1.1.- Cuestiones básicas del análisis de los laminados.
Es evidente que son posibles muchas permutaciones en términos del número de niveles (o láminas) y la
orientación relativa de las fibras en cada lámina. A primera vista podría parecer que la mejor manera de lograr
un comportamiento más isotrópico sería tener dos láminas con las fibras unidireccionales dispuestas en
direcciones perpendiculares entre sí. Por ejemplo, dos láminas dispuestas a 0º y 90º o en 45º y -45º con
respecto a la dirección global x, puede parecer que ofrecen propiedades más equilibradas en todas las
direcciones. De hecho, la falta de simetría sobre el plano medio del laminado provoca un comportamiento
muy complejo en estos casos.
En general, es mejor objetivo tener simetría con respecto al plano central. Un laminado en la que las láminas
por encima del plano central son un reflejo de las de abajo se denomina como laminado simétrico. Así, un
apilamiento de cuatro láminas con fibras orientadas a 0º, 90º, 90º y 0º es simétrico. El convenio para referirse
a este laminado es el siguiente:
[0º/90º/90º/0º]T
[0º, 90º2, 0º]T o [0º/ 90º]S
En términos generales cualquier laminado del tipo [, -, -, ]T es simétrico y puede haber, por supuesto,
incluso cualquier número de láminas o láminas. No todas las láminas tienen que ser del mismo grosor, pero la
simetría debe mantenerse. En el caso de un laminado simétrico donde la capa central no se repite, esto puede
indicarse mediante el uso de una barra superior. Por lo tanto el laminado [45 /-45/0/90/0/-45/45]T se puede
escribir como [45, 0, 90 ]S.
De forma similar a lo que se hizo en el apartado referente al análisis macromecánico de una lámina, se
desarrollará el análisis macromecánico para un laminado. En base a aplicar cargas en el plano de extensión, de
corte, doblado y torsión, se determinarán las tensiones y deformaciones en los ejes locales y globales de cada
lámina. También se determinará la rigidez de los laminados. Debido a que los laminados también pueden ser
sometidos a cargas higrotérmicas debidas a los cambios de temperatura y de absorción de humedad durante el
proceso y servicio, también se calcularán las tensiones y deformaciones en cada lámina debidas a esas cargas.
La resistencia, rigidez y las propiedades higrotérmicas de un laminado dependerán de:
• Módulos de elasticidad
• Modo de apilamiento
• Espesor
• Ángulo de orientación
• Coeficientes de expansión térmica
• Coeficientes de la expansión de humedad
de cada lámina.
La figura 3.3.4.7 pone de relieve una seria limitación de los componentes de fibra unidireccional, que es su
gran anisotropía coplanar. Para superar este problema es necesario componer las láminas unidireccionales a
diferentes ángulos. Las propiedades elásticas de los laminados dependen de las propiedades de las láminas. En
esta sección se da una visión del procedimiento que se usa para calcular las propiedades del laminado
basándose en la teoría clásica del laminado.
En la teoría del laminado para obtener cálculos teóricos se hacen una serie de hipótesis. Estas son:
(i).- Las láminas están perfectamente unidas y sin deslizamiento relativo entre ellas
(ii).- La unión entre las láminas es infinitamente delgada
(iii).- El laminado tiene las propiedades de una hoja delgada.
Con estas hipótesis es posible considerar el laminado como una placa elástica delgada y aplicar el análisis
clásico de Kirchhoff para deducir la distribución de deformaciones por toda la placa cuando está
sometida a fuerzas externas. Puesto que el laminado está construido con láminas orientadas en direcciones
diferentes unas respecto de otras, pero que tienen las mismas relaciones de esfuerzos-deformaciones dadas por
la ecuación (3.3.4.24), (suponiendo que el laminado no es híbrido) la ecuación de esfuerzo-deformación de
la capa k-ésima del laminado puede escribirse:
 Q11 Q12 Q16    
 x 

  x 
 
  y    Q12 Q 22 Q 26    y 

 
 



Q
Q
Q
16
26
66
xy
xy
 k 
k
k 
(4.1.1)
Está claro que las Q ij deben evaluarse para cada capa puesto que dependen del ángulo entre el sistema
coordenado usado y las direcciones principales del material, es decir, del ángulo θ de la figura 3.3.4.1. Así,
para una distribución de deformación dada, puede calcularse el esfuerzo en cada capa. La teoría del
laminado clásica proporciona un método para calcular las fuerzas y momentos resultantes por unidad de
longitud que actúan sobre el laminado, integrando los esfuerzos que actúan en cada lámina a través del
espesor del laminado. Se pueden deducir expresiones específicas de las rigideces del laminado en función de
la construcción del mismo, esto es, la orientación y el espesor de las distintas láminas, la secuencia de
apilamiento y las constantes elásticas de cada lámina, E1 (=EII), E2 (=E), G12(=G) y υ12 (=υII).
Antes de pasar a desarrollar el comportamiento general de deformación es importante dar una visión física de
la naturaleza de los esfuerzos de acoplamiento que surgen cuando dos o más láminas no isótropas, en este
caso ortotrópicas, se unen y se cargan posteriormente.
Considérese el laminado cruzado de la figura 4.1.2 que consta de dos láminas unidireccionales unidas entre sí
con las direcciones de fibra en ángulo recto una de otra. Por ser E1 ≠ E2 la aplicación de un esfuerzo a tracción
unidireccional σ, como se muestra, a cada lámina separadamente produce diferentes deformaciones de
tracción σ/E1 y σ/E2 paralelas a la dirección del esfuerzo. Cuando las láminas se unen entre sí, como en una
placa delgada, el esfuerzo aplicado produce la misma deformación en cada lámina siempre y cuando se
mantenga plana y el laminado tenga un nuevo módulo a tracción E L, de forma que E1 > EL> E2.
Figura 4.1.2.- Laminado de dos capas de láminas cruzadas. (a) Forma. ( b ) Ilustración de las diferentes
deformaciones producidas cuando se aplica un esfuerzo determinado a cada una de las
capas y al conjunto laminado.
Está claro que los esfuerzos a tracción en cada lámina no son los mismos y esto da lugar a unas fuerzas de
acoplamiento que producen unos esfuerzos adicionales en el plano normal al eje de tracción. La existencia de
tales fuerzas puede demostrarse experimentalmente de dos formas. Primero, tomar un laminado cruzado de
dos capas bien unidas y calentarlo. Puesto que los coeficientes de dilatación térmica lineales αII y α no son
los mismos, el laminado se comportará como una tira bimetálica y se doblará hacia la lámina con el menor
coeficiente de dilatación (Figura 4.1.3).
Figura 4.1.3.- Distorsión de doble curvatura producida por calentamiento de un laminado de dos capas
cruzadas.
Segundo, tomar dos láminas y aplicar una deformación fija a cada una, paralela y perpendicularmente a la
dirección de la fibra, respectivamente. Por ser E1 ≠ E2 se requerirán esfuerzos diferentes para producir la
misma deformación en cada lámina. Mientras las láminas están aún bajo tensión, unir las dos entre sí y
eliminar el esfuerzo entonces. De nuevo el laminado se doblará y se requerirán esfuerzos adi cionales
normales al plano del laminado para mantenerlo plano.
Los mismos argumentos son aplicables a un laminado equiangular de dos capas como el que se ilustra en la
figura 4.1.4. La aplicación de un esfuerzo a tracción a cada lámina por separado a un ángulo de la dirección
de la fibra produce un cambio de forma que implica deformaciones de extensión y angulares como resulta
evidente de la ecuación:
  x   S11 S12 S16    x 
 

 
  y    S12 S 22 S 26    y 
  

 

S
S
S
16
26
66
xy

 
  xy 
El cambio de forma en cada capa es el mismo pero en sentido opuesto. Cuando las dos láminas están unidas
entre sí el cambio de forma es muy diferente, como se muestra, y para un laminado de dos capas se
desarrollan esfuerzos de acoplamiento fuera del plano cuando se le somete a cargas.
Figura 4.1.4.- Cambio de forma en una lámina única a +θ y -θ y en un laminado de dos láminas con
ángulos +θ y -θ, bajo un esfuerzo a tracción unidireccional.
Pueden repetirse los mismos experimentos descritos arriba aunque el segundo ex perimentado es difícil de
efectuar a causa del complicado cambio de forma. El calentamiento de un laminado bien unido ocasiona un
retorcimiento como el que se ilustra en la figura 4.1.5. De forma parecida, si se somete el laminado bien unido
a una carga fija sin ningún esfuerzo final para mantener el laminado plano como en la figura 4.1.4, las fuerzas
de acoplamiento también provocarán un retorcimiento.
Figura 4.1.5.-Cambio de forma de un laminado de pliegues en un ángulo no simétrico bajo calentamiento.
Los esfuerzos de acoplamiento surgen porque el laminado no es simétrico respecto al plano medio y
añade un grado de complejidad al cálculo de la respuesta de un laminado a las fuerzas externas aplicadas.
Por esto y por otras razones, es práctica común en muchas aplicaciones usar laminados simét ricos que no
están sujetos a este tipo de acoplamiento. La simetría depende del número y el espesor de las láminas
diferentemente orientadas respecto al plano medio. En la figura 4.1.6 se muestran algunos ejemplos de
laminados simétricos y no simétricos. Para un laminado asimétrico sencillo ±θ con láminas de espesor
uniforme, como el que se ilustra en la figura 4.1.6b, los esfuerzos de acoplamiento disminuyen a medida
que aumenta el número de capas.
Figura 4.1.5.- Ejemplos de laminados simétricos y no simétricos
4.2.- Nomenclatura de los laminados.
Un laminado está hecho de un grupo de láminas individuales unidas entre sí. Cada lámina puede identificarse
por su situación en el laminado, por el material del que está compuesta y por su ángulo de orientación con
respecto a un eje de referencia (Figura 4.2.1). Cada lámina está representada por su ángulo y separada de las
otras capas por un signo de barra horizontal. La primera lámina es la lámina superior del laminado.
Notaciones especiales se utilizan para los laminados simétricos, laminados con una lámina adyacente de la
misma orientación o de ángulos opuestos y laminados híbridos. Los siguientes ejemplos ilustran la
nomenclatura de los laminados.
Figura 4.2.1.- Esquema de un laminado.
El laminado de arriba de representa por [0/-45/90/60/30]. Se compone de cinco láminas, cada una con un
ángulo diferente con respecto a la referencia del eje-x. Una línea horizontal separa cada lámina. El código
también implica que cada capa se hace del mismo material y del mismo espesor. A veces, este laminado se
puede representar por [0/-45/90/60/30]T, donde el subíndice T representa un laminado total.
El laminado de arriba de representa por [0/-45/902/60/0] y consta de seis hojas. Debido a que dos láminas a
90° son adyacentes entre sí, y el subíndice 2 nos indica el número de láminas adyacentes de un mismo
ángulo.
El laminado de arriba de representa por [0/-45/60]s y consta de seis láminas. Las láminas por encima del
plano medio son de la misma orientación, material y espesor que las láminas por debajo del plano medio, así
que es un laminado simétrico. Las tres láminas principales están escritas en el código, y el subíndice fuera de
los corchetes indica que las tres láminas se repiten en el orden inverso.
El laminado de arriba de representa por [0/-45/60]s y consta de cinco láminas. El número de láminas es
impar y existe simetría con respecto a la superficie media, por lo tanto, la lámina a 60 º se representa con una
barra en la parte superior.
El laminado de arriba de representa por [0 Gr/±45B]. Consiste en 6 láminas, de las cuales las de ángulo 0º son
de grafito/epoxy y las de ángulos ±45º son de boro/epoxy. Puede observarse la simetría del laminado. La
notación ±45º indica que la lámina se continua por la lámina de ángulo de +45º y luego por la de -45º Una
notación nos indicaría que la lámina de ángulo de -45º se continua con la de +45º.
4.3.- Relaciones tensión-deformación de un laminado.
4.3.1.- Relaciones tensión-deformación en una viga isotrópica unidimensional.
Consideremos una viga prismática de sección transversal A (Figura 4.3.1.1a) bajo una carga puntual simple
P. La tensión normal en cualquier sección transversal está dada por:
P
(4.3.1.1)
x 
A
La deformación normal correspondiente, si supone la viga isotrópica y linealmente elástica, viene dada por:
x 
P
AE
(4.3.1.2)
donde E es el módulo de elasticidad de la viga. Hay que señalar el supuesto de que la tensión normal y la
deformación son uniformes y constantes en la viga y dependen de la carga aplicada P en el centro de
gravedad de la sección transversal.
Ahora consideremos la misma viga prismática sometida a un momento flector puro M (Figura 4.3.1.1b). Una
viga se encuentra sometida a Flexión Pura cuando el momento Flector es la única fuerza al interior de la sección.
En toda sección recta de la viga la resultante de las fuerzas situadas a un lado de la misma es nula y el vector
momento resultante está contenido en dicha sección (flexión pura). La viga se supone que en un principio es
recta y las cargas aplicadas pasan a través de un plano de simetría para evitar la torsión. Sobre la base de los
supuestos elementales de la resistencia de materiales:
• Se desprecia la cortadura transversal
• Las secciones transversales conservan su forma original
• El plano yz antes y después de la flexión se mantiene igual y normal al eje x.
Figura 4.3.1.1.- Viga bajo: (a) carga axial, (b) momento de flexión y (c) carga axial y momento de flexión.
Entonces, a la distancia z de la línea central, se tiene:
 xx 
z

(4.3.1.3)
donde ρ es el radio de curvatura de la viga.
Si el material es linealmente elástico e isotrópico:
 xx 
Ez

(4.3.1.4)
Además:
Mz
(4.3.1.5)
I
z 2dA es el momento de inercia, y M es el momento de flexión total.
 xx 
donde: I  
A
Ahora, si la misma viga se encuentra bajo la influencia de la carga axial P y del momento de flexión M
(Figura 4.3.1.1c), aplicando el principio de superposición s etiene:
 1 
z
 xx  
P   M
 AE 
 EI 
1


(4.3.1.6)
 xx   0  z 
(4.3.1.7)
 xx   0  z
(4.3.1.8)
donde ε0 es la deformación en z = 0 , que es la línea del centro de gravedad de la viga y κ = curvatura de la
viga. Lo anterior muestra que, bajo una carga combinada uniaxial y de flexión, la deformación varía
linealmente a través del espesor de la viga.
4.3.2.- Ecuaciones deformación-desplazamiento.
De igual manera que en el apartado anterior, en este se van a desarrollar las relaciones entre las
deformaciones axiales y la curvatura para una placa bajo cargas en el plano, como fuerzas cortantes y axiales
y momentos de flexión y torsión (Figura 4.3.2.1). Se va a utilizar la teoría clásica de los laminados para
determinar dichas relaciones. Se van a realizar las suposiciones, de la teoría clásica de los laminados,
siguientes:
(a).- Cada lámina es ortotrópica
(b).- Cada lámina es homogénea
(c).- Una línea recta y perpendicular a la superficie media se mantiene recta y perpendicular a dicha
superficie durante la deformación (γxz = γyz = 0)
(d).- El laminado es delgado y se carga sólo en su plano (tensión plana)( σz = τxz = τyz = 0)
(e).- Los desplazamientos son continuos y pequeños a lo largo de la lámina (│u│, │v│,│w│<<│h│),
donde h es el espesor del laminado
(f).- Cada lámina es elástica
(g).- No se produce deslizamiento entre las intercaras de la lámina
Figura 4.3.2.1.- Fuerzas y momentos resultantes en un laminado.
Consideremos una vista lateral de la placa en el sistema de coordenadas cartesiano x-y-z como se muestra en
la figura 4.3.2.2. El origen de la placa está en su plano medio, es decir, z = 0. Supongamos que u0, v0 y w0 son
los desplazamientos en las direcciones x, y y z, respectivamente, en el plano medio y u, v y w los
desplazamientos en cualquier punto en las direcciones x, y, y z, respectivamente. En cualquier otro punto, los
dos desplazamientos en el plano x-y dependerán de la localización axial del punto y de la pendiente del plano
medio del laminado con respecto a las direcciones x e y.
Por ejemplo, en relación a la figura 4.3.2.2, se tiene
u  u0  z
(4.3.2.1)
donde:

w 0
(4.3.2.2)
x
Así, el desplazamiento u en la dirección x es:
u  u0  z
w 0
x
(4.3.2.3)
Del mismo modo, tomando una sección transversal en el plano y-z se obtendría el desplazamiento v en la
dirección y:
w
(4.3.2.4)
v  v0  z 0
y
Figura 4.3.2.2.- Relaciones entre los desplazamientos a través del espesor de una placa y los desplazamientos
en el plano medio y las curvaturas.
A continuación, teniendo en cuenta las definiciones de las tres deformaciones en el plano x-y
2
2
u
u
 u   v 
 x   1       1  , ya que para pequeños desplazamientos,
x
x
 x   x 
2
v
x
1
1,
v
x
1
2
 v   u 
v
u
 y   1       1  , ya que para pequeños desplazamientos,
y
x
 y   y 
 xy
1,
u
v
u v
u
y
 x 


, ya que para pequeños desplazamientos,
u
v y x
x
1
1
x
y
1,
v
x
1
En nuestro caso, teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores, se tiene:
 2w 0
u u0
x 

z 2
x x
x
 2w 0
v v 0
y 

z 2
y y
y
 xy
 2w 0
u v u0 v 0




 2z
y x y
x
x y
(4.3.2.5a)
(4.3.2.5b)
(4.3.2.5c)
Las ecuaciones (4.3.2.5a), (4.3.2.5b) y (4.3.2.5c) pueden escribirse en forma matricial, del modo siguiente:
  2w 0 
 u0 
 2 



x
 x 
 x  

  2w 
   v 0 
0
 y   
z  2 
y
 y 
  


  2w 
 xy   u v 
0
0
0
 2




y

x
 x y 


(4.3.2.6)
Las dos matrices de la derecha de la ecuación (4.3.2.6) representan las definiciones de las deformaciones en el
plano medio:
 u0 


x
  x0  

   v

0
  y0   

y
  

0
 xy
  u v 
 0  0
x 
 y
(4.3.2.7)
y las curvaturas en el plano medio:
  2w 0 
 2 
  x   x 
    2w 0 
 y     2 
   y 
 xy    2w 
0
 2
 x y 
(4.3.2.8)
respectivamente.
Por consiguiente, las deformaciones del laminado se pueden escribir como:
  x    x0 
 x 
   0
 






z
 y
 y 
y


 
 
0
 xy   xy 
 xy 
(4.3.2.9)
La ecuación (4.3.2.9) muestra la relación lineal de las deformaciones en un laminado con las curvaturas del
laminado. También indica que las deformaciones son independientes de las coordenadas x e y.
4.3.3.-Deformaciones y tensiones en un laminado.
Si se conocen las deformaciones globales en cualquier punto a lo largo del espesor del laminado, mediante la
ecuación tensión-deformación siguiente:
  x   Q11 Q12 Q16    x 

  

  y    Q12 Q 22 Q 26    y  ,
 
  



Q
Q
Q
16
26
66
xy
xy
  


(4.3.3.1)
se pueden determinar las tensiones globales en cada lámina
  x   Q11 Q12 Q16    x 
 
  

  y    Q12 Q 22 Q 26    y 
 
  



Q
Q
Q
16
26
66
xy
xy
 k 
k
k 
(4.3.3.1)
La matriz de rigidez transformada reducida, Q  , corresponde a la de la lámina situada en el punto a lo largo
del espesor del laminado. Al sustituir la ecuación (4.3.2.9) en la ecuación (4.3.3.1), se obtiene:
  x   Q11 Q12 Q16    x0   Q11 Q12 Q16    x 
 0  
 
  




Q
Q
Q


z
Q
Q
Q
 12
22
26 
22
26    y 
 y   12
y


 0

  
  
 xy   Q16 Q 26 Q 66   xy   Q16 Q 26 Q 66   xy 
(4.3.3.2)
De la ecuación (4.3.3.2), se deduce que la tensión varía linealmente a través del espesor de cada lámina
particular (Figura 4.3.1.1). Las tensiones, sin embargo, pueden saltar de lámina a lámina, porque la matriz de
rigidez transformada reducida, Q  , cambia de una lámina a otra, ya que Q  depende del material y de la
orientación de las láminas. Las tensiones globales se pueden transformar a las tensiones locales a través de la
ecuación de transformación:
2
 x 
1   c
 
  2
1 
  y   T    2    s
 
  

xy
 12   sc
 
2sc    1 
 
2
c
2sc    2 
 
sc c 2  s 2   12 
s2
(4.3.3.3)
A su vez, las deformaciones locales pueden transformarse a las deformaciones globales a través de la
ecuación:

 1

 2

 12
 2


x



  T    y



 xy


2


2
s2
sc    x
  c

  2
2

  y

s
c

sc


  2sc 2sc c 2  s 2   
 
  xy


2







Las deformaciones y las tensiones locales se pueden utilizar en los criterios de rotura, con el fin de determinar
cuando se produce el fallo de un laminado. La única cuestión que queda en el análisis macromecánico de un
laminado es cómo encontrar el plano medio de las deformaciones y curvaturas, si se conocen las cargas
aplicadas al laminado.
Figura 4.3.3.1.- Deformaciones y tensiones a través de la variación del espesor del laminado.
4.3.4.- Fuerza y momento resultantes relacionados con las deformaciones en el plano medio y curvaturas.
Las deformaciones en el plano medio y las curvaturas de una placa, que están presentes en la ecuación:
  x    x0 
 x 
   0
 






z
 y
 y 
y


 
 
0
 xy   xy 
 xy 
(4.3.4.1)
son las incógnitas que hay que determinar con el fin de encontrar las deformaciones y tensiones de la lámina.
La ecuación:
  x   Q11 Q12 Q16    x0   Q11 Q12 Q16    x 
 0  
 
  
  y    Q12 Q 22 Q 26    y   z  Q12 Q 22 Q 26    y 
  0  
  
  

Q
Q
Q
Q
Q
Q
16
26
66
16
26
66



xy
  
  xy  
  xy 
(4.3.4.2)
nos da las tensiones en cada lámina en términos de dichas incógnitas. Las tensiones en cada lámina se pueden
integrar a través del espesor del laminado para determinar las fuerzas y momentos resultantes (o las fuerzas y
momentos aplicados). Las fuerzas y momentos aplicados a un laminado serán conocidas, si se pueden
determinar las deformaciones en el plano medio y las curvaturas de la placa.
Consideremos un laminado de n láminas (Figura 4.3.4.1). Cada lámina tiene un espesor tk, por lo que el
espesor del laminado, h, será:
n
h   tk
(4.3.4.3)
k 1
Figura 4.3.4.1.- Coordenadas de localización de las láminas en un laminado
Entonces, la ubicación del plano central es h/2 desde la parte superior o inferior de la superficie del laminado.
La coordenada z de la superficie de cada lámina k (arriba y abajo) está dada por:
Lámina 1.
h0  
h
h
(sup erficie sup erior ); h1    t1 (sup erficie inf erior )
2
2
(4.3.4.4)
Lámina k (k = 2,3,……..n-2,n-1).
h n1
h n
hk 1     tl (sup erficie sup erior ); h1     tl
2 l 1
2 l 1
(sup erficie inf erior )
(4.3.4.5)
Lámina n.
hn1 
h
h
 tn (sup erficie sup erior ); h1 
(sup erficie inf erior )
2
2
(4.3.4.6)
Convenio para la definición de espesores y posiciones de las capas
En el análisis más general, es esencial definir la posición y espesor de cada capa en un laminado. La
convención es que el plano geométrico medio se toma como referencia. La parte superior e inferior de cada
hoja se define entonces con relación a dicho plano. Los situados por encima del plano medio se definen como
negativos y los de abajo positivos. La superficie inferior de la lámina o capa k-ésima tiene la denominación
hk.
Integrando las tensiones globales en cada lámina se obtienen las fuerzas resultantes por unidad de longitud en
el plano x-y (Figura 4.3.4.2) a través del espesor del laminado como:
Nx  
h /2
Ny  
h /2
 h /2
 h /2
N xy  
 x dz
(4.3.4.7a)
 y dz
(4.3.4.7b)
h /2
 xy dz
 h /2
(4.3.4.7c)
donde (h/2) es la mitad del espesor del laminado.
Del mismo modo, la integración de las tensiones globales en cada lámina da los momentos resultantes por
unidad de longitud en el plano x-y (Figura 4.3.4.2) por el espesor del laminado nos da:
Mx  
h /2
My  
h /2
 h /2
 h /2
M xy  
 x zdz
(4.3.4.8a)
 y zdz
(4.3.4.8b)
h /2
 xy zdz
 h /2
(4.3.4.8c)
donde:
Nx, Ny = Fuerzas normales por unidad de longitud
Nxy = Fuerza de corte por unidad de longitud
Mx, My = Momentos flectores por unidad de longitud
Mxy, Mxy = Momentos de torsión por unidad de longitud
Figura 4.3.4.2.- Fuerzas y momentos que actúan sobre un laminado. Caso general.
Teniendo en cuenta las ecuaciones (4.3.4.7) y (4.3.4.8), la fuerza y el momento resultante en el laminado se
pueden escribir en forma matricial:
 Nx 
 x 



h /2
h /2 
N

N


dz


   y  h /2   h /2  y  dz


 
 N xy 
 xy 
 Mx 
 x 



h /2
h /2 
M    M y   h /2   zdz  h /2   y  zdz


 
M
xy


 xy 
(4.3.4.9a)
(4.3.4.9b)
lo cual nos da:
 Nx 
 x 
n



h 
 N y    h k   y  dz

 k 1 k 1  
N
 xy 
 xy k
 Mx 
 

 n hk  x 
 M y    h   y  zdz

 k 1 k 1  
M
 xy 
 xy k
(4.3.4.10a)
(4.3.4.10b)
Sustituyendo la ecuación (4.3.4.2) en las ecuaciones (4.3.4.10), se puede expresar las fuerzas y momentos
resultantes en términos de las deformaciones en plano medio y las curvaturas:
 Q11 Q12 Q16    x0 
 Q11 Q12 Q16    
 Nx 
n
n




  x


h
h 
0
k
k
 N y    h  Q12 Q 22 Q 26    y  dz   h  Q12 Q 22 Q 26    y  zdz
k 1 k 1 
  0 

 k 1 k 1 
 Q16 Q 26 Q 66   xy 
N
Q
Q
Q
16
26
66



xy



k  xy 

k  
(4.3.4.11a)
 Q11 Q12 Q16    x0 
 Q11 Q12 Q16    
 Mx 
n
n




  x 2


h
h 
0
k
k
 M y    h  Q12 Q 22 Q 26    y  zdz  h  Q12 Q 22 Q 26    y  z dz
k 1 k 1 
  0 

 k 1 k 1 
 Q16 Q 26 Q 66   xy 
M
Q
Q
Q
16
26
66



xy



k  xy 

k  
(4.3.4.11b)
En las ecuaciones (4.3.4.11a) y (4.3.4.11b), las deformaciones en el plano medio y las curvaturas de la placa
son independientes de la coordenada z. Además, la matriz de rigidez transformada reducida, Q  ,es constante
k
para cada lámina. Por lo tanto, la ecuación (4.3.4.11) se puede reescribir como:
   x0    Q11 Q12 Q16 
  
 N x    Q11 Q12 Q16 
n
n





  x 
 h
 h

  
 0
 
k
k
 N y     Q12 Q 22 Q 26  h dz    y     Q12 Q 22 Q 26  h zdz   y 
 k 1   0   k 1
 k 1  

 k 1
N
Q
Q
Q
Q
Q
Q
16
26
66
16
26
66



xy

  
  xy   
  xy 
k
k
(4.3.4.12a)
   x0    Q11 Q12 Q16 
  
 M x    Q11 Q12 Q16 
    n 
 x
 h


  n 
h
0
2 
k
k
 M y     Q12 Q 22 Q 26  h zdz    y     Q12 Q 22 Q 26  h z dz   y 
 k 1   0  k 1
 k 1

 k 1
 
M
Q
Q
Q
Q
Q
Q
16
26
66
16
26
66



xy

  
  xy   
  xy 
k
k
(4.3.4.12b)
Por otra parte, se tiene:
h
k dz
h
k 1

  hk  hk 1  ;
h
k zdz
h
k 1



 hkk1 z 2dz  31  hk3  hk31 
1 2 2
h h
;
2 k k 1
h
Sustituyendo las expresiones anteriores en las ecuaciones (4.3.4.12) se obtiene:
 N x   A11

 
N
 y    A12

  A
N
xy

  16
o bien, en forma reducida:
A12
A22
A26
0
A16    x   B11 B12


A26    y0    B12 B22
 
A66   0   B16 B26
 xy 
B16    x 
 
B26    y 
B66   xy 
 
(4.3.4.13a)
N    A   B  
donde [A] es la matriz de rigidez extensional (= [Q]h) y [B] es una matriz de acoplamiento.
 M x   B11 B12

 
 M y    B12 B22

  B B
26
 M xy   16
o bien, en forma reducida:
0
B16    x   D11 D12


B26    y0    D12 D22
 
B66   0   D16 D26
 xy 
M   B    D  
donde [D] es la matriz de rigidez de flexión (=[Q]h3/12).
D16    x 
 
D26    y 
D66   xy 
 
(4.3.4.13b)
En las ecuaciones anteriores se tiene:
n
 
Aij    Q   hk  hk 1  ,
 ij  k
k 1 
i  1,2,6; j  1,2,6
(4.3.4.14a)
1 n 
Bij   Q  hk2  hk21 ,
2 k 1  ij  k
  

i  1,2,6; j  1,2,6
(4.3.4.14b)
  

i  1,2,6; j  1,2,6
(4.3.4.14c)
Dij 
1 n 
Q  hk3  hk31 ,

ij 

k

d k 1
Las matrices [A], [B] y [D] se las denomina matriz de rigidez extensional, matriz de acoplamiento y matriz
de rigidez de flexión respectivamente. La combinación de las ecuaciones (4.3.4.13a) y (4.3.4.13b) (4.27a) da
seis ecuaciones lineales simultáneas y seis incógnitas, que se pueden expresar del modo siguiente:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   A
A26
 xy    16
 M x   B11 B12

 
M
y

  B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
A16
A26
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
 0 
B16    x 
 0
B26    y 


0
B66    xy


D16   
 x 
D26    
 y 
D66  

  xy 
(4.3.4.15)
La ecuación (4.3.4.15) puede agruparse así:
 N  A
 
 M  B
B   0 
 
D   
(4.3.4.16)
y estas ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones constitutivas de la placa.
La matriz de rigidez extensional [A] relaciona la resultante de las fuerzas en el plano con las deformaciones
en el plano y la matriz de rigidez de flexión [D] relaciona los momentos de flexión resultantes con las
curvaturas de la placa. La matriz de acoplamiento [B] acopla los términos de fuerzas y momentos con las
deformaciones y curvaturas en el plano medio.
Para el caso especial de una sola lámina, [B] = 0, y las fuerzas se relacionan con las deformaciones mediante:
N    A 
(4.3.4.17)
(que es efectivamente [σ] = [Q] [ε] ) o las deformaciones se relacionan con las fuerzas mediante:
   a N 
(que es efectivamente [ε] = [S] [σ] )
1
donde : a    A
(4.3.4.18)
Además, para la situación de una sola lámina, los momentos flectores están relacionados con la curvatura del
modo siguiente:
M   D  
(4.3.4.19)
o la curvatura relacionada con los momentos flectores:
   d M 
1
donde : d   D 
(4.3.4.20)
Cabe señalar que sólo es posible utilizar [a] = [A]-1 y [d] = [D]-1 para el caso especial donde [B] = 0. En otros
casos, los términos en las matrices [a] y [d] tiene que determinarse a partir de la expresión siguiente:
a b   A B 



b d  B D 
1
(4.3.4.21)
Los pasos para analizar un material compuesto laminado sometido a la aplicación de fuerzas y momentos son
los siguientes:
1.- Encontrar el valor de la matriz de rigidez reducida [Q] por cada lámina usando sus cuatro módulos de
elasticidad, E1, E2, υ12 y G12 en las ecuaciones:
Q11  C11 
1  1221
Q12  C12 
Q22  C22 
Q66 
E1
12E2
21E1

1  1221 1  1221
(4.3.4.22)
E2
1  1221
1
C  C   G12
2 11 12
2.- Encontrar el valor de la matriz de rigidez reducida transformada Q  para cada lámina usando la matriz
[Q] calculada en el paso 1 y el ángulo de la lámina en las ecuaciones:
Q11  Q11c 4  2 Q12  2Q66  s 2c 2  Q22s 4

Q12  Q 21  Q11  Q22  4Q66  s 2c 2  Q12 s 4  c 4

Q 22  Q11s 4  2 Q12  2Q66  s 2c 2  Q22c 4
Q16  Q 61  Q11  Q12  2Q66  sc 3  Q12  Q22  2Q66  s 3c
Q 26  Q 62  Q11  Q12  2Q66  s 3c  Q12  Q22  2Q66  sc 3

Q 66  Q11  Q22  2Q12  2Q66  s 2c 2  Q66 s 4  c 4

(4.3.4.23)
3.- Conociendo el espesor, tk, de cada lámina, encontrar las coordenadas de la superficie superior e inferior,
hi, i = 1 ..., n de cada lámina usando las ecuaciones
Lámina 1.
h0  
h
h
(sup erficie sup erior ); h1    t1 (sup erficie inf erior )
2
2
(4.3.4.24a)
Lámina k (k = 2,3,……..n-2,n-1).
h n1
h n
hk 1     tl (sup erficie sup erior ); h1     tl
2 l 1
2 l 1
(sup erficie inf erior )
(4.3.4.24b)
Lámina n.
h
h
 tn (sup erficie sup erior ); h1 
(sup erficie inf erior )
2
2
hn1 
(4.3.4.24c)
4.- Usar la matriz Q  determinada en la etapa 2 y la localización de cada lámina de la etapa 3 para encontrar
las tres matrices de rigidez [A], [B] y [D] a partir de las ecuaciones
 
1
B    Q    h  h  ,

2 
1
D    Q    h  h  ,

d 
n
Aij    Q   hk  hk 1  ,
 ij  k
k 1 
n
ij
ij
k 1
n
k 1
ij
ij
k
k
i  1,2,6; j  1,2,6
2
k
2
k 1
i  1,2,6; j  1,2,6
3
k
3
k 1
i  1,2,6; j  1,2,6
(4.3.4.25a)
(4.3.4.25b)
(4.3.4.25c)
5.- Sustituir los valores de las matrices de rigidez determinadas en el paso 4 y las fuerzas y momentos
aplicados en la ecuación:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   A
A26
 xy    16
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
A16
A26
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
 0 
B16    x 
 0
B26    y 


0
B66    xy


D16   
 x 
D26    
 y 
D66  

  xy 
(4.3.4.26)
6.- Resolver las seis ecuaciones de la ecuación (4.3.4.26) para encontrar las deformaciones en el plano medio
y las curvaturas.
7. Conocida la localización de cada lámina, encontrar las deformaciones globales en cada lámina usando la
ecuación:
  x    x0 
 x 
   0
 
 y    y   z  y 
   0 
 




xy
   xy 
 xy 
(4.3.4.27)
8.- Para encontrar las tensiones globales, usar la ecuación tensión-deformación
  x   Q11 Q12 Q16    x 

  

  y    Q12 Q 22 Q 26    y 
 
  



Q
Q
Q
16
26
66
xy
xy
  


(4.3.4.28)
9.- Para encontrar las deformaciones locales, se usa la ecuación de la transformación:




 


  c 2 s2
2
sc
 x 
 1   2
c 2 2sc    y  ;
 2    s



 
2
2

 1
1

sc
sc
c

s
   

  xy 
 2 12 
2









 x 
 1 
  2   T   y  ;




 1  
 1  
xy
 2 12 
2

(4.3.4.29)
10.- Para encontrar las tensiones locales, se usa la ecuación de la transformación:
 x   c 2 s2
2sc 


 
2
2




s
c

2
sc
 y
  
2
2
 xy   sc sc c  s 
1
 1 
 1 
 

1 
  2   T    2 
 
 
 12 
 12 
(4.3.4.30)
Las ecuaciones constitutivas del laminado se pueden utilizar para placas curvadas siempre que el radio de
curvatura sea grande en relación con el espesor (por lo general r/h>50). También pueden utilizarse para
analizar laminados compuestos de materiales que no estén basados en fibras unidireccionales, por ejemplo,
capas que son isotrópicas o hechas con tejidos pueden ser analizadas mediante la inserción de las propiedades
relevantes para las direcciones locales 1-2.
Los paneles sándwich también se puede analizar mediante el uso de las propiedades apropiadas del material
del núcleo.
4.4.- Módulos de flexión en el plano de un laminado.
4.4.1.- Introducción.
Otra manera de definir la rigidez de un laminado es a través de las constantes ingenieriles del laminado. La
ecuación
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   A
A26
 xy    16
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
A16
A26
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
 0 
B16    x 
 0
B26    y 


0
B66    xy


D16   
 x 

D26   
 y 
D66  

  xy 
(4.4.1.1)
se puede expresar en forma abreviada:
B   0 
 
D   
 N  A
 
 M  B
(4.4.1.2)
donde:
 Nx 


N    N y  ,


 N xy 
  x0 
 
 0     y0  ,
   
0
 xy

 Mx 


M    M y  ,


 M xy 
 x 
 
     y 
 
 xy 
(4.4.1.3)
B *  N 
 
D *  M 
(4.4.1.4)
Invirtiendo la ecuación (4.4.1.2), se obtiene:
0  A*
   
   C *
donde:
A*

C *
B* A

D *  B
B

D
1
y
[C*] = [B*]T
(4.4.1.5)
Las matrices y
[A*], [B*] y [D*] se denominan la matriz extensional de flexibilidad, la matriz de
acoplamiento de flexibilidad y la matriz de flexión de flexibilidad, respectivamente.
4.4.2.- Constantes ingenieriles en el plano de un laminado.
Para un laminado simétrico, [B] = 0 y se puede demostrar que [A*] = [A]-1 y [D*] = [D]-1. Entonces, de la
ecuación (4.4.1.4) se obtiene:
  x0   A*
   11
*
  y0    A12
   *
0
 xy
  A16
*
A12
*
A22
*
A26
* 
N 
A16
 x 
*
  Ny 
A26
* 
 N xy 
A66

(4.4.2.1)
Las ecuaciones anteriores nos permiten definir los módulos efectivos en el plano en términos de la matriz de
flexibilidad extensional [A*] de la siguiente manera:
Módulo longitudinal efectivo en el plano, Ex:
Si se aplica la carga Nx ≠ 0, Ny = 0, el Nxy = 0 y luego se sustituye en la ecuación (4.4.2.1) se tiene:
  x0   A*
   11
*
  y0    A12
   *
0
 xy
  A16
lo que nos da:
*
 x0  A11
Nx
*
A12
*
A22
*
A26
* 
A16
N
 x 
* 
A26   0 
* 
  0 
A66

(4.4.2.2)
y el módulo longitudinal efectivo en el plano, Ex, vendrá dado por:

E x  0x
x
Nx

h  1
*
*
N x A11
hA11
(4.4.2.3)
Módulo transversal efectivo en el plano, Ey:
Si se aplica la carga Nx = 0, Ny ≠ 0, el Nxy = 0 y luego se sustituye en la ecuación (4.4.2.1) se tiene:
  x0   A*
   11
*
  y0    A12
   *
0
 xy
  A16
*
A12
*
A22
*
A26
* 
A16
0


* 
A26  N y 
* 
  0 
A66

(4.4.2.4)
lo que nos da:
*
 y0  A22
Ny
y el módulo transversal efectivo en el plano, Ey, vendrá dado por:
Ey 
y
 y0
Ny

h  1
*
*
N y A22
hA22
(4.4.2.5)
Módulo de cortadura efectivo en el plano, Gxy:
Si se aplica la carga Nx = 0, Ny = 0, el Nxy ≠ 0 y luego se sustituye en la ecuación (4.4.2.1) se tiene:
  x0   A*
   11
*
  y0    A12
   *
0
 xy
  A16
*
A12
*
A22
*
A26
* 
A16
 0 
 
*
 0 
A26
* 
 N xy 
A66

(4.4.2.6)
lo que nos da:
0
*
 xy  A66N xy
y el módulo de cortadura efectivo en el plano, Gxy, vendrá dado por:
Gxy 
 xy
0
 xy
N xy

h  1
*
*
N xy A66
hA66
(4.4.2.7)
Coeficiente de Poisson efectivo en el plano, υxy:
De la derivación del módulo longitudinal efectivo en el plano, Ex, donde la carga aplicada es Nx ≠ 0, Ny = 0,
el Nxy = 0 y de la ecuación (4.4.2.1) se tiene:
*
 y0  A12
Nx
(4.4.2.8)
*
 x0  A11
Nx
(4.4.2.9)
y el coeficiente de Poisson efectivo en el plano, υxy, vendrá dado por:
0
xy  
y
0
x

*
N x A12
*
N x A11

*
A12
*
A11
(4.4.2.10)
Coeficiente de Poisson efectivo en el plano, υyx:
De la derivación del módulo longitudinal efectivo en el plano, Ey , donde la carga aplicada es Nx = 0, Ny ≠ 0,
el Nxy = 0 y de la ecuación (4.4.2.1) se tiene:
*
(4.4.2.11)
 x0  A12
Ny
*
 y0  A22
Ny
(4.4.2.12)
y el coeficiente de Poisson efectivo en el plano, υxy, vendrá dado por:
yx  
0
x
0
y

*
N y A12
*
N y A22

*
A12
*
A22
(4.4.2.13
Existe una relación recíproca entre los dos coeficientes efectivos de Poisson ratios υxy y υyx. De las ecuaciones
(4.4.2.3) y (4.4.2.10), se obtiene:
 A*  *
xy
*
  12
 hA11  hA12
(4.4.2.14)
*


Ex
 A11 
y de las ecuaciones (4.4.2.5) y (4.4.2.13),
 A*  *
  12
 hA
 A*  22
Ey
 22 
yx
*
 hA12
(4.4.2.15)
Finalmente, de las ecuaciones (4.4.2.14) y (4.4.2.15) se obtiene:
xy
Ex

yx
Ey
(4.4.2.16)
4.4.3.- Constantes ingenieriles de flexión de un laminado.
Además, para un laminado simétrico, la matriz de acoplamiento [B] = 0, luego, a partir de la ecuación:
0  A*
   
   C *
B *  N 
 
D *  M 
se obtiene:
*
*
  x   D11
D12

 
*
*
  y    D12 D22
   *
*
 xy   D16 D26
* 
M 
D16
 x 
*
  My 
D26
* 
 M xy 
D66

(4.4.3.1)
La ecuación (4.4.3.1) nos permite definir los módulos de flexión efectivos en términos de la matriz de
flexibilidad de flexión [D*] de la siguiente manera:
Se aplican lo momentos Mx ≠ 0, My = 0, Mxy = 0 y se sustituyen en la ecuación (4.4.3.1), lo que nos da:
*
*
  x   D11
D12
   *
*
  y    D12 D22
   *
*
 xy   D16 D26
lo que nos da:
* 
D16
M
 x 
* 
D26   0 
* 
  0 
D66

*
 x  D11
Mx
(4.4.3.2)
(4.4.3.2)
y el módulo longitudinal de flexión efectivo en el plano, Exf, vendrá dado por:
E xf 
12M x
xh
3

12
(4.4.3.3)
*
h 3D11
De forma similar, se puede demostrar que los otros módulos de elasticidad a flexión vienen dados por:
E yf 
12
(4.4.3.4)
*
h 3D22
f
Gxy

12
(4.4.3.5)
*
h 3D66
*
D12
f
 xy  
*
D11
*
D12
f
 yx  
*
D22
(4.4.3.6)
(4.4.3.7)
Existe una relación recíproca entre los dos coeficientes efectivos de Poisson υfxy y υfyx. De las ecuaciones
(4.4.3.3), (4.4.3.4), (4.4.3.6) y (4.4.3.7), se obtiene:
f
 xy
E xf
f

 yx
(4.4.3.8)
E yf
En los laminados no simétricos, las relaciones tensión-deformación de la ecuación:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   A
A26
 xy    16
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
A16
A26
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
  x0 
B16  

  0 
B26  y


0
B66    xy


D16   
 x 
D26    
 y 
D66  

  xy 
(4.4.3.9)
los términos de las fuerzas y de los momentos no se desacoplan. Por lo tanto, en esos casos, las constantes de
rigidez y de rigidez a flexión efectivas en el plano no son válidas.
4.5.- Efectos higrotérmicos en un laminado.
4.5.1.- Introducción.
En el apartado 3.4, las deformaciones higrotérmicas se calcularon para una lámina unidireccional sometida a
un cambio de temperatura, ΔT y a un cambio en el contenido de humedad, ΔC. Si la lámina puede expandirse
libremente, no se desarrollan tensiones mecánicas residuales en la lámina a nivel macromecánico. Sin
embargo, en un laminado de varias láminas con diferentes ángulos o material, cada lámina individual no se
deforma libremente. Esto da lugar a tensiones residuales en el laminado.
4.5.2.- Tensiones y deformaciones higrotérmicas.
Fuentes de cargas higrotérmicas incluyen el enfriamiento desde las temperaturas de procesamiento,
temperaturas de funcionamiento diferentes de las temperaturas de procesamiento y los ambientes húmedos,
tales como los soportados por los aviones volando a gran altura. Cada lámina en un laminado se tensiona por
las diferencias de deformación con la láminas adyacentes. Sólo las deformaciones de más de o menos de las
deformaciones higrotérmicas en la lámina libre (sin restricciones) producen tensiones residuales. Esas
diferencias de deformación se denominan deformaciones mecánicas y las tensiones causadas por ellas son las
denominadas tensiones mecánicas.
Las deformaciones mecánicas inducidas solo por las cargas higrotérmicas son:
 xM       Tx    xC 
   x    
 yM     y     Ty     yC 
       
M
 xy
  xy   Txy   Cxy 
(4.5.2.1)
donde el superíndice M representa los esfuerzos mecánicos, T representa el esfuerzo de expansión térmica
libre y C se refiere a las deformaciones de expansión libre de humedad.
Usando la ecuación tensión-deformación:
  x   Q11 Q12 Q16    
  
 x 
  y    Q12 Q 22 Q 26    y 
  

  xy   Q16 Q 26 Q 66   xy 
 
  
(4.5.2.2)
las tensiones higrotérmicas en una lámina están dadas por:
  TC
  Q11 Q12 Q16   M 
x

 
 x 

M
  TC
y    Q12 Q 22 Q 26   y 

 
 
 Q16 Q 26 Q 66   M 
  TC

  xy 
 xy  
(4.5.2.3)
donde TC mide los efectos térmicos y de humedad combinados. Las tensiones higrotérmicas inducen fuerzas
y momentos resultantes nulos en el laminado y, por lo tanto, en el laminado n capas, que se muestra en la
figura 4.3.4.1, se tiene:
 TC

 TC

x
x
h
h /2 
n k 


TC
TC
 y  dz
  y  dz  0  



k 1 h
 h /2 TC
k 1  TC 
  xy 
 xy

k
 TC

 TC

x
x
h
h /2 
k
n



TC
TC




zdz

0


   y  zdz
 y 
k 1 h
 h /2 TC
k 1  TC 
  xy 
  xy  k
(4.5.2.4)
(4.5.2.5)
De las ecuaciones (4.5.2.3), (4.5.2.4) y (4.5.2.5) se obtiene:
 Q11 Q12 Q16   xM 
n

  M
   Q12 Q 22 Q 26   y  dz  0
k 1 h


k 1  Q16 Q 26 Q 66   M 

k  xy  k
h
k
(4.5.2.6a)
y
 Q11 Q12 Q16   xM 
n

  M
   Q12 Q 22 Q 26   y  zdz  0
k 1 h


k 1  Q16 Q 26 Q 66   M 

k  xy  k
h
k
(4.5.2.6b)
Sustituyendo las ecuaciones (4.5.2.1) y (4.3.2.9) en la ecuación (4.5.2.6) se obtiene:
 Q11 Q12 Q16     x0       Tx    xC  
n

   0   x   T   C  
   Q12 Q 22 Q 26    y   z   y     y    y   dz  0
k 1 h


 
T
C 
k 1  Q16 Q 26 Q 66    0 







xy

k   xy     xy   xy  k
h
k
 Q11 Q12 Q16     x0       Tx    xC  
n

   0   x   T   C  
   Q12 Q 22 Q 26    y   z   y     y    y   zdz  0
k 1 h


 
T
C 
k 1  Q16 Q 26 Q 66    0 







xy



k   xy 
 xy   xy  k
(4.5.2.7a)
h
k
(4.5.2.7b)
y operando:
 A11

 A12
A
 16
A12
A22
A26
0
A16    x   B11 B12


A26    y0    B12 B22
 
A66   0   B16 B26
 xy 
C
T
B16    x   N x   N x 
 
B26    y    NTy    N yC 


 
B66   xy   NT   N C 
   xy   xy 
(4.5.2.8)
 B11 B12

 B12 B22
B B
26
 16
0
B16    x   D11 D12


B26    y0    D12 D22
 
B66   0   D16 D26
 xy 
C
T
D16    x   M x   M x 
 
D26    y    M Ty    M yC 


 
D66   xy   M T   M C 
   xy   xy 
(4.5.2.9)
Las cuatro matrices de la derecha de las ecuaciones (4.5.2.8) y (4.5.2.9) están dadas por:
 NTx 
 Q11 Q12 Q16    


n 
  x
T
T
N    N y   T   Q12 Q 22 Q 26    y   hk  h 
k 1
  

k 1



 Q16 Q 26 Q 66   xy
 NTxy 

k   k


(4.5.2.10)
 M Tx 
 Q11 Q12 Q16    

 1
n 
  x
M T    M Ty   T   Q12 Q 22 Q 26    y  hk2  h 2
k 1
  
 2 k 1



 Q16 Q 26 Q 66   xy
 M Txy 

k   k




 N xC 
 Q11 Q12 Q16    


n 
  x
C
C
N    N y   C   Q12 Q 22 Q 26    y   h  h 
k
k 1
  

k 1



C 
 Q16 Q 26 Q 66   xy
 N xy

k   k


 M xC 
 Q11 Q12 Q16    

 1
n 
  x
M C    M yC   C   Q12 Q 22 Q 26    y  h 2  h 2
k
k 1
  
 2 k 1



C 
 Q16 Q 26 Q 66   xy
 M xy

k   k




(4.5.2.11)
(4.5.2.12)
(4.5.2.13)
Las cargas en las ecuaciones (4.5.2.10), (4.5.2.11), (4.5.2.12) y (4.5.2.13) se denominan cargas higrotérmicas
ficticias y son conocidas. Se pueden calcular las deformaciones en el plano medio y las curvaturas
combinando las ecuaciones (4.5.2.8) y (4.5.2.9):
 NT
 T
M
  NC
   C
 M
 A
  
 B
B   0 
 
D    
(4.5.2.14)
Usando la ecuación:
  x    x0 
 x 


 
 
0
 y    y   z  y 
   0 
 




xy
   xy 
 xy 
(4.5.2.15)
se pueden calcular las deformaciones globales en cualquier lámina del laminado. Estas deformaciones
globales son las deformaciones actuales en el laminado. Sin embargo, es la diferencia entre las deformaciones
actuales y las deformaciones de expansión libre, lo que da lugar a tensiones mecánicas. Las deformaciones
mecánicas en la capa-ésima se obtienen mediante la ecuación (4.5.2.1) como:
 xM 
  x    Tx    xC 
 
   T  C
M
 y     y     y     y 
 
   T   C
M
 xy

 xy  k  xy  k  xy  k
k
(4.5.2.16)
Las tensiones mecánicas en la capa-ésima se calculan por:
  x   Q11 Q12 Q16   xM 
  
  
  y    Q12 Q 22 Q 26   yM 
  
  
  xy   Q16 Q 26 Q 66   M 
k  xy  k
 k 
(4.5.2.17)
Las cargas higrotérmicas ficticias representan las cargas en las ecuaciones (4.5.2.10), (4.5.2.11), (4.5.2.12) y
(4.5.2.13), las cuales se puede aplicar mecánicamente para inducir las mismas tensiones y deformaciones
como las cargas higrotérmicas. Por lo tanto, si se aplican las cargas mecánicas e higrotérmicas, se pueden
añadir las cargas mecánicas a las cargas higrotérmicas ficticias para encontrar las tensiones lámina por lámina
y las deformaciones en el laminado o separadamente aplicando las cargas mecánicas e higrotérmicas y luego
añadiendo las tensiones y deformaciones resultantes de la solución de los dos problemas.
4.5.3.- Los coeficientes de expansión térmica y de humedad de un laminado.
La determinación de los coeficientes de expansión térmica y humedad de los laminados es, de nuevo,
solamente adecuada para laminados simétricos, ya que, en este caso, la matriz de rigidez de acoplamiento [B]
es nula, es decir [B] = 0 y no se produce flexión bajo cargas higrotérmicas.
Los coeficientes de expansión térmica se definen como el cambio de longitud por unidad de longitud y por
unidad de cambio de la temperatura. En un laminado se definen tres coeficientes de expansión térmica, uno en
la dirección x (αx), otro en la dirección y (αy) y el otro en el plano xy (αxy).
Suponiendo que AT = 1 y C = 0,
 A*
  x    x0 
 11
   0
*
  A12
 y     y 
 *
   0 




xy
   xy  C 0  A16
T 1
*
A12
*
A22
*
A26
*  T 
A16
N
 x 
*
  NTy 
A26
 
* 
 N T 
A66
  xy 
donde [NT] es la fuerza térmica resultante dada por la ecuación
ΔC = 0.
(4.5.3.1)
(4.5.2.10) correspondiendo a ΔT = 1 y
Del mismo modo, suponiendo ΔT = 0 y ΔC = 1, los coeficientes de expansión de humedad se puede definir
como
 A*
  x    x0 
 11
   0
*
  A12
 y     y 
 *
   0 




xy
   xy  C 1  A16
T 0
*
A12
*
A22
*
A26
*  C 
A16
Nx
 
*
  N yC 
A26
 
* 
 N C 
A66
  xy 
(4.5.3.2)
donde [NC] es la fuerza de la humedad resultante dada por la ecuación (4.5.2.12) correspondiente a ΔT = 0 y
ΔC = 1.
4.6.- Alabeo “warpage” de laminados.
En los laminados que no son simétricos, una diferencia de temperatura origina deformaciones fuera del plano.
Esta deformación se denomina alabeo y se calcula mediante la integración de la ecuación curvaturadesplazamiento:
 2w
x   2
(4.6.1a)
x
 2w
y 2
(4.6.1b)
 2w
 2
x y
(4.6.1c)
y  
 xy
Integrando la ecuación (4.6.1), se puede determinar la deflexión fuera del plano, w. La integración de la
ecuación (4.6.1a) da:
x2
w   x  f1( y ) x  f2 ( y )
(4.6.2)
2
donde f1(y) y f2(y) son funciones desconocidas.
Sustituyendo la ecuación (4.6.2) en la ecuación (4.6.1c) se tiene:
 xy
df ( y )
 2w
 2
 2 1
x y
dy
(4.6.3)
y
C
2 1
(4.6.4)
e integrando:
f1( y )   xy
donde C1 es la constante desconocida de integración. De las ecuaciones (4.6.2) y (4.6.4) se obtiene:
w   x
x2
xy
  xy
 C1x  f2 ( y )
2
2
(4.6.5)
Sustituyendo la ecuación (4.6.5) en la ecuación (4.6.1b) se tiene:
y  
d 2f2 ( y )
 2w


2
y 2
dy 2
(4.6.6)
e integrando:
f2 ( y )   y
y2
 C2 y  C 3
2
(4.6.7)
Sustituyendo la ecuación (4.6.7) en la ecuación (4.6.5) se obtiene:
1
(4.6.8)
 x x 2   y y 2   xy xy  C1x  C2 y  C3
2
Los términos (C1x + C2y + C3) son simples términos del movimiento del cuerpo rígido y la deformación
“warpage” se puede relacionar con la expresión:
w 
w 

1
 x x 2   y y 2   xy xy
2



(4.6.9)
4.7.- Bordes.
La teoría clásica de los laminados (CLT) se aplica exclusivamente a las placas que son infinitamente largas y
anchas. En otras palabras, se hace caso omiso de los bordes. En muchas situaciones reales los laminados
tendrán bordes, por ejemplo, una placa que contiene un agujero o una placa de anchura finita.
En los bordes del laminado las suposiciones de la teoría clásica de los laminados no se cumplen y las
tensiones en el plano (σx, σy, σxy) sólo se encuentra que no satisfacen el equilibrio local en las fronteras libres
de tensión. A través del espesor del laminado la tensión directa (σz) y las de cortadura (τxz, τyz) (Figura 4.7.1)
se pueden calcular a partir de las teorías de la mecánica aplicada avanzada o del análisis por elementos
finitos. Se ha encontrado que dentro del espesor de una placa desde el borde estas tensiones pueden ser
suficientemente altas como para superar la (baja) resistencia a través del espesor. Su magnitud y sentido
(tracción o compresión) están determinados por la secuencia de apilamiento del laminado. Por lo tanto, es
posible minimizar su efecto y reducir el riesgo de fallo, por cortadura interlaminar o tracción, iniciado en un
borde.
Figura 4.7.1.- Tensiones en el borde libre de un laminado: σz, τxz, τyz (no predecible por la CLT), en la
dirección del espesor (z).
Un ejemplo sencillo de esta situación se presenta en un laminado de láminas cruzadas cuando se carga con
una tensión paralela a las láminas a 0°. Con una secuencia de apilamiento (0/90º)S la tensión directa a través
del espesor sobre los bordes paralelos a la carga es de tracción, mientras que para una secuencia de
apilamiento (90/0°)S la tensión es de compresión. Claramente, es preferible la secuencia de apilamiento
anterior.
5.- Diseño, análisis y rotura de los laminados.
5.1 Introducción.
El diseño de una estructura a base de un material compuesto laminado, como un panel plano de suelo o un
recipiente a presión, se inicia con la construcción del bloque de láminas, en el que la fibra y la matriz se
combinan en un proceso de fabricación, tales como el devanado de filamentos o preimpregnados. El material
que compone la fibra y la matriz, factores de procesamiento tales como la disposición del empaquetamiento, y
la fracción volumétrica de fibras, determinan la rigidez, la resistencia y la respuesta higrotérmica de una única
lámina. Esas propiedades se pueden encontrar mediante el uso de las propiedades de los componentes
individuales de la lámina o por medio de experimentos, como se ha explica en el apartado referente al análisis
micromecánico de una lámina. A continuación, el laminado puede tener variaciones en los sistemas de
materiales y en la secuencia de apilamiento de las láminas con el fin de obtener un material compuesto para
una aplicación particular.
En el apartado 4, se desarrolló un análisis para encontrar las tensiones y deformaciones en un laminado bajo
un estado tensional plano y cargas higrotérmicas. En este apartado, se utilizará en primer lugar el análisis y
las teorías de rotura estudiadas en el apartado 2 para predecir el fallo en un laminado. A continuación, los
fundamentos expuestos en el apartado 4 y el análisis de rotura que se discutirá en este apartado se utilizarán
para el diseño de estructuras con materiales compuestos laminados.
En primer lugar, se presentarán los casos especiales de laminados que son importantes en el diseño de
estructuras laminadas. A continuación, se mostrará el análisis de los criterios de fallo de un laminado. Se
diseñarán laminados, principalmente sobre la base de la optimización de coste, peso, resistencia y rigidez.
Otros aspectos del diseño mecánico se presentarán brevemente al final del apartado.
5.2.- Casos especiales de laminados.
5.2.1.- Introducción.
Basándose en el ángulo, en el material y en el espesor de las láminas, la simetría o antisimetría del laminado,
pueden hacerse cero algunos de los elementos de las tres matrices de rigidez [A], [B] y [D]. Esto es
importante para el estudio del laminado, ya que pueden resultar en la reducción del acoplamiento de las
fuerzas y los momentos de flexión, las fuerzas normales y cortantes o los momentos de flexión y torsión. Esto
no sólo simplifica el análisis mecánico de los materiales compuestos, sino que también ofrece el rendimiento
mecánico deseado. Por ejemplo, el análisis de un laminado simétrico se simplifica debido a que la matriz de
acoplamiento es nula [B] = 0. Mecánicamente, los laminados simétricos no experimentan “warpage” en una
placa plana debido a los cambios de temperatura durante el procesamiento.
5.2.2.- Laminados simétricos.
Un laminado es simétrico si el material, el ángulo y el espesor de las láminas son los mismos por encima y
por debajo del plano medio. Un ejemplo de laminado simétrico es el siguiente:
cuya nomenclatura sería:
0 / 30 / 60 

s
Para un laminado simétrico a partir de la definición de la matriz [B], se puede demostrar que [B] = 0. Así, la
ecuación:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   A
A26
 xy    16
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
A16
A26
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
 0 
B16    x 
 0
B26    y 


0
B66    xy


D16   
 x 

D26   
 y 
D66  

  xy 
(5.2.2.1)
se puede desacoplar para dar:
 N x   A11

 
 N y    A12

  A
 N xy   16
A12
A22
A26
 M x   D11 D12

 
 M y    D12 D22

  D
D26
M
xy

  16
0
A16    x 

A26    y0 
 
A66    0 
 xy 
D16    x 


D26    y 
D66    xy 


(5.2.2.2a)
(5.2.2.2b)
Esto demuestra que los términos de fuerza y de momento están desacoplados. Por lo tanto, si un laminado se
somete sólo a fuerzas, tendrá curvaturas nulas en el plano medio. Del mismo modo, si se somete sólo a
momentos, tendrá deformaciones nulas en el plano medio.
El desacoplamiento entre la extensión y flexión en los laminados simétricos hace que el análisis de tales
laminados sea más simple. También previene que una lámina se torsione debido a las cargas térmicas, tales
como el enfriamiento desde las temperaturas de procesamiento y las fluctuaciones de temperatura durante su
uso, como en una nave espacial, etc.
5.2.3.- Laminados de láminas cruzadas.
Un laminado es un laminado de láminas cruzadas (también denominados laminados con capas especialmente
ortotrópicas), si solo se utilizan láminas de 0 y 90° para hacer el laminado. Un ejemplo de laminado de
láminas cruzadas es:
y la nomenclatura del laminado es [0/902/0/90]
Para los laminados de láminas cruzadas, se tiene que: A16 = 0, A26 = 0, B16 = 0, B26 = 0, D16 = 0 y D26 = 0,
por lo tanto, la ecuación (5.2.2.1) se puede escribir como:
 0 
0   x 
 0
0   y 


0
B66    xy


(5.2.3.1)
0   
 x 
0  
 y 
D66  

  xy 
En este caso, se produce desacoplamiento entre las fuerzas normal y cortante, así como entre los momentos de
flexión y de torsión. Si un laminado de láminas cruzadas también es simétrico, (Laminados cruzados
simétricos) entonces, además del desacoplamiento anterior, la matriz de acoplamiento será nula, es decir se
tiene que [B] = 0 y no se lleva a cabo el acoplamiento entre los términos de fuerzas y momentos.
 Nx   A
A12

  11
N
 y   A12 A22
N   0
0
 xy   
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   0
0
 xy 
0
0
A66
0
0
B66
B11 B12
B12 B22
0
0
D11 D12
D12 D22
0
0
Laminados cruzados simétricos.
Considérese la estructura laminar ilustrada en la figura 5.2.3.1 consistente en tres láminas de espesor t 1
orientadas en una dirección y dos láminas de espesor t 2 orientadas en otra dirección. La relación de los
espesores totales de cada conjunto de láminas es 3t 1/2t2. En el caso general, esta relación puede
expresarse como la relación de fracción de volumen de los dos conjuntos de láminas V A/VB.
Figura 5.2.3.1.- Ejemplo de laminado cruzado simétrico
El laminado de láminas cruzadas tiene propiedades elásticas ortotrópicas puesto que hay tres planos de
simetría del material perpendiculares entre sí como se muestra en la figura 5.2.3.2. Así, las relaciones
esfuerzos-deformaciones tendrán la forma de la ecuación:
 1   Q
Q12
0   E1 
   11
 
  2    Q12 Q22 0   E2 
   0
0 Q66    12 
 12  
cuando el laminado se ensaye según las direcciones principales normales a los planos de simetría, esto es,
  c1   Q
Qc12 Qc16   Ec1 

  c11




Q
Q
Q
E
 c 2   c12
c 22
c 26   c 2 
   Q
Qc 26 Qc 66    
 c12   c16
 c12 
(5.2.3.2)
donde Qc16 = Qc26 = 0 para el caso ortotrópico (el subíndice c se refiere a laminados cruzados). Siguiendo
la ecuación (3.3.1) la matriz de rigidez reducida Qcij de la ecuación (5.2.3.2) se obtiene sumando la rigidez
de las láminas individuales, esto es:
N
Qcij   Q i j  Vk
k 1
k
(5.2.3.3)
Figura 5.2.3.2.- Tres planos ortogonales de simetría del material de un laminado cruzado.
Teniendo presente las relaciones de fracción de volumen antes aludidas y la forma del laminado, se
deduce que los valores de Q c11 , Q c12 , Qc22 y Qc66 son:
Qc11  VAQ11  VBQ22
Qc12  VAQ12  VBQ12  Q12
Qc 22  VAQ22  VBQ11
(5.2.3.4)
Qc 66  VAQ66  VBQ66  Q66
donde Q 11 , Q 12 , Q22 y Q66 vienen dados por la ecuaciones:
Q11  C11 
1  1221
Q12  C12 
Q22  C22 
Q66 
E1
12E2
21E1

1  1221 1  1221
E2
(5.2.3.5)
1  1221
1
C  C   G12
2 11 12
Estas ecuaciones son, por supuesto, parecidas a las ecuaciones de la regla de las mezclas, las cuales se usan
para predecir los módulos de las láminas en función de los módulos de las fibras y de la matriz.
Laminados simétricos equiangulares.
Exactamente los mismos argumentos de antes pueden usarse para obtener la matriz de rigidez reducida Qaij
(subíndice a para laminados angulares) puesto que un laminado simétrico angular también tiene propiedades
elásticas ortotrópicas. La figura 5.2.3.3 muestra que las orientaciones de la fibra en las láminas se disponen a
±θ de la dirección principal 1. L a s rigideces son:
Qa11  Q11
Qa12  Q12
Qa 22  Q 22
(5.2.3.6)
Qa 66  Q 66
donde Q11 , Q12 , Q 22 y Q 66 vienen dados por las ecuaciones:
Q11  Q11c 4  2 Q12  2Q66  s 2c 2  Q22s 4

Q12  Q 21  Q11  Q22  4Q66  s 2c 2  Q12 s 4  c 4

Q 22  Q11s 4  2 Q12  2Q66  s 2c 2  Q22c 4
Q16  Q 61  Q11  Q12  2Q66  sc 3  Q12  Q22  2Q66  s 3c
(5.2.3.7)
Q 26  Q 62  Q11  Q12  2Q66  s 3c  Q12  Q22  2Q66  sc 3

Q 66  Q11  Q22  2Q12  2Q66  s 2c 2  Q66 s 4  c 4

Esto tiene en cuenta la dependencia de Qaij del valor de θ . Nótese que no hay términos Q a16 ni Qa26 en la
ecuación (5.2.3.6). Esto se aplica sólo al caso especial de laminados angulares si-métricos y equilibrados.
Refiriéndonos a la ecuación (5.2.3.7), se ve que el signo de Q 16 y Q26 depende del ángulo θ. En un laminado
equilibrado las contribuciones de cada capa a Q a16 y Qa26 se anulan porque el espesor total de todas las
láminas a +θ es el mismo que el espesor total de todas las láminas a –θ.
Figura 5.2.3.3.- Ejes de simetría en un laminado angular.
En la figura 5.2.3.4 el laminado de cuatro láminas está equilibrado y es simétrico y el de seis láminas lo estará
cuando t 2 = 2t1. La fracción de volumen de las láminas a θ no afecta a Q all , Qa22, Qa12 y Qa26 porque cada
capa contribuye con la misma rigidez a los laminados angulares ensayados según las direcciones
principales del material.
Figura 5.2.3.4.- Ejemplo de laminado simétrico equiangular.
La rigidez de los laminados cruzados y angulares de las ecuaciones (5.2.3.4) y (5.2.3.6) respectivamente
puede expresarse también en función de las propiedades elásticas ingenieriles del laminado Eal, Ea2, υa12 y
Ga12 teniendo la misma forma que la ecuación (5.2.3.5). Para laminados angulares se tiene:
Qa11 
Qa12 
Qa 22 
E1
1  1221
a12Ea 2
a 21Ea1

1  a12a 21 1  a12a 21
Ea 2
(5.2.3.8)
1  a12a 21
Qa 66  Ga12
De esta forma, las propiedades elásticas de rigidez reducidas pueden calcularse a partir de la variación de
Ea1, Ea2, υa12 y Ga12 con el ángulo θ. En la figura 5.2.3.5 se da un ejemplo de la variación de estas constantes
con θ para la resina epoxi con fibra de Kevlar 49 y para la resina epoxi con fibra de carbono de alto
módulo. Obviamente para θ = 0, Eal = E II, Ea2 = E, υa12 = υII y Ga12 = G# y corresponden a los valores dados
en la tabla 5.2.3.1. El máximo valor de Ga12 se produce para θ = ± 45°.
Figura 5.2.3.5.- Constantes elásticas de laminados angulares a ±θ.
(a).- Fibra de carbono de alto módulo tipo I-resina epoxi.
(b).- Fibra de Kevlar 49-resina epoxi.
Tabla 5.2.3.1.- Valores típicos de las constantes elásticas de las láminas unidireccionales, Vf =0.50
5.2.4.- Laminados con las láminas en ángulo.
Un laminado se denomina laminado de láminas en ángulo si tiene láminas del mismo material y espesor y
orientadas sólo en las direcciones +θ y - θ. Un ejemplo de un laminado de láminas en ángulo es
y la nomenclatura del laminado es [-40/40/-40/40].
Si el laminado tiene un número par de láminas, entonces A16 = A26 = 0. Sin embargo, si el número de láminas
es impar y consiste en alternar láminas + θ y - θ, entonces el laminado es simétrico, con lo que [B] = 0, y
A16, A26, D16 y D26 también se vuelven pequeños cuando el número de láminas aumenta, para el mismo
espesor del laminado. Este comportamiento es similar al de los laminados de láminas cruzadas. Sin embargo,
estos laminados de lámina en ángulo tienen una mayor rigidez a cortadura y las propiedades de resistencia a
corte que los laminados de láminas cruzadas.
5.2.5.- Laminados antisimétricos.
Un laminado es antisimétrico cuando el material y el espesor de las láminas son las mismas por encima y por
debajo del plano medio, pero las orientaciones de las láminas a la misma distancia por encima y por debajo
del plano medio son negativas unas con otras. Un ejemplo de un laminado antisimétrico es el siguiente:
y la nomenclatura del laminado es [45/60/--60/-45].
De las ecuaciones:
n
 
Aij    Q   hk  hk 1  ,
 ij  k
k 1 
  
i  1,2,6; j  1,2,6
1 n 
Dij   Q  hk3  hk31 ,
d k 1  ij  k

i  1,2,6; j  1,2,6
Los términos de acoplamiento de la matriz de rigidez extensional, A16 = A26 = 0, y los términos de
acoplamiento de la matriz de rigidez a flexión, D16 = D26 = 0, con lo que:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   0
0
 xy   
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
0
0
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
0
0
  x0 
B16  

  0 
B26  y


0
B66    xy


0   
 x 
0  
 y 
D66  

  xy 
(5.2.2.1)
5.2.6.- Laminados balanceados.
Un laminado está balanceado si las láminas en ángulos distintos de 0 y 90° sólo se producen como pares
positivos y negativos de +θ y -θ. Los pares positivos y negativos no es necesario que sean adyacentes los unos
con los otros , pero el espesor y el material de las parejas es necesario que sean las mismas. En este caso, los
términos A16 = A26 = 0. Un ejemplo de un laminado balanceado es:
y la nomenclatura del laminado es [30/40/-30/30/-30/-40].
De la ecuación:
n
 
Aij    Q   hk  hk 1  ,
 ij  k
k 1 
i  1,2,6; j  1,2,6
se obtiene:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   0
0
 xy   
 M x   B11 B12

 
M
y

  B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
0
0
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
 0 
B16    x 
 0
B26    y 


0
B66    xy


D16   
 x 
D26    
 y 
D66  

  xy 
(5.2.6.1)
5.2.7.- Laminados cuasi-isotropicos.
Para una placa de material isotrópico con módulo de elasticidad, E, coeficiente de Poisson, ν, y e espesor, h,
las tres matrices de rigidez son:
 E

2
 1
 E
 A   2
 1

 0





0 

E 
2 1    
(5.2.7.1)
0 0 0
B    0 0 0 
0 0 0


(5.2.7.2)
E
1 2
E
1 2
0
0


 12

D   
12





E
1   2 

E
1 2
0


E
12 1   2

E
12 1   2
0







0



E

24 1    
0
(5.2.7.3)
Un laminado se llama cuasi-isotrópico si su matriz de rigidez extensional [A] se comporta como la de un
material isotrópico. Esto implica no sólo que A11 = A22, A16 = A26 = 0 y A66 = (A11-A22)/2, sino también que
estas rigideces sean independientes del ángulo de rotación del laminado. La razón para llamar a un laminado
cuasi-isotrópico y no isotrópico es que las otras matrices de rigidez, [B] y [D], pueden no comportarse como
las de los materiales isotrópicos.
Ejemplos de laminados cuasi isotrópicos incluyen [0 / ± 60], [0 / ± 45/90] s, y [0/36/72/-36/-72].
5.3.- Criterios de rotura de un laminado.
5.3.1.- Introducción.
Un laminado fallará bajo un aumento de las cargas mecánicas y térmicas. Sin embargo, el fallo del laminado,
no puede ser catastrófico. Es posible que alguna lámina falle primero y que el material compuesto siga
soportando más cargas hasta que fallen todas las láminas. Las láminas que han fallado todavía pueden
contribuir a la rigidez y resistencia del laminado. La degradación de la rigidez y propiedades de resistencia de
cada lámina depende de la filosofía seguida por el usuario.
• Cuando una lámina falla, pueden tener fisuras paralelas a las fibras. Esta lámina todavía es capaz de soportar
cargas paralelas a las fibras. En este caso, la lámina con grietas puede reemplazarse por una lámina
hipotética que no tiene rigidez transversal, resistencia a la tracción transversal y resistencia a cortadura. El
módulo longitudinal y la resistencia permanecen sin cambios.
• Cuando una lámina falla, totalmente descarta la lámina y reemplaza la lámina de rigidez y resistencia cerca
de cero. Los valores cercanos a cero evitan las singularidades en las matrices de rigidez y de flexibilidad.
El procedimiento para determinar las cargas sucesivas entre el fallo de la primera lámina y el fallo de la última
sigue el método siguiente:
1.- Teniendo en cuenta las cargas mecánicas, se aplican cargas en la misma proporción que las cargas
aplicadas. Sin embargo, aplicar el cambio de la temperatura y el contenido de humedad.
2.- Utilizar el análisis del laminado para encontrar las deformaciones en el plano medio y las curvaturas.
3.- Encontrar las tensiones locales y las deformaciones en cada lámina bajo la carga asumida.
4.- Usar las tensiones y las deformaciones, lámina por lámina, en las teorías de rotura de las láminas
discutidas en el apartado 3.6 para encontrar la relación de resistencia. Multiplicando la relación de
resistencia por la carga aplicada nos da el nivel de carga de fallo de la primera capa. Esta carga se
denomina carga de fallo de la primera lámina.
5.- Degradar totalmente la rigidez de la lámina o láminas dañadas. Aplicar el nivel de carga actual del fallo
anterior.
6.- Ir al paso 2 para encontrar la relación de resistencia en las láminas no dañadas.
• Si la relación de resistencia es mayor que uno, multiplicar la relación de resistencia a la carga
aplicada para determinar el nivel de carga de fallo de la lámina siguiente e ir al paso 2.
• Si la relación de resistencia es menor que uno, degradar la rigidez y las propiedades de resistencia de
todas las láminas dañadas e ir al paso 5.
7.- Repetir los pasos anteriores hasta que todas las láminas del laminado han fracasado. La carga a la cual han
fallado todas las láminas del laminado se denomina de rotura de la última lámina.
El procedimiento del descuento parcial de las fibras es más complicado. La tensión máxima no interactiva y
los criterios de rotura de máxima deformación se utilizan para encontrar el modo de fallo. Basado en el modo
de rotura, los módulos elásticos y resistencias apropiadas se descuentan parcial o totalmente.
5.3.2.- Fallo inicial.
Supongamos que se toma un laminado de láminas cruzadas (disposición 0/90º) y se aplica una carga cada vez
mayor en la dirección de las fibras de 0°. A cargas relativamente bajas aparecerán grietas en la matriz
paralelas a las fibras en las láminas a 90°. Estas grietas se incrementarán en densidad hasta alcanzar un estado
de saturación. En este punto, las láminas a 90° no contribuirán, prácticamente, a la rigidez del laminado en la
dirección de 0°, este hecho se pone de manifiesto por el cambio en la pendiente de la curva carga-extensión
del laminado (Figura 5.3.2.1). El comienzo de la formación de grietas transversales en las láminas se conoce
como fallo inicial o fallo de la primera lámina.
Un comportamiento similar se observa en un laminado de láminas en ángulo (disposición ± θ), con un fallo
inicial puesto de manifiesto por las grietas paralelas a las fibras. Estas grietas serían causadas por la cortadura
interlaminar para valores bajos de θ y por la tensión transversal para valores altos de θ.
Es posible predecir el fallo inicial de un laminado mediante la combinación de la teoría clásica de los
laminados con un criterio de fallo. La elección del criterio de fallo es fundamental y, como ya se ha
comentado con anterioridad, hay muchos disponibles, cada uno de los cuales es relevante sólo para una
situación muy específica (carga y geometría).
Figura 5.3.2.1.- Cambio en la pendiente de la curva de tensión-deformación de un laminado de láminas
cruzadas al inicio de la formación de grietas transversales (90 °) en las láminas.
Se comienza con las ecuaciones constitutivas de la placa, es decir:
 N  A
 
 M  B
B   0 
 
D   
(5.3.2.1)
La resolución de las ecuaciones (5.3.2.1) nos dará las deformaciones en el plano medio de la placa (ε0) y la
curvatura de la placa (κ) para un conjunto conocido de las fuerzas (N) y momentos (M).
1
B   N   A1
  
D   M   B1
0  A
   
   B
B1   N 
 
1  M 
D 
(5.3.2.2)
donde:
1
A1  A  B  D   B  
B1  B   D  
D1  D  
t
1
1
1
A   A
1
B    A B
1
D   D  B  A B
Las deformaciones de la placa se expresan en los ejes x-y de la placa (Figura 5.3.2.2). Así, las deformaciones
en cada lámina se pueden encontrar a partir de la ecuación:
12   T   xy 
(5.3.2.3)
Finalmente las tensiones en la lámina se obtienen a partir de la matriz de rigidez, es decir:
12   Q  12 
(5.3.2.4)
Mediante la aplicación, sobre una base de lámina a lámina, de un criterio de fallo seleccionado se puede
determinar la aparición del fallo.
Figura 5.3.2.2.- Cargas que actúan sobre un laminado.
5.3.3.- Fallo final y resistencia.
La carga de rotura final o definitiva, de un laminado de láminas en ángulo suele ser coincidente con, o sólo
ligeramente superior, a la carga que provoca el fallo inicial. Esto no es necesariamente el caso que ocurre con
laminados con otra disposición de las láminas, donde el fallo final puede ocurrir para una carga
considerablemente mayor que la que causa el fallo de la primera lámina.
Una vez que una lámina ha sufrido el fallo su rigidez disminuye en ciertas direcciones. Sin embargo, a menos
que la lámina dañada esté completamente deslaminada del resto de las láminas del laminado, todavía
contribuirá a la rigidez global de la placa. La magnitud de esta contribución depende de la cantidad de daño, la
combinación fibra/matriz y la naturaleza de la carga actuando sobre lámina.
En general, se adopta un método iterativo, aplicando sucesivamente el método descrito en el apartado 5.3.2
hasta que se produzca el fallo final. Como punto de partida se conocerá el valor relativo de las fuerzas y
momentos (Nx, Ny, Nxy, Mx, My, Mxy) que actúan sobre el laminado, a partir de, por ejemplo, un análisis
estructural de los componentes que se están diseñando. Alternativamente, puede llevarse a cabo un estudio
paramétrico de una amplia gama disposiciones de las láminas para un conjunto arbitrario de valores de las
cargas.
Las etapas adoptadas son las siguientes:
1.- Se aplica, en la proporción determinada previamente, un pequeño valor de las cargas al laminado en
cuestión.
2.- Utilizando el análisis del laminado se determinan las deformaciones y las curvaturas de la placa y por lo
tanto, las tensiones y las deformaciones en cada lámina (en las direcciones principales).
3.- Se aplica el criterio de fallo elegido a cada lámina.
4.- Si no se produce ningún fallo se aumenta el valor de las cargas (mantenimiento su magnitud relativa) por
el factor apropiado para que tenga lugar el fallo de la primera lámina.
5.- Se reducen las rigideces en las láminas dañadas y se vuelven a calcular las matrices A, B y D.
6.- Se repiten las etapas 2 y 3 hasta que no se producen nuevos fallos.
7.- Se repiten las etapas 4, 5 y 6.
8.- Se repite la etapa 7 hasta que tenga lugar el fallo de la última lámina (es decir, fractura de la fibra). Esto
define la resistencia a la rotura del laminado.
A la hora de aplicar los criterios de fallo en el procedimiento anterior, es cuando se vuelve importante la
elección entre los criterios límites e interactivos. Los primeros nos indican el modo de falla. Así, cuando se
llega a la etapa 5, para reducir la rigidez se utiliza el criterio de la tensión máxima o de la deformación
máxima. Si, por otro lado, se utilizar el criterio de Tsai-Hill, tendríamos que inferir el modo de fallo de las
magnitudes relativas de los términos de la ecuación:
 
1

T
 
 1 ULT
 




2

 
  1 22
T
 1
ULT

 
2
 
  2
  T
   2 ULT

 
2
  
12
 
   
  12 ULT
2

 1

Incluso cuando se conoce el modo de fallo, sigue siendo necesario seleccionar el factor de reducción de los
términos de rigidez, por el momento no existe un criterio universalmente aceptado. Supongamos, por ejemplo,
que la etapa 4 de nuestro procedimiento indica un fallo a tracción transversal en una determinada lámina. Una
posibilidad sería hacer los valores de la rigidez correspondiente, E22, junto con υ21, iguales a cero. Una
alternativa sería la reducción de los valores originales, por ejemplo, en un 50 % o en un 90 %. Algunos
investigadores han encontrado lo primero apropiado para los materiales CFRP y el segundo para los GFRP. El
enfoque más simple y realista, sería ignorar por completo la lámina dañada. En este caso, al volver a calcular
las matrices A, B y D, el laminado tendría un espacio vacío en el lugar de esas láminas.
5.4.- Diseño de materiales compuestos laminados.
Debido a que se ha desarrollado la teoría de placas laminadas de materiales compuestos sometidas a cargas
mecánicas en el plano, a temperatura y humedad, los diseños también se limitan a este tipo de carga y formas
simples. Factores no incluidos incluyen la estabilidad, cargas fuera del plano resistencia a la fractura, al
impacto y a la fatiga, resistencia interlaminar, características de amortiguación, control de vibración y formas
complejas. Estos factores se introducirán brevemente en el apartado 5.5.
El diseño de materiales compuestos laminados incluye restricciones en la optimización y factores restrictivos,
tales como:
• Costo
• Masa en relación con la industria aeroespacial y de la automoción para reducir el costo de la energía
• Rigidez (para limitar las deformaciones) en relación con las pieles de las aeronaves para evitar el pandeo
• Coeficientes de expansión térmica y de humedad en relación a las antenas espaciales para mantener la
estabilidad dimensional
Esos factores son similares a los utilizados en el diseño con materiales monolíticos, por lo que el principal
problema en el diseño con materiales compuestos en lugar de materiales monolíticos implica la comprensión
de la naturaleza ortotrópica de las láminas compuestas.
La posibilidad de diferentes sistemas fibra- matriz combinados con variables como la fracción volumétrica de
fibras dicta las propiedades de una lámina. Luego, las láminas pueden ser colocadas en ángulos y distancias
particulares desde el plano medio del laminado. Entonces, los sistemas materiales y la secuencia de
apilamiento, determinan las tensiones y las deformaciones en el laminado. La rotura del material compuesto
puede basarse en el fallo de la primera lámina (FPF) o de la última (LPF). Aunque uno puede pensar que
todas las láminas fallan al mismo tiempo es un laminado ideal, otros pueden argumentar que las diferencias
entre los dos fallos, dan tiempo para la detección y reparación o sustitución de la pieza.
La selección de un laminado es una tarea computacionalmente intensiva y repetitiva debido a las muchas
posibilidades que existen de combinaciones fibra-matriz, sistemas de materiales y secuencias de apilamiento.
Los programas de ordenador han hecho estos cálculos fáciles y se remite a utilizar dichos programas para
apreciar completamente el diseño con materiales compuestos.
5.5.- Otros problemas en el diseño mecánico.
5.5.1.- Compuestos Sandwich.
Un grupo de materiales compuestos laminados que se utilizan ampliamente son los sandwich. Paneles
sandwich consisten en revestimientos delgados (también llamada la piel) con un núcleo intercalado. Los
revestimientos están hechos con materiales de alta resistencia, como el acero y materiales compuestos, como e
grafito/epoxy, el núcleo, que es de más espesor, está hecho de materiales ligeros como espuma, cartón,
madera contrachapada, etc (Figura 5.5.1.1).
Figura 5.5.1.1.-Sandwich con revestimiento de fibra de vidrio y núcleo de panal de nido de abeja de Nomex.
La motivación para hacer un sandwich es doble. En primer lugar, si una placa o viga se dobla, las tensiones
máximas se producen en las superficies superior e inferior. Por lo tanto, tiene sentido utilizar materiales de
alta resistencia sólo en las partes superior e inferior y de baja resistencia y ligeros en el centro. Los
revestimientos resistentes y rígidos también soportan las fuerzas axiales. En segundo lugar, la resistencia a la
flexión de una placa o viga de sección transversal rectangular es proporcional al cubo del espesor. Por lo
tanto, el aumento del espesor mediante la adición de un núcleo en el centro aumenta la resistencia. Hay que
tener en cuenta que las fuerzas de cizallamiento son máximas en el centro del panel sándwich, por lo que se
requiere el centro soporte cargas de corte. La ventaja de un menor peso y la rigidez de flexión hacen que los
paneles sándwich sean más atractivos que otros materiales. Los paneles sándwich son evaluados en base a su
resistencia, seguridad, peso, durabilidad, resistencia a la corrosión, resistencia a la perforación y abolladura,
resistencia a la intemperie y coste.
Los materiales más utilizados son las aleaciones de aluminio y los plásticos reforzados con fibras. El aluminio
tiene un alto módulo específico, pero se corroe sin un tratamiento previo y es propenso a las abolladuras. Los
plásticos reforzados con fibra, como el grafito/epoxy y vidrio/epoxi se están volviendo populares como
materiales de revestimiento, debido a su alto módulo específico y resistencia y por su resistencia a la
corrosión. Los plásticos reforzados con fibras pueden ser unidireccionales o láminas de tejido.
Los materiales más utilizados como núcleo son la madera de balsa, la espuma y los panales. La madera de
balsa tiene una alta resistencia a la compresión (10.4 MPa), buena resistencia a la fatiga y una resistencia al
corte de alta (1.4 psi). Las espumas son polímeros de baja densidad, tales como poliuretanos, fenólicos y
poliestireno. Los panales están hechos de plástico, papel, cartón, etc. La resistencia y rigidez del panal nido de
abeja depende del material, tamaño de la celda y del espesor.
Los adhesivos de unión de los materiales del revestimiento y del núcleo son esenciales en la integridad
general del panel sándwich. Los adhesivos vienen en forma de película, pasta y líquido. Algunos ejemplos
comunes son compuestos fenólicos de vinilo, epoxi modificado y uretano.
5.5.2.- Efectos del medio ambiente a largo plazo.
En el apartado 4.5, ya ha discutido los efectos causados por la temperatura y la humedad, tales como las
tensiones y deformaciones residuales. ¿Qué efecto tienen estos y otros factores medio ambientales, tales como
ambientes corrosivos y variaciones de temperatura y humedad en el comportamiento a largo plazo de los
materiales compuestos? Estos elementos pueden disminuir la adherencia de la intercara fibra-matriz, como
por ejemplo entre el vidrio y la resina epoxy. Las matrices epoxi ablandan a altas temperaturas, afectando a
las propiedades dominadas por la matriz, como la rigidez transversal y cortadura en el plano y la fuerza y la
resistencia a la flexión. Por ejemplo, Quinn encontró que una varilla de material compuesto vidrio/epoxi
absorbe un 0.4 % de agua después de 150 días de inmersión. El efecto de esta absorción de humedad en el
módulo de flexión se muestra en la figura 5.5.2.1.
Figura 5.5.2.1.- Absorción de la humedad en función del tiempo y su efecto sobre el módulo de flexión de una
varilla de material compuesto vidrio/poliéster.
5.5.3.- Tensiones interlaminares.
Debido al desajuste del módulo de elasticidad y al ángulo entre las láminas de un material compuesto
laminado, se desarrollan tensiones interlaminares entre las láminas. Estas tensiones, que son normales y de
cortadura, puede ser lo suficientemente grandes como para causar delaminación de borde entre las láminas. La
delaminación eventualmente limita la vida de la estructura laminada. Además la delaminación puede ser
causada por un curado no óptimo y por la introducción de cuerpos extraños en la estructura.
En la figura 5.5.3.1, se representan gráficamente las tensiones de cortadura interlaminar y normales teóricas
en función de la distancia normalizada - cero en la línea central y uno en el borde libre - desde la línea central
de un material compuesto laminado [± 45]s grafito/epoxy. Las tensiones interlaminar indicadas son para la
superficie inferior de la lámina superior del laminado y se determinan mediante el uso de las ecuaciones de la
elasticidad. Lejos de los bordes, esas tensiones son las mismas que la que predice la teoría clásica de los
laminados discutida en el apartado 4. Sin embargo, cerca de los bordes, la tensión de cortadura normal, τxy,
disminuye a cero, y fuera del plano la tensión de corte τxz, llega a ser infinita (no mostrado). La teoría clásica
de los laminados y la de la elasticidad dan resultados diferentes, porque el primero viola el equilibrio y las
condiciones límite en la intercara. Por ejemplo, para un estado simple de tensión sobre el laminado [± 45]s, la
teoría clásica de los laminados predice valores distintos de cero para las tensiones σxx, σyy y τxy de cada
lámina. Esto no es cierto en los bordes, donde σy y τxy son realmente cero, debido a que son límites libres.
Figura 5.5.3.1.- Tensiones normal y cortante en la intercara de la superficie inferior de la capa superior de un
laminado de cuatro láminas.
Las tensiones interlaminares representan un reto para el diseñador y hay algunas maneras de contrarrestar sus
efectos. Pagano y Pipes han encontrado de forma teórica que manteniendo el ángulo, la simetría y el número
de láminas, pero cambiando la secuencia de apilamiento se puede influir sobre la tensión interlaminar. La
clave es cambiar la secuencia de apilamiento para reducir las tensiones de cortadura interlaminar sin aumentar
la tensión normal a tracción interlaminar (en su caso). Por ejemplo, una secuencia de apilamiento del
laminado [± 30/90]s produce tensiones normales de tracción interlaminar bajo una carga de tracción uniaxial
sin embargo, si la secuencia de apilamiento se cambia a [90/± 30]s, se producen tensiones normales de
compresión interlaminar. Esto hace que la última secuencia de apilamiento sea menos propensa a la
delaminación. Otras técnicas para mejorar la tolerancia a la delaminación incluyen el uso de sistemas de
resina reforzada para aumentar la tenacidad y sistemas intercalados en los que se añade una capa de resina
discreta con alta tenacidad y la deformación a rotura en la parte superior de la lámina.
5.5.4.- Resistencia al impacto.
La resistencia al impacto de materiales compuestos laminados es importante en aplicaciones tales como el
golpeo de una bala en la estructura de una aeronave militar o incluso el contacto de una ballesta de un
material compuesto de un automóvil rodando sobre piedras o un camino de grava. La resistencia al impacto
depende de varios factores del laminado, tales como el sistema material, la resistencia interlaminar, la
secuencia de apilamiento y la naturaleza del impacto, tales como la velocidad, masa y tamaño del objeto
impactante.
Los impactos reducen la resistencia del laminado y también inician la delaminación en los materiales
compuestos. La delaminación se hace más problemática, ya que, muchas veces, la inspección visual no la
encuentra. Las soluciones para aumentar la resistencia al impacto y resistencia al impacto residual incluyen
epoxi endurecido y láminas intercaladas. En el primer caso, epoxis son endurecidos por una goma líquida y,
en el segundo caso, una capa endurecida discreta se añade a las láminas en lugares seleccionados.
5.5.5.- Resistencia a la fractura.
Cuando se desarrolla una grieta en un material isotrópico, las tensiones en la punta de la grieta son infinitas.
La intensidad de esas tensiones infinitas se denomina factor de intensidad de tensiones. Si el factor de
intensidad de tensiones es mayor que el factor de intensidad de tensiones crítico del material, se considera que
la grieta crecer de forma catastrófica. Otro parámetro, denominado velocidad de liberación de energía de
deformación, también se utiliza para la determinación de la resistencia a la fractura, y representa la velocidad
de liberación de energía cuando la grieta crece. Si esa velocidad es mayor que la velocidad de liberación de
energía de deformación crítica del material, la grieta crece catastróficamente. En los materiales isótropicos la
velocidad de liberación de la energía de deformación y el factor de intensidad de tensiones se relacionan uno
con otro.
En los materiales compuestos, la mecánica de la fractura no es tan simple. En primer lugar, las grietas pueden
crecer en la forma de roturas de la fibra, roturas de la matriz, pérdida de adherencia entre la fibra y la matriz y
pérdida de adherencia entre las láminas. En segundo lugar, no solo el factor crítico de intensidad de tensiones
y la velocidad de liberación de la energía de deformación puede determinar el proceso de la mecánica de
fractura.
Las roturas de la fibra pueden ocurrir debido a la naturaleza frágil de las fibras. Algunas fibras pueden
romper, ya que, estadísticamente, algunas fibras son más débiles que otras y, por lo tanto, pueden fallar a
bajas deformaciones. La matriz se puede romper debido a las altas deformaciones causadas por la rotura de
las fibras. En materiales compuestos de matriz cerámica, la deformación a rotura de la matriz es menor que la
de la fibra, por lo tanto, la rotura de la matriz precede a la de las fibras. De hecho, la rotura de la fibra se
considera que se produce cerca del fallo final del material compuesto. Además, la rotura de la matriz puede
seguir ocurriendo en paralelo a la longitud de la grieta.
Cuando se rompe una fibra o la matriz, la grieta no crece de una manera auto-semejante. Puede crecer a lo
largo de la intercara con lo que se embota la grieta y mejora la resistencia a la fractura de los materiales
compuestos, o puede crecer en el constituyente próximo, lo que da lugar a un fallo sin control. La
competencia entre si una grieta crece a lo largo de la intercara o salta al constituyente adyacente depende de
las propiedades del material de la fibra, la matriz y la intercara, así como de la fracción volumétrica de fibras.
5.5.6.- Resistencia a la fatiga.
Las estructuras en el transcurso del tiempo están sometidas a cargas cíclicas repetidas, como las cargas
fluctuantes en el ala de avión. Esta carga cíclica debilita el material y hace que su vida útil sea finita. Por
ejemplo, una hoja de helicóptero hecha con material compuesto puede tener una vida útil de 10.000 horas.
Datos sobre fatiga de los materiales compuestos son recopilados usando varios datos diferentes, tales como
trazando el pico de la tensión máxima aplicada durante la carga en función del número de ciclos. El pico de
tensión permitido disminuye a medida que aumenta el número de ciclos hasta que se produce el fallo. El pico
de tensión se compara con la resistencia estática de la estructura compuesta. Si los picos de tensión son
comparativamente mayores que la resistencia máxima permitida de material compuesto, la fatiga, no influye
en el diseño de la estructura de material compuesto. Este es el caso de materiales compuestos grafito/epoxi,
en los que la resistencia máxima permitida es baja debido a su baja resistencia al impacto.
Otros factores que influyen en las propiedades de fatiga son la secuencia de apilamiento en el laminado, las
propiedades de la fibra y la matriz, la fracción volumétrica de fibras, la unión interfacial, etc. Por ejemplo,
para los laminados cuasi-isótropos, las curvas S-N son bastante diferentes de las de los laminados
unidireccionales. En este caso, las láminas a 90° desarrollan grietas transversales que influyen en el módulo
elástico y la resistencia del laminado. Aunque, la influencia es limitada porque las láminas a 90° no
contribuyen a la rigidez estática y resistencia en el primer lugar, la concentración de tensiones causada por
dichas grietas puede conducir a daños en las láminas a 0°. Otros modos de daños incluyen roturas de la fibra
y la matriz, y la pérdida de adherencia interlaminar e interfacial, etc. La secuencia de apilamiento en el
laminado influye en la aparición de la delaminación en el borde. Por ejemplo, Foye y Baker llevaron a cabo
ensayos de fatiga a tracción de laminados boro/epoxy y encontraron la dependencia entre la vida a fatiga y la
secuencia de apilamiento. Así, un laminado [± 4 /± 15]s tiene una vida superior a fatiga que un laminado [±
15/±45]s (Figura 5.5.6.1). Ambas laminados tienen el mismo número de láminas en ángulo y sólo cambia la
secuencia de apilamiento.
Los factores de carga como la tensión y/o compresión, la temperatura, la humedad y la frecuencia de la carga
también determinan el comportamiento a fatiga de los materiales compuestos. Por ejemplo, para una carga de
fatiga a compresión o una carga de fatiga tracción-compresión, los materiales compuestos carbono/epoxi
tienen deformaciones de pico muy bajas, debido a que la compresión puede causar el pandeo de la lámina,
etc. En estos casos, no está presente el que prevalezcan los efectos de la fibra, sino que la matriz, la intercara
fibra-matriz y las láminas desempeñan un papel más importante.
Los problemas de tipo no mecánico también son importantes en el diseño de estructuras de materiales
compuestos. Estos incluyen la resistencia al fuego, emisión de humo, caída de rayos, conductividad eléctrica y
térmica, potencial de reciclado, interferencias electromagnéticas, etc.
Figura 5.5.6.1.- Comparación de la resistencia residual en función del número de ciclos de dos laminados.
6.- Vigas.
6.1.- Introducción.
Para el estudio de mecánica de vigas de laminados de materiales compuestos, es necesario revisar los análisis
con haces de materiales isótropos. Varios conceptos se aplica a las vigas hechas de materiales isótropos
ayudará a la comprensión de las vigas de materiales compuestos. Estamos limitando nuestro estudio a las
vigas con cargas transversales o momentos aplicados.
La tensión de flexión en una viga isotrópica (Figura 6.1.1 y figura 6.1.2) bajo la aplicación de un momento
flector, M, está dada por:

Mz
I
(6.1.1)
donde:
z = Distancia desde el centroide
I= Momento de inercia
las deflexiones de flexión, w, se obtienen mediante la solución de la ecuación diferencial:
EI
d 2w
 M
dx 2
(6.1.2)
donde E es el módulo de elasticidad del material de la viga.
El término (d2w/dx2) se define como la curvatura:
 2w
x   2
x
(6.1.3)
Teniendo en cuenta la ecuación (6.1.3) la (6.1.2) se transforma en:
EI x  M
(6.1.4)
La fórmula para la tensión de flexión sólo es válida para un material isotrópico, ya que se supone que el
módulo de elasticidad es uniforme en la viga. En el caso de materiales compuestos laminados, el módulo de
elasticidad varía de una lámina a otra.
Figura 6.1.1.- Viga sometida a la acción de un momento flector.
Figura 6.1.2.- Curvatura de una viga sometida a flexión.
6.2.- Vigas simétricas.
Para mantener lo visto en la simple introducción realizada, se van a analizar vigas que son simétricas y
tienen una sección transversal rectangular (Figura 6.3). Dado que la viga es simétrica, las cargas y momentos
de la ecuación:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   A
A26
 xy    16
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
A16
A26
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
  x0 
B16  

  0 
B26  y


0
B66    xy


D16   
 x 
D26    
 y 
D66  

  xy 
(6.2.1)
están desacoplados , con lo que se tiene:
 Mx 
 x 


 
 M y   D    y 


 
 M xy 
 xy 
(6.2.2)
 x 
 Mx 


 
1
  y   D   M y 


 
 xy 
 M xy 
(6.2.3)
o bien:
Figura 6.2.1.- Viga de material compuesto laminado mostrando el plano medio y el eje neutro.
Ahora bien, si la flexión sólo tiene lugar en la dirección x, entonces: Mx ≠ 0, My = 0, Mxy = 0
 x 
 Mx 
 
1 

  y   D   0 
 
0 

 
xy
 
(6.2.4)
de donde:
*
 x  D11
Mx
(6.2.5a)
*
 y  D12
Mx
(6.2.5b)
*
 xy  D16
Mx
(6.2.5c)
donde D*ij son los elementos de la matriz [D]-1.
Las curvaturas en el plano medio son:
x  
 2w 0
x 2
,
y  
 2w 0
y 2
 xy  2
,
 2w 0
x y
(6.2.6)
la desviación w0 plano medio no es independiente de y. Sin embargo, si tenemos un haz estrecho - es decir, la
relación entre longitud y anchura (L / b) es suficientemente alta, se puede suponer que w0 = w0 (x) solamente.
x  
d 2w 0
dx 2
*
 D11
Mx
(6.2.7)
Escribiendo en forma similar a la ecuación (6.2) para vigas isótropicas,
d 2w 0
dx
2

Mx b
Ex I
donde:
b = Ancho de la viga.
Ex = Módulo efectivo de flexión de la viga.
I = Momento de inercia con respecto al plano x-y
(6.2.8)
De las ecuaciones (6.2.5a) y (6.2.8) se obtiene:
Ex 
12
*
h 3D11
(6.2.9)
También
bh 3
I
12
(6.2.10)
M  bM x
(6.2.11)
Para encontrar las deformaciones, de la ecuación
  x    x0 
 x 
   0
 
 y    y   z  y 
   0 
 
 xy   xy 
 xy 
se obtiene:
(6.2.12)
 x  z x
(6.2.13a)
 y  z y
(6.2.13b)
 xy  z xy
(6.2.13c)
Esas deformaciones globales se pueden transformar a las deformaciones locales de cada lámina usando la
ecuación:
 x 
 1 

1 
 


R
T
R







y
 2


 

 12  k
xy
 k
Las tensiones locales en cada hoja se obtienen mediante la ecuación:
 1 
 1 
 
 


Q


 2
 2 
 
 
 12  k
 12  k
Las tensiones globales en cada hoja se obtendrán mediante la ecuación:
 x 
 1 
 
1 

 y   T   2 
 
 
 12  k
 xy  k
6.3.- Vigas no simétricas.
En el caso de vigas no simétricas, las cargas y los momentos no están desacoplados. La relación dada por la
ecuación:
 Nx   A
A12

  11
 N y   A12 A22
N   A
A26
 xy    16
 M x   B11 B12

 
 M y   B12 B22
 M   B16 B26
 xy 
A16
A26
A66
B16
B26
B66
B11 B12
B12 B22
B16 B26
D11 D12
D12 D22
D16 D26
 0 
B16    x 
 0
B26    y 


0
B66    xy


D16   
 x 

D26   
 y 
D66  

  xy 
(6.3.1)
es
 N  A
 
 M  B
B   0 
 
D   
0  A
   
   B
B  N 
  
D M 
o bien:
1
Suponiendo que:
A

B
(6.3.2)
B

D
1
(6.3.3)
 J 
(6.3.4)
y desarrollando la expresión matricial (6.3.3) se tiene:
  x0 

  J11
0
y   J

  21
0
  xy
  J 31

  J
  x   41
    J 51
 y  
  xy   J 61


J12
J 22
J 32
J 42
J 52
J 62
J13
J 23
J 33
J 43
J 53
J 63
J14
J 24
J 34
J 44
J 54
J 64
J15
J 25
J 35
J 45
J 55
J 65
J16   N x 


J 26   N y 
J 36   N xy 


J 46   M x 


J 56   M y 

J 66   M xy 


(6.3.5)
Ahora bien, si la flexión sólo tiene lugar en la dirección x, entonces: Mx ≠ 0, My = 0, Mxy = 0, y se obtiene:
 x0  J14M x
(6.3.6a)
 y0  J24M x
(6.3.6b)
0
 xy
 J34M x
 x  J 44M x
 y  J54M y
 xy  J64M xy
(6.3.6c)
(6.3.6d)
(6.3.6e)
(6.3.6f)
Entonces, a partir de la ecuación:
  x    x0 
 x 


 
 
0
 y    y   z  y 
   0 
 




xy
   xy 
 xy 
se pueden determinar la distribución de deformaciones en la viga:
   0  z
x
x
   0  z
y

y
(6.3.7b)
y
  0  z
xy
(6.3.7a)
x
xy
(6.3.7c)
xy
Debido a que la viga no es simétrica, el eje neutro no coincida con el plano medio. La localización del eje
neutro, z0, se sitúa donde εx = 0. De la expresión (6.3.7a) se tiene:
0   0  z x  J14M x  zn J 44M x
x
lo que da:
zn  
J14
(6.3.8)
J 44
Las curvaturas son:
x  
 2w 0
x 2
,
y  
 2w 0
y 2
 xy  2
,
 2w 0
x y
(6.3.9)
la deflexión w0 en plano medio no es independiente de y. Sin embargo, si tenemos una viga estrecha - es
decir, la relación entre longitud y anchura (L/b) es suficientemente alta, se puede suponer que w0 = w0(x)
solamente, con lo que
d 2w
 x   20  J 44M x
(6.3.10)
dx
que se puede escribir en la forma:
d 2w 0
dx
2

Mx b
Ex I
(6.3.11)
donde:
b = Ancho de la viga.
Ex = Módulo efectivo de flexión de la viga
I = Momento de inercia con respecto al plano x-y.
De las ecuaciones (6.3.10) y (6.3.11) se obtiene:
Ex  
12
3
h J 44
(6.3.12)
También
bh 3
12
M  bM x
I
(6.3.13)
(6.3.14)
Para encontrar las deformaciones, de la ecuación
  x    x0 
 x 
   0
 






z
 y
 y 
y


 
 
0
 xy   xy 
 xy 
se obtiene:
   0  z
x
x
   0  z
y

xy
y
(6.3.15b)
y
  0  z
xy
(6.3.15a)
x
xy
(6.3.15c)
Esas deformaciones globales se pueden transformar a las deformaciones locales de cada lámina usando la
ecuación:
 x 
 1 

1 
 


R
T
R







y
 2


 

 12  k
xy
 k
(6.3.16)
Las tensiones locales en cada lámina se obtienen mediante la ecuación:
 1 
 1 
 
 


Q


 2
 2 
 
 
 12  k
 12  k
(6.3.17)
Las tensiones globales en cada lámina se obtendrán mediante la ecuación:
 x 
 1 
 
1 

 y   T   2 
 
 
 12  k
 xy  k
(6.3.18)