Cálculo de un laminado arbitrario

Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
MATERIALES COMPUESTOS ESTRUCTURALES
Cálculo de un laminado arbitrario
CURSO 2009-2010
Alberto Ruiz-Cabello López
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo pretende abordar el cálculo de un laminado arbitrario a partir de la Teoría
Clásica de Laminados. Para ello se ha desarrollado una aplicación informática basada en el
leguaje de programación Visual Basic, empleando el software Excel como interfaz de
entrada/salida de datos.
Para abordar el análisis tensional de un laminado arbitrario se parte de la consideración de
cada lámina de forma individual. La lámina individual se comporta como un material ortótropo,
definido por cuatro constantes elásticas, ‫ܧ‬ଵ , ‫ܧ‬ଶ , ߭ଵଶ y ‫ܩ‬ଵଶ ; la ecuaciones constitutivas tienen una
formulación sencilla en ejes de ortotropía.
Para analizar globalmente el laminado, las ecuaciones constitutivas de cada lámina se deben
expresar en una misma base (ejes globales), de forma que podamos aplicar la compatibilidad
de deformaciones entre las diferentes láminas. Se supone que la deformación es lineal a lo
largo de todo el espesor de la placa laminada. Las cargas a considerar en el laminado son
cargas contenidas en el plano del laminado y cargas de flexión, esto es: ܰ௫ , ܰ௬ , ܰ௬௫ , ‫ܯ‬௫ , ‫ܯ‬௬ y
‫ܯ‬௫௬ . Estas cargas, conforme a la hipótesis de compatibilidad, generan una deformación global
en el laminado que queda caracterizada mediante tres componentes de deformación plana, ߝ௫ ,
ߝ௬ , ߝ௫௬ , y tres curvaturas, ݇௫ , ݇௬ , ݇௫௬ .
Finalmente, la aplicación de las condiciones de equilibrio de esfuerzos y de momentos permite
obtener un sistema de ecuaciones a partir del cual pueden caracterizarse las relaciones
tensión-deformación para el laminado completo.
Los parámetros específicos a considerar en nuestro cálculo son los siguientes:
‫ܧ‬ଵ = 2.05 · 10ହ ‫ܽܲܯ‬
‫ܧ‬ଶ = 1.03 · 10ସ ‫ܽܲܯ‬
߭ଵଶ = 0.28
‫ܩ‬ଵଶ = 7.17 · 10ଷ ‫ܽܲܯ‬
்ܺ = 2700 ‫ܽܲܯ‬
்ܻ = 64 ‫ܽܲܯ‬
ܺ஼ = 1980 ‫ܽܲܯ‬
ܻ஼ = 294 ‫ܽܲܯ‬
ܵ = 92 ‫ܽܲܯ‬
1.
ANÁLISIS DE UN LAMINADO CUALQUIERA
La primera parte del programa se aplica a un laminado arbitrario, para el cual se determinan:
a) Matrices de rigidez ABCD y flexibilidad abcd del laminado.
Se introducen las constantes elásticas en la hoja de cálculo “MAT_T_D” así como el número de
laminas y se pulsa el comando “Lectura 1”. A continuación se introduce la orientación de cada
lámina (ángulo que forma el eje principal de la lámina con el eje X), así como el espesor de la
lámina correspondiente; al pulsar el comando “Lectura 2” se generan las matrices de rigidez y
flexibilidad.
b) Deformaciones y esfuerzos en el laminado
En la misma hoja “MAT_T_D” se introducen los esfuerzos o las deformaciones y se pulsa el
botón de comando correspondiente (“Esfuerzos” o “Deformaciones”).
Figura 1. Datos. Matrices ABCD y abcd. Tensiones y deformaciones globales
c) Tensiones y deformaciones en cada lámina en ejes globales y de ortotropía
En la hoja de cálculo “TEN_DEF” se pulsa el botón de comando “Cálculo de tensiones y
deformaciones”. Se obtienes las tensiones y deformaciones en ejes globales y de ortotropía
para cada lámina.
Figura 2. Tensiones y deformaciones en ejes globales y de ortotropía
d) Evaluación de los criterios de rotura Máxima Tensión, Máxima Deformación
Se ha verificado el laminado conforme al criterio de rotura de la Máxima Tensión. Para ello, en
la hoja de cálculo “CR” se debe pulsar el botón de comando “Criterio de rotura”. Se obtienen las
tensiones locales de cada lámina junto al valor límite correspondiente, así como un porcentaje
de aprovechamiento. Se indica también la forma de rotura de cada lámina o el máximo
aprovechamiento resistente que se alcanza (si no se produce rotura).
Figura 3. Criterio de rotura de la máxima tensión
2.
DIAGRAMAS DE PROPIEDADES ELÁSTICAS APARENTES
Para resolver esta parte del ejercicio se han desarrollado subrutinas específicas que emplean
el código utilizado en la primera parte. Es posible definir una forma de reparto de los
porcentajes arbitraria a partir de un parámetro interno del programa; es decir, se pueden definir
intervalos porcentuales a discreción (1%, 5%, 15%). Cuanto menor sea el intervalo, mayor
número de resultados obtendremos.
La obtención de las propiedades elásticas aparentes se realiza imponiendo un esfuerzo
unitario, bien sea ܰ௫ , o ܰ௬ , o ܰ௫௬ , y determinando la deformación respectiva, ߝ௫ , ߝ௬ , ߝ௫௬ . La
inversa de la deformación es el valor de dicha propiedad (respectivamente ‫ܧ‬ଵ , ‫ܧ‬ଶ y ‫ܩ‬ଵଶ ).
Para una misma combinación porcentual de láminas a 0º y a 90º, existen diferentes
combinaciones para las láminas a 45º y -45º, lo que equivale a obtener diferentes valores de
las propiedades elásticas aparentes correspondientes a un mismo par (% 0˚, % 90˚). Esta
circunstancia se aprecia en la representación tridimensional; para una misma coordenada del
plano horizontal se representan varios puntos a lo largo de la vertical. El rango de variación en
la vertical es reducido, y crece cuanto menor es la presencia total de láminas a 0º y 90º (estas
observaciones son aplicables al apartado 3, en el que se representan los diagramas de
resistencia mecánica.
La representaciones gráficas se han efectuado empleando el programa GNUplot (a partir de
datos configurados en Excel).
Se incluyen a continuación los diferentes diagramas:
Figura 4. ‫ܧ‬௫ aparente
Figura 5. ‫ܧ‬௬ aparente
Figura 6. ‫ܩ‬௫௬ aparente
3.
DIAGRAMAS DE RESISTENCIA MECÁNICA
El diagrama de resistencia mecánica representa, para cada configuración de las láminas, el
valor del esfuerzo necesario para provocar la rotura de la primera lámina y de la última lámina.
Para determinar la resistencia a la rotura de la última lámina, de forma simplificada se aplica la
carga sobre el laminado completo; es decir, las láminas que rompen previamente no se
suprimen.
Los porcentajes de reparto considerados son los mismos que en el apartado previo.
Se incluyen a continuación los diferentes diagramas:
Diagrama de resistencia mecánica a tracción uniaxial ࡺ࢞ :
Figura 7. Rotura primera lámina
Figura 8. Rotura última lámina
Diagrama de resistencia mecánica a tracción uniaxial ࡺ࢟ :
Figura 9. Rotura primera lámina
Figura 10. Rotura última lámina
Diagrama de resistencia mecánica a cortadura ࡺ࢞࢟ :
Figura 11. Rotura primera lámina
Figura 12. Rotura última lámina