Modelos Bayesianos para Valores Extremos

Modelos Bayesianos para Valores Extremos
Gabriel Huerta
Department of Mathematics and Statistics
University of New Mexico
Albuquerque, NM.
www.stat.unm.edu/∼ghuerta
3ra Semana de Probabilidad y Estadística, BUAP, Junio 14-18
UNM
Máximos mensuales de precipitación en Venezuela
Mediciones en la estación Maiquetía cerca del aeropuerto de Caracas.
80
60
0
20
40
Rainfall
100 120 140
Cómo se puede caracterizar estos extremos?
1960
1970
1980
1990
2000
Time
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UNM
Algunos aspectos en Valores Extremos
X1 , X2 , X3 . . ., son una secuencia de mediciones.
Máximo sobre bloques de tamaño n,
Mn = max{X1 , . . . , Xn }.
La distribución Generalizada para Valores Extremos (GEV)
( −1/ξ )
z −µ
H(z) = exp − 1 + ξ
σ
+
∞ < µ < ∞ (loc.), σ > 0 (escala) y −∞ < ξ < ∞ (forma).
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UNM
Dominios de Atracción:
ξ > 0 Fréchet:. ’Cola’ de la dist. sigue función potencia.
ξ < 0 Weibull: Familia con ’cola’ acotada.
ξ → 0 Gumbel: Familia con ’cola’ exponencialmente
decreciente.
Fisher-Tippet: Si an y bn son tales que n → ∞
Mn − an
P
≤ z → H(z)
bn
entonces H(z) es una GEV (Coles 2002).
Alternativa, Métodos de Umbral o Procesos Poisson.
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UNM
Cuántiles y log-verosimilitud
El cuántil (1 − p) de la distribución:
µ − σξ 1 − {−log(1 − p)}−ξ ; (ξ 6= 0)
µ − σ log {−log(1 − p)} (ξ = 0).
If y1 = M1 , . . . , ym = Mm ; yi ∼ GEV (α); α = (µ, σ, ξ), la
log-verosimilitud es:
l(α)
=
−n log σ − (1 + 1/ξ)
n
X
log{1 + ξ(yi − µ)/σ}
i=1
−
n
X
{1 + ξ(yi − µ)/σ}−1/ξ
i=1
Se pueda optimizar numericamente.
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UNM
Inferencia Bayesiana en la GEV
Distribución inicial en α = (µ, σ, ξ)
p(α) = p(µ)p(σ)p(ξ)
p(µ) = N(mµ , vµ ) p(log(σ)) = N(mσ , vσ )
p(ξ) = N(mξ , vξ )
Usar pasos Metropolis-Hastings para muestrar α,
log(σ ∗ ) = log(σ (i) ) + 0.011
µ∗ = µ(i) + 102
ξ ∗ = ξ (i) + 0.013
j ∼ N(0, 1); j = 1, 2, 3.
Se rechazan o aceptan los valores propuestos.
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UNM
Máximos mensuales de lluvia en Venezuela
Distribución final para los 3 parámetros.
0.0 0.2 0.4 0.6
0.0 0.2 0.4 0.6
Distribución final del cuántil GEV 95%.
7
8
9
10
11
8
9
10
µ
11
0 1 2 3 4 5 6
0.00 0.02 0.04 0.06
σ
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
ξ
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50
60
70
80
90
Q0.95
UNM
Un aspecto interesante
El enfoque Bayesiano ofrece una distribución predictiva
Z
f
p(y |y ) = f (y f |θ)p(θ|y )dθ
donde y f representa una observación futura.
Un cuántil empírico approxima, el valor y ∗ tal que
P[Y f ≤ y ∗ |y ] = 1 − p
Para los datos de lluvia en Venezuela p = 0.01 (cuántil
99%).
Por EMV, el cuántil GEV es 152.3.
Media aposteriori del cuántil GEV, 157.35.
Approximación con la predictiva 162.87.
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UNM
Artículo Coles y Powell (1996)
Uno de los primeros artículos en el tema.
Distribuciones iniciales con conocimiento experto.
Uso de una Gamma sobre q1 , q2 − q1 y q3 − q2 .
Estimadores Bayesianos más estables que los de MV a
medida que el tamaño de los datos incrementa.
Estimación de µ ’bien calibrada’. Mas difícil estimar σ y ξ.
Tambien se mencionan modelos de umbral.
Libreria en R evdbayes (Stephenson y Ribatet).
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UNM
Extremos para casos no-estacionarios
y1 , y2 , . . . , ym son ind., yt ∼ GEV (µt , σ, ξ).
Función determinista (regresión en t):
µt
= β0 + β1 t;
µt
= β0 + β1 + β2 t + β3 t 2 ;
µt
= β0 + β1 Xt .
Se puede modelar σt y ξt en términos de t.
Tratar µ1 , µ2 , . . . , µm como una serie de tiempo.
Modelos Espacio-Estado o Modelos Dinámicos Lineales.
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UNM
Distribución GEV con Modelos Dinámicos
y1 , y2 , . . . , ym , yt ∼ GEV (µt , σ, ξ), t = 1, . . . , m.
n
o
−1/ξ
Ht (yt ) = exp −[1 + ξ(yt − µt )/σ]+
µt
= θt + t ;
θt
= θt−1 + ωt ;
0
Forma general: µt = Ft θt + t ; θt = Gt θt−1 + ωt .
Iniciales: p(σ) ∼ LN(mσ , sσ ) ; p(ξ) ∼ N(mξ , sξ );
θ0 ∼ N(m0 , C0 ).
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UNM
Algunos resultados para los datos de lluvia
Media ’a-posteriori’ de µt and θt .
Intervalos al 95 % de ‘credibilidad’ para µt .
20
Ajuste por MV µt = β0 + β1 t.
0
5
10
15
µ
θ
a + bt
1960
1970
1980
1990
2000
Time
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UNM
Estimación de Cuántiles
Son variantes en el tiempo.
120
140
Considera no-linealidades y sesgos.
80
0
20
40
60
Rainfall
100
95%
75%
50%
5%
1960
1970
1980
1990
2000
Time
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UNM
MCMC para el modelo GEV-Dinámico
Y = (y1 , y2 , . . . , ym ), µ = (µ1 , µ2 , . . . , µm ) y
θ = (θ1 , θ2 , . . . , θm ).
p(µt |yt , σ, θt , V ); t = 1, . . . , m se simula con pasos
Metropolis-Hastings.
p(σ|Y , µ, ξ) and p(ξ|Y , µ, σ) tambien con pasos M-H.
V se muestra con una Inversa Gamma.
W se modela con Factores de Descuento.
θt , con métodos para modelos espacio-estado
condicionalmente Gausianos.
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UNM
Diagnóstico del Modelo
La gráfica esta basada en Z̃t =
1
ξ̂
n
“
”o
log 1 + ξˆ yt −σ̂µ̂t
La gráfica consta de los pares {i/(m + 1), exp(−exp(−z̃(i) ))}
0.0
0.2
0.4
Model
0.6
0.8
1.0
Residual Probability Plot
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Empirical
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UNM
Modelos espaciales para extremos
Casson y Coles (1999) modelaron velociades de viento en
huracanes.
Cooley, Nychka y Naveau (2007) mapa de riesgo para un
evento de precipitación extrema.
Huerta y Sansó (2007) modelo espacio temporal para
máximos de ozono en el D.F.
Sang y Gelfand (2008) modelo espacial para precipitación
en Sudafrica.
Cooley y Sain (2008) precipatación extrema generada por
un RCM.
Trabajo con estudiante de doctorado en UNM (Glenn
Stark).
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UNM
Salida numérica para un modelo regional de clima
Modelo “mesoscala” Penn State/NCAR (MM5).
20 años de precipitación extrema de una corrida control (“Invierno”).
El dominio espacial es 56 × 44 = 2464.
50
200
50
200
45
150
45
150
100
40
Precipitation Data (t = 2)
40
Precipitation Data (t = 1)
100
−125 −120 −115 −110 −105
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50
35
35
50
−125 −120 −115 −110 −105
UNM
Campo Aleatorio Gaussiano
Modelo con estructura Markoviana (vecinos).
Se usan Matrices de Precisión no covarianza.
15
30
25
20
row
10
5
Biharmonic Difference Operator Matrix
2nd−order, 5 Rows, 6 Columns
5
10
15
20
25
30
column
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UNM
Campo Gaussiano de Markov
Vector aleatorio X (dim. n) con parámetros η y Q.
Gráfica G = (V , E) con nodos y vertices tales que
Qij 6= 0 ⇐⇒ i ∼ j.
La densidad de X es
f (x) = (2π)
− n−k
2
1
0
(|Q| ) exp − (x − η) Q(x − η)
2
∗
1
2
Caso impropio: |Q|∗ es el producto de los n − k
eigenvalores de Q distintos de cero.
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UNM
Definición de la matriz Q
La matriz define estructura en una retícula con r filas y c columnas.
Matriz simétrica y semi-positiva definida con rango r × c − 3.
1
8 −2
20
Prec  xi∣x−i=20k
E  x i∣x −i =
xi
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1

UNM
Un modelo jerárquico
Primer nivel:
Yi,j,t ∼ GEV (µ∗i,j,t , σ, ξ); i = 1, . . . , 56; j = 1, . . . , 44; t =
1, . . . , 20.
µ∗i,j,t = µi,j + φt tiene una componente espacial y otra
temporal.
Segundo nivel:
µ ∼ GMRF (0, θQ) donde Q es una matriz de precisión de
segundo orden.
φ1 = 0, φi ∼ N(µφ , τφ ); i = 1, . . . , 20.
Distribuciones iniciales:
µφ ∼ N(0, 10−6 ) y τφ ∼ Gamma(1, 1),
θ ∼ LN(mθ , sθ ),
σ ∼ LN(mσ , sσ ),
ξ ∼ N(mξ , sξ ).
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UNM
Resultados del modelo ’Espacial-Temporal’
MCMC con 20000 iteraciones, 10000 iniciales.
Media de la distribución final de µ.
Posterior Mean of µ
50
100
45
80
40
60
35
40
20
−125
−120
−115
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−110
−105
UNM
Diagramas de caja para φi
Basados en las muestras MCMC.
Miden la variabilidad temporal.
●
●
●
4
●
●
●
2
0
−2
−4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
−8
−6
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
φ7
φ8
φ9 φ10 φ11 φ12 φ13 φ14 φ15 φ16 φ17 φ18 φ19 φ20
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UNM
Distribuciones finales para σ, ξ y θ
Density
500
60
Density
10.20
10.30
10.40
10.50
0
0
0
20
40
4
2
Density
6
1000
80
8
100
1500
Distribuciones bien comportadas.
Tenemos un caso Fréchet.
0.140
0.150
σ
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0.160
ξ
0.170
0.0065 0.0070 0.0075 0.0080 0.0085
θ
UNM
Estimación de cuántiles
Basados en la distribución predictiva.
Conceptualmente simple pero intensivo.
75th Percentile
50
50
Median
150
45
45
150
100
40
40
100
50
35
35
50
0
0
−125
−120
−115
−110
−125
−105
−115
−110
−105
150
45
45
150
50
99th Percentile
50
95th Percentile
−120
100
40
40
100
50
35
35
50
0
−125
−120
−115
−110
−105
www.stat.unm.edu/∼ghuerta
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0
−125
−120
−115
−110
−105
UNM
Distribución Predictiva en Albuquerque,NM
Posterior Predictive Density
(Albuquerque)
99th %tile
92.9
0.020
95th %tile
63.6
0.000
0.010
Density
0.030
50th %tile
28.8
0
50
100
150
y
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UNM
Variabilidad espacial en σ y ξ
Ajustes puntuales de la GEV.
Mapas de los parámetros de escala y forma.
σ
ξ
50
50
35
0.5
30
40
15
45
latitude
20
0.0
40
latitude
45
25
−0.5
35
35
10
5
−125
−120
−115
−110
−105
longitude
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−125
−120
−115
−110
−105
longitude
UNM
Red de monitoreo atmosférico en el D.F.
Estaciones que miden ozono.
19.55
ωj es un nudo para centrar kernel.
TLA
19.50
ω13
ω9
ω10 LAG
MER
19.35
ω12
ω7
ω8
ω3
ω4
UIZ
CES
TAX
19.30
ω11
HAN
ω6
BJU
PLA
ω1
ω16
CHA
TAC
ω5
CUA
SAG
ω15
AZC
19.40
latitude
19.45
EAC
XAL
ω14
PED
ω2
19.25
TAH
TPN
−99.3
−99.2
−99.1
−99.0
−98.9
longitude
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UNM
Artículo Huerta y Sansó (2007)
Máximos diarios de ozono (sin covariables).
Suponiendo independencia condicional, modelar los
parámetros de la distribucion GEV como:
El parámetro de localización através de un modelo
Dinámico lineal.
Los parámetros de escala y forma no varian en el tiempo (o
espacialmente).
Extensión a un modelo espacio temporal via kernel de
convolución.
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UNM
Análisis de tendencias en una Estación
0.2
θt
µt
0.0
0.1
ozone
0.3
Estación Merced.
Estimación de µt , θt del modelo Dinámico.
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
Time
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UNM
Modelo jerárquico
ys,t ∼ GEV (µs,t , σ, ξ); s = 1, . . . , 19, t = 1, . . . , 365
( −1/ξ )
ys,t − µs,t
Hs,t (ys,t |µs,t , ξ, σ) = exp − 1 + ξ
σ
+
Para cada t, µt = (µ1,t , µ2,t , . . . , µS,t )0 .
(σ, ξ) constantes a tiempo-espacio.
Proceso de convolución for µt :
µt
= K θt + t ;
θt
= θt−1 + νt
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UNM
K se define con un kernel Gaussiano
Kij
= k (si − ωj );
k (si − ωj ) ∝ exp(−d||si − ωj ||2 /2)
si representa la estación i.
ωj es un nudo del kernel j.
d es un paramétro de rango; d = cφ; 1/2 < c < 2;
φ es la distancia entre nudos.
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UNM
Ajuste en cuatro estaciones
XAL
1
0
−2
−1
Sample Quantiles
1
0
−1
−2
−3
Sample Quantiles
2
2
3
AZC
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
Theoretical Quantiles
Theoretical Quantiles
TPN
TAH
1
2
3
1
2
3
−3
0
−1
−4
−3
−2
Sample Quantiles
1
0
−1
−2
Sample Quantiles
1
2
2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Theoretical Quantiles
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−3
−2
−1
0
Theoretical Quantiles
UNM
Mapas retrospectivos de la mediana
−99.0
−98.9
−99.1
−99.0
−98.9
−99.1
BJU
PLA
19.25
19.55
UIZ
TAH
PED
CES
−99.2
−99.1
19.55
19.35
19.55
−99.0
XAL
−98.9
CHA
TAC
LAG
MER
CUA
−99.0
−98.9
UIZ
TAH
CES
−99.2
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−99.1
UIZ
TAH
CES
TAX
TPN
−99.3
−99.2
−99.1
TLA
EAC
−99.0
XAL
−98.9
CHA
TAC
CUA
−99.0
−98.9
LAG
MER
HAN
BJU
PLA
UIZ
TAH
CES
TAX
TPN
−99.3
SAG
AZC
PED
TAX
TPN
−99.3
HAN
BJU
PLA
CUA
SAG
CHA
LAG
MER
HAN
BJU
PLA
−98.9
day 270
SAG
AZC
PED
TAX
TPN
−99.3
EAC
HAN
19.35
CUA
TLA
19.45
CHA
LAG
MER
XAL
TAC
PED
TAX
−99.2
−99.0
AZC
day 263
SAG
AZC
TAC
CES
TPN
−99.3
19.25
19.55
19.45
19.35
XAL
UIZ
TAH
day 258
TLA
EAC
−99.1
TLA
EAC
19.55
−99.1
BJU
PLA
CUA
CES
TAX
−99.2
HAN
19.35
LAG
MER
UIZ
TAH
day 191
SAG
CHA
TAC
HAN
TPN
−99.3
19.45
XAL
AZC
PED
TAX
−99.2
−98.9
19.25
19.55
19.35
CES
TPN
−99.3
−99.0
19.45
PED
19.25
UIZ
TAH
EAC
HAN
BJU
PLA
CUA
TLA
19.45
CHA
LAG
MER
PLA
CUA
SAG
CHA
LAG
MER
BJU
day 127
SAG
AZC
TAC
XAL
AZC
TAC
PED
TAX
−99.2
19.25
19.55
19.45
19.35
XAL
CES
TPN
−99.3
day 69
TLA
EAC
UIZ
TAH
EAC
HAN
19.35
−99.1
PLA
CUA
19.45
CHA
LAG
MER
BJU
PED
TAX
TPN
−99.2
AZC
TAC
TLA
19.25
CES
day 63
SAG
19.25
PED
19.25
UIZ
TAH
EAC
XAL
HAN
BJU
PLA
−99.3
19.55
CHA
LAG
MER
TLA
19.45
AZC
TAC
CUA
day 61
SAG
19.35
19.45
19.35
EAC
XAL
19.25
19.55
day 47
TLA
−99.2
−99.1
−99.0
−98.9
UNM
Medida de Dependencia Asintótica
Para las estaciones s y s∗ : χ(u) = Pr (Ut,s > u|Ut,s∗ > u).
1.0
Curvas en relación a la estación AZC.
0.0
0.2
0.4
χ(u)
0.6
0.8
TAC
XAL
TPN
TAH
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
u
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Algunos comentarios
Modelos Bayesianos jerárquicos basados en la
distribución GEV.
Flexibles para estimación de cuantiles a tiempo/espacio.
Ejemplo Precipitación. Enfasis en el aspecto espacial.
Ejemplo ozono. Enfasis en el aspecto temporal.
Basados en Campos aleatorios Gaussianos.
Cálculos con MCMC. Convergencia?
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Comentarios y Extensiones
Hipótesis de independencia condicional.
Comunmente se utiliza para modelos espaciales
no-gaussianos.
No permite modelar efectos locales en las observaciones.
Modelos con Cópulas (Sang y Gelfand (2008)).
Dist. conjunta se expresa através de marginales.
Es dificil decidir que cópula usar (Gaussiana?)
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Extensiones
Modelos multivariados para Valores Extremos
La busqueda del cáliz de oro.
Modelos para bloque en máximos y umbrales.
Modelos existentes para dimensiones ≤ 5.
No hay análogo a la Distribución Normal Multivariada.
Procesos Max Estables
Justificados por la teoría de Valores Extremos.
Libreria en R SpatialExtremes.
Métodos Bayesianos con verosimilitudes compuestas
(Ribatet, et. al. (2009))
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Referencias
Casson, E. and Coles, S. (1999) Spatial Regression Models for
Extremes. Extremes, 4, 449-468.
Coles, S. (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme
Values. Springer Verlag.
Coles, S. and E. Powell (1996). Bayesian methods in extreme value
modelling: A review and new developments. International Statistical
Review 64, 119.
Cooley, D., D. Nychka, and P. Naveau (2007). Bayesian spatial
modeling of extreme precipitation return levels. Journal of the American
Statistical Association 102, 824-840.
Cooley, D. and Sain, S. R. (2008). Spatial hierarchical modeling of
precipiation extremes from a regional climate model. Accepted by
JABES.
Fuentes, M., J. Henry, and B. Reich (2009). Nonparametric spatial
models for extremes: Application to extreme temperature data.
Technical report.
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Referencias
Huerta, G. and B. Sanso (2007). Time-varying models for extreme
values. Environmental and Ecological Statistics 14, 285-299.
Ribatet, M., Cooley, D., and Davison, A. C. (2009). Bayesian inference
for composite likelihood models and an application to spatial extremes.
Submitted.
Sang, H. and Gelfand, A. E. (2008). Continuous spatial process models
for spatial extreme values. To appear, JABES.
Sang, H. and Gelfand, A. E. (2009). Hierarchical modeling for extreme
values observed over space and time. Environmental and Ecological
Statistics, 16:407-426.
Schliep, E., D. Cooley, S. Sain, and J. Hoeting. A comparison study of
extreme precipitation from six different regional climate via spatial
hierarchical modeling. Extremes (to appear).
Stephenson, A. and J. Tawn (2004). Bayesian inference for extremes:
accounting for the three extremal types. Extremes 7, 291-307.
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