Material Docente - del Departamento de Economía Aplicada III

Estadı́stica Actuarial y Análisis de Regresión
Autor:
M. Victoria Esteban González
Departamento de Economı́a Aplicada III. Econometrı́a y Estadı́stica
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad del Paı́s Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea
Queda terminantemente prohibida la reproducción no autorizada de este material docente, y la
distribución no autorizada de copias de la misma, ası́ como cualquier otra infracción de los derechos
que sobre esta recopilación corresponden a la Profesora Ma Victoria Esteban junto con el Departamento de Econometrı́a y Estadı́stica de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la
UPV/EHU.
c
°UPV/EHU
2012.
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
ii
Presentación
El objetivo de este documento es introducir un conjunto de técnicas estadı́sticas y econométricas
para la estimación de modelos lineales en situaciones donde se cumplen las hipótesis estadı́sticas de
comportamiento habituales. Se pretende introducir al alumno en el análisis de regresión, por lo que
previo a un repaso de aspectos fundamentales de la estimación de parámetros y sus propiedades y
de la inferencia estadı́stica se estudia en detalle el Modelo de Regresión Lineal General. El objetivo
fundamental del curso es que, al final del mismo, los estudiantes sean capaces de utilizar el modelo
de regresión para resolver un problema sencillo que se les plantee: desde la especificación, estimación
y validación del modelo hasta contrastar hipótesis de relevancia económica y predecir. Este objetivo
se ha de satisfacer tanto desde un punto de vista teórico, resolver cuestiones y explicar resultados ya
obtenidos, como práctico: estimar un modelo con una base de datos concreta y realizar los contrastes
pertinentes.
Estas notas incluyen seis temas más un tema inicial que aborda la descripción gráfica y numérica
de una variable más un tema final con orientaciones dirigidas al desarrollo por parte de los alumnos
de un proyecto final donde se muestre la evolución de un caso práctico de interés. Los contenidos
se estructuran entorno a dos núcleos centrales, el análisis de la información que podemos extraer
de una única variable y el estudio de cómo se relacionan las variable entre sı́. El análisis de una
única variable ocupa los contenidos de los tres primeros temas. En el tema uno se estudian los
conceptos de variable aleatoria, discreta y continua, junto con sus distribuciones de probabilidad.
Se estudian las distribuciones, normal, chi-cuadrado, t-student y F-Snedecor ası́ como los conceptos
de población y muestra. El tema 2 introduce la estimación por punto y por intervalo. El tema 3
aborda el diseño de pruebas estadı́sticas y el contraste de hipótesis.
Cómo se relaciona una variable con otras ocupa el contenido de los temas cuatro a seis. El tema
cuatro introduce la nomenclatura y conceptos más habituales a manejar en el contexto del análisis
de regresión. El tema cinco aborda el análisis de regresión a través del modelo de regresión lineal
general. Su especificación, estimación y el contraste de hipótesis ocupan este tema. El estimador de
referencia es el estimador de Mı́nimos Cuadrádos Ordinarios. Se estudiaran sus propiedades y cómo
compararlo con otros estimadores de interés. El último tema muestra cómo analizar si alguna de las
hipótesis estadı́sticas de comportamiento habituales no se cumplen y cuáles son las consecuencias
de su incumplimiento para finalizar abordando la predicción de la variable de interés.
A lo largo de los temas se va mostrando cómo utilizar un software libre, el programa gretl, especialmente indicado para el análisis econométrico y que permite un afianzamiento de los contenidos
teóricos. Por ello, al final de los temas tres, cinco y seis se incluye una sección que muestra cómo
utilizar este programa en relación a los contenidos vistos. En cada tema se muestran ejemplos que
iii
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
ilustran los diferentes escenarios de trabajo ası́ como se recomienda la realización de los ejercicios propuestos. Al término de cada tema se muestra la bibliografı́a correspondiente. Al final del
documento aparece la bibliografı́a completa.
Las notas tienen como objetivo servir de apoyo al proceso de aprendizaje de los estudiantes de la
asignatura Estadı́stica Actuarial: Regresión del Grado en Finanzas y Seguros. Sin embargo, dada
su temática básica de estadı́stica y análisis de regresión pueden ser útiles en asignaturas afines
de los Grados en Economı́a, Administración y Dirección de Empresas, Marketing y Fiscalidad y
Administración Pública. Ası́ mismo sirven de apoyo a estudiantes de master por ejemplo el Master
Universitario en Economı́a: Instrumentos del Análisis económico o el Máster Universitario en Banca
y Finanzas Cuantitativas.
Las competencias especı́ficas de la asignatura y la evaluación
La asignatura de Estadı́stica Actuarial: Regresión es una asignatura de 6 créditos ECTS que conlleva
60 horas de trabajo presencial en el aula y 90 horas de trabajo no presencial. La metodologı́a y
modalidades docentes a utilizar están sujetas al criterio del docente y pueden variar cada curso
académico. Hay que tener en cuenta que la organización de la metodologı́a docente junto con el
diseño de los contenidos de los temas del curso van dirigidos a que los alumnos alcancen las siguientes
competencias especı́ficas de la asignatura:
1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, ası́ como sus propiedades para
poder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.
2. Aplicar la metodologı́a estadı́stica adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para la
toma de decisiones en el ámbito profesional.
3. Analizar de forma crı́tica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprender
la lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variables
económicas.
4. Aplicar la metodologı́a econométrica básica para estimar y validar relaciones económicas en
base a la información estadı́stica disponible sobre variables económicas y utilizando los instrumentos informáticos apropiados.
5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadı́stico de datos económicos haciendo
uso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.
6. Presentar de forma clara y concisa, tanto oralmente como por escrito, las conclusiones obtenidas en un caso de estudio particular.
El sistema actual de docencia dentro del EEES tiene como ejes fundamentales el proceso de enseñanza-aprendizaje y la adquisición no sólo de conocimientos, sino también, y fundamentalmente,
de destrezas implica directamente la valoración del trabajo diario del alumno y su evolución en la
adquisición de las competencias. La utilización de la evaluación continua en la evaluación de los
alumnos implica la realización, junto con otras pruebas y tareas que el docente crea de interés, de
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Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
test rápidos o de preguntas cortas en relación a todo lo visto en las clases, conceptos teóricos y
ejercicios prácticos incluido el software gretl que permitan evaluar al alumno y saber si han adquirido los resultados del aprendizaje alcanzando ası́ las competencias especı́ficas. Parte de las pruebas
tendrán componente de sorpresa, es decir sin previo aviso, y parte serán pactadas en cuanto a fecha.
Como se indicaba anteriormente estas notas sirven de apoyo al estudio. Analizan los problemas en
profundidad y permiten al alumno profundizar en los temas que conforman el contenido del curso.
Ası́ mismo tienen una fuerte vertiente práctica que permitirá al alumno no solo saber sino también
saber hacer. En ningún caso deben utilizarse como sustituto de los libros incluidos en la bibliografı́a.
De igual manera se recomienda la realización de ejercicios tanto los recomendados en clase como los
que aparecen en la bibliografı́a. La unión del estudio de los conceptos y la utilización de los mismos
en los ejercicios permite adquirir la agilidad necesaria para el dominio de la asignatura y alcanzar
las competencias especı́ficas de la misma.
Sobre el software gretl
A lo largo del curso se muestra cómo utilizar un software gretl que permite al alumno un afianzamiento de los contenidos teóricos del curso de Econometrı́a como la puesta en práctica de casos
reales con la utilización del software gretl1 .
gretl es software libre especialmente dirigido hacia la práctica de la econometrı́a y la estadı́stica,
muy fácil de utilizar. Ha sido elaborado por Allin Cottrell (Universidad Wake Forest) y existen
versiones en inglés, castellano y euskera, además de en otros idiomas. Junto con el programa se
pueden cargar los datos utilizados como ejemplos de aplicaciones econométricas en los siguientes
libros de texto Davidson y Mackinnon (2004), Greene (2008), Gujarati (1997), Ramanathan (2002),
Stock y Watson (2003), Verbeek (2004), Wooldridge (2003). Al instalar gretl automáticamente se
cargan los datos utilizados en Ramanathan (2002) y Greene (2008). El resto se pueden descargar
de la página:
http : //gretl.sourcef orge.net/gretl− data.html
en la opción textbook datasets. Este curso se estructura sobre casos prácticos presentados en Ramanathan (2002) y en Wooldridge (2003) y ejercicios a resolver con ayuda de gretl.
También da acceso a bases de datos muy amplias, tanto de organismos públicos, como el Banco de
España, como de ejemplos recogidos en textos de Econometrı́a. En la página
http : //gretl.sourcef orge.net/gretl− espanol.html
se encuentra la información en castellano relativa a la instalación y manejo del programa. También
hay versiones de esta ayuda en euskera y en inglés.
Una página web interesante sobre las posibilidades del programa para el aprendizaje de Econometrı́a
es:
http://www.learneconometrics.com/gretl.html
1
Acrónimo de Gnu Regression, Econometric and Time Series (Biblioteca Gnu de Regresión Econometrı́a y Series
Temporales)
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Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
vi
Contenido
0. Introducción
1
0.1. La naturaleza de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.2. Clasificación de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.3. Representación gráfica de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.4. Descripción numérica de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
0.5. Tratamiento de la información con gretl : inclusión de datos en gretl y análisis descriptivo básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
0.6. Bibliografı́a del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1. Variables Aleatorias. Población y muestra
19
1.1. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Ejemplos . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad
21
. . . . . . . .
21
1.1.2. Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad . . . . . . . .
22
1.1.3. Esperanzas y variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.1.4. Dos variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.5. Más de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2. La distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.2.1. La distribución normal estandarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.2.2. La distribución chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1.2.3. La distribución t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1.2.4. La distribución F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3. Muestreo de una población. Muestras aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.4. Estadı́sticos y distribuciones en el muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.5. La distribución de la media muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.6. Bibliografı́a del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
vii
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2. Estimación por punto y por intervalo
47
2.1. Introducción a la inferencia estadı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2. Estimadores puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.2.2. Estimadores de la media y la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.3. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.3.1. Intervalos de confianza y nivel de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.3.2. Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianza
conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.3.3. Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianza
desconocida. La distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3.4. Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.4. Bibliografı́a del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3. Contraste de hipótesis
61
3.1. Concepto de hipótesis nula e hipótesis alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.2. Tipos de error en el contraste y potencia de un contraste . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.3. El p-valor y conclusiones del contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.4. Pasos en la realización de un contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.5.1. Contrastes de la media de una distribución normal . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.5.2. Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.6. Bibliografı́a del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4. Modelo econométrico: introducción
73
4.1. Modelo económico y modelo econométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2. Etapas en la elaboración de un modelo econométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.3. Tipologı́a de datos y variables en Econometrı́a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.3.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.3.2. Fuentes de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.4. Bibliografı́a del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5. Modelo de Regresión Lineal General
85
5.1. Especificación del Modelo de Regresión Lineal General (MRLG): supuestos básicos .
viii
88
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.1.1. Hipótesis básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
5.2. Forma funcional. Interpretación de los coeficientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.3. Estimación por Mı́nimos Cuadrados Ordinarios (MCO) . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1. Método de estimación de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios (MCO) . . . . . . . 101
5.3.2. Propiedades de la Función de Regresión Muestral, FRM . . . . . . . . . . . . 107
5.3.3. Medidas de bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4. Propiedades de los estimadores MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.1. Propiedades de los estimadores MCO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.2. Estimación de la varianza de las perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.3. Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: colinealidad . . . . . 116
5.4.4. Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: omisión de variables
relevantes e inclusión de variables irrelevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5. Utilización de variables explicativas cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5.1. Modelo que recoge sólo efectos cualitativos: comparando medias. Sólo un conjunto de variables ficticias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5.2. Dos o más conjuntos de variables ficticias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.3. Inclusión de variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5.4. Comportamiento estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5.5. Efectos de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.6. Distribución del estimador MCO. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6.1. Distribución del estimador de MCO bajo Normalidad . . . . . . . . . . . . . 130
5.6.2. Estimación por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.7. Contraste de hipótesis sobre los coeficientes de la regresión . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.7.1. Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresión individuales . . . 131
5.7.2. Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresión . . . . . . . . . . 133
5.7.3. Contrastes basados en sumas de cuadrados de residuos . . . . . . . . . . . . . 137
5.8. Estimación del MRLG con gretl : principales resultados, contraste de hipótesis . . . . 154
5.8.1. Tratamiento de las variables ficticias en gretl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.9. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.9.1. Anexo 1. Distintas expresiones de SCT, SCE y SCR . . . . . . . . . . . . . . 163
5.9.2. Anexo 2. Demostración de la insesgadez de σ̂ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.9.3. Anexo 3. Distribuciones que nos interesan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
ix
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.10. Bibliografı́a del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6. Validación
6.1. Forma funcional
167
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2. Sobre constancia de los coeficientes: contraste de cambio estructural . . . . . . . . . 171
6.3.
Sobre las perturbaciones: contrastes de heterocedasticidad y ausencia de correlación 172
6.3.1. Contraste de heterocedasticidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3.2. Detección gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3.3. Contraste de White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.3.4. Contraste de ausencia de correlación temporal
. . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.4. Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.5. Validación en gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5.1. Contraste de Ramsey con gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5.2. Contraste de cambio estructural o Chow con gretl
. . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5.3. Contraste de heterocedasticidad con gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.5.4. Contraste de ausencia de correlación con gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.5.5. Predicción en gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.6. Bibliografı́a del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7. Guı́a para el desarrollo de un proyecto empı́rico
205
7.1. Caracterı́sticas básicas del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Bibliografı́a
209
x
Figuras
1.
No de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economı́a. . . . . . . . . .
6
2.
Distribución de frecuencias del gasto en sanidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.
Distribución de frecuencias relativas y evolución temporal del la demanda doméstica
de electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.
Evolución temporal del consumo y renta per cápita junto a la nube de puntos . . . .
10
5.
Gráficos de las observaciones para las variables price y sqf t . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1. Distribución normal bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.2. Ejemplos de función de densidad de la distribución normal
. . . . . . . . . . . . . .
35
1.3. Función de distribución acumulada de la distribución normal . . . . . . . . . . . . .
35
1.4. Probabilidades correspondientes a Z = 1, 65 y Z = −1, 65 en la distribución normal
estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.5. Función de densidad de la distribución Chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.6. Función de densidad de la distribución t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.7. Función de densidad de la distribución F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.1. Sesgo y varianza de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.2. Ejemplos de distribución de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.1. Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.2. Función de regresión poblacional y función de regresión muestral . . . . . . . . . . . 101
6.1. Relaciones económicas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2. Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3. Residuos MCO versus P OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.4. Residuos MCO versus P OP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5. Residuos MCO y sus cuadrados versus SEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
xi
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
6.6. Perturbaciones homocedásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.7. Residuos MCO frente a una variable ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.8. Proceso autorregresivo de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.9. Perturbaciones AR(1) positivo versus AR(1) negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.10. Variable endógena versus exógena
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.11. Gasto sanitario real y ajustado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.12. Residuos MCO versus RENTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.13. Residuos versus tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.14. Residuos en t versus residuos en t-1
6.15. Variable endógena versus exógena
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.16. Residuos modelo (6.20) versus tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
xii
Tablas
1.
No de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economı́a. . . . . . . . . .
6
2.
Gasto sanitario por estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.
Distribución de frecuencias para el gasto en sanidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.
Demanda doméstica de electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.
Distribución de frecuencias para la demanda doméstica de electricidad . . . . . . . .
9
1.1. Función de densidad de probabilidad conjunta f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.2. Distribuciones marginales para X e Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1. Datos sobre salario medio por hora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.2. Tamaño de la cadera para 50 individuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.1. Datos de caracterı́sticas de viviendas. Fichero 4-1.gdt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2. observaciones muestrales de la prima pagada y renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1. Observaciones sobre rendimiento y t/i por paı́s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.1. Modelos estimados para el precio de la vivienda P RICE
. . . . . . . . . . . . . . . 208
7.2. Función de Salarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
xiii
Tema 0
Introducción
La Estadı́stica, la Econometrı́a y muchas otras materias se alimentan de datos. En ocasiones el
número de datos u observaciones recogidas es tan grande que no es fácil obtener unos resultados
interpretables con claridad. En este tema vamos a dedicar las clases a resumir de forma clara y
precisa la información que nos transmiten los datos sin ocultar caracterı́sticas importantes. No hay
una estrategia correcta para ello en general depende del tipo de datos y del fin del estudio. En este
tema vamos a introducir gráficos y tablas que resuman la información de los datos, por ejemplo
gráficos de barra, tarta, gráficos de series temporales. Los gráficos, diagramas y tablas pueden
mejorar la comunicación de los datos a los clientes u proveedores.
A lo largo del tema se han introducido ejemplos ilustrativos de los conceptos a aprender.
Competencias a trabajar en estas sesiones:
5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadı́stico de datos económicos haciendo
uso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.
Al final de este tema deberı́ais ser capaces de:
1. Representar gráficamente variables.
2. Describir numéricamente los datos observados.
3. Incluir datos en gretl y obtener su análisis descriptivo básico.
Bibliografı́a Recomendada:
Al final del tema tenéis recogida la bibliografı́a correspondiente. En particular se os recomienda leer
los capı́tulos correspondientes a la bibliografı́a básica detallados a continuación:
1
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.
• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 1, Cap. 2 y Cap. 3.
• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.
• Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Cap. 1
• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice B.
2
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
0.1.
La naturaleza de los datos
En la actualidad el individuo tiene a su disposición datos de casi todo aquello que desee conocer.
La Administraciones públicas, los entes privados y los investigadores cientı́ficos publican y recogen
datos. Es muy importante saber resumir e interpretar la información que proporcionan. Pensemos
en el lanzamiento de un nuevo producto al mercado. El productor necesitará conocer su nivel de
demanda potencial, todos sus posibles compradores. A este conjunto de todos sus posibles compradores se le denomina población. En ocasiones el tamaño de la población puede ser muy grande e
incluso infinito por lo que debemos limitarnos a estudiar una parte más reducida de la misma, que
denominamos muestra.
La población es el conjunto de todos los objetos que interesan al investigador. Al número de observaciones u objetos que conforman la población se le denomina tamaño de la población y se denota por
N . La muestra es un subconjunto observado de valores poblacionales. El número de observaciones
que conforman la muestra se denomina tamaño de la muestra y se denota por n.
El muestreo aleatorio simple o muestreo aleatorio es el procedimiento que se utiliza para seleccionar
una muestra de n observaciones de una población en el que cada miembro de la población se elige
estrictamente al azar. Cada miembro de la población se elige con la misma probabilidad y todas las
muestras posibles de un tamaño dado, n, tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.
Tomar una muestra y estudiar sus caracterı́sticas es un medio para extraer conclusiones sobre la
población. Por ejemplo si estamos interesados en conocer la renta media de las familias de un
paı́s, el tamaño de la población es tan grande que solo podrı́amos tomar una muestra aleatoria de
por ejemplo 1000 familias y calcular su renta media. Esta media basada en datos muestrales se
llama estadı́stico. Si pudiéramos calcular la renta media de todas las familias la media resultante
se llamarı́a parámetro. En este curso estudiaremos cómo se toman decisiones sobre un parámetro
basándonos en un estadı́stico. Trabajaremos en un entorno de incertidumbre ya que el valor exacto
del parámetro es desconocido. Un parámetro es una caracterı́stica especı́fica de la población. Un
estadı́stico es una caracterı́stica especı́fica de la muestra.
Una vez que tenemos definido un problema y recolectados los datos objeto de interés, estos se
analizan utilizando métodos estadı́sticos. La estadı́stica descriptiva y la estadı́stica inferencial permiten convertir los datos en conocimiento útil para la toma de decisiones. La estadı́stica descriptiva está formada por métodos gráficos y numéricos que permiten resumir y procesar los datos
convirtiéndolos en información. La estadı́stica inferencial permite hacer estimaciones, contraste de
hipótesis, predicciones y previsiones.
Una vez que tenemos recolectados los datos debemos transformarlos en información. Para ello
podemos llevar a cabo un análisis gráfico de los mismos y también un análisis descriptivo.
0.2.
Clasificación de las variables
Antes de abordar el estudio gráfico y el estudio descriptivo de los datos vamos a hablar de las
variables. Una variable es una caracterı́stica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible
de adoptar diferentes valores. Las variables pueden clasificarse de varias formas, por ahora lo haremos
3
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
en dos. Cuando las clasificamos según el tipo y la cantidad de información que contienen podemos
distinguir entre variables categóricas y numéricas. Cuando las clasificamos por nivel de medición
podemos distinguir entre variables cualitativas y cuantitativas.
Una primera clasificación divide los datos en variables categóricas y variables numéricas. Las variables categóricas son aquellas que generan respuestas que pertenecen a categorı́as o grupos. Por
ejemplo ¿tiene coche? ¿utiliza tarjeta de crédito? También son variables categóricas las respuesta a
preguntas sobre sexo, estado civil, nivel de educación y también lo son las respuestas con diferentes
grados de intensidad como las que van de totalmente de acuerdo a totalmente en desacuerdo.
Una variable numérica es aquella que toma valores. Una variable numérica discreta puede tener
un número infinito de valores, pero en general proviene de un proceso de recuento, por ejemplo
número de aprobados en Matemáticas II o el número de matriculados en una asignatura. Una variable numérica continua puede tomar cualquier valor en un intervalo dado de números reales y
normalmente proviene de un proceso de medición. Por ejemplo la altura y el peso, la temperatura,
el tiempo, la distancia entre dos puntos, etc.
También podemos clasificar los datos por su nivel de medición en variables cualitativas y cuantitativas. Variables cuantitativas son aquellas que podemos valorar numéricamente. Por ejemplo, la
renta disponible de una familia, el precio de un bien, la renta per cápita. Variables cualitativas
son aquellas que miden cualidades y que por lo tanto no se miden con un valor numérico y será el
investigador el que se lo asigne según un criterio. Por ejemplo, si un individuo es hombre o mujer, si
está o no casado, si trabaja en turno de noche o no, si tiene estudios superiores o no. En las variables
cualitativas es el investigador el que establece el valor de la variable para cada caracterı́stica.
Las variables cualitativas pueden tener niveles de medición nominales y ordinales mientras que los
datos cuantitativos pueden tener niveles de medición basados en intervalos y en razones. Son datos
nominales los que responden a preguntas categóricas, el sexo, el lugar de nacimiento, el estado civil.
Por ejemplo, la respuesta a la pregunta sexo del individuo son palabras que describen la categorı́a:
hombre, mujer y se ha de asignarlas un código de manera arbitraria, por ejemplo: hombre = 1,
mujer = 0, este valor solo se emplea para clasificar a los individuos, la diferencia entre ellos no
tienen ningún valor. Los datos ordinales indican el orden que ocupa el objeto, por ejemplo en una
encuesta pueden preguntar sobre el grado de dificultad de un determinado procedimiento y las
respuestas pueden ser: alto=1, medio=2, bajo=3. Las respuestas siguen un orden, son ordinales,
pero la diferencia entre ellas no tiene significado mensurable.
Los niveles de medición basados en intervalos y razones se refieren a datos en una escala ordenada
en los que la diferencia entre las mediciones tiene un significado. Una escala de intervalos indica el
orden y la distancia con respecto a un cero arbitrario medidos en intervalos unitarios, por ejemplo
el año es un dato de este tipo donde el nivel de referencia es el calendario gregoriano. Otro ejemplo
serı́a la temperatura. Los datos basados en una escala de razones indican el orden y la diferencia
con respecto a un cero natural y los cocientes entre dos medidas tienen un significado. Por ejemplo
una persona que tiene 90 años tiene el doble de años que una persona de 45 años. El peso, la altura
son variables de este tipo.
Con respecto a la unidad de medida los podemos clasificar en:
4
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
1. Datos de serie temporal: Reflejan la evolución de una variable a lo largo del tiempo, según esto
la variable estará ordenada cronológicamente con un orden lógico. Las variables medidas en
series temporales se denotan con el subı́ndice t y este puede referirse a observaciones temporales
mensuales, trimestrales, diarias, cuatrimestrales, anuales, etc. Ejemplo: la demanda doméstica
de electricidad (DDE) del segundo trimestre de 1972 al cuarto trimestre de 1993. En este caso
la población serı́an todos los posibles valores de dicha demanda DDE a lo largo del tiempo y
la muestra el perı́odo que vamos a estudiar, 1972:2-1993:4, el tamaño de la muestra es de 87
observaciones.
2. Datos de sección cruzada o corte transversal: Son datos atemporales dado que miden el comportamiento de una variable en diferentes unidades y en el mismo momento del tiempo.
Ejemplo: el salario de los trabajadores del sector de educación en las diferentes comunidades autónomas españolas en el año 2011.
3. Datos de panel : es la unión de datos de serie temporal y datos de sección cruzada. Están fuera
del objetivo del curso.
Hay que notar que una variable puede ser clasificada en varias de las categorı́as anteriores, una
variable cualitativa puede ser categórica nominal u ordinal. Una variable numérica discreta como la
edad, variable cuantitativa en su naturaleza puede ser convertida en una variable cualitativa cuando
por ejemplo en el estudio no nos interese más que conocer en que tramo de edad se encuentre el
individuo y por ejemplo lo clasifiquemos en menores de 25 años, entre 25 y 45 años y mayores de
45 años. Son tres tramos de edad y a cada uno de ellos le asignaremos un valor arbitrario. Además
serán datos de serie temporal o de sección cruzada.
Una vez recogidos los datos de interés y asignados los arbitrarios si es necesario podemos proceder
a analizarlos gráficamente.
0.3.
Representación gráfica de las variables
Las variables categóricas suelen representarse utilizando tablas de distribución de frecuencias y gráficos como los de barras, de Pareto o de tarta. Las variables numéricas se describen por histogramas,
ojivas y diagramas de tallo y hojas.
La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los
datos estadı́sticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. En principio, en la tabla de
frecuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el número
de veces que aparece, es decir, su frecuencia. Se puede complementar la frecuencia absoluta con la
denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos.
La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histograma o diagrama de barras.
Normalmente en el eje vertical se colocan las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores.
Ejemplo 0.1
La Tabla 1 muestra el número de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en
Economı́a en los cursos 2009-2010 y 2010-2011. Las clases que muestra la tabla son las
5
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
respuestas posibles a la variable categórica. La pregunta realizada es ¿Cuántos alumnos
han aprobado la asignatura XX en el curso Y Y ?
Asignatura
Microeconomı́a
Estadı́stica para economistas
Econometrı́a
2009-2010
60
89
85
2010-2011
76
98
105
Tabla 1: No de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economı́a.
La misma información muestra el gráfico de barras recogido en la Figura 1:
Figura 1: No de aprobados en tres asignaturas de la Licenciatura en Economı́a.
Ejemplo 0.2
La Tabla 2 muestra el gasto en sanidad, GS, en billones de dólares en el año 1993 para
los 50 estados de Estados Unidos junto con Washington DC:
Estado
WY
VT
DC
AK
ND
DE
SD
MT
RI
ID
CA
GS
0,998
1,499
4,285
1,573
2,021
2,260
1,953
2,103
3,428
2,277
94,178
Estado
NH
HI
ME
NV
NE
NM
WV
UT
AR
KS
GS
3,452
3,485
3,433
3,747
4,400
3,878
5,197
4,118
6,111
6,903
Estado
MS
IA
OR
OK
CT
CO
SC
KY
AZ
AL
GS
6,187
7,341
7,999
8,041
12,216
10,066
9,029
10,384
10,635
12,060
Estado
LA
MN
MD
WI
TN
MO
WA
IN
MA
VA
GS
13,014
14,194
15,154
14,502
16,203
15,949
15,129
16,401
23,421
16,682
Tabla 2: Gasto sanitario por estado
6
Estado
GA
NC
NJ
MI
OH
IL
PA
FL
TX
NY
GS
20,104
18,241
25,741
27,136
33,456
34,747
41,521
44,811
49,816
67,033
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Con los datos se ha construido la Tabla 3 de frecuencias. Se han construido cinco intervalos para los posibles valores de la variable. Para cada uno de ellos se ha calculado su
punto medio y el número de observaciones que caen dentro del intervalo y que aparecen
en la columna frecuencia. La columna relativa muestra la frecuencia relativa es decir el
porcentaje sobre el total de observaciones del número de observaciones que caen dentro
del intervalo. La columna acumulada agrega la frecuencia relativa del intervalo a la del
anterior.
Observaciones 1-51, número de cajas = 7,
media = 15,2649, desv.tı́p.=17,8877
intervalo
< 15,530
15,530 - 31,060
31,060 - 46,590
46,590 - 62,120
62,120 - 77,650
77,650 - 93,180
>= 93,180
punto medio
7,7650
23,295
38,825
54,355
69,885
85,415
100,94
frecuencia
35
9
4
1
1
0
1
relativa
68,63 %
17,65 %
7,84 %
1,96 %
1,96 %
0,00 %
1,96 %
acumulada
68,63 %
86,27 %
94,12 %
96,08 %
98,04 %
98,04 %
100,00 %
Tabla 3: Distribución de frecuencias para el gasto en sanidad
A partir de la tabla de frecuencias se pueden dibujar los siguientes gráficos de las distribuciones, a
la izquierda de frecuencia y a la derecha de frecuencia acumulada:
Figura 2: Distribución de frecuencias del gasto en sanidad
El gráfico de la izquierda es un histograma cuyos intervalos se corresponden con los de la tabla de
distribución de frecuencias. La altura de la barra es proporcional al número de observaciones del
intervalo. El gráfico de la derecha es una ojiva, muestra una lı́nea que conecta los puntos que son
el porcentaje acumulado de observaciones situadas por debajo del lı́mite superior de cada intervalo
en una distribución de frecuencias acumuladas.
En el histograma encontramos información sobre la muestra. Si la muestra está equilibrada, es decir
si las observaciones se distribuyen de forma uniforme a ambos lados del punto medio, la forma del
7
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
histograma será simétrica. En el ejemplo la muestra claramente no está equilibrada, esta sesgada
positivamente ya que se extiende hacia la derecha donde los valores son positivos. Si se extiende
hacia los valores negativos se dice que está sesgada negativamente.
Gráficas para datos de serie temporal
En el caso de disponer de datos de serie temporal además de analizar su distribución de frecuencias
nos interesará su evolución temporal.
Ejemplo 0.3
Se dispone de una muestra de observaciones sobre la demanda doméstica de electricidad
para el periodo de 1972:2 a 1993:4 en San Diego en millones de kilowatios/hora. Las
observaciones se recogen en la Tabla 4:
t
1972:2
1972:3
1972:4
1973:1
1973:2
1973:3
1973:4
1974:1
1974:2
1974:3
1974:4
1975:1
1975:2
1975:3
1975:4
1976:1
1976:2
1976:3
DDE
586,608
625,797
704,154
817,206
667,642
661,827
732,839
796,876
655,335
692,599
768,172
877,881
722,124
697,671
804,178
880,008
763,618
790,428
t
1976:4
1977:1
1977:2
1977:3
1977:4
1978:1
1978:2
1978:3
1978:4
1979:1
1979:2
1979:3
1979:4
1980:1
1980:2
1980:3
1980:4
1981:1
DDE
860,741
946,673
793,593
820,803
876,286
993,199
842,539
893,369
998,721
1135,091
901,289
942,471
1024,852
1068,690
914,884
930,812
969,382
1028,968
t
1981:2
1981:3
1981:4
1982:1
1982:2
1982:3
1982:4
1983:1
1983:2
1983:3
1983:4
1984:1
1984:2
1984:3
1984:4
1985:1
1985:2
DDE
883,718
958,449
980,453
1062,744
887,136
933,269
978,160
1020,435
917,487
975,387
998,109
1015,545
919,639
1040,188
1082,732
1164,663
945,277
t
1985:3
1985:4
1986:1
1986:2
1986:3
1986:4
1987:1
1987:2
1987:3
1987:4
1988:1
1988:2
1988:3
1988:4
1989:1
1989:2
1989:3
DDE
1062,046
1079,565
1137,534
992,370
1087,314
1107,644
1263,671
1054,402
1107,669
1214,441
1335,147
1122,214
1238,305
1233,677
1432,962
1156,211
1276,944
Tabla 4: Demanda doméstica de electricidad
La distribución de frecuencias correspondiente se muestra en la Tabla 5.
8
t
1989:4
1990:1
1990:2
1990:3
1990:4
1991:1
1991:2
1991:3
1991:4
1992:1
1992:2
1992:3
1992:4
1993:1
1993:2
1993:3
1993:4
DDE
1279,626
1485,453
1206,455
1394,055
1336,979
1455,121
1210,595
1261,056
1407,925
1446,215
1255,008
1504,511
1405,336
1512,306
1241,345
1405,036
1392,183
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Observaciones 1-87, número de cajas = 9,
media = 1035,08, desv.tı́p.=233,605
intervalo
< 644,46
644,46 - 760,18
760,18 - 875,89
875,89 - 991,60
991,60 - 1107,3
1107,3 - 1223,0
1223,0 - 1338,7
1338,7 - 1454,4
>= 1454,4
punto medio
586,61
702,32
818,03
933,74
1049,5
1165,2
1280,9
1396,6
1512,3
frecuencia
2
8
10
20
16
10
10
7
4
relativa
2,30 %
9,20 %
11,49 %
22,99 %
18,39 %
11,49 %
11,49 %
8,05 %
4,60 %
acumulada
2,30 %
11,49 %
22,99 %
45,98 %
64,37 %
75,86 %
87,36 %
95,40 %
100,00 %
Tabla 5: Distribución de frecuencias para la demanda doméstica de electricidad
A continuación se muestra la gráfica de la distribución de frecuencias relativas, a la
izquierda, y a la derecha la evolución temporal de la variable. El gráfico de frecuencias
muestra una distribución moderadamente asimétrica positiva. El gráfico de serie temporal mostrado a la derecha indica una tendencia creciente en la variable y un patrón
de comportamiento anual que se repite.
1600
0,25
1500
1400
0,2
1200
DDE
Frecuencia relativa
1300
0,15
1100
1000
0,1
900
800
0,05
700
600
0
600
800
1000
1200
1400
1600
500
1975
DDE
1980
1985
1990
Figura 3: Distribución de frecuencias relativas y evolución temporal del la demanda doméstica de
electricidad
Gráficas para describir relaciones entre variables
En muchas ocasiones los estudios se centran en las relaciones entre dos variables. En este caso la
gráfica de la nube de puntos informa tanto del rango como de la relación entre las variables. El
gráfico muestra la nube de puntos o pares de observaciones de las variables.
Por ejemplo podemos estudiar la relación entre el salario de un individuo y su antigüedad en la
empresa, la dependencia del precio de una vivienda con respecto a la superficie da la misma, la
relación entre consumo y renta, etc. En todos estos ejemplos una variable depende de la otra, el
consumo depende de la renta, el salario depende de la antigüedad en el puesto, el precio depende
de la superficie de la vivienda. A las variables consumo, precio de la vivienda y salario se les llama
9
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
variables dependientes porque depende de la renta, la superficie de la vivienda y la antigüedad
mientras que estas se denominan variables independientes ya que no dependen de otra. La variable
independiente (denotada habitualmente por X) se muestra en el eje de abscisas mientras que la
variable dependiente (denotada habitualmente por Y) se muestra en el eje de ordenadas.
Ejemplo 0.4
Supongamos que disponemos datos sobre consumo per cápita y renta per cápita en
dólares de 1987 para Estados Unidos en el periodo de 1970-1991. En el gráfico de la
izquierda se muestra la evolución temporal de ambas variables. A la derecha se muestra
la nube de puntos de ambas variables. La muestra consta de 22 observaciones luego
la nube está constituida por 22 puntos, para cada año un punto recoge el valor de la
variable consumo y el valor de la variable renta (P P CEt , P DP It ).
PPCE con respecto a PDPI (con ajuste mínimo−cuadrático)
15000
13500
PPCE
PDPI
Y = −1,22e+003 + 1,01X
13000
14000
12500
13000
12000
11500
PPCE
12000
11000
11000
10500
10000
10000
9500
9000
9000
8500
8000
10000
1970
1975
1980
1985
1990
10500
11000
11500
12000
12500
13000
13500
14000
PDPI
Figura 4: Evolución temporal del consumo y renta per cápita junto a la nube de puntos
El gráfico de serie temporal muestra que ambas variables evolucionan de forma pareja
y son crecientes con t. La nube de puntos muestra la misma relación creciente y lineal
entre las variables. La recta que aparece en la nube de puntos muestra esta relación
lineal. A esta recta se le llama función de regresión muestral y nos ocuparemos de ella
en el tema 5.
0.4.
Descripción numérica de los datos
En la sección anterior se han descrito los datos de una muestra gráficamente. En esta sección vamos
a describirlos numéricamente con medidas de tendencia central, medidas de variabilidad y medidas
del sentido y del grado de relación entre dos variables.
Medidas de la tendencia central: Las medidas de tendencia central dan información numérica
sobre una observación “tı́pica”de los datos.
• Media aritmética o media muestral: La media aritmética de un conjunto de datos es la suma de
los valores de los datos dividida por el número de observaciones.
Pn
Xi
X1 + X2 + . . . + Xn
X̄ = 1
=
n
n
10
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Mediana: es la observación que ocupa el lugar central de un conjunto de observaciones ordenadas
en sentido ascendente o descendente. Si el tamaño de muestra n es impar la mediana es el valor que
se encuentra en medio. Si el tamaño muestral es par la mediana es la media de las dos observaciones
que se encuentran en el medio. La mediana se encuentra en la posición 0, 50(n + 1).
• Moda, es el valor que aparece con más frecuencia. Puede no existir.
¿Cuál de las tres es la mejor medida para describir la tendencia central de los datos, la media,
la mediana o la moda? Depende de los datos. Si los datos son numéricos en general será útil la
media, pero si son categóricos será más útil la mediana o la moda. Por ejemplo imaginemos que
tenemos cinco individuos dos hombres y tres mujeres y que el investigador asocia el valor 1 a los
hombres y el valor cero a las mujeres. La media muestral de la variable“sexo” es 2/5 lo que no
tine sentido, sin embargo la moda es el valor 0 que indica que hay más mujeres que hombres en la
muestra. Imaginemos que la variable objeto de estudio es la renta. La media se verá incrementada
por aquellos valores muy altos y no describirá bien la variable sin embargo la mediana es el nivel
de renta por encima del cual están la mitad de los hogares de la muestra.
Medidas de la variabilidad: Junto a la media es necesario presentar estadı́sticos descriptivos que
midan la variabilidad o dispersión de los datos u observaciones con respecto a la media.
• Rango: es la diferencia entre los valores mayor y menor de la muestra.
• Varianza muestral: la varianza muestral es la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada
observación y la media muestral dividida por el tamaño de la muestra menos 1:
Pn
(Xi − X̄)2
2
S = 1
n−1
• Desviación tı́pica muestral: Es la raı́z de la varianza muestral:
sP
n
2
√
1 (Xi − X̄)
S = S2 =
n−1
• Coeficiente de variación: es una medida de la dispersión relativa que expresa la desviación tı́pica
en porcentaje de la media (siempre que esta sea positiva). El coeficiente de variación muestral se
define:
S
× 100 % si X̄ > 0
CV =
X̄
Medidas de las relaciones entre las variables
• Covarianza: es una medida de la relación entre dos variables. Un valor positivo indica una relación
lineal directa o creciente y un valor negativo una relación lineal inversa o decreciente. La covarianza
muestral se define:
Pn
Cov(X, Y ) = SXY =
1 (Xi
− X̄)(Yj − Ȳ )
n−1
donde Xi e Yj son los valores observados de las variables X e Y , X̄ e Ȳ son, respectivamente,
sus medias muestrales y n es el tamaño de muestra. El coeficiente de correlación da una medida
estandarizada de la relación lineal entre dos variables. Indica el sentido y el grado de la relación.
11
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Coeficiente de correlación: es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones
tı́picas entre las variables:
Cov(X, Y )
rXY =
SX SY
El coeficiente de correlación está comprendido entre −1 y 1, −1 ≤ rXY ≤ 1. Cuanto más cerca
se encuentra de 1 más cerca se encuentran los datos de puntos de una lı́nea recta ascendente que
indica una relación lineal positiva. Cuanto más cerca de −1 más cerca se encuentran los datos de
puntos de una lı́nea recta descendente que indica una relación lineal negativa. Cuando r = 0 no
existe ninguna relación lineal entre las variables.
0.5.
Tratamiento de la información con gretl : inclusión de datos en
gretl y análisis descriptivo básico
gretl es un programa que permite obtener de manera sencilla mediante ventana resultados estadı́sticos y econométricos. Una vez ejecutado el programa gretl en la ventana principal aparece un menú de
ventanas que nos permite diferentes posibilidades. En la pantalla principal, una vez abierto gretl
nos aparecen las siguientes pestañas:
Archivo Herramientas Datos Ver Añadir Muestra Variable Modelo Ayuda
Pero solo tres de ellas están activas, las distinguimos porque las no activas aparecen en gris mientras que las activas están en negrita. Las activas son Archivo, Herramientas y Ayuda. En la primera
leemos datos. Empezaremos viendo como leer datos. Dependiendo del origen de éstos si están en
una archivo de muestra incluido en gretl , si están disponibles en papel, en la web o en un archivo
propio procederemos de una manera u otra.
• Para leer datos incluidos en la base del programa gretl :
Pinchar Archivo → Abrir archivo de datos → Archivo de muestra → Aquı́ seleccionamos la base
de datos que necesitemos, por ejemplo ETM → y ahora seleccionamos el archivo, por ejemplo
monthly-crsp.gdt
Aparecerán las variables de la muestra y en la barra superior se habrán activado las etiquetas mencionadas anteriormente. Por ejemplo en Datos podremos ver las observaciones y sus caracterı́sticas.
Algunas de las opciones que contiene la etiqueta Datos son las siguientes:
Mostrar valores
Editar los valores
Información del conjunto de datos
Estructura del conjunto de datos
Para obtener lo que necesitamos sólo tenemos que pinchar la etiqueta correspondiente y la variable
o variables a estudiar. Por ejemplo para ver la estructura del conjunto de datos pinchamos en
esta etiqueta y obtendremos una pantalla en la que aparecerá seleccionado el tipo de datos con el
que estamos trabajando, en este caso Serie temporal. Pinchamos adelante y veremos la frecuencia,
mensual, y el inicio y final de la muestra 1968:1 a 1998:12. La etiqueta estructura del conjunto
12
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
de datos es muy útil cuando necesitamos cambiar alguno de ellos por ejemplo si añadimos nuevas
observaciones.
En el menú inicial aparece también la etiqueta Ver con, entre otras, las siguientes opciones:
Gráficos
Gráficos múltiples
Estadı́sticos principales
Matriz de correlación
• Para hacer Gráficos:
Pinchar Ver → Gráficos → Gráficos de series temporales. Seleccionar las variables que se quieren
incluir en el gráfico y pinchar Aceptar.
Para guardar el gráfico: situar el ratón sobre el gráfico y pinchar con el botón derecho. Elegir opción.
Podemos guardarlos en postcript (.eps) o .png, etc. En la ventana que aparece para guardarlo
escribir la dirección de la carpeta donde queremos guardar el gráfico y ponerle un nombre por
ejemplo CRSPVW.
Dentro de las opciones que aparecen al pinchar con el botón derecho está la opción Editar. En esta
opción se pueden modificar los ejes, los nombres de las variables, incluso el tipo de lı́nea y color
utilizada para representar la serie de observaciones, entre otras posibilidades.
• Para obtener los Estadı́sticos principales de las variables de la muestra:
Pinchar en Ver → Estadı́sticos principales.
La ventana de output mostrará la media, moda, valor máximo y mı́nimo de la serie, desviación
tı́pica, coeficiente de variación, curtosis y asimetrı́a. Podemos obtener los estadı́sticos para una
única serie o para el conjunto de ellas seleccionándolo previamente.
Si queremos guardar el output pinchamos en el icono del diskette arriba a la izquierda y seleccionamos cómo queremos que lo guarde, texto plano, Word o Latex y en la ventana damos el nombre que
deseemos al fichero de resultados, por ejemplo estadVW para la serie CRSP o estadmuestra para
el conjunto y a continuación damos la dirección de la carpeta donde queremos que nos guarde el
fichero de resultados.
En el menú inicial también aparece la etiqueta Variable para trabajar con una única serie de la
muestra. Algunas de las opciones que incluye esta etiqueta son:
Buscar
Mostrar valores
Estadı́sticos principales
Contraste de Normalidad
Distribución de frecuencias
Gráfico de frecuencias (simple, contra la normal, contra la gamma)
Gráfico de series temporales
Editar atributos
etc.
13
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Obtener datos que están en el servidor:
Queremos estudiar una serie que se encuentra en el servidor, Crédito más de 5 años a hogares. Esta
serie aparece publicada en la base de datos del Banco de España con el código BE182704.
Pinchar Archivo → Bases de datos → Sobre servidor
En el listado de bases de datos que aparece vamos a bde18 Banco de España (Tipo de interés)
y pinchamos en Obtener listado de series comprobando que contienen la serie que queremos.
Series → Mostrar
Para representarla gráficamente: Series → Representar
Para importar los datos a gretl situamos el cursor sobre la serie de interés, BE182704, y vamos a
Series → Importar
Además tenemos opción de hacer lo siguiente:
• Añadir o cambiar información sobre la variable: en menú Variable → Editar atributos. En esta
ventana podremos cambiar también el nombre de la serie utilizado en los gráficos.
• Añadir notas explicativas: en menú Datos → Editar información
• Consultar las notas informativas: en menú Datos → Leer información o en Datos → Descripción
• Para crear un conjunto de datos:
Pinchar Archivo → Nuevo conjunto de datos y completar la información que pide sobre:
número de observaciones
estructura del conjunto de datos (serie temporal o sección cruzada)
frecuencia
A la pregunta ¿Desea empezar a introducir los valores de los datos usando la hoja de cálculo de
gretl ? contestar Sı́
• Introducir el nombre de la variable. El máximo de caracteres que acepta es 15, no usar acentos
ni la letra ñ. Pinchar Aceptar.
• En la hoja de cálculo situarnos en la primera celda y teclear la observación correspondiente,
a continuación pinchar intro. Si nos saltamos alguna observación podemos insertar una fila en
el lugar correspondiente con solo situarnos en la celda posterior e ir a observación → insertar
obs. Una vez introducidas todas las variables pinchar Aplicar.
• Para guardar los datos: en menú Archivo → Guardar datos. Dar nombre al conjunto de datos,
por ejemplo Azar y se grabará automáticamente con la extensión gdt.
Si en otro momento queremos usar este conjunto de datos solo habrá que clickear en él dos
veces para que se active.
14
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Si queremos añadir variables en menú: Pinchar en la etiqueta Añadir tenemos las siguientes
posibilidades:
• Logaritmos de las variables seleccionadas
• Cuadrados de las variables seleccionadas
• Retardos de las variables seleccionadas
• Primeras diferencias de las variables seleccionadas
• Diferencias del logaritmo las variables seleccionadas
• Diferencias estacionales de las variables seleccionadas
• Variable ı́ndice
• Tendencia temporal
• Variable aleatoria (uniforme, normal, chi cuadrado y t-Student) Por ejemplo para crear
una variable normal de media 0 y desviación 1 haremos nombre de la variable 0 1
• Variables ficticias, etc.
• Definir una nueva variable. Esta opción podemos utilizarla para crear combinaciones de
variables por ejemplo Zt = 4 + ²t
²t ∼ N (0, 1). Permite los operadores,
+,
-,
*,
/, ^
(suma, resta, producto, potencia) entre otros.
• Para obtener información sobre la muestra pinchar en la etiqueta Muestra. En ella
encontraremos, entre otras, las siguientes opciones:
Establecer rango
Recuperar rango completo
Restringir, a partir de un criterio
etc.
Ejemplo 0.1
Vamos a trabajar con el archivo de datos data4 − 1.gdt ya que en los temas siguientes
va a ser uno de los ejemplos que seguiremos. Está incluido como archivo de muestra
en la pestaña Ramanathan. Una vez abierto podemos buscar información sobre sus
variables tal y como se ha indicado. Siguiendo la ruta indicada encontramos la siguiente
Información del conjunto de datos
DATA4-1: Data on single family homes in University City community
of San Diego, in 1990.
price = sale price in thousands of dollars (Range 199.9 - 505)
sqft = square feet of living area (Range 1065 - 3000)
bedrms = number of bedrooms (Range 3 - 4)
baths = number of bathrooms (Range 1.75 - 3)
15
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Donde aparece una somera descripción de los datos disponibles y su fuente y/o origen.
En este caso nos dicen que son datos de hogares de la comunidad universitaria de San
Diego en 1990, de lo que deducimos que son datos de sección cruzada ya que se refieren
a un único año. También aparecen los nombres de las variables y su descripción ası́ como
el rango de cada una (la amplitud del intervalo de valores que toma la variable en la
muestra) y la fuente de los datos. Los estadı́sticos principales son los siguientes:
Estadı́sticos principales, usando las observaciones 1 - 14
Variable
Media
Mediana
Mı́nimo
Máximo
price
sqft
bedrms
baths
317,493
1910,93
3,64286
2,35714
291,500
1835,00
4,00000
2,25000
199,900
1065,00
3,00000
1,75000
Variable
Desv. Tı́p.
C.V.
Asimetrı́a
price
sqft
bedrms
baths
88,4982
577,757
0,497245
0,446291
0,278741
0,302344
0,136499
0,189336
0,653457
0,485258
−0,596285
0,331609
505,000
3000,00
4,00000
3,00000
Exc. de curtosis
−0,529833
−0,672125
−1,64444
−1,39015
Donde se nos muestra, para cada variable, su media, mediana, valores mı́nimo y máximo, desviación
tı́pica, coeficiente de variación (C.V.), coeficiente de asimetrı́a y coeficiente de exceso de curtosis.
Los gráficos de las variables price y sqft son:
550
3000
2800
500
2600
450
2400
2200
sqft
price
400
350
2000
1800
300
1600
250
1400
200
1200
150
1000
2
4
6
8
10
12
14
2
index
4
6
8
10
12
14
index
Figura 5: Gráficos de las observaciones para las variables price y sqf t
Volviendo a la pantalla de inicio. También estaban disponibles al iniciar el programa las etiquetas
Herramientas y Ayuda. En Herramientas disponemos de instrumentos de análisis muy útiles como:
- En Tablas estadı́sticas los valores crı́ticos de las distribuciones Normal Tipificada, t-Student
y F-Snedecor entre otras distribuciones.
16
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
- Un buscador de valores p.
- Un calculadora de estadı́sticos de contraste como la igualdad de medias o varianzas.
- La posibilidad de dibujar distribuciones o curvas.
- Hacer contrastes no paramétricos.
- Generar numeros aleatorios.
En Ayuda encontramos al Guı́a del usuario y la Guı́a de instrucciones.
17
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
0.6.
Bibliografı́a del tema
Referencias bibliográficas básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editorial AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl:
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[3] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial y Análisis de Regresión. Material docente. Servicio
de Publicaciones.
[4] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicación on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
18
Tema 1
Variables Aleatorias. Población y muestra
En las clases del tema de Variables Aleatorias vamos a revisar y/o introducir los principales conceptos de probabilidad. Comenzaremos definiendo el concepto de variable aleatoria discreta y continua
ası́ como sus funciones de distribución de probabilidad. Revisaremos las propiedades de las funciones
de distribución de probabilidad prestando especial atención al concepto de valor esperado y al concepto de varianza. En general, no estudiaremos el comportamiento de una única variable por lo que
necesitaremos introducir el concepto de distribución de probabilidad conjunta, probabilidad condicionada e independencia estadı́stica. Dentro de las muchas distribuciones de probabilidad especı́ficas
de que disponemos mostraremos las principales funciones de distribución de probabilidad utilizadas
en Econometrı́a: la normal, la normal estándar, la chi-cuadrado, la t-Student y la F-Snedecor.
Los métodos estadı́sticos centran la atención en la realización de inferencias sobre grandes poblaciones de objetos utilizando una pequeña muestra de los mismos. Por ello para finalizar el tema
introduciremos el concepto de muestreo aleatorio, estadı́sticos muestrales y distribuciones en el
muestreo para finalizar mostrando la distribución del estadı́stico media muestral.
A lo largo del tema se han introducido ejemplos ilustrativos de los conceptos a aprender ası́ como
ejercicios básicos que han de ser resueltos por el alumno.
Competencias a trabajar en estas sesiones:
5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadı́stico de datos económicos haciendo
uso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.
Al final de este tema deberı́ais ser capaces de:
1. Explicar la diferencia entre una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria continua
proporcionando ejemplos de cada una de ellas.
2. Explicar la diferencia entre la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria
discreta y a función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua.
19
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
3. Explicar el concepto de media o valor esperado de una variable aleatoria.
4. Calcular la media y varianza de funciones de variables aleatorias.
5. Calcular probabilidades utilizando la distribución normal.
6. Definir los principales estadı́sticos muestrales.
7. Obtener la distribución de la media muestral.
Bibliografı́a Recomendada:
Al final del tema tenéis recogida la bibliografı́a correspondiente. En particular se os recomienda leer
los capı́tulos correspondientes a la bibliografı́a básica detallados a continuación:
• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.
• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 5 sec. 5.1; 5.2; 5.3 y 5.7; Cap. 6 salvo
la sec. 6.5 y Cap. 7 sec. 7.1 y 7.2.
• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.
• Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Cap. 1
• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice B.
20
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
1.1.
Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Ejemplos
Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el azar.
Desde el punto de vista de la notación es importante distinguir entre una variable aleatoria y los
valores posibles que ésta puede tomar. Denotamos en mayúscula, X a la variable aleatoria y con su
correspondiente minúscula un valor posible de la misma.
Ejemplo 1.1
Se mide la altura de un individuo y el peso corporal, dos variables aleatorias son, X =
altura, Y = peso y sus valores posibles por ejemplo serı́an: x = 156 cm, x = 179 cm, . . .;
y = 60 kg, y = 87 kg, . . .
Ejemplo 1.2
Consideremos el lanzamiento de un dado. Sea el espacio muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} la
variable X = No de puntos, puede tomar los valores: x = {1, 2, 3, 4, 5, 6} cada uno con
probabilidad P (x = 1) = P (x = 2) = . . . = P (x = 6) = 61 .
Hay que distinguir entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.
Una variable aleatoria es discreta si no puede tomar más que una cantidad numerable de valores.
El conjunto de realizaciones es finito o infinito pero numerable. Por ejemplo el número de hijos de
una familia, el número de clientes de un bar en un dı́a, el número de veces que sale cara al lanzar
diez veces una moneda al aire. En el Ejemplo 1.2 X es una variable discreta.
Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo. El conjunto
de realizaciones es infinitamente divisible y por tanto no numerable. Por ejemplo la renta anual de
una familia, la temperatura, la variación en el precio de las acciones ordinarias de IBM en un dı́a.
En el Ejemplo 1.1 las variables peso y altura son variables continuas.
En la práctica se consideran variables discretas cuando tiene sentido asignar probabilidades a los
resultados individuales posibles. La contabilidad de los sucesos genera observaciones de variables
aleatorias discretas mientras que mediciones como tiempo, renta, generan observaciones sobre variables aleatorias continuas. Muchos indicadores económicos y empresariales como las ventas, la
inversión, el consumo, los ingresos, etc. pueden representarse como variables aleatorias continuas.
1.1.1.
Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta y x uno de sus posibles valores. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor especı́fico x se denota por P (X = x). El conjunto de probabilidades
se denomina función de cuantı́a o función de densidad de probabilidad, fdp y se denota P (x).
Función de cuantı́a de una variable aleatoria discreta. La función de cuantı́a, P (x), de una
variable aleatoria discreta X expresa la probabilidad de que X tome el valor x, como una función
21
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
de x:
P (x) = P (X = x), para todos los valores de x.
Dado que la función de cuantı́a solo toma valores
distintos de 0 en puntos discretos x, a veces se la
llama función de masa de probabilidad. Se puede
representar gráficamente. A la derecha se muestra la función de densidad de una variable discreta que toma valores 1, 2 y 3 con probabilidad
0,2; 0,3 y 0,5 respectivamente. Además se debe
cumplir 0 ≤ P (x) ≤ 1 para cualquier valor de x,
es decir las probabilidades no pueden
P ser negativas ni superiores a la unidad y x P (x) = 1,
las probabilidades individuales suman 1.
0,8
0,7
0,6
f(x)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
X
Función de distribución o función de probabilidad acumulada. La función de probabilidad acumulada F (a) de una variable aleatoria X expresa la probabilidad de que X no tenga un valor
superior a a, como una función de a. Es decir,
F (a) = P (X ≤ a)
donde la función se evalúa en todos los valores de a.
Relación entre la función de cuantı́a y la función de distribución. Sea X una variable aleatoria
con función de cuantı́a P (x) y función de distribución F (a). Se puede demostrar que
X
F (a) =
P (x) = P (x0 ) + P (x1 ) + . . . + P (a).
x≤a
1.1.2.
Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad
Muchos indicadores económicos y empresariales como las ventas, la inversión, el consumo, los ingresos, etc. pueden representarse como variables aleatorias continuas, por ello vamos a dedicar este
punto a su estudio.
Sea X una variable aleatoria y x un valor determinado de la misma. Podemos definir una función
de densidad de probabilidad para variables aleatorias continuas de manera análoga a la función de
cuantı́a para las variables aleatorias discretas. La fdp nos informa de la probabilidad asociada a los
resultados posibles de la variable aleatoria. Sin embargo no tiene sentido hablar de la probabilidad
de que una variable aleatoria continua tome un valor determinado, usaremos la fdp de la variable
aleatoria continua solo para calcular la probabilidad de los sucesos referidos a un intervalo de valores.
Si X es continua la probabilidad asociada a cualquier punto en particular es cero por lo
que nos referimos a la probabilidad de que X tome valores en un intervalo.
Para calcular probabilidades para variables aleatorias continuas es más sencillo trabajar con la
función de distribución fd ó función de probabilidad acumulada.
22
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Función de distribución. La función de distribución F (x) de una variable aleatoria continua X
expresa la probabilidad de que X no sea mayor que el valor x, en función de x:
F (x) = P (X ≤ x).
Para entender el concepto de función de distribución, se suele recurrir a un sı́mil fı́sico: una masa
igual a la unidad, distribuida a lo largo del campo de variación de la variable. En esta situación,
la función de distribución F (x) = P (X ≤ x) proporciona la cantidad de masa que hay en el punto
x y a su izquierda hasta el extremo inferior del campo de variación de la variable. La función de
distribución, por su definición no puede ser negativa, al ser una probabilidad, ni decreciente, pues
es acumulativa. Además por ser una probabilidad está acotada: 0 ≤ F (x) ≤ 1.
Probabilidad de un intervalo utilizando la función de distribución. Sea X una variable aleatoria
continua que tiene una función de distribución F (x) y sean a y b dos valores posibles de X, siendo
a < b. La probabilidad de que X se encuentre entre a y b es
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
Una variable aleatoria es continua si su función de distribución, F (x) es continua. Su dominio de
definición es todo R y no existe ningún punto de la recta con probabilidad no nula. Suponemos, por
simplicidad, que en las variables aleatorias continuas la función de distribución es derivable en el
interior del dominio. En este caso, a su derivada le llamamos función de densidad de probabilidad
y la denotamos por f (x). La relación existente entre la función de densidad y la de distribución es:
Z ∞
F (x) =
f (x)dx,
f (x) = F 0 (x)
−∞
La función de densidad de probabilidad, f (x), de la variable aleatoria es una función que tiene las
siguientes propiedades:
1. f (x) ≥ 0 para todos los valores de x.
2. El área situada debajo de la función de densidad
de probabilidad f (x), cuando se abarcan todos
los valores de la variable aleatoria, X, es igual a
la unidad.
Z
P (a ≤ X ≤ b) =
b
f (x)dx
a
23
0,35
0,3
0,25
f(X)
3. El gráfico de la derecha representa gráficamente
la función de densidad de cierta variable aleatoria continua. Sean a y b dos valores posibles de
la variable aleatoria X, siendo a < b. En este caso la probabilidad de que X se encuentre entre
a y b es el área situada debajo de la función de
densidad entre estos puntos.
N(0, 1)
0,4
0,2
P(a<X<b)
0,15
0,1
0,05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
X
a1
2b
3
4
5
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
1.1.3.
Esperanzas y variables aleatorias
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria contiene toda la información sobre propiedades probabilı́sticas de una variable aleatoria. Su examen gráfico puede servir para describirla, sin
embargo, es necesario establecer medidas estadı́sticas que sirvan para caracterizar la distribución.
Las medidas más importantes son la media o valor esperado y la varianza.
Media de una variable aleatoria. La media o valor esperado de una variable aleatoria se
denota como E(X) y se define como:
 P
si X es discreta

x xP (x)
E(X) = µX =
(1.1)
 R
xf
(x)dx
si
X
es
continua
x
donde E se conoce como el operador de esperanza matemática.
La media es un promedio ponderado de los valores x que toma la variable donde las ponderaciones
son las probabilidades respectivas. La media recoge el centro de gravedad sobre el que se distribuye
la variable. Cuanto mayor es la media, mayor es el valor que se espera que tomen las realizaciones
de la variable. En la práctica la media no tiene porqué coincidir con un valor que tome la variable.
Ejemplo 1.3
• Sea X variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 1, 2 y 3 con probabilidades 0,20; 0,30 y 0,50 respectivamente. Su esperanza matemática es:
E(X) =
X
xP (x) = 1 · 0, 20 + 2 · 0, 3 + 3 · 0, 50 = 2, 30.
x
• Consideremos la variable continua definida por: f (x) = 4x3
esperanza matemática es:
Z
E(X) =
Z
xf (x)dx =
x
Varianza de una variable aleatoria.
2 y se define como:
V ar(X) = σX
0
1
·
x5
x4x dx = 4
5
¸1
3
0
∀ 0 ≤ x ≤ 1. Su
4
= .
5
La varianza de una variable aleatoria se denota como
2
V ar(X) = σX
= E[(X − µX )2 ] =
 P
2

x (x − µX ) P (x)
 R
si X es discreta.
(1.2)
2
x (x − µX ) f (x)dx si X es continua.
La varianza es una medida de dispersión de la distribución, siendo la dispersión la mayor o menor
variabilidad de los valores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio.
24
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
La varianza también puede expresarse como:
2
σX
= E(X 2 ) − µ2X .
(1.3)
2 + µ2 .
De donde trabajando la expresión anterior obtenemos un resultado útil: E(X 2 ) = σX
X
La desviación
tı́pica o estándar es la raı́z cuadrada positiva de la varianza y se denota por
q
2
σX = σX .
La varianza es una medida de dispersión, siendo la dispersión la mayor o menor variabilidad de los
valores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio. Si la varianza es pequeña será porque
las desviaciones de la variable aleatoria en torno a su valor medio son pequeñas, con lo que la
media será representativa del conjunto de valores de la distribución y por consiguiente, la dispersión
será pequeña. Si la varianza es grande, la dispersión será grande y la media de la variable aleatoria
no será representativa. Cuanto mayor sea la varianza mayor es la probabilidad de obtener valores
alejados de µX .
Ejemplo 1.4
Supongamos que X es la variable rendimiento de una cartera de valores. µX mide el
2 nos da la dispersión
rendimiento, en media, que esperamos obtener de esa cartera y σX
2 es grande entonces tendremos una gran probabilidad
de los posibles rendimientos. Si σX
de obtener rendimientos mucho mayores o mucho menores de lo esperado µX . Por lo
2 mide el riesgo de la cartera. Cuanto mayor es σ 2 más arriesgada es la cartera.
tanto σX
X
La media y la varianza constituyen dos importantes indicadores sintéticos de una distribución de
probabilidad. La media es una medida del centro de la distribución mientras que la varianza es una
medida de su dispersión. Otras dos medidas que también se utilizan habitualmente para describir
una distribución de probabilidad desde el punto de vista de su forma son el coeficiente de asimetrı́a
y el coeficiente de curtosis.
Asimetrı́a. El coeficiente de asimetrı́a es:
γ1 =
µ3
E[(X − µX )3 ]
= 3
3
σ
σ
(1.4)
donde µ3 es el momento de orden 3 respecto a la media. Si γ1 = 0 la distribución es simétrica y por
tanto las desviaciones por la derecha tienen el mismo peso que las desviaciones por la izquierda. Si
γ1 > 0 la distribución es asimétrica (+). Si γ1 < 0 la distribución es asimétrica (−).
Curtosis. La curtosis hace referencia al apuntamiento o achatamiento de una distribución de probabilidad cuando se compara con la normal. El coeficiente de curtosis se define:
E[(X − µX )4 ]
µ4
= 4.
4
σ
σ
25
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
El coeficiente de curtosis es un indicativo del peso que en la distribución tienen los valores más
alejados del centro, tiene que ver con el grosor de las colas. Para evaluar la curtosis es necesario
que la distribución tenga perfil campaniforme y sea simétrica o moderadamente asimétrica ya que
la curtosis trata de analizar la zona central de la distribución simétrica o no; la mayor o menor
presencia de valores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio, es decir en su zona central,
dará lugar a una distribución más o menos apuntada. En general se evalúa el exceso de curtosis:
µ4
γ2 = 4 − 3.
(1.5)
σ
Esta medida está basada en la distribución normal, de su misma varianza, cuyo exceso de curtosis
es cero. Si γ2 = 0 la distribución tendrá el perfil de la distribución normal y se le dice mesocúrtica.
Esto quiere decir que tiene las colas igual de gruesas que la distribución normal, la cual veremos
más adelante. Más concentración en las colas indica colas más densas que la normal de su misma
varianza. Si γ2 > 0 la distribución es más apuntada que la distribución normal y se le denomina
leptocúrtica. Si γ2 < 0 la distribución es más achatada que la distribución normal y se le denomina
platicúrtica.
Coeficiente de variación. El coeficiente de variación es útil para comparar la volatilidad de variables que tienen una esperanza matemática diferente como por ejemplo, al comparar la volatilidad de
dos ı́ndices bursátiles distintos. Considera la desviación tı́pica como porcentaje del nivel alrededor
del cual fluctúa la variable
σX
.
(1.6)
Coeficiente de variación = 100
µX
Ejercicio 1.1
Calcular media, varianza y desviación tı́pica de la variable aleatoria discreta X cuya
función de probabilidad es:
x
P(x)
1.1.4.
0
0,1
1
0,3
2
0,4
3
0,2
Dos variables aleatorias
Para responder a preguntas relativas a dos o más variables aleatorias debemos conocer su función
de densidad conjunta o función de cuantı́a conjunta, según sean discretas o continuas. La función de
densidad conjunta describe las probabilidades de que se puedan producir combinaciones de valores
de ambas variables. Si las variables aleatorias X e Y son discretas, a cada posible par de resultados
(xi , yj ) podemos asignar una probabilidad P (xi , yj ). El conjunto de probabilidades es la función de
P P
cuantı́a conjunta, cumpliéndose que 0 ≤ p(xi , yj ) ≤ 1 y i j p(xi , yj ) = 1.
Si las variables aleatorias son continuas, su distribución conjunta se recoge mediante la función de
densidad conjunta f (x, y). Si las dos variables siguen una distribución normal, la forma tı́pica de su
función de densidad conjunta se encuentra en la Figura 1.1.
26
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Figura 1.1: Distribución normal bivariante
El volumen totalRrecogido
bajo esta superficie es la masa de probabilidad total que es igual a la
R
unidad, es decir, x y f (x, y) dx dy = 1. Además, la función no toma valores negativos, f (x, y) ≥ 0.
Ası́, el volumen debajo del rectángulo definido por dos puntos (a, b) mide la probabilidad de que X
tome valores menores o iguales que a e Y menores o iguales que b. Es decir,
Z
Z
a
b
f (x, y) dx dy
P (X ≤ a, Y ≤ b) =
−∞
−∞
Por ejemplo, el volumen recogido bajo la superficie marcada en la Figura 1.1 es la probabilidad de
que X ≤ −2 e Y ≤ 5.
La función de densidad marginal de cada variable puede obtenerse mediante integración. Ası́:
Z ∞
Marginal de X: fX (x) =
f (x, y) dy
Z −∞
∞
Marginal de Y: fY (y) =
f (x, y) dx
(1.7)
−∞
La distribución conjunta de dos variables aleatorias se puede resumir mediante:
• El centro de gravedad de cada variable, es decir, las medias (µX , µY ), que se obtienen de las
distribuciones marginales recogidas en (1.7).
• Medidas de dispersión de cada variable alrededor de su media, por ejemplo, las varianzas de
2 y σ 2 , que se derivan de las distribuciones marginales recogidas en (1.7).
X e Y , σX
Y
• Medida de la relación lineal entre las dos variables aleatorias, para lo que se utiliza la covarianza
σXY . La covarianza entre dos variables mide el signo de la asociación entre las fluctuaciones
que experimentan ambas. Nos dice si cuando una de ellas está por encima de su valor de
referencia, por ejemplo, su media, la otra variable tiende a estar por encima o por debajo de
su respectiva media:
Cov(X, Y ) = σXY = E[(X − µX )(Y − µY )] = E(XY ) − µX µY .
27
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
o bien el coeficiente de correlación entre las variables,
corr(X, Y ) = ρXY =
Cov(X, Y )
σXY
=
∈ [−1, 1].
desv(X)desv(Y )
σX σY
La covarianza nos da el tipo de relación lineal existente entre dos variables + ó −. Ası́, si
σXY = ρXY = 0 se dice que las variables X e Y están incorrelacionadas. El coeficiente de
correlación mide el grado de asociación lineal entre dos variables. Su valor se encuentra entre
−1 y 1, un valor de −1 indica asociación perfecta negativa y un valor de 1 asociación perfecta
positiva.
El vector de medias µ y la matriz de varianzas y covarianzas denotada por Σ ó V , son dos importantes
estadı́sticos de la variable aleatoria (X, Y ):
! Ã
!
Ã
µ
¶
2
V (X)
Cov(X, Y )
σX
σXY
µX
µ=
=
Σ=
µY
Cov(X, Y )
V (Y )
σXY σY2
Distribución condicionada. Al estudiar un conjunto de variables, interesa evaluar la posibilidad
de que un suceso ocurra dado que otro suceso ha tenido lugar. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad
de que una mujer casada y con hijos en edad escolar participe en el mercado de trabajo? La probabilidad condicionada permite responder este tipo de preguntas. Si las variables son discretas,
se define la función de cuantı́a condicional de Y dado que la variable aleatoria X toma el valor xi
como:
p(xi , yj )
P (Y = yj , X = xi )
=P
.
P (Y = yj |X = xi ) =
P (X = xi )
j p(xi , yj )
para P (X = xi ) > 0.
Si las variables son continuas, se define la función de densidad de Y condicionada a que la variable
aleatoria X tome el valor x (para f (x) > 0):
f (y|X = x) =
f (x, y)
.
f (x)
De esta forma se obtiene una nueva distribución, con las propiedades ya vistas. Dos momentos de
interés de esta distribución se denominan media y varianza condicionada de Y para el valor dado
de X = x, y se denotan E(Y |X = x) y V ar(Y |X = x).
Independencia. Dos variables aleatorias X y Y son independientes o están independientemente
distribuidas, si conocido el valor que toma una de ellas, no aporta ninguna información sobre el
valor que puede tomar la segunda. Si X e Y son independientes si y solo si su función de densidad
conjunta es igual al producto de sus funciones de densidad marginales
f (x, y) = f (x) × f (y)
− ∞ < x, y < ∞.
Además, se tiene que f (y|X = x) = fY (y). Se demuestra que si X e Y son independientes, entonces
Cov(X, Y ) = 0. También se demuestra que, si las variables X e Y se distribuyen conjuntamente
según una normal y Cov(X, Y ) = 0, entonces X e Y son independientes.
28
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
En el caso de distribuciones discretas las variables son independientes si
P (X = x, Y = y) = P (X = x) × P (Y = y).
Ejemplo 1.5
Distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas:
Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que un individuo seleccionado
aleatoriamente de una población posea una licenciatura y haya tenido rentas salariales
en el año 2003. La Tabla 5.2 recoge la función de probabilidad conjunta de dos variables.
La variable X caracteriza los niveles de educación que pueden alcanzar los individuos.
Toma los valores 1, 2, 3, 4 según el grado de estudios alcanzado por el individuo. El valor
1 indica alcanzar educación secundaria obligatoria, 2 indica alcanzar bachiller, 3 indica
poseer educación superior y 4 tener un master. La variable Y es una variable dicotómica
que toma valor 1 si el individuo ha tenido rentas salariales en el año 2003 y 0 en caso
contrario. Esta tabla permite obtener los siguientes resultados:
x
y
1
2
3
4
0
1
0,19
0,28
0,06
0,19
0,04
0,14
0,02
0,08
Tabla 1.1: Función de densidad de probabilidad conjunta f (x, y)
• Probabilidad conjunta:
La probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga estudios superiores y
haya obtenido rentas salariales en el año 2003 es P (X = 3, Y = 1) = f (3, 1) = 0, 14.
• Distribuciones marginales:
P
La distribución marginal de X se define: fX (x) = y f (x, y) para cada valor que X
P
puede tomar. La distribución marginal de Y se define: fY (y) = x f (x, y) para cada
valor que Y puede tomar.
P
P
Por tanto fY (y) = 4x=1 f (x, y) y = 0, 1 luego fY (0) = 4x=1 f (x, y) = 0, 19 + 0, 06 +
0, 04 + 0, 02 = 0, 31.
En general las funciones de distribución conjunta y marginales se suelen mostrar como
a continuación:
x
y
1
2
3
4
fY (y)
0
1
0,19
0,28
0,06
0,19
0,04
0,14
0,02
0,08
0,31
0,69
fX (x)
0,47
0,25
0,18
0,10
1
Tabla 1.2: Distribuciones marginales para X e Y
29
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Probabilidad condicionada:
Podemos contestar a preguntas como ¿cuál es la probabilidad de que un individuo tenga
renta salarial en el año 2003 dado que tiene estudios superiores? En este caso debemos
de utilizar la función de densidad de Y condicionada a X: f (y|x) = P (Y = y|X = x), en
realidad el efecto de condicionar es reducir el conjunto de posibles resultados. Dada la
Tabla 1.2 consideramos solo el 18 % de la población con tı́tulo superior. La tabla siguiente
recoge la probabilidad condicionada de Y dado X = 3. Dada la tabla la probabilidad
de seleccionar a un individuo con renta salariales dado que tenga estudios superiores es
de 0,78. Notar sin embargo que la probabilidad de seleccionar a un individuo, de entre
toda la población, que tenga rentas salariales es de 0,69.
y
f (y|X = 3)
0
1
0,04/0,18=0,22
0,14/0,18=0,78
Ejercicio 1.2
En la tabla se recoge la función de densidad conjunta de dos variables aleatorias discretas
X e Y . Se pide:
1. La función de densidad de probabilidad marginal de Y .
2. La función de densidad de probabilidad conjunta de Y dado que X = 2.
3. La covarianza de X e Y .
4. ¿Son las variables independientes?
Y
X
1.1.5.
2
4
6
1
3
9
1/8
1/4
1/8
1/24
1/4
1/24
1/12
0
1/12
Más de dos variables
Los resultados anteriores se pueden generalizar a un conjunto de n variables, X1 , X2 , . . . , Xn , que
se recogen en un vector


X1
 X2 


X= . 
 .. 
Xn
La distribución conjunta de estas variables se resume en el vector de medias E(X) ó µ
~ y la matriz
de varianzas y covarianzas V (X) ó ΣX . Ası́:
30
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión



E(X) = µ
~ =

E(X1 )
E(X2 )
..
.
E(Xn )

ΣX


= 

V (X1 )
Cov(X1 , X2 )
..
.
Cov(X1 , Xn )


 
 
=
 
µ1
µ2
..
.





y
µn
Cov(X1 , X2 )
V (X2 )
..
.
Cov(X2 , Xn )
...
...
..
.
...
Cov(X1 , Xn )
Cov(X2 , Xn )
..
.
V (Xn )


 
 
=
 
σ12
σ1,2
..
.
σ1,n
σ1,2
σ22
..
.
σ2,n
. . . σ1,n
. . . σ2,n
..
..
.
.
. . . σn2





donde ΣX es una matriz cuadrada de orden n, simétrica y definida no negativa. Esto implica que
los elementos de la diagonal principal son no negativos, σi2 ≥ 0, ∀i.
Si las variables son independientes entre sı́, entonces están incorrelacionadas, es decir, σi,j = 0, ∀i 6=
j, por lo que la matriz ΣX es diagonal:
 2

σ1 0 . . . 0


 0 σ22 . . . 0 


ΣX =  .
.. . .
.. 
 ..
. . 
.
0 0 . . . σn2
Si, además, X1 , . . . , Xn siguen la misma distribución, con la
 2


σ
0
µ

 µ 
 0 σ2


E(X) =  . 
ΣX = 
 ..
..
 .. 
 .
.
µ
0 0
misma media y la misma varianza:

... 0

... 0 
2

..  = σ I
..
. . 
. . . σ2
entonces se dice que son variables aleatorias idéntica e independientemente distribuidas con media
µ y varianza σ 2 y se denota Xi ∼ iid(µ, σ 2 ), ∀i = 1, . . . , n.
Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias normales, se dice que el vector X sigue una distribución
normal multivariante, y queda caracterizada por su vector de medias µ
~ y su matriz de varianzas
y covarianzas ΣX . Se denota X ∼ N (~
µ, ΣX ). Si además las variables son independientes, con media
y varianza común, se denota Xi ∼ N ID(µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n.
Propiedades de la esperanza matemática
• La esperanza matemática de una constante es igual a la misma constante: E(c) = c
• La esperanza matemática de una suma de variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables aleatorias:
E(X1 ± X2 ± . . . ± Xn ) = E(X1 ) ± E(X2 ) ± . . . ± E(Xn ) = µ1 ± µ2 ± . . . ± µn .
31
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• La esperanza matemática de un producto de variables aleatorias es igual al producto de las
esperanzas de cada una de las variables aleatorias, si y sólo si son independientes:
E(X1 · X2 · X3 · . . . · Xn ) = E(X1 ) · E(X2 ) · E(X3 ) · . . . · E(Xn ) = µ1 · µ2 · µ3 · . . . · µn .
• Notar que si X e Y son independientes E(XY ) = E(X) · E(Y ) pero E(X|Y ) 6=
X e Y lo sean.
E(X)
E(Y )
aunque
• El valor medio, o esperanza matemática, de las desviaciones de los valores de la variable
aleatoria respecto a su media es cero. Sea E(X) = µ entonces E(X − µ) = 0.
• Si a una variable aleatoria se le suma una constante su esperanza matemática queda modificada
en esa misma constante: E(X + c) = E(X) + c = µ + c.
• Si una variable aleatoria se multiplica por una constante su esperanza matemática queda
multiplicada por esa misma constante, E(X · c) = c · E(X) = c · µ.
Propiedades de la varianza
• La varianza es siempre no negativa.
• Varianza de una suma de variables aleatorias:
2
V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) ± 2Cov(X, Y ) = σX
+ σY2 ± 2 σXY .
• Generalizando:
V ar(X1 + X2 + . . . + Xn ) = V ar(X1 ) + V ar(X2 ) + . . . + V ar(Xn ) + 2
n−1
X
n
X
Cov(Xi , Xj ) =
i=1 j=i+1
=
σ12
+
σ22
+ ... +
σn2
+2
n−1
X
n
X
σXi Xj .
i=1 j=i+1
• Si X1 , X2 , . . . , Xn son independientes:
V ar(X1 + X2 + . . . + Xn ) = V ar(X1 ) + V ar(X2 ) + . . . + V ar(Xn ) = σ12 + σ22 + . . . + σn2 .
• Si a una variable aleatoria se le suma una constante, su varianza no varı́a: V ar(X + c) =
V ar(X) ya que V ar(c) = 0.
• V ar(cX) = c2 V ar(X).
• V ar(aX + bY ) = a2 V ar(X) + b2 V ar(Y ) + 2 ab Cov(X, Y ).
32
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejemplo 1.6
2 y sean a y b dos
Sea X una variable aleatoria continua de media µX y varianza σX
constantes cualesquiera. La media y varianza de la transformación lineal W = a + bX
son:
E(W ) = µW = E(a + bX) = a + bE(X) = a + b µX .
2
2
V ar(W ) = σW
= V ar(a + bX) = b2 σX
.
Ejercicio 1.3
2 y sean a y b dos
Sea X una variable aleatoria continua de media µX y varianza σX
constantes cualesquiera. Calcular la media y varianza de las siguientes funciones:
• Y = a.
• Z = bX.
• W =
X−µX
σX .
Ejercicio 1.4
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1, 2 con probabilidad P (X =
0) = 0, 30; P (X = 1) = 0, 60; P (X = 2) = 0, 10 respectivamente. Se pide:
1. Buscar E(X), E(X 2 ), V (X).
2. El valor esperado y varianza de g(X) = 3X + 2.
Ejercicio 1.5
Sea la variable aleatoria X el precio de las acciones de la empresa Biltox y sea la variable
aleatoria Y el precio de las acciones de la empresa Baltat. El Sr. Martı́nez ha comprado
50 y 80 acciones de cada empresa respectivamente. El valor de mercado de la cartera
del Sr. Martı́nez es W = 50X + 80Y . Calcular el valor medio y varianza de la cartera
2 ) , Y ∼ (µ , σ 2 ) y σ
siendo X ∼ (µX , σX
XY = cov(X, Y ).
Y
Y
Ejemplo 1.7
Supongamos que el Sr. Alonso quiere crear una cartera de valores con acciones de dos
empresas. Dispone de un capital de 3000 e para invertir en acciones de las dos empresas
cuyos rendimientos por e invertido son las variables aleatorias X e Y , independientes
entre sı́ y con igual media, µ, y varianza, σ 2 . ¿Cómo deberı́a construir el Sr. Alonso la
cartera para minimizar el riesgo de pérdida?
33
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Supongamos que asignamos α euros a la inversión en una de las empresas y (3000 − α)
a la otra. El rendimiento total de la inversión es:
r = α X + (3000 − α) Y.
El rendimiento esperado de la inversión es:
E(r) = α E(X) + (3000 − α) E(Y ) = αµ + (3000 − α)µ = 3000µ
luego el rendimiento esperado de la inversión no depende de cómo éste esté asignado
sino exclusivamente de la media de los rendimientos µ. Calculamos ahora la varianza
esperada de la inversión:
V (r) = α2 V (X)+(3000−α)2 V (Y ) = α2 σ 2 +(3000−α)2 σ 2 = (2α2 −6000α+9000000)σ 2 .
Si se asigna α = 0 o α = 3000, asignando toda la inversión a acciones en una de las dos
empresas la varianza de la inversión es 9000000σ 2 . Si se asigna la mitad del dinero, 1500
e , a invertir en cada empresa, la varianza del rendimiento es la más pequeña posible
4500000 σ 2 . Luego repartiendo la inversión entre las dos empresas reduce la varianza
del rendimiento de la inversión y por lo tanto puede reducir los efectos de que los
rendimientos de las acciones de una de las empresas sean muy bajos o muy altos. Si el
Sr. Alonso solo está interesado en el rendimiento esperado qué cantidad de dinero invierte
en cada empresa no es relevante, pero si además de estar interesado en el rendimiento
esperado también le preocupa el riesgo de la inversión puede minimizarlo dividiendo su
inversión a partes iguales en acciones de las dos empresas. Cualquier otra combinación
aumenta el riesgo de la inversión.
1.2.
La distribución normal
Algunas situaciones experimentales dan lugar a distribuciones de probabilidad especı́ficas. Sin embargo, en economı́a, en la mayorı́a de los casos, las distribuciones utilizadas son simplemente modelos
de los fenómenos observados. Una de las distribuciones más utilizadas en economı́a y en las aplicaciones empresariales es la distribución normal ya que se adecúa a una gran variedad de variables
aleatorias, por ejemplo: las ventas de una empresa, la producción, los precios de las acciones y bonos,
los precios de viviendas, la renta, etc.
La función de densidad de una variable aleatoria X con distribución normal de media µ y
desviación tı́pica σ es:
1
2
2
f (x) = √
e−(x−µ) /2σ
2
2πσ
para − ∞ < x < ∞.
(1.8)
La distribución normal representa una gran familia de distribuciones, cada una con una especificación única de los parámetros µ y σ 2 . La media de la variable aleatoria es: E(X) = µ. La varianza de
la variable aleatoria es: V (X) = E[(X − µ)2 ] = σ 2 . La forma de la función de densidad es una curva
simétrica en forma de campana centrada en su media µ y exceso de curtosis cero. Habitualmente
se denota
X ∼ N (µ, σ 2 ).
34
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Igual varianza y distinta media
Igual media y distinta varianza
N(0, 1)
N(6, 1)
0,4
N(3, 81)
N(3, 16)
0,1
0,35
0,08
0,06
0,25
f(X)
f(X)
0,3
0,2
0,04
0,15
0,1
0,02
0,05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0
-40
12
-30
-20
-10
X
0
10
20
30
40
X
Figura 1.2: Ejemplos de función de densidad de la distribución normal
La Figura 1.2 muestra ejemplos de la función de densidad de la distribución normal. A la izquierda
se muestran dos funciones de densidad normal con igual varianza, σ 2 = 1, y distinta media. Notar
que cuanto mayor es la media, mayor es el valor que se espera que tomen las realizaciones del
experimento. En la derecha se muestran dos distribuciones con igual media y distinta varianza. Notar
que cuanto menor es la varianza de la variable, mayor es la probabilidad concentrada alrededor de
la media.
Función de distribución acumulada de la distribución normal. Supongamos que X ∼ N (µ, σ 2 ).
La función de distribución acumulada es
F (x0 ) = P (X ≤ x0 )
(1.9)
y se representa por el área debajo de la función de densidad normal a la izquierda de x0 en el
gráfico de la izquierda en la Figura 1.3. A la derecha se muestra la la forma general de la función
de distribución acumulada.
1
N(0, 1)
0,4
0,9
0,35
0,8
0,3
0,7
0,6
f(X)
0,25
f(X)
FDA normal
0,2
0,5
0,4
0,15
0,3
0,1
0,2
0,05
0,1
0
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
X
1 Xo 2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
0
X
1
2
Figura 1.3: Función de distribución acumulada de la distribución normal
35
3
4
50
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
P (a < X < b) = F (b) − F (a)
N(0, 25)
0,08
0,07
0,06
0,05
f(X)
Probabilidades de intervalos de variables
aleatorias normales. Sea X una variable aleatoria con función de distribución
F (x0 ) y a y b son dos posibles valores de
la misma tal que a < b.. Entonces:
(1.10)
0,04
0,03
0,02
La probabilidad es el área situada debajo
de la correspondiente función de densidad
entre a y b como muestra la Figura de la
derecha.
0,01
0
-25
-20
-15
-10 a -5
0
X
5
b10
15
20
25
Ejercicio 1.6
Sea X ∼ N (µ, σ 2 ) se pide obtener la distribución de la variable Y = a + bX siendo a y
b dos constantes cualesquiera.
Ejercicio 1.7
Sean X ∼ N (50, 10) e Y ∼ N (20, 40). La covarianza entre ambas es 0,5. Calcula la
media y varianza de la variable aleatoria Z = 5X − 4Y .
1.2.1.
La distribución normal estandarizada
El cálculo de la probabilidad de cualquier distribución normal de media y varianza determinadas es
engorroso. Sin embargo es más sencillo si la convertimos en una variable normal estandarizada, es
decir de media cero y varianza 1. Para ello debemos utilizar la transformación
Z=
X −µ
σ
donde X ∼ N (µ, σ 2 ). Habitualmente la función de densidad de la variable Z normal estandarizada
se denota por φ(Z):
1
2
φ(Z) = √ e−Z /2 .
2π
(1.11)
Una vez realizada la transformación podemos utilizar la tabla normal estándar para calcular las
probabilidades de cualquier variable aleatoria distribuida normalmente. Como la forma de la distribución no varı́a bajo transformaciones lineales, no es necesario tabular la distribución para otros
valores de µ y σ. Para cualquier variable normalmente distribuida se cumple:
µ
¶
a−µ
X −µ
b−µ
P (a < X < b) = P
<
<
.
σ
σ
σ
36
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Además dado que la distribución es simétrica Φ(−Z) = 1 − Φ(Z) donde Φ(Z) denota función de
distribución de la variable Z normal estandarizada. Por tanto las tablas de la distribución mostraran
únicamente la cola positiva de la distribución. A continuación mostraremos como utilizar las tablas
de la normal estándar para el cálculo de probabilidades. La tabla da los valores de
Φ(Z) = P (Z ≤ z)
(1.12)
correspondientes a valores no negativos de z. Ver la Figura 1.4 para los ejemplos siguientes:
• La probabilidad acumulada de un valor de Z = 1, 65 es Φ(1, 65) = P (Z ≤ 1, 65) = 0, 9505.
• Dado que la distribución es simétrica la probabilidad de que Z > −1, 65 es también 0, 9505;
P (Z > −1, 65) = P (Z ≤ −1, 65) = 0, 9505.
• La probabilidad acumulada de un valor Z = −1, 65 es Φ(−1, 65) = 1−Φ(1, 65) = 1−0, 9505 =
0, 0495.
N(0, 1)
0,4
0,35
0,35
0,3
0,3
0,25
0,25
f(X)
f(X)
N(0, 1)
0,4
0,2
0,9505
0,15
0,2
1-F(1,65)=1-0,0495=0,9505
0,15
F(-1,65)=0,0495
0,1
0,1
0,05
0,05
0
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
X
11,65 2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
4
5
Figura 1.4: Probabilidades correspondientes a Z = 1, 65 y Z = −1, 65 en la distribución normal
estándar
Ejemplo 1.8
Suponiendo X ∼ N (8, 4) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor entre X1 = 4
y X2 = 12? ¿Cuál es la probabilidad de que exceda de 12?
Para calcular la probabilidad obtenemos los valores de Z tal que:
Z1 =
X1 − µ
4−8
=
= −2
σ
2
Z2 =
X2 − µ
12 − 8
=
= +2.
σ
2
Luego P (4 < X < 12) = P (−2 < Z < 2) = Φ(2) − Φ(−2) = Φ(2) − (1 − Φ(2)) =
0, 9772 − (1 − 0, 9772) = 0, 9544. La probabilidad de que X exceda el valor 12 es la
misma que la probabilidad de que Z exceda de 2, luego (P (X > 12) = P (Z > 2) =
P (Z < −2) = 1 − 0, 9772 = 0, 0228.
37
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejemplo 1.9
Un inversor tiene una cartera cuyo valor medio es de 650.000e y su desviación tı́pica
es 18.000e. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de la cartera esté entre 632.000e y
686.000e?
Para calcular la probabilidad de que el valor de su cartera esté entre 632.000e y 686.000e
utilizaremos el resultado:
µ
¶
a−µ
X −µ
b−µ
P (a < X < b) = P
<
<
=
σ
σ
σ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
b−µ
b−µ
b−µ
a−µ
=F
−F
.
<Z<
=P
σ
σ
σ
σ
Tenemos que calcular primero probabilidad de la cartera tenga una valor de 632.000 y
686.000e respectivamente.
632000 − 650000
Z(632000) =
= −1.
18000
686000 − 650000
Z(686000) =
= 2.
18000
Luego la probabilidad de que el valor de la cartera esté entre 632.000e y 686.000e es
igual a la probabilidad de que Z esté entre −1 y 2.
³
´
− 650000 < Z < 686000 − 650000 =
P (632000 ≤ X ≤ 686000) = P 632000
18000
18000
= P (−1 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−1) =
= Φ(2) − (1 − Φ(1)) =
= 0, 9772 − (1 − 0, 8413) = 0, 8185.
luego la probabilidad de que el valor de la cartera esté entre 632.000e y 686.000e es
del 81, 85 %.
Ejemplo 1.10
Supongamos dos inversiones cuya función de incertidumbre es una distribución normal.
La inversión A ∼ N (10,4, (1,2)2 ) y la inversión B ∼ N (11, (4)2 ), ¿cuál se debe elegir
para maximizar la probabilidad de generar un rendimiento de al menos un 10 %?
En la inversión A la probabilidad de que el rendimiento sea más del 10 % es:
µ
¶
10 − 10, 4
P Z>
= P (Z > −0, 33) = P (Z < 0,33) = Φ(0, 33) = 0, 6293.
1, 2
En la inversión B la probabilidad de que el rendimiento sea más del 10 % es:
µ
¶
10 − 11
P Z>
= P (Z > −0, 25) = P (Z < 0, 25) = Φ(0, 25) = 0, 5987.
4
La inversión A maximiza la probabilidad, luego es más interesante que la B.
38
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 1.8
La sociedad MaxBolsa gestiona una cartera con 20 acciones de la empresa A y 30 acciones
de la empresa B. Denotamos por X al precio de las acciones de la empresa A tal que
X ∼ N (25, 81). Denotamos por Y al precio de las acciones de la empresa A tal que
Y ∼ N (40, 121). La correlación entre los precios de las acciones de -0,40. ¿Cuál es la
probabilidad de que el valor de la cartera sea más de 2000 e ? Si la correlación entre los
precios es de 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el valor de la cartera sea más de 2000
e ? ¿Cuál es la relación entre el riesgo de una cartera y la correlación de los activos que
la componen?
Derivadas de la distribución normal existen otras muchas distribuciones. Tres de ellas, las distribuciones chi-cuadrado, t-Student y F-Snedecor, son muy útiles en econometrı́a. Surgen como sumas de
n variables adicionales. Estas tres distribuciones tienen asociados uno o dos parámetros de nominados grados de libertad que en nuestros términos serán el número de variables en la suma relevante.
1.2.2.
La distribución chi-cuadrado
• Si Z ∼ N (0, 1), entonces X = Z 2 ∼ χ2(1) y se lee X sigue una distribución chi-cuadrado con
un grado de libertad. Esta es una distribución asimétrica, solo tiene cola positiva, con media 1 y
varianza 2.
• Sea Zi ∼ N ID(0, 1) i = 1, . . . , n variables aleatorias independientes con distribución normal
estándar, entonces:
n
X
X=
Zi2 ∼ χ2(n)
(1.13)
i=1
y se dice que X es una variable aleatoria chi-cuadrado con n grados de libertad. Es una distribución
asimétrica, con media igual a n y varianza 2n.
Para valores negativos de X, f (x) = 0 y la forma general de su función de densidad se muestra en la
Figura 1.5. Existen tablas que proporcionan la probabilidad acumulada hasta un punto P (X ≤ x)
en función de los grados de libertad. A la hora de buscar en las tablas es necesario una tabla
distinta de la distribución chi-cuadrado para cada n. En la tabla correspondiente aparecen los
valores de la distribución correspondientes a diferentes puntos de corte especı́ficos en la única cola
de la distribución para distintos valores de los grados de libertad.
1.2.3.
La distribución t-Student
Sean Z ∼ N (0, 1) y X ∼ χ2(n) independientes entonces:
Z
p
X/n
∼ t(n)
39
(1.14)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
0,25
Chi-cuadrado(3)
Chi-cuadrado(6)
0,2
n=3
f(X)
0,15
n=6
0,1
0,05
0
0
2
4
6
8
10
X
12
14
16
18
20
Figura 1.5: Función de densidad de la distribución Chi-cuadrado
y se lee distribución t-Student con n grados de libertad. La Figura 1.6 incluye ejemplos de la función
de densidad de la t-Student comparándolas con la distribución normal estándar:
0,5
t(2)
t(4)
t(25)
N(0, 1)
0,45
0,4
0,35
f(X)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
4
5
Figura 1.6: Función de densidad de la distribución t-Student
La distribución t-Student tiene la misma forma que la distribución normal, es campaniforme y
simétrica pero las colas son más anchas, el exceso de curtosis es positivo. A medida que aumentan
los grados de libertad la distribución t converge a la normal estándar. En su tabla correspondiente
aparecen los valores de la distribución correspondientes a diferentes puntos de corte especı́ficos en
las colas para distintos valores de los grados de libertad.
1.2.4.
La distribución F-Snedecor
Sean X1 ∼ χ2(n1 ) y X2 ∼ χ2(n2 ) independientes, entonces
X1 /n1
∼ F(n1 , n2 )
X2 /n2
(1.15)
y se lee distribución F-Snedecor con n1 y n2 grados de libertad. La Figura 1.7 muestra su función
de densidad para distintos grados de libertad. Las tablas de la distribución F-Snedecor se computan
para cada par de valores (n1 , n2 ), donde n1 son los grados de libertad del numerador y n2 son
40
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
los grados de libertad del denominador. En general solo se tabulan para valores especı́ficos como
95 % y 99 % de la cola superior. A medida que aumentan los grados de libertad del denominador la
distribución n1 F(n1 ,n2 ) converge a la una χ2(n1 ) .
1,2
F(15, 15)
F(15, 100)
F(100, 15)
1
f(X)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
X
Figura 1.7: Función de densidad de la distribución F-Snedecor
Hay que notar la relación entre la distribución t y la distribución F :
Si t ∼ t(n)
entonces t2 ∼ F(1, n)
(1.16)
Ejercicio 1.9
Suponiendo X ∼ N (3, 9) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor entre X1 = 4
y X2 = 6?
1.3.
Muestreo de una población. Muestras aleatorias
En este punto vamos a construir modelos de probabilidad para distintos estadı́sticos calculados a
partir de datos muestrales. Estos modelos de probabilidad se llaman distribuciones en el muestreo
y se utilizan para desarrollar diversos métodos de inferencia estadı́stica. Los métodos estadı́sticos se
centran en la realización de inferencia sobre grandes poblaciones de objetos utilizando una pequeña
muestra de objetos.
En general el análisis estadı́stico y el análisis econométrico se basan en el estudio de una muestra.
Medir una variable para la población en ocasiones es imposible y en otras ocasiones muy costoso.
Pensemos que ejemplos de una población son todas las familias que viven en un paı́s, región o ciudad;
el número de hogares de una autonomı́a, todas las empresas que declaran su actividad en el sector
servicios, etc. Luego la población son todos los elementos objeto de estudio. Medir por ejemplo la
renta en todas las familias de un paı́s resulta excesivamente costoso en términos de tiempo y coste.
Sin embargo, quizá no lo sea tanto hacerlo en una muestra aleatoria extraı́da de dicha población.
Luego muestra serı́a la parte de la población que vamos a utilizar en el estudio para extraer
conclusiones. Por tanto la muestra está contenida en la población y nosotros la utilizaremos para
establecer conclusiones que puedan extrapolarse a la población. Para ello la muestra extraı́da debe
ser representativa de la población. Una forma de conseguirlo es usando una muestra aleatoria
simple. Para ello seleccionamos una muestra de n objetos de una población de N objetos. En el
41
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
supuesto de las familias la población son todas las familias, que supongamos son N , y la muestra
un subconjunto de las misma de tamaño n. En la muestra seleccionada todos los objetos tienen la
misma probabilidad de ser seleccionados y se seleccionan independientemente, luego la selección de
uno de ellos no altera la probabilidad de que sean seleccionados otros objetos.
Definición. Muestra aleatoria simple: Una muestra de n observaciones de una o más variables,
designadas por X1 , X2 , . . . , Xn es una muestra aleatoria si las n observaciones son extraı́das independientemente de la misma población o distribución de probabilidad. La muestra puede ser univariante
si Xi es la única variable aleatoria o multivariante si cada observación contiene varias variables. La
muestra, designada como (X1 , X2 , . . . , Xn ) o {Xi }i=1,...,n se dice que está independientemente e
idénticamente distribuida, se denota iid.
Dada una población podemos muestrearla repetidamente mediante un muestreo aleatorio. El muestreo aleatorio protege de que una parte de la población esté subrepresentada o sobrerepresentada
en la muestra. Por otra parte cada muestra obtenida de una población con el mismo número de
observaciones tendrá una media muestral X̄ distinta, luego X̄ es una variable aleatoria con una
distribución de probabilidad. La distribución en el muestreo de este estadı́stico, X̄, es la distribución de probabilidad de las medias muestrales obtenidas de estas muestras posibles extraı́das de
la población con el mismo número de observaciones. La distribución en el muestreo de las medias
muestrales posibles es la base para realizar inferencia sobre la población. Utilizamos la información
muestral para hacer inferencia sobre la población. Por ejemplo, utilizando la media y la varianza
muestral podemos hacer inferencia sobre la media y varianza poblacional, que son desconocidas y
caracterizan la distribución poblacional.
1.4.
Estadı́sticos y distribuciones en el muestreo
Antes de intentar estimar los parámetros de una población se examinan los datos. Visualizarlos
gráficamente es útil pero si la muestra es de tamaño grande debemos usar estadı́sticos para describirla. Los más interesantes son las medidas de posición, es decir el valor central de los datos, y de
escala o dispersión de los datos.
• Medidas de tendencia central o posición:
1
n
Pn
Media muestral:
X̄ =
i=1 Xi
Mediana:
m = valor de posición central
Amplitud muestral: amm = Máximo-Mı́nimo
2
• Medidas de dispersión o escala:
Varianza muestral:
2 =
SX
Desviación estándar: SX =
42
Pn
2
i=1 (Xi −X̄)
n−1
h Pn
2
i=1 (Xi −X̄)
n−1
i1/2
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• En muestras multivariantes, por ejemplo con dos variables X e Y , además pueden resultar interesantes las siguientes medidas:
Covarianza:
SXY =
Correlación: rXY =
Pn
i=1 (Xi −X̄)(Yi −Ȳ
)
n−1
SXY
SX SY
La covarianza mide la variación conjunta de dos variables, y su signo indica la dirección de la
variación, depende de las escalas de medida. El coeficiente de correlación mide al grado de asociación
lineal y no se ve afectado por la escala de las variables, siempre está comprendido entre −1 y 1.
Cuando hay más de dos variables es más útil ordenar estas covarianzas y correlaciones en las matrices
correspondientes como se verá más adelante.
Cada una de las medidas anteriores tienen su correspondiente medida poblacional basada en la distribución a partir de la cual han sido generados los datos. Los valores muestrales se corresponden con
esperanzas poblacionales y esperamos que los valores de estos estadı́sticos tiendan a parecerse a los
valores de los parámetros poblacionales. La manera en que se aproximan a los valores poblacionales
viene dada por la distribución muestral del estadı́stico.
Un estadı́stico es una función que se calcula a partir de los datos contenidos en una muestra. La
media muestral es un estadı́stico, la varianza muestral es otro estadı́stico. Como ya se ha indicado
cuando hacemos un muestreo aleatorio simple repetido cada muestra obtenida de una población con
el mismo número de observaciones tendrá una media muestral X̄ distinta, luego el estadı́stico X̄ es
una variable aleatoria con una distribución de probabilidad a la que se llama distribución en el
muestreo o distribución muestral. La distribución muestral es la base para realizar inferencia
sobre la población. Los parámetros que caracterizan a la distribución de la población, la media
y varianza poblacionales son desconocidos. Podemos decir algo de ellos utilizando los estadı́sticos
muestrales homónimos mediante la inferencia estadı́stica.
Los momentos muestrales por ser función de la muestra recogida son variables aleatorias y su valor
cambia de una muestra a otra. La media muestral, X̄ como variable aleatoria que es tiene una
esperanza matemática que coincide con la de la distribución de que se obtuvo la muestra, es decir
E(X̄) = µX . Además si las observaciones muestrales son independientes la varianza de la media
muestral es igual a la varianza de la variable aleatoria de la que se obtuvo la muestra dividida por
σ2
el tamaño muestral, es decir V (X̄) = nX
Tanto la media poblacional como la muestral son medidas de localización. µX refleja el valor alrededor del cual se van a situar todas las posibles observaciones que podamos obtener de la variable
aleatoria X. La media muestral X̄ refleja lo mismo pero relativo a los valores de la muestra.
Con respecto a la varianza, debemos recordar que es una medida de dispersión, siendo la dispersión
la mayor o menor variabilidad de los valores de la variable aleatoria alrededor de su valor medio. Si
la varianza es pequeña será porque las desviaciones de la variable aleatoria en torno a su valor medio
son pequeñas, con lo que la media será representativa del conjunto de valores de la distribución y
por consiguiente, la dispersión será pequeña. Si la varianza es grande, la dispersión será grande y
la media de la variable aleatoria no será representativa. Cuanto mayor sea la varianza mayor es la
probabilidad de obtener valores alejados de µX .
43
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
1.5.
La distribución de la media muestral
Sean X1 , X2 , . . . , Xn observaciones de una muestra aleatoria extraı́da de una población de media µ
2
y varianza σ 2 . La media muestral X̄ es una variable aleatoria de media µ y varianza σn . Prueba1 :
P
X̄ = n1 ni=1 Xi
E(X̄) = E
¡ 1 Pn
¢
V (X̄) = V
¡ 1 Pn
¢
n
n
i=1 Xi
i=1 Xi
Pn
= E( n1 (X1 + X2 + . . . + Xn )) =
1
n
= V ( n1 (X1 + X2 + . . . + Xn )) =
1
n2
i=1 E(Xi )
Pn
i=1 V
=
1
n
(Xi ) =
Pn
1
n2
i=1 µ
Pn
nµ
= n =µ
i=1 σ
2
2
2
= nσ2 = σn
n
Por tanto la media de la distribución de la media muestral es la media poblacional y la varianza de la
distribución de la media muestral es la varianza poblacional dividida por el número de observaciones
o tamaño de la muestra, n. Si Xi ∼ N ID(µ, σ 2 ) i = 1, . . . , n entonces X̄ es una combinación lineal
de n variables aleatorias independientes, por lo que su distribución muestral es:
¶
µ
σ2
X̄ ∼ N µ,
(1.17)
n
Analicemos el significado del resultado sobre la media de la distribución. Que la media de la distribución de la media muestral sea la media poblacional indica que a medida que aumenta el número
de muestras la media de las medias muestrales se aproxima a la verdadera media poblacional. Una
única media muestral puede ser mayor o menor que la poblacional pero en promedio no hay razones
para esperar que una media muestral sea mayor o menor que la poblacional. Con respecto a la
varianza de la distribución de la media muestral vemos que esta disminuye a medida que aumenta
el tamaño muestral. Luego más concentrada está la distribución en el muestreo. En resumen cuanto
mayor es el tamaño muestral más seguros estamos de la inferencia sobre la media poblacional.
2 a la varianza de la media muestral podemos definir la desviación tı́pica de
• Si denotamos por σX̄
la misma como σX̄ = √σn .
• Si el tamaño de la muestra no es pequeño en relación al de la población los miembros de la
muestra no se distribuyen independientemente. En este caso la varianza de la media muestral es
2
−n
N −n
V (X̄) = σn N
N −1 donde N es el tamaño de la población y el término N −1 se denomina factor de
corrección en el caso de una población finita.
La distribución muestral se utiliza para hacer inferencia sobre la población. Para ello se utilizan
estimadores. Un estimador es un estadı́stico calculado a partir de la muestra que pretende ser una
aproximación a un parámetro desconocido. Obviamente del ejemplo anterior podemos deducir que
un estimador de la media poblacional es la media muestral dado que la distribución muestral de la
media de un conjunto de observaciones de variables normales tine media µ. La inferencia estadı́stica
nos permitirá obtener conclusiones sobre la media poblacional desconocida utilizando la distribución
de la media muestral.
1
Para calcular el resultado sobre la varianza de la distribución se ha utilizado el hecho de que las distribuciones
de los miembros de muestras aleatorias son aproximadamente independientes cuando la población es muy grande en
relación al tamaño de la muestra.
44
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
1.6.
Bibliografı́a del tema
Referencias bibliográficas básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editorial AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl:
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[3] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial y Análisis de Regresión. Material docente. Servicio
de Publicaciones.
[4] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicación on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
45
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
46
Tema 2
Estimación por punto y por intervalo
Los economistas en general estamos interesados en las relaciones entre las variables económicas.
Por ejemplo ¿cómo variará el consumo de las familias si sus ingresos se ven incrementados en 100e
al mes? o ¿cómo influirá en el consumo un incremento del impuesto del valor añadido de un 1 %?
¿cómo variaran las ventas de un modelo de automóvil si se reduce su precio en 1500 e ? Sin embargo,
muchas cuestiones de intere se centran en el comportamiento de una única variable. Por ejemplo,
un diseñador de espacios públicos para ver espectáculos sentado estará interesado en ver cual es el
tamaño adecuado de la butaca y cuál debe ser su distancia con respecto a la butaca inmediatamente
delante y detrás de ella. Quizá su pregunta relevante sea ¿cuál es el tamaño medio de los futuros
espectadores? Imaginemos que diseña una butaca de 45 cm de ancho situada a 86 cm de la butaca
anterior ¿qué porcentaje de espectadores no pueden sentarse en estas condiciones? Para contestar
a estas preguntas deberı́amos medir a cada miembro de la población, cosa que no podemos hacer.
Sin embargo, la estadı́stica tiene instrumentos que pueden ayudarnos a contestar estas preguntas.
En este tema nos introduciremos en el conocimiento de la inferencia estadı́stica para establecer
conclusiones sobre una población basándonos en la muestra. Introduciremos el concepto de estimador
y estimación. Presentaremos dos métodos de estimación, la estimación por punto y la estimación
por intervalo. Veremos qué propiedades debe tener un estimador y como construir intervalos de
confianza. Aplicaremos los resultados a la media de una población normal.
Competencias a trabajar en estas sesiones:
1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, ası́ como sus propiedades para
poder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.
5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadı́stico de datos económicos haciendo
uso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.
47
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Al final de este tema deberı́ais ser capaces de:
1. Diferenciar entre población y muestra.
2. Relacionar los conceptos de población y variable aleatoria y conocer qué información sobre la
población proporcionan la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria, el
valor esperado y la varianza.
3. Explicar la diferencia entre media poblacional y media muestral.
4. Conocer la diferencia entre parámetro, estimador y estimación. Entender la razón de que un
estimador sea una variable aleatoria con distribución asociada.
5. Definir los conceptos de insesgadez y eficiencia.
6. Elegir entre estimadores con un criterio estadı́stico.
7. Conocer la diferencia entre estimación por punto y por intervalo.
8. Interpretar un intervalo de confianza.
9. Construir un intervalo de confianza para la media de una población normal con varianza
conocida y con varianza desconocida.
Bibliografı́a Recomendada:
Al final del tema tenéis recogida la bibliografı́a correspondiente. En particular os recomendamos
leer los capı́tulos correspondientes a la bibliografı́a básica detallados a continuación:
• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.
• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 8 salvo la sección 8.5 y Cap. 9 salvo la
sección 9.3.
• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.
• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice C.
48
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2.1.
Introducción a la inferencia estadı́stica
En el tema anterior vimos la diferencia entre población y muestra. La población es el conjunto de
todos los elementos objeto de estudio mientras que la muestra es un subconjunto representativo
de la población. Para decir algo de las caracterı́sticas de la población a partir del estudio de la
muestra utilizamos la inferencia estadı́stica. Cualquier inferencia extraı́da de la población se basa
en estadı́sticos muestrales.
Una vez definida la población, hay que especificar un modelo para los datos que recoja las caracterı́sticas poblacionales que interesan. En Econometrı́a suponemos que los datos X1 , X2 , . . . , Xn
son realizaciones de n variables aleatorias cuya distribución conjunta depende de varios parámetros
desconocidos Θ. Un modelo para los datos especifica las caracterı́sticas generales de la distribución
junto con el vector de parámetros desconocidos Θ. Por ejemplo, supongamos que nos interesa conocer
las ventas medias de un determinado modelo de automóvil y la muestra está formada por 30 empresas concesionarias. Suponemos que los valores recogidos de las ventas de los 30 concesionarios,
X1 , . . . , X30 , son realizaciones de variables normales idéntica e independientemente distribuidas,
N ID. Por tanto, el modelo especificado para los datos es:
2
Xi ∼ N ID(µX , σX
)
(2.1)
Los parámetros que determinan la distribución son la media y la varianza de las ventas, que son
desconocidos, es decir, Θ = (µ, σ 2 ). Además, la media es el parámetro de interés en el estudio y
queremos aprender sobre ella a partir de los datos.
Para poder decir algo de la población a partir de la muestra disponemos de dos herramientas de la
estadı́stica, la estimación y el contraste de hipótesis. En la estimación se trata de calcular posibles
valores para parámetros de interés, por ejemplo, el salario medio de los graduados en Finanzas y
Seguros o el salario medio de las mujeres casadas con carga familiar y estudios superiores. En el
contraste de hipótesis hay que establecer una hipótesis o conjetura especı́fica sobre la población, por
ejemplo, que no hay discriminación salarial por sexo o que la renta disponible determina el consumo
de las familias, y analizar los datos para decidir si la hipótesis es correcta. En este tema veremos
una introducción al problema de la estimación y en el tema siguiente introduciremos el contraste
de hipótesis.
2.2.
Estimadores puntuales
Los parámetros son desconocidos pero pueden estimarse. El objetivo de la estimación es aproximar
el valor de un conjunto de parámetros desconocidos de una distribución a partir de las observaciones
muestrales de la misma. Denotaremos como θ a un parámetro desconocido y Θ = (θ1 , θ2 , . . . , θK )0 a
un vector de K parámetros desconocidos. Un estadı́stico es una función, o fórmula, que se calcula
a partir de los datos contenidos en una muestra. La media muestral es un estadı́stico, la varianza
muestral es otro estadı́stico. Un estimador de un parámetro poblacional es una variable aleatoria
que depende de la información de la muestra. Su valor proporciona aproximaciones al parámetro
desconocido. Notacionalmente un estimador del parámetro desconocido θ es un estadı́stico que
pretende ser un aproximación a dicho parámetro desconocido y se denota por θ̂. Una vez se aplica
49
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
un estimador a la muestra se obtiene un valor numérico que se denomina estimación. Un estimador
que genera un único valor de estimación se denomina estimador por punto.
2.2.1.
Propiedades
Sin embargo, no existe un único estimador. En el caso anterior hemos propuesto como estimador de la
media poblacional a la media muestral pero igualmente podı́amos haber propuesto como estimador
a la mediana muestral. ¿Cuál elegir entonces? Para elegir entre estimadores podemos basarnos en
las propiedades de la distribución muestral del estimador. En general exigimos a los estimadores
que se aproximen al verdadero valor de los parámetros, vamos a fijarnos en tres propiedades en
concreto: insesgadez, eficiencia y error cuadrático medio.
Insesgadez. Un estimador es insesgado si la media de su distribución empı́rica coincide con el
verdadero valor del parámetro, es decir,
E(θ̂) = θ
Si se pudieran obtener todas las posibles realizaciones muestrales de θ̂, el promedio de todas estas
estimaciones serı́a el verdadero valor del parámetro. Es una propiedad deseable porque indica que
si un estimador es insesgado, el error de estimación, θ̂ − θ, se anula en promedio.
Cuando E(θ̂) 6= θ se dice que el estimador es sesgado. Se define el sesgo de un estimador como
Sesgo(θ̂) = E(θ̂) − θ
La parte izquierda de la Figura 2.1 representa las distribuciones de tres estimadores de un mismo
parámetro, θ: el estimador θ̂1 es insesgado; θ̂2 , tiene sesgo negativo, es decir, en promedio subestima
(subvalora) el valor del parámetro; finalmente el sesgo de θ̂3 es positivo, es decir, este estimador en
promedio sobrestima (sobrevalora) el valor del parámetro.
Figura 2.1: Sesgo y varianza de estimadores
Un ejemplo de estimador insesgado de la media poblacional, µ, de una distribución normal es la
media muestral µ̂ = X̄, ya que como se demostró en el Tema 1, E(X̄) = µ. Un estimador insesgado
de la varianza de una distribución es la varianza muestral, σ̂ 2 = S 2 tal que E(σ̂ 2 ) = σ 2 .
50
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Eficiencia. Si nos fijamos únicamente en los estimadores insesgados, nos interesa establecer un
criterio para elegir un estimador dentro de esta clase de estimadores. En la parte derecha de la Figura
2.1 se representa la distribución de dos estimadores, ambos insesgados. Claramente, el estimador con
menor varianza, θ̂1 , tiene una probabilidad menor de obtener realizaciones alejadas del verdadero
valor del parámetro. Por tanto, se considera que θ̂1 supera al estimador θ̂2 y se dice que θ̂1 es más
eficiente que θ̂2 ya que V (θ̂1 ) < V (θ̂2 ).
En general, si un estimador es el que tiene menor varianza dentro de una clase de estimadores se
dice que es el estimador eficiente dentro de esa clase. Ası́, se dice que un estimador θ̂ es eficiente
dentro de la clase de estimadores insesgados si no hay otro estimador insesgado θ̃ con una varianza
menor:
V (θ̂) ≤ V (θ̃)
∀θ̃ insesgado
Por ejemplo, la media de los datos es un estimador eficiente dentro de la clase de estimadores
insesgados de la media poblacional µ de una variable normal. Es decir, se demuestra que, si Xi ∼
N ID(µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n, entonces para todo estimador insesgado de µ, µ̃ con E(µ̃) = µ:
V (X̄) =
σ2
≤ V (µ̃)
n
b
Si se trata de estimar un conjunto de K parámetros Θ, se dice que un estimador insesgado Θ
b es una matriz
es más eficiente que otro estimador insesgado Θ̃ si la diferencia [V (Θ̃) − V (Θ)]
b
semidefinida positiva. Esto implica que cada elemento de Θ tiene una varianza menor o igual que
el correspondiente elemento de Θ̃.
Error cuadrático medio. Aunque la insesgadez es una propiedad deseable, esto no implica que un
estimador insesgado siempre sea preferible a uno sesgado. La Figura 2.2 ilustra una situación en la
que un estimador insesgado θ̂1 puede descartarse frente a otro sesgado, θ̂2 . El estimador θ̂1 tiene
mucha varianza, por lo que tiene una probabilidad mayor de obtener errores de estimación más
grandes que el estimador con menor varianza, θ̂2 , aunque este sea sesgado.
Figura 2.2: Ejemplos de distribución de estimadores
Esto sugiere utilizar como criterio de elección de estimadores una medida del error del estimador.
Se define el error cuadrático medio de un estimador:
ECM (θ̂) = E[(θ̂ − θ)2 ] = V (θ̂) + [sesgo(θ̂)]2
51
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
que se descompone en un término de varianza y otro de sesgo. Ası́, entre un conjunto de estimadores
se elige aquel que tiene menor error cuadrático medio.
Ejercicio 2.1
Sea X ∼ N (µ, σ 2 ). Como estimador de la media poblacional se ha utilizado la media
muestral de una muestra aleatoria simple. El valor estimado es 5. Di si son ciertas o
falsas las siguientes afirmaciones:
1. Tomando muestras distintas pueden obtenerse otras estimaciones.
2. La distribución de estas estimaciones debe estar centrada entorno al verdadero
valor 5.
Ejercicio 2.2
Un profesor de Econometrı́a encarga a sus estudiantes que elijan la mejor estimación
posible de un parámetro de entre las alternativas disponibles en los libros de Econometrı́a.
El estudiante A propone un estimador insesgado tal que θ̂ = 5 V (θ̂) = 8.
El estudiante B propone un estimador insesgado tal que θ̂? = 6 V (θ̂? ) = 4.
El estudiante C propone utilizar la media de las dos estimaciones θ̂?? = 5, 5.
¿Cuál de las tres estimaciones es más adecuada? ¿ Por qué?
2.2.2.
Estimadores de la media y la varianza
La media muestral de los datos, X̄ puede ser un estimador de la media poblacional µX de una va2 de los datos es un estimador de su varianza poblacional
riable aleatoria X. La varianza muestral SX
2 . Es decir,
σX
n
µ̂X = X̄ =
1X
Xi
n
n
2
2
σ̂X
= SX
=
i=1
1 X
(Xi − X̄)2
n−1
i=1
Ejemplo 2.1
Supongamos que se dispone del salario medio por hora percibido 30 individuos. En la
Tabla 2.1 se recoge dicha información:
La estimación de la media del salario medio por hora es:
µ̂X = X̄ =
3, 10 + 3, 24 + 3 + 6 + . . . + 7, 78 + 12, 5 + 12, 5 + 3, 25
= 7, 8547
30
La estimación de la varianza es:
2
2
σ̂X
= SX
=
(3, 10 − 7, 8547)2 + (3, 24 − 7, 8547)2 + . . . + (3, 25 − 7, 8547)2
= 23, 8778
30 − 1
52
(2.2)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Individuo
Salario
Individuo
Salario
Individuo
Salario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,10
3,24
3,00
6,00
5,30
8,75
11,25
5,00
3,60
18,18
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6,25
8,13
8,77
5,5
22,2
17,33
7,5
10,63
3,6
4,5
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
6,88
8,48
6,33
0,53
6
9,56
7,78
12,5
12,5
3,25
Tabla 2.1: Datos sobre salario medio por hora
σ̂X =
2.3.
p
23, 8778 = 4, 8865
Estimación por intervalo
En la Tabla 2.1 anterior se estima que el salario medio por hora oscila alrededor de 7,8547 euros. Sin
embargo, ¿qué confianza podemos tener en este resultado? Por ejemplo, ¿valorarı́amos igual esta
cantidad si se hubiera calculado con una muestra de 5 observaciones? La respuesta obvia es NO,
sino que consideramos más fiables los resultados con 30 datos que con 5. Por tanto, un estimador
debe complementarse con una medida de su fiabilidad o precisión.
Un estimador es una variable aleatoria que depende de las variables Xi , i = 1, . . . , n. Su distribución
de probabilidad se denomina distribución muestral o distribución empı́rica del estimador. En el
ejemplo anterior, si Xi ∼ N ID(µ, σ 2 ), entonces el estimador µ̂ = X̄ es una combinación lineal de
n variables normales independientes. En el Tema 1 se demostró que su distribución muestral es:
µ̂ = X̄ ∼ N (µ, σ 2 /n)
De la distribución de la media muestral se deduce que la media muestral se distribuye alrededor de
la media poblacional y se concentra con más probabilidad alrededor de µ cuanto mayor es el tamaño
muestral n, es decir cuanto menor es la varianza. Por tanto, hay mayor probabilidad de obtener una
estimación cercana a µ con 30 datos que con 5. En este caso, es sensato utilizar como indicador de
√
la precisión a la desviación tı́pica σ/ n , menor desviación tı́pica, o lo que es igual menor varianza,
indica mayor precisión. Normalmente, σ 2 es desconocido, por lo que sustituimos su valor poblacional
2 . La estimación de la desviación tı́pica de la distribución
por el correspondiente q
muestral, σ̂ 2 = SX
muestral de X̄, σ̂X̄ =
2 =
σ̂X̄
σ̂
√X̄
n
se conoce como error tı́pico de X̄. En el ejemplo del salario
√
medio por hora obtenemos que el error tı́pico de estimación es 4, 8865/ 30 = 0, 8921. Es fácil
comprobar que si obtuviéramos los mismos valores de X̄ y SX con una muestra
de 5 observaciones,
√
el error tı́pico casi se multiplicarı́a por dos veces y media, SX̄ = 4, 8865/ 5 = 2, 185.
53
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Una forma de tener una mayor confianza en la estimación es obtener una estimación por intervalo.
Un estimador por intervalo o estimador de un intervalo de confianza de un parámetro poblacional
es una regla que utiliza la información muestral para hallar un intervalo que es probable que incluya
ese parámetro.
2.3.1.
Intervalos de confianza y nivel de confianza
Sea θ un parámetro desconocido. Supongamos que utilizando la información muestral se hallan
dos variables aleatorias A y B tales que P (A < θ < B) = 1 − α, donde α es cualquier número
comprendido entre 0 y 1. Si los valores muestrales especı́ficos A y B son a y b, entonces el intervalo
de a a b se llama intervalo de confianza de θ al 100(1 − α) %. La cantidad 100(1 − α) % se llama
nivel de confianza del intervalo.
Interpretación: Si se extraen repetidamente muestras aleatorias de la población, el verdadero valor
del parámetro θ se encontrará en el 100(1 − α) % de los intervalos calculados de esta forma. El
intervalo de confianza calculado de esta forma se expresa de la manera siguiente: a < θ < b a un
nivel de confianza del 100(1 − α) %.
2.3.2.
Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianza
conocida
Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra de n observaciones extraı́das de una población que sigue una
distribución normal de media µ desconocida y varianza conocida σ 2 . Vamos a calcular un intervalo
de confianza para la media poblacional al 100(1 − α) %. Sea
¶
µ
X̄ − µ
σ2
√ ∼ N (0, 1)
−→
Z=
X̄ ∼ N µ,
n
σ/ n
Sea zα/2 el valor de la distribución normal estándar tal que la probabilidad de la cola superior es
α/2. A continuación construimos el intervalo de confianza:
P (−zα/2 < Z < zα/2 ) = 1 − α
P (−zα/2 <
X̄−µ
√
σ/ n
< zα/2 ) = 1 − α
P (−zα/2 √σn < X̄ − µ < zα/2 √σn ) = 1 − α
´
³
P X̄ − zα/2 √σn < µ < X̄ + zα/2 √σn = 1 − α
Interpretación: Si se extraen repetida e independientemente muestras aleatorias de n observaciones
de la población y se calculan intervalos de confianza al 100(1 − α) %, entonces el 100(1 − α) %
contendrá el verdadero valor de la media poblacional.
Por ejemplo, fijado α = 5 %, zα/2 = 1, 96, el nivel de confianza es del 95 % y tenemos:
µ
¶
σ
σ
P X̄ − 1, 96 √ < µ < X̄ + 1, 96 √
= 0, 95
n
n
54
(2.3)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
La ecuación (2.3) es un intervalo de confianza al 95 por ciento para µ, luego el intervalo aleatorio
contiene a µ con probabilidad 0, 95. Es decir antes de obtener nuestra muestra aleatoria particular
hay una probabilidad del 95 por ciento de que (2.3) contenga a µ. La ecuación (2.3) es un ejemplo de
estimador por intervalo. El intervalo es aleatorio ya que los lı́mites inferior y superior cambian
con las diferentes muestras.
N(0, 1)
Interpretación: Si se extraen repetida e independientemente 100 muestras aleatorias
de n observaciones de la población y se
calculan 100 intervalos de confianza, entonces 95 de ellos contendrán el verdadero
valor de la media poblacional. El gráfico
muestra que la probabilidad de que una
variable aleatoria normal estándar se encuentre entre −1, 96 y 1, 96 es 0, 95.
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
Región de Aceptación
0,95
0,1
Región Crítica
0,025
0,05
Región Crítica
0,025
0
−5
2.3.3.
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Intervalos de confianza para la media de una población normal con varianza
desconocida. La distribución t de Student
Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra de n observaciones extraı́das de una población que sigue una distribución normal de media µ desconocida y varianza desconocida σ 2 . Vamos a calcular un intervalo
de confianza para la media poblacional al 100(1 − α) %. Sea
¶
µ
σ2
X̄ ∼ N µ,
n
−→
Z=
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1)
σ/ n
En el caso de que la varianza σ 2 sea conocida, vimos en el apartado anterior que el intervalo de
confianza 100(1 − α) % es:
¶
µ
σ
σ
=1−α
P X̄ − zα/2 √ < µ < X̄ + zα/2 √
n
n
Sin embargo si σ 2 es desconocida el resultado no puede ser utilizado directamente. También hemos
visto que la varianza muestral S 2 es un estimador de σ 2 por lo que para construir el intervalo de
confianza podemos utilizar el siguiente estadı́stico y distribución asociada:
t=
X̄ − µ
√ ∼ t(n−1)
σ̂/ n
siendo σ̂ 2 = S 2 . Sea t(v) α/2 el valor de la distribución t-Student con v grados de libertad tal que
la probabilidad de la cola superior es α/2. El intervalo de confianza 100(1 − α) % para la media
poblacional cuando la varianza es desconocida es:
µ
¶
σ̂
σ̂
P X̄ − t(n−1) α/2 √ < µ < X̄ + t(n−1) α/2 √
=1−α
n
n
55
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
con la misma interpretación que en el apartado anterior.
Por ejemplo, para α = 5 % y n = 49 tenemos t(n−1)α/2 = t(48)0,025 = 2, luego:
µ
¶
σ̂
σ̂
P X̄ − 2 × √ < µ < X̄ + 2 × √
= 0, 95
n
n
Ejemplo 2.2
Utilizando los datos de la Tabla 2.1 vamos a construir un intervalo de confianza al 95 %
para la media del salario medio por hora.
Para la variable X = Salario tenemos:
2 = S 2 = 23, 8778 ;
µ̂X = X̄ = 7, 8547 ; σ̂X
X
σ̂ = 4, 8865 ;
t(n−1)α/2 = t(30−1)0,025 = 2, 045
µ
¶
σ̂
σ̂
P X̄ − t(n−1)α/2 × √ < µ < X̄ + t(n−1)α/2 × √
= 0, 95
n
n
P (7, 8547 − 2 × 0, 8921 < µ < 7, 8547 + 2 × 0, 8921) = 0, 95
P (6, 070 < µ < 9, 6389) = 0, 95
Concluimos que con confianza del 95 % la media poblacional estará entre los valores
6, 070 y 9, 6389.
2.3.4.
Otros ejemplos
Además de construir intervalos de confianza para los parámetros de una población, como es la media
o la varianza también podemos construir intervalos de confianza para estimar algunos parámetros de
dos poblaciones. Por ejemplo un empresario puede estar interesado en comparar la productividad
media de sus trabajadores en dos plantas distintas, o podemos estar interesados en comparar la
media del salario medio por hora de hombres y mujeres. Para ello podemos construir un intervalo
de confianza para la diferencia de las medias. Veamos algunos ejemplos.
Intervalos de confianza de la diferencia entre dos medias: muestras independientes
Supongamos que extraemos una muestra de nX observaciones de una población normal de media µX
2 y una muestra independiente de n observaciones de una población normal de media
y varianza σX
Y
µY y varianza σY2 . Denotamos las medias muestrales respectivas por X̄ y Ȳ . Estamos interesados
en la diferencia de ambas medias, luego basamos la inferencia en dicha diferencia: X̄ − Ȳ . La media
y varianza de la variable aleatoria diferencia de medias es:
E(X̄ − Ȳ ) = E(X̄) − E(Ȳ ) = µX − µY
V (X̄ − Ȳ ) = V (X̄) − V (Ȳ ) =
56
2
σX
σ2
+ Y
nX
nY
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
La distribución de la variable aleatoria Z = X̄ − Ȳ combinación lineal de variables normales es una
normal:
(X̄ − Ȳ ) − (µx − µy )
q 2
Z=
∼ N (0, 1)
2
σX
σY
+
nX
nY
suponiendo que las varianzas son conocidas podemos escribir el siguiente intervalo de confianza:


s
s
2
2
2
2
σX
σX
σ
σ
P (X̄ − Ȳ ) − zα/2
+ Y < µX − µY < (X̄ − Ȳ ) + zα/2
+ Y  = 0, 95
nX
nY
nX
nY
Si las varianzas son desconocidas se han de estimar con lo que la variable aleatoria Z ya no sigue
una distribución estándar sino una t-Student con v = nX + nY − 2 grados de libertad donde estamos
suponiendo que las varianzas poblacionales aunque desconocidas son iguales1 .


s
s
2
2
2
2
σ̂
σ̂
σ̂
σ̂
X
X
P (X̄ − Ȳ ) − t(nX +nY −2)α/2
+ Y < µX − µY < (X̄ − Ȳ ) + t(nX +nY −2)α/2
+ Y  = 0, 95
nX
nY
nX
nY
Ejemplo 2.3
Supongamos que disponemos de una muestra sobre salario medio por hora para 252
2 ) y una muestra de salario medio
mujeres proveniente de una población X ∼ N (µX , σX
por hora para 274 hombres proveniente de una población Y ∼ N (µY , σY2 ) tal que:
X̄ = 4, 5877 σ̂X = 2, 5294
Ȳ = 7, 0995 σ̂Y = 4, 1609
Suponiendo que ambas muestras tienen varianza poblacional desconocida pero igual, el
intervalo de confianza al 100(1 − α) % para la diferencia de las medias es:
r
(4, 5877 − 7, 0995) ± t(524)α/2
1
2, 52942 4, 16092
+
252
274
Los grados de libertad v dependen del supuesto que se realice sobre las varianzas de ambas poblaciones.
• Si suponemos que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales: v = nX + nY − 2. Este es el
supuesto más habitual.
• Si suponemos que"las varianzas
poblacionales son desconocidas y no son iguales y las muestras son de distinto
#
tamaño: v =
2
σ̂X
nX
2
σ̂ 2
+ nY
(σ̂ 2 /nX )2
X
(nX −1)
Y
2
(σ̂ /nY )
Y
+ (n
Y −1)
2
• Si suponemosque las varianzas
 poblacionales son desconocidas y no son iguales y las muestras son del mismo
tamaño: v = 1 +
σ̂ 2
X
σ̂ 2
Y
2
2
σ̂
Y
+ 2
σ̂
 × (n − 1)
X
57
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Intervalos de confianza de la diferencia entre dos medias: muestras dependientes
Dos muestras son dependientes si en los valores de una muestra influyen los de la otra. Los miembros
de la muestra se eligen por pares, uno de cada población. Supongamos que se eligen n pares alea2 ) y Y ∼ N (µ , σ 2 )
torios (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) extraı́dos de dos poblaciones X ∼ N (µX , σX
Y
Y
dependientes. Denotamos por d y Sd a la media y desviación tı́picas muestrales observadas de las n
diferencias di = xi − yi . Si suponemos que la distribución poblacional de las diferencias es normal,
entonces tenemos el siguiente intervalo de confianza 100(1 − α) % de la diferencia entre las medias:
Sd
Sd
d¯ − t(n−1)α/2 √ < µd < d¯ − t(n−1)α/2 √
n
n
Ejercicio 2.3
Supongamos que Y1 , Y2 , . . . , Yn constituyen una muestra aleatoria simple de una población con media µ y varianza σ 2 . Consideramos el siguiente estimador de µ:
Y? =
Y1 + Y2
2
1. Demostrar que Y ? es un estimador insesgado.
2. Obtener V (Y ? ).
3. Consideramos ahora Ȳ =
Pn
i=1
n
Yi
. ¿Cuál de los dos estimadores es mejor?
Ejercicio 2.4
Supongamos que Y1 , Y2 , Y3 constituyen una muestra aleatoria simple de una población
N (µ, σ 2 ). Consideramos el siguiente estimador de µ:
1
1
1
Ỹ = Y1 + Y2 + Y3
2
3
6
1. Demostrar que Ỹ es un estimador insesgado.
2. Obtener V (Ỹ ).
3. Consideramos ahora como estimador de µ a Ȳ , ¿cuál de los dos estimadores es
mejor?
Ejercicio 2.5
Un diseñador de aviones en el proceso de diseño del interior de un avión está interesado en
conocer el tamaño estándar de un asiento de forma que se maximice el espacio utilizable
en el avión y que el mayor número de viajeros viaje cómodamente. Supongamos que
la variable Y , medida de la cadera, es tal que Y ∼ N (µ, σ 2 ). La Tabla 2.2 recoge una
muestra de la medida de la cadera, en pulgadas, para 50 individuos adultos que vuelan
habitualmente.
58
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Indv.
Medida
Indv.
Medida
Indv.
Medida
Indv.
Medida
Indv.
Medida
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14,96
17,34
16,40
19,33
17,69
17,50
15,84
18,69
18,63
18,55
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
14,76
17,89
18,36
17,59
16,64
20,23
16,98
16,23
14,21
20,33
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
15,97
17,19
16,87
15,26
13,90
16,40
20,40
15,94
19,08
19,40
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
15,71
13,53
17,89
17,31
13,71
17,92
14,91
20,00
19,22
16,48
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
17,77
17,81
16,90
19,26
16,03
15,86
16,56
16,71
20,23
15,54
Tabla 2.2: Tamaño de la cadera para 50 individuos.
1. Realizar un análisis descriptivo de los datos de la tabla. Calcular media, varianza
y desviación tı́pica muestrales de la variable junto con el coeficiente de asimetrı́a y
curtosis.
2. Supongamos que se diseña una butaca de 18 pulgadas de ancho, ¿qué porcentaje
de clientes no podrán volar?
3. ¿Cuánto deberı́a medir la butaca para que pudiera volar el 95 % de la población?
Ejercicio 2.6
Para evaluar diferentes planes de jubilación para los trabajadores de una multinacional
con una plantilla de miles de trabajadores la empresa debe determinar la edad media
de sus trabajadores. Asumiendo que la edad de los trabajadores sigue una distribución
normal y que la desviación estandar es conocida e igual a 21 años, ¿cuál debe ser el
tamaño de la muestra de trabajadores que se debe muestrear si queremos que el intervalo
de confianza del 95 % de la edad media no sean más ancho de 4 años?
59
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2.4.
Bibliografı́a del tema
Referencias bibliográficas básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editorial AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl:
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. OpenCourseWare. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[3] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[4] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08.Publicación on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
60
Tema 3
Contraste de hipótesis
En el tema anterior vimos algunos conceptos de la inferencia estadı́stica para establecer conclusiones
sobre una población basándonos en la muestra y nos centramos en la estimación. En este tema nos
vamos a centrar en la inferencia o contrate de hipótesis. Aprenderemos a realizar contraste de
hipótesis para poder realizar afirmaciones sobre la población a partir de la información contenida
en una muestra. Para ello utilizaremos estadı́sticos calculados a partir de muestras aleatorias y
vistos en los temas anteriores. Introduciremos los conceptos de hipótesis nula y alternativa ası́ como
el concepto de estadı́stico y distribución muestral. Desarrollaremos el proceso de tomar decisiones
para rechazar o no la hipótesis nula y analizaremos los errores que podemos cometer en el proceso
de contrastar hipótesis. Finalmente aplicaremos los resultados a la media de una población normal.
Competencias a trabajar en estas sesiones:
1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, ası́ como sus propiedades para
poder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.
2. Aplicar la metodologı́a estadı́stica adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para la
toma de decisiones en el ámbito profesional.
5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadı́stico de datos económicos haciendo
uso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.
Al final de este tema deberı́ais ser capaces de:
1. Conocer los elementos y etapas de un contraste de hipótesis.
2. Formalizar la hipótesis nula y alternativa de un contraste.
3. Conocer la diferencia entre nivel de significatividad y valor-p de un contraste.
4. Definir el error tipo I y el error tipo II de una prueba.
61
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5. Conocer la diferencia entre un contraste a una cola y un contraste a dos colas.
Bibliografı́a Recomendada:
Al final del tema tenéis recogida la bibliografı́a correspondiente. En particular os recomendamos
leer los capı́tulos correspondientes a la bibliografı́a básica detallados a continuación:
• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Apéndice A.
• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Caps 10 y 11.
• Ramanathan, R. (2002). Cap. 2.
• Wooldridge, J.M. (2006). Apéndice C.
62
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
3.1.
Concepto de hipótesis nula e hipótesis alternativa
Uno de los objetivos de la Estadı́stica y de la Econometrı́a es el contraste de hipótesis. La distribución
de probabilidad de una v.a., f (X; θ) discreta o continua, depende de un parámetro θ que toma
valores en el espacio paramétrico Θ , θ ∈ Θ tal que, para cada valor que toma θ en Θ la función
f (X; θ) es distinta. Una hipótesis estadı́stica sobre el parámetro es una conjetura sobre el valor
concreto que tenga en la realidad. Para contrastar dicha hipótesis, o lo que es lo mismo, para
aceptarla o rechazarla, se diseñan pruebas estadı́sticas es decir, se establece un criterio de contraste
para ver si podemos considerar la hipótesis cierta o no.
Un contraste de hipótesis tiene tres etapas: formulación de dos hipótesis opuestas; derivación de un
estadı́stico de contraste y su distribución muestral y determinación de un criterio de decisión para
elegir una de las dos hipótesis planteadas.
Una hipótesis estadı́stica es una afirmación sobre la distribución de una o varias variables aleatorias.
En un contraste se trata de decidir cuál, entre dos hipótesis planteadas, es la que mejor se adecúa
a los datos1 . La hipótesis de interés se denomina hipótesis nula, H0 , y la supondremos cierta
mientras no haya evidencia en contra. La hipótesis frente a la que se contrasta la nula se llama
hipótesis alternativa, H1 .
Tanto las hipótesis nulas como alternativas pueden ser simples o compuestas. Las hipótesis simples
especifican un único valor para el parámetro poblacional y por tanto en ellas la distribución de
probabilidad queda perfectamente definida. En general especificaremos hipótesis nulas simples. En
la hipótesis compuesta se especifica un rango de valores para el parámetro poblacional. La hipótesis
alternativa puede ser a una cola o a dos colas. La hipótesis alternativa a una cola envuelve todos
los posibles valores del parámetro poblacional a un lado o a otro del valor especificado en la H0 .
La hipótesis alternativa a dos colas envuelve todos los valores posibles del parámetro poblacional
excepto el especificado por la H0 .
La elección entre las hipótesis se basa en un estadı́stico de contraste, que es una función de los
datos que mide la discrepancia entre estos y H0 . Por ejemplo, si consideramos que el salario medio
por hora es una variable aleatoria normal podemos plantearnos si los datos del salario medio por
hora es compatible con una distribución con media 5 euros de salario medio por hora. En el contraste
sobre la media trataremos de establecer si la diferencia entre la hipotética media poblacional 5 e
y la media muestral 7,8547 e se debe únicamente a la naturaleza aleatoria de los datos. Para ello
contrastaremos el supuesto de que la media poblacional es 5 frente a la alternativa de que no lo sea
contrastamos:
H0 : µ = 5
frente a
H1 : µ 6= 5
A partir de la distribución muestral de X̄, X̄ ∼ N (µ, σ 2 /n) podemos definir el siguiente estadı́stico
de contraste:
X̄ − µ
X̄ − 5
√
=
σX̄
σ/ n
1
El establecimiento de una hipótesis sobre el parámetro desconocido θ divide su espacio paramétrico en dos partes,
una integrada por los valores que cumplan la hipótesis, le llamaremos Θ0 y otra formada por el conjunto de valores
que no la cumplen y que llamaremos Θ1 . Θ0 y Θ1 son disjuntos por definición, Θ0 ∪ Θ1 = Θ.
63
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Esta discrepancia, que utilizaremos como estadı́stico de contraste, no depende de las unidades de
medida y tiene en cuenta la diferencia entre los datos (resumidos en X̄) y el valor establecido en
H0 . Además, debe conocerse la distribución de esta variable aleatoria cuando la hipótesis nula es
correcta. En el ejemplo, se demuestra que si los datos X1 , X2 , . . . , Xn son una muestra aleatoria de
un conjunto de variables Xi ∼ N ID(µ, σ 2 ) ∀i, con µ y σ 2 desconocidas, entonces:
X̄ − µ
∼ t(n − 1)
σ̂X̄
y sustituyendo µ = 5, tenemos la distribución muestral del estadı́stico bajo H0 :
t=
X̄ − 5 H0
∼ t(n − 1)
σ̂X̄
−→
X̄ − 5 H0
√ ∼ t(n − 1)
σ̂/ n
(3.1)
Este estadı́stico se aplica mucho en la práctica y se denomina estadı́stico t de la media. De forma
general podemos escribirlo:
√
X̄ − µ
n(X̄ − µ)
∼ t(n − 1) o lo que es igual
∼ t(n − 1)
σ̂X̄
σ̂
Un contraste o test de hipótesis es una regla de decisión mediante la cual optamos por una u
otra hipótesis. La cuestión es por cuál de las dos hipótesis nos inclinamos dada la información
proporcionada por una muestra aleatoria simple. Para ello se establece la regla o criterio de
decisión que determina la región crı́tica, subconjunto para el que se rechaza la H0 . Para determinar
el criterio de decisión del contraste se divide el conjunto de posibles resultados del estadı́stico de
contraste en dos zonas, la región crı́tica y su complementaria. Se rechaza H0 cuando el valor del
estadı́stico obtenido con la muestra, tm , pertenece a la región crı́tica. El punto de partida para
establecer la región crı́tica es que se rechaza H0 si la discrepancia entre datos y H0 es grande. En el
contraste bilateral, se rechazarı́a H0 si X̄ se alejara mucho del valor establecido en H0 , lo que para
el estadı́stico implica que:
¯
¯
¯ X̄ − 5 ¯
¯>c
¯
(3.2)
|tm | = ¯
S ¯
X̄
donde c es la discrepancia máxima que estamos dispuestos a asumir y se denomina valor crı́tico. En
caso contrario, si |tm | ≤ c, no se rechaza la hipótesis nula. El valor de c depende de la distribución del
estadı́stico de contraste cuando H0 es cierta y del error que estemos dispuestos a aceptar. Por ejemplo
para una muestra de tamaño n = 30 y α = 5 % tenemos un valor c = t(n−1)| α2 = t(30−1)| 0,025 = 2, 045.
En el ejemplo que venimos siguiendo tendremos:
tm =
7, 8547 − 5
√ = 3, 199 > 2, 045
4, 8865/ 30
luego rechazamos la hipótesis nula para un nivel de significación del 5 %.
3.2.
Tipos de error en el contraste y potencia de un contraste
El rechazo de la H0 equivale a la aceptación de H1 y viceversa. Se entiende la aceptación o rechazo
de una hipótesis en el sentido de que la muestra ha proporcionado evidencia suficiente, aunque no
absoluta, para que sea razonable aceptar o rechazar la H0 . Este proceso conlleva cometer errores,
las posibilidades son:
64
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• La probabilidad de cometer el error Tipo I, rechazar cuando es cierta, se denomina nivel de
significación del contraste o tamaño de la región crı́tica y se denota por α.
• La probabilidad de cometer el error tipo II, no rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa,
se denota por β y generalmente se utiliza su complementario a la unidad (1 − β) llamada
potencia del contraste (probabilidad de aceptar la hipótesis alternativa cuando es cierta)
cuando las hipótesis son simples y función de potencia cuando son compuestas.
Deseamos cometer el menor error, pero no es posible eliminar los dos errores simultáneamente, es
decir, que el tamaño sea 0 y la potencia igual a 1. En general, disminuir el error tipo I lleva consigo
un aumento del error tipo II. Por ejemplo, no cometemos error tipo I si decidimos no rechazar nunca
la hipótesis nula; pero la potencia del contraste serı́a 0 porque tampoco rechazaremos H0 cuando
sea falsa. Daremos más importancia al error tipo I, por lo que elegiremos el tamaño del contraste;
los niveles más habituales son 10 %, 5 % y 1 %. Para el tamaño elegido, trataremos de utilizar el
contraste con mayor potencia.
Diseño de pruebas estadı́sticas. Para diseñar una prueba debemos elegir una muestra, un estadı́stico, un nivel de significación y una región crı́tica. Normalmente se comienza eligiendo el nivel
de significación α, es decir acotando la probabilidad de cometer error Tipo I y para ello se fija la
región crı́tica adecuada.
• Fijamos la región crı́tica de forma que α sea pequeño, es decir que el error sea pequeño,
queremos que la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta sea pequeña.
• También trataremos de que sea pequeño el error Tipo II es decir que la potencia del contraste
sea máxima. En la práctica se acota la probabilidad de cometer error Tipo I, α y después se
trata de minimizar la probabilidad de cometer error Tipo II, β. Cuando minimizamos la P (I)
aumenta P (II) por tanto cuando aceptamos H0 debemos tener en cuenta que la potencia del
contraste sea suficiente.
3.3.
El p-valor y conclusiones del contraste
Otra forma de llevar a cabo el contraste es utilizar el valor-p. Este valor es una probabilidad e
indica cuál serı́a el menor nivel de significación que se tendrı́a que elegir para rechazar la hipótesis
nula, dada la realización muestral del estadı́stico. Si el contraste es a dos colas, el valor-p es dos veces
el área a la derecha de la realización muestral del estadı́stico en valor absoluto, en la distribución
de éste bajo la hipótesis nula, esto es
valor-p = 2 P(tj > tm
j |H0 )
Si el contraste es a una cola, el valor-p serı́a el área a la derecha de la realización muestral del
estadı́stico en valor absoluto, en la distribución de éste bajo la hipótesis nula, esto es valor-p =
65
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
P(tj > tm
j |H0 ). A mayor valor-p, mayor serı́a la probabilidad de error de tipo I si elegimos rechazar
la hipótesis nula. Luego a mayor valor-p menor evidencia contra la hipótesis nula y por el contrario
a menor valor-p mayor evidencia contra la hipótesis nula. El cálculo del valor-p es más complicado
que elegir el nivel de significatividad a priori por lo que generalmente se realiza en el ordenador.
3.4.
Pasos en la realización de un contraste
Resumiendo un contraste de hipótesis tiene las siguientes etapas:
1) Formulación de dos hipótesis opuestas, hipótesis nula, H0 e hipótesis alternativa H1 .
2) Derivación del estadı́stico de contraste correspondiente y su distribución.
3) Seleccionar el nivel de significatividad α o probabilidad de cometer error tipo I.
4) Cálculo muestral del estadı́stico y aplicación del criterio de decisión para elegir una de las dos
hipótesis. El criterio de decisión es: si el valor muestral del estadı́stico es mayor que el valor
c, el valor en tablas de la distribución para el nivel de significatividad elegido, se rechaza la
hipótesis nula. En caso contrario se acepta.
Si alternativamente utilizamos el valor-p, una vez calculado éste la regla de decisión es si
valor-p < α se rechaza H0 . Si valor-p > α no se rechaza H0
El contraste de hipótesis también puede realizarse mediante un intervalo de confianza. En ese caso
los pasos 1), 2) y 3) no cambian. En el paso 4) se calcula el intervalo de confianza a 100(1 − α) % y
se comprueba si el valor del parámetro según la hipótesis nula pertenece al intervalo, en cuyo caso
se acepta la hipótesis nula. En caso contrario se rechaza. Notar que la región de aceptación es la
comprendida dentro del intervalo de confianza.
3.5.
Aplicaciones
3.5.1.
Contrastes de la media de una distribución normal
Ejemplo: zona crı́tica en un contraste bilateral sobre la media de una distribución normal.
Veamos cómo se determina el valor crı́tico c en el ejemplo sobre la media del precio. El tamaño α
es la probabilidad de rechazar H0 cuando ésta es cierta. Como (3.2) es la condición para rechazar
y (3.1) es la distribución del estadı́stico cuando H0 es cierta, esto implica que:
α = P rob(|t| > c)
cuando el estadı́stico t ∼ t(n − 1)
En este caso, rechazaremos H0 si el valor del estadı́stico t obtenido con los datos es un valor poco
probable en la distribución del estadı́stico bajo H0 .
66
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Este gráfico muestra la distribución del estadı́stico
si H0 : µ = 5 es cierta. La región crı́tica es la zona punteada en las dos colas de la distribución, de
modo que en cada cola se acumula una probabilidad
α/2. Ası́, c es la ordenada de la distribución t(n − 1)
que deja en la cola derecha una probabilidad α/2.
Por ejemplo, para α = 0, 05 y n = 30, entonces,
c = 2, 045 y se rechaza H0 al nivel de significación
del 5 % si |tm | > 2, 01.
Ejemplo 3.2
Con los datos de la Tabla 2.1 contrastamos: H0 : µ = 0
estadı́stico:
X̄ − 0 H0
√ ∼ t(n − 1)
t=
σ̂/ n
frente a H1 : µ 6= 0 con el
que aplicado a la muestra:
tm =
7, 8547
√ = 8, 804 > 2, 045 = t(30−1)| 0,05 = t(30−1)| 0,025
2
4, 8865/ 30
luego rechazamos H0 para α = 5 %.
Ejemplo 3.3
Con los datos de la Tabla 2.1 contrastamos: H0 : µ = 8
estadı́stico:
X̄ − 8 H0
√ ∼ t(n − 1)
t=
σ̂/ n
frente a H1 : µ 6= 8 con el
que aplicado a la muestra:
¯
¯
¯ 7, 8547 − 8 ¯
√ ¯ = | − 0, 1628| < 2, 045 = t(30−1)| 0,05 = t(30−1)| 0,025
tm = ¯¯
2
4, 8865/ 30 ¯
luego no rechazamos H0 para α = 5 %.
Ejemplo: región crı́tica en el contraste unilateral sobre la media de una distribución normal. En
los estudios econométricos a veces se plantean contrastes a una cola. En el estudio sobre el salario
medio por hora supongamos que interesa contrastar si la media es cinco o mayor que cinco, por lo
que planteamos las hipótesis:
H0 : µ = 5
frente a
H1 : µ > 5
Al mantenerse la misma hipótesis nula, el estadı́stico de contraste es (3.1), que bajo H0 sigue una
distribución t(n − 1). La hipótesis alternativa determina el criterio de decisión. Rechazaremos H0
cuando la discrepancia tome valores alejados de H0 y compatibles con H1 , es decir, cuando t tome
valores positivos grandes. La región crı́tica está definida por la condición t > c. El valor crı́tico c se
determina por:
α = P (t > c)
cuando el estadı́stico t ∼ t(n − 1)
67
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
La región crı́tica del contraste es la zona punteada en una cola de la distribución, la derecha.
Ası́, c es la ordenada de la distribución t(n − 1)
que acumula en la cola derecha una probabilidad
α.
Por ejemplo, si α = 0, 05 y n = 30, entonces el
nivel crı́tico es c = 1, 699 y no se rechaza H0 al
nivel de significación del 5 % si tm < 1, 699.
En general, se usan las expresiones rechazar o no rechazar H0 . Esto es ası́ porque en un contraste
mantenemos la H0 mientras no haya suficiente evidencia en contra. Los datos pueden rechazar la
hipótesis, pero no pueden probar que H0 sea correcta, por lo que no se dice que se acepta H0 . No
rechazar H0 significa que los datos no son capaces de mostrar su falsedad.
Ejemplo 3.4
Con los datos de la Tabla 2.1 contrastamos: H0 : µ = 8
estadı́stico:
X̄ − 8 H0
√ ∼ t(n − 1)
t=
σ̂/ n
frente a H1 : µ > 8 con el
que aplicado a la muestra:
tm = | − 0, 1628| < 1, 699 = t(30−1)| 0,05
luego no rechazamos H0 para α = 5 %.
Ejemplo: utilización de los intervalos de confianza para la realización de contrastes. En el Tema
2 se construyó, utilizando los datos de la Tabla 2.1, un intervalo de confianza al 95 % para la media
del salario medio por hora. El intervalo construido es el siguiente:
P (6, 070 < µ < 9, 6389) = 0, 95
Este intervalo puede utilizarse para realizar contraste de hipótesis, por ejemplo si queremos contrastar: H0 : µ = 8 frente a H1 : µ 6= 8 basta con que comprobemos si el valor 8 está o no dentro
del intervalo; 8 ∈ IC0,95 (µ) luego no rechazamos la hipótesis nula.
Para el contraste: H0 : µ = 0 frente a H1 : µ 6= 0 obtendrı́amos con el mismo intervalo de
confianza 0 6∈ IC0,95 (µ) luego rechazamos la hipótesis nula. Lo cual es lógico ya que del propio
intervalo de confianza concluimos que con confianza del 95 % la media poblacional estará entre los
valores 6, 070 y 9, 6389.
3.5.2.
Otros ejemplos
Ejemplo: contrate de igualdad de medias Este es un contraste muy habitual, por ejemplo, en
estudios sociales interesa analizar si hay discriminación salarial, de modo que las mujeres perciben
68
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
salarios más bajos que los hombres. Habitualmente, se contrasta la hipótesis nula de que la media
del salario que perciben las mujeres es igual al salario medio de los hombres frente a la hipótesis
alternativa de que la media del salario es mayor en el grupo de hombres.
Para ejemplarizar este contraste vamos a retomar el Ejemplo 2.3 del Tema 2. En este ejemplo
disponı́amos de dos muestras normales independientes, con varianzas poblacionales iguales pero
desconocidas. Una muestra sobre salario medio por hora para 252 mujeres proveniente de una
2 ) y una muestra de salario medio por hora para 274 hombres proveniente
población X ∼ N (µX , σX
de una población Y ∼ N (µY , σY2 ) tal que:
X̄ = 4, 5877 σ̂X = 2, 5294
Ȳ = 7, 0995 σ̂Y = 4, 1609
Con estos datos construı́amos el siguiente intervalo de confianza al 100(1 − α) % para la diferencia
de las medias:
r
2, 52942 4, 16092
(4, 5877 − 7, 0995) ± t(524)α/2
+
252
274
Para contrastar la hipótesis de que la media del salario medio por hora que perciben las mujeres es
igual la media del salario medio por hora de los hombres frente a la hipótesis alternativa de que la
media es mayor en el grupo de hombres, planteamos H0: µY = µX frente a H1: µY > µX .
El procedimiento de contraste se basa en la comparación de las dos medias muestrales, Ȳ y X̄.
Pequeñas diferencias entre ellas apoyan la H0 . El estadı́stico de contraste y su distribución bajo H0
son:
(Ȳ − X̄) H0
∼ t(nX +nY −2)
t= q
S n1X + n1Y
donde S 2 es el estimador de la varianza común utilizando todos los datos:
S2 =
2 + (n − 1)σ̂ 2
(nX − 1)σ̂X
Y
Y
nX + nY − 2
El valor muestral del estadı́stico es:
tm = r
7, 0995 − 4, 5877
(252 − 1) 2, 52942 + (274 − 1) 4, 16092
252 + 274 − 2
r
1
1
+
252 274
= 8, 278523
Dada H1 , rechazamos H0 si la diferencia (Ȳ − X̄) es grande. La región crı́tica, por tanto, está definida
por t > c, siendo c el valor crı́tico. El contrate es a una cola, 8, 278523 > 1, 64 = t(524)| 0,05 luego
rechazamos la hipótesis nula para α = 5 %.
Ejemplo: contraste de igualdad de varianzas. En el contraste anterior hemos supuesto que las
varianzas de ambas distribuciones normales aunque desconocidas, eran iguales. Este supuesto se
puede contrastar. Vamos a contrastar si la varianza es la misma en ambas distribuciones frente a
69
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
que sea menor para la muestra que recoge los salarios medios por hora en las mujeres. Por tanto,
planteamos el contraste de hipótesis:
2
H0 : σY2 = σX
frente a
2
H1 : σY2 > σX
2 y σ̂ 2 , que son
El procedimiento de contraste consiste en comparar las dos varianzas muestrales, σ̂X
Y
2 y σ̂ 2 , o
estimadores insesgados de las respectivas varianzas poblacionales. Valores cercanos de σ̂X
Y
2 ' 1, apoyan H . El estadı́stico de contraste y su distribución bajo H son:
ratios σ̂Y2 /σ̂X
0
0
F =
σ̂Y2 H0
2 ∼ F(nY − 1, nX − 1)
σ̂X
2 está muy por encima de 1. La región crı́tica, por
Dada H1 , rechazamos H0 si el ratio σ̂Y2 /σ̂X
2 > c, siendo c el valor crı́tico. El valor muestral del estadı́stico es:
tanto, está definida por σ̂Y2 /σ̂X
4,160862
Fm = 2,529362 = 2, 7061 > 1 = F(273, 251)| 0,05 luego rechazamos H0 para α = 5 %.
Ejercicio 3.1
Utilizando los datos de la Tabla 2.2:
1. Calcular un intervalo de confianza 95 % para la media de la distribución.
2. Contrastar H0 : µ = 16, 5 H1 : µ > 16, 5.
3. Contrastar H0 : µ = 17 H1 : µ 6= 17.
70
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
3.6.
Bibliografı́a del tema
Referencias bibliográficas básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editoral AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl:
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. OpenCourseWare. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[3] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[4] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicación on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
71
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
72
Tema 4
Modelo econométrico: introducción
En los temas anteriores se ha analizado el comportamiento de una variable, sin relacionarla con otras.
En este tema y los dos siguientes vamos a abordar cómo se relacionan las variables entre sı́. De ello
se ocupa la Econometrı́a. Ası́, en estos temas aprenderemos a interpretar la información estadı́stica
sobre la realidad económica. La importancia de la Econometrı́a va más allá de la disciplina de la
economı́a. La Econometrı́a es un conjunto de instrumentos de investigación empleados en finanzas,
marketing, dirección de empresas, negocios, historia, sociologı́a incluso agronomı́a.
La herramienta básica es un modelo econométrico que conjuga los esquemas teóricos sobre el funcionamiento de la Economı́a con las técnicas estadı́sticas de análisis de datos. Un modelo puede tener
una estructura muy compleja, pero nos centramos en el modelo más sencillo, y que da contenido
a buena parte de la asignatura, el modelo de regresión lineal general. Este modelo explica el
comportamiento de una única variable económica mediante un conjunto de variables. En este tema
definiremos la disciplina de la Econometrı́a e introduciremos conceptos relacionados con un modelo
econométrico: los datos, las variables, los parámetros, entre otros elementos de un modelo.
El desarrollo de la Econometrı́a ha sido enormemente facilitado por el avance en la informática. El
curso, con gran componente aplicado necesita complementarse con el aprendizaje de un software
econométrico. El paquete econométrico a utilizar es gretl; se trata de software de libre uso, fácil
de manejar y que tiene acceso a las bases de datos que se estudian en muchos libros de análisis
econométrico. El alumno deberá aprender su manejo, en paralelo con los conceptos estadı́sticos y
econométricos, y a interpretar adecuadamente los resultados obtenidos.
Competencias a trabajar en estas sesiones:
4. Analizar de forma crı́tica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprender
la lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variables
económicas.
Al final de este tema deberı́ais ser capaces de:
1. Distinguir entre un modelo económico y un modelo econométrico.
73
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2. Conocer las etapas en la realización de un trabajo aplicado.
3. Distinguir los diferentes tipos de datos empleados en el análisis econométrico.
4. Distinguir las diferentes variables implicadas en un modelo econométrico.
5. Distinguir entre parámetros de la relación económica y parámetros de la relación probabilı́stica.
6. Distinguir entre estimador y estimación.
7. En gretl : Leer datos en gretl , tanto archivos de muestra como archivos propios. Introducir
datos en gretl y realizar un análisis descriptivo básico.
Bibliografı́a Recomendada:
Al final del tema tenéis recogida la bibliografı́a correspondiente. En particular se os recomienda leer
los capı́tulos correspondientes a la bibliografı́a básica detallados a continuación:
• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Introducción.
• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 1.
• Ramanathan, R. (2002). Cap. 1.
• Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Introducción.
• Wooldridge, J.M. (2006). Cap. 1.
74
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
¿Qué es la Econometrı́a?
Econometrı́a en sentido estricto significa medida de la economı́a. La Econometrı́a
se ocupa de formular, cuantificar y valorar las relaciones entre variables económicas,
para ello necesita de otras materias como son la Teorı́a Económica, la Estadı́stica y las
Matemáticas.
La Econometrı́a se ocupa del estudio de estructuras que permitan analizar caracterı́sticas o propiedades de una variable económica utilizando como causas explicativas otras
variables económicas. (Novales, 1993)
4.1.
Modelo económico y modelo econométrico
Como es sabido la Teorı́a Económica se ocupa del análisis de la economı́a, como consecuencia del
mismo formula las relaciones existentes entre las variables económicas objeto de estudio. Sin embargo
la teorı́a Económica no se ocupa de cuantificarlas, éste es un cometido especı́fico de la Econometrı́a,
que sı́ tiene como objetivo cuantificar las relaciones entre variables. Unido a este objetivo aparece un
pilar clave para la Econometrı́a que es la disponibilidad de información cuantificada sobre las variables que son objeto de estudio, en definitiva lo que llamamos datos. Las Matemáticas nos servirán
para escribir en términos de ecuaciones las teorı́as económicas objeto de estudio y la Estadı́stica nos
proporciona instrumentos para el tratamiento de datos que nos permiten cuantificar las relaciones y
valorar los resultados de acuerdo a criterios establecidos. En ocasiones nos encontraremos con problemas especı́ficos para los que la estadı́stica no tiene solución y por ello necesitaremos desarrollar
los instrumentos y métodos apropiados para llevar a cabo los objetivos.
Resumiendo, podrı́amos decir que los objetivos de la Econometrı́a son: verificación de una teorı́a,
estudio del pasado, descripción del presente, predicción del futuro y orientación de la acción polı́tica.
Para tratar de entender las relaciones entre la Econometrı́a y las otras materias mencionadas en el
apartado anterior vamos a desarrollar un ejemplo.
Supongamos que somos el gerente de una empresa y que estamos interesados en la relación existente
entre las ventas de un producto de la empresa y su precio, las condiciones de la competencia y el
ciclo económico. Un modelo que tiene en cuenta estos supuestos podrı́a ser el siguiente:
Vt = f (pt , pct , ct )
(4.1)
Siendo V las ventas de la empresa y p el precio del producto, la variable pc es el precio de la
competencia y nos sirve para aproximar las condiciones de la competencia. La variable c recoge el
momento del ciclo económico y sirve para aproximar las condiciones de mercado. El subı́ndice t
denota el tiempo o momento en el que se considera la relación. La ecuación anterior postula que
las ventas son función del precio del producto, el precio de la competencia y del ciclo económico.
Además la Teorı́a Económica nos dice que la relación entre ventas y precio es inversa, es decir, a
mayor precio menores ventas. Sin embargo será positiva con respecto al precio de la competencia ya
que si el precio de la competencia sube y el propio se mantiene es lógico que se espere vender más.
De igual manera se venderá más en momentos de auge económico que en momentos de depresión
por lo que la relación entre las ventas y el ciclo económico también se esperará que sea positiva.
75
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
El gerente también dispondrá de información en forma de cifras o datos sobre cuales eran las
ventas correspondientes a los diferentes precios que ha podido alcanzar su producto, el precio de
la competencia y el momento del ciclo económico, variable que puede aproximarse a una variable
cuantitativa que se mueva con el ciclo económico, por ejemplo el Índice de Producción Industrial.
Por ahora como gerentes de la empresa disponemos de dos informaciones distintas. Por un lado
disponemos de un modelo económico que nos relaciona un conjunto de variables y por otro disponemos de observaciones o datos sobre las mismas para un periodo de tiempo dado. El gerente también
dispone de un objetivo que es saber como responden las ventas de su producto a cambios en su
precio. Para unir ambos conjuntos de información podemos empezar por dar forma a la función.
La elección más sencilla serı́a tomar una relación lineal, que para la ecuación (4.1) determinarı́a el
siguiente modelo:
Vt = β1 + β2 pt + β3 pct + β4 ct
(4.2)
Los parámetros o coeficientes de cada variable se representan por β1 , β2 y β3 . El coeficiente β2
le indica al gerente cuanto cambian las ventas si el precio de su producto cambia en una unidad,
permaneciendo el resto de variables constantes.
Con los datos disponibles, que supongamos son:
fecha
t
enero 80
febrero 80
ventas
V
1725
1314
precio
p
12,37
11,25
p. competencia
pc
11,23
10,75
IPI
c
101,7
97,3
podemos relacionar las variables con los valores que han tomado en cada momento siguiendo la
ecuación (4.2). Ası́ en enero de 1980 la relación entre las ventas y el resto de variables ha sido:
1725 = β1 + 12, 37β2 + 11, 23β3 + 101, 7β4
Mientras que en febrero de 1980 fue:
1314 = β1 + 11, 25β2 + 10, 75β3 + 97, 3β4
Estas relaciones se repetirı́an para cada mes del que tengamos datos. Como el valor de las variables
cambia de un mes a otro, para que las igualdades se cumplan también deben cambiar los valores de
los parámetros. Este no es el objetivo del gerente, quién necesita la mejor aproximación posible del
valor de las ventas al precio, que resuma toda la información disponible del periodo considerado.
Para ello consideraremos que el modelo debe reflejar el comportamiento medio de la relación entre
variables manteniéndose la relación entre las variables estable. Para que esto se cumpla y podamos
recoger el comportamiento medio incluiremos en el modelo un nuevo elemento al que llamaremos
ut . Ası́ el modelo especificado será:
Vt = β1 + β2 pt + β3 cpt + β4 ct + ut
(4.3)
El nuevo elemento deberá ser capaz de mantener la igualdad de la relación para cualquier conjunto
de datos, tomando por tanto a veces valores positivos y en otras ocasiones valores negativos; a
veces grandes, a veces pequeños. La interpretación del mismo resulta bastante intuitiva: recoge
76
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
todos los efectos que afectan a las ventas en cada perı́odo muestral y que no están explı́citamente
recogidos en las variables que el modelo contiene. Si el modelo ha recogido todas las influencias
“importantes y sistemáticas” que existen sobre las ventas, el nuevo elemento, que en adelante
llamaremos perturbación recogerá los efectos no sistemáticos que serán, en general, más erráticos.
Por tanto es factible considerar su comportamiento como aleatorio. Ası́ a la perturbación ut se le
trata como una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es preciso especificar al mismo
tiempo que el resto del modelo.
Dado que el modelo recogido por la ecuación (4.3) contiene una variable aleatoria para obtener
resultados a partir del mismo necesitaremos de la Estadı́stica. Mediante procedimientos estadı́sticos
podremos cuantificar la relación entre las variables, obteniendo valores numéricos para los coeficientes β1 , β2 , β3 y β4 que reflejen la información que contienen los datos. De esta forma el modelo
general representado por la ecuación (4.3) que en principio puede servir para analizar el comportamiento de cualquier empresa servirá para contestar a las preguntas que el gerente se hace sobre su
propia empresa convirtiéndose en un modelo especı́fico válido para la toma de decisiones.
El ejemplo anterior describe una situación muy concreta pero la Econometrı́a es útil en otras muchas
situaciones, por ejemplo:
• Para analizar el efecto del impacto de cambios en la polı́tica fiscal sobre los indicadores
económicos de un paı́s, la demanda interna, los tipos de interés, exportaciones e importaciones, desempleo, grado de morosidad.
• Los directivos de la empresa Mercedes pueden estar interesados en los factores que determinan
la demanda de automóviles.
• Para analizar los efectos de la publicidad en las ventas de una empresa.
• Para analizar el impacto en la función de producción de cambios en los factores de producción.
• Analizar si la demanda de tabaco se ve afectada por las campañas anti tabaco.
• Analizar si las campañas publicitarias contra el consumo de alcohol cuando se conduce reduce
el número de siniestros.
• Estudiar como afecta el tabaquismo al peso de nacimiento y posterior crecimiento de un bebe.
4.2.
Etapas en la elaboración de un modelo econométrico
Un estudio econométrico consta de las siguientes etapas, Heij , de Boer, Franses, Kloer y Dijk (2004):
• Formulación del problema. Se trata de determinar la cuestión de interés. Debemos plantear de
forma precisa las preguntas que nos interesa responder. La teorı́a económica puede ayudarnos
a enfocar el problema, a determinar qué variables están involucradas y cuál puede ser la
relación entre ellas.
77
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Recolección de datos estadı́sticos relevantes para el análisis. En el caso del gerente los datos
están disponibles en los balances de la propia empresa. Los resultados del análisis van a
depender en gran medida de la calidad de los datos. Sin embargo, no siempre es sencillo
obtener los datos relevantes para el análisis. Podemos encontrar problemas como la ausencia
de algún dato, cambios en la definición de una variable, fallos en el método de recogida, tener
una cantidad insuficiente de datos o no disponer de información relativa a una variable.
• Formulación y estimación del modelo. En esta fase hay que dar forma al problema inicial
en términos de un modelo. Determinar la variable a explicar, en el ejemplo las ventas, y las
variables explicativas, en el ejemplo el precio, el precio de la competencia y el ciclo económico;
la forma funcional del modelo y la distribución probabilı́stica de la perturbación aleatoria.
El siguiente paso es la estimación de los parámetros desconocidos de la distribución y que son
de interés para el análisis. La estimación consiste en utilizar los datos y toda la información
relevante para aprender algo sobre los parámetros desconocidos. En la interpretación de los
resultados de estimación es importante tener en cuenta que no conocemos el valor de los
parámetros, por lo que únicamente vamos a hacer afirmaciones del tipo “con un 95 % de
confianza, el aumento del impuesto sobre carburantes no afecta al consumo de gasolina”.
Existen muchos métodos de estimación. La elección entre uno u otro depende de las propiedades del modelo econométrico seleccionado. Es decir, una mala selección del modelo también
influye en la validez de las estimaciones. Un curso introductorio de Econometrı́a, como este,
se suele centrar en el estudio del modelo de regresión lineal y su estimación mediante mı́nimos
cuadrados ordinarios, que son instrumentos sencillos y muy útiles en la práctica.
• Análisis del modelo. Se trata de estudiar si el modelo elegido es adecuado para recoger el
comportamiento de los datos. Consiste en una serie de contrastes diagnósticos que valoran si
el modelo está correctamente especificado, es decir, si los supuestos realizados son válidos. Si
es necesario, se modifica el modelo en base a los resultados obtenidos en los contrastes.
• Aplicación del modelo. Una vez obtenido un modelo correcto, se utiliza para responder a las
cuestiones de interés y para la predicción. Un modelo correctamente especificado y estimado
ha de ser utilizado para predecir. Este concepto implica tanto determinar los valores futuros
de la variable endógena como contestar a preguntas del tipo ¿qué pasarı́a sı́...?, en definitiva
debe servirnos para dar consejos de polı́tica económica.
4.3.
Tipologı́a de datos y variables en Econometrı́a
El modelo econométrico genérico completamente especificado tiene la siguiente forma:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + . . . + βK XKt + ut
t = 1, 2, . . . , T
(4.4)
Donde Y es la variable a explicar o variable endógena, X2 , X3 , . . ., XK son las variables explicativas, o regresores, del modelo. El subı́ndice que las acompaña indica el número de variables explicativas del modelo, el modelo anterior tiene K-variables explicativas. Los coeficientes βk k = 1, 2, . . . , K
son los parámetros a estimar, que se suponen constantes. Además es de interés notar que el parámetro β1 acompaña a la variable explicativa X1 constante e igual a la unidad en todo momento del
78
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
tiempo. El subı́ndice t hace referencia al tiempo y por tanto T indica el tamaño de la muestra de
observaciones disponible.
La diferencia entre un modelo económico y un modelo econométrico es la perturbación aleatoria
que incluimos en el modelo econométrico. A partir de este elemento en el modelo econométrico
podemos distinguir dos partes la parte sistemática del modelo y la parte aleatoria. La primera
corresponde al comportamiento medio o estable de la relación y la segunda se corresponde con la
perturbación aleatoria, ut .
El objetivo sobre el modelo genérico representado por la ecuación (4.4) es conocer los valores de los
parámetros desconocidos βk k = 1, 2, . . . , K. Para llevar a cabo este objetivo utilizaremos métodos
estadı́sticos. Para ello al modelo especificado deberemos de añadir hipótesis sobre el comportamiento
probabilı́stico de la perturbación aleatoria que caractericen su distribución. En general, supondremos
que dicha perturbación tiene una distribución centrada en cero, o sea media cero, lo que implica
que el comportamiento medio de la variable a explicar está recogido en su totalidad por la parte
sistemática del modelo:
E(Yt ) = β1 + β2 X2t + β3 X3t + . . . + βK XKt
t = 1, 2, . . . , T
(4.5)
Además de la media debemos caracterizar también la varianza, covarianzas y distribución de la
perturbación.
4.3.1.
Conceptos básicos
En los puntos anteriores han surgido algunos conceptos que deberı́an quedar claros para poder
referirnos a ellos con propiedad. Revisaremos algunos de ellos.
• Población y muestra:
Población son todos los posibles valores que toma la variable objeto de estudio. La muestra
serı́a la parte de la población que vamos a utilizar en el estudio para extraer conclusiones.
Por tanto la muestra está contenida en la población y nosotros la utilizaremos para establecer
conclusiones que puedan extrapolarse a la población.
• Datos:
Los datos son los valores numéricos que toman tanto la variable a explicar como las variables
explicativas. Generalmente los obtenemos de series estadı́sticas cuyas fuentes pueden ser oficiales o privadas. La importancia de los datos está determinada por la unidad de medida. Los
podemos clasificar en:
1. Datos de serie temporal: Reflejan la evolución de una variable a lo largo del tiempo,
según esto la variable estará ordenada cronológicamente con un orden lógico. Las variables medidas en series temporales se denotan con el subı́ndice t y este puede referirse a
observaciones temporales mensuales, trimestrales, diarias cuatrimestrales, anuales, etc.
Ejemplo: el Producto Nacional Bruto (PNB) de 1965-2000. En este caso la población
serı́an todos los posibles valores del PNB a lo largo del tiempo y la muestra el perı́odo
que vamos a estudiar, de 1965 al 2000.
79
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2. Datos de sección cruzada o corte transversal: Son datos atemporales dado que miden
el comportamiento de una variable en diferentes unidades y en el mismo momento del
tiempo. Ejemplo: ventas de las empresas metalúrgicas en el Paı́s Vasco en el año 1999.
Esta serı́a la muestra a utilizar y la población estarı́a constituida por todas las unidades.
3. Datos de panel : es la unión de datos de serie temporal y datos de sección cruzada. Están
fuera del objetivo del curso.
• Variables:
Una variable es un ente económico que toma diferentes valores. Podemos distinguir entre variables exógenas, aquellas que inciden en el modelo desde el exterior y variables endógenas,
aquellas que queremos explicar con el modelo. A las variables exógenas también se las denomina variables explicativas o independientes y a la variable endógena también se le puede
denominar como variable a explicar o dependiente. Además debemos tener en cuenta que
podemos encontrarnos con relaciones simultáneas como:
Yt = β1 + β2 Yt−1 + ut
o como
Ct = β1 + β2 Yt + ut
Yt = Ct + It
donde las variables cambian su papel según miremos a una ecuación u otra. Podemos distinguir,
entre otros, los siguientes tipos de variables:
1. - Fijas: aquellas que toman valores que el investigador puede controlar.
- Estocásticas: aquellas cuyo valor cambia según una ley de probabilidad.
2. - Cuantitativas: aquellas que podemos valorar numéricamente. Por ejemplo, la renta
disponible de una familia, el precio de un bien, la renta per cápita.
- Cualitativas: aquellas que miden cualidades y que por lo tanto no se miden con un valor
numérico y será el investigador el que se lo asigne según un criterio. Por ejemplo, si un
individuo está o no casado, si trabaja en turno de noche o no, si tiene estudios superiores
o no. En las variables cualitativas es el investigador el que establece el valor de la variable
para cada caracterı́stica. Por ejemplo:
½
1 si el individuo i es hombre
S1i =
0 en caso contrario
½
S2i =
1 si el individuo i es mujer
0 en caso contrario
definen dos variables cualitativas S1i y S2i que permiten recoger el sexo del individuo y
ver por ejemplo si existe discriminación salarial por sexo en un estudio sobre la función
de salario.
• Los parámetros:
Los parámetros son los valores que permanecen desconocidos del modelo. En un modelo econométrico podemos distinguir dos tipos de parámetros:
80
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
1. Los parámetros de la relación económica: Son las ponderaciones que aplicadas a las
variables exógenas nos permiten calcular la endógena.
Vt = β1 + β2 pt + β3 cpt + β4 ct + ut
(4.6)
En el modelo anterior β1 , β2 , β3 y β4 .
2. Los parámetros de la estructura probabilı́stica: son los parámetros que determinan la
estructura de la parte aleatoria del modelo, media y varianza de la perturbación aleatoria
y de la variable endógena.
• Modelo:
Hemos visto que un modelo no es más que un conjunto de relaciones entre variables económicas
y que representamos mediante relaciones matemáticas. Clasificación de los modelos:
1. - Modelos exactos: aquellos que determinan exactamente el valor de una variable conocido
el valor de otra-s:
Y = β1 + β2 X
- Modelos estocásticos: aquellos que incluyen alguna variable aleatoria:
Yt = β1 + β2 Xt + ut
u ∼ (m(u), V (u))
2. - Modelos uniecuacionales: aquellos que se componen de una única ecuación:
Ct = β1 + β2 Yt + ut
- Modelos multiecuacionales: aquellos que se componen de más de una ecuación. Por
ejemplo cuando una variable influye en otra-s y a la vez es influida por éstas:
Ct = β1 + β2 Yt + ut
Yt = Ct + It
3. - Modelos estáticos: Cuando el tiempo no aparece de forma explı́cita en la ecuación y
todas las variables se miden en el mismo momento.
- Modelos dinámicos: Aquellos que tienen variables definidas en diferentes momentos del
tiempo o el tiempo aparece como variable explı́cita en la ecuación. Un ejemplo de los
primeros serı́a:
Ct = β1 + β2 Yt + β3 Ct−1 + ut
mientras que un ejemplo de los segundos serı́a el siguiente modelo no explı́citamente
dinámico, generalmente llamado estático histórico
Ct = β1 + β2 Yt + β3 t + ut
donde el parámetro c recoge la tendencia de la variable endógena a lo largo del tiempo.
4. - Modelos basados en series temporales: pueden ser dinámicos u estáticos.
- Modelos basado en datos de corte transversal: son siempre estáticos.
81
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Parámetro, estimador y estimación:
En el modelo:
Yt = β1 + β2 Xt + ut
t = 1, 2, . . . , T
tenemos diferentes parámetros desconocidos. En la parte aleatoria aparecerı́an los que caracterizan a la distribución probabilı́stica de la perturbación aleatoria y en la parte sistemática
aparecen β1 y β2 . Todos son parámetros desconocidos. Los llamaremos parámetros poblacionales ya que lo que nosotros hemos especificado es un modelo general que deberı́a recoger el
comportamiento medio de las variables en la población. Para obtener resultados del modelo
anterior nosotros lo aplicamos a la muestra, de tamaño T. Nuestro objetivo es determinar el
valor de estos parámetros poblacionales desconocidos de la muestra. Para aproximarnos a ese
valor utilizamos técnicas estadı́sticas, en concreto estimadores. Un estimador no es más que
una fórmula que nos dice como debemos obtener los valores numéricos de β1 y β2 mediante la
muestra. Al valor finalmente obtenido en la muestra le llamamos estimación. En concreto la
notación matemática para estos conceptos, aplicada al parámetro β2 serı́a:
β2
β̂2
0,5
donde por ejemplo:
parámetro poblacional
estimador
estimación
PT
β̂2 =
t=1 (Yt − Ȳ )(Xt −
PT
2
t=1 (Xt − X̄)
X̄)
= 0, 5
Los estimadores van a ser variables aleatorias con distribución a determinar ya los que exigiremos ciertas propiedades que van a determinar esta distribución.
• Estructura:
Cuando estudiamos la relación entre las variables económicas especificamos un modelo econométrico. En la especificación elegimos la forma funcional del modelo y las variables explicativas a incluir ası́ como las propiedades de la perturbación. Una vez que el modelo está totalmente especificado le estimaremos y tendremos unos valores para los parámetros. A la relación
resultante le llamamos estructura. Un modelo especificado serı́a:
Yt = β1 + β2 Xt + ut
t = 1, 2, . . . , T
mientras que una estructura para ese modelo dada una muestra de tamaño T podrı́a ser:
Ŷt = 20 + 5Xt
Notar que un modelo puede tener diferentes estructuras según los valores que las variables
exógena y endógena tomen en la muestra.
4.3.2.
Fuentes de datos
Encontrar y recopilar datos no es siempre sencillo. En ocasiones es muy costoso coleccionar los datos
adecuados a la situación y manejarlos. Sin embargo, esta tarea se ha visto favorecida en los últimos
82
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
años por la mejora en la recogida de datos y el hecho de que muchos organismos permiten acceder a
sus bases de datos en la World Wide Web. Algunos organismos que publican datos macroeconómicos
son:
• Instituto Vasco de Estadı́stica (EUSTAT): http://www.eustat.es.
• Banco de España: http://www.bde.es → Estadı́sticas. También publica el Boletı́n estadı́stico
mensual y el Boletı́n de coyuntura mensual.
• Instituto Nacional de Estadı́stica (INE): http://www.ine.es → Inebase o Banco tempus. Están
disponibles, por ejemplo, los resultados de la encuesta de población activa, la Contabilidad
Nacional o el boletı́n estadı́stico mensual. Además, en enlaces se encuentran otras páginas
web de servicios estadı́sticos.
• EUROSTAT: Es la Oficina Estadı́stica de la Unión Europea, se encarga de verificar y analizar
los datos nacionales recogidos por los Estados Miembros. El papel de Eurostat es consolidar los
datos y asegurarse de que son comparables utilizando una metodologı́a homogénea. La información en términos de tablas estadı́sticas, boletines estadı́sticos e informativos, incluso documentos de trabajo papers se puede encontrar en la dirección: http://europa.eu.int/comm/eurostat.
• Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE): http://www.oecd.org,
Statistical portal, statistics. Están disponibles algunas series de las publicaciones Main Economic Indicators (mensual) o Comercio internacional.
• Fondo Monetario Internacional (FMI): http://www.imf.org. Para obtener datos sobre un amplio conjunto de paı́ses también se puede consultar su publicación Estadı́sticas Financieras
Internacionales (mensual y anual).
Muchos manuales de Econometrı́a incluyen una base de datos que se analizan en el texto como ilustración a la materia. En este curso utilizaremos principalmente los datos incluidos en Ramanathan
(2002) y Wooldridge (2006) que están accesibles como archivos de muestra en gretl.
83
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
4.4.
Bibliografı́a del tema
Referencias bibliográficas básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editorial AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl:
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. OpenCourseWare. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[3] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[4] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08.Publicación on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
84
Tema 5
Modelo de Regresión Lineal General:
especificación, estimación y contraste de
hipótesis
Este es el tema central de la signatura. En él nos ocuparemos de analizar las relaciones entre variables
y nuestro objetivo fundamental será explicar el comportamiento de una variable, que llamaremos
variable a explicar, mediante un conjunto de variables económicas, que llamaremos explicativas.
Modelizaremos la relación entre las variables mediante una ecuación matemática y daremos entrada
en la misma a una variable aleatoria que nos permita recoger la aleatoriedad del fenómeno económico.
Ası́, aprenderemos a especificar y estimar el Modelo de Regresión Lineal General. El método de
estimación que desarrollaremos son los Mı́nimos Cuadrados Ordinarios, MCO, que bajo ciertas
hipótesis de comportamiento sobre los distintos elementos del modelo nos proporcionará estimadores
con buenas propiedades, lineales, insesgados y de mı́nima varianza. Propiedades que desarrollamos
en el Tema 2 y que en este tema buscaremos no solo para el estimador mı́nimo cuadrático sino
también para otros estimadores alternativos.
Nos ocuparemos en profundidad de que el modelo esté correctamente especificado, es decir de que
incluyamos todas las variables necesarias para explicar el comportamiento de la variable objetivo
y no incluyamos ninguna innecesaria. Veremos que consecuencias tiene en las propiedades de los
estimadores y en la inferencia la omisión de variables relevantes y la inclusión de variables irrelevantes. También analizaremos que problemas nos crea la existencia de combinaciones lineales exactas
y/o aproximadas entre las variables a incluir como explicativas en el modelo. Una vez el modelo
esté correctamente especificado podremos realizar inferencia.
Con los conceptos aprendidos en el Tema 3 desarrollaremos el contraste de restricciones lineales que
recojan hipótesis relevantes desde el punto de vista económico dentro del Modelo de Regresión Lineal
General. Aprenderemos a contrastar si las variables son relevantes individual y conjuntamente para
explicar el comportamiento de la variable objetivo y a hacer contraste de combinaciones lineales,
entre otros contrastes de interés.
Para finalizar el tema veremos como realizar análisis de regresión y contraste de hipótesis mediante
el software gretl.
85
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Competencias a trabajar en estas sesiones:
1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, ası́ como sus propiedades para
poder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.
2. Aplicar la metodologı́a estadı́stica adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para la
toma de decisiones en el ámbito profesional.
3. Analizar de forma crı́tica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprender
la lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variables
económicas.
4. Aplicar la metodologı́a econométrica básica para estimar y validar relaciones económicas en
base a la información estadı́stica disponible sobre variables económicas y utilizando los instrumentos informáticos apropiados.
5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadı́stico de datos económicos haciendo
uso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.
6. Presentar de forma clara y concisa, tanto oralmente como por escrito, las conclusiones obtenidas en un caso de estudio particular.
Al final de este tema deberı́ais ser capaces de:
1. Explicar y entender el alcance de las hipótesis básicas sobre el comportamiento del modelo de
regresión lineal general.
2. Interpretar los parámetros de un modelo.
3. Aplicar el estimador de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios, MCO.
4. Distinguir entre la perturbación y el residuo u error de estimación. Conocer las distribuciones
respectivas.
5. Conocer y saber demostrar las propiedades del estimador de MCO.
6. Conocer las implicaciones de tener combinaciones lineales exactas entre las variables explicativas del modelo.
7. Conocer las implicaciones de tener combinaciones lineales aproximadas entre las variables
explicativas del modelo.
8. Conocer las consecuencias de una mala especificación del modelo omitiendo variables explicativas relevantes.
9. Conocer las consecuencias de una mala especificación del modelo incluyendo variables explicativas irrelevantes.
10. Saber especificar correctamente modelos que incluyan variables cualitativas.
86
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
11. Saber derivar la distribución del estimador de MCO.
12. Saber contrastar hipótesis relevantes para la relación económica de las variables.
Bibliografı́a Recomendada:
Al final del tema tenéis recogida la bibliografı́a correspondiente. En particular se os recomienda leer
los capı́tulos correspondientes a la bibliografı́a básica detallados a continuación:
• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). En Parte I: Caps. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9. Parte II: Cap. 10.
• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Caps. 12, 13 y 14.
• Ramanathan, R. (2002). Caps. 3, 4, 5 y 7.
• Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Caps. 4, 5, 6, y 7.
• Wooldridge, J.M. (2006). Caps. 2, 3, 4 y 7
87
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.1.
Especificación del Modelo de Regresión Lineal General (MRLG):
supuestos básicos
En Economı́a, en muchas situaciones, varias variables independientes influyen conjuntamente en
una variable dependiente. El modelo de regresión múltiple permite averiguar el efecto simultáneo
de varias variables independientes en una variable dependiente. Por ejemplo:
• El salario es una función del nivel de estudios, la experiencia, la edad y el puesto de trabajo.
• El precio de un piso es función, entre otras caracterı́sticas, de su superficie, número de habitaciones y baños, localización y la existencia o no de ascensor.
• La cantidad vendida de un bien depende de su precio, del precio de la competencia y del ciclo
económico entre otras variables.
• La producción de una empresa depende de los factores de producción, capital y fuerza de
trabajo.
La especificación de un modelo consiste en seleccionar las variables independientes que explican a la
variable objeto de estudio y determinar la forma funcional del mismo. Vamos a comenzar el análisis
de regresión determinando nuestro objetivo y los recursos disponibles para lograrlo.
Objetivo: Cuantificar la relación existente entre una variable dependiente a la que denotaremos
por Y , y un conjunto de K variables independientes, X1 , X2 , . . . , XK mediante la especificación de
un modelo lineal.
Recursos disponibles: Se dispone de una muestra de observaciones de las variables Y, X1 , X2 , . . . , XK
de tamaño N , que es el número de observaciones disponibles sobre todas las variables. Se denota:
Yi = observación i-ésima de Y
Xki = observación i-ésima de Xk
∀k = 1, . . . , K
donde Xki es una observación de las disponibles en la muestra i = 1, 2, . . . , N .
Modelo de Regresión lineal General (MRLG). Modelización El Modelo de Regresión Lineal
General se escribe:
Yi = β1 X1i + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui
i = 1, 2, . . . , N
donde habitualmente X1i = 1 ∀i, de forma que β1 es un término independiente y entonces,
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui
88
i = 1, 2, . . . , N.
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Elementos del MRLG
• Y es la variable a explicar, variable dependiente o endógena.
• Xk k = 1, . . . , K son las K variables explicativas, variables independientes o exógenas.
• βk k = 1, . . . , K son los coeficientes de la regresión o parámetros (desconocidos).
• u es la perturbación aleatoria o término de error.
• el subı́ndice i denota la observación correspondiente. El subı́ndice i se utiliza cuando tenemos observaciones de sección cruzada y el subı́ndice t cuando tenemos observaciones de serie
temporal.
• N es el tamaño muestral, el número de observaciones disponibles de las variables objeto de
estudio. Cuando trabajamos con datos de serie temporal el tamaño muestral se denota por T .
La perturbación aleatoria ui es una variable aleatoria no observable que pretende recoger:
• Variables no incluidas en el modelo.
• Comportamiento aleatorio de los agentes económicos.
• Errores de medida.
Representación del MRLG en forma matricial El modelo
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui
i = 1, 2, . . . , N
(5.1)
puede escribirse para todas las observaciones disponibles como el siguiente sistema de N ecuaciones:



















Y1
Y2
..
.
=
=
β1 + β2 X21 + β3 X31 + . . . + βK XK1 + u1
β1 + β2 X22 + β3 X32 + . . . + βK XK2 + u2
..
.
i=1
i=2
Yi
..
.
=
β1 + β2 X2i + β3 X3i + . . . + βK XKi + ui
..
.
i=i
YN
= β1 + β2 X2N + β3 X3N + . . . + βK XKN + uN
i=N
o bien en forma matricial como
=
Y
(N × 1)
donde





=
Y


(N × 1)


Y1
Y2
..
.
Yi
..
.
YN















=
X


(N × K)


1
1
..
.
1
..
.
1
X21
X22
..
.
X2i
..
.
X2N
X
β
+
(N × K) (K × 1)
X31
X32
..
.
X3i
..
.
X3N
···
···
···
···
89
XK1
XK2
..
.
XKi
..
.
XKN
u
(N × 1)










=
β


 (K × 1)



β1
β2
β3
..
.
βK












=
u


(N × 1)


u1
u2
..
.
ui
..
.
uN










Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.1.1.
Hipótesis básicas.
El modelo debe completarse con la especificación de las propiedades estocásticas de la variable de
interés Y . A partir de las propiedades de Y es posible conocer las propiedades de los distintos
métodos de estimación, elegir el mejor estimador en el modelo, realizar contrastes, etc. Las condiciones bajo las cuales vamos a trabajar en un principio se denominan hipótesis básicas. Bajo
estas hipótesis estimaremos y analizaremos el modelo para, finalmente, predecir Y . En una segunda
etapa, podemos considerar otras situaciones, relajando algunas de estas hipótesis, analizando si los
procedimientos de estimación y contraste anteriores siguen siendo válidos. Las hipótesis básicas se
refieren a los distintos elementos de la regresión.
1. Hipótesis sobre la perturbación aleatoria
• La perturbación ui tiene media cero para todo i, E(ui ) = 0 ∀i. La perturbación mide
las diferencias con respecto a un promedio, ui = Yi − E(Yi ) y a priori no tenemos razones
para suponer que todas las desviaciones están por encima o por debajo de ese promedio,
por ello parece lógico pensar que en media las desviaciones son cero.
Para la perturbación en i lo escribimos como E(ui ) = 0 ∀i, cuando miramos al modelo
en forma matricial escribimos esta hipótesis como E(u) = ~0:



E(u) = E 

u1
u2
..
.


 
 
=
 
uN
E(u1 )
E(u2 )
..
.
E(uN )


 
 
=
 
0
0
..
.


 ~
=0

0
• E(u2i ) = σu2 ∀i es decir la varianza de la perturbación es desconocida e igual a σ 2
para todas las observaciones. Estamos suponiendo igual dispersión o variabilidad. A esta
hipótesis se le conoce con el nombre de Homocedasticidad :
V (ui ) = E(ui − E(ui ))2 = E(u2i ) = σ 2
E(u21 ) = E(u22 ) = E(u23 ) = . . . = E(u2N ) = σ 2
El caso contrario, cuando la dispersión varı́a a lo largo de la muestra se denomina Heterocedasticidad : E(u2i ) = σi2 . La Figura 5.1 ilustra ambas situaciones:
Hay que notar que generalmente σ 2 será desconocida y por tanto en el modelo tendremos
que estimar (K + 1) incógnitas, los k-coeficientes poblacionales desconocidos más la
varianza poblacional de la perturbación σ 2 .
• E(ui uj ) = 0
es cero.
∀i, j
i 6= j. La covarianza entre perturbaciones de distintas observaciones
Cov(ui , uj ) = E(ui − E(ui ))(uj − E(uj )) = E(ui uj ) = 0 ∀i, j
90
i 6= j
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
f
f
(
u
(
u
)
)
Y
Y
X
X
α +β
X
1
X
X
6
α+β
6
1
2
X
2
X
X
6
6
X
X
Figura 5.1: Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticas
E(u1 u2 ) = E(u1 u3 ) = E(u4 u20 ) = 0
A esta hipótesis también se la llama hipótesis de No Autocorrelación. Uniendo la hipótesis
de homocedasticidad y la hipótesis de no autocorrelación podemos describir la matriz de
varianzas y covarianzas de la perturbación.
E(uu0 ) = σ 2 IN



E(uu ) = E 

0
u1
u2
..
.


£

¤
0
0
0


 u1 u2 . . . uN = E 




=E

u21
u2 u01
..
.
u1 u02
u22
...
uN u01 uN u02



=

u1 u02
u2 u02
..
.
...
...
..
.
u1 u0N
u2 u0N
..
.



=

uN u01 uN u02 . . . uN u0N
uN

u1 u01
u2 u01
..
.
. . . u1 u0N
. . . u2 u0N
..
..
.
.
. . . u2N


 
 
=
 
σ2 0 0 . . . 0
0 σ2 0 . . . 0
..
.. .. . .
.
. ..
.
. .
0 0 0 . . . σ2

E(u21 )
E(u2 u01 )
..
.
. . . E(u1 u0N )
. . . E(u2 u0N )
..
..
.
.
E(uN u01 ) E(uN u02 ) . . . E(u2N )





 = σ2 


E(u1 u02 )
E(u22 )
..
.



=


1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0 

2
.. .. .. . . ..  = σ IN
. . 
. . .
0 0 0 ... 1
A la hipótesis que reconoce que las varianzas de la perturbación no son constantes en
el tiempo o las observaciones se le conoce como hipótesis de Heterocedasticidad. A la
hipótesis que reconoce que las covarianzas entre perturbaciones de distinto momento del
tiempo, o entre distintas observaciones, son distintas de cero se le conoce con el nombre
de Autocorrelación.
91
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Las perturbaciones siguen una distribución normal. Si definimos la perturbación aleatoria como la suma de errores independientes entre sı́, a través del Teorema Central del
Lı́mite podremos suponer una distribución normal y escribir esta hipótesis junto con las
anteriores como:
u ∼ N ID(0, σ 2 IN )
donde estamos escribiendo la distribución del vector de perturbaciones u y decimos que
las perturbaciones siguen una distribución normal, idéntica e independientemente distribuidas, de media cero y varianza constante igual a σ 2 . Son independientes dado que
su covarianza es cero y dado que todas tienen igual varianza y covarianza su distribución es idéntica, por ello para una perturbación en i escribimos su distribución como
ui ∼ N (0, σ 2 ).
Estas propiedades pueden también escribirse conjuntamente como
ui ∼ N ID(0, σu2 ) ∀i = 1, . . . , N
ó en forma matricial,
∼ N ( 0N
u
(N × 1)
, σu2 IN )
(N × 1) (N × N )
2. Hipótesis sobre las variables exógenas X.
• Las variables explicativas son variables no aleatorias (no estocásticas o fijas). Esto quiere
decir que cuando digamos que cambiamos la muestra los valores de las variables exógenas
no cambian y sólo cambian los valores de la variable endógena Yi .
Como consecuencia de que las variables exógenas sean fijas tendremos que son incorrelacionadas con las perturbaciones:
E(X 0 u) = X 0 E(u) = 0
• La matriz X es de rango completo e igual a K con K < N , rg(X) = K, es decir no
hay ninguna combinación lineal exacta entre las columnas de X, son todas linealmente
independientes con lo que el rango de la matriz es igual al número de coeficientes desconocido ya que en X tenemos una columna por parámetro. A esta hipótesis se le conoce
con el nombre de No Multicolinealidad. El que además exijamos que K < N es porque
necesitamos tener más observaciones que coeficientes a estimar en el modelo.
3. Hipótesis sobre la forma funcional.
• Linealidad en los coeficientes.
• Modelo correctamente especificado. Todas las variables X1 , X2 , . . . , XK explican Y y no
hay ninguna otra de fuera del modelo que explique a Y .
4. Los coeficientes permanecen constantes a lo largo de toda la muestra.
92
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.2.
Forma funcional. Interpretación de los coeficientes.
Dados los supuestos básicos del MRLG,
E(Yi ) = E(β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui )
= β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + E(ui ) =
| {z }
=0
= β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi .
A E(Yi ) se la denomina Función de Regresión Poblacional (FRP) y sus coeficientes, pueden
interpretarse como:
• β1 = E(Yi |X2i = . . . = XKi = 0). Valor medio o esperado de Yi cuando las variables explicativas son todas cero.
∂E(Yi )
∆E(Y )
• βk =
= ∆X i
∀k = 2, . . . , K. Incremento (o decremento) en el valor esperado de
∂Xki
ki
Yi cuando la variable explicativa Xk se incrementa en una unidad, manteniéndose constantes el
resto de las variables. Un aumento unitario en la variable explicativa Xk conlleva un aumento
medio de βk unidades en la variable endógena, ceteris paribus.
Ejemplo 5.1
Se propone la siguiente especificación de la función de consumo agregada para estudiar
la relación en Estados Unidos en el periodo 1960-2005 entre el consumo personal, GCP,
y el ingreso, PIB, ambos en miles de millones de dólares:
GCPt = β1 + β2 P IBt + ut
β2 recoge el incremento esperado en el consumo personal por unidad de incremento
en el P IB. Además tiene interpretación económica ya que es la propensión marginal a
consumir que según la teorı́a keynesiana esta limitada entre 0 y 1. β1 es el valor esperado
del consumo cuando el valor del P IB es cero.
Ejemplo 5.2
Se dispone de una base de datos para 51 estados de E.E.U.U. sobre el gasto agregado
en transporte urbano (EXP T RAV ) y la renta disponible agregada (IN COM E) correspondientes al año 19931 . Las variables que se consideran son:
1
Fuente: Statistical Abstract of U.S. (1995), recogida en Ramanthan, Ramu (2002) Introductory econometrics with
applications. Fichero de datos data8-2.gdt.
93
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
EXPTRAV = Gasto agregado en transporte urbano, en billones de dólares, (Rango
0,708 - 42,48).
INCOME = Renta disponible agregada, en billones de dólares, (Rango 9,3 - 683,5).
Un modelo para analizar si la renta disponible agregada explica el gasto agregado en
transporte urbano es el siguiente2 :
EXP T RAVi = β1 + β2 IN COM Ei + ui
i = 1, . . . , 51
(5.2)
El parámetro β1 recoge el valor esperado del gasto en transporte cuando la renta es cero,
β1 = E(EXP T RAV |IN COM E = 0). La pendiente β2 recoge el incremento en el valor
esperado del gasto en transporte cuando la renta se incrementa en una unidad, es este
T RAV )
caso cuando se incrementa en un billón de dólares, β2 = ∂E(EXP
∂IN COM E . Esperarı́amos
signo positivo.
Ejemplo 5.3
Estamos interesados en explicar el precio de una vivienda, en miles de dólares (PRICE),
mediante las variables explicativas: el tamaño de la casa o el número de pies cuadrados
del área habitable (SQFT), el número de habitaciones (BEDRMS) y el número de baños
(BATHS). Formulamos el modelo de regresión lineal múltiple:
P RICEi = β1 + β2 SQF Ti + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui
i = 1, 2, . . . , N (5.3)
Interpretación de los coeficientes:
• El coeficiente β1 = E(P RICEi |SQF Ti = BEDRM Si = BAT HSi = 0) es el valor
medio esperado de aquellas viviendas que no tienen ningún pie cuadrado de área
habitable, ni habitaciones ni baños.
RICEi )
• El coeficiente β2 = ∂E(P
∂SQF Ti , mide el incremento en el valor esperado del precio de
una vivienda cuando su superficie se incrementa en un pie cuadrado, manteniéndose
el resto de variables constante. Luego, considerando dos casas con el mismo número
de habitaciones y de baños, para aquella casa que tenga un pie cuadrado más de
área habitable se espera que cambie en media su precio de venta en β2 miles de
dólares.
RICEi )
• El coeficiente β3 = ∂E(P
∂BEDRM Si , mide el incremento en el valor esperado del precio
de una vivienda cuando el número de habitaciones de la misma se incrementa en
una unidad, manteniéndose el resto de variables constante. Considerando dos casas
con el mismo número de pies cuadrados de área habitable y número de baños, para
aquella casa que tenga una habitación más se espera que cambie en media su precio
de venta en β3 miles de dólares.
RICEi )
• El coeficiente β4 = ∂E(P
∂BAT HSi , mide el incremento en el valor esperado del precio
de una vivienda cuando el número de habitaciones de la misma se incrementa en
2
Son datos de sección cruzada luego utilizamos el subı́ndice i = 1, . . . , N .
94
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
una unidad, manteniéndose el resto de variables constante. Considerando dos casas
con el mismo número de pies cuadrados de área habitable y número de habitaciones,
para aquella casa que tenga un baño más se espera que cambie en media su precio
de venta en β4 miles de dólares.
Ejemplo 5.4
Se especifica la siguiente función de salarios en el año 2002:
Wi = β1 + β2 S2i + ui
i = 1, 2, . . . N
donde Wi es el salario anual del individuo i y S2i es una variable ficticia que se define:
½
S2i =
1 si el individuo i es mujer
0 en caso contrario
La interpretación de los coeficientes de regresión del modelo es la siguiente:
• β1 = E(Wi |S2i = 0) luego es el salario esperado cuando el individuo es hombre.
Esperarı́amos signo positivo.
• E(Wi |S2i = 1) = β1 + β2 es el salario esperado de una mujer. Luego β2 es el
incremento o decremento en el salario esperado para un individuo por el hecho de ser
mujer. Por tanto β2 recoge el efecto diferencial en el salario esperado entre hombres
y mujeres. Si es cierto que existe discriminación salarial por sexo esperarı́amos que
tuviera signo negativo. De la misma forma si no existiera discriminación salarial
por sexo, es decir si hombres y mujeres tuvieran el mismo salario, su valor serı́a
cero.
Ejemplo 5.5
Se especifica la siguiente función de salarios en el año 2002:
Wi = β1 + β2 S2i + β3 Xi + ui
i = 1, 2, . . . N
donde Wi es el salario anual del individuo i, Xi son los años de experiencia del individuo
i y S2i es una variable ficticia que se define:
½
S2i =
1 si el individuo i es mujer
0 en caso contrario
La interpretación de los coeficientes de regresión del modelo es la siguiente:
• β1 = E(Wi |S2i = Xi = 0) luego es el salario esperado cuando el individuo es
hombre y no tiene experiencia. Esperarı́amos signo positivo.
95
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• E(Wi |S2i = 1, Xi = 0) = β1 +β2 luego β2 es el incremento o decremento en el salario
esperado para un individuo cuando no tiene experiencia por el hecho de ser mujer.
Por tanto β2 recoge el efecto diferencial en el salario esperado entre hombres y
mujeres con igual experiencia laboral. Si es cierto que existe discriminación salarial
por sexo esperarı́amos que tuviera signo negativo. De la misma forma, si no existiera
discriminación salarial por sexo su valor serı́a cero.
i)
• β3 = ∂E(W
es el incremento en el salario esperado del individuo i cuando la
∂Xi
experiencia se incrementa en un año. Es independiente del sexo del individuo i
luego es el mismo para hombres y mujeres. Esperarı́amos signo positivo, a mayor
experiencia mayor remuneración.
Ejemplo 5.6
Se especifica la siguiente función de ventas de una empresa para el perı́odo de Enero de
1978 a Diciembre de 2002:
Vt = β1 + β2 D2t + β3 D3t + β4 D4t + ut
t = 1, 2, . . . T
donde Vt son las ventas de la empresa en el momento t y las variables Djt son variables
ficticias que se definen:
½
1 si la observación t pertenece al trimestre j j = 2, 3, 4
Djt =
0 en caso contrario
La interpretación de los coeficientes de regresión del modelo es la siguiente:
• E(Vt |D2t = D3t = D4t = 0) = β1 es el valor esperado de las ventas en el primer
trimestre.
• E(Vt |D2t = 1; D3t = D4t = 0) = β1 + β2 es el valor esperado de las ventas en
el segundo trimestre. Luego β2 es el diferencial entre las ventas esperadas en el
segundo trimestre y el primer trimestre.
• E(Vt |D3t = 1; D2t = D4t = 0) = β1 + β3 es el valor esperado de las ventas en el
tercer trimestre. Luego β3 es el diferencial entre las ventas esperadas en el tercer
trimestre y el primer trimestre.
• E(Vt |D2t = D3t = 0; D4t = 1) = β1 + β4 es el valor esperado de las ventas en el
segundo trimestre. Luego β4 es el diferencial entre las ventas esperadas en el cuarto
trimestre y el primer trimestre.
Ejemplo 5.7
En este ejemplo vamos a analizar los determinantes de la oferta laboral de las mujeres
casadas3 . Para ello vamos a utilizar el archivo mroz87.gdt incluido en el programa gretl,
3
Fichero mrox87.gdt, disponible en gretl pestaña Gretl. Fuente:“The Sensitivity of an Empirical Model of Married
Women’s Hours of Work to Economic and Statistical Assumptions”, Econometrica 55, 765-799.
96
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
en la carpeta de archivos de muestra “Gretl”. En él se dispone de observaciones de las
siguientes variables, entre otras4 :
• LF P : Variable ficticia que toma valor 1 si la mujer ha trabajado en 1975 y cero en
otro caso
• HOU RS: Número de horas trabajadas por la esposa en 1975, (W HRS).
• KL6: Número de hijos menores de seis años, en la familia.
• K618: Número de hijos entre seis y dieciocho años, en la familia.
• AGE: Edad de la esposa, (W A).
• EDU C: Años de educación recibidos por la esposa, (W E).
• W AGE: Salario de la esposa en el momento de la encuesta, 1976, (RP W G).
• F AM IN C: Renta familiar en dólares de 1975.
• EXP ER: Años de experiencia en la actualidad, (AX).
Se trata de una muestra de sección cruzada con 428 observaciones de mujeres trabajadoras donde el término trabajadoras implica que tienen un salario monetario.
Con la muestra anterior creamos las siguientes variables:
l W AGEi = ln(W AGE)i ,
sq EXP ERi = EXP ERi2 ,
N W IF EIN Ci = F AM IN Ci − (W AGEi × HOU RSi )
Dado nuestro objetivo de estudiar los determinantes de la oferta laboral de la población
femenina casada, la variable a estudiar es HOU RS. Como determinantes de la misma
podemos pensar en incluir en el modelo el salario en logaritmos, l W AGE, los años de
educación recibidos, EDU C, la edad, AGE, el número de hijos de la familia, KL6 y
K618, y la variable N W IF EIN C, que de alguna manera mide la importancia de las
rentas familiares que no dependen de los ingresos de la esposa. Ası́, el modelo a estimar
serı́a:
HOU RSi = β1 + β2 l W AGEi +
β3 EDU Ci + β4 AGEi + β5 KL6i + β6 K618i + β7 N W IF EIN Ci + ui (5.4)
A priori esperarı́amos que los coeficientes de las variables l W AGE, EDU C y K618 fuesen positivos, ceteris paribus. Es de esperar que si se tiene un sueldo alto la estimulación
a seguir trabajando sea mayor. También es lógico pensar que cuando la preparación (estudios) es mayor, se tenga un empleo mejor y mejor remunerado, luego es más probable
que la mujer trabaje fuera de casa. Familias con mayor número de hijos necesitan de una
mayor renta, por lo que es probable que la esposa decida trabajar. Por otro lado, cuando
hay niños pequeños podemos pensar que la esposa se retire del mercado de trabajo para
4
Algunas de las variables han sido renombradas para que el ejercicio resulte más cómodo. Entre paréntesis aparece
el nombre original utilizado en el fichero para que las podáis reconocer fácilmente.
97
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
cuidarlos, por lo que esperarı́amos un signo negativo en el coeficiente que acompaña a
KL6 manteniendo el resto de factores constante. A mayor edad, también es posible que
no se quiera trabajar fuera de casa, por lo que, esperamos signo negativo para la variable
AGE ceteris paribus. Finalmente, manteniendo el resto de factores constantes también
esperarı́amos signo negativo para el coeficiente de la variable N W IF EIN C ya que, si
la renta disponible que no depende de la remuneración de la mujer es alta, es probable
que eso desincentive a trabajar fuera de casa a la esposa. Es importante tener en cuenta
la fecha de la recogida de datos, 1975, cuando todavı́a la participación en el mercado de
trabajo de la mujer no estaba consolidada.
Algunas consideraciones sobre la linealidad en parámetros Cuando decimos que el MRLG es un
modelo lineal queremos decir que Y o alguna transformación de Y es lineal en las X o en alguna
transformación lineal de las X. Hay dos tipos de linealidad, linealidad en variables y linealidad en
parámetros. Nosotros estamos interesados en la linealidad en parámetros: es decir las derivadas con
respecto a los coeficientes desconocidos son una función lineal sólo de las X.
βk =
∂E(Yi )
∂Xki
k = 1, 2, . . . , K
El modelo lineal más sencillo es el Modelo de Regresión Lineal Simple donde la variable endógena
Y queda explicada por una única variable exógena X
Yi = β1 + β2 Xi + ui
i = 1, 2, . . . , N
De igual forma es lineal el Modelo de Regresión Lineal General donde la variable endógena Y se
explica con un conjunto de k-variables explicativas (X1i , X2i , . . . , XKi )
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + . . . + βK XKi + ui
i = 1, 2, . . . , N
Dado que estamos interesados sólo en la linealidad en parámetros también serán considerados lineales
los siguientes modelos:
1 + u −→ Y = β + β Z + u
Yi = β1 + β2 X
i
i
1
2 i
i
i
con Zi = 1/Xi
Yi = β1 + β2 Xi2 + ui −→ Yi = β1 + β2 Wi + ui con Wi = Xi2
que son lineales en parámetros según lo dicho anteriormente aunque no lo sean en variables. Ahora
bien, existen otras relaciones que aunque en principio no son lineales pueden transformarse en
lineales y por tanto son perfectamente estimables en nuestros términos. Por ejemplo:
1. Sea el siguiente modelo:
Xi = AB Yi ui
podemos transformar el modelo en lineal en parámetros tomado logaritmos y obtener:
Yi = β1 + β2 LnXi + ui
donde β2 = (LnB)−1
LnA
y β1 = ( LnB
)
(5.5)
a esta transformación se le llama semilogarı́tmica.
98
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2. Sea el modelo:
Yi = AXiB ui −→ LnYi = β1 + β2 LnXi + ui
(5.6)
donde β1 = LnA, a esta transformación se le llama doblemente logarı́tmica.
Ejemplo 5.8
Un ejemplo especı́fico de esta última transformación es la función Cobb-Douglas de la
teorı́a de producción. La función de producción Cobb-Douglas, en su forma estocástica,
se expresa como:
Qt = A Lβt 2 Ktβ3 eut
De la ecuación anterior se deduce que la relación entre la producción y los factores
capital y trabajo es claramente no lineal. Sin embargo, podemos transformar el modelo
tomando logaritmos y obtener la siguiente relación lineal en los parámetros β1 , β2 y β3 :
Qt = ALtβ2 Ktβ3 eut −→ LnQt = β1 + β2 LnLt + β3 LnKt + ut
(5.7)
siendo β1 = LnA. Una ventaja de este tipo de modelos como el recogido en la ecuación
(5.7), en los que todas las variables están medidas en logaritmos, es que los parámetros de pendiente además de recibir la interpretación habitual pueden interpretarse en
términos de elasticidades:
β2 =
∂E(Qt ) Lt
∂E(LnQt )
=
∂LnLt
∂Lt Qt
β3 =
∂E(LnQt )
∂E(Qt ) Kt
=
∂LnKt
∂Kt Qt
Es decir βk k = 2, 3, miden el cambio porcentual o elasticidad (parcial) generado en la
variable endógena como consecuencia de un cambio porcentual (un 1 %) en la variable
exógena correspondiente, ceteris paribus. En el ejemplo anterior β2 y β3 representan
las elasticidades de la función de producción con respecto a los factores de producción
trabajo y capital respectivamente.
Por otro lado la suma (β2 + β3 ) da información sobre los rendimientos a escala , es decir,
la respuesta de la producción a un cambio proporcional en los factores de producción.
Si la suma es 1 existen rendimientos constantes a escala, al duplicar los factores de
producción se duplica la producción. Si la suma es menor que 1 existen rendimientos
decrecientes a escala, al duplicar los factores de producción ésta crece menos del doble. Si
la suma es mayor que 1 existen rendimientos crecientes a escala, al duplicar los factores
de producción ésta crece más del doble.
Es importante notar que para la ecuación (5.5) la interpretación de los parámetros como
elasticidades no es posible ya que al no estar la variable Yi en logaritmos:
β=
∂E(Yi )
∂E(Yi )
=
Xi
∂LnXi
∂Xi
99
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.3.
Estimación por Mı́nimos Cuadrados Ordinarios (MCO)
• Nuestro objetivo es estimar los parámetros desconocidos βk ,
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui
Y = Xβ + u
k = 1, . . . , K de
i = 1, 2, . . . , N
en forma matricial.
A los parámetros estimados los denotamos β̂k y la estimación del modelo es
Ŷt = β̂1 + β̂2 X2i + . . . + β̂K XKi
Ŷ = X β̂
i = 1, 2, . . . , N
en forma matricial,
a la cual denominamos Función de Regresión Muestral (FRM).
• Elementos adicionales
• La perturbación del modelo recoge todo aquello que no ha sido explicado por la parte sistemática del modelo y se obtiene como la diferencia entre la variable a explicar y la recta de
regresión poblacional:
ui = Yi − E(Yi )
i = 1, 2, . . . , N
u = Y − Xβ
en forma matricial.
• El residuo mide el error cometido al estimar la variable endógena y se define como la diferencia
entre la variable a explicar y la recta de regresión muestral5 :
ûi = Yi − Ŷi = Yi − β̂1 − β̂2 X2i − . . . − β̂K XKi
û = Y − Ŷ = Y − X β̂
i = 1, 2, . . . , N
en forma matricial.
Este error proviene de dos fuentes: la primera, por el hecho de no poder obtener los valores de
la perturbación (ui ) y la segunda se debe a que la estimación de los coeficientes desconocidos
βk k = 1, . . . , K introduce un error adicional. Es importante, por tanto, diferenciar y no
confundir el residuo con la perturbación.
• Representación gráfica: Cuando K = 2 el modelo se escribe
Yi = β1 + β2 Xi + ui
y se denomina Modelo de Regresión Lineal Simple (MRLS). Entonces, la relación entre la FRM,
FRP, residuos y perturbaciones puede visualizarse en la Figura 5.2.
En el Gráfico 5.2 la función de regresión poblacional está trazada en color negro ası́ como los
coeficientes poblacionales, la ordenada (β1 ) y la pendiente (β2 ). Podemos ver que el valor Yi se
5
Los residuos son a la FRM lo que las perturbaciones a la FRP. Sin embargo, no son buenos estimadores de las
mismas (al menos, no si la muestra es pequeña) porque no tienen las mismas propiedades, se puede ver en el Anexo
3 incluido en el Apéndice del Tema.
100
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Yi 6
(Y1 , X1 )
Y1
6
û
β̂1 + β̂2 X1 = Ŷ1 ? 1
β1
β̂1
Ŷi = β̂1 + β̂2 Xi
6
?u1
6 β1 + β2 X1
E(Yi ) = β1 + β2 Xi
?
-
β2
β̂2
X1
Xi
Figura 5.2: Función de regresión poblacional y función de regresión muestral
obtiene como la suma del valor que toma la parte sistemática β1 + β2 Xi (situada sobre la FRP) y
del valor que toma la perturbación ui , esto es, Yi = β1 + β2 Xi + ui .
La función de regresión muestral y los coeficientes estimados (β̂1 y β̂2 ) están representados en color
rojo. La diferencia entre la FRP y la FRM se debe a los errores que se cometen en la estimación
de los coeficientes de la regresión (β̂1 6= β1 , β̂2 6= β2 ). Basándonos en la FRM podemos obtener el
valor del punto Yi como la suma del valor estimado de la parte sistemática Ŷi = β̂1 + β̂2 Xi (situado
sobre la FRM) y del valor que toma el residuo ûi , esto es, Yi = Ŷi + ûi .
5.3.1.
Método de estimación de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios (MCO)
El objetivo es obtener un vector de estimadores de los parámetros ó coeficientes β1 , . . . , βK , para
el cual buscamos K estimadores respectivamente. Un estimador es una fórmula que, aplicada a los
datos, da como resultado un valor numérico. Al valor numérico calculado a partir de un estimador
y de una muestra dada, lo denominamos estimación. A ambos los denotamos β̂, el cual puede ser,
consecuentemente, un vector de estimadores o de estimaciones, según nos estemos refiriendo a la
fórmula o a los valores numéricos resultantes. Pero no son lo mismo.
Necesitamos un criterio de estimación, que dados el modelo y la muestra nos permita obtener la
función de regresión muestral. Proponemos el criterio de estimación mı́nimo cuadrático ordinario
por su sencillez y buenas propiedades, que demostraremos más adelante.
El criterio de estimación Mı́nimo Cuadrático Ordinario (MCO) se expresa:
mı́n
β̂
N
X
i=1
û2i = mı́n
β̂
N
X
(Yi − Ŷi )2
i=1
A continuación buscaremos la expresión de los estimadores mı́nimo cuadráticos obtenidos como
resultado de aplicar el criterio MCO al modelo de regresión lineal general.
101
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Estimador MCO del MRLG
Criterio:
N
X
mı́n
β̂1 ,...,β̂K i=1
û2i
N
X
= mı́n
(Yi − Ŷi )2 =
β̂1 ,...,β̂K i=1
N
X
(Yi − β̂1 − β̂2 X2i − . . . − β̂K XKi )2
mı́n
(5.8)
β̂1 ,...,β̂K i=1
Las K Condiciones de Primer Orden (C.P.O.) de mı́nimo son
∂
∂
∂
∂
PN
2
i=1 ûi
= 0
∂ β̂1
PN
2
i=1 ûi
= 0
∂ β̂2
PN
2
i=1 ûi
= 0
∂ β̂3
..
.
PN
..
.
2
i=1 ûi
= 0
∂ β̂K
de donde se obtienen las ecuaciones normales:
N
X
−2
(Yi − β̂1 − β̂2 X2i − . . . − β̂K XKi ) = 0
i=1
−2
N
X
(Yi − β̂1 − β̂2 X2i − . . . − β̂K XKi )X2i = 0
i=1
..
.
−2
N
X
..
.
(Yi − β̂1 − β̂2 X2i − . . . − β̂K XKi )XKi = 0
i=1
que pueden escribirse como:
X
X
X
En forma matricial,
PN
Yi =
X2i Yi =
P
P
N β̂1 + β̂2 X2i + . . . + β̂K
XKi
P
P 2
P
β̂1 X2i + β̂2 X2i + . . . + β̂K
X2i XKi
..
.
XKi Yi =
2
i=1 ûi
β̂1
P
= û0 û
XKi + β̂2
P
..
.
XKi X2i + . . . + β̂K
2
XKi
donde û es un vector N × 1 y el criterio puede escribirse
(1 × 1)
mı́n û0 û = mı́n(Y − X β̂)0 (Y − X β̂).
β̂
P
β̂
102
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Las K Condiciones de Primer Orden (C.P.O.) de mı́nimo son
∂ û0 û
∂ β̂
= 0 ⇒ −2X 0 (Y − X β̂) = 0.
Despejando, obtenemos las ecuaciones normales en forma matricial:
X 0 Y = X 0 X β̂M CO .
(5.9)
de donde el estimador MCO (en forma matricial) es:
β̂M CO = (X 0 X)−1 X 0 Y
(5.10)
en el que X 0 X es una matriz de orden K × K, X 0 Y un vector de orden K × 1 y β̂ un vector de
orden K × 1, tales que




0
=

XX

(K × K)

P
P
X3i
PN
P X2i
P
2
X
X
X
3i
2i
P 2i P
P 2i X
2
X3i
X3i X2i
X3i
..
..
..
P.
P .
P .
XKi
XKi X2i
XKi X3i




X 0Y = 

(K × 1)

P
P Yi
P X2i Yi
X3i Yi
..
P .
XKi Yi
P
· · · P XKi
· · · P X2i XKi
···
X3i XKi
..
..
.
P. 2
···
XKi











=
β̂


(K × 1)

β̂1
β̂2
β̂3
..
.











.



β̂K
El estimador MCO cumple también las condiciones de segundo orden de mı́nimo, con lo cual es,
efectivamente, la solución al problema de minimización de la suma de los residuos al cuadrado.
Ejercicio 5.1
Sea el modelo de regresión lineal simple donde se regresa Yt sobre Xt , incluyendo un
término independiente.
Yt = β1 + β2 Xt + ut
t = 1, . . . , T
Sin utilizar notación matricial:
1. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente al modelo propuesto.
2. Escribe la función objetivo correspondiente a la estimación por MCO de los parámetros desconocidos. Deriva las condiciones de primer orden.
103
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
3. Obtén las ecuaciones normales correspondientes al modelo.
4. Obtén la expresión de β̂1 y β̂2 .
Utilizando notación matricial:
1. Escribe la expresión matricial del modelo.
2. Escribe la función objetivo correspondiente a la estimación por MCO de los parámetros desconocidos. Deriva las condiciones de primer orden.
3. Obtén las ecuaciones normales correspondientes al modelo.
4. Obtén la expresión del estimador del vector de parámetros desconocidos β̂.
Ejercicio 5.2
Sea el siguiente modelo de regresión lineal simple donde se regresa Yt sobre Xt .
Yt = βXt + ut
t = 1, . . . , T
Sin utilizar notación matricial:
1. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente al modelo propuesto.
2. Escribe la función objetivo correspondiente a la estimación por MCO del parámetro
desconocido. Deriva la condición de primer orden.
3. Obtén la ecuación normal del modelo.
4. Obtén la expresión de β̂.
Utilizando matrices escribe la expresión matricial del modelo y obtén la expresión de β̂.
Algunas equivalencias de notación
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui
i = 1, 2, . . . , N
⇔ Y = Xβ + u
E(Yi ) = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi
i = 1, 2, . . . , N
⇔ E(Y ) = Xβ
Ŷi = β̂1 + β̂2 X2i + . . . + β̂K XKi
i = 1, 2, . . . , N
Yi = β̂1 + β̂2 X2i + . . . + β̂K XKi + ûi
ûi = Yi − Ŷi
i = 1, 2, . . . , N
i = 1, 2, . . . , N
104
⇔ Ŷ = X β̂
⇔ Y = X β̂ + û
⇔ û = Y − Ŷ
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Interpretación de los coeficientes estimados por MCO
b i |Xki = 0, ∀k = 2, . . . , K). Valor esperado estimado de Yi cuando las variables
• β̂1 = E(Y
explicativas son todas cero.
di )
d)
∂ E(Y
∆E(Y
= ∆X i
∀k = 2, . . . , K. Incremento esperado estimado (ó decremento es∂Xki
ki
perado estimado) en Yi cuando la variable Xk se incrementa en una unidad, manteniéndose
constantes el resto de las variables explicativas.
• β̂k =
Ejemplo 5.9
Supongamos que se dispone de datos para estimar la relación en Estados Unidos para
el periodo 1960-2005 entre el consumo personal, GCP, y el ingreso, PIB, propuesta en
el Ejemplo 5.1 y que la regresión estimada es la siguiente:
d t = −299, 5913 + 0, 721P IBt
GCP
La propensión marginal a consumir es 0, 72 lo que indica que cuando el ingreso real
se incrementa en un dólar el consumo personal aumenta en 72 centavos. La ordenada
es −299, 5913 lo que indica que si el ingreso es cero el nivel promedio del consumo es
negativo e igual a 299, 59 dólares. No tiene interpretación económica.
Si las unidades de ambas variables fuese billones de $: por cada billón de dólares de
incremento en el PIB el consumo se incrementarı́a en 0,721 billones, Luego por cada
100 billones de incremento en PIB el consumo se incrementa en 72,1 billones de dólares.
Cuando el PIB es cero el consumo es negativo e igual a 299591,3 billones de dólares.
Ejemplo 5.10
Vamos a retomar ahora el Ejemplo 5.3 donde se analizaban los determinantes del precio
de la vivienda. Se dispone de una base de datos sobre el precio de una vivienda y distintas caracterı́sticas de la misma para 14 viviendas vendidas en la comunidad universitaria
de San Diego en 1980. Son datos de sección cruzada y la descripción de las variables
disponibles es6 :
PRICE = precio de venta de la vivienda en miles de dólares (Rango 199,9 - 505)
SQFT = pies cuadrados de área habitable (Rango 1065 - 3000)
BEDRMS= número de dormitorios (Rango 3 - 4)
BATHS = número de baños (Rango 1,74 - 3)
Para analizar si el tamaño, el número de habitaciones y el número de baños son factores
que explican o no el precio de la vivienda se especifica el siguiente modelo:
P RICEi = β1 + β2 SQF Ti + β3 BEDRM Si + β4 BAT HS + ui
6
i = 1, . . . , 14 (5.11)
Fuente: Ramanathan, Ramu (2002) Introductory econometrics with applications. Conjunto de datos data4-1.gdt
105
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Para estimar el modelo se utilizan las observaciones disponibles en el fichero data4-1.gdt
y que son las siguientes7 :
Obsv.
P RICE
SQF T
BEDRM S
BAT HS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
199,9
228,0
235,0
285,0
239,0
293,0
285,0
365,0
295,0
290,0
385,0
505,0
425,0
415,0
1065
1254
1300
1577
1600
1750
1800
1870
1935
1948
2254
2600
2800
3000
3
3
3
4
3
4
4
4
4
4
4
3
4
4
1,75
2,00
2,00
2,50
2,00
2,00
2,75
2,00
2,50
2,00
3,00
2,50
3,00
3,00
Tabla 5.1: Datos de caracterı́sticas de viviendas. Fichero 4-1.gdt.
Las estimaciones obtenidas resultan de aplicar el criterio MCO β̂ = (X 0 X)−1 X 0 Y :

 
β̂1
14
P
 β̂2  

 =  P SQF Ti
 β̂3  
P BEDRM Si
BAT HSi
β̂4
 P
P P RICEi

 P SQF Ti P RICEi

P BEDRM Si P RICEi
BAT HSi P RICEi

P
P SQF Ti2
P SQF Ti
P BEDRM Si SQF Ti
BAT HSi SQF Ti

14
  26753
=
 
51
33
26753
55462515
99193
65699, 75
P
P BEDRM Si
Si
P SQF Ti BEDRM
2
BEDRM
S
i
P
BAT HSi BEDRM Si
51
99193
189
121, 75
P
P BAT HSi
P SQF Ti BAT HSi
P BEDRM2 Si BAT HSi
BAT HSi
−1 
4444, 9
33

65699, 75 
  9095985, 5
16372, 7
121, 75  
10821, 075
80, 375
−1




129, 062
 
0, 1548 

=
  −21, 5875 
−12, 1928


• La función de regresión muestral obtenida es:
d i = 129, 062 + 0, 1548 SQF Ti − 21, 5875 BEDRM Si − 12, 1928 BAT HSi
P RICE
• Interpretación de los signos obtenidos:
Los signos obtenidos son los adecuados. Para la variable SQF T el signo es positivo
ya que manteniendo el resto de variables constantes lógicamente si aumenta el área
habitable aumentará el precio del piso. Si manteniendo el resto de variables constante
la superficie habitada aumenta en un pie cuadrado el precio medio estimado de una
vivienda aumentará en 154,8 dólares. También son adecuados los signos para BEDRM S
y BAT HS ya que en ambos casos se mantiene constante la superficie habitable por lo
que se aumenta el número de habitaciones (o baños) a costa de una menor superficie
7
Puedes acceder a estos datos ejecutando gretl → En Archivo → Abrir datos → Archivo de muestra → Elige
Ramanathan, el fichero data4-1.gdt.
106
×
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
de éstas, lo cual es lógico que se valore negativamente por el comprador medio. Ası́,
si se aumenta el número de habitaciones, manteniendo constante el número de baños
y la superficie de la vivienda, el precio medio se estima disminuirá en 21.588 dólares.
Manteniéndose constante la superficie habitable y el número de habitaciones el hecho
de tener un baño más redunda en habitaciones más pequeñas por lo que se estima que
el precio medio se reducirá en 12.193 dólares.
Mediante las estimaciones obtenidas podemos estimar el incremento medio en el precio
de la vivienda ante cambios en las variables explicativas. Por ejemplo, si mantenemos
el número de baños, tenemos una habitación más y aumenta el área habitable en 500
pies cuadrados, el cambio en el precio medio estimado de una vivienda será de 55,812
dólares:
4 Pd
RICEi = 0, 15484 SQF Ti − 21, 5884 BEDRM Si − 12, 1924 BAT HSi =
= (0, 1548 × 500) − 21, 588 × 1 − 12, 192 × 0) = 77, 4000 − 21, 588 = 55, 812
5.3.2.
Propiedades de la Función de Regresión Muestral, FRM
1. Los residuos son ortogonales a las variables explicativas: X 0 û = 0 (û0 X = 0).
X 0 û = X 0 (Y − Ŷ ) = X 0 (Y − X β̂) = 0
por las ecuaciones normales.
2. Los residuos son ortogonales a las estimaciones de la variable endógena: Ŷ 0 û = 0 (û0 Ŷ = 0).
Ŷ 0 û = (X β̂)0 û = β̂ 0 |{z}
X 0 û = 0
=0
Si el modelo tiene término independiente, es decir, si X1i = 1, entonces la primera fila de X 0 û es
P
igual a
ûi y tenemos que
3. La suma de los residuos es cero:
PN
i=1 ûi
= 0.
 P
N
ûi
 P1N
X2i ûi

 P1N
0

X û = 0 ⇔ 
1 X3i ûi
..

.

PN
1 XKi ûi


 
 
 
=
 
 

0
0
0
..
.


N

X

ûi = 0
⇒

i=1

0
¯
4. La media muestral de Y es igual a la media muestral de las estimaciones de Y : Ȳ = Ŷ .
ûi = Yi − Ŷi ⇐⇒ Yi = Ŷt + ûi
X
X
X
Yi =
Ŷi +
ûi
| {z }
1 X
Yi =
N
107
=0
1 X
¯
Ŷi =⇒ Ȳ = Ŷ
N
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5. La FRM pasa por el vector de medias: Ȳ = β̂1 + β̂2 X̄2 + . . . + β̂K X̄K .
N
X
i=1
ûi = 0 ⇔
X
X
X
(Yi − β̂1 − β̂2 X2i − . . . − β̂K XKi ) = 0
Yi − N β̂1 − β̂2
X
X2i − . . . − β̂K
X
XKi = 0
X
X
X2i + . . . + β̂K
XKi
X
X
1
1
= β̂1 + β̂2
X2i + . . . + β̂K
XKi
N
N
= β̂1 + β̂2 X̄2 + . . . + β̂K X̄K
Yi = N β̂1 + β̂2
1 X
Yi
N
Ȳ
Nota: Las propiedades 1 y 2 se cumplen siempre, mientras que las 3, 4 y 5 se cumplen sólo si el
modelo tiene un término independiente.
5.3.3.
Medidas de bondad del ajuste
Definimos la variación de la variable Y como la distancia de los valores observados de la variable a
su media muestral. La suma de esas variaciones al cuadrado es la variación que se quiere explicar
con la variación de las variables explicativas. Se le denota como SCT y se lee Suma de Cuadrados
Total. Lógicamente, el ajuste realizado será mejor cuanto mayor sea la proporción explicada de esa
variación.
SCT =
X
(Yi − Ȳ )2 =
X
Yi2 − N Ȳ 2 = Y 0 Y − N Ȳ 2
Cuando el modelo tenga término independiente podremos dividir la variación total en dos partes,
variación explicada y variación sin explicar.
Dado que Y = Ŷ + û, tenemos:
Y 0Y
= (Ŷ + û)0 (Ŷ + û) =
= Ŷ 0 Ŷ + |{z}
Ŷ 0 û + |{z}
û0 Ŷ +û0 û = Ŷ 0 Ŷ + û0 û
=0
=0
Restando en ambos lados N Ȳ 2 ,
Y 0 Y − N Ȳ 2 = Ŷ 0 Ŷ − N Ȳ 2 + û0 û
¯
Si el modelo tiene término independiente, Ȳ = Ŷ de donde,
¯
Y 0 Y − N Ȳ 2 = Ŷ 0 Ŷ − N Ŷ 2 + û0 û
X
X
X
¯
Yi 2 − N Ȳ 2 =
Ŷi2 − N Ŷ 2 +
û2i
X
X
X
¯
(Yi − Ȳ )2 =
(Ŷi − Ŷ )2 +
û2i
|
{z
}
|
{z
} | {z }
SCT
SCE
108
SCR
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
SCT
= SCE + SCR
siendo8 :
SCT: Suma de Cuadrados Total, mide la variación total.
SCE: Suma de Cuadrados Explicada, mide la variación explicada.
SCR: Suma de Cuadrados Residual, mide la variación sin explicar.
X
(Yi − Ȳ )2 = Y 0 Y − N Ȳ 2
X
¯
SCE =
(Ŷi − Ŷ )2 = Ŷ 0 Ŷ − N Ȳ 2
X
SCR =
û2i = Y 0 Y − Ŷ 0 Ŷ = Y 0 Y − β̂ 0 X 0 Y
SCT =
Coeficiente de determinación, R2
R2 =
SCR
SCE
=1−
SCT
SCT
• Si existe término independiente en el modelo el R2 estará entre los valores 0 y 1. Por la misma
razón si no existe término independiente el R2 no tiene sentido.
• El coeficiente de determinación mide la bondad del ajuste o lo que es lo mismo la variabilidad de la variable endógena explicada con la variabilidad de las variables exógenas. Es un
porcentaje.
• A mayor R2 mejor ajuste. Podemos tener la tentación de mejorar el ajuste incluyendo variables
exógenas y este proceder es un error. El problema que presenta el coeficiente de determinación
es que aumenta o se mantiene constante con la inclusión de nuevas variables explicativas en el
modelo, aunque éstas no contribuyan a explicar la variable endógena. Debido a este problema,
se define otra medida de bondad de ajuste, el coeficiente de determinación corregido, R̄2 .
Coeficiente de determinación corregido, R̄2
R̄2 = 1 −
SCR
(N −K)
SCT
(N −1)
.
= 1−
(N − 1) SCR
(N − K) SCT
= 1−
(N − 1)
(1 − R2 )
(N − K)
8
En el Anexo 1 incluido en el Apéndice del tema aparecen distintas expresiones de la SCT, SCE y SCR que pueden
resultar útiles.
109
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Cualquiera que sea el número de variables incluidas en un modelo la SCT será constante y
por tanto si incluimos una nueva variable la SCR será menor y la SCE será mayor.
• Dado que R̄2 se define como una ponderación del R2 por los grados de libertad tendrá en
cuenta estos últimos.
• Este coeficiente, penaliza la inclusión de nuevas variables explicativas. Si la nueva variable
incluida explica a la variable endógena compensando la pérdida de grados de libertad, es
decir compensando el hecho de estimar un coeficiente más, el R̄2 aumenta. Sin embargo si la
nueva variable incluida no explica a la variable endógena compensando la pérdida de grados
de libertad el R̄2 disminuye.
• Si K = 1, R2 = R̄2 .
• Si K > 1, R̄2 ≤ R2 .
El R2 y el R̄2 son sólo dos estadı́sticos y no deben ser utilizados para comparar la especificación
de modelos entre sı́, sólo los contrastes de hipótesis que se verán más adelante son la herramienta
adecuada.
Existen otros criterios de selección de modelos: el criterio de información de Akaike (AIC) o los
criterios Bayesiano de Schwarz (BIC) y de Hannan-Quinn (HQC). Estos criterios se calculan en
función de la suma de cuadrados residual y de algún factor que penalice por la pérdida de grados
de libertad. Un modelo más complejo, con más variables explicativas, reducirá la suma de cuadrados residual pero aumentará el factor de penalización. Utilizando estos criterios se escogerı́a aquel
modelo con un menor valor de AIC, BIC o HQC. Normalmente no suelen dar la misma elección,
siendo el criterio AIC el que elige un modelo con mayor número de parámetros. El cálculo de estos
criterios es algo complejo sin embargo el programa gretl los muestra automáticamente en el output
de regresión. Únicamente los veremos con dicho programa.
Coeficientes de correlación El coeficiente de correlación lineal simple mide el grado de asociación
lineal entre dos variables. Para X e Y se define
P
P
(Xi −X̄)(Yi −Ȳ )
Xi Yi − N X̄ Ȳ
N
qP
qP
rxy = q P
= qP
2
2
(Xi −X̄)
(Yi −Ȳ )
2 − N X̄ 2
X
Yi2 − N Ȳ 2
i
N
N
El coeficiente de correlación simple toma valores entre -1 y 1 y su interpretación podéis recordarla
revisando el Tema 1. En el MRLG tendremos una matriz de coeficientes de correlación habitualmente
denotada por R:


r11 r12 . . . r1K
 r21 r22 . . . r2K 


R= .
..
.. 
.
.
.
 .
.
.
. 
rK1 rK2 . . . rKK
La matriz de correlación R se define como aquella matriz cuyos elementos son el coeficiente de
correlación simple entre dos variables i y j, tal que:
110
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• r1k representa la correlación entre Y y Xk
k = 1, 2, . . . K
• rkk = 1, los elementos de la diagonal principal son todos unos. Muestran la correlación de una
variable consigo misma.
• rkh , muestran la correlación de la variable exógena k con la variable exógena h.
• Además es una matriz simétrica.
En el modelo lineal general la correlación entre Y y X2 no está adecuadamente recogida por el
coeficiente de correlación simple ya que parte de la variación de Y será debida al resto de variables
exógenas. Será necesario descontar este efecto tanto de Y como de X2 . Por ejemplo, en el modelo
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui
para estudiar la influencia de X2 en Y utilizaremos el coeficiente de correlación parcial entre Y y
X2 que mide la correlación que queda entre estas dos variables después de eliminar el efecto de X3
sobre Y y sobre X2 .
r12 − r13 r23
p
r12·3 = p
2
2
1 − r13
1 − r23
Ejemplo 5.11
Con los datos de la Tabla 5.1 y los resultados de la estimación del modelo (5.11) calculamos el coeficiente de determinación y el coeficiente de determinación corregido:
SCT
= Y 0 Y − N Ȳ 2 = 1512980 − 14 × 317, 4932 = 101754, 7293
SCR = Y 0 Y − β̂X 0 Y = 1512980 − 1496279, 9 = 16700, 1
SCR
16700, 1
=1−
= 0, 835976
SCT
101754, 7293
(N − 1)
14 − 1
= 1−
(1 − R2 ) = 1 −
(1 − 0, 835976) = 0, 786769
(N − K)
14 − 4
R2 = 1 −
R̄2
Luego el 83, 59 % de la variabilidad en el precio de la vivienda queda explicada por la
variabilidad del tamaño de la vivienda, el número de dormitorios y el número de baños.
Es un ajuste bastante alto. El R̄2 se interpreta de igual manera.
También podemos calcular la matriz de correlaciones entre SQF T, BEDRM S y BAT HS:


1, 0 0, 4647 0, 7873
1, 0
0, 5323 
R=
1, 0
Luego las variables exógenas están correlacionadas positivamente entre sı́. El coeficiente
más alto es el coeficiente de correlación simple entre SQF T y BAT HS.
111
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.4.
Propiedades de los estimadores MCO
El método de MCO es sólo uno de los posibles métodos de estimación, la pregunta es ¿cómo
podemos elegir entre estimadores? obviamente en base a sus propiedades sobre su comportamiento
en muestras repetidas. Estas propiedades son insesgadez, varianza pequeña y error cuadrático medio
y ya se trataron en el Tema 2.
Insesgadez Un estimador es insesgado si su valor esperado coincide con el verdadero valor del
parámetro. Sea θ̂ un estimador del parámetro θ, será insesgado si E(θ̂) = θ.
Varianza mı́nima Desearemos que la varianza de un estimador sea lo más pequeña posible ya que
cuanto menor sea la varianza muestral mayor es la precisión del estimador.
Si estamos comparando dos estimadores insesgados elegiremos aquel que tenga la menor varianza.
Pero si estamos comparando dos estimadores sesgados o un estimador sesgado y uno insesgado este
criterio no nos sirve y debemos introducir uno nuevo, el concepto de error cuadrático medio.
Error cuadrático Medio (ECM) ECM (θ̂) = E(θ̂ − θ)2 = V (θ̂) + Sesgo(θ̂)2
E(θ̂) − θ. En base a este criterio elegimos el estimador con menor ECM.
5.4.1.
donde Sesgo(θ̂) =
Propiedades de los estimadores MCO
Sea el modelo de regresión lineal general
Y = Xβ + u
u ∼ N ID(0, σ 2 IN )
donde se cumplen todas las hipótesis básicas. El estimador MCO de los coeficientes
β̂ = (X 0 X)−1 X 0 Y
tiene las siguientes propiedades:
• Es lineal en las perturbaciones.
• Es insesgado.
• Tiene varianza mı́nima entre todos los estimadores lineales e insesgados
Demostración:
• Linealidad. Como las variables explicativas son no aleatorias, la única variable aleatoria de
su expresión es la perturbación, luego el estimador MCO es una combinación lineal de las
perturbaciones.
β̂ = (X 0 X)−1 X 0 Y =
= (X 0 X)−1 X 0 (Xβ + u) =
= β + (X 0 X)−1 X 0 u
112
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Insesgadez. Dado que:
E(u) = 0
y la matriz X es no aleatoria,
β̂M CO es insesgado, es decir, su valor esperado es igual al vector de coeficientes del modelo.
E(β̂) = E(β + (X 0 X)−1 X 0 u) =
= E(β) + (X 0 X)−1 X 0 E(u) = β
| {z }
=0
• Varianza mı́nima. Dado que:
E(u) = 0
E(uu0 ) = σ 2 IN
y la matriz X es no aleatoria,
V (β̂) = E[(β̂ − E(β̂))(β̂ − E(β̂))0 ] =
= E[(β̂ − β)(β̂ − β)0 ] =
h£
¤£
¤0 i
= E (X 0 X)−1 X 0 u (X 0 X)−1 X 0 u =
= E[(X 0 X)−1 X 0 uu0 X(X 0 X)−1 ] =
= (X 0 X)−1 X 0 E[uu0 ] X(X 0 X)−1 =
= (X 0 X)−1 X 0 σ 2 IN X(X 0 X)−1 =
= σ 2 (X 0 X)−1 X 0 X(X 0 X)−1 =
= σ 2 (X 0 X)−1
Esta matriz de varianzas y covarianzas es mı́nima y nos lo garantiza el Teorema de Gauss-Markov.


V (β̂1 )
 Cov(β̂2 , β̂1 )

Cov(β̂3 , β̂1 )
V (β̂) = 

..
(K × K)

.
Cov(β̂K , β̂1 )




= σ2 


a11
a21
a31
..
.
Cov(β̂1 , β̂2 )
V (β̂2 )
Cov(β̂3 , β̂2 )
..
.
Cov(β̂K , β̂2 )
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
..
.
···
···
···
..
.
Cov(β̂1 , β̂3 )
Cov(β̂2 , β̂3 )
V (β̂3 )
..
.
Cov(β̂K , β̂3 )
a1K
a2K
a3K
..
.
···
···
···
..
.
···
Cov(β̂1 , β̂K )
Cov(β̂2 , β̂K )
Cov(β̂3 , β̂K )
..
.
V (β̂K )


=






 = σ 2 (X 0 X)−1


aK1 aK2 aK3 · · · aKK
donde akk es el elemento (k, k) de (X 0 X)−1 . Como toda matriz de varianzas y covarianzas, es
simétrica.
113
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Teorema de Gauss-Markov: Dados los supuestos básicos del modelo de regresión lineal general,
“dentro de la clase de estimadores lineales e insesgados, β̂ es el estimador eficiente, es decir, β̂ tiene
mı́nima varianza”.
5.4.2.
Estimación de la varianza de las perturbaciones
En la matriz de varianzas y covarianzas del estimador MCO aparece la varianza de las perturbaciones, lo habitual es que sea desconocida y haya de ser estimada. Habitualmente se utiliza el siguiente
estimador insesgado9 de σ 2 :
P 2
û0 û
SCR
ûi
2
σ̂ =
=
=
y
E(σ̂ 2 ) = σ 2
N −K
N −K
N −K
Por tanto podremos utilizarlo como el estimador apropiado de la varianza de la perturbación. Para
trabajar con él es útil escribirlo en términos de las variables observables mediante las matrices Y ,
X, ası́:
σ̂ 2 =
û0 û
Y 0 Y − β̂ 0 X 0 Y
Y 0 Y − β̂X 0 X β̂
=
=
N −K
N −K
N −K
Bajo las hipótesis básicas, un estimador insesgado de la matriz de varianzas y covarianzas,
de β̂M CO es
Vb (β̂M CO ) = σ̂ 2 (X 0 X)−1
Ejemplo 5.12
Con los datos de la Tabla 5.1 y los resultados de la estimación del modelo (5.11) se
calcula la siguiente matriz de varianzas y covarianzas estimada:
σ̂ 2 =
Y 0 Y − β̂ 0 X 0 Y
1513039, 0100 − 1496338, 9414
=
= 1670, 0069
N −K
14 − 4

−1
14
26753
51
33
 26753 55462515 99193 65699, 75 
 =
Vb (β̂M CO ) = 1670, 0069 × 

51
99193
189
121, 75 
33 65699, 75 121, 75
80, 375


7797, 47
0, 670891
−1677, 13 −1209, 37
 0, 670891 0, 00102019 −0, 0754606 −0, 995066 

= 
 −1677, 13 −0, 0754606
730, 585
−356, 4 
−1209, 37 −0, 995066
−356, 4
1870, 56
9
En el Anexo 2 incluido en el Apéndice del Tema aparece demostrada la insesgadez de σ̂ 2 .
114
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.3
Supongamos que en la regresión mı́nimo cuadrática ordinaria de Y sobre X el coeficiente
estimado de X es 1.2. Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las
respuestas:
1. Tomando distintas muestras para la variable Y pueden obtenerse otras estimaciones.
2. La distribución de estas estimaciones debe estar centrada en torno al verdadero
valor 1.2.
Ejercicio 5.4
Obtener la esperanza matemática y varianza del siguiente estimador del parámetro de
pendiente en el MLS cuando se cumplen todas las hipótesis básicas:
c
β̃ = β̂M CO +
N
donde c es una constante arbitraria.
Ejercicio 5.5
Se quiere estimar un modelo que explique el ahorro generado, S, en función del tipo de
interés, r, de la forma:
St = α + βrt + ut
1. Para estimar con mayor precisión β, si pudieras elegir la muestra en diferentes
perı́odos, ¿la elegirı́as durante un perı́odo de tiempo en el cual los tipos de interés fueran fluctuantes o durante un perı́odo en el cual los tipos de interés fueran
relativamente constantes?
2. ¿Qué ocurrirı́a con los estimadores MCO de los coeficientes de la regresión si el
ahorro ha fluctuado muy poco en torno a un valor constante durante el perı́odo
muestral?
Ejercicio 5.6
Supongamos que la relación entre las variables X e Y es la siguiente Yt = βXt + ut
donde X es una variable no estocástica y ut ∼ N ID(0, σ 2 ). Se definen dos estimadores
para el parámetro desconocido β:
β∗ =
P
P Yt
Xt
β̂ =
P
t
PXt Y
Xt2
1. Demuestra que ambos estimadores son insesgados.
2. ¿Cuál de los dos estimadores elegirı́as? ¿Por qué?
115
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.7
Para el vector de perturbaciones u de orden (T × 1), indica el significado de cada una
de las siguientes expresiones y establece su relación con σ 2 :
1.
2.
3.
1 0
Tuu
1 0
T û û
E(û0 û)
4. E(ûû0 )
5.4.3.
Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: colinealidad
A la hora de estimar un modelo económico, los datos disponibles sobre las variables explicativas o
regresores pueden presentar un alto grado de correlación, especialmente en un contexto de series
temporales y con series macroeconómicas.
Cuando dos o más variables explicativas de un modelo están altamente correlacionadas en la muestra,
es muy difı́cil separar el efecto parcial de cada una de estas variables sobre la variable dependiente.
La información muestral que incorpora una de estas variables es casi la misma que el resto de las
correlacionadas con ella. En este tema analizaremos las implicaciones que este fenómeno muestral
tiene en la estimación por el método de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios.
• El problema de multicolinealidad es un problema relacionado con la matriz de variables exógenas X .
• Se refiere no tanto a si existe o no relación lineal entre las variables exógenas del modelo de
regresión, que existirá, como al grado de correlación lineal entre las variables explicativas del
modelo de regresión lineal.
• En todo momento nosotros vamos a suponer que tenemos un modelo correctamente especificado y que al estimarlo detectamos los problemas en la matriz de datos X. Ası́, estamos
enfocando el problema como un problema muestral.
• Podemos distinguir dos casos:
• Multicolinealidad exacta: se produce cuando existe una relación lineal exacta.
• Alta colinealidad: cuando la correlación entre las variables exógenas es muy alta pero no
exacta.
Multicolinealidad exacta
Para verlo más claramente vamos a seguir un ejemplo. Sea el modelo:
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui
116
i = 1, . . . , N
(5.12)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
y supongamos que X3i = 2X2i . Las ecuaciones normales que se obtienen del criterio de estimación
MCO forman un sistema de tres ecuaciones pero solo dos son linealmente independientes:
P
P
P
Yi
=
N β̂1 + β̂2
Yi X2i
=
β̂1
Yi X3i
=
β̂1
P
P
P
X2i + β̂3
X2i + β̂2
X3i + β̂2
P
P
P
X3i
2
X2i
+ β̂3
P
X3i X2i
X2i X3i + β̂3
P
2
X3i
ya que si sustituimos en estas ecuaciones la relación lineal exacta X3i = 2X2i y reorganizamos,
obtenemos:
P
=
N β̂1 + (β̂2 + 2β̂3 )
Yi X2i
=
β̂1
Yi X2i )
=
³ P
P 2´
2 β̂1 X2i + (β̂2 + 2β̂3 ) X2i
P
2(
P
P
Yi
P
X2i
X2i + (β̂2 + 2β̂3 )
P
2
X2i
Se puede observar que la tercera ecuación es la misma que la segunda excepto por un factor de escala
igual a 2. Por lo tanto, hay tres incógnitas β̂1 , β̂2 y β̂3 pero solamente dos ecuaciones linealmente
independientes. Dado que X3i y X2i son combinación lineal exacta rg(X) = K − 1 = 3 − 1 = 2,
luego X no es de rango completo y no se cumple una de las hipótesis básicas, la hipótesis de No
Multicolinealidad. Consecuentemente, no es posible estimar de forma única todos los coeficientes del
modelo. Ahora bien, las dos primeras ecuaciones si podemos resolverlas para β̂1 y la combinación
lineal (β̂2 + 2β̂3 ).
Esto mismo se puede comprobar sustituyendo X3i = 2X2i en el modelo (5.12).
Yi = β1 + (β2 + 2β3 )X2i + ui
i = 1, 2, . . . , N
(5.13)
donde podemos estimar de forma separada y única el coeficiente β1 y la combinación lineal (β̂2 +2β̂3 )
pero no cada uno de sus parámetros de forma individual. Además no importa la solución arbitraria
de las ecuaciones normales, esta combinación lineal tiene siempre un único valor y siempre el mismo.
• Consecuencias de la multicolinealidad exacta:
• Los efectos directos de la correlación exacta entre regresores es que el valor del determinante
|X 0 X| = 0, por tanto no podemos encontrar (X 0 X)−1 y por tanto, no podemos estimar el
modelo por MCO ya que el estimador se define como β̂M CO = (X 0 X)−1 X 0 Y .
• En este caso lo que ocurre es que tenemos combinaciones lineales en las columnas de la matriz
X con lo que rg(X) 6= K por lo que (X 0 X) es una matriz singular.
• Relajamos la hipótesis básica:
rg(X) 6= K
tal que rg(X) 6= K ⇒ |X 0 X| = 0 ⇒6 ∃(X 0 X)−1
117
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Cuando la correlación entre regresores es perfecta el problema de multicolinealidad exacta
se convierte en un problema de especificación ya que no podemos estimar todos los
parámetros del modelo de forma individual. Podremos estimar:
• individualmente: aquellos parámetros cuyas variables exógenas no están afectadas de
correlación exacta con otras variables exógenas del modelo y
• combinaciones lineales de los parámetros cuyas variables exógenas están implicadas en
las relaciones lineales exactas.
• Detección: basta con ver que |X 0 X| = 0.
Alta colinealidad
En este caso el valor del |X 0 X| está muy próximo a cero, pero será distinto de cero, por tanto
∃(X 0 X)−1 y podremos calcular los estimadores MCO. Además estos estimadores serán lineales,
insesgados y de varianza mı́nima. Sin embargo la existencia de alta colinealidad entre variables
produce efectos importantes que deben ser tenidos en cuenta y que son los siguientes:
• Varianzas y covarianzas cuantitativamente muy grandes:
Dado que (X 0 X) es casi singular, el valor de |X 0 X| será muy pequeño, por lo que, (X 0 X)−1
tendrá elementos muy grandes. Ası́, encontraremos varianzas y covarianzas muy grandes,
pero estos valores serán los más pequeños que podemos encontrar en estas circunstancias.
Cualquier otro estimador tendrá varianza mayor y por tanto el estimador MCO seguirá siendo
de varianza mı́nima. Aunque como consecuencia del tamaño de (X 0 X)−1 , las estimaciones sean
muy imprecisas10 .
• Como consecuencia de lo anterior, podremos encontrar R2 grandes, que indican que las variables exógenas conjuntamente explican mucho de la variabilidad de la variable endógena,
unidos a variables explicativas que aportan poco a explicar esta variabilidad.
• Pequeños cambios en los datos producen cambios importantes en las estimaciones de los
parámetros.
¿Cómo podemos analizar si existe un problema de alta colinealidad?
• Una primera aproximación consiste en obtener los coeficientes de correlación muestral simples
para cada par de variables explicativas y ver si el grado de correlación entre estas variables es
alto.
• El valor del determinante decrece cuando aumenta la colinealidad, tendiendo a cero cuando
esta se hace exacta. Este hecho podemos interpretarlo como un aviso pero no tenemos una
medida que nos permita afirmar cuando es grave o muy grave.
10
Como veremos en la sección de Contraste de hipótesis el mayor tamaño de las varianzas hará que aumente
la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula de significatividad individual, cuando en realidad la variable sea
significativa, sólo que los datos no permiten detectar esta significatividad.
118
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Valores altos del R2 y en (X 0 X)−1 , especialmente en su diagonal.
• Otra forma de detectar la multicolinealidad consiste en realizar la regresión de cada una
de las variables explicativas sobre el resto11 y analizar los coeficientes de determinación de
cada regresión. Si alguno o algunos de estos coeficientes de determinación (Rj2 ) son altos,
estarı́a señalando la posible existencia de un problema de multicolinealidad.
• Belsley, Kuh y Welsch (1980) consideran una serie de indicadores para analizar el grado de
multicolinealidad entre los regresores de un modelo, como por ejemplo los llamados Tolerancia (TOL) y Factor de Inflación de la Varianza (VIF) que se definen:
1
´
V IFj = ³
1 − Rj2
T OLj =
1
V IFj
siendo Rj2 el coeficiente de determinación de la regresión auxiliar de la variable Xj sobre el
resto de las variables explicativas y 1 ≤ V IFj ≤ ∞.
La varianza de cada uno de los coeficientes de la regresión MCO (βˆj ) de un modelo de regresión
lineal general se puede expresar como:
σ2
1
σ2
´ = P¡
var(βˆj ) = P ¡
¢2 ³
¢2 V IFj
Xji − X̄j
Xji − X̄j
1 − Rj2
donde βj , es el coeficiente que acompaña a la variable Xj y Rj2 es el coeficiente de determinación
de la regresión auxiliar de la variable Xj en función del resto de las variables explicativas. Como
vemos existe una relación inmediata entre el valor V IFj y la varianza del coeficiente estimado.
Cuanto más se acerque Rj2 a la unidad, es decir, cuanto mayor sea la colinealidad de la variable
Xj con el resto, mayor es el valor de V IFj y mayor es la varianza del coeficiente estimado,
porque tal y como hemos dicho, la multicolinealidad “infla” la varianza. Según estos autores,
si V IFj > 10, entonces concluiremos que la colinealidad de Xj con las demás variables es alta.
La utilización de los coeficientes T OL y V IF para detectar la presencia de la multicolinealidad
ha recibido múltiples crı́ticas, porque la conclusión obtenida con estos valores no siempre recoge
adecuadamente la información y problema de los datos. Tal y como
hemos
¢2visto anteriormente,
P¡
las varianzas de los estimadores dependen del V IFj , σ 2 y
Xji − X̄j , por lo que un alto
V IFj no es condición suficiente ni necesaria para que dichas varianzas sean elevadas ya que
¢2
P¡
Xji − X̄j grande y se compensen.
es posible que σ 2 sea pequeño o
En la literatura se han propuesto muchas soluciones al posible problema de alta colinealidad y
ninguna de ellas es totalmente satisfactoria, por ello parece sensato aprender a convivir con el
problema y tener cuidado de no omitir aquellas variables que esconden su significatividad bajo un
problema de colinealidad y no incurrir ası́ en un problema de mala especificación. Aunque no es
fácil, se pueden considerar las siguientes “soluciones” para intentar resolver el problema:
• Si realmente es un problema muestral, una posibilidad es cambiar de muestra porque puede
ser que con nuevos datos el problema se resuelva, aunque esto no siempre ocurre. La idea
11
En cada regresión se incluye el término constante como regresor pero no como variable dependiente.
119
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
consiste en conseguir datos menos correlacionados que los anteriores, bien cambiando toda la
muestra o simplemente incorporando más datos en la muestra inicial. De todas formas, no
siempre resulta fácil obtener mejores datos por lo que muy probablemente debamos convivir
con el problema teniendo cuidado con la inferencia realizada y las conclusiones de la misma.
• En ocasiones, si se incorpora información a priori sobre los coeficientes del modelo desaparece
el problema. Aún ası́, serı́a conveniente tener en cuenta dicha información antes de la detección
del problema de multicolinealidad y no posteriormente, ya que ası́ estimaremos el modelo más
eficientemente.
Ejercicio 5.8
Comenta la siguiente afirmación:
“Si al estimar un modelo de regresión lineal la matriz de datos presenta un alto grado
de multicolinealidad, la varianza de los estimadores MCO será muy grande y, por tanto,
serán ineficientes.”
Ejercicio 5.9
Supón que se formula el siguiente modelo:
2
Yt = β1 X1t + β2 X2t + β3 (X1t + X2t ) + β4 X1t
+ ut
ut ∼ N (0, σ 2 )
(5.14)
1. Indica qué parámetros son estimables y cuáles no.
2. Supón que conocemos el valor que toma el parámetro β3 , por ejemplo β3 = β30 .
Indica si esta información adicional varı́a la conclusión anterior.
Ejercicio 5.10
Supón que se formula el siguiente modelo:
2
Yt = α0 + α1 X1t + α2 (7X1t ) + α3 X1t
+ ut
(5.15)
1. Indica qué parámetros son estimables y cuáles no.
2. Explica intuitivamente porqué no podemos estimar todos los coeficientes.
5.4.4.
Consecuencias del incumplimiento de algunos supuestos: omisión de variables
relevantes e inclusión de variables irrelevantes
Dentro de las hipótesis básicas hemos supuesto que el modelo estaba correctamente especificado,
esto en ocasiones no es ası́ bien porque faltan variables (omisión de variables relevantes) o porque
hay más de las necesarias (inclusión de variables irrelevantes). Estas situaciones influyen en las
propiedades del estimador MCO y es necesario tenerlo en cuenta.
120
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Omisión de variables relevantes
Suponemos que el modelo correctamente especificado es:
·
¸
β1
Y = Xβ + u = [ X1 X2 ]
+ u = X1 β1 + X2 β2 + u
β2
(5.16)
donde X1 es una submatriz de orden (N × K1 ) y X2 es una submatriz de orden (N × K2 ) y por
tanto β1 es un subvector de orden (K1 × 1) y β2 es un subvector de orden (K2 × 1). Pero nosotros
estimamos el siguiente modelo incorrectamente especificado:
Y = X1 β1 + v
donde
v = X2 β2 + u
(5.17)
El modelo (5.17) incurre en un error de especificación ya que se omiten las variables relevantes
recogidas en X2 . Esto es lo mismo que imponer la restricción vectorial β2 = 0 cuando no es cierta.
El estimador MCO de β1 es β̂1 = (X10 X1 )−1 X10 Y , y v̂ = Y − X1 β̂1 . Consecuencias:
• En general los estimadores son sesgados:
E(β̂1 ) = E((X10 X1 )−1 X10 Y ) = β1 + (X10 X1 )−1 X10 X2 β2
Sesgo(β̂1 ) = (X10 X1 )−1 X10 X2 β2 y se anulara si X10 X2 = 0, es decir, si las variables omitidas
son ortogonales a las no omitidas. Notar que el sesgo se anula también para β2 = 0 pero esta
es una solución trivial dado que al ser X2 regresores relevantes necesariamente β2 6= 0.
• Las matriz de varianzas y covarianzas es V (β̂1 ) = σ 2 (X10 X1 )−1
• El estimador de la varianza de la perturbación es sesgado, y lo es siempre incluso cuando los
regresores son ortogonales:
σ̂ 2 =
v̂ 0 v̂
E(v̂ 0 v̂)
−→ E(σ̂ 2 ) =
6= σ 2
N − K1
N − K1
Inclusión de variables irrelevantes
Este caso formalmente es justo el inverso del anterior. El modelo correctamente especificado es:
u ∼ N (0, σ 2 I)
Y = X1 β1 + u
(5.18)
y el modelo estimado es:
Y = X1 β1 + X2 β2 + v
(5.19)
donde aparecen las variables irrelevantes en la matriz X2 de orden (N × K2 ) con unos coeficientes,
β2 , de orden (K2 × 1), que son cero, poblacionalmente. Consecuencias:
• Los estimadores de los coeficientes son insesgados. Podemos escribir el modelo correcto como:
Y = X1 β1 + X2 0 + u
121
(5.20)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
·
E
β̂1
β̂2
¸
¸ · 0
¸−1 · 0 ¸!
β1
X1 X1 X10 X2
X1 u
=
= E
+
0
0
X2 X1 X2 X2
X20 u
0
¸−1 · 0
¸ ·
·
¸ · 0
¸
β1
X1 X1 X10 X2
X1 E(u)
β1
+
=
=
X20 X1 X20 X2
X20 E(u)
0
0
|
{z
}
÷
0
ya que X es fija y E(u) = 0. Por lo tanto, el estimador de (5.19) sigue siendo insesgado
aunque se incluyan variables irrelevantes.
• Las matriz de varianzas y covarianzas es V(β̂) = σ 2 (X 0 X)−1
• El estimador de la varianza de las perturbaciones del modelo (5.19) es un estimador insesgado
de σ 2
v̂ 0 v̂
σ̂ 2 =
N − (K1 + K2 )
5.5.
Utilización de variables explicativas cualitativas
A lo largo del curso se han especificado mayoritariamente modelos con variables de naturaleza
cuantitativa, es decir, aquéllas que toman valores numéricos. Sin embargo, las variables también
pueden ser cualitativas, es decir, pueden tomar valores no numéricos como categorı́as, clases o
atributos. Por ejemplo, son variables cualitativas el género de las personas, el estado civil, la raza,
el pertenecer a diferentes zonas geográficas, momentos históricos, estaciones del año, etc. De esta
forma, el salario de los trabajadores puede depender del género de los mismos; la tasa de criminalidad
puede venir determinada por la zona geográfica de residencia de los individuos; el PIB de los paı́ses
puede estar influenciado por determinados acontecimientos históricos como las guerras; las ventas
de un determinado producto pueden ser significativamente distintas en función de la época del año,
etc. En esta sección, aunque seguimos manteniendo que la variable dependiente es cuantitativa,
vamos a considerar que ésta puede venir explicada por variables cualitativas y/o cuantitativas y
veremos como trabajar con ellas incluyéndolas como regresores en el MRLG.
Dado que las categorı́as de las variables no son directamente cuantificables, las vamos a cuantificar
construyendo unas variables artificiales llamadas ficticias, binarias o dummies, que son numéricas.
Estas variables toman arbitrariamente el valor 1 si la categorı́a está presente en el individuo y 0 en
caso contrario12 .
½
Di =
1 si la categorı́a está presente
0 en caso contrario
Por ejemplo si queremos estudiar la dependencia del salario (Wi ) con respecto al sexo del individuo
definiremos dos variables ficticias:
12
Las variables ficticias pueden tomar dos valores cualesquiera, sin embargo, la interpretación de los coeficientes es
más sencilla si se consideran los valores 0 y 1.
122
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
½
S1i =
½
S2i =
1 si el individuo i es hombre
0 en caso contrario
1 si el individuo i es mujer
0 en caso contrario
la variable sexo tiene dos categorı́as o estados de la naturaleza: hombre y mujer, para recogerlos
utilizamos dos variables ficticias que dividen la muestra en dos clases hombres y mujeres, y asignamos
un valor arbitrario a cada clase13 .
En este tema ya hemos trabajado con ellas, el Ejemplo 5.4 especificamos la función de salario en
función del regresor cualitativo sexo e interpretamos sus parámetros. En el Ejemplo 5.5 además
se añadió un regresor cuantitativo, la experiencia y se interpretaron los parámetros. Si se retoman
dichos ejercicios se puede ver que trabajar con variables cualitativas o con variables cuantitativas a
la hora de interpretar los coeficientes de la regresión y estimarlos es indiferente sin embargo hay que
tener en cuenta algunas reglas a la hora de especificar el modelo. A conocer éstas vamos a dedicar
las secciones siguientes.
5.5.1.
Modelo que recoge sólo efectos cualitativos: comparando medias. Sólo un conjunto de variables ficticias.
Supongamos que tenemos datos de salarios de hombres y mujeres, Wi y creemos que, en media,
existen diferencias salariales entre estos dos grupos. Para contrastar que esto es cierto podemos
recoger el efecto cualitativo sexo sobre el salario utilizando las variables ficticias:
½
S1i =
½
1 si el individuo i es hombre
0 en caso contrario
S2i =
1 si el individuo i es mujer
0 en caso contrario
y podemos especificar el siguiente modelo como ya se hizo en el Ejemplo 5.4:
Wi = β1 + β2 S2i + ui
i = 1, . . . , NH + NM
ui ∼ N ID(0, σ 2 )
W
β1 es el salario esperado cuando el individuo es
hombre, β1 +β2 es el salario esperado de una mujer y β2 recoge el efecto diferencial en el salario
esperado entre hombres y mujeres. Si no existiera discriminación salarial por sexo, es decir si
hombres y mujeres tuvieran el mismo salario, su
valor serı́a cero. En el gráfico podemos observar
estos efectos donde se supone que β2 es positivo
por razones didácticas.
β1
β1 + β2
i
• Estimación del modelo (5.21):
Wi = β1 + β2 S2i + ui
i = 1, . . . , NH + NM
13
S1i
(5.21)
Elegir
podrı́amos elegir otros, por ejemplo:
½ los valores (0,1) es muy cómodo pero ½
1 si el individuo i es hombre
2 si el individuo i es mujer
=
S2i =
0 en caso contrario
0 en caso contrario
123
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
·
¸
WH
WM
·
=
iH
iM
0
iM
¸·
β1
β2
¸
·
+
uH
uM
¸
⇒ Y = Xβ + u
Notación utilizada: NH es el número de individuos varones y NM el número de mujeres. WH , WM
son vectores columna que recogen los salarios de hombres y mujeres, por tanto de orden NH × 1 y
NM × 1, respectivamente. iH , iM son vectores de unos de tamaño NH × 1 y NM × 1 respectivamente.
β̂M CO = (X 0 X)−1 X 0 Y
·
¸
β̂1
β̂2
··
=
·
=
i0H
0
i0M
i0M
NH + NM
NM
¸·
¸¸−1 · 0
¸·
¸
iH 0
iH i0M
WH
=
iM iM
0 i0M
WM
¸−1 · P
¸ ·
¸
P
NM
P WH + WM = W̄H
W̄M − W̄H
NM
WM
que serı́a el equivalente a estimar cada ecuación por separado, en las dos ecuaciones a las que da
lugar el modelo (5.21):
Wi = β1 + ui
i = 1, . . . , NH
para los hombres
Wi = β1 + β2 + ui
i = 1, . . . , NM
para las mujeres
• Alternativa de especificación del modelo (5.21):
Wi = α1 S1i + α2 S2i + ui
i = 1, . . . , NH + NM
(5.22)
de donde suponiendo ui ∼ N ID(0, σ 2 )
α1 = E(Wi |S1i = 1; S2i = 0) es el salario esperado de un hombre
α2 = E(Wi |S1i = 0; S2i = 1) es el salario esperado de una mujer
por tanto estos coeficientes recogen el salario medio dentro del grupo.
• Estimación del modelo (5.22):
Wi = α1 S1i + α2 S2i + ui
·
WH
WM
¸
·
=
iH
0
0
iM
¸·
α1
α2
i = 1, . . . , NH + NM
¸
·
+
¸
uH
uM
⇒ Y = Xβ + u
β̂M CO = (X 0 X)−1 X 0 Y
·
α̂1
α̂2
¸
··
=
i0H
0
0
i0M
¸·
iH
0
0
iM
124
¸¸−1 ·
i0H
0
0
i0M
¸·
WH
WM
¸
=
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
·
=
NH
0
0
NM
¸−1 · P
¸ · P
¸ ·
¸
W̄H
P WH = P WH /NH
=
WM
WM /NM
W̄M
Ŵi = α̂1 S1i + α̂2 S2i = W̄H S1i + W̄M S2i
Los mismos resultados se obtendrı́an si hubiésemos estimados las ecuaciones por separado en las
dos ecuaciones a que da lugar el modelo (5.22):
Wi = α1 + ui
i = 1, . . . , NH
y
Wi = α2 + ui
i = 1, . . . , NH
Además la relación entre los parámetros del modelo (5.21) y los del modelo (5.22) es la siguiente:
β1 = α1
β1 + β2 = α2
luego β2 = α2 − α1
Ejercicio 5.11
Interpreta los coeficientes de la siguiente regresión:
Wi = β1 S1i + β2 + ui
i = 1, . . . , NH + NM
ui ∼ N ID(0, σ 2 )
donde Wi es el salario del individuo i y
½
S1i =
½
1 si el individuo i es hombre
0 en caso contrario
S2i =
1 si el individuo i es mujer
0 en caso contrario
¿Qué diferencia hay entre ésta especificación y la especificación del modelo (5.21)?
Ejercicio 5.12
Interpreta los coeficientes de la regresión:
Wi = α0 + α1 S1i + α2 S2i + ui
i = 1, . . . , NH + NM
donde Wi es el salario del individuo i y
½
S1i =
½
1 si el individuo i es hombre
0 en caso contrario
S2i =
1 si el individuo i es mujer
0 en caso contrario
¿Puedes estimarlos todos? ¿Qué problema existe en el modelo anterior? ¿Se cumplen
todas las hipótesis básicas?
125
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.5.2.
Dos o más conjuntos de variables ficticias
Supongamos que pensamos que en el nivel de salarios influye además del sexo el nivel de educación.
Para recoger estos efectos podemos definir dos conjuntos de variables ficticias, sexo y educación, la
primera con dos categorı́as o estados de la naturaleza y la segunda con tres, y recoger cada categorı́a
o estado de la naturaleza con un variable ficticia. Ası́, definimos:
½
1
S1i =
½ 0
1
S2i =
0
si el individuo i es hombre
en caso contrario
si el individuo i es mujer
en caso contrario
½
1
½ 0
1
E2i =
½ 0
1
E3i =
0
E1i =
si i tiene hasta estudios primarios
en caso contrario
si i tiene hasta estudios secundarios
en caso contrario
si i tiene hasta estudios universitarios
en caso contrario
siendo Eij sucesos excluyentes. La especificación correspondiente es:
Wi = µ + α2 S2i + β2 E2i + β3 E3i + ui
i = 1, . . . , NH + NM
(5.23)
donde para evitar problemas de multicolinealidad exacta hemos excluido una categorı́a de cada
factor cualitativo. Podemos obtener el salario esperado de los diferentes individuos de la muestra:
E(Wi /S2i = E2i = E3i = 0) = µ, salario esperado de un hombre con estudios primarios.
E(Wi /E2i = 1; S2i = E3i = 0) = µ + β2 , salario esperado de un hombre con estudios secundarios.
E(Wi /E3i = 1; S2i = E2i = 0) = µ + β3 , salario esperado de un hombre con estudios universitarios.
E(Wi /S2i = 1; E2i = E3i = 0) = µ + α2 , salario esperado de una mujer con estudios primarios
E(Wi /S2i = E2i = 1; E3i = 0) = µ + α2 + β2 , salario esperado de una mujer con estudios secundarios.
E(Wi /S2i = E3i = 1; E2i = 0) = µ + α2 + β3 , salario esperado de una mujer con estudios universitarios.
Esta información podemos resumirla en la siguiente tabla:
E(Wi )
S1i
S2i
E1i
µ
µ + α2
E2i
µ + β2
µ + α2 + β2
E3i
µ + β3
µ + α2 + β3
y podemos interpretar los parámetros como sigue:
µ
α2
β2
β3
Base de comparación.
Efecto diferencial en el salario medio debido al factor sexo. Por tanto es el diferencial en
el salario medio entre hombres y mujeres independientemente de su nivel de educación.
Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios secundarios.
Por tanto es el diferencial en el salario medio, para hombres y mujeres, entre tener un
nivel de estudios primarios y tener secundaria.
Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios universitarios.
Por tanto es el diferencial en el salario medio, para hombres y mujeres, entre tener un
nivel de estudios primarios y tener estudios universitarios.
126
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
La matriz de regresores del modelo serı́a:




X=



iN1
iN2
iN3
iN4
iN5
iN6
0
0
0
iN4
iN5
iN6
0
iN2
0
0
iN5
iN6
0
0
iN3
0
0
iN6








donde iNj es un vector de unos de tamaño el número de individuos que cumplen las condiciones,
por ejemplo iN6 es un vector de unos de tamaño el número de mujeres con estudios universitarios.
Cuando existen dos o más conjuntos de variables ficticias lo que no debemos hacer es incluir todas
las variables ficticias y un término independiente. En el caso anterior tenemos dos conjuntos con
dos y tres estados de la naturaleza respectivamente, si proponemos la especificación:
Wi = µ∗ + α1∗ S1i + α2∗ S2i + β1∗ E1i + β2∗ E2i + β3∗ E3i + ui
i = 1, . . . , NH + NM
(5.24)
existirı́a multicolinealidad exacta en la matriz de regresores y no podrı́amos estimar separadamente
ninguno de los coeficientes. La matriz de regresores del modelo (5.24) es:




X=



5.5.3.
iN1
iN2
iN3
iN4
iN5
iN6
iN1
iN2
iN3
0
0
0
0
0
0
iN4
iN5
iN6
iN1
0
0
iN4
0
0
0
iN2
0
0
iN5
0
0
0
iN3
0
0
iN6




 ⇒ rg(X) < K



Inclusión de variables cuantitativas
En cualquiera de los modelos anteriores puede incluirse una-s variable-s cuantitativas, por ejemplo
si creemos que el salario depende no solo de sexo sino también del número de horas trabajadas,
variable que denotamos como Xi propondremos:
Wi = α1 S1i + α2 S2i + βXi + ui
i = 1, . . . , NH + NM
(5.25)
i)
Donde el coeficiente β se interpreta de la forma habitual, β = E(W
∂Xi . En forma matricial el modelo
serı́a:


·
¸ ·
·
¸ α1
¸
WH
iH 0
XH 
uH
α2  +
=
⇒ Y = Xβ + u
WM
0 i M XM
uM
β
127
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
La especificación alternativa correspondiente
serı́a:
α1∗ + α2∗ + βXM
W
Wi =
α1∗
+
α2∗ S2i
+ βXi + ui
(5.26)
α1∗ + βXH
i = 1, . . . , NH + NM
α1∗ + α2∗
Donde el coeficiente β se interpreta de la forma
habitual. En forma matricial el modelo serı́a:
·
WH
WM
¸
·
=
iH
iM
0
iM
XH
XM
¸
α1∗

·
¸
α1∗
u
H
∗
 α2  +
uM
β

X
⇒ Y = Xβ + u
5.5.4.
Comportamiento estacional
Las variables ficticias permiten recoger fácilmente comportamientos estacionales, como se hizo en
el Ejemplo 5.6. Por ejemplo, que las ventas de una empresa sean sistemáticamente superiores en
alguno de los trimestres del año y que ese comportamiento se repita sistemáticamente año tras año
es un clásico patrón de comportamiento sistemático estacional. Este comportamiento se produce en
datos de series temporales de periodo inferior al anual y puede ser estudiado fácilmente mediante
variables ficticias.
Por ejemplo para recoger el comportamiento estacional de una variable Yt muestreada trimestralmente podemos proponer el modelo:
Yt = β1 + β2 D2t + β3 D3t + β4 D4t + ut
t = 1, 2, . . . T
donde t es el tiempo y las variables Djt son variables ficticias estacionales que se definen:
½
Djt =
1 si la observación t pertenece al trimestre j
0 en caso contrario
j = 2, 3, 4
La especificación alternativa serı́a:
Yt = β1 D1t + β2 D2t + β3 D3t + β4 D4t + ut
5.5.5.
t = 1, 2, . . . T
Efectos de interacción
Entre factores cualitativos y cuantitativos En las ecuaciones (5.25) y (5.26) se recogen cambios
en ordenada pero no en pendiente, sin embargo podemos pensar que el número de horas trabajadas
cambia según el sexo del individuo con lo cual debemos recoger cambios en pendiente. Este efecto
podemos analizarlo asociando las variables ficticias a la variable cuantitativa. Ası́ proponemos el
siguiente modelo:
Wi = α1 S1i + α2 S2i + β1 (S1i × Xi ) + β2 (S2i × Xi ) + ui
128
i = 1, . . . , NH + NM
(5.27)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
E(Wi /S1i = 1; S2i = 0) = α1 + β1 Xi
E(Wi /S1i = 0; S2i = 1) = α2 + β2 Xi
donde β1 y β2 recogen el incremento en el salario medio ante un aumento unitario en las horas
trabajadas, para los hombres y para las mujeres respectivamente.
Una especificación alternativa serı́a:
α1∗ + α2∗ + (β1∗ + β2∗ )XM
W
Wi = α1∗ + α2∗ S2i + β1∗ Xi + β2∗ (S2i × Xi ) + ui
i = 1, . . . , NH + NM
α1∗ + β1∗ XH
(5.28)
α1∗ + α2∗
siendo α2∗ el incremento salarial en media por el
hecho de ser mujer y β2∗ el incremento en el salario medio de una mujer con respecto a un hombre ante un aumento de una hora en el número
de horas trabajado.
α1∗
X
Entre factores cualitativos En el modelo (5.23) se supone que el efecto de cada factor es constante
para todos los niveles de los demás factores. Sin embargo si suponemos que el efecto diferencial del
sexo variase con el nivel de educación existirı́a un efecto interacción entre las variables ficticias sexo
y educación, que podemos recoger ası́:
Wi = µ + α2 S2i + β2 E2i + β3 E3i + γ2 (S2i × E2i ) + γ3 (S2i × E3i ) + ui
i = 1, . . . , NH + NM (5.29)
donde la tabla que resume el comportamiento de la recta de regresión poblacional serı́a:
E(Wi )
S1i
S2i
E1i
µ
µ + α2
E2i
µ + β2
µ + α2 + β2 + γ2
E3i
µ + β3
µ + α2 + β3 + γ3
y podemos interpretar los parámetros como sigue:
µ
β2
β3
α2
α2 + γ 2
α2 + γ 3
β2 + γ2
β3 + γ3
base de comparación.
Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios secundarios,
con respecto a tener estudios primarios, para los hombres.
Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios universitarios,
con respecto a tener estudios primarios, para los hombres.
Efecto diferencial en el salario medio entre los hombres y las mujeres para un nivel de
educación primaria.
Efecto diferencial en el salario medio, entre hombres y mujeres, para un nivel de educación secundaria.
Efecto diferencial en el salario medio, entre hombres y mujeres, para un nivel de educación universitaria.
Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios secundarios,
con respecto a tener estudios primarios, para las mujeres.
Efecto diferencial en el salario medio debido a tener un nivel de estudios universitarios,
con respecto a tener estudios primarios, para las mujeres.
129
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.6.
Distribución del estimador MCO. Estimación por intervalo
5.6.1.
Distribución del estimador de MCO bajo Normalidad
Si Y = Xβ + u, donde u ∼ N (0, σ 2 IN ), el estimador MCO, dado que es lineal en las perturbaciones,
también seguirá una distribución Normal Multivariante, con vector de medias E(β̂) = β y matriz
de varianzas y covarianzas V (β̂) = σ 2 (X 0 X)−1 . Es decir,
β̂ ∼ N (β, σ 2 (X 0 X)−1 )
Para el k-ésimo coeficiente,
β̂k ∼ N (βk , σ 2 akk )
donde akk es el elemento (k, k) de la matriz (X 0 X)−1 .
5.6.2.
Estimación por intervalo
Para el k-ésimo coeficiente,
β̂k ∼ N (βk , σ 2 akk )
Una vez estimada la varianza de la perturbación con el estimador insesgado σ̂ 2 se puede demostrar
que:
β̂k − βk
∼t(N −K)
√
σ̂ akk
√
donde t(N −K) denota la distribución t-Student con (N − K) grados de libertad, y σ̂ akk es la des√
viación estimada del coeficiente estimado. (Notación σ̂ akk = σ̂β̂k ).
El intervalo de confianza asociado es14 :
h
i
P r β̂k − t α2 (N −K) σ̂β̂k < βk < β̂k + t α2 (N −K) σ̂β̂k = 1 − α
Con lo que podemos escribir el intervalo de confianza del (1 − α) por ciento para un coeficiente
cualquiera βk como:
³
´
IC(βk )1−α = β̂k ± t α2 (N −K) σ̂β̂k
Este es un estimador por intervalo porque en los extremos inferior y superior del intervalo aparecen
β̂k y σ̂β̂k , que son estimadores. Este intervalo es aleatorio, porque para cada muestra se obtiene un
valor numérico distinto de β̂k y σ̂β̂k . Cuando usamos una muestra para obtener las estimaciones,
tendremos [un número ≤ βk ≤ otro número] y se denomina estimación por intervalo de βk ó intervalo de confianza (1 − α) para βk . Un intervalo de confianza nos dice que, con probabilidad (1 − α)
se estima que el parámetro βk estará dentro de ese rango de valores.
14
Ver el Tema 2 para recordar cómo construir intervalos de confianza.
130
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Las propiedades de la variable aleatoria IC(βk ) se basan en la noción del muestreo repetido: si
obtuviéramos infinitas muestras de tamaño N de una misma población, y para cada una de ellas
construyésemos el intervalo, entonces (1−α)×100 % de todos los intervalos construidos contendrı́an
el verdadero valor (desconocido) de βk .
¿Para qué sirven las estimaciones por intervalo? La respuesta es que nos dan una información
muy valiosa sobre la precisión de las estimaciones por punto, esto es, nos dicen hasta qué punto
nos podemos fiar de ellas. Si un intervalo de confianza es ancho (debido a una Vb (β̂k ) grande) nos
está diciendo que no hay mucha información en la muestra sobre βk . Además, como veremos más
adelante, los intervalos sirven para realizar contraste de hipótesis.
5.7.
Contraste de hipótesis sobre los coeficientes de la regresión
Un problema fundamental de la Econometrı́a es aportar un conocimiento descriptivo de una economı́a real, los economistas desarrollan teorı́as sobre el comportamiento económico y las evalúan.
Los contrastes de hipótesis son los procedimientos que se usan para evaluar estas teorı́as. Para ello
vamos a utilizar el modelo Y = Xβ + u donde consideramos que se cumplen las hipótesis básicas y
además la perturbación es normal. La normalidad no es necesaria para estimar por MCO ni para
determinar las propiedades del estimador pero si lo es para realizar inferencia dado que al ser β̂M CO
lineal en u tendrá su misma distribución y podremos derivar estadı́sticos de contraste basándonos
en ella.
Por ejemplo, dado que
ui ∼ N (0, σ 2 ) −→ β̂k ∼ N (βk , σ 2 akk )
si conocemos todos los elementos incluido σ 2 podrı́amos contrastar hipótesis de la forma H0 : βk = c
con el siguiente estadı́stico:
β̂k − c H0
∼ N (0, 1)
√
σ akk
En general nosotros lo que queremos es contrastar conjuntos lineales de hipótesis. Podemos realizar
contrastes sobre los coeficientes individuales y sobre conjuntos de coeficientes, incluso sobre todos
los coeficientes a la vez. Los contrastes más importantes en Econometrı́a son los contrastes de
significatividad de los regresores individuales y el contraste de significatividad conjunta. En ellos
tratamos de analizar si cada uno de los regresores del modelo de forma individual o conjuntamente
son útiles para explicar el comportamiento de la variable endógena. Los veremos a continuación
junto con otros de interés.
5.7.1.
Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresión individuales
En los contrastes sobre los coeficientes individuales se contrasta la hipótesis nula H0 : βk = c,
donde la constante c puede tomar diversos valores. Contrastamos una única restricción. La hipótesis
alternativa puede ser a una cola por ejemplo Ha : βk > 0 o a dos colas Ha : βk 6= c. Para realizar
el contraste hemos de derivar el estadı́stico de contraste y su distribución bajo la hipótesis nula,
131
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
evaluar el estadı́stico en la muestra y aplicar la regla de decisión15 . Para contrastar:
H0 : βk = c frente a Ha : βk 6= c
Bajo las hipótesis básicas y normalidad de las perturbaciones la distribución del estimador β̂k es la
siguiente:
β̂k ∼ N (βk , σ 2 akk )
Si σ 2 es conocida todo es conocido en la distribución de βk y el estadı́stico de contraste serı́a:
β̂k − c H0
∼ N (0, 1)
σβ̂k
En el resto de ejemplos consideramos el caso más habitual σ 2 desconocida, para el cual podemos
derivar el siguiente estadı́stico de contraste16 y distribución asociada cuando σ 2 es estimada con el
0 û
estimador insesgado σ̂ 2 = Nû−K
:
β̂k − c H0
∼ t(N −K)
σ̂β̂k
La regla de decisión es rechazar H0 si
β̂k −c
σ̂β̂
k
> t(N −K)| α2 . En este caso contrario no se rechaza.
Si la alternativa es a una cola, por ejemplo:
H0 : βk = c frente a Ha : βk > c
La regla de decisión es rechazar H0 si
β̂k −c
σ̂β̂
k
> t(N −K)| α .
Contraste de significatividad individual
Cuando c = 0 al contraste se le denomina de significatividad individual. En este caso:
H0 : βk = 0
Ha : βk 6= 0
15
16
Ver Tema 3 para recordar el mecanismo de contraste.
Si σ 2 es desconocida habrı́a de ser estimada, bajo la normalidad de las perturbaciones
ui ∼ N (0, σ 2 ) −→
(N − K)σ̂ 2
∼ χ2(N −K)
σ2
y derivar el correspondiente estadı́stico de contraste, que serı́a:
β̂k −c
√
σ akk
qP
2
û2
i /σ
N −K
H0
∼ t(N −K)
si simplificamos
132
β̂k − c H0
∼ t(N −K)
√
σ̂ akk
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Podemos derivar el siguiente estadı́stico de contraste y distribución:
β̂k H0
∼ t(N −K)
σ̂β̂k
Si el estadı́stico calculado para la muestra es mayor que el estadı́stico en tablas,
β̂k
σ̂β̂
k
> t(N −K)| α2
para un α dado, se rechaza la hipótesis nula. En este caso βk 6= 0 y la variable explicativa asociada
Xk es significativa para explicar el comportamiento de la variable endógena. Por tanto este contraste
sirve para decidir si la variable Xk debe mantenerse en el modelo. Si el estadı́stico calculado para
la muestra es menor que el estadı́stico en tablas, σ̂β̂k < t(N −K)| α2 para un α dado, no se rechaza
β̂k
la hipótesis nula. En este caso βk = 0 y la variable explicativa asociada Xk no es significativa para
explicar el comportamiento de la variable endógena.
Utilización del intervalo de confianza para hacer contraste de hipótesis En secciones anteriores
hablamos de la estimación por intervalo y se mencionó que también podı́amos realizar inferencia
utilizando intervalos de confianza. Pues bien si recordamos el intervalo de confianza asociado a βk :
h
i
P r β̂k − t α2 (N −K) σ̂β̂k < βk < β̂k + t α2 (N −K) σ̂β̂k = 1 − α
IC(βk )1−α :
³
´
β̂k ± t α2 (N −K) σ̂β̂k
y la regla de decisión es que si la constante c (en este caso c = 0) pertenece al intervalo, no
rechazamos H0 con un nivel de significación α y si no pertenece al intervalo, rechazamos H0 con un
nivel de significación α. Claramente se obtienen exactamente los mismos resultados utilizando los
estadı́sticos de contraste individuales que utilizando los intervalos de confianza.
5.7.2.
Contraste de restricciones sobre los coeficientes de regresión
En ocasiones interesa averiguar cuál es el efecto de la combinación de varias variables, por ejemplo
nos interesará saber si la combinación de todas las variables es un útil predictor de la variable
dependiente.
Contraste de significatividad conjunto
H0 : β2 = β3 = · · · = βK = 0
Ha : alguna igualdad no se da
En este caso podemos derivar el siguiente estadı́stico de contraste y distribución asociada:
R2 /K − 1 H0
∼ F(K−1,N −K)
1 − R2 /N − K
133
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2
R /K−1
Si 1−R
2 /N −K > F(q,N −K)|α el estadı́stico calculado para la muestra es mayor que el estadı́stico en
tablas, para un α dado, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que las variables son conjuntamente
significativas para explicar el comportamiento de la variable endógena.
Ejemplo 5.13
Vamos a mostrar un ejemplo sobre los contrastes de significatividad individual y conjunto
con los resultados de la estimación del modelo (5.11). Primero vamos a escribir los
resultados de la estimación de la forma habitual en que se muestran en la literatura:
d = 129, 062 + 0, 154800 SQF T − 21, 5875 BEDRM S − 12, 1928 BAT HS
P RICE
(σ̂β̂k )
(88,30)
(0,03)
(27,02)
(43,25)
N = 14 R2 = 0, 8359 R̄2 = 0, 7868
Como puede apreciarse en la ecuación anterior, se indica que bajo cada coeficiente estimado aparece su correspondiente desviación tı́pica estimada17 .
Contrastes de significatividad individual, contrastamos:
H0 : βk = 0
Ha : βk 6= 0
¾
con el estadı́stico y distribución
β̂k H0
∼ t(14−4)
σ̂β̂k
• Para la variable SQF T obtenemos:
0, 1548
= 4, 8465 > 2, 22814 = t(10) |0,025
0, 0319
luego rechazamos H0 para α = 5 % y la variable SQF T es significativa.
• Para la variable BEDRM S obtenemos:
¯
¯
¯ −21, 587 ¯
¯
¯
¯ 27, 0293 ¯ = | − 0, 7987| < 2, 22814 = t(10) |0,025
luego no rechazamos H0 para α = 5 % y la variable BEDRM S no es significativa.
• Para la variable BAT HS obtenemos:
¯
¯
¯ −12, 192 ¯
¯
¯
¯ 43, 25 ¯ = | − 0, 2819| < 2, 22814 = t(10) |0,025
luego no rechazamos H0 para α = 5 % y la variable BAT HS no es significativa.
En el contraste de significatividad conjunta, contrastamos:
¾
R2 /K − 1 H0
H0 : β2 = β3 = β4 = 0
con
∼ F(K−1,N −K)
Ha : alguna igualdad no se da
1 − R2 /N − K
17
Una alternativa a presentar las desviaciones tı́picas estimadas de los coeficientes es presentar el valor muestral del
estadı́stico de significatividad individual para el coeficiente de regresión correspondiente o los valores p.
134
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Evaluado el estadı́stico en la muestra obtenemos:
0, 8359/3
= 16, 989 > 3, 70826 = F(3,10) |0,05
(1 − 0, 8359)/10
rechazamos H0 para α = 5 %. Concluimos que las variables exógenas SQF T, BEDRM S
y BAT HS son conjuntamente significativas.
Ejemplo 5.14
Utilizamos la función de salarios especificada para el año 2002 que se propuso en el
Ejemplo 5.5:
Wi = β1 + β2 S2i + β3 Xi + ui
i = 1, 2, . . . N
donde Wi es el salario anual del individuo i, Xi son los años de experiencia del individuo
i y S2i es una variable ficticia que se define:
½
1 si el individuo i es mujer
S2i =
0 en caso contrario
En este modelo podemos contrastar:
• Si la experiencia es determinante del salario: H0 : β3 = 0, si esta hipótesis no se
rechaza para un nivel de significatividad dado el salario no depende de los años de
experiencia del individuo. Contrastamos:
¾
β̂3 H0
H0 : β3 = 0
con el estadı́stico y distribución
∼ t(N −3)
Ha : β3 6= 0
σ̂β̂
3
• Si existe discriminación salarial por sexo: H0 : β2 = 0, si esta hipótesis no se rechaza
para un nivel de significatividad dado no existe discriminación salarial por sexo.
Por ejemplo si la experiencia es cero y β2 = 0, el salario esperado es β1 ∀i luego el
salario esperado es el mismo para hombres y mujeres.
H0 : β2 = 0
Ha : β2 6= 0
¾
con el estadı́stico y distribución
β̂2 H0
∼ t(N −3)
σ̂β̂2
Contraste de combinaciones lineales
Por ejemplo contrastamos la hipótesis:
H0 : β2 + β3 = 1
Ha : β2 + β3 6= 1
Renombrando ŵ = β̂2 + β̂3 y c = 1 se puede expresar la hipótesis nula y alternativa ası́ como el
estadı́stico de contraste y su distribución asociada como:
H0 : w = c
Ha : w 6= c
135
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
ŵ − c H0
∼ t(N −K)
σ̂ŵ
si H0 es cierta
2 ) dado que:
La distribución del estadı́stico ŵ ∼ N (µw , σw
ŵ = β̂2 + β̂3
β̂2 ∼ N (β2 , σ 2 a22 )
β̂3 ∼ N (β3 , σ 2 a33 )
es
µw = E(ŵ) = E(β̂2 + β̂3 ) = β2 + β3
2 = V (ŵ) = E[ŵ − E(ŵ)]2 = E[(β̂ + β̂ ) − (β + β )]2 = V (β̂ ) + V (β̂ ) + 2Cov(β̂ , β̂ )
σw
2
3
2
3
2
3
2 3
= σ 2 (a22 + a33 + 2a23 )
Por tanto
β̂2 + β̂3 ∼ N (β2 + β3 , σ 2 (a22 + a33 + 2a23 ))
Luego en términos de los coeficientes estimados originales el estadı́stico de contraste y distribución
es:
β̂2 + β̂3 − 1
H0
q
∼ t(N −K)
ˆ
V̂ (β̂2 ) + V̂ (β̂3 ) + 2Cov(β̂2 , β̂3 )
o lo que es igual:
β̂ + β̂3 − 1
H0
√ 2
∼ t(N −K)
σ̂ a22 + a33 + 2a23
Con la regla de decisión habitual.
Ejemplo 5.15
Para contrastar:
H0 : β2 = β3
Ha : β2 6= β3
es equivalente a escribir:
H0 : β2 − β3 = 0
Ha : β2 − β3 6= 0
que podemos contrastar con el estadı́stico y distribución:
β̂2 − β̂3
H0
√
∼ t(N −K)
σ̂ a22 + a33 − 2a23
Con la regla de decisión habitual.
136
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Contraste de un subconjunto de coeficientes
Supongamos el siguiente modelo de regresión:
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βk Xki + α1 Z1i + α2 Z2i + . . . + αr Zri + ui
i = 1, 2, . . . , N
y queremos contrastar si el subconjunto de regresores Z1i , Z2i , . . . , Zri son conjuntamente significativos para explicar el comportamiento de la variable endógena. La hipótesis de contraste es:
H0 : α1 = α2 = . . . = αr = 0
Ha : alguna igualdad no se de
El estadı́stico de contraste y distribución son:
û0r ûr − û0 û/r H0
∼ F(r,N −K)
û0 û/(N − K)
(5.30)
donde:
• û0r ûr es la suma de cuadrados residual del modelo restringido estimado por MCO, siendo el
modelo restringido aquel que cumple la hipótesis nula. Luego el modelo restringido es:
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βk Xki + uri
i = 1, 2, . . . , N
• û0 û es la suma de cuadrados residual del modelo no restringido o lo que es igual el modelo de
interés estimado por MCO:
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βk Xki + α1 Z1i + α2 Z2i + . . . + αr Zri + ui
i = 1, 2, . . . , N
• r es el número de restricciones que se contrastan, en este caso el número de coeficientes αr .
La regla de decisión es la habitual, se rechaza la hipótesis nula si:
û0r ûr − û0 û/r
> F(r,N −K)| α
û0 û/(N − K)
en cuyo caso las variables exógenas Zri contribuyen a explicar el comportamiento de la variable
0 û −û0 û/r
r
endógena, en cuyo caso debemos especificar el modelo no restringido. Si ûûr0 û/(N
−K) < F(r,N −K)| α
no rechazamos H0 en cuyo caso las variables Zri no contribuyen a explicar a la variable endógena
y debemos especificar el modelo restringido.
5.7.3.
Contrastes basados en sumas de cuadrados de residuos
Al estadı́stico:
û0r ûr − û0 û/q H0
∼ F(q,N −K)
û0 û/(N − K)
137
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
generalmente se le conoce con el nombre de estadı́stico de diferencias en las sumas residuales
de cuadrados. Puede ser utilizado para contrastar hipótesis lineales con solo especificar correctamente los modelos restringido y no restringido, q es el número de restricciones que se contrastan.
Para su aplicación sólo es necesario obtener la SCR del modelo restringido y no restringido. Vamos
a estudiarlo en detalle en el ejemplo siguiente.
Estimación del modelo restringido y cálculo de la SCRr El modelo restringido (MR) es aquel
que cumple la hipótesis nula mientras que el modelo no restringido (MNR) es el modelo de interés.
Por ejemplo sea el MRLG,
MNR:
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui
donde queremos contrastar la hipótesis nula H0 : β2 + β3 = 1 sustituyendo la restricción en el
modelo encontramos el modelo restringido:
MR:
Yi = β1 + β2 X2i + (1 − β2 )X3i + uri
Yi − X3i = β1r + β2r (X2i − X3i ) + uri
| {z }
| {z }
=Yi?
=Xi?
Yi? = β1r + β2r Xi? + uri
La aplicación de MCO en el modelo resultante son los llamados estimadores de Mı́nimos Cuadrados
Restringidos, MCR. Los demás β̂ r se obtienen con las restricciones. En el ejemplo en el modelo
restringido se calculan β̂1r y β̂2r y finalmente se calcula β̂3r = 1 − β̂2r .
0
En este modelo restringido estimado por MCO se calcula la SCR = ûr ûr . Si escribimos el MR en
términos matriciales
Y ? = X ? β r + ur
entonces
û0r ûr = Y ?0 Y ? − β̂ r0 X ?0 Y ?
donde Y ? y X ? son las variables que quedan en el modelo restringido y
·
β̂1r
β̂2r
¸
·
=
·
=
N
P
N
P
Xi?
¸
P ? ¸−1 · P ?
P Yi? ?
P Xi?2
Yi Xi
Xi
¸
¸−1 · P
P
P(Yi − X3i )
P(X2i − X3i )2
(Yi − X3i )(X2i − X3i )
(X2i − X3i )
(X2i − X3i )
138
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejemplo 5.16
Contraste de significatividad conjunta: H0 : β2 = β3 = . . . = βK = 0. Para esta hipótesis
el modelo restringido es
Yi = β1 + ui
si estimamos el MR por MCO obtenemos:
X
X
M inβ̂1
û2i = M inβ̂1
(Yi − β̂1 )2
∂
P
û2i
∂ β̂1
= −2
X
(Yi − β̂1 ) = 0 −→ β̂1r = Ȳ
de donde
X
(Yi − Ŷi )2 =
X
X
=
(Yi − β̂1r )2 =
(Yi − Ȳ )2 = SCT
ûr0 ûr =
Ası́
(SCT − SCR)/q
û0r ûr − û0 û/q
=
0
û û/(N − K)
SCR/N − K
dividiendo el numerador y el denominador de entre SCT obtenemos.
F =
(û0r ûr − û0 û)/q
R2 /K − 1
H0
=
∼ F(K−1,N −K)
0
2
û û/N − K
(1 − R )/N − K
estadı́stico que coincide con el obtenido para el contraste de significatividad conjunta.
Ejercicio 5.13
Sean las variables Xt , coste medio de las reclamaciones por siniestros realizados en t
y Yt los beneficios de la empresa en t, ambos en miles de millones. Disponemos de la
siguiente muestra:
X
Y
2
4
Para el modelo: Yt = β1 + β2 Xt + ut
3
7
1
3
5
9
9
17
t = 1, . . . , 5
ut ∼ N (0, σ 2 )
1. Interpreta los coeficientes β1 y β2 .
2. Escribe la matriz de regresores y el vector de valores de la variable endógena.
3. Calcula la recta de regresión muestral MCO.
4. Interpreta las estimaciones de los parámetros.
139
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5. Calcular los valores de Ŷt y ût .
6. Estima la varianza de la perturbación.
7. Calcula el coeficiente de determinación, R2 e interpreta su significado.
8. Calcula el coeficiente de correlación simple, ¿qué relación hay entre rXY y R2 en
este modelo?
9. Contrasta la significatividad de la variable coste medio de las reclamaciones.
10. Considérense los siguientes dos estimadores de la pendiente de la regresión:
Y5 − Y3
β˜2 =
X5 − X3
β̂2,M CO
a) Calcular los dos estimadores.
b) Razonar cuál de los dos estimadores es “mejor”.
Ejercicio 5.14
Se han calculado las siguientes cantidades en una muestra de tamaño T = 100:
X
X
X
Xt = 11, 34
Xt2 = 12, 16
Yt = 20, 72
X
X
Yt2 = 84, 96
Xt Yt = 22, 13
Estimar las siguientes regresiones:
1. Yt = β1 + β2 Xt + ut
2. Xt = α1 + α2 Yt + ²t
3. ¿Son los estimadores de β1 y β2 iguales a los de α1 y α2 ? ¿En qué caso coincidirán?
Ejercicio 5.15
Supongamos que la variable Y se relaciona con las variables X1 , X2 , X3 mediante la
ecuación:
Yt = β1 X1t + β2 X2t + β3 X3t + ut
Donde ut ∼ iid(0, σ 2 IT ), los siguientes datos vienen dados por la tabla:
X1
X2
X3
Y
1
1
1
3
1
0
1
6
1
-1
1
10
1
1
0
5
1
0
0
10
1
-1
0
12
1
1
-1
5
1
0
-1
10
1
-1
-1
10
1. Interpreta los parámetros del modelo.
2. Escribe la matriz de regresores.
140
1
0
0
8
(5.31)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Estima la función de regresión muestral.
Estima la varianza de las perturbaciones.
Estima la matriz de varianzas y covarianzas de los parámetros estimados.
Calcula e interpreta el R2 .
2
¿Se cumple en este modelo la igualdad rXY
= R2 ?
Calcular el intervalo de confianza para el parámetro β2 y α = 5 %.
Contrasta la significatividad individual y conjunta de los regresores.
Ejercicio 5.16
Se ha estimado el siguiente modelo de regresión simple, utilizando el criterio de MCO:
V̂t = 1767,61 + 7,48Wt
R2 = 0,80
(5.32)
Los estadı́sticos t para el contraste de que el parámetro correspondiente es igual a cero
resultan ser iguales a 1,4 para el término constante y 18,5 para la variable W . Dado que
el valor del estadı́stico para el contraste de significación del término constante nos lleva
a no rechazar la hipótesis nula, se formula y estima el siguiente modelo:
R2 = 0,91
V̂t = 11,71Wt
(5.33)
Como el mayor coeficiente de determinación corresponde a la segunda regresión, se opta
por elegir el modelo (5.33). ¿Te parece adecuada esta decisión?
Ejercicio 5.17
Para un conjunto de 21 individuos se quiere estudiar la relación entre el precio mensual
de la póliza de un bien asegurado Yi y el valor asegurado del bien, X2i ambas expresadas
en unidades monetarias. Para ello se propone el siguiente modelo de regresión lineal:
Yi = β1 + β2 X2i + ui
(5.34)
i = 1, 2, . . . , 21
1. Estima los coeficientes de la regresión y sus varianzas respectivas a partir de los
siguientes datos:
X
X
X
X
2
X2i Yi = 35, 98
X2i
= 641, 5
Yi2 = 2, 02
X2i = 110, 1
X
X
X
Yi = 6, 16
(X2i − X̄2 )2 = 64, 26
(Yi − Ȳ )2 = 0, 213
2. Contrasta la significación de la regresión (5.34) para un α = 5 %.
3. A continuación el investigador introduce una nueva variable en el modelo que recoge el coste medio mensual de las reclamaciones presentadas, X3i . Estimamos de
nuevo el modelo (5.34), introduciendo una variable explicativa X3 . Los resultados
obtenidos han sido los siguientes:
Yi = −0, 017 + 0, 05X2i + 0, 07X3i + ûi
R2 = 0, 9985
Contrasta la significación de la variable explicativa X3 para un α = 5 %.
141
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.18
La función de producción Cobb-Douglas tiene la forma Y = AK β1 Lβ2 . Dada una muestra de tamaño N,
1. ¿Es el modelo lineal? ¿Qué método se podrı́a usar para estimar los parámetros?
2. Interpreta los coeficientes del modelo.
3. ¿Cómo contrastarı́as si la empresa tiene rendimientos constantes a escala?
4. Si H0 es cierta, ¿qué método mejora la estimación de los parámetros? ¿por qué?
Ejercicio 5.19
Supón que el verdadero modelo de regresión es:
Yt = β1 + β2 X2t + ut
(5.35)
pero nosotros añadimos la variable X3 y estimamos el siguiente modelo:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
(5.36)
Discute si el coeficiente de determinación R2 y el corregido R̄2 serán mayores en el
modelo (5.35) que en el (5.36).
Ejercicio 5.20
Se han estimado, mediante MCO, los siguientes modelos para la inversión para una
muestra de 1968 a 1980:
Iˆt
= 0,6656 + 0,0424 Xt + 0,0610 Kt−1
ˆ β̂i ))
(0.0125)
(0.0049)
(des(
R2 = 0,9383
Iˆt
= 0,7199 + 0,0290 Xt + 0,0012 Xt−1 + 0,0258 Xt−2 + 0,0631 Kt−1
ˆ
(0.0136)
(0.012)
(0.0136)
(0.0051)
(des(β̂i ))
R2 = 0,9468
1. Contrasta la significatividad individual de los parámetros de ambos modelos e interpreta los resultados.
2. ¿Alguna de las variables es más importante que el resto para la determinación de
la inversión?
3. ¿Cuál de los dos modelos elegirı́as? Razona tu respuesta.
142
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.21
Comenta con claridad las siguientes afirmaciones:
1. El estimador insesgado β̂ con varianza V1 proporciona siempre mejores estimaciones
que el estimador sesgado β ∗ con varianza V2 donde V1 > V2 .
2. En el modelo de regresión lineal general la matriz de covarianzas estimada del
estimador MCO de β̂ es la misma para cualquier muestra que tomemos.
3. Las ecuaciones normales del modelo de regresión lineal general implican que el
vector de residuos MCO es ortogonal al vector de valores estimados Ŷ .
P
4. Si Yt y X2t son variables que no están correlacionadas, es decir, (Yt − Ȳ )(X2t −
X̄2 ) = 0, entonces la estimación MCO del coeficiente β2 en el modelo:
Yt = β1 + β2 X2t + · · · + βk Xkt + ut
t = 1, 2, . . . , T
es cero.
5. En el MRLG, el supuesto de normalidad de las perturbaciones es necesario para
poder estimar los parámetros del modelo.
6. Bajo los supuestos clásicos del modelo de regresión lineal general, el estimador
MCO de β sigue una distribución normal multivariante centrada en el verdadero
valor de los parámetros β.
7. Dada una muestra de N observaciones, la ecuación de regresión poblacional pasa
por el punto de medias (Ȳ , X̄1 , . . . , X̄k ).
8. En un modelo de regresión lineal simple donde ut ∼ iid(0, σ 2 ), si se pudiera elegir
P
entre dos muestras de valores para la variable X, una de ellas con (Xt −X̄)2 = 100
P
y la otra con (Xt − X̄)2 = 1000, se elegirı́a la segunda muestra porque la precisión
al estimar los parámetros serı́a mayor.
9. Los residuos mı́nimo-cuadrático ordinarios de una regresión de Y sobre la variable
explicativa X son ortogonales a X, pero no lo son a Y.
10. En un modelo de regresión lineal simple no existe ninguna relación entre el estimador MCO de la pendiente de la regresión β̂ y el coeficiente de correlación simple
entre la variable dependiente Y y la variable independiente X, rXY .
11. Si existe la siguiente relación entre las variables X, Y, Z:
2
rXY
= 0,8
2
rXZ
= 0,001
rY2 Z = 0,001
2
podemos concluir que el coeficiente rXY
es una mala medida de la correlación entre
2
las variables X e Y y se deberı́a utilizar rXY.Z
.
12. La inexistencia de normalidad en las perturbaciones aleatorias no afecta a los contrastes de hipótesis.
143
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.22
Un economista estima el siguiente modelo:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
t = 1, . . . , 36
ut ∼ N (0, σ 2 )
(5.37)
Obteniendo los siguientes resultados:
= 0, 98 + 1, 33 X2t + 0, 78 X3t
(estadı́stico t)
(0,27)
(0,98)
Ŷt
R2 = 0, 989
1. ¿Te parece que el modelo puede tener algún problema? ¿Cuál? ¿En qué basas tus
respuestas?
2. ¿Cómo cambiarı́an tus conclusiones si en la estimación anterior el coeficiente de
determinación hubiera sido R2 = 0, 12?
Ejercicio 5.23
Sea el modelo:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
ut ∼ N ID(0, 1)
(5.38)
de la regresión auxiliar de X2 sobre X3 se obtiene:
X̂2t = 0, 5 + 1, 1875X3t
y además sabemos que
(5.39)
P
P
(X2t − X̄2 )2 = 25, (X3t − X̄3 )2 = 16.
1. Expresa la varianza del estimador MCO de β2 en función del coeficiente de correlación muestral entre las variables X2 y X3 .
2. Calcula el coeficiente de correlación muestral entre X2 y X3 .
3. ¿Puede surgir algún problema en la estimación por mı́nimos cuadrados ordinarios
de los parámetros β1 , β2 y β3 ? Razona tu respuesta.
4. ¿Cómo cambia tu respuesta al apartado 3) si de la regresión auxiliar se obtuviera
X̂2t = 0, 5 + 0, 125X3t ?
Ejercicio 5.24
En el modelo:
Yt = α + βXt + γZt + ut
ut ∼ N (0, σ 2 )
(5.40)
surgen los mismos problemas si Xt + Zt = 5 que si β + γ = 5, ¿cierto o falso? ¿Por qué?
144
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.25
Sea Yt = β0 + β1 X1t + β2 X2t + β3 X3t + ut con X1t = X2t − 1.
1. Propón un modelo estimable si además se conoce que β1 = 1.
2. ¿Y si se conoce que X1t = 1 ∀t?
Ejercicio 5.26
Sea el modelo correcto de regresión lineal:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
ut ∼ N (0, σ 2 )
(5.41)
mientras que se estima el modelo:
Yt = β1? + β2? X2t + vt
(5.42)
?
1. ¿es βˆ2 insesgado?
2. ¿es σ̂v2 insesgado?
3. ¿es válido el estadı́stico t para contrastar la hipótesis H0 : β2? = 0?
Ejercicio 5.27
Si el verdadero modelo es:
Yt = β1 + β2 X2t + ut
ut ∼ N (0, σ 2 )
(5.43)
y se estima:
Yt = β1? + β2? X2t + β3? X3t + vt
vt ∼ N (0, σ 2 )
(5.44)
1. Comenta la siguiente afirmación: “β̂3? es siempre cero independientemente de la
muestra utilizada”.
?
2. ¿es βˆ3 insesgado?
3. ¿es σ̂v2 insesgado?
4. ¿es válido el estadı́stico t para contrastar la hipótesis H0 : β3? = 0?
145
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.28
En un estudio sobre el número de siniestros automovilı́sticos declarados se han obtenido
los siguientes resultados estimando por MCO:
Ŷi = 40, 5 + 10, 5D1i + 0, 4Xi
(5.45)
Y ahora proponemos el modelo alternativo:
Yi = αD2i + α? D1i + βXi + ui
(5.46)
donde
½
1
½ 0
1
=
0
D1i =
D2i
si usa el automóvil para trabajar
en caso contrario
si no usa el automóvil para trabajar
en caso contrario
Explica y halla los valores numéricos de α, α? y β en (5.46) con la información facilitada
por (5.45).
Ejercicio 5.29
Supongamos que queremos analizar los salarios de una famosa empresa auditora y para
ello hemos tomado una muestra de 500 empleados, de los cuales 300 son licenciados en
Ciencias Actuariales. Se postula el siguiente modelo:
Wi = α + βDi + ui
i = 1, 2, . . . , 500
donde Wi es el salario del empleado i-ésimo y Di es una variable ficticia que toma el
valor 1 si el empleado es licenciado y 0 en el caso contrario.
Si el salario medio muestral de los licenciados es de 250.000 pts. al mes, y el salario
medio muestral de los que no son licenciados es 150.000 pts.:
1. Calcula α̂M CO y β̂M CO .
2. ¿Cómo contrastarı́as si existe diferencia salarial entre los licenciados y los que no
lo son?
3. Si además en esta muestra dispones de información sobre el sexo del empleado i-ésimo ¿cómo contrastarı́as la hipótesis de que no existe en esta empresa discriminación
salarial por razones de sexo?
146
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Europa
Resto del Mundo
Prima pagada
Renta
Prima pagada
Renta
150
180
120
160
8.000
11.000
9.000
12.000
130
100
110
140
5.000
3.000
6.000
10.000
Tabla 5.2: observaciones muestrales de la prima pagada y renta
Ejercicio 5.30
En una muestra de 8 observaciones se quiere estudiar la dependencia del precio de una
prima de seguro obligatorio de automóvil respecto de la renta del propietario y su paı́s
de matriculación, distinguiendo entre vehı́culos matriculados en Europa o el resto del
mundo. Las observaciones se muestran en la Tabla 5.2.
1. Estima el modelo que exprese dicha dependencia. Interpreta los coeficientes del
modelo.
2. Contrasta las siguientes hipótesis:
a) La renta no es una variable significativa.
b) El paı́s de matriculación no es una variable significativa.
Ejercicio 5.31
Un investigador quiere analizar la inversión (Ii ) realizada en planes de pensiones en la
Comunidad Autónoma Vasca en función del salario percibido (Wi ) y el sector, privado o
público, en el que se trabaja. Con una muestra de 500 individuos, de los cuales la mitad
trabaja en el sector público, se ha estimado por MCO el siguiente modelo:
Iˆi
(t − est)
= 2, 7 + 0, 31 P Ui + 0, 47 Wi
(0, 22)
R2 = 0, 71
(5.47)
(3, 7)
donde P Ui toma valor 1 si el individuo i-ésimo trabaja en el sector público y cero en
caso contrario.
1. Deriva los estimadores utilizados en la estimación del modelo (5.47).
2. Interpreta los coeficientes del modelo.
3. Contrasta la significatividad individual de las variables explicativas.
4. Dados los resultados de los contrastes, ¿qué propiedades tienen los estimadores de
los coeficientes del modelo (5.47)? ¿por qué?
147
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Más tarde, el investigador sospecha que la variable sexo puede afectar al incremento de
la inversión media ante aumentos unitarios en el salario. Con este objetivo estima los
siguientes modelos:
Iˆi
R2 = 0, 82
= 3, 87 + 2, 28 P Ui + 0, 63 Wi + 0, 21 Wi Si
(t − est)
(13, 8)
Iˆi
(7, 26)
= 4, 7 + 0, 32 Wi + 0, 15 Wi Si
(t − est)
(5, 82)
(5.48)
(17, 4)
R2 = 0, 75
(5.49)
(1, 87)
donde Si toma valor 1 si el individuo i-ésimo es hombre y cero en caso contrario.
5. Dadas las regresiones (5.47), (5.48) y (5.49), selecciona la especificación más adecuada para analizar la inversión en los planes de pensiones. Razona detalladamente
tu proceso de selección.
6. ¿Qué sucederı́a en la estimación de los modelos (5.48) y (5.49) si la muestra estuviera compuesta sólo por hombres?
7. Suponiendo que eliges el modelo (5.49) ¿qué propiedades tienen los estimadores?
Ejercicio 5.32
Para analizar la relación entre los gastos de consumo, C, el ingreso disponible, Y, y el
sexo del cabeza de familia se han estimado, con T=12, cuatro modelos cuyos resultados
han sido:
a)
b)
c)
d)
Ĉt = 1663, 6 +
0, 75 Yt
(21,12)
Ĉt = 186, 12 + 0, 82 Yt + 832, 09 Dt
(16,56)
(1,82)
Ĉt = 709, 18 + 0, 79 Yt + 0, 05 Yt Dt
(18,11)
(1,51)
Ĉt = −184, 7 + 0, 83 Yt + 1757, 99 Dt − 0, 06 Yt Dt
(13,65)
(1,03)
(-0,57)
R2 = 0, 978
R2 = 0, 984
R2 = 0, 983
R2 = 0, 985
donde Dt es una variable ficticia que toma el valor 1 si el cabeza de familia es mujer y
0 en caso contrario. Entre paréntesis aparecen los estadı́sticos t muestrales:
1. Interpreta los coeficientes del modelo d).
2. Contrasta si el término constante es diferente según sea el sexo del cabeza de familia.
3. Contrasta si el coeficiente asociado a Y es diferente según sea el sexo del cabeza de
familia.
4. Contrasta si tanto el coeficiente asociado a Y como el término constante son diferentes según sea el sexo del cabeza de familia.
5. ¿Cuál es el modelo que mejor se ajusta a los datos?
148
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.33
Se quiere estudiar cómo influye el nivel de educación en los salarios (Y ) percibidos por
los trabajadores de una empresa. En la empresa hay 100 empleados, de los cuales 6 no
tienen estudios, 38 tienen únicamente estudios primarios, 15 tienen estudios universitarios y el resto se incorporó a la empresa tras finalizar sus estudios secundarios. Para
introducir el nivel de estudios en el modelo se definen las siguientes variables ficticias:
½
Pi =
½
Si =
½
Ui =
1 si i tiene al menos estudios primarios
0 en caso contrario
1 si i tiene al menos estudios secundarios
0 en caso contrario
1 si i tiene al menos estudios universitarios
0 en caso contrario
De modo que para un empleado que, por ejemplo, no haya realizado estudios primarios
Pi = 0,Si = 0 y Ui = 0 y para un universitario Pi = 1, Si = 1 y Ui = 1.
1. ¿Es estimable el modelo Yi = β1 + β2 Pi + β3 Si + β4 Ui + Vi , con Vi ∼ N ID(0, σ 2 )?
Razona la respuesta. En caso de que no sea estimable, propón uno similar que sı́ lo
sea.
2. Interpreta los parámetros β1 y β4 en el modelo anterior, o en el modelo estimable
propuesto.
3. Plantea un contraste para la hipótesis de que tener estudios primarios no afecta al
salario que se cobra. Escribe la hipótesis nula, el estadı́stico de contraste y la regla
de decisión.
Ejercicio 5.34
Plantea el modelo de determinación del salario del trabajador de la empresa A en función
de sus años de experiencia, categorı́a profesional (empleado, técnico, directivo) y sexo
(masculino, femenino).
1. Escribe la función de salarios de una técnica.
2. Interpreta los coeficientes del modelo.
3. Suponiendo que la empresa tiene 40 trabajadores, los cuales tienen la siguiente
distribución por categorı́as 5 técnicas y 2 directivas, 4 directivos, 2 técnicos y el
resto son empleados. Escribe la matriz de regresores.
149
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 5.35
Un empleado de BBK Peña opina que los pisos de Avenida Mazarredo alcanzan en las
subastas un precio considerablemente superior al de cualquier otra zona de Bilbao. Un
colega suyo de Lagunaro no está de acuerdo con esta afirmación, por lo que analizan
las ventas de pisos de dicha calle realizadas por sus empresas en los últimos años. El
número total de pisos subastados fue de 10, de los que 4 estaban enclavados en la calle
Mazarredo. Ambos creen que el tamaño del piso y el precio inicial fijado en la subasta
son también variables determinantes del precio finalmente alcanzado en la venta.
1. Especifica un modelo que exprese el precio final de venta de los pisos en función de
los factores citados y que permita contrastar la hipótesis del empleado de BBK.
2. Escribe la matriz de regresores del modelo que has propuesto.
3. ¿Cómo llevarı́as a cabo el contraste? Escribe la hipótesis nula, la hipótesis alternativa, el estadı́stico de contraste, su distribución y la regla de decisión.
Ejercicio 5.36
Se quiere estudiar la relación entre el número de incendios forestales y la temperatura
en una comarca catalana. Para ello se utilizan datos diarios de ambas variables para el
año 1999 y se estiman los siguientes modelos:
(1)
(2)
(3)
(4)
Yt
Yt
Yt
Yt
½
siendo Dt =
= 105 + 400Dt + 4, 7Xt + 8, 3Dt Xt + û1t
= 205 + 43, 5Xt + 9, 0Dt Xt + û2t
= 124 + 557Dt + 7, 3Xt + û3t
= 350 + 7, 7Xt + û4t
σ̂12
σ̂22
σ̂32
σ̂42
= 14, 71
= 20, 15
= 15, 14
= 27, 05
1 si t∈ Julio, Agosto o Septiembre
0 en caso contrario
1. Interpreta los coeficientes del modelo (1).
2. El contraste del modelo (3) contra el (4) nos ha llevado a rechazar el modelo (4).
Efectúa los contrastes necesarios para decidir cuál es el modelo al que mejor se
ajustan los datos.
Ejercicio 5.37
Se han utilizado datos trimestrales para estimar la función:
Ct = α + β1 D1t + β2 D2t + β3 D3t + β4 D4t + ut
½
donde: Dit =
1 si t pertenece al i-ésimo trimestre
0 en caso contrario
150
(5.50)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
1. Indica qué parámetros son estimables y cuáles no, razonando la respuesta. ¿Y si se
P
impone la restricción
βi = 0?
2. Un investigador impone la restricción α = 0 y otro impone la restricción β4 = 0.
¿Serán las estimaciones de βi diferentes en ambos casos? ¿por qué?
Ejercicio 5.38
Para estudiar las ventas de un determinado modelo de moto se especifica el siguiente
modelo de regresión lineal:
½
donde
Sit =
Yt = β0 + β1 S1t + β2 S2t + β3 S3t + β4 Xt + ut
(5.51)
1 si t ∈ trimestre i-ésimo
0 en caso contrario
1. Explica qué tipo de comportamiento refleja esta regresión e interpreta cada uno de
los coeficientes del modelo.
2. ¿Existe alguna forma alternativa de especificar el comportamiento reflejado por el
modelo anterior? Escribe la ecuación correspondiente e interpreta sus parámetros.
3. Encuentra la relación entre los parámetros de la ecuación (5.51) y los de la ecuación
propuesta en el apartado anterior.
4. Los resultados obtenidos de estimar el modelo (5.51) con 16 observaciones trimestrales han sido:
Ŷt = 0, 07 + 0, 43 S1t + 6, 55 S2t − 2, 83 S3t − 0, 9 Xt
(3,7)
(3,37)
(3,4)
(-3,37)
(-0,27)
R2 = 0, 68 (5.52)
A la vista de los resultados ¿se puede concluir que la variable Yt presenta un comportamiento estacional?
Ejercicio 5.39
El dueño de una cadena de cines en una ciudad costera pretende saber cómo influyen
en el número de espectadores de sus salas , N (miles), dos factores: el empleo existente
en la ciudad, E (cientos de miles), y el número de otros espectáculos que se programen,
O (miles). Propone el siguiente modelo
Nt = α0 + α1 Et + α2 Ot + ut
ut ∼ N ID(0, σ 2 )
(5.53)
Dispone de información trimestral relativa a las tres variables que va desde el primer
trimestre de 1985 hasta el primer trimestre de 2002, ambos inclusive. El resumen de
dicha información aparece a continuación:
P


P Nt = 2279, 4
1,5334 −0,2122 0,00734
P Nt Et = 16838,6
0,0320 −0,00379 
(X 0 X)−1 = 
P Nt Ot = 14193,8
0,00329
(Nt − N̄ )2 = 2435
151
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
a) Estima el modelo propuesto por el método de mı́nimos cuadrados ordinarios.
b) Calcula una medida de la bondad del ajuste e interprétala.
c) Estima la matriz de varianzas y covarianzas del estimador de los coeficientes.
d) ¿Son las variables explicativas conjuntamente significativas?
e) Contrasta al nivel de significación del 5 % que la programación de otros espectáculos
tiene influencia sobre el número de espectadores en las salas de cine.
f) Para poder planificar la próxima campaña, el dueño hace el supuesto de que va a
tener 34.500 espectadores, dado que el número de empleos será de 754.000 y que
están previstos otros 8.800 espectáculos. Compruébalo.
Analizando los resultados con un amigo suyo, observan una pauta de comportamiento
diferente en los distintos trimestres. Por ello, piensan que no ha tenido en cuenta que
la época del año marca también la asistencia al cine, debido a que se va menos cuando
hace mejor tiempo. Nuestro hombre decide incluir este factor.
g) Define las variables que creas necesarias para tener en cuenta este factor y propón
un modelo que incluya el posible efecto de la época del año.
h) Interpreta los coeficientes de tu modelo. ¿Cuántas de las variables que has definido
incluyes en el mismo? ¿Por qué?
A los pocos dı́as, su amigo le plantea la siguiente duda: a su ciudad acuden muchos
turistas en verano, lo que aumenta el empleo temporal que suele cubrirse con gente
joven, en general más aficionada al cine. Si esto es cierto, la composición del empleo en
verano puede tener influencia sobre la asistencia al cine.
i) ¿Cómo definirı́as una variable para tener en cuenta esta interrelación? ¿Cómo la
incluirı́as en el modelo?
En lı́nea con lo planteado, el empresario escoge y estima tres modelos diferentes de entre
todos los posibles, con los siguientes resultados:
β̂1
N̂t
β̂2
β̂3
β̂4
z }| { z }| {
z }| {
z }| {
23,78 + 1,371 Et − 0,317 Ot + 4,571 D3t,
=
(σ̂βˆ )
(2,92)
i
δ̂0
(0,421)
δ̂1
(0,135)
(0, 658)
δ̂2
δ̂4
z}|{
z }| {
z }| {
z }| {
N̂t = 25,0 + 1,204 Et − 0,316 Ot + 0,624 EM 3t ,
(σ̂βˆ )
i
µ̂
(2,895)
µ̂
(0,418)
(0,134)
µ̂
û2t = 359,89
(5.54)
t=1
69
X
û2t = 355,23
(5.55)
i=1
(0, 088)
µ̂
69
X
µ̂
0
1
2
3
4
69
X
z }| { z }| {
z }| {
z }| {
z }| {
û2t = 354,90 (5.56)
N̂t = 25,43 + 1,146 Et − 0,316 Ot − 1,613 D3t + 0, 841 EM 3t ,
(σ̂βˆ )
i
(3,404)
(0,483)
(0,135)
(6,552)
donde
152
(0, 887)
i=1
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• D3t es una variable ficticia que toma el valor 1 en el tercer trimestre (verano) y
cero en los demás casos.
• EM 3t es una variable que incorpora el efecto estacional del empleo que se ha
discutido en el apartado anterior (y tendrá la interpretación que le hayas atribuido
anteriormente).
j) Dados los resultados anteriores, ¿hay evidencia de que existe efecto estacional? Si
el efecto estacional existe ¿qué forma toma?, ¿cuál de los modelos propuestos te
parece óptimo para recogerlo?, ¿por qué? Lleva a cabo los contrastes precisos.
k) A la vista de los resultados obtenidos hasta el momento ¿es correcto utilizar los
valores de los coeficientes que has obtenido en (5.53)?, ¿por qué?, ¿qué propiedades
tienen?
l) ¿Cómo explicas los resultados del modelo (5.56) a la vista del (5.54) y el (5.55)?
¿Te parece lógico obtener este resultado?, ¿cuál puede ser su causa?
153
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.8.
Estimación del MRLG con gretl: principales resultados, contraste
de hipótesis
• Estimación por Mı́nimos Cuadrados Ordinarios, MCO:
Una vez abierto el fichero de datos con el que vamos a trabajar, vamos a
Modelo → Mı́nimos Cuadrados Ordinarios
Aparecerá una ventana para especificar la parte sistemática del modelo donde debemos:
Seleccionar la variable dependiente pinchando a la izquierda sobre ella y a continuación pinchar en
la derecha → la flecha azul
Seleccionar las variables independientes pinchando a la izquierda sobre ella-s y a continuación pinchar en la derecha → la flecha verde
Para obtener los resultados de la estimación MCO pinchar en Aceptar. No pinchar en la indicación
Desviaciones Tı́picas Robustas.
En esta ventana aparecerán los resultados básicos de la estimación del modelo. Los podemos guardar
como texto plano de la manera habitual o como icono con Archivo → Guardar como icono.
Los resultados que gretl nos devuelve muestran entre otros estadı́sticos la estimación de los parámetros de la recta de ajuste, sus desviaciones tı́picas y estadı́sticos de significatividad individual.
Ejemplo 5.17
Vamos a utilizar como ejemplo la estimación realizada en el Ejemplo 5.10 sobre el precio
de la vivienda y los contrastes desarrollados en el Ejemplo 5.13:
P RICEi = β1 + β2 SQF Ti + β3 BEDRM Si + β4 BAT HS + ui
i = 1, . . . , 14
Los resultados de la estimación MCO mostrados por gretl son los siguientes:
Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1–14
Variable dependiente: price
const
sqft
bedrms
baths
Coeficiente
Desv. Tı́pica
Estadı́stico t
Valor p
129,062
0,154800
−21,5875
−12,1928
88,3033
0,0319404
27,0293
43,2500
1,4616
4,8465
−0,7987
−0,2819
0,1746
0,0007
0,4430
0,7838
Media de la vble. dep.
Suma de cuad. residuos
R2
F (3, 10)
Log-verosimilitud
Criterio de Schwarz
317,4929
16700,07
0,835976
16,98894
−69,45391
149,4641
154
D.T. de la vble. dep.
D.T. de la regresión
R2 corregido
Valor p (de F )
Criterio de Akaike
Hannan–Quinn
88,49816
40,86572
0,786769
0,000299
146,9078
146,6712
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
En la columna con encabezamiento Coeficiente aparece la estimación del coeficientre que
acompaña a la correspondiente variable. A continuación aparece su Desviación Tı́pica y
el estadı́stico t de significatividad individual para el contraste H0 : βk = 0 ası́ como su
correspondiente valor p.
A continuación aparecen estadı́sticos de interés como pueden ser la media de la variable
dependiente, R2 o R̄2 entre otros. La fila: F (3, 10) = 16,98894; Valor p (de F ) = 0,000299
se corresponde con el valor muestral del estadı́stico F para el contraste de significatividad conjunto y su correspondiente valor-p. A continuación aparecen los estadı́sticos de
Akaike, Schwarz y Hannan-Quinn para la selección de modelos.
En la pestaña Contrastes que aparece en la pantalla de resultados de la regresión podemos Omitir u
añadir variables, sumar los coeficientes y contrastar combinaciones lineales o restricciones lineales
además podremos realizar contrastes sobre los residuos, de los cuales nos ocuparemos en el último
tema del curso.
Ejemplo 5.18
Por ejemplo para contrastar:
H0 : β3 = β4
versus
Ha : β3 6= β4
cuyo estadı́stico de contraste y distribución asociada son:
β̂3 − β̂4
q
∼ tN −4
d β̂3 , β̂4 )
σ̂ 2 + σ̂ 2 − 2 × Cov(
β̂3
β̂4
en la pestaña Contrastes seleccionamos Restricciones lineales y escribimos b3-b4=0 y
gretl nos devuelve el siguiente resultado:
Restricción:
b[bedrms] - b[baths] = 0
Estadı́stico de contraste: F(1, 10) = 0,0266334, con valor p = 0,873614 luego no se
rechaza la hipótesis nula para α %.
Además nos proporciona las estimaciones restringidas:
const
sqft
bedrms
baths
Coeficiente
127,736
0,157407
-18,5060
-18,5060
Desv. Tı́pica
83,9482
0,0264067
18,4649
18,4649
Desviación tı́pica de la regresión = 39,0158
155
Estadı́stico t
1,522
5,961
-1,002
-1,002
Valor p
0,1563
9,44e-05 ***
0,3378
0,3378
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
El modelo restringido es:
P RICEi = β1 + β2 SQF Ti + β3 (BEDRM Si + BAT HS) + ui
i = 1, . . . , 14
d i = 127, 736 + 0, 1574 SQF Ti − 18, 5060 (BEDRM Si + BAT HSi )
y su FRM es P RICE
En la pantalla de resultados de la estimación aparecen en la barra de menú otros estadı́sticos o
resultados que pueden ser de interés, por ejemplo:
• Podemos hacer gráficos de interés: En la opción Gráficos podemos hacer gráficos que nos
ayudan a interpretar los resultados de la estimación, por ejemplo
Gráficos → Gráfico de la variable estimada y observada
Gráficos → Gráfico de residuos → contra alguna de las variables explicativas del modelo
• En la pestaña Guardar podemos guardar variables como los residuos, los residuos al cuadrado,
la suma de cuadrados residual y el coeficiente de determinación entre otros.
• En la pestaña Análisis nos muestra las estimaciones de la variable endógena, los intervalos
de confianza de los coeficientes y la matriz de varianzas y covarianzas entre otros resultados.
Para ver y guardar los valores de Ŷ , û y otros resultados de utilidad:
- Ver los valores: Pinchar en Análisis → Mostrar variable y seleccionar observada, estimada
o residuos según nuestro interés.
- Guardar los valores: Pinchar en Guardar → seleccionar la variable de interés.
Gretl utiliza por defecto la denominación yhat, uhat para designar a la variable endógena
estimada y a los residuos, respectivamente y en la descripción de la variable indicará por
ejemplo para uhat: residuos del modelo 1, donde el valor 1 indica que corresponde con el primer
modelo estimado, esto resulta muy útil pues en general trabajaremos con varios modelos a la
vez y hay que distinguir claramente las variables de cada uno.
Ejemplo 5.19
La matriz de varianzas y covarianzas de los coeficientes estimados es:
Matriz de covarianzas de los coeficientes
const
7797,5
sqft
0,67089
0,0010202
bedrms
−1677,1
−0,075461
730,58
baths
−1209,4
−0,99507
−356,40
1870,6
Los intervalos de confianza de los coeficientes son:
t(10, 0, 025) = 2, 228
156
const
sqft
bedrms
baths
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.8.1.
Variable
Coeficiente
Intervalo de confianza 95 %
const
sqft
bedrms
baths
129,062
0,154800
−21,5875
−12,1928
−67,6903
0,0836321
−81,8126
−108,560
325,814
0,225968
38,6376
84,1742
Tratamiento de las variables ficticias en gretl.
Gretl permite trabajar tanto con variables ficticias cuantitativas como cualitativas y su tratamiento
no difiere, solo debemos de ocuparnos de especificar correctamente el modelo. En el caso de que la
variable ficticia no esté construida gretl permite hacerlo. En la pantalla inicial en Añadir podemos
añadir Variables ficticias periódicas que se ajustarán lógicamente a la periodicidad muestral del
conjunto de datos, Variables ficticias para las variables discretas seleccionadas donde por ejemplo si
tenemos una variable que toma valores 1, 2 y 3 podremos construir tres variables ficticias tal como
½
1
0
½
1
D2 =
0
½
1
D3 =
0
D1 =
si la variable toma valor 1
en caso contrario
si la variable toma valor 2
en caso contrario
si la variable toma valor 3
en caso contrario
Por supuesto también podremos introducirlas con el editor tal y como se aprendió en el Tema 4.
Veamos un ejemplo aplicado. Abrimos el fichero de datos data7-3 de Ramanathan, que contiene
datos para 14 viviendas sobre el precio de venta de la vivienda (PRICE), pies cuadrados habitables
(SQFT), número de habitaciones (BEDRMS) y número de baños (BATHS), y una variable ficticia
que toma el valor 1 si la vivienda tiene piscina y 0 en caso contrario (POOL), una variable ficticia
que toma el valor 1 si la vivienda tiene sala de estar y 0 en caso contrario (FAMROOM) y una
variable ficticia que toma el valor 1 si la vivienda tiene chimenea y 0 en caso contrario (FIREPL).
Seleccionamos las variables PRICE y POOL y observamos los valores de estas dos variables:
Obs
price
pool
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
199,9
228,0
235,0
285,0
239,0
293,0
285,0
365,0
295,0
290,0
385,0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
157
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
12
13
14
505,0
425,0
415,0
1
0
0
Por ejemplo, la primera vivienda de la muestra tiene un precio de 199.900 dólares y tiene piscina
(ya que la variable POOL toma el valor 1), mientras que la segunda no tiene piscina (la variable
POOL toma el valor 0) y su precio de venta es de 228.000 dólares, etc.
Con los datos anteriores podemos obtener fácilmente que el precio medio de la vivienda es 317.493
dólares:
Estadı́sticos principales, usando las observaciones 1 - 14
para la variable price (14 observaciones válidas)
Media
317, 49
Desv. Tı́p.
88, 498
Mediana
291, 50
C.V.
0, 27874
Mı́nimo
Máximo
199, 90
505, 00
Asimetrı́a
Exc. de curtosis
0, 65346
−0, 52983
Sin embargo, también es posible obtener el precio medio para las viviendas que tienen piscina, por
un lado, y para las que no la tienen, por otro. Para ello, en primer, lugar se selecciona el precio para
aquellas viviendas con piscina. Seleccionamos la variable PRICE, pinchamos en Muestra → Definir
a partir de v. ficticia..., seleccionamos la variable POOL y aceptamos.
De esta forma hemos seleccionado el precio para aquellas viviendas que tienen piscina18 . A continuación, se obtienen los estadı́sticos principales:
Estadı́sticos principales, usando las observaciones 1 - 5
para la variable price (5 observaciones válidas)
Media
337, 98
Desv. Tı́p.
122, 99
Mediana
365, 00
C.V.
0, 36390
Mı́nimo
Máximo
199, 90
505, 00
Asimetrı́a
Exc. de curtosis
0, 15896
−1, 2798
Para seleccionar el precio de las viviendas que no tienen piscina, pinchamos en Muestra → Restringir
a partir de criterio, introducimos la condición P OOL = 0 y aceptamos. Los estadı́sticos principales
son los siguientes:
Estadı́sticos principales, usando las observaciones 1 - 9
para la variable price (9 observaciones válidas)
18
Para restablecer el tamaño muestral inicial pinchar en Muestra → Recuperar el rango completo.
158
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Media
306, 11
Desv. Tı́p.
68, 959
Mediana
290, 00
C.V.
0, 225275
Mı́nimo
Máximo
228, 00
425, 00
Asimetrı́a
Exc. de curtosis
0, 87575
−0, 52255
Por tanto, el precio medio de las viviendas con piscina es de 337.980 dólares frente a los 306.111 de
las viviendas sin piscina. Dado el modelo una vivienda con piscina es en promedio 31.869 dólares más
cara que la que no tiene piscina. Notar que no se están teniendo en cuenta otros factores que pueden
afectar al precio de la vivienda (número de pies cuadrados habitables, número de habitaciones, etc.).
El sencillo análisis anterior podemos realizarlo mediante un análisis de regresión. Podemos especificar un modelo econométrico utilizando la variable ficticia POOL como regresor, estimarlo, hacer
inferencia e ir incorporando otras caracterı́sticas que pueden afectar a los precios de las viviendas.
Para comenzar, consideramos el siguiente modelo:
P RICEi = α1 + α2 P OOLi + ui
i = 1, . . . , 14
(5.57)
donde
• α1 : precio medio de una vivienda sin piscina.
• α1 + α2 : precio medio de una vivienda con piscina.
• α2 : diferencia en el precio medio de una vivienda con piscina con respecto a una que no la
tiene.
Los resultados de estimar el modelo por Mı́nimos Cuadrados Ordinarios utilizando gretl obtenemos
que las estimaciones de los coeficientes son las siguientes:
Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 14 observaciones 1–14
Variable dependiente: price
Variable
const
pool
Coeficiente
306,111
31,8689
Desv. tı́pica
30,2077
50,5471
Media de la var. dependiente
D.T. de la variable dependiente
Suma de cuadrados de los residuos
Desviación tı́pica de los residuos (σ̂)
R2
R̄2 corregido
Grados de libertad
Log-verosimilitud
Criterio de información de Akaike
Criterio de información Bayesiano de Schwarz
159
Estadı́stico t
10,1335
0,6305
317,493
88,4982
98550,5
90,6231
0,0320632
−0,0485982
12
−81,880
167,760
169,038
valor p
0,0000
0,5402
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
d i = 306, 111 + 31, 869 P OOLi
P RICE
(10,13)
(0,63)
i = 1, . . . , 14
Para contrastar en el modelo (5.57) si hay diferencias significativas en el precio medio de la vivienda
entre aquéllas que tienen piscina y las que no, la hipótesis de contraste es H0 : α2 = 0. Este
contraste se puede realizar utilizando el estadı́stico t habitual cuyo p-valor es 0,5405, por lo que no
se rechaza la hipótesis nula para un nivel de significación del 5 %, es decir, el precio medio de la
vivienda no es significativamente diferente por el hecho de tener piscina. Alternativamente, se puede
realizar el contraste utilizando el estadı́stico F basado en las sumas de cuadrados de los residuos
siendo en este caso el modelo (5.57) el modelo no restringido mientras que el modelo restringido es
P RICEi = α1 + ui
i = 1, . . . , 14.
Supongamos que ampliamos el modelo (5.57) incorporando regresores que podrı́an explicar el precio de la vivienda como: el hecho de que la vivienda tenga sala de estar o no, el hecho que tenga
chimenea o no, su superficie, el número de habitaciones y el número de baños. Las dos primeras son
variables ficticias que pueden definirse ası́:
½
1
½0
1
F AM ROOMi =
0
F IREP Li =
si la vivienda i-ésima tiene chimenea
en caso contrario
si la vivienda i-ésima tiene sala de estar
en caso contrario
Mientras que la superficie, el número de baños y el número de habitaciones se definen como en los
temas anteriores:
SQF Ti tamaño de la vivienda i-ésima en pies cuadrados
BEDRM S número de habitaciones de la vivienda i-ésima
BAT HS número de cuartos de baño de la vivienda i-ésima
Con todas ellas podemos especificar el siguiente modelo para explicar el precio de la vivienda:
P RICEi = γ1 + γ2 P OOLi + γ3 F AM ROOMi + γ4 F IREP Li
+β1 SQF Ti + β2 BEDRM Si + β3 BAT HSi + ui
i = 1, . . . , 14
(5.58)
Donde lo primero a notar es que en el modelo (5.58), afectando a la ordenada, conviven tres conjuntos
de variables ficticias con dos categorı́as cada una, el hecho de tener o no piscina, el hecho de tener
o no chimenea y el hecho de tener o no sala de estar, de las cuales sólo se incluye una de cada
conjunto y se mantiene el término independiente. Esta forma de definir el modelo es muy cómoda
ya que sigue manteniendo los resultados de los modelos con término independiente y permite una
fácil interpretación de los coeficientes que acompañan a las variables ficticias. Ası́, γi i = 2, 3, 4
recogen el diferencial en el valor esperado de una vivienda por el hecho de poseer la caracterı́stica
correspondiente manteniéndose constante el resto de variables. El resultado de la estimación es:
160
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 14 observaciones 1–14
Variable dependiente: price
Variable
const
pool
famroom
firepl
sqft
bedrms
baths
Coeficiente
39,0571
53,1958
−21,344
26,1880
0,146551
−7,0455
−0,263691
Desv. tı́pica
Estadı́stico t
89,5397
22,0635
42,8734
53,8454
0,0301014
28,7363
41,4547
Media de la var. dependiente
D.T. de la variable dependiente
Suma de cuadrados de los residuos
Desviación tı́pica de los residuos (σ̂)
R2
R̄2 corregido
F (6, 7)
valor p para F ()
Log-verosimilitud
Criterio de información de Akaike
Criterio de información Bayesiano de Schwarz
0,4362
2,4110
−0,4979
0,4864
4,8686
−0,2452
−0,0064
valor p
0,6758
0,0467
0,6338
0,6416
0,0018
0,8134
0,9951
317,493
88,4982
9010,24
35,8773
0,911504
0,835650
12,0166
0,00221290
−65,134
144,269
148,743
La interpretación de los coeficientes estimados es la siguiente:
• γ̂1 = 39, 057: el precio medio estimado de las viviendas sin piscina, baños, habitaciones, sala
de estar ni chimenea y con 0 pies cuadrados habitables es de 39.057 dólares.
• γ̂2 = 53, 1958: la diferencia estimada en el precio medio de las viviendas con piscina con
respecto a las que no la tienen, siendo iguales en el resto de caracterı́sticas (pies cuadrados
habitables, habitaciones, baños, sala de estar y chimenea) es de 53.196 dólares.
• γ̂3 = −21, 34: el precio medio estimado de una vivienda con sala de estar es 21.340 dólares
inferior al de una sin sala de estar, siendo idénticas en el resto de caracterı́sticas. Esto se
debe a que, al mantener constante el número de pies cuadrados de la vivienda y el número de
habitaciones y baños, incluir una sala de estar hará que el resto de habitaciones o baños sean
de menor tamaño.
• γ̂4 = 26, 188: el precio medio estimado de una vivienda con chimenea es 26.188 dólares más
caro que el de una sin chimenea, siendo idénticas en el resto de caracterı́sticas.
• β̂1 = 0, 147: el precio medio estimado de una vivienda se incrementa en 147.000 dólares al
aumentar en 1 pie cuadrado habitable su superficie, permaneciendo constantes el número de
baños y habitaciones.
161
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• β̂2 = −7, 046: el precio medio estimado de una vivienda disminuye en 7.046 dólares al aumentar
en 1 el número de habitaciones, permaneciendo constantes el número de baños y los pies
cuadrados habitaciones. Esto se debe a que las habitaciones serán de menor tamaño.
• β̂3 = −0, 264: el precio medio estimado de una vivienda disminuye en 264 dólares al aumentar
en 1 el número de baños, permaneciendo constantes el número de habitaciones y los pies
cuadrados habitables. De nuevo, las habitaciones serán de menor tamaño.
Contraste de hipótesis
Para contrastar, por ejemplo, que no existen diferencias significativas en el precio medio de la
vivienda por el hecho de tener chimenea, se realiza un contraste de significatividad individual de
la variable FIREPL. En este caso, observando el p-valor correspondiente, 0,6416, se puede concluir
que a un nivel de significación del 5 %, no existen diferencias significativas en el precio medio de
una vivienda por el hecho de tener chimenea.
Si comparamos los modelos (5.57) y (5.58), ninguna de las variables añadidas en el último es
significativa individualmente19 . Además, el R̄2 es inferior. El contraste de significatividad conjunta
para las variables añadidas se puede realizar con el estadı́stico F basado en las sumas de cuadrados
residuales de los modelos restringido (modelo (5.57)) y no restringido (modelo (5.58)). En este caso,
el resultado es:
Contraste de omisión de variables –
Hipótesis nula: los parámetros son cero para las variables
bedrms
baths
famroom
firepl
Estadı́stico de contraste: F (4, 7) = 0,0864517
con valor p = P (F (4, 7) > 0,0864517) = 0,983881
por lo que no se rechaza la hipótesis nula de que las variables añadidas al modelo (5.58) son conjuntamente no significativas. Al omitir dichas variables el modelo mejora en cuanto a la significación
de sus coeficientes y el R̄2 . Por tanto, manteniendo las variables POOL y SQFT, la inclusión del
resto (FIREPL, FAMROOM, BATHS, BEDRMS) no añade capacidad explicativa al modelo.
19
Un problema añadido es que tenemos un bajo tamaño muestral, T=14, y hemos aumentado significativamente el
número de parámetros a estimar, K=7, por lo que tenemos muy pocos grados de libertad.
162
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.9.
Apéndice
5.9.1.
Anexo 1. Distintas expresiones de SCT, SCE y SCR
SCT
=
=
X
X
(Yi − Ȳ )2 =
Yi2 − N Ȳ 2 = Y 0 Y − N Ȳ 2
X
¯
(Ŷi − Ŷ )2 =
X
¯
=
Ŷi2 − N Ŷ 2 =
¯
= Ŷ 0 Ŷ − N Ŷ 2 =
¯
= (X β̂)0 (X β̂) − N Ŷ 2 =
SCE =
= β̂ 0 X 0 X β̂ −N Ȳ 2 =
| {z }
=X 0 Y
¯
= β̂ 0 X 0 Y − N Ŷ 2
SCR =
X
û2i = û0 û =
= (Y − Ŷ )0 (Y − Ŷ ) = (Y − X β̂)0 (Y − X β̂) =
= Y 0 Y − β̂ 0 X 0 Y − Y 0 X β̂ + β̂ 0 X 0 X β̂ =
= Y 0 Y − β̂ 0 X 0 X β̂ =
= Y 0 Y − β̂ 0 X 0 Y
5.9.2.
Anexo 2. Demostración de la insesgadez de σ̂ 2
1. Propiedades de los residuos MCO
Los residuos MCO se pueden escribir en función de las perturbaciones:
û = Y − Ŷ =
= Y − X β̂ =
= Y − X(X 0 X)−1 X 0 Y =
= [IN − X(X 0 X)−1 X 0 ]Y =
= [IN − X(X 0 X)−1 X 0 ](Xβ + u) =
= Xβ − X(X 0 X)−1 X 0 Xβ + [IN − X(X 0 X)−1 X 0 ]u =
= [IN − X(X 0 X)−1 X 0 ] u = M u
|
{z
}
=M
Las caracterı́sticas de la matriz M son:
163
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Es simétrica: M = M 0
M 0 = [IN − X(X 0 X)−1 X 0 ]0
0
= IN
− (X(X 0 X)−1 X 0 )0
= IN − (X 0 )0 [(X 0 X)−1 ]0 X 0
= IN − X(X 0 X)−1 X 0
= M
• Es idempotente: M M = M
MM
= [IN − X(X 0 X)−1 X 0 ][IN − X(X 0 X)−1 X 0 ] =
= IN − X(X 0 X)−1 X 0 − X(X 0 X)−1 X 0 +
X (X 0 X)−1 X 0 X (X 0 X)−1 X 0 =
{z
}
|
=IK
= IN − X(X 0 X)−1 X 0 = M
• rg(M )= tr(M )= N − K
tr(M ) = tr[IN − X(X 0 X)−1 X 0 ]
= tr(IN ) − tr[X(X 0 X)−1 X 0 ]
= tr(IN ) − tr[(X 0 X)−1 X 0 X]
= tr(IN ) − tr(IK )
= N −K
• M es ortogonal a X: M X = 0
M X = [IN − X(X 0 X)−1 X 0 ]X
= X − X(X 0 X)−1 X 0 X = 0
2. Demostración: E(σ̂ 2 ) = σ 2
Como
E(û0 û) = E(u0 M u) =
= E(tr(u0 M u)) = E(tr(M uu0 )) =
= tr(E(M uu0 )) = tr(M E(uu0 )) =
= tr(M σ 2 IN ) =
= σ 2 tr(M ) = σ 2 (N − K)
se puede demostrar fácilmente que σ̂ 2 es un estimador insesgado:
µ
¶
û0 û
E(û0 û)
σ 2 (N − K)
2
E(σ̂ ) = E
=
=
= σ2
N −K
N −K
N −K
Y por tanto podremos utilizarlo como el estimador apropiado de la varianza de la perturbación.
164
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.9.3.
Anexo 3. Distribuciones que nos interesan
• Distribución de la variable endógena o regresando:
Y = Xβ + u
E(Y ) = Xβ
V (Y ) = E[(Y − E(Y ))(Y − E(Y ))0 ] = E(uu0 ) = σ 2 IN
Dado
u ∼ N (0, σ 2 IN ) −→ Y ∼ N (Xβ, σ 2 IN )
• Distribución del vector de estimadores MCO:
β̂ = (X 0 X)−1 X 0 Y = β + (X 0 X)−1 X 0 u
E(β̂) = β
V (β̂) = σ 2 (X 0 X)−1
Dado
u ∼ N (0, σ 2 IN ) −→ β̂ ∼ N (β, σ 2 (X 0 X)−1 )
−→ β̂k ∼ N (βk , σ 2 akk )
• Distribución de los residuos:
û = M u
E(û) = E(M u) = M E(u) = 0
V (û) = E[ûû0 ] = E(M uu0 M 0 ] = M E(uu0 )M = σ 2 M
Dado
u ∼ N (0, σ 2 IN ) −→ û ∼ N (0, σ 2 M )
• Distribución de la SCR:
SCR = û0 û = u0 M u
Utilizando el resultado 3 del Anexo 4 dado
u ∼ N (0, σ 2 IN ) −→
ya que: û ∼ N (0, σ 2 M )
u0 M u
û0 û
2
∼
χ
−→
∼ χ2(N −K)
(N −K)
σ2
σ2
tenemos
û0 M −1 û
u0 M M −1 M u
u0 M u
=
=
∼ χ2(N −k)
σ2
σ2
σ2
165
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
5.10.
Bibliografı́a del tema
Referencias bibliográficas básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editorial AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl :
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[3] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[4] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicación on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
166
Tema 6
Validación
En este tema vamos a ocuparnos de validar el modelo. Una vez especificado y estimado el modelo
de regresión lineal general y realizados los contrastes de interés el modelo puede ser utilizado para
la predicción. Esta será más fiable cuanto mejor especificado y estimado esté el modelo. En el
Tema 5 nos hemos ocupado de ver las consecuencias de omitir variables relevante e incluir variables
irrelevantes y para evitarlo utilizamos los contrastes de significatividad individual y conjunto. En
este tema nos ocuparemos de analizar si los coeficientes del modelo son constantes durante todo el
periodo muestral.
Por otro lado cuando especificamos las hipótesis básicas de comportamiento, sobre la perturbación
supusimos que es homocedástica y no autocorrelada, en este tema estudiaremos como contrastar
que efectivamente la perturbación tiene varianza constante y covarianzas cero.
Para finalizar el tema veremos cómo realizar la predicción por punto y por intervalo del verdadero
valor de la variable endógena.
Competencias a trabajar en estas sesiones:
1. Conocer distintos procedimientos de estimación de parámetros, ası́ como sus propiedades para
poder seleccionar adecuadamente la mejor alternativa de análisis.
2. Aplicar la metodologı́a estadı́stica adecuada para el diseño de contrastes de hipótesis para la
toma de decisiones en el ámbito profesional.
3. Analizar de forma crı́tica los elementos básicos de los modelos econométricos para comprender
la lógica de la modelización econométrica y poder especificar relaciones causales entre variables
económicas.
4. Aplicar la metodologı́a econométrica básica para estimar y validar relaciones económicas en
base a la información estadı́stica disponible sobre variables económicas y utilizando los instrumentos informáticos apropiados.
5. Obtener e interpretar los resultados de un análisis estadı́stico de datos económicos haciendo
uso de las fuentes de información apropiadas y de los instrumentos informáticos necesarios.
167
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
6. Presentar de forma clara y concisa, tanto oralmente como por escrito, las conclusiones obtenidas en un caso de estudio particular.
Al final de este tema deberı́ais ser capaces de:
1. Conocer cuando un modelo es lineal en parámetros y/o en variables.
2. Transformar un modelo no lineal en parámetros en un modelo estimable por MCO.
3. Aplicar el contraste de Ramsey en el contexto adecuado.
4. Explicar que se entiende por un cambio estructural en un modelo econométrico.
5. Contrastar la constancia de los coeficientes de un modelo de regresión lineal general.
6. Explicar que se entiende por un modelo de regresión lineal con heterocedasticidad, cómo
modelizar esta caracterı́stica en el término de perturbación del modelo y sus implicaciones en
su matriz de varianzas y covarianzas.
7. Analizar gráficamente la posible existencia de heterocedasticidad y saber contrastarla utilizando el estadı́stico de White.
8. Describir las propiedades del estimador MCO bajo heterocedasticidad.
9. Explicar que se entiende por un modelo de regresión lineal con autocorrelación, cómo modelizar
esta caracterı́stica en el término de perturbación del modelo y sus implicaciones en su matriz
de varianzas y covarianzas.
10. Analizar gráficamente la posible existencia de autocorrelación y saber contrastarla utilizando
el estadı́stico de Durbin Watson.
11. Describir las propiedades del estimador MCO bajo autocorrelación.
12. Predecir por punto y por intervalo el valor de la variable endógena dados los valores de las
variables exógenas en el periodo de predicción.
Bibliografı́a Recomendada:
Al final del tema tenéis recogida la bibliografı́a correspondiente. En particular se os recomienda leer
los capı́tulos correspondientes a la bibliografı́a básica detallados a continuación:
• Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Parte I : cap. 6;Parte II: Caps 11 y 12.
• Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Cap. 14.
• Ramanathan, R. (2002). Caps. 6, 8 y 9.
• Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Cap. 8.
• Wooldridge, J.M. (2006). Cap. 6.
168
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
6.1.
Forma funcional
La elección de la forma funcional que recoge la relación existente entre la variable dependiente y las
variables explicativas es un aspecto de la especificación de un modelo muy importante en el análisis
económico. De hecho, la teorı́a económica no siempre propone relaciones lineales entre variables de
interés. Es el caso, por ejemplo, de la función de consumo de un bien que aumenta con la renta
pero no de forma indefinida ni a ritmo constante sino, en general, a una tasa decreciente, o de las
funciones de costes marginales que suelen tener forma de U, veáse la Figura 6.1.
Consumo
Costes
Figura 6.1: Relaciones económicas no lineales
En el Tema 5 se hizo enfásis en el hecho de que el supuesto de linealidad del modelo de regresión
no implica una relación lineal entre las variables sino un modelo en el que los parámetros entran
de forma lineal. Por “lineal en los parámetros” se entiende que los parámetros no se multiplican
entre sı́, no están elevados a potencias, etc. Sin embargo, como se vió en dicho tema las variables,
tanto regresando como regresores, sı́ se pueden transformar para obtener al final un modelo de
regresión lineal que satisfaga los supuestos clásicos. Este hecho hace que el modelo de regresión
lineal sea bastante flexible y se pueda utilizar para modelar relaciones entre variables económicas
no lineales. Ası́, tanto la función de consumo como la función de costes marginales de la Figura 6.1
se pueden modelizar utilizando formas funcionales sencillas no lineales en las variables. En el caso
de la función de consumo, el supuesto de rendimientos decrecientes se puede representar mediante
modelos logarı́tmicos o semilogarı́tmicos del tipo:
ln C = α + β ln R + u
(6.1)
C = α + β ln R + u
(6.2)
y las funciones de costes totales se pueden representar mediantes funciones polinómicas:
CM = β1 + β2 Q + β3 Q2 + u
(6.3)
Los modelos (6.1), (6.2) y (6.3) cumplen el supuesto de linealidad porque son lineales en los parámetros y se pueden analizar dentro del marco del MRLG. Ahora bien, como no son modelos lineales en
las variables, el efecto marginal del regresor sobre la variable dependiente no va a ser constante. Por
169
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
ejemplo, en el modelo (6.3), el efecto marginal de un incremento unitario de la producción sobre los
costes marginales viene dado por:
∂E(CT )
= β2 + 2 β3 Q
∂Q
Este resultado implica que la pendiente de la función de costes marginales no es constante sino que
es una función lineal de Q que involucra a los parámetros β2 y β3 .
Otra forma de modelar relaciones no lineales entre las variables explicativas y el regresando es incluir
términos de interacción, es decir, el producto de varios regresores del modelo. Consideremos, por
ejemplo, el siguiente modelo:
Y = β1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 (X2 × X3 ) + u
Este modelo es lineal en los parámetros, por lo que cumple el supuesto de linealidad. El efecto
marginal de X2 sobre Y es:
∂E(Y )
= β2 + β4 X3
∂X2
de forma que el incremento esperado en Y ante un incremento unitario en X2 no es constante sino
que depende del valor de X3 .
Los modelos que no cumplen el supuesto de linealidad se pueden clasificar en dos grupos. En el
primer grupo se encuentran los modelos que no son lineales en los parámetros pero que se pueden
linealizar mediante alguna transformación. En este grupo entra por ejemplo la función de producción
Cobb-Douglas que no es lineal ni en las variables ni en los parámetros, pero tomando logaritmos se
obtiene una función que no es lineal en las variables pero sı́ es lineal en los parámetros. El segundo
grupo lo forman los modelos que no son lineales en los parámetros y que no se pueden linealizar
mediante ninguna transformación, por ejemplo,
Y = β1 + X1β2 β3 + X2β2 + u
Este tipo de modelos se estima por mı́nimos cuadrados no lineales.
Contraste de Ramsey
El contraste de Ramsey (1969) está diseñado para detectar si la forma funcional está correctamente
especificada o no. Una forma sencilla de detectar que la forma funcional de este modelo está mal
especificada y la relación no es lineal entre las variables, serı́a incluir términos no lineales en el
modelo anterior y contrastar su significatividad. Ramsey propone añadir términos no lineales del
tipo Ŷt2 , Ŷt3 , ... , donde Ŷt son los valores ajustados por la recta de regresión muestral MCO. De
forma que los términos Ŷt2 , Ŷt3 , ... , son funciones no lineales de todos los regresores. La lógica del
contraste se basa en que, si el modelo no está bien especificado, la introducción de estos términos
no lineales mejorarı́a el ajuste del modelo.
Los pasos para implementar el contraste de Ramsey son los siguientes. En primer lugar, se estima
el modelo que incluye tantos términos no lineales como se desee, habitualmente, dos:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + γ1 Ŷt2 + γ2 Ŷt3 + ut
170
(6.4)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
La hipótesis nula de correcta especificación del modelo se expresarı́a en función de los parámetros
del modelo (6.4) como
H0 : γ1 = γ2 = 0
γ1 6= 0 y/o γ2 6= 0
Si no se rechaza la hipótesis nula, significa que no se ha detectado mala especificación del modelo.
Si, por el contrario, se rechaza, el modelo no es adecuado y se puede mejorar. Ahora bien, una
de las limitaciones de este contraste es que no da indicaciones sobre cuál serı́a la forma funcional
apropiada para el modelo. Gretl permite obtener el contraste de Ramsey automáticamente.
6.2.
Sobre constancia de los coeficientes: contraste de cambio estructural
En ocasiones puede ocurrir que la relación entre la variable dependiente y los regresores cambie a lo
largo del periodo muestral, es decir, puede que exista un cambio estructural. Por ejemplo, si estamos
analizando el consumo de tabaco y durante el perı́odo muestral se ha producido una campaña de
salud pública informando sobre los peligros que conlleva el consumo de tabaco, podemos pensar
que tras dicha campaña el comportamiento de la demanda de tabaco haya cambiado, reduciéndose
significativamente. Si esto ocurre no podemos especificar una única función de demanda para todo el
perı́odo muestral si no que deberı́amos especificar dos funciones, una hasta la campaña antitabaco
y otra para el perı́odo siguiente. Por tanto ante sospechas de que exista un cambio estructural
debemos de contrastar la estabilidad de los parámetros de nuestra relación.
El contraste de cambio estructural, llamado habitualmente contraste de Chow puede realizarse de
manera sencilla mediante el estadı́stico de sumas de cuadrados de los residuos sin más que especificar
adecuadamente el modelo restringido y el no restringido. También podemos llevarlo a cabo utilizando
variables ficticias. Hay cambio estructural cuando el modelo
Yt = α1 + β1 Xt + ut
t = 1, 2, . . . , t1 < T
(6.5)
t = t1 , t2 , . . . , T
(6.6)
y el modelo
Yt = α2 + β2 Xt + ut
se verifica sólo desde el momento t1 hasta T.
En este caso no podemos escribir una única ecuación del tipo:
Yt = α + βXt + ut
t = 1, 2, . . . , T
(6.7)
ya que no se verifica durante todo el periodo muestral y nuestro modelo estarı́a formado por las ecuaciones (6.5) y (6.6). Si existe cambio estructural rechazarı́amos H0 : α1 = α2 , β1 = β2 donde q = 2.
Este contraste podemos llevarlo a cabo utilizando el estadı́stico F basado en las sumas de cuadrados
de los residuos siendo en este caso el modelo restringido el recogido en la ecuación (6.7) mientras
171
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
que el modelo no restringido está constituido por las ecuaciones (6.5) y (6.6). Matricialmente:


·
¸
·
¸ ·
¸ α1
 β1 
Y1
i 1 X1 0 0
u1


Modelo no restringido ⇔
=
+
⇒ û0 û = û01 û1 + û02 û2
Y2
0 0
i2 X2  α2 
u2
β2
·
Modelo restringido ⇔
Y1
Y2
¸
·
=
i 1 X1
i 2 X2
¸·
α
β
¸
·
+
u1
u2
¸
⇒ û0r ûr
bajo el supuesto u1 ∼ N (0, σ12 ), u2 ∼ N (0, σ22 ) el estadı́stico de contraste y distribución es:
û0r ûr − û0 û/2 H0
∼ F(2,T1 +T2 −4)
û0 û/T1 + T2 − 4
Notar que para la validez del contraste además de suponer normalidad en las perturbaciones se
supone también que σ12 = σ22 .
6.3.
Sobre las perturbaciones: contrastes de heterocedasticidad y ausencia de correlación
6.3.1.
Contraste de heterocedasticidad
Hasta el momento uno de los supuestos básicos del modelo de regresión lineal es que la varianza
de cada término de perturbación ui condicionada a los valores de las variables explicativas, es
constante e igual a σ 2 . Llamábamos a este supuesto homocedasticidad y lo denotábamos: V (ui ) =
σ 2 ó lo que es igual E(u2i ) = σ 2 ∀i. La varianza σ 2 es una medida de dispersión de ui alrededor
de su media , E(ui ) = 0, o equivalentemente, una medida de dispersión de la variable dependiente
Yi alrededor de su media β1 + β2 X2i + . . . + βk Xki . Ası́, homocedasticidad significa que la dispersión
es la misma a través de todas las observaciones.
Supongamos que disponemos de observaciones sobre consumo y renta para un conjunto de familias,
en un año determinado. Las familias con rentas bajas no tienen mucha flexibilidad en sus gastos, en
general el grueso de la misma se gastará en cosas básicas, por ello la forma de consumo entre familias
de renta baja no variará demasiado. Sin embargo, las familias de rentas altas tienen más posibilidades
de consumo, ser grandes consumidores o ahorradores o llevar un gasto equilibrado. En cualquier caso
su consumo puede ser muy distinto entre sı́ por lo que pueden tener una gran dispersión alrededor
de su consumo medio mientras que las familias con rentas bajas no. En esta situación suponer que
existe homocedasticidad no es sensato, deberı́amos suponer que existe heterocedasticidad.
Llamamos heterocedasticidad al caso en que la varianza del término de error varı́a a través del
tiempo si miramos a series temporales, V (ut ) = σt2 , o cambia de una observación a otra si miramos
datos de sección cruzada, (familias, paı́ses, etc.), V ar(ui ) = σi2 . Seguimos suponiendo que no existe
autocorrelación entre perturbaciones por lo que sólo consideramos la existencia de heterocedasticidad. La existencia de heterocedasticidad es más habitual en datos de sección cruzada.
172
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
En la Figura 5.1 se puede apreciar la diferencia entre el comportamiento de las perturbaciones
homocedásticas, a la izquierda y heterocedásticas, a la derecha. En la figura de la izquierda se
puede observar que la varianza condicional de Yi a las Xi permanece igual sin importar los valores
que tome la variable X. Recordar que la varianza condicional de Yi es la misma que la de ui , por
tanto, en el gráfico estamos observando cómo la varianza de la perturbación permanece constante
independientemente del valor que tome el regresor. En la figura de la derecha se puede observar que
la varianza de Yi aumenta a medida que Xi aumenta y por tanto hay heterocedasticidad:
E(u2i ) = σi2
f
f
(
u
(
u
)
)
Y
Y
X
X
α +β
X
1
X
X
6
α+β
6
1
2
X
2
X
X
6
6
X
X
Figura 6.2: Perturbaciones homocedásticas versus heterocedásticas
La existencia de heterocedasticidad puede aparecer en numerosas aplicaciones económicas sin embargo, es más habitual en datos de sección cruzada. A continuación veremos algunas situaciones en
las cuales las varianzas de ui pueden no ser constantes.
• En datos de sección cruzada.
Ejemplo 6.1 Supongamos que tenemos datos para diferentes comunidades autónomas españolas en el año 2005 sobre gasto sanitario agregado, GS, renta personal disponible, R, el
porcentaje de población que supera los 65 años, SEN y población, P OP , con los que estimar
el siguiente modelo:
GSi = β1 + β2 Ri + β3 SENi + β4 P OPi + ui
i = 1, . . . , N
(6.8)
Las comunidades con más población y/o mayor porcentaje de población con edad superior
a 65 años tendrán mayor gasto sanitario que aquellas con menor población o más joven.
En esta situación suponer que la dispersión de los gastos sanitarios es la misma para todas
las comunidades con distinto nivel de población y composición de la misma no es realista,
y se deberı́a proponer que la varianza de la perturbación sea heterocedástica V ar(ui ) =
σi2 , permitiendo por ejemplo que varı́e en función creciente con la población, es decir, σi2 =
σ 2 P OPi . Incluso podemos pensar que varı́e en función creciente con el porcentaje de población
mayor de 65 años, en cuyo caso propondrı́amos V ar(ui ) = σ 2 SENi o con ambas variables,
por lo que la forma funcional pudiera ser V ar(ui ) = σ 2 (a P OPi + b SENi ).
173
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejemplo 6.2 Un ejemplo recurrente para mostrar la heterocedasticidad es el estudio de la
relación entre consumo y renta. Supongamos que tenemos datos sobre renta, R, y gasto en
consumo, C, para N familias, con los que estimar el modelo:
Ci = β1 + β2 Ri + ui
i = 1, . . . , N
(6.9)
Las familias con mayor renta, una vez satisfechas sus necesidades primordiales tienen mayores
posibilidades de decidir cuánto ahorrar y cuánto consumir, por lo que es habitual encontrar
una mayor variabilidad en el gasto realizado por familias de renta alta que por familias de
renta baja. En esta situación suponer que la dispersión de los gastos de consumo es la misma
para todas las familias con distinto nivel de renta no es realista y se deberı́a proponer que la
varianza de la perturbación sea heterocedástica V ar(ui ) = σi2 , permitiendo por ejemplo que
varı́e en función creciente con la renta de las familias, es decir, σi2 = σ 2 Ri .
Ejemplo 6.3 Un fenómeno parecido ocurre con las empresas que deben decidir qué porcentaje de sus beneficios, B, deben repartir como dividendos, D. Las empresas con mayores
beneficios tienen un margen de decisión muy superior al fijar su polı́tica de dividendos. Al
estimar el modelo:
Di = β1 + β2 Bi + ui
i = 1, . . . , N
(6.10)
cabrı́a esperar que la varianza de ui dependa del nivel de beneficios de la empresa i-ésima y
podrı́amos proponer que por ejemplo, E(u2i ) = σi2 = σ 2 Bi .
• La heterocedasticidad también puede aparecer como consecuencia de la agregación de
datos. En este caso la varianza puede depender del número de observaciones del grupo.
Ejemplo 6.4
modelo:
Supongamos un investigador que desea estimar los coeficientes del siguiente
Yj = β1 + β2 Xj + uj
j = 1, . . . , N
(6.11)
donde uj ∼ N (0, σ 2 ), es decir, la varianza de la perturbación es homocedástica. Supongamos
que el número de observaciones N es tal que aconseja agrupar las observaciones en m-grupos
de ni observaciones cada uno. Supongamos que como observación del grupo i-ésimo se toma
la media aritmética dentro del grupo. El modelo a estimar serı́a:
Ȳi = β1 + β2 X̄i + ūi
i = 1, . . . , m
(6.12)
y la nueva perturbación ūi seguirá teniendo media cero, pero su varianza no será constante
ya que dependerá del número de observaciones dentro del grupo,
V ar(ūi ) =
σ2
ni
i = 1, . . . , m.
Si el número de observaciones dentro del grupo es el mismo en todos los grupos la varianza
de la perturbación ūi es homocedástica.
• Otro caso serı́a la existencia de un cambio estructural en varianza recogido por una
variable ficticia en la varianza de la perturbación.
174
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejemplo 6.5 Supongamos que se desea estudiar la relación entre producción, Y , y mano de
obra, X, para un conjunto de 20 trabajadores de los cuales 10 son mujeres y el resto hombres.
Si suponemos que la variabilidad de la producción es distinta para los hombres que para las
mujeres nuestro modelo a estimar serı́a:
Yi = β1 + β2 Xi + ui
i = 1, . . . , 20
(6.13)
donde ui ∼ (0, α1 + α2 Di ) siendo Di una variable ficticia que toma valor la unidad si la
observación corresponde a una mujer y cero en el caso contrario. En este caso:
V ar(ui ) = α1 + α2
V ar(ui ) = α1
para las observaciones correspondientes a las mujeres
para las observaciones correspondientes a los hombres
Suponiendo que las primeras diez observaciones corresponden a mujeres, la matriz de varianzas
y covarianzas del vector de perturbaciones serı́a la siguiente:
¸
·
(α1 + α2 )I10
0
0
E(uu ) =
0
α1 I10
Consecuencias de ignorar la heterocedasticidad
Vamos a analizar las consecuencias de utilizar el estimador MCO en presencia de heterocedasticidad:
• En las propiedades del estimador MCO: El estimador MCO bajo heterocedasticidad
sigue siendo una combinación lineal de las perturbaciones. También sigue siendo insesgado ya
que la media de la perturbación es cero. Sin embargo, no va a ser de varianza mı́nima ya que
la matriz de varianzas y covarianzas σ 2 (X 0 X)−1 obtenida en el Tema 5 es mı́nima bajo las
hipótesis básicas. Ahora, sin embargo, éstas no se cumplen: estamos considerando el supuesto
de heterocedasticidad por tanto E(u2i ) 6= σ 2 , el Teorema de Gauss-Markov no se cumple y
el estimador no es de varianza mı́nima. Ahora la matriz de varianzas y covarianzas de los
coeficientes obtenida bajo este supuesto no vendrá dada por la expresión σ 2 (X 0 X)−1 y por
tanto no será mı́nima. El estimador no es eficiente.
• En los contrastes de hipótesis: Una forma sencilla de pensar en las consecuencias sobre
los contrastes de hipótesis es pensar que dado que el estimador no es el mejor de los posibles
la inferencia realizada con el mismo no será fiable.
Formalmente lo que está ocurriendo es que el estimador de σ 2 propuesto en el Tema 5 ahora
no es insesgado por lo que los estadı́sticos de contraste habituales no tendrán las distribuciones
t y F habituales. Por tanto, los contrastes no son válidos.
La existencia de heterocedasticidad en ui tiene consecuencias en los estimadores MCO, en concreto
ya no son los estimadores de menor varianza entre los estimadores lineales e insesgados. Existe otro
estimador, el estimador de Mı́nimos Cuadrados Generalizados que es el de menor varianza entre
los lineales e insesgados y para el cual la inferencia es válida. Las consecuencias y soluciones del
175
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
problema no forman parte del contenido de este curso. Sin embargo, en la siguiente sección vamos
a aprender a detectar la existencia de heterocedasticidad con un estadı́stico de contraste sencillo y
que aparece por defecto en los resultados de estimación MCO de gretl. En cursos más avanzados
aprenderéis a solucionar el problema.
Detección de la heterocedasticidad
Sabemos que en presencia de heterocedasticidad el estimador MCO es ineficiente, y los contrastes de
hipótesis no son válidos por ello es importante detectar la posible existencia de heterocedasticidad.
La determinación de la existencia de heterocedasticidad sólo podremos conseguirla aplicando un
test de contraste para heterocedasticidad, sin embargo podemos aproximarnos gráficamente al problema realizando un estudio visual de los residuos del modelo. Los residuos MCO son un estimador
insesgado de ui aún en presencia de heterocedasticidad. Usaremos el residuo al cuadrado como aproximación al comportamiento de la varianza de la perturbación. Para ver si puede existir un problema
de heterocedasticidad podemos empezar por dibujar el cuadrado de los residuos MCO contra la variable de la cual sospechamos que depende σ 2 , es decir, que sospechamos causa la heterocedasticidad
Nuestro objetivo es claro: Detectar la existencia de heterocedasticidad en las perturbaciones de un modelo. La primera aproximación al objetivo es el estudio de los gráficos de residuos
y de las variables del modelo.
6.3.2.
Detección gráfica.
La aplicación del estimador de MCG y algunos contrastes de heterocedasticidad requieren conocer
la forma funcional de la varianza de la perturbación. Si suponemos que la varianza de la perturbación depende de uno o más regresores, u otras variables conocidas, un instrumento adecuado para
aproximarnos a la misma serı́a llevar a cabo un análisis de los residuos MCO donde no hemos tenido
en cuenta la existencia de heterocedasticidad. Aunque ûM CO,i no es lo mismo que ui la detección
de patrones sistemáticos en la variabilidad de los residuos MCO nos indicará la posible existencia
de heterocedasticidad en las perturbaciones. Además, puede indicarnos una posible forma funcional
de la misma.
Consideramos el modelo (6.8) recogido en el Ejemplo 6.1:
GSi = β1 + β2 Ri + β3 SENi + β4 P OPi + ui
i = 1, . . . , N
donde suponemos E(ui ) = 0 ∀i y E(ui uj ) = 0 ∀i, j i 6= j. Si sospechamos que ui es heterocedástica debido a la variable P OP , podemos intentar detectar la existencia de heterocedasticidad
en las perturbaciones del modelo ayudándonos del gráfico de los residuos MCO, (ûM CO,i ), frente a
la variable P OPi .
Si el gráfico es como el recogido en la Figura 6.3 pensaremos que la variabilidad de los residuos
ûM CO,i se incrementan con P OPi y que el incremento es directamente proporcional. Ası́, podrı́amos
176
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Residuos de la regresión (= GS observada − estimada)
5
4
3
residuos MCO
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
5
10
15
20
25
30
POP
Figura 6.3: Residuos MCO versus P OP
proponer, por ejemplo:
E(u2i ) = σ 2 P OPi
i = 1, 2, . . . , N
Si el gráfico de los residuos MCO frente a P OP hubiera sido como el recogido en la Figura 6.4
supondrı́amos que el aumento en la varianza de ui es inversamente proporcional a P OPi y propondrı́amos:
E(u2i ) = σ 2 P OPi−1
i = 1, 2, . . . , N
5
4
3
residuos MCO
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0.5
1
1.5
2
POP
Figura 6.4: Residuos MCO versus P OP
También podemos optar por dibujar la serie de los residuos al cuadrados MCO frente a la variable
que creemos causa la heterocedasticidad como se muestra en la Figura 6.5. En el gráfico de la
izquierda se muestran los pares (SENi , ûM CO,i ), en el gráfico de la derecha se muestran los pares
(SENi , û2M CO,i ). Ambos gráficos muestran la misma información, muestran que la variabilidad de los
residuos se incrementa con SEN y podrı́amos proponer, por ejemplo V ar(ui ) = E(u2i ) = σ 2 SENi .
177
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
20
Residuos de la regresión (= GS observada − estimada)
5
18
4
16
Cuadrado de los Residuos MCO
3
residuos MCO
2
1
0
−1
14
12
10
8
6
−2
4
−3
2
−4
0
6
8
10
12
14
16
18
6
8
10
12
SEN
14
16
18
SEN
Figura 6.5: Residuos MCO y sus cuadrados versus SEN
En general a priori no se conocerá cuál de las variables exógenas genera la heterocedasticidad por
lo que resulta aconsejable estudiar los gráficos de los residuos de MCO, contraponiéndolos a cada
una de las variables exógenas del modelo, como estamos haciendo al estudiar los residuos frente a
P OPi y frente a SENi . Notar que ambas variables parecen afectar a la varianza de la perturbación,
por ello estarı́a justificado proponer V ar(ui ) = (a P OPi + b SENi ), donde a y b son desconocidos y
el factor de escala es la unidad, σ 2 = 1.
2
1.5
1
Residuos MCO
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
5
10
15
20
25
30
POP
Figura 6.6: Perturbaciones homocedásticas
Si la gráfica entre ûM CO,i y P OPi hubiera resultado como la de la Figura 6.6, concluirı́amos que
la varianza de la perturbación no depende de P OPi ya que no se aprecia ningún patrón de comportamiento y parece que hay una distribución aleatoria de los pares (P OPi , ûi ). En esta situación
procede analizar los residuos frente al resto de regresores del modelo.
Las formas anteriores no son las únicas. Si recordamos, en el Ejemplo 3.6 se suponı́a una situación
donde hombres y mujeres en una empresa tenı́an diferente productividad y se suponı́a que V ar(ui ) =
α1 + α2 Di siendo Di una variable ficticia que toma valor uno si la observación corresponde a una
mujer y cero en caso contrario. En esta situación esperarı́amos un gráfico como el recogido en la
178
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Figura 6.7 donde claramente la dispersión de los residuos para las mujeres es mucho mayor que para
los hombres.
800
600
400
Residuos MCO
200
0
-200
-400
-600
-800
0
1
D_i
Figura 6.7: Residuos MCO frente a una variable ficticia
Como conclusión diremos que al analizar los gráficos de la relación residuos MCO, o sus cuadrados, con cada uno de los regresores lo que intentaremos detectar visualmente es un crecimiento o
decrecimiento en la variabilidad de los residuos con respecto a la variable en cuestión.
Sin embargo el estudio gráfico de los residuos no es determinativo. Para determinar si existe o no
heterocedasticidad tendremos que realizar un contraste de existencia de heterocedasticidad con un
estadı́stico adecuado. Estadı́sticos de contraste de existencia de heterocedasticidad hay muchos y
unos se adecúan más a unas situaciones que otros y en general necesitan suponer una forma funcional
para σi2 . El análisis gráfico no es una pérdida de tiempo ya que la relación entre Xki y ûM CO,i nos
indicará una posible forma funcional (de heterocedasticidad) para la varianza de la perturbación y
puede indicarnos cuál es el test de contraste más adecuado. En este tema vamos a estudiar un único
test de heterocedasticidad que tiene carácter general y no exige supuestos sobre el comportamiento
de σi2 . Además gretl lo proporciona directamente.
6.3.3.
Contraste de White
El contraste de heterocedasticidad propuesto por White en 1980 es un contraste paramétrico, de
carácter general, que no precisa especificar la forma que puede adoptar la heterocedasticidad. En
este sentido puede calificarse de robusto. Antes de aplicar el contraste con gretl vamos a desarrollar
paso a paso el contraste para entender su mecanismo. Para la ilustración vamos a suponer que
queremos contrastar la existencia de heterocedasticidad en el modelo:
Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui
Se procede de la forma siguiente:
1. Estimamos por MCO el modelo original y calculamos los residuos de MCO, ûM CO,i .
179
(6.14)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2. Estimamos la regresión auxiliar: el cuadrado de los residuos mı́nimo-cuadráticos de la regresión
anterior, sobre una constante, los regresores del modelo original, sus cuadrados y productos
cruzados de segundo orden, evitando los redundantes:
2
2
û2i = α1 + α2 X2i + α3 X3i + α4 X2i
+ α5 X3i
+ α6 X2t X3i + ωi
(6.15)
Contrastar la hipótesis nula de homocedasticidad es equivalente a contrastar que todos los
coeficientes de esta regresión, exceptuando el término independiente son cero. Es decir:
H0 : α2 = α3 = . . . = α6 = 0
3. El estadı́stico de contraste es λ = N R2 donde R2 es el coeficiente de determinación de la
regresión auxiliar (6.15). Rechazamos H0 si N R2 > χ(p)|α siendo p el número de coeficientes
en la regresión auxiliar sin incluir el término independiente, en el ejemplo p = 5.
Observaciones:
1. Este contraste es muy flexible ya que no especifica la forma funcional de heterocedasticidad,
pero por otro lado, si se rechaza la hipótesis nula de homocedasticidad no indica cuál puede
ser la dirección a seguir.
2. A la hora de incluir los regresores de la regresión auxiliar debemos ser muy cuidadosos para
no incurrir en multicolinealidad exacta, por ejemplo en el caso de las variables ficticias con
valores 0 y 1, en este caso el cuadrado de la variable coincide con ella misma.
3. También pueden surgir problemas en modelos con un alto número de regresores que puede
conllevar que en la regresión auxiliar el número de variables sea tal que no supere al número
de observaciones y nos quedemos sin grados de libertad. Si éste es el caso podemos optar por
regresar el cuadrado de los residuos MCO sobre Ŷi y Ŷi2 ya que Ŷi es el ajuste de Yi usando
el estimador MCO con todos los regresores originales.
4. El contraste de White puede recoger otro tipo de problemas de mala especificación de la
parte sistemática, omisión de variables relevantes, mala forma funcional etc. Esto es positivo
si se identifica cuál es el problema, en caso contrario, la solución que se tome puede estar
equivocada. Si la detección de heterocedasticidad se debe a un problema de mala especificación
la solución pasa por especificar correctamente el modelo.
6.3.4.
Contraste de ausencia de correlación temporal
En el modelo de regresión, el término de perturbación engloba aquellos factores que determinando la
variable endógena, no están recogidos en la parte sistemática del modelo. Estos factores pueden ser
innovaciones, errores de medida en la variable endógena, variables omitidas, etc. Hasta el momento
uno de los supuestos básicos del modelo de regresión lineal es que la covarianza entre perturbaciones
de distintos periodos es cero. Sin embargo, si estos factores están correlacionados en el tiempo o
en el espacio, entonces no se satisface la hipótesis de NO autocorrelación que escribı́amos como
180
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
E(ut us ) = 0 ∀t, s t 6= s. Este fenómeno se conoce con el nombre de autocorrelación: correlación serial, en el caso de series temporales y correlación espacial en el caso de datos de sección
cruzada. En general es más habitual en datos de serie temporal.
Concepto de autocorrelación:
Existe autocorrelación cuando el término de error de un modelo econométrico está correlacionado
consigo mismo. Es decir, la covarianza entre las perturbaciones es distinta de cero para diferentes
momentos del tiempo (o entre distintos individuos)1 :
E(ut us ) 6= 0 ∀t, s
t 6= s
Esta dinámica, aunque no sea relevante en media, refleja un patrón sistemático que tenemos que
considerar a la hora de estimar el modelo.
La existencia de autocorrelación supone el incumplimiento de una de las hipótesis básicas sobre
la perturbación de forma similar a la existencia de heterocedasticidad. Esta afecta a las varianzas
mientras que la autocorrelación afecta a las covarianzas. En cualquier caso, las consecuencias sobre
el estimador MCO son las mismas: el estimador no es de varianza mı́nima, aunque sigue siendo lineal
e insesgado. Los contrastes de hipótesis no son válidos por las mismas razones que en el supuesto de
heterocedasticidad. Si sospechamos que en un modelo la perturbación está autocorrelada, primero
deberı́amos cerciorarnos realizando un contraste y en el caso de que ésta exista es importante
estimar el modelo bajo estos nuevos supuestos con un estimador alternativo a MCO que sea de
varianza mı́nima y válido para hacer inferencia. Este estimador queda fuera del contenido de este
tema, sin embargo, aprenderemos a detectar el problema mediante un contraste y estudiaremos un
proceso sencillo para recoger el comportamiento de la perturbación bajo autocorrelación: el proceso
autorregresivo de primer orden.
Causas de autocorrelación
Como decı́amos al iniciar este capı́tulo el término de perturbación de un modelo engloba aquellos
factores que, determinando la variable endógena, no están recogidos en la parte sistemática del
modelo. Factores como variables omitidas, mala especificación de la forma funcional o errores de
medida, entre otros, son causa de autocorrelación. Repasaremos algunos de ellos:
• Shocks aleatorios prolongados
Sea el modelo:
Rt = β1 + β2 RMt + ut
t = 1, 2, . . . , T
donde Rt es la rentabilidad de un activo en el periodo t y RMt es la rentabilidad del mercado
en dicho periodo t. Si en un momento dado se produce una caı́da del mercado, la rentabilidad
1
No es preciso que ut esté correlacionada consigo misma en cada dos instantes distintos del tiempo, sino que basta
que la correlación se extienda a algunos periodos.
181
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
del activo se verá afectada a la baja y como consecuencia la rentabilidad obtenida será menor
que la esperada. Este efecto se prolongará en el tiempo hasta que poco a poco los inversores
recuperen la confianza y el mercado vuelva a estabilizarse. El shock se recogerá en el término
de perturbación. Si por ejemplo, la caı́da se produce en (t − 1), lo que estamos diciendo es que
la perturbación en t dependerá de lo ocurrido en (t − 1) vı́a ut−1 .
• Existencia de ciclos y tendencias
Si estamos analizando un modelo econométrico cuya variable endógena presenta ciclos y/o
tendencias que no se explican a través de las variables exógenas, la perturbación recoge dichas
estructuras, presentando un comportamiento de autocorrelación. En este caso, los residuos
presentan agrupaciones de desviaciones por encima del promedio (en la parte alta del ciclo) y
agrupaciones de desviaciones por debajo del promedio (parte baja del ciclo).
• Relaciones no lineales
Supongamos que la verdadera relación entre los tipos de interés, rt , y el stock de Deuda
Pública, Dt , es cuadrática:
rt = β1 + β2 Dt + β3 Dt2 + ut
t = 1, 2, . . . , T
β2 > 0, β3 < 0
Este modelo implica que los tipos de interés aumentan al crecer el stock de deuda pública,
aunque menos que proporcionalmente, puesto que se tiene:
∂rt
= β2 + 2β3 Dt < β2
∂Dt
tanto menor cuanto mayor es Dt . Pero sin embargo se especifica y se estima un modelo lineal:
rt = β1 + β2 Dt + ut
t = 1, 2, . . . , T
En este caso la curvatura de la parte sistemática pasa a ser recogida por la perturbación.
Los residuos presentarán una racha de residuos negativos seguida de otra racha de residuos
positivos para seguir con otra negativa.
• Variables omitidas relevantes correlacionadas
Si el modelo realmente se especifica como:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut
t = 1, 2, . . . , T
ut = Yt − β1 − β2 X2t − β3 X3t
ût = Yt − β̂1 − β̂2 X2t − β̂3 X3t
Pero estimamos:
Yt = β1 + β2 X2t + vt
t = 1, 2, . . . , T
vt = Yt − β1 − β2 X2t = ut + β3 X3t
v̂t = Yt − β̃1 − β̃2 X2t = ût − (β̃1 − β̂1 ) − (β̃2 − β̂2 )X2t + β̂3 X3t
En este contexto de omisión recordemos que los estimadores MCO son sesgados en general.
En consecuencia, tras un análisis de los residuos v̂t tanto gráfico como mediante tests, es
muy probable que si la variable omitida está correlacionada o presenta ciclos o tendencias el
investigador llegue a la conclusión de que: Cov(vt , vs ) 6= 0. De todas formas hay que tener en
cuenta que no siempre que se omite una variable relevante se causa autocorrelación.
182
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Proceso autorregresivo de primer orden, AR(1)
Existen numerosos procesos capaces de reproducir estructuras de autocorrelación en la perturbación,
sin embargo el proceso autorregresivo de primer orden es el proceso de autocorrelación más sencillo
y uno de los que mejor se suele ajustar a datos económicos2 . Se especifica como:
ut = ρut−1 + ²t
t = 1, 2, . . . , T
de forma que la perturbación en el periodo t depende de la perturbación del periodo anterior (t − 1)
más un término aleatorio (o innovación) ²t cuyas caracterı́sticas son:
E(²t ) = 0 ∀t
E(²2t ) = σ²2 ∀t
E(²t ²s ) = 0 ∀t, s
t 6= s
²t ∼ iid(0, σ²2 )
y que habitualmente se le llama ruido blanco3 . La especificación completa del MRLG cuando la
perturbaciones presentan autocorrelación es:
Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + . . . + βK XKt + ut
ut = ρut−1 + ²t
²t ∼ iid(0, σ²2 )
t = 1, 2, . . . , T
|ρ| < 1
El coeficiente ρ mide la correlación entre ut y ut−1 y debe cumplir que |ρ| < 1 para que el proceso
no sea explosivo. Se le denomina coeficiente de autocorrelación de orden uno (o primer orden) ya
que uno es el número de periodos entre ut y ut−1 :
ρ= p
Cov(ut , ut−1 )
p
V ar(ut ) V ar(ut−1 )
−1<ρ<1
Si la covarianza es positiva se le denomina correlación positiva y si es negativa, correlación negativa.
Dado que ut = Yt − E(Yt |{Xit }K
la perturbación representa la diferencia entre el comportai=1 )
miento observado y el comportamiento promedio. Dados los posibles valores de ρ tenemos que:
i) Si ρ > 0 entonces un valor elevado de ut genera un valor de Yt por encima del promedio y
tendrá mayor probabilidad de ir seguido por un valor elevado de ut+1 y ası́ sucesivamente.
ii) Si ρ < 0 un valor alto de ut irá seguido por un valor bajo de ut+1 y éste por uno alto de ut+2
y ası́ sucesivamente.
La relación entre la perturbación ut y la innovación ²t se recoge en el diagrama siguiente:
ut−2 −→
↑
²t−2
ut−1 −→
↑
²t−1
ut −→
↑
²t
ut+1
↑
²t+1
2
El proceso autorregresivo de orden uno no es el único proceso que recoge dinámica en la perturbación. El proceso
autorregresivo más general de todos es el proceso autorregresivo de orden p, AR(p):
ut = ρ1 ut−1 + ρ2 ut−2 + . . . + ρp ut−p + ²t
Además existen otros procesos alternativos a los autorregresivos.
3
Si nos fijamos, ²t cumple las hipótesis básicas sobre la perturbación, es por tanto homocedástica y no autocorrelada.
183
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
por lo que cada innovación influye sobre la perturbación en el mismo periodo o perı́odos posteriores,
pero nunca sobre los valores anteriores, es decir: E(²t ut−s ) = 0 s > 0. Además en el diagrama se
puede observar que ut no depende directamente de ut−2 pero sı́ lo hace a través de ut−1 , por tanto
ut está correlado con todos las perturbaciones pasadas.
u
t
u
t
t
t
Figura 6.8: Proceso autorregresivo de orden uno
En la izquierda de la Figura 6.8 se observa un proceso autorregresivo de primer orden con parámetro
ρ positivo. En ella podemos observar una racha de residuos positivos seguidos de una racha de
residuos negativos y ası́ sucesivamente. En cambio, cuando el parámetro del proceso autorregresivo
es negativo, los signos de los residuos se alternan como podemos ver en la figura de la derecha del
mismo gráfico.
Detección de la autocorrelación
En la práctica no se conoce a priori si existe autocorrelación ni cuál es el proceso más adecuado
para modelarla. Para determinar su existencia es necesario contrastar dicha hipótesis mediante un
estadı́stico de contraste.
Si embargo, ningún contraste de autocorrelación debe excluir un examen riguroso de los residuos
generados en la estimación del modelo. El gráfico de los mismos puede indicarnos la existencia de
autocorrelación. Dado que los residuos son una aproximación a la perturbación, la existencia de
patrones o comportamientos sistemáticos en los mismos indicarı́a la posible existencia de autocorrelación en ut . Por ejemplo, podemos esperar que el gráfico de la evolución temporal de ût,M CO se
comporte de forma similar a lo mostrado por la Figura 6.8. Sin embargo, también podemos dibujar
la evolución temporal de ût,M CO contra la de ûs,M CO para s = t − 1. Si encontramos que la mayorı́a
de los puntos en dicho gráfico se hallan en el primer o tercer cuadrante, izquierda de la Figura 6.9,
ello es un indicio de autocorrelación positiva. Si se hallan en el segundo y cuarto cuadrante, derecha
de la Figura 6.9, indicará autocorrelación negativa.
Tras el análisis gráfico, si sospechamos que existe autocorrelación debemos contrastarla con un
estadı́stico de contraste. Existen varios estadı́sticos de contraste pero en este tema vamos a estudiar
sólo uno, el estadı́stico de Durbin Watson, especı́fico para contrastar la existencia de un proceso
autorregresivo de primer orden.
184
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
u
t
u
t
u
u
s
s
Figura 6.9: Perturbaciones AR(1) positivo versus AR(1) negativo
Contraste de Durbin Watson
Durbin y Watson propusieron en 1951 un estadı́stico para contrastar la existencia de un proceso
AR(1) en el término de perturbación. La hipótesis nula es la no existencia de autocorrelación:
H0 : ρ = 0
frente a la alternativa
Ha : ρ 6= 0
en ut = ρut−1 + ²t
²t ∼ (0, σ²2 )
y se contrasta mediante el estadı́stico:
PT
2
t=2 (ût − ût−1 )
PT
2
t=1 ût
DW =
donde ût son los residuos mı́nimo-cuadráticos ordinarios de estimar el modelo original sin tener en
cuenta la existencia de autocorrelación en las perturbaciones. Gretl proporciona el valor de este
estadı́stico entre los resultados de la estimación MCO. Sin embargo antes de utilizarlo vamos a
estudiar su interpretación y manejo sin recurrir a gretl.
• Interpretación del estadı́stico DW:
Si el tamaño muestral es suficientemente grande4 podemos emplear la relación DW ' 2(1 − ρ̂) en
base a la cual podemos establecer el siguiente comportamiento en los residuos:
• Si existe autocorrelación positiva de primer orden, valores positivos del término de error ut
tiendan a ir seguidos de valores positivos y asimismo, valores negativos tiendan a ir seguidos
4
Teniendo en cuenta las aproximaciones:
T
X
û2t '
t=2
con lo que
DW '
2
PT
t=2
û2t − 2
PT
PT
t=2
2
t=1 ût
T
X
û2t−1 '
û2t
t=1
t=2
ût ût−1
T
X
PT
ût ût−1
' 2(1 − ρ̂)
' 2 − 2 Pt=2
T
2
t=2 ût−1
donde ρ̂ es el estimador de ρ por MCO
P en el modelo ut = ρut−1 + ²t , empleando como aproximación de ut el residuo
û û
MCO, es decir, ût = ρût−1 + ²t y ρ̂ = P ût 2 t−1 .
t−1
185
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
de valores negativos. Dado que la aproximación a la perturbación es el residuo, los patrones
en la perturbación serán detectados en el residuo. Ası́, observaremos agrupaciones de residuos
positivos seguidas de agrupaciones de residuos negativos. En estas circunstancias, generalmente |ût − ût−1 | < |ût | ⇒ (ût − ût−1 )2 < û2t y el numerador del estadı́stico “será pequeño” en
relación al denominador, con lo que el estadı́stico “será pequeño”. En consecuencia cuanto
más cercano esté el parámetro ρ a la unidad más próximo a cero estará el DW. En el extremo
positivo tenemos que ρ −→ 1 ⇒ DW −→ 0.
• Si existe autocorrelación negativa de primer orden, valores positivos de ût tienden a ir seguidos
de valores negativos, en este caso |ût − ût−1 | > |ût | ⇒ (ût − ût−1 )2 > û2t con lo que el estadı́stico
DW tenderá a tomar valores grandes. En el extremo negativo tenemos que ρ −→ −1 ⇒
DW −→ 4.
A partir de la relación DW ' 2(1 − ρ̂) se puede
estadı́stico DW.
0 < ρ̂ < 1
ρ̂ = 0
−1 < ρ̂ < 0
establecer el rango de valores que puede tomar el
DW ∈ (0, 2)
DW ' 2
DW ∈ (2, 4)
La distribución del estadı́stico DW bajo H0 depende de la matriz de regresores X por lo que
los valores crı́ticos del contraste también serán diferentes para cada posible X. Durbin y Watson
tabularon los valores máximo (dU ) y mı́nimo (dL ) que puede tomar el estadı́stico independientemente
de cuál sea X, y tal que dL < DW < dU . La distribución de dL y dU depende del tamaño de la
muestra, T, y de K 0 que denota el número de variables explicativas del modelo exceptuando el
término independiente.
• Contraste de existencia de autocorrelación positiva:
H0 : ρ = 0
Ha : ρ > 0 en ut = ρut−1 + ²t |ρ| < 1 ²t ∼ iid(0, σ²2 )
1. Si DW < dL se rechaza la H0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto existe
autocorrelación positiva.
2. Si DW > dU no se rechaza la H0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto no existe
autocorrelación positiva.
3. Si dL < DW < dU estamos en una zona de incertidumbre y no podemos concluir si existe o
no autocorrelación positiva de primer orden.
• Contraste de existencia de autocorrelación negativa:
H0 : ρ = 0
Ha : ρ < 0 en ut = ρut−1 + ²t |ρ| < 1 ²t ∼ iid(0, σ²2 )
1. Si DW < 4 − dU no se rechaza la H0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto no
existe autocorrelación negativa.
186
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
2. Si DW > 4 − dL se rechaza la H0 para un nivel de significatividad α dado, por tanto existe
autocorrelación negativa.
3. Si 4 − dU < DW < 4 − dL estamos en una zona de incertidumbre y como en el caso anterior,
no podemos concluir si existe o no autocorrelación negativa de primer orden.
Gráficamente:
H0 : ρ = 0
Autocorrelación positiva
Autocorrelación negativa
←− − − − − Ha : ρ > 0 − − − −− −→ ←− − − − − − − −Ha : ρ < 0 − − − −− −→
|
|
|
|
|
Rechazar |
| Aceptar
ρ=0
|
|
Rechazar
ρ=0
| Duda |
|
|
Duda
|
ρ=0
|
|
|
|
|
0
dL
dU
2
4 − dU
4 − dL
4
Si el resultado del contraste es que existe autocorrelación y ésta no es debida a una mala especificación del modelo, éste no debe ser estimado por MCO ya que este estimador es ineficiente. Si la
autocorrelación es originada por una mala especificación del modelo primero se ha de corregir esta
especificación y una vez el modelo esté correctamente especificado analizar las propiedades de la
perturbación y actuar en consecuencia.
• Observaciones sobre el contraste de Durbin Watson:
1. El contraste de Durbin Watson también se puede considerar un contraste de mala especificación del modelo. La omisión de variables relevantes correlacionadas, una forma funcional
inadecuada, cambios estructurales no incluidos en el modelo, etc., pueden originar un estadı́stico DW significativo. Esto nos puede llevar a errores si consideramos que hay evidencia
de autocorrelación y se modela un proceso AR(1). Por otro lado, si ut sigue un proceso distinto de un AR(1), es probable que el estadı́stico DW lo detecte. Por lo tanto, el estadı́stico
de Durbin Watson es útil porque nos indica la existencia de problemas en el modelo, pero a
veces no nos ayuda a establecer cuál es la estructura real. En caso de no rechazar la H0 , podemos afirmar que no tenemos un AR(1), pero no sabemos si tenemos alguna otra estructura
alternativa.
2. Por otro lado el estadı́stico DW sólo debe aplicarse cuando los regresores son no estocásticos,
en presencia de regresores aleatorios como la variable endógena retardada no tiene validez.
3. Cuando el estadı́stico DW cae en zona de duda, y si no podemos llevar a cabo un contraste
alternativo, no debemos concluir que no existe autocorrelación. El procedimiento conservador
aconseja rechazar la hipótesis nula y estimar por un estimador alternativo a MCO ya que las
consecuencias de ignorar su existencia cuando sı́ la hay son más graves que las correspondientes
al caso contrario.
187
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
6.4.
Predicción
Aunque pueda considerarse que la obtención de un buen conjunto de estimaciones es el objetivo
principal de la Econometrı́a, a menudo también tiene gran importancia el logro de unas predicciones
precisas. Supongamos que con N observaciones se ha estimado el modelo:
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui .
Dada una nueva observación de las variables explicativas,
£
¤
Xp0 = 1 X2p · · · XKp
p 6∈ {1, 2, . . . , N }
se puede utilizar el modelo estimado por MCO para predecir el valor que tendrá la variable endógena
(desconocido en ese momento). Dado el modelo de regresión, la ecuación para Yp es:
Yp = β1 + β2 X2p + . . . + βK XKp + up
Para abreviar, utilizaremos la expresión vectorial:
Yp = Xp0 β + up
Dada la información muestral disponible (no conocemos β ni up ) la predicción por punto de Yp
es:
Yˆp = Xp0 β̂M CO
O lo que es lo mismo:
Ŷp = β̂1 + β̂2 X2p + . . . + β̂K XKp .
Hay cuatro fuentes potenciales de error al realizar una predicción:
1. El error de especificación. El modelo de regresión en que nos basamos puede ser incorrecto:
pueden faltar variables explicativas que afectan de manera clave a Y , puede que la forma
funcional propuesta no sea correcta, puede que se no se cumpla alguna hipótesis básica, etc.
2. Error en los valores de Xp . La predicción se hace para unos valores dados de Xp , pero estos
pueden ser desconocidos en el momento en que se hace la predicción.
3. El error muestral. No hay más remedio que usar β̂ en vez de los valores verdaderos β para
hacer la predicción.
4. El error aleatorio. Yp dependerá de up , la perturbación aleatoria (desconocida) correspondiente
a esa observación. Cuanto más diferente sea de cero, mayor será este error.
Dadas todas estas fuentes de incertidumbre a la hora de predecir Y , es muy recomendable que la
predicción puntual de Y se acompañe con una medida de lo precisa que esperamos que sea esa
predicción. En esto consiste la predicción por intervalo.
188
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• Predicción por intervalo del valor de la variable endógena
Es muy difı́cil que el valor predicho para Yp , Ŷp coincida con el valor real. Si la predicción por punto
se hace para el mes siguiente, o para el año siguiente, llegará un momento en que conoceremos el
error cometido. Este error se denomina error de predicción y es igual a
ep = Yp − Yˆp
En el momento en que hacemos la predicción, tenemos cierta información sobre ep , ya que es una
variable aleatoria con una distribución conocida. En concreto,
¡
¢−1
ep ∼ N (0, σ 2 ( 1 + Xp0 X 0 X
Xp ))
Demostración:
ep = Yp − Yˆp = Xp0 β + up − Xp0 β̂ =
= up − Xp0 (β̂ −β)
(6.16)
Buscamos su distribución. Si up es normal el estimador MCO dado que es lineal en la perturbación
también lo será y por tanto el error de predicción también lo es. En cuanto a su media y varianza:
h
i
E(ep ) = E up − Xp0 (β̂ −β) = 0 − Xp0 (β − β) = 0
V (ep ) = E [ep − E(ep )] [ep − E(ep )]0 =
¡
¢
= E ep e0p =
·³
´³
´0 ¸
= E up − Xp0 (β̂ −β)
up − Xp0 (β̂ −β)
=
h
i
h
i
£
¤
= E up u0p + E Xp0 (β̂ −β) (β̂ −β)0 Xp − 2Xp0 E (β̂ −β) u0p =
h
i
h¡
i
¢−1 0
¡ ¢
= E u2p + Xp0 E (β̂ −β) (β̂ −β)0 Xp − 2Xp0 E X 0 X
X u up =
¡
¢−1
= σ 2 + σ 2 Xp0 X 0 X
Xp − 0 =
³
´
¡
¢
−1
= σ 2 1 + Xp0 X 0 X
Xp
Por tanto:
³
´
¡
¢−1
ep ∼ N (0, σ 2 1 + Xp0 X 0 X
Xp )
Tipificando el error de predicción queda:
q
σ
ep − 0
1 + Xp0 ( X 0 X )−1 Xp
∼ N (0, 1)
El problema es que σ 2 es desconocida. Utilizando que ep y σ̂ 2 obtenemos
q
σ̂
ep
1 + Xp0 ( X 0 X )−1 Xp
189
∼ t(N −K)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
De hecho el denominador final es σ̂ep (la desviación estimada del error de predicción). Tras sustituir
ep = Yp − Ŷp , se puede utilizar dicha distribución para obtener el siguiente intervalo de predicción
para la variable endógena:
"
#
Yp − Ŷp
P r − t α2 (N −K) ≤
≤ t α2 (N −K) = 1 − α
σ̂ep
h
i
P r Ŷp − t α2 (N −K) · σ̂ep ≤ Yp ≤ Ŷp + t α2 (N −K) · σ̂ep = 1 − α
´
³
IC1−α (Yp ) = Ŷp − t α2 (N −K) σ̂ep , Ŷp + t α2 (N −K) σ̂ep
Ejercicio 6.1
Una gestorı́a comercializa 100 pólizas de seguro. Para tener información acerca del tipo
de póliza más solicitada utiliza el siguiente modelo:
Ni = β1 Hi + β2 Vi + β3 Mi + β4 Ai + ui
i = 1, . . . , 100
donde
• Ni es el número de pólizas suscritas del producto i-ésimo.
½
1 si la póliza pertenece a seguros del hogar
• Hi =
0 en caso caso contrario
½
1 si la póliza pertenece al ramo de seguros de vida
• Vi =
0 en caso caso contrario
½
1 si la póliza pertenece al ramo de seguros médicos
• Mi =
0 en caso caso contrario
½
1 si la póliza pertenece a seguros automovilı́sticos
• Ai =
0 en caso caso contrario
Las ventas para el año 1994 se resumen en:
X
X
X
Ni = 150
Ni = 380
i∈Hogar
i∈M édicos
i∈V ida
i=100
X
i=1
Ni2
= 20000
100
X
Hi =
i=1
100
X
X
Ni = 70
Vi =
i=1
Ni = 500
i∈Automóviles
100
X
i=1
Mi =
100
X
Ai = 25
i=1
1. Interpreta los parámetros del modelo propuesto.
2. Estima los parámetros por MCO.
3. Contrasta si hay diferencias significativas en el número de suscripciones según el
ramo de seguros al que pertenecen.
4. Halla un intervalo de confianza del 95 % para el número de suscripciones de pólizas
médicas.
190
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Ejercicio 6.2
Supón que se quieren explicar los rendimientos de los ı́ndices bursátiles, Rt , de varios
paı́ses a través de su localización geográfica y de los tipos de interés reales, It , considerando para estos últimos que es suficiente con especificar si los tipos son positivos o
negativos. Los datos aparecen en la Tabla 6.1.
1. Especifica un modelo para el comportamiento de Rt con la información que se da.
2. Supón ahora que sólo se considera importante en cuanto a la localización si el paı́s
está o no en Europa (i.e. Europa v.s. Resto del Mundo) y reespecifica el modelo.
3. Estima el modelo que has propuesto en el apartado anterior.
4. Supón que, para Portugal, el tipo de interés es positivo y el rendimiento de su ı́ndice
bursátil del 35 %. ¿Consideras que el mercado bursátil en Portugal tiene el mismo
comportamiento que en los otros paı́ses europeos?
Rendimiento
Rt
t/i
It
10 %
20 %
15 %
40 %
positivo
positivo
positivo
positivo
20 %
22 %
negativo
negativo
-5 %
30 %
35 %
22 %
positivo
positivo
negativo
negativo
Europa
Alemania
Francia
Reino Unido
Italia
América
EEUU
Canadá
Sudeste Asiático
Japón
Hong Kong
Singapur
Taiwán
Tabla 6.1: Observaciones sobre rendimiento y t/i por paı́s
6.5.
Validación en gretl
6.5.1.
Contraste de Ramsey con gretl
El contraste de Ramsey es uno de los contrastes que pueden realiarse una vez estimado en gretl un
modelo. En la pantalla de resultados de la estimación Mı́nimo Cuadrática Ordinaria pinchar
Contrastes −→ Contraste RESET de Ramsey
y elegir las variables que queremos introducir en la especificación para el contraste:
191
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
• cuadrados y cubos
• solo cuadrados
• solo cubos
• todas las variantes
Para mostrar cómo contrastar la ausencia de correlación utilizaremos el archivo de datos Ramanathan data3-3.gdt. En este archivo de datos se dispone de 34 observaciones para el periodo 1960-1993
(serie temporal por tanto) sobre el número de resultados de patentes en miles, P AT EN T ES, y
sobre el gasto en I + D, en billones de dólares. La relación a estudiar es:
P AT EN T ESt = α + β(I + D)t + ut
(6.17)
Los resultados de la estimación MCO son los siguientes:
Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1960–1993 (T = 34)
Variable dependiente: PATENTS
Coeficiente
Desv. Tı́pica
Estadı́stico t
Valor p
34,5711
0,791935
6,35787
0,0567036
5,4375
13,9662
0,0000
0,0000
Media de la vble. dep.
Suma de cuad. residuos
R2
F (1, 32)
Log-verosimilitud
Criterio de Schwarz
ρ̂
119,2382
3994,300
0,859065
195,0551
−129,2704
265,5935
0,945182
const
I+D
D.T. de la vble. dep.
D.T. de la regresión
R2 corregido
Valor p (de F )
Criterio de Akaike
Hannan–Quinn
Durbin–Watson
29,30583
11,17237
0,854661
3,64e–15
262,5408
263,5818
0,233951
Contraste de especificación RESET (cuadrados y cubos) Estadı́stico de contraste: F = 47, 161051,
con valor-p= P (F (2, 30) > 47, 1611) = 5, 48e − 010.
Contraste de especificación RESET (cuadrados sólo) Estadı́stico de contraste: F = 14, 824629, con
valor-p= P (F (1, 31) > 14, 8246) = 0, 000553.
Contraste de especificación RESET (cubos sólo) Estadı́stico de contraste: F = 18, 475400, con valorp= P (F (1, 31) > 18, 4754) = 0, 000158. En cualquiera de las posibilidades se rechaza la hipótesis
nula luego la especicificación lineal no es adecuada, comopuede apreciarse en la Figura 6.15 donde
se muestra la nube de puntos correspondiente.
192
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
PATENTS con respecto a RD (con ajuste mínimo−cuadrático)
200
Y = 34,6 + 0,792X
180
PATENTS
160
140
120
100
80
60
60
80
100
120
140
160
RD
Figura 6.10: Variable endógena versus exógena
6.5.2.
Contraste de cambio estructural o Chow con gretl
Utilizando gretl una vez abierto el fichero de datos y estimado el modelo correspondiente por MCO,
en la ventana de resultados de la estimación harı́amos:
Contrastes −→ Contraste de Chow
A la pregunta Observación en la cual dividir la muestra contestarı́amos fecha correspondiente a T1
y automáticamente gretl realiza el contraste y nos muestra el resultado.
Por ejemplo el fichero data7-19 del libro de Ramanathan contiene datos para 1960-1988 sobre la
demanda de tabaco y sus determinantes en Turquı́a. Las variables de interés para el ejemplo son
las siguientes:
Q: consumo de tabaco por adulto (en kg).
Y : PNB real per cápita en liras turcas de 1968.
P : precio real del kilogramo de tabaco, en liras turcas.
D82: variable ficticia que toma valor 1 a partir de 1982.
A mediados de 1981 el gobierno turco lanza una campaña de salud pública advirtiendo de los peligros
de salud que conlleva el consumo de tabaco. Nuestro objetivo es determinar si existen cambios en
la demanda de tabaco tras la campaña institucional en cuyo caso la especificación:
LnQt = α + βLnYt + γLnPt + ut
t = 1960, . . . , 1988
(6.18)
no es correcta para todo el perı́odo muestral y deberı́amos especificar dos ecuaciones:
LnQt = α1 + β1 LnYt + γ1 LnPt + u1t
t = 1960, . . . , 1981
(6.19)
LnQt = α2 + β2 LnYt + γ2 LnPt + u2t
t = 1982, . . . , 1988
(6.20)
Si existe cambio estructural rechazarı́amos H0 : α1 = α2 , β1 = β2 y γ1 = γ2
En este caso la contestación a la pregunta Observación en la cual dividir la muestra contestarı́amos
1982 y el output de gretl muestra lo siguiente:
193
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 29 observaciones 1960-1988
Variable dependiente: lnQ
Variable
const
lnY
lnP
Coeficiente
Desv. tı́pica
−4,58987
0,688498
0,485683
Estadı́stico t
0,724913
0,0947276
0,101394
valor p
−6,332
7,268
−4,790
0,00001∗∗∗
0,00001∗∗∗
0,00006∗∗∗
Media de la var. dependiente = 0,784827
Desviación tı́pica de la var. dependiente. = 0,108499
Suma de cuadrados de los residuos = 0,0949108
Desviación tı́pica de los residuos = 0,0604187
R-cuadrado = 0,712058
R-cuadrado corregido = 0,689908
Estadı́stico F (2, 26) = 32,148 (valor p < 0,00001)
Estadı́stico de Durbin-Watson = 1,00057
Coef. de autocorr. de primer orden. = 0,489867
Log-verosimilitud = 41,8214
Criterio de información de Akaike (AIC) = -77,6429
Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -73,541
Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = -76,3582
Contraste de Chow de cambio estructural en la observación 1982 Hipótesis nula: no hay cambio estructural
Estadı́stico de contraste: F(3, 23) = 20,1355
con valor p = P(F(3, 23) > 20,1355) = 1,25619e-006
El estadı́stico calculado es F = 20, 135 > F0,05 (3, 23) por lo que rechazamos H0 para un nivel de
significatividad del 5 %, es decir existe cambio estructural, la campaña institucional ha tenido efecto
y la demanda de tabaco en Turquı́a de 1960 a 1988 queda especificada por las ecuaciones (6.19) y
(6.20). Los resultados de la estimación mı́nimo cuadrática de estas ecuaciones son los siguientes:
d t = −5, 024 + 0, 735 LnYt −
LnQ
(-10,614)
(11,587)
d t = 8, 837 + −0, 953 LnYt +
LnQ
(2,170)
(-1,941)
0, 381 LnPt
(-4,227)
t = 1960, . . . , 1981 SCR1 = 0, 01654
0, 108 LnPt
(0,654)
t = 1982, . . . , 1988 SCR2 = 0, 00965
Cambio estructural utilizando variables ficticias
Alternativamente, el contraste anterior podrı́amos haberlo realizado mediante la variable ficticia
D82 especificando el modelo:
LnQt = β1 + β2 LnYt + β3 LnPt + β1? D82t + β2? D82t · LnYt + β3? D82t · LnPt + ut
194
t = 60, . . . , 88(6.21)
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
En el cual, si existe cambio estructural rechazarı́amos H0 : β1? = β2? = β3? = 0. De nuevo el contraste
puede realizarse con el estadı́stico F habitual de sumas residuales donde el modelo no restringido
es el (6.21) y el modelo restringido es
LnQt = β1 + β2 LnYt + β3 LnPt + ut
(6.22)
Utilizando gretl el proceso después de abierto el fichero de datos, tomado logaritmos y construido
las variables D82 · LnY y D82 · LnP serı́a: estimarı́amos el modelo (6.21) por MCO y en la ventana
de resultados de la estimación harı́amos
Contrastes −→ Omitir variables
elegirı́amos D82, D82 · LnY y D82 · LnP y obtendrı́amos el siguiente resultado:
Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 29 observaciones 1960-1988
Variable dependiente: lnQ
Variable
const
lnY
lnP
Coeficiente
−4,58987
0,688498
0,485683
Desv. tı́pica
0,724913
0,0947276
0,101394
Estadı́stico t
−6,332
7,268
−4,790
valor p
0,00001∗∗∗
0,00001∗∗∗
0,00006∗∗∗
Media de la var. dependiente = 0,784827
Desviación tı́pica de la var. dependiente. = 0,108499
Suma de cuadrados de los residuos = 0,0949108
Desviación tı́pica de los residuos = 0,0604187
R-cuadrado = 0,712058
R-cuadrado corregido = 0,689908
Estadı́stico F (2, 26) = 32,148 (valor p < 0,00001)
Estadı́stico de Durbin-Watson = 1,00057
Coef. de autocorr. de primer orden. = 0,489867
Log-verosimilitud = 41,8214
Criterio de información de Akaike (AIC) = -77,6429
Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -73,541
Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = -76,3582
Comparación entre el modelo 10 y el modelo 11:
Hipótesis nula: los parámetros de regresión son cero para las variables
D82
D82Y
D82P
Estadı́stico de contraste: F(3, 23) = 20,1355, con valor p = 1,25619e-006
De los 3 estadı́sticos de selección de modelos, 0 han mejorado.
Dado el p-value rechazamos la hipótesis nula para un nivel de significatividad del 5 % y existe cambio
estructural. La demanda de tabaco en Turquı́a de 1960 a 1988 queda especificada por las ecuaciones
(6.19) y (6.20).
195
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
6.5.3.
Contraste de heterocedasticidad con gretl
Para ilustrar esta sección y lo que queda del tema vamos a utilizar el conjunto de datos Data 3.2
del Ramanathan. En este conjunto de datos se dispone de 51 observaciones sobre renta personal,
IN COM E, y gasto sanitarios, EXP LT H ambos en billones de dólares para el estado de Washington
D.C. en 1993. Se trata por tanto de una muestra de sección cruzada. Queremos analizar la evolución
del gasto en función de la renta, ası́ especificamos el modelo:
EXP LT Hi = α + βIN COM Ei + ui
(6.23)
i = 1, . . . , 51
suponemos que se cumplen las hipótesis básicas y estimamos el modelo por MCO con los resultados
siguientes5 :
Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 51 observaciones 1-51
Variable dependiente: exphlth
0)
2)
VARIABLE
COEFICIENTE
const
income
0,325608
0,142099
DESV.TÍP.
ESTAD.T
0,319742
0,00196623
2Prob(t > |T|)
1,018
72,270
0,313515
< 0,00001 ***
Media de la var. dependiente = 15,2649
D.T. de la var. dependiente = 17,8877
Suma de cuadrados de los residuos = 148,699
Desviación tı́pica de los residuos = 1,74203
R-cuadrado = 0,990705
R-cuadrado corregido = 0,990516
Grados de libertad = 49
Criterio de información de Akaike (AIC) = 203,307
Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = 207,17
Para un nivel de significatividad del 5 % la variable IN COM E es significativa, pero el término
independiente no es significativamente distinto de cero. El ajuste es muy alto, 99,07 %. Gráficamente
podemos ver si la forma funcional lineal elegida resulta adecuada para la relación gasto sanitariorenta. Para ello vamos a dibujar la relación gasto sanitario real y ajustado y además el ajuste MCO.
Para ello dentro de la venta gretl : Modelo1 pinchamos la secuencia:
Gráficos −→ Gráfico de ajustada-obervada −→ por número de observación
Gráficos −→ Gráfico de ajustada-observada −→ contra income
Las figuras obtenidas aparecen a la izquierda y derecha, respectivamente, en la Figura 6.11.
5
Recordatorio de la secuencia de órdenes para obtener la estimación:
Archivo −→ Abrir datos −→ Archivo de muestra −→ Data3.2
Modelo −→ Mı́nimos Cuadrados −→ seleccionar la variable endógena y exógenas
Los resultados se muestran en una ventana llamada gretl : modelo1
196
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
exphlth observada y ajustada
exphlth con respecto a income (con ajuste mnimo-cuadrÆtico)
100
100
ajustado
actual
90
80
80
70
60
exphlth
exphlth
60
50
40
40
20
30
20
0
10
0
-20
0
10
20
30
40
50
0
100
200
300
index
400
500
600
700
income
Figura 6.11: Gasto sanitario real y ajustado
Aparentemente el modelo está correctamente especificado y la forma lineal especificada es adecuada. Antes de seguir vamos a guardar los valores ajustados del gasto sanitario los residuos y sus
cuadrados añadiéndolos al conjunto de datos para luego poder trabajar con ellos si es necesario. La
secuencia de órdenes a realizar en la ventana gretl : Modelo1 es:
Datos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ valores ajustados
Datos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ residuos
Datos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ residuos al cuadrado
gretl los va a añadir al conjunto de datos con el que trabajamos y los denota respectivamente por
yhat1, uhat1 e usq1 respectivamente. Además añade una leyenda explicativa de la variable. Una
vez hecho esto seguimos con el ejercicio.
A pesar del buen ajuste encontrado, no resulta descabellado pensar que la varianza del gasto sanitario, EXP HLT H, probablemente dependerá de la renta IN COM E. Hemos visto que estudiar
el gráfico de residuos frente a IN COM E es un instrumento válido para ver indicios del problema.
Para obtener el gráfico en la ventana gretl : Modelo 1 pinchamos:
Gráficos −→ Gráfico de residuos −→ contra income
La figura obtenida se recoge en la Figura 6.12:
En el se aprecia que la dispersión de los residuos aumenta a medida que aumenta IN COM E. Parece
que la varianza de EXP HLT H aumenta con IN COM E
Para confirmarlo realizamos el contraste de White y los resultados del mismo son:
197
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Residuos verus income
5
4
3
2
residuo
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
100
200
300
400
500
600
700
income
Figura 6.12: Residuos MCO versus RENTA
Contraste de heterocedasticidad de White estimaciones MCO
utilizando las 51 observaciones 1-51 Variable dependiente: uhat^2
VARIABLE
0)
const
2)
income
4) sq_incom
COEFICIENTE
-1,40227
0,0558410
-5,87208E-05
DESV.TÍP.
ESTAD.T
0,986956
0,0121349
2,10114E-05
-1,421
4,602
-2,795
2Prob(t > |T|)
0,161839
0,000031 ***
0,007445 ***
R-cuadrado = 0,421177
Estadı́stico de contraste: TR^2 = 21,480039, con valor p
P(Chi-cuadrado(2) > 21,480039) = 0,000022
=
Los resultados confirman que efectivamente existe heterocedasticidad en la perturbaciones del modelo (6.23). El estimador MCO obtenido no es de varianza mı́nima y la inferencia realizada de
acuerdo a él no es válida.
Esta introducción al problema de heterocedasticidad pretende que hayáis aprendido que nunca se da
una especificación por correcta sin un análisis de residuos. Que a pesar de que durante todo el curso
hemos trabajado suponiendo que se cumplen unas hipótesis básicas lo habitual es que no sea ası́ y
que estas situaciones hay que saber reconocerlas. Ampliaciones sobre este tema podéis encontrar en
el Capı́tulo 8 del Ramanathan del que nosotros solo hemos hecho un esbozo de su introducción.
6.5.4.
Contraste de ausencia de correlación con gretl
Para mostrar cómo contrastar la ausencia de correlación utilizaremos el archivo de datos Ramanathan Data3-3. En este archivo de datos se dispone de 34 observaciones para el periodo 1960-1993
(serie temporal por tanto) sobre el número de resultados de patentes en miles, P AT EN T ES, y
sobre el gasto en I + D, en billones de dólares. La relación a estudiar es:
198
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
P AT EN T ESt = α + β(I + D)t + ut
(6.24)
Los resultados de la estimación MCO son los siguientes:
Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1960–1993 (T = 34)
Variable dependiente: PATENTS
Coeficiente
Desv. Tı́pica
Estadı́stico t
Valor p
34,5711
0,791935
6,35787
0,0567036
5,4375
13,9662
0,0000
0,0000
Media de la vble. dep.
Suma de cuad. residuos
R2
F (1, 32)
Log-verosimilitud
Criterio de Schwarz
ρ̂
119,2382
3994,300
0,859065
195,0551
−129,2704
265,5935
0,945182
const
I+D
D.T. de la vble. dep.
D.T. de la regresión
R2 corregido
Valor p (de F )
Criterio de Akaike
Hannan–Quinn
Durbin–Watson
29,30583
11,17237
0,854661
3,64e–15
262,5408
263,5818
0,233951
Los resultados muestran que para un nivel de significatividad del 5 % el término independiente es
significativamente distinto de cero y el gasto en I+D es una variable significativa para explicar las
aplicaciones de las patentes. Además existe un buen ajuste en términos del R2 (85, 9 %). Si analizamos los residuos MCO dibujándolos contra el tiempo obtenemos la Figura 6.13. En él podemos
ver un primer grupo de residuos positivos que va seguido de un grupo de residuos negativos, otrora
positivos y a continuación negativos. Este comportamiento puede indicar la posible existencia de
un proceso autorregresivo de primer orden y signo positivo.
Residuos de la regresin (= PATENTES observada - ajustada)
25
20
15
10
residuo
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
Figura 6.13: Residuos versus tiempo
199
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
También podı́amos haber dibujado los pares (ut−1 , ut ), ver Figura 6.14, en este caso los puntos los
encontramos en el primer y tercer cuadrante indicando autocorrelación de primer orden de signo
positivo6 .
25
20
15
10
uhat1
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-20
-15
-10
-5
0
uhat1_1
5
10
15
20
Figura 6.14: Residuos en t versus residuos en t-1
Una vez analizados los gráficos debemos realizar un contraste para cerciorarnos de la existencia del
problema. Entre los resultados de la regresión se nos muestra:
Estadı́stico de Durbin-Watson = 0,233951
que utilizaremos para contrastar la existencia de un proceso autocorregresivo de primer orden y
signo positivo en la perturbación, ya que DW ∈ (0, 2).
H0 : ρ = 0
Ha : ρ > 0 en ut = ρut−1 + ²t
²t ∼ (0, σ²2 )
Para ello sólo necesitamos comparar el valor del estadı́stico con dL y dU obtenidos en las tablas
correspondientes. Gretl nos proporciona estas tablas en la opción Herramientas que aparece en la
primera pantalla una vez se abre el programa. La secuencia a pinchar es:
Herramientas −→ tablas estadı́sticas −→ señalar la tabla deseada
Gretl proporciona las tablas estadı́sticas de la normal, t ( t-student), chi-cuadrado, F (F-snedercor)
y DW (Durbin-Watson). En nuestro caso pinchamos en esta última y se nos despliega una ventana
que nos solicita el tamaño de muestra y número de regresores. Se lo damos y pinchamos Aceptar.
Como resultado gretl nos devuelve una ventana con el valor de dL y dU para el tamaño de muestra
dado y diferentes valores de K 0 . Para nuestro ejemplo obtenemos:
6
Para guardar los residuos en la ventana de resultados de la estimación pinchamos
Datos del modelo −→ Añadir al conjunto de datos −→ residuos
y para obtener su retardo ut−1 seleccionamos la variable residuos y pinchamos la secuencia
Datos −→ Añadir al conjunto de datos −→ retardos de las variables seleccionadas.
200
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Valores crı́ticos al 5% del estadı́stico de Durbin-Watson, n = 134, k = 1
dL = 1,7028
dU = 1,7329
Por tanto para nuestro ejemplo dL (T = 34, K 0 = 1) = 1, 39 y dU (T = 34, K 0 = 1) = 1, 51. Como
DW = 0, 233 < dL se rechaza la H0 y por tanto existe autocorrelación positiva de primer orden o
bien puede deberse a una mala especificación del modelo. Antes de buscar un estimador alternativo
a MCO debemos explorar esta posibilidad e intentar especificar bien el modelo y volver a realizar un
estudio de existencia de autocorrelación para el modelo correctamente especificado. Si analizamos
la relación entre las variables exógena y endógena, Figura 6.15 vemos que esta no parece ser lineal
si no cuadrática al menos en los dos últimos tercios de la muestra, por lo que vamos a proponer la
siguiente relación cuadrática:
P AT EN T ESt = α + β(I + D)t + γ(I + D)2t + ut
(6.25)
PATENTES con respecto a I+D, observada y ajustada
200
ajustado
actual
180
Patentes
160
140
120
100
80
60
80
100
120
140
160
I+D
Figura 6.15: Variable endógena versus exógena
Los resultados de su estimación MCO son:
d T ES t = 121, 57 − 0, 85 (I + D)t + 0, 007 (I + D)2t
P AT EN
(t-estad)
(5,23)
(-1,98)
(3,85)
R2 = 0, 90 DW = 0, 28 (6.26)
Las variables son significativas para un nivel de significatividad del 5 % y el ajuste es bueno, 90 %.
Sin embargo, para el modelo (6.26) sigue existiendo autocorrelación positiva de primer orden ya que
DW = 0, 28 < dL (T = 34, K 0 = 2) = 1, 33. Si miramos el gráfico de residuos de esta relación, Figura
6.16, encontramos las misma evolución cı́clica de grupos de residuos positivos-negativos-positivos.
Por tanto una vez especificado correctamente el modelo se sigue manteniendo la autocorrelación en
las perturbaciones. El modelo (6.25) debe ser estimado por un estimador alternativo a MCO que
sea de varianza mı́nima y permita realizar inferencia válida.
201
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Residuos de la regresin (= PATENTS observada - ajustada)
20
15
10
residuo
5
0
-5
-10
-15
-20
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
Figura 6.16: Residuos modelo (6.20) versus tiempo
6.5.5.
Predicción en gretl
Para hacer predicción con gretl debemos incorporar los nuevos datos (Xp ) a la base de datos mediante
Datos → Seleccionar todos
A continuación, pincharemos la opción
Datos → Añadir Observaciones
indicando el número de observaciones que queremos añadir, en este caso 1. En la fila correspondiente incluimos los valores de las variables explicativas en el periodo de predicción, en este caso la
observación N + 1, incorporando cada observación en la casilla correspondiente. Si no incorporamos
el valor para la variable Yi que es la que vamos a predecir, gretl nos mostrará un aviso (Atención:
habı́a observaciones perdidas). Podemos simplemente ignorarlo y darle a aceptar.
Posteriormente, estimaremos el modelo sin considerar esta nueva observación. Para ello, tenemos
que especificar el rango muestral, es decir, en la opción
Muestra → Establecer rango
especificaremos del rango de observaciones de la muestra para estimar el modelo, en nuestro caso
de la 1 a la N y elegimos Aceptar.
Estimaremos el modelo por MCO y en la ventana de los resultados elegimos
Análisis → Predicciones
En la nueva ventana podemos determinar el dominio de predicción, es decir el Inicio y Fin que en
este caso es en ambos la observación número N + 1, y también cuantas observaciones se quieren
representar antes de la prediccion.
Utilizando los resultados obtenidos en el Ejemplo 5.10 se va a predecir la variable P RICE. Los
resultados que muestra Gretl son los siguientes:
202
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Para intervalos de confianza 95 %, t(10, ,0, 025) = 2, 228
Observaciones
15
price
500,00
predicción
Desv. Tı́pica
Intervalo de 95 %
479,91
55,390
356,49
603,32
Estadı́sticos de evaluación de la predicción
Error medio
Error cuadrático medio
Raı́z del Error cuadrático medio
Error absoluto medio
Porcentaje de error medio
Porcentaje de error absoluto medio
U de Theil
20,095
403,79
20,095
20,095
4,0189
4,0189
0
650
price
predicción
Intervalo de confianza 95 por ciento
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
El gráfico que se obtiene junto a los resultados muestra la serie de precios (P) observada en color
rojo y estimada con el modelo para las 14 observaciones anteriores a la predicción y la predicción
en color azul, junto con su intervalo de confianza en color verde.
La predicción por punto del precio de una vivienda con estas caracterı́sticas es de 479, 905 miles de
euros, mientras que la predicción por intervalo con un nivel de confianza del 95 % es (356, 5; 603, 3)
en miles de euros, por lo que el precio que nos piden, que era de 500 miles de euros por la vivienda,
está dentro del intervalo. Este precio para una vivienda de esas caracterı́sticas se aceptarı́a como
razonable dado nuestro modelo y la información muestral utilizada para su estimación, con un nivel
de confianza del 95 %.
203
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
6.6.
Bibliografı́a del tema
Referencias bibliográficas básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editorial AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl:
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[2] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[3] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[4] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publicación on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[5] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones.
[6] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[7] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[8] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[9] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
204
Tema 7
Guı́a para el desarrollo de un proyecto
empı́rico
7.1.
Caracterı́sticas básicas del proyecto
Esta sección desarrolla una guı́a básica para estructurar la realización de un proyecto. Es del todo
recomendable la lectura del Capı́tulo 19 del libro Introdución a la Econometrı́a, de Wooldridge, J. M.
(2003), que aparece en las referencias bibliográficas. Los seminarios y tutorı́as personalizadas de los
equipos individuales servirán para marcar el ritmo en la evolución del proyecto y para que el profesor
tutorice tanto al equipo como individualmente a cada uno de los integrantes en su aprendizaje. No
hay que perder de vista que el proyecto debe de contribuir a obtener las competencias especı́ficas
de la asignatura en su totalidad aunque se incida en la cuarta en cuanto a su evaluación.
• Estructura básica del trabajo:
1. Portada: Tı́tulo del trabajo y nombres y apellidos del autor/autores.
2. Introducción: Presenta la motivación principal del trabajo, el problema a analizar y
posibles referentes en la literatura económica. Por ejemplo, puede ayudar plantearse una
pregunta, muy concreta, sobre un fenómeno económico. Por ejemplo, ¿como afecta a la
oferta laboral femenina y casada el nivel salarial, la educación y/o el número de hijos?
3. Revisión de la bibliografı́a: En muchas ocasiones existe literatura en el tema elegido.
Si es ası́ debe de ser incluida, en un resumen breve.
4. Datos: Se describen los datos que componen la muestra a utilizar y las fuentes de
donde han sido obtenidos. Se describen las variables a utilizar en el modelo junto con las
unidades de medida. Finalmente se realiza un análisis descriptivo básico.
5. Modelo: Se introduce el modelo de partida propuesto, las variables que entran en el
modelo, el signo esperado de los coeficientes. También si hay diferentes alternativas a la
especificación propuesta que se quieran contrastar o analizar.
Es claro que el modelo inicial evolucionará a lo largo del trabajo. Por lo tanto en el
trabajo y la exposición se debe mostrar los puntos más importantes de esta evolución,
sin ser exhaustivos en la repetición de interpretación de signos y coeficientes.
205
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
6. Resultados empı́ricos: Se muestran y explican razonadamente los resultados obtenidos aplicando las técnicas vistas en clase que se crean oportunas: análisis de residuos,
contrastes sobre las hipótesis básicas, elección de métodos alternativos de estimación y
realización de contrastes sobre los parámetros de interés del modelo. Al final del trabajo
se crea un apéndice en el que incluyen todos los outputs de gretl y gráficos que se hayan
obtenido a lo largo de todo el trabajo.
7. Conclusiones: Por último, al final del trabajo, se redactan las conclusiones del trabajo,
teniendo en cuenta su objetivo y la especificación y estimación del modelo después del
análisis econométrico. En esta sección se explica lo realizado en conjunto y se razona si
es el caso sobre la especificación final elegida. Este apartado es imprescindible.
8. Bibliografı́a: Recoge las referencias completas citadas a lo largo del texto. Fuentes de
consultas bibliográficas y de datos, ası́ como referencias a páginas web si es que se utilizan.
• Cronologı́a: El proyecto debe evolucionar a lo largo del curso, no debe ser un trabajo realizado
en los últimos diez dı́as antes de su exposición pública por ello es importante que los equipos se
marquen una cronologı́a de acuerdo a las directrices marcadas en lo seminarios que se lleven a
cabo en el aula. Como ya se ha indicado los seminarios y tutorı́as personalizadas de los equipos
servirán para marcar el ritmo en la evolución del proyecto y para que el profesor tutorice tanto
al equipo como individualmente a cada uno de los integrantes en su aprendizaje. No hay que
perder de vista que el proyecto debe de contribuir a obtener las competencias especı́ficas de
la asignatura en su totalidad aunque se incida en la cuarta en cuanto a su evaluación.
• Exposición: En general el formato de la exposición puede ser elegido libremente, transparencias, power point etc. Habrá de tenerse en cuenta que todos los alumnos intervienen en
la exposición y que el profesor realizará preguntas a los miembros del grupo sobre el trabajo
realizado.
• Datos a utilizar: Los que se quieran, siempre y cuando se refiera la referencia en el trabajo
de la fuente utilizada.
1. Se pueden utilizar datos de los ficheros disponibles en Gretl siempre y cuando el trabajo
no sea replicar un ejercicio que ya esté en estos libros.
2. Bases de datos disponibles en Gretl sobre servidor
Archivo ⇒ Bases de datos ⇒ sobre servidor
3. Bases de datos disponibles en Biblioteca.
4. Otras direcciones de interés y bases de datos:
Eurostat: http://epp.eurostat.cec.eu.int/
Banco Mundial: http://devdata.worldbank.org/
Fondo Monetario Internacional: http://www.imf.org/
OCDE: http://www.oecd.org/
Banco Central Europeo: http://www.ecb.int/
Economic and Social Data Services: Guı́a a Recursos internacionales de datos de libre
acceso, http://www.esds.ac.uk/international/access/access.asp
206
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Banco de España: http://www.bde.es/
Instituto Nacional de Estadı́stica: http://www.ine.es/
Eustat: http://www.eustat.es/
• Algunos consejos para la preparación del trabajo:
1. Primero es importante pensar en el modelo o relación básica que se quiere analizar junto
con los datos a emplear. Es aconsejable estudiar previamente los datos de las variables
que entran en el modelo, sus estadı́sticos descriptivos, gráficos etc.
2. También es importante la forma de presentar los resultados. Una vez realizados los diversos análisis, estimaciones etc., se pone en común todos los resultados y se selecciona
lo importante. Una vez elegido lo más relevante de todo lo realizado esta información se
presenta de forma que sea fácil comparar y valorar los resultados obtenidos.
3. No mezclar diferentes fuentes y tipos de letra en el texto.
4. No utilizar abreviaciones coloquiales, tipo SMS.
5. Todas las figuras y tablas deben estar numeradas. Añadir una pequeña leyenda tanto a
los gráficos como a las tablas explicando que recogen (por ejemplo, Figura 2: Gráfico de
los residuos contra el tiempo). Se puede poner arriba o abajo de la figura pero siempre
hacerlo de la misma forma.
6. Las figuras y tablas también pueden ir en un apéndice y hacer referencia en el texto con
la numeración utilizada.
7. Numerar todas las páginas.
8. Es recomendable que se revisen las distintas versiones del trabajo antes de su presentación, cuidando que no haya errores gramaticales.
• Cómo presentar y comparar resultados:
A continuación se va a mostrar la presentación de resultados de tres especificaciones alternativas y tres métodos de estimación como guı́a de presentación de resultados.
Vamos a estimar las siguientes especificaciones o modelos alternativos para explicar el precio
de la vivienda:
Modelo A
P RICEi = β1 + β2 SQF Ti + ui
Modelo B
P RICEi = β1 + β2 SQF Ti + β3 BEDRM Si + ui
Modelo C
P RICEi = β1 + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui
Estos tres modelos difieren en las variables explicativas incluidas.
La Tabla 7.1 muestra los coeficientes estimados por MCO y distintos estadı́sticos asociados
a la cuatro especificaciones o modelos alternativos anteriores. Esta forma de presentar los
resultados puede estar más indicada cuando, como ahora, se presentan distintas especificaciones con la misma variable dependiente. En la parte de abajo de la tabla, también para cada
una de las especificaciones, podéis incluir los valores muestrales de los estadı́sticos de diversos
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Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
Tabla 7.1: Modelos estimados para el precio de la vivienda P RICE
Variable
CONSTANT
SQFT
BEDRMS
Variable dependiente: P RICE
Modelo A Modelo B
52,351
121,179
(1,404)
(1,511)
0,13875
0,14831
(7,407)
(6,993)
-23,911
(-0,970)
BATHS
Suma de cuadrados residual
R2
R̄2
F de significación conjunta
Grados de libertad
18273,6
0,821
0,806
54,861
12
16832,8
0,835
0,805
27,767
11
Modelo C
27,2633
(0,182)
-10,1374
(-0,216)
138,795
(2,652)
55926,4
0,450706
0,350834
4,51285
11
Los valores entre paréntesis son los correspondientes estadı́sticos t de significatividad individual sin tener en cuenta
la posible heterocedasticidad y o autocorrelación.
contrastes bien de heterocedasticidad, autocorrelación, selección de modelos etc. si los habéis
realizado para cada modelo estimado.
Si se considera estimar por distintos métodos la misma especificación, puede ayudar presentar
los resultados como en la Tabla 7.2:
Tabla 7.2: Función de Salarios
Variable dependiente: Salarios Privados W p
Explicativas
MCO Cochrane-Orcutt Hildreth-Lu
const
1, 497
1, 5
1, 53∗
(1, 27)
(1, 27)
(1, 32)
Xt
0, 439∗
0, 439∗
0, 434∗
(0, 032)
(0, 039)
(0, 075)
Xt−1
0, 146∗
0, 147∗
0, 151∗
(0, 037)
(0, 043)
(0, 074)
∗
∗
0, 13
0, 13
0, 132∗
At
(0, 032)
(0, 032)
(0, 035)
Entre paréntesis se muestran las desviaciones tı́picas estimadas. En el caso de MCO son robustas a autocorrelación.
El sı́mbolo ∗ denota que es significativo al 5 %. El tamaño muestral es T = 80 datos trimestrales.
De esta forma es más fácil comparar los resultados a la vez que mostrarlos en una transparencia
a la hora de la presentación.
208
Bibliografı́a
Referencias Bibliográficas Básicas:
• Teórica:
[1] Gujarati, D. y Porter, D.C. (2010). Econometrı́a. Editorial McGraw-Hill, Madrid. 5a edición.
[2] Newbold, P., Carlson, W.L. y Thorne, B. (2008). Estadı́stica para administración y economı́a.
Prentice Hall. Madrid.
[3] Wooldridge, J.M. (2006). Introducción a la Econometrı́a. Ed. Thomson Learning, 2a edición.
[4] Ruiz Maya, L. y Martı́n Pliego, F.J. (2005). Fundamentos de inferencia estadı́stica, 3a edición,
Editoral AC, Madrid.
• Ejercicios con gretl:
[1] Ramanathan, R. (2002), Instructor’s Manual to accompany, del libro Introductory Econometrics
with applications, ed. South-Western, 5th edition, Harcourt College Publishers.
[2] Wooldridge, J. M. (2003), Student Solutions Manual, del libro Introductory Econometrics: A
modern Approach, ed. South-Western, 2nd edition.
Referencias Bibliográficas Complementarias:
[1] Alonso, A., Fernández, J. y Gallastegui, I. (2005), Econometrı́a, ed. Pearson: Prentice Hall.
[2] Dougherty, Ch. (2006), Introduction to Econometrics, 3rd. Ed., Oxford University Press.
[3] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Análisis de
regresión con gretl. Open Course Ware. UPV-EHU. (http : //ocw.ehu.es/ciencias − sociales − y −
juridicas/analisis − de − regresion − con − greti/Coursel isting).
[4] Esteban, M.V.; Moral, M.P.; Orbe, S.; Regúlez, M.; Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometrı́a
Básica Aplicada con Gretl. Sarriko On Line 8/09. http://www.sarriko-online.com. Publicación online de la Facultad de C.C. Económicas y Empresariales.
[5] Esteban, M.V. (2007). Estadı́stica Actuarial: Regresión. Material docente. Servicio de Publicaciones. Web de la asignatura.
[6] Esteban, MV (2008). Estadı́stica Actuarial: Regresión Lineal, Sarriko On Line 3/08. Publica209
Estadı́stica Actuarial: Análisis de Regresión
ción on-line de la Facultad de CC. Económicas y Empresariales, UPV/EHU. http://www.sarrikoonline.com.
[7] Esteban, M.V. (2007). Colección de ejercicios y exámenes. Material docente. Servicio de Publicaciones. Web de la asignatura.
[8] Fernández, A., P. González, M. Regúlez, P. Moral, V. Esteban (2005). Ejercicios de Econometrı́a.
Editorial McGraw-Hill.
[9] Greene, W. (1998), Análisis Econométrico, Ed. Prentice Hall, 3a edición.
[10] Gujarati, D. (2004), Econometrı́a, ed. McGraw-Hill, 4a edición.
[11] Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications, Ed. South-Western, 5th.
edition.
[12] Verbeek, M. (2004). A Guide to Modern Econometrics. Wiley.
210