la medida representaciones gráficas magnitudes

LA MEDIDA
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
MAGNITUDES
ERRORES EN LA MEDIDA
Vectoriales
Error absoluto
Escalares
Error relativo
Fundamentales
UNIDADES SI
Derivadas
Múltiplos
Submúltiplos
INSTRUMENTOS DE MEDIDA
Sensibilidad
Precisión
UNIDAD 1
LA MEDIDA
SUMARIO
▶ Contenido
Magnitudes
Unidades de medida de las magnitudes
Ecuaciones de dimensión
Representaciones gráficas
Instrumentos de medida. Sensibilidad y precisión
Errores en la medida
▶ Trabajo de investigación
▶ Grandes hitos en la historia de la ciencia
▶ Ciencia, tecnología y sociedad
▶ Autoevaluación
Desde la Antigüedad, el ser humano ha tenido la necesidad de medir distintos fenómenos de la naturaleza y
algunos elementos de su entorno.
Las primeras mediciones están relacionadas con la caza
y la recolección; con la necesidad de informar al resto
del grupo de la distancia a la que se encontraba la presa. También era importante conocer la mejor época de
siembra o de recolección; a partir de ello, surgió el calendario, cuya unidad de medida era el día.
Con la aparición de las primeras actividades mercantiles,
el ser humano tuvo que aprender a medir el grano de
las cosechas y los líquidos, como el aceite o el vino, para
cuantificar los bienes que se intercambiaban o se vendían.
Posteriormente, apareció la necesidad de delimitar las
distancias (por ejemplo, el Nilo borraba todas las lindes
de los terrenos en su desbordamiento anual) y establecer unas medidas de longitud. Las distancias largas comenzaron a medirse en unidades de tiempo (días de
viaje a pie o a caballo) y para las cortas se tomaba como
referencia el cuerpo humano (el pie, la palma, etc.).
Otras medidas que hoy pueden parecernos muy antiguas, como la de la temperatura o la de la energía, sólo
se han definido en los dos o tres últimos siglos, y aún
no se han generalizado para todo el mundo.
En esta unidad vamos a conocer cómo el ser humano
ha convertido la medida en un compañero fiel en su
relación con los objetos y los fenómenos que le rodean,
y cómo la precisión en ello es uno de los retos pendientes de los científicos en su afán por construir instrumentos de medición cada vez más precisos.
UNIDAD
1
Lord Kelvin
«Si puedes medir aquello de lo que estás hablando
y expresarlo con números, sabes algo sobre ello.
Pero si no puedes medirlo, si no puedes expresarlo
en números, tu conocimiento es bien magro e insa­
tisfactorio».
1. Magnitudes
Un objeto posee una serie de propiedades, como el color, el olor, la belleza, etc., que no
pueden medirse. Sin embargo, cuenta con otras, como la longitud, el peso, el volumen o la
densidad que sí son medibles, y a las que denominamos magnitudes físicas.
Una magnitud es la propiedad física de un cuerpo que
puede medirse. Para establecer las dimensiones de una
magnitud, hay que compararla con otra que tomamos
de referencia, y a la que denominamos unidad. Las
unidades de medida de las diferentes magnitudes han
sido establecidas por la comunidad científica, y son
aceptadas por la mayoría de la población mundial.
Las diferentes partes del cuerpo han sido utilizadas desde la Anti­
güedad como unidades de longitud. El homo ad quadratum de Leo­
nardo da Vinci es una muestra de cómo el ser humano es la medida
de todas las cosas.
Para expresar una magnitud, hay que indicar la cantidad de unidades que contiene. A cada magnitud le
cor­responde una unidad y debe ex­presarse con un
número y con la unidad correspondiente utilizada. Por
ejemplo, un chico mide 1,84 m; estamos dando el
valor de la altura (la magnitud que estamos midiendo),
que en este caso es 1,84 veces la unidad de medida
que estamos usando como referencia, en este caso el
me­tro.
A lo largo de la historia, y dependiendo de las zonas geográficas, se han utilizado distintos
tipos de unidades para medir una misma magnitud. Actualmente, en la mayoría de los países se utiliza el sistema internacional de unidades.
1.1 Tipos de magnitudes
La comunidad científica considera que existen unas determinadas magnitudes primarias, las
magnitudes fundamentales, y otras que se obtienen a partir de ellas, las magnitudes
derivadas.
Así, por ejemplo, si comparamos la magnitud longitud y la magnitud superficie, vemos que
la unidad de medida de la longitud, que es el metro, se utiliza también para expresar la
superficie, por medio de elevar al cuadrado la unidad de longitud. Es decir, que la superficie
es el producto de dos longitudes.
[ ]
LA MEDIDA
1.1.1 Magnitudes fundamentales y derivadas
Las magnitudes fundamentales son comunes para todos los cuerpos y se escogen
arbitrariamente como tales y no se definen en función de ninguna otra. Son magnitudes
fundamentales la longitud (l), la masa (m) y el tiempo (t), la intensidad de corriente eléctrica (A), la cantidad de sustancia (mol), etc.
Las magnitudes derivadas se obtienen a partir de las mag­­nitudes fundamentales, mediante ecuaciones matemáticas. Son magnitudes derivadas la velocidad y la fuerza.
sistema internacional de unidades
magnitud
unidad
longitud
metro
masa
kilogramo
tiempo
segundo
intensidad de corriente eléctrica
amperio
temperatura termodinámica
kelvin
cantidad de sustancia
mol
intensidad luminosa
candela
Tabla de magnitudes fundamentales.
EJEMPLO
velocidad =
longitud
tiempo
fuerza =
masa · longitud
tiempo2
1.1.2 Magnitudes escalares y vectoriales
Las magnitudes escalares están definidas con un número real y
la unidad correspondiente. Observa los ejemplos siguientes:
medida de la masa de un cuerpo
6 kg
medida de la longitud de una tabla
5m
medida de la superficie de un terreno
8 km2
temperatura de un cuerpo
10 K
trabajo realizado por una máquina
102 J
energía liberada
43 J
Un vector viene determinado por un punto de
aplicación A (origen) un extremo B, un valor nu­
mérico (módulo), una recta que lo contiene (direc­
ción) y un sentido (que indica la flecha). Para de­
signar un vector se utiliza una letra negrita; por
ejemplo, a o una flecha, →
a .
Las magnitudes vectoriales se definen por un número real, una unidad, un punto de
aplicación, una dirección y un sentido.
Las magnitudes vectoriales son fundamentales en física, pues permiten medir la velocidad
de un cuerpo, su desplazamiento y su aceleración. También podemos conocer la fuerza que aplicamos sobre un cuerpo o calcular la intensidad de un campo eléctrico. Para
expresar las magnitudes de velocidad, aceleración, fuerza, etc., debemos emplear una
herramienta matemática: el vector.
[ ]
UNIDAD
1
Un vector es un segmento orientado en el espacio, definido por:
– Módulo: es la longitud del vector.
– Dirección: es la recta en la que se encuentra el segmento.
– Sentido: que se determina con la dirección de la flecha.
ACTIVIDAD
1 Dadas las siguientes magnitudes, indica cuáles son escalares y cuáles vectoriales:
longitud
de una mesa
volumen de agua de una piscina
velocidad de un avión temperatura del cuerpo humano
fuerza con la que nos atrae la Tierra
masa de nuestro cuerpo
intensidad de un campo magnético
2. Unidades de medida de las magnitudes
2.1 Unidades fundamentales SI
Como hemos visto, todas las magnitudes tienen una unidad de medida. Tras mucho tiempo sin llegar a un acuerdo en un sistema homogéneo para todos los países, la comunidad
internacional fijó, en 1960, el sistema internacional de unidades (SI). Actualmente, la mayor
parte de los países utiliza dicho sistema.
Según la ley, en España, así como en todos los países de la Unión Europea, el uso de este
sistema es obligatorio.
magnitud
nombre
símbolo
longitud
metro
m
masa
kilogramo
kg
tiempo
segundo
s
intensidad de corriente
eléctrica
ampere
A
temperatura termodinámica
kelvin
K
cantidad de sustancia
mol
mol
intensidad luminosa
candela
cd
Además de la temperatura
termodinámica (símbolo T)
expresada en kelvin, también se utiliza la temperatura
Celsius (símbolo t) definida
por la ecuación:
t = T – T0
Donde T0 = 273,15 K
Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden
ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales
partículas.
En el sistema internacional, la unidad
de longitud es el metro, que toma co­
mo medida de referencia el metro
patrón de Sèvres.
[ 10 ]
LA MEDIDA
Definición de las unidades fundamentales del SI
Longitud. El metro (m) es la longitud del
trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo.
Masa. El kilogramo (kg) es igual a la masa
del prototipo internacional del kilogramo.
En Sèvres (Fran­
cia) se conser­
van los patrones
de las unidades
de me­dida. En
las fotogra­fías,
el kilogramo pa­
trón, unos ter­
mó­­metros
de
mer­­curio y un
fotómetro.
Tiempo. El segundo (s) se calcula según la
duración de 9.192.631.770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Intensidad de corriente eléctrica. El amperio (A) es la intensidad de una corriente
constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro
en el vacío, produce una fuerza igual a
2 · 10–7 newton por metro de longitud.
Temperatura termodinámica. El kelvin
(K), unidad de temperatura termodinámica,
es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
Cantidad de sustancia. El mol (mol) es la
cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbo­no
12.
Intensidad luminosa. La candela (cd) es la
unidad luminosa, en una dirección dada, de
una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 · 1012 Hz y cuya intensidad energética en dicha dirección es
1/683 watt por estereorradián.
2.2 Unidades suplementarias SI
Para la medición del ángulo plano y del ángulo sólido se utilizan las denominadas unidades
suplementarias:
magnitud
nombre
símbolo
expresión en unidades SI
fundamentales
ángulo plano
radián
rad
mm–1 = 1
ángulo sólido
estereorradián
sr
m2 m–2 = 1
[ 11 ]
1
UNIDAD
Definición de las unidades suplementarias SI
á
ngulo plano. El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de
un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud
igual a la del radio.
á
ngulo sólido. El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el
centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un
cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.
Las unidades de las magnitudes fundamentales deben ser cómodas, invariables, inalterables
y, sobre todo, fácilmente reproducibles.
De cada unidad, se construye un patrón que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas
y Medidas, con sede en Sèvres (cerca de París), y desde aquí se distribuye una copia exacta a
los países que adoptan el mismo sistema de unidades.
Normas
de la ISO
(Internacional Standard
Organization)
Los nombres de las unidades, así como
los múltiplos y submúltiplos, se escriben con minúscula (excepto el grado
Celsius).
Los símbolos que representan las unidades se escriben con minúscula, excepto cuando proceden de nombres
propios; entonces, se escribe con mayúscula la inicial; por ejemplo, Pa (Pascal).
Los prefijos de los múltiplos y submúltiplos se escriben con minúscula, excepto en el caso de los múltiplos mega y
superiores.
No se pondrá punto después del símbolo, salvo que esté al final de la frase.
2.3 Múltiplos y submúltiplos decimales
Las unidades del Sistema Internacional van acompañadas de
múltiplos y submúltiplos decimales, puesto que las medidas de
las magnitudes que existen en la naturaleza son muy diversas. Así,
por ejemplo, no es lo mismo medir el diámetro de la Tierra, que
medir el diámetro de un átomo de hidrógeno.
Aun siendo ambas unidades de longitud, en el primer caso utilizaremos un múltiplo del metro y hablaremos de miles de kilómetros y en el segundo caso utilizaremos un submúltiplo del metro,
como es el nanómetro.
Diámetro de la Tierra:
12.756 km
aproximadamente
Los símbolos siempre irán en singular.
Entre el número y el símbolo debe dejarse un espacio, salvo en las medidas
angulares.
Los productos entre unidades se expresan dejando un espacio entre los símbolos. Por ejemplo:
Diámetro de un átomo de hidrógeno:
0,1 nm = 10-10 m,
aproximadamente
kg m s–2
o bien poniendo un punto entre ellos:
kg · m · s–2
[ 12 ]
A menudo, las unidades del sistema internacional no resultan adecuadas por pequeñas
o por grandes, por lo que se recurre a múltiplos y submúltiplos, respectivamente.
LA MEDIDA
En las siguientes tablas, puedes observar los múltiplos y submúltiplos del sistema internacional más utilizados:
múltiplos
submúltiplos
factor
prefijo
símbolo
factor
prefijo
símbolo
1018
exa
E
10–1
deci
d
1015
peta
P
10–2
centi
c
T
10–3
mili
m
micro
u
1012
tera
109
giga
G
10–3
106
mega
M
10–9
nano
n
103
kilo
k
10–12
pico
p
h
10–15
femto
f
da
10–18
atto
a
102
101
hecto
deca
2.3.1 Factores de conversión de unidades
A menudo tenemos que realizar operaciones con magnitudes expresadas en unidades
diferentes. Para que los cálculos sean correctos, debemos transformar las unidades
e igualarlas. Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un vehículo que se
mueve a velocidad constante de 108 km/h en un trayecto durante 20 s, debemos aplicar
la ecuación S = v · t . Para ello, debemos transformar los km a m y las h a s mediante los
factores de conversión.
Denominamos factor de conversión la relación de equivalencia entre dos unidades de la
misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades. En nuestro caso, el factor de conversión entre horas y segundos
viene dado por la expresión 1h / 3.600 segundos o la equivalente 3.600 segundos / 1h ,
ya que 1 h = 3.600 s.
Para realizar la conversión, tomamos la unidad de partida y usamos la relación o factor
adecuado, de modo que se nos simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor
en las unidades que nos interesa. En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de
km/h a km/s, con lo que usaremos la primera de las expresiones, ya que así simplificamos
la unidad hora:
108
km
1 hora
·
= 0,03 km/s
3.600
segundos
hora
Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores de conversión
sucesivamente y realizamos las operaciones. Por ejemplo, para transformar los 108 km/h
a m/s:
108
km
1 hora
1.000 metros
·
·
= 30 m/s
1 km
hora 3.600 segundos
[ 13 ]
1
UNIDAD
S
uperficie. Para cambiar de una unidad de longitud a otra superior se divide por 100, es decir, su
factor de conversión es 10–2. Para pasar de una
unidad de longitud a otra inmediatamente menor
se multiplica por 100, es decir, por 102.
Debemos recordar que, en las unidades de longitud, superficie y volumen, el factor de conversión de
unas unidades a otras varía del siguiente modo:
L
ongitud. Para cambiar de una unidad de longitud a otra superior se divide por 10, es decir, su
factor de conversión es 10–1. Para pasar de una
unidad de longitud a otra inmediatamente menor
se multiplica por 10.
Volumen. Para cambiar de una unidad de longitud
a otra superior se divide por 1.000, es decir, su
factor de conversión es 10–3. Para pasar de una
unidad de longitud a otra inmediatamente menor
se multiplica por 1.000, es decir, por 103.
ACTIVIDADES
3 Expresa en unidades del sistema internacio­
2 Responde a las siguientes cuestiones.
nal las siguientes magnitudes:
a) ¿Qué es un sistema de unidades?
b) ¿Cuál es el sistema de unidades más utiliza­
do en la actualidad? Enumera las siete mag­
nitudes fundamentales de dicho sistema.
c) ¿Qué otros sistemas de unidades importan­
tes se utilizaron hasta hace poco, antes de la
implantación del SI?
a) L
a longitud de una carretera es 5,3 · 104 km;
3,05 hm; 54 cm y 30 m.
b) El tiempo que ha tardado un ciclista en re­
correr una etapa es: 4h 39 min y 21 s.
c) La masa de un cuerpo es de 39 kg; 0,53 hg;
23 g; 102 dag; 852 mg y 35,6 dg.
3. Ecuaciones de dimensión
Las magnitudes derivadas se definen en función de las magnitudes fundamentales, mediante una fórmula dimensional o ecuación de dimensiones.
En mecánica, las ecuaciones se expresan en función de las magnitudes fundamentales:
longitud (L), masa (M) y tiempo (T).
Si estudiamos los procesos eléctricos, además de las magnitudes utilizadas en mecánica,
se introduce la magnitud de intensidad de corriente (I).
Ecuación de dimensiones de algunas magnitudes derivadas
magnitud
[ 14 ]
fórmula
ecuación de dimensión
S=L·L=
L2
unidad (SI)
m2
superficie
S=a·b
volumen
V=a·b·c
V = L · L · L = L3
m3
velocidad
v = s/t
v = L / T = L T–1
m / s = m · s–1
aceleración
a = v/t
a = L · T–1/ T = L · T–2
m / s2 = m · s–2
fuerza
F=m·a
F = M · L · T–2
kg · s–2 = newton
trabajo
W=F·s
W = M · L · T–2 · L
kg · m2 · s–2 = julio
potencia
P = W/t
P = M · L–2 · T–2 / T
kg · m2· s–3 = watio
LA MEDIDA
EJEMPLO
Escribe la ecuación de dimensiones de las siguientes magnitudes:
a)velocidad
b) fuerza
c) densidad
a)La velocidad es una magnitud derivada que viene
leración, a su vez, depende de la velocidad. Por
tanto:
definida por la fórmula:
s
v =
t
F = m · a ⇒ F = m · v
t
–1
[F] = M · L · T ⇒ [F] = M · L · T–2
Su ecuación de dimensiones será:
[v] =
L
T
T
c) Del mismo modo, la densidad será:
⇒ [v] = L · T–1
b)La fuerza es una magnitud derivada en cuya fór­
mula intervienen la masa y la aceleración. La ace­
d = m
v
[d] =
M
⇒ [d] = M · L–3
L3
ACTIVIDADES
4 Halla la ecuación dimensional de la aceleración.
5 Halla la ecuación dimensional del volumen de agua de una piscina de dimensiones a, b y c.
4. Representaciones gráficas
Al observar un fenómeno, podemos medir varias magnitudes y relacionarlas matemáticamente, para obtener una ley física que nos permita efectuar un análisis de los resultados
y comprender mejor dicho fenómeno.
La mayor parte de los valores obtenidos en la medición de las magnitudes puede representarse gráficamente para que resulte mas fácil tener una visión general del fenómeno y poder
extraer conclusiones a partir de él. La gráfica resulta de la unión de puntos que representa
cada par de variables.
v (m/s)
s (m)
v = cte
30
s = so + vt
20
so
10
10 20 30
40 50 60 70 0 0
t (s)
t (s)
Si analizamos el espacio recorrido por un coche, observamos que depende de la velocidad y del tiempo. Si consideramos un
movimiento rectilíneo y uniforme, la variable velocidad es constante, con lo que puede simplificarse el estudio y analizarse el
com­portamiento de las variables o magni­tudes.
[ 15 ]
1
UNIDAD
La variables o magnitudes se designan según la convención matemática más generalizada con x e y. x es la variable independiente; mientras que y es la variable dependiente;
entre ambas variables se establece una relación que denominamos comúnmente función.
y = f(x)
Para realizar una representación gráfica,
debe seguirse el siguiente procedimiento.
En el fenómeno físico del movimiento del coche, el tiempo es la
variable independiente; el espacio es la variable dependiente, y la
relación entre ambas viene dada por la ecuación:
Elegir las magnitudes que vamos a
relacionar y establecer la función.
s=v·t
Recoger los valores o medidas de dichas magnitudes (tablas de valores).
En dicha función, v es constante.
Representar los valores sobre un papel milimetrado en el cual se sitúan
sobre unos ejes cartesianos, los valores de la variable independiente en el
eje de abcisas, y la variable dependiente en el eje de ordenadas (sistema de referencia cartesiano).
Las gráficas, según su complejidad, corresponden a funcio­nes
matemáticas lineales y = f(x) de la forma y = mx, o bien,
y = mx + n; funciones parabólicas y = ax2+ bx + c, o de ma­yor
dificultad.
Indicar claramente las magnitudes
y sus unidades correspondientes, qué
representamos en cada eje.
En la función lineal, un aspecto importante es determinar la pendiente de la recta, también denominada valor constante. Este
valor se calcula dividiendo la variación de la variable dependiente
entre la variación de la variable independiente, como se muestra
en la siguiente fórmula:
Escoger una escala adecuada sobre
los ejes para que la gráfica resulte fácil
de interpretar y quede centrada.
y1 – y0
m=
x1 – x0
EJEMPLO
Estudiamos el movimiento rectilíneo uniforme de
un coche y tras los procesos de medición se obtie­
nen los valores que aparecen en la tabla adjunta.
A partir de ellos, soluciona las cuestiones propues­
tas:
a)
2
4
6
8
10
espacio (m)
50
100
150
200
250
a )Representamos gráficamente los valores obtenidos.
b)Calculamos la velocidad del coche en km/h.
b)La velocidad viene determinada por la pendiente
de la gráfica.
s (m)
y=m·x
s=v·t
250
200
150
100
50
v=
y1– y0 100
x1– x0
2
[ 16 ]
tiempo (s)
4
6
4
10
t (s)
v=
y – y0
s
; m = 1
x1 – x0
t
100
= 25 m/s ⇒
4
⇒ v = 90 km/h
LA MEDIDA
ACTIVIDADES
6 Para alargar un muelle, tenemos que aplicar una fuerza que está en función de una constante
recuperadora o elástica del muelle y de su alargamiento o elogación. Dicha fuerza viene deter­
minada por la ley de Hooke: F = k · x. Sabiendo que k = 500 N/m, ¿qué fuerza hay que aplicar
para que el muelle se alargue 10 cm?
7 La siguiente gráfica corresponde al movimiento de un vehículo.
a) A
partir de la información que te
aporta la gráfica, describe el movi­
miento del ve­hículo.
b) ¿Qué tipo de movimiento es? ¿Qué
tipo de movimiento lleva durante los
10 primeros segundos? ¿Y cuando ha
transcurrido una hora? ¿Qué espacio
ha recorrido mientras ha acelerado?
¿Cúal es su velocidad entre los 10 y
los 130 segundos? ¿Cuánto tiempo
ha estado en movimiento? ¿Qué es­
pacio ha recorrido en total?
v (m/s)
20
15
10
5
t (s)
0 10
130
150
5. Instrumentos de medida. Sensibilidad y precisión
Denominamos sensibilidad de un aparato al error absoluto (ea) a la mínima unidad de
medida que puede apreciar dicho aparato sin errar en la lectura. Por tanto, un aparato
es más sensible cuanto más claramente acusa diferencias de cantidad de la magnitud
medida.
Si una balanza aprecia centésimas de gramo, su sensibilidad será de 0,01 g, es decir
10–5 kg y apreciará variaciones de masa de 0,01g en + o en –.
La precisión, sin embargo, es la concordancia existente entre
las distintas indicaciones de un aparato de medida al calcular la
misma magnitud en idénticas condiciones.
Además de las características de sensibilidad y precisión, un
aparato de medida también debe ser rápido al realizar determinadas medidas que pueden oscilar dependiendo de factores
ambientales, o de las propias muestras, por lo que es importante que trabaje a la mayor brevedad posible.
Otra cualidad importante es la fidelidad. Decimos que un aparato es fiel cuando al medir la misma cantidad ofrece siempre
el mismo resultado.
Lo que conocemos comercialmente como balanzas de
precisión son balanzas en que confluye la sensibilidad
del aparato con su precisión en la medida.
[ 17 ]
UNIDAD
1
6. Errores en la medida
En las mediciones de una magnitud, es importante el rigor, para evitar errores en el resultado, que puede aparecer alterado por una apreciación equivocada del observador o por el
mal uso o estado del aparato. Por tanto, todas las medidas tienen el riesgo de resultar afectadas por algún tipo de error. Esta imprecisión en la medida de una magnitud se denomina
error experimental. Dependiendo de sus causas, los errores experimentales pueden ser:
Errores sistemáticos. Son los errores que se producen al medir de la misma forma. Las
causas de los errores sistemáticos pueden ser:
– La utilización de aparatos inadecuados o en mal estado (imperfectos). Estos errores
pueden detectarse y cuantificarse, puesto que se repiten en todas y en cada una de las
mediciones. Pueden suprimirse eliminando las causas que lo producen.
– Errores de escala, que son los producidos al medir con una escala, cuando el indicador
se sitúa entre dos divisiones sucesivas, por lo que resulta difícil determinar su valor.
Errores accidentales o aleatorios. Son inevitables, ya que unas veces se producen
y otras no, aun en las mismas condiciones. Pueden compensarse repitiendo la medida
varias veces, y calculando su media aritmética.
6.1 Error absoluto y error relativo
Toda medida lleva consigo un margen de error, por lo que al valor exacto de la magnitud
que se mide se le deben añadir los límites de incertidumbre o error absoluto.
El error absoluto (ea) cometido en una medición es la diferencia entre el valor obtenido
en la medición (xi) y el que consideramos exacto de la magnitud x.
ea = xi – x
Para que una medida presente un cierto grado de precisión, debe repetirse varias veces. Se
considera medida exacta ( x ) la media aritmética de todas ellas:
i=n
x=
x1 + x2 + x3 + … + xn
n
=
i=l
n
xi
El error absoluto se expresa con un número positivo o negativo y la unidad correspondiente
a la magnitud medida.
El error relativo (er) nos permite determinar la precisión de la medida. Se define como el
cociente entre el error absoluto y la medida considerada exacta.
e
er = –a
x
Se expresa con un número sin unidades y suele indicarse en forma de porcentaje (%). Para
ello, se multiplica el error relativo por 100, con lo que se obtiene el porcentaje de error.
[ 18 ]
LA MEDIDA
EJEMPLO
Un grupo de 7 alumnos de Física ha medido la masa de un anillo de oro en una balanza digital que aprecia
hasta los miligramos, y ha obtenido los siguientes resultados: 7,940 g; 7,925 g; 8,000 g; 7,953 g; 8,001 g;
7,978 g; 7,950 g. Calcula:
a ) La masa del anillo de oro.
b)El error absoluto de cada una de las pesadas realizadas.
a) Se considera masa exacta la media aritmética de las pesadas realizadas experimentalmente por cada uno
de los alumnos y alumnas:
7,940 g + 7,925 g + 8,000 g + 7,953 g + 8,001 g + 7,978 g + 7,950 g
x– =
=
7
55,747 g
= 7,963
7
x– = 7,963 g.
Por tanto, la masa real del anillo es de 7,963 g.
b)El error absoluto que se ha cometido en cada una de las pesadas es:
1.a pesada: 7,940 – 7,963= –0,023 g; 2.a pesada: 7,925 – 7,963= –0,038 g; 3.a pesada: 8,000 – 7,963= 0,037 g;
4.a pesada: 7,953 – 7,963= –0,010 g; 5.a pesada: 8,001 – 7,963 = 0,038 g; 6.a pesada: 7,978 –7,963= 0,015 g;
7.a pesada: 7,950 – 7,963= –0,013 g
EJEMPLO
La longitud del campo de fútbol del Instituto es de 250 m; al medirla, Luis obtiene 249,95 m. Por su parte,
Patricia mide el pasillo que comunica las clases y obtiene 24,95 m, cuando en realidad mide 25 m. ¿Cuál de
los dos alumnos ha realizado la medida con mayor precisión?
Para saber quién ha realizado la medida con mayor precisión, calculamos el error relativo.
Medida de Luis:
erLuis =
0,05
|eaLuis|
= 250 = 0,0002 = 0,02 %
x
eaLuis = 249,95 – 250 = –0,05 m
Medida de Patricia:
erPatricia =
0,05
|eaPatricia|
=
25 = 0,002 = 0,2 %
x
eaPatricia = 24,95 – 25 = –0,05 m
Luis ha obtenido, por tanto, una medida más precisa, puesto que su error (0,02 %) es menor que el 0,2 % de
Patricia.
[ 19 ]
UNIDAD
1
6.2 Expresión de una medida y su error
6.2.1 Cifras significativas
Si medimos varias veces una cuerda con una cinta métrica que aprecia los milí­metros,
podemos obtener los siguientes resultados: 930 mm, 931 mm, 932 mm, 932 mm,
933 mm.
Si calculamos la longitud media de la cuerda sumando las cinco cantidades y dividiendo el
resultado entre 5, obtenemos:
930 + 931 + 932 + 932 + 933
Lm=
5
= 931,6 mm = 0,9316 m
Como la cinta sólo medía los milímetros y nosotros hemos obtenido una medida más precisa que la que podemos observar experimentalmente, deducimos por tanto que hay un
error.
En la práctica, la longitud de la cuerda la expresaríamos como L = 932 mm = 0,932 m, ya
que son las cifras que consideramos significativas.
Podemos decir, por tanto, que las cifras significativas de un resultado son todas las cifras
exactas y la última, de aproximación o de precisión.
Para expresar correctamente el resultado de una medición con cifras significativas, debemos
tener en cuenta las siguientes reglas:
aSon significativas todas las cifras distintas de cero.
bLos ceros colocados entre las cifras significativas son significativos; por ejemplo: 2.030.701.
c Los ceros colocados antes de la primera cifra significativa no son
significativos; por ejemplo: 0,5037.
d Los ceros colocados después de la última cifra significativa no
son significativos, excepto cuando van seguidos de la coma decimal (5030, ), o si van a continuación de una coma (503,0).
Cuando se realiza una operación matemática con la calculadora,
no deben expresarse todos los dígitos, sino únicamente los que
sean significativos; éstos nunca pueden ser más que los valores
de partida.
Para evitar este problema, debemos redondear la cifra.
Al tomar una medida, para evitar el error, debe­
mos obtener los datos varias veces. Con la media
aritmética de éstos obtendremos la medida, que
expresaremos en cifras significativas.
[ 20 ]
Supongamos el siguiente resultado:
325,32567 mm
LA MEDIDA
Suprimimos todos los números a la derecha de la cifra de aproximación o precisión:
Si la cifra de aproximación es menor que 5, se dejan las cifras significativas:
325,3 mm
325 mm
Si la cifra de aproximación es mayor o igual a 5, se añade una unidad a ésta. Si fuese
325,8 mm, expresaríamos el resultado como 326 mm.
EJEMPLO
Realizamos la medición de las siguientes magnitudes y obtenemos los siguientes resultados: 4,085 km;
435,00 cm; 839 mm; 4,25 · 103 kg. Indica el número de cifras significativas de cada medida:
1 La medida 4,085 tiene 4 cifras significativas.
2 La medida 435,00 tiene 5 cifras significativas.
3 La medida 839 mm tiene 3 cifras significativas.
4 La medida 4,25 · 103 kg tiene 3 cifras significativas.
6.2.2 Notación científica
Las magnitudes físicas, a veces, suelen ser demasiado grandes, como es el caso de la
masa de la Tierra, de 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg, o excesivamente pequeñas, como los 0,00000000000000000000000000000091096 kg de masa del electrón.
Expresar estas medidas de este modo no es práctico, ni cómodo, por lo que recurrimos a
la notación científica.
Un número expresado en notación científica debe estar constituido por:
– Una parte entera, que consta de una sola cifra significativa y que corresponde a las unidades.
– Una parte decimal, formada por el resto de las cifras significativas.
– Una potencia de base 10, con exponente positivo o negativo, según sea el orden de
magnitud del número, así los ejemplos anteriores los escribiremos:
MT = 5,98 · 1024 Me = 9,1096 · 10–31
Para realizar cálculos de números expresados en notación científica, se procede de forma
natural. Por ejemplo:
3,2 · 10–5 + 1,5 · 10–3 – 2,15 · 10–4 = 0,032 · 10–3 + 1,5 · 10–3 – 0,215 · 10–3 = 1,317 · 10–3
ACTIVIDAD
6 Dadas las siguientes medidas, exprésalas en unidades del SI y señala el número de cifras signi­
ficativas que tienen:
a) 320,001 mg, 63,07 g y 1,20 · 10–3 kg.
b) 0,62 h y 24,21 min.
[ 21 ]
1
UNIDAD
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Medida de la masa
Objetivos
Aprender a determinar la masa (peso) de un cuerpo mediante la balanza.
Reconocer las distintas partes de la balanza.
■ Adquirir las técnicas necesarias para el manejo y para la utilización de la balanza.
■ Aprender a interpretar el concepto del valor medio de una serie de medidas.
■ Aprender a calcular el error absoluto y el error relativo de las medidas realizadas.
■ Expresar correctamente el resultado de la masa del cuerpo.
■
■
Información
Para medir la masa de distintos cuerpos vamos a utilizar la balanza.
En realidad, la balanza nos permite medir el peso, es decir, la fuerza con la que la Tierra
atrae a los cuerpos.
Utilizamos en este caso la balanza de dos brazos, de cada uno de los cuales cuelga un
platillo.
En uno de los platillos vamos a colocar el cuerpo que hay que medir y en el otro se van
colocando paulatinamente pesas hasta que se alcanza el equilibrio, lo que lograremos tras
diversas oscilaciones.
Al pesar algunos cuerpos, como vidrios de reloj o similares, debemos procurar no ponerlos
en contacto directo con los platillos y pesarlos en los recipientes adecuados. Lógicamente,
debemos pesar antes el recipiente. Asimismo, procuraremos conservar los platillos perfectamente limpios. Es conveniente no sobrecargar la balanza, pues podría deformarse e incluso
romperse.
[ 22 ]
LA MEDIDA
Material
Balanza.
Fragmentos de mármol.
■ Bolas de plomo de igual volumen.
■
■
Experimentación y observación
1Realiza en tu cuaderno de prácticas de laboratorio un dibujo detallado de la balanza que vas
a utilizar y señala cada una de sus partes.
2Calcula la masa (peso) de los fragmentos de mármol y de las bolas de plomo. Pésalos cuatro
veces. Anota los valores obtenidos en la tabla siguiente.
1.ª
pesada
2.ª
pesada
3.ª
pesada
4.ª
pesada
x
ea = xi – x
er =
ea
x
medida
correcta
mármol
bolas
de plomo
Análisis
Una vez realizada la práctica, anota el valor del peso correcto obtenido por todos los grupos del
laboratorio y calcula el valor medio total y la medida correcta de los cuerpos pesados.
Contesta
a¿Cuál de los grupos ha realizado con mayor precisión la medida? Razona tu respuesta.
bExpresa correctamente la medida que consideréis más correcta.
c¿Qué grupo ha cometido mayor error en sus medidas? ¿Por qué?
[ 23 ]
UNIDAD
1
GRANDES HITOS EN LA HISTORIA DE LA CIENCIA
La medida del tiempo
El ser humano siempre ha buscado medir el tiempo,
pero no ha sido hasta el siglo xx, con la aparición de
los relojes de cuarzo, cuando realmente se han
construido aparatos suficientemente precisos.
El primer reloj, cuya invención es milenaria, fue el
de sol. La punta de la sombra de un palo recorre
regularmente un arco, que en la Edad Media fue di­
vidido en 12 y luego en 24 segmentos. Había relojes
solares en casi todas las iglesias.
La clepsidra es un reloj de agua que utilizaron tanto
las civilizaciones precolombinas en América como
los egipcios y los griegos. Consistía en un recipiente
graduado atravesado por un agujero por el que pa­
saba el líquido. La clepsidra permitía medir el tiem­
po durante la noche, cuando no podía hacerlo el
reloj de sol.
Posteriormente, se usaron el reloj de arena, la vela o
el palo de incienso y la lámpara de aceite. Los pri­
meros relojes, tal como los conocemos actualmente,
aparecieron en el siglo xiii, con una sola aguja que
marcaba las horas. Funcionaban gracias a una pesa
cuyo movimiento descendente era acompasado por
muescas dispuestas regularmente. No eran dema­
siado precisos, y podían llegar a retrasarse una hora
por día, por lo que a menudo se ponían junto a un
reloj de sol para ajustarlos.
[ 24 ]
En 1657, el físico holandés Huygens creó el primer
reloj de péndulo. Rápidamente se le agregó un re­
sorte en forma de espiral que mejoraba considera­
blemente su precisión. A fines del xviii se generali­
zaron los relojes de bolsillo con resorte.
La falta de un instrumento fiable de medida del
tiempo era un serio inconveniente para los nave­
gantes, que necesitaban saber la distancia de sus
viajes. El cronómetro de marina nació en 1736. El
reloj eléctrico fue inventado por el escocés Alexan­
der Bain en en 1840.
La fabricación de relojes de gran precisión data de
principios del siglo xx, y fue posible gracias al cuar­
zo. Este mineral vibra a un ritmo regular cuando es­
tá sometido a una corriente eléctrica. La introduc­
ción del cuarzo en relojería permitió fabricar
mecanismos seis veces más precisos que los relojes
mecánicos.
En 1929 los relojes de cuarzo ya eran frecuentes, pe­
ro fue en 1970 cuando se redujo tanto su tamaño
que fue posible fabricar relojes de pulsera de cuar­
zo.
En 1958 aparecieron los relojes atómicos, que per­
miten alcanzar una precisión de un segundo por 10
millones de años.
LA MEDIDA
CIENCIA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDAD
El mundo analógico y el mundo digital
Si observamos cómo se mueve la aguja en el velocí­
metro de un automóvil cuando variamos la velocidad,
comprobaremos cómo ésta se desplaza de un modo
continuo a lo largo del círculo. El velocímetro recibe
una señal continua del número de vueltas que reali­
zan las ruedas cada unidad de tiempo. La aguja refle­
ja la velocidad del vehículo señalando las unidades
que se especifican en el círculo del velocímetro.
res que reflejará tienen un número limitado. Por
ejemplo, entre 80 y 81 km/h, la precisión es de déci­
mas, el velocímetro será capaz de medir 10 valores
entre 80 y 81.
La señal que indica la aguja del velocímetro es ana­
lógica.
Para convertir una señal analógica en digital se reali­
za un muestreo en el tiempo de la señal por medir y
se le asigna un valor, que se almacena o se transmite
en forma binaria (0 ó 1). Este proceso se conoce co­
mo digitalización.
En un sistema de medición analógico, la señal que
enviamos o recibimos es continua, es decir, la aguja
podrá señalar los «infinitos valores» que puedan
existir entre, por ejemplo, 80 y 81 km/h, otra cosa es
que nuestros sentidos perciban dicha variación.
Un ejemplo más cercano es el reloj. Todo el mundo
conoce la diferencia entre un reloj analógico (de
agujas) y uno digital.
La ventaja de la señal digital es que es mucho mas fácil
de almacenar y de transmitir, lo que provoca que a su
vez sean más baratos su almacenamiento y su trans­
misión, además de aumentar su fiabilidad.
Se dice que el mundo futuro será digital, ya que se
puede digitalizar la imagen, el sonido y las señales
emitidas por los aparatos para transmitirlas a través
de las redes digitales de comunicación. Gracias a
esto, pueden observarse las medidas realizadas por
aparatos que se encuentran a muchos kilómetros de
distancia del observador, lo cual es imposible cuando
la medición es analógica.
Existen numerosos aparatos de medida analógicos
como los que señalan la presión de una caldera de
gas, o la rueda que debemos girar para regular el
volumen o sintonizar una emisora en un aparato de
música. No obstante, en las últimas décadas han
aparecido aparatos de medida digital, que poco a
poco han ido ganando el terreno a los aparatos ana­
lógicos. Los automóviles de última generación, por
ejemplo, tienen el velocímetro digital, es decir, cuan­
do el coche frena o acelera, los números que indican
la velocidad en km/h van variando en una pantalla
de cristal líquido. En este caso, la señal que recibe el
velocímetro es una señal discreta, es decir, los valo­
El mundo que nos rodea es analógico. Nuestros sentidos son órganos
de medida analógicos, ya que podemos percibir el paso de la luz a la
oscuridad, o del frío al calor como un proceso continuo, con todos sus
estadios intermedios.
[ 25 ]
UNIDAD
1
actividades
1 Expresa los siguientes números en notación
6 Desde la azotea de un edificio dejamos caer una
científica:
pelota cuatro veces y medimos con un cronó­
metro los tiempos que tarda en llegar al suelo.
a) 360.000.000.000
b) 0,00000000872
c) 124.000.000.000.000
2 Realiza las siguientes operaciones y expresa
el resultado en notación científica:
btenemos los siguientes tiempos: 1,02 s; 1,10 s;
O
1,08 s; 1,05 s. Calcula:
a) El tiempo más exacto que tarda en caer.
b) La incertidumbre en la medida.
c) La expresión del tiempo con incertidumbre.
a) 3,2 · 10–5 + 0,1 · 10–4 – 2,35 · 10–6 =
b) 9 · 109 ·
c) 5 · 104 ·
2 · 10–6 · 0,4 · 10–6
(0,06)2
[(0,0002)–3]2 · 0,01
(0,001)3 · (200)–2
7 Con varios cronómetros medimos el tiempo
empleado por un atleta en correr los 100 m
lisos. Un cronómetro marca 12,4 s; otro,
12,325 s y un tercero, 12,1035. Indica la marca
del atleta.
=
=
3 Un grupo de 6 alumnos ha realizado la medi­
ción experimental de la masa de una caja de
naranjas con una balanza electrónica cuya pre­
cisión llega hasta los miligramos.
8 Calcula la ecuación de dimensión de:
e han obtenido los siguientes resultados:
S
10,928 kg; 10,946 kg; 10,965 kg; 11,000 kg;
10,957 kg; 10,947 kg. Determina:
a) Energía cinética.
b) Energía potencial.
c) Trabajo.
9 Si una estrella se encuentra a 3 años luz de
a) El peso de la caja de naranjas.
b) El error absoluto de cada una de los pesos ob­
tenidos.
la Tierra y un año luz es la distancia que re­
corre la luz en un año a una velocidad de
300.000 km/s; calcula la distancia en km que la
separa de nuestro planeta. Expresa el resulta­
do en notación científica.
4 El patio de un centro de estudios tiene las si­
10 Demuestra, aplicando la ecuación de dimen­
guientes dimensiones: 70,45 ± 0,05 m y 50,38 ±
0,06 m.
sión a los dos miembros, cuál de las siguientes
expresiones es correcta:
a) ¿Cuál es su superficie?
b) ¿Cuál es el error relativo de cada una de las
medidas? ¿Qué error relativo hemos cometi­
do al calcular la superficie?
c) ¿Cómo se expresa la superficie con su corres­
pendiente margen de error?
v2
a) W = m · t · S
b) W =
m · s2
2t2
11 Expresa las siguientes medidas en su uni­
dad correspondiente del sistema internacio­
nal.
5 La velocidad de la luz es 2,997925 · 108 m/s. Si
trabajamos con el valor C = 300.000 km/s. ¿Qué
error absoluto y relativo estamos cometien­
do?
[ 26 ]
a) 6 · 10–5 cm, 7 Å, 0,58 µm, 0,032 dam
b) 23 t, 2,83 g, 7 · 10–3 hg, 15 L
c) 35 cm2, 103 m2, 5 · 103 dam2, 3 ha
LA MEDIDA
autoevaluación
1 Indica si son verdaderas o falsas las siguientes
5 De las siguientes medidas, ¿cuál es la de ma­
afirmaciones:
a) L
a belleza, la fuerza, la potencia y la alegría
son magnitudes físicas.
b) Medir es comparar cantidades de diferente
magnitud.
c) Unidad es una cantidad determinada que se
toma como patrón.
d) El enunciado «una fuerza no equilibrada que
actúa sobre un objeto hará que éste se acele­
re» es una ley física.
e) Todas las magnitudes físicas pueden expresar­
se en función de un pequeño número de mag­
nitudes llamadas magnitudes fundamentales.
f) El sistema internacional consta de cuatro
magnitudes fundamentales, con sus corres­
pondientes unidades fundamentales.
g) Todas las leyes físicas son homogéneas.
h) El análisis dimensional permite determinar
todas las leyes físicas.
2 ¿Cuál es la unidad de superficie en el sistema
internacional?
a)
b)
c)
d)
yor precisión?
a) El tiempo que ha tardado un ciclista en dar
una vuelta a un velódromo es de 23,58 s, me­
dido con un reloj que aprecia las centésimas
de segundo.
b) La longitud de una pista de atletismo es de
23,58 m, medida con una cinta métrica que
aprecia hasta los centímetros.
c) La masa de un cuerpo, medida en una balanza
digital que aprecia hasta los mg, es de 23,580 g.
6 Expresa las siguientes medidas en unidades
básicas del sistema internacional.
a) 5 hm
b) 35.000 g
c) 87 uA
d) 35 °C
7 Indica qué expresiones son correctas.
metro
metro cuadrado
metro cúbico
km
a)
b)
c)
d)
1 kW/h = 3,6 · 103 s
1 kW/h = 3,6 · 106 W/s
1 kW/h = 36 · 106 s
1 kW/h = 3,6 · 106 u
8 Las siguientes medidas están expresadas con
su correspondiente cota de error. Señala cuál
de las formulaciones de la cota de error es la
correcta. Justifica tu respuesta.
3 Clasifica las siguientes magnitudes físicas en
escalares y vectoriales.
a)
b)
c)
d)
velocidad
temperatura
volumen
fuerza
a) 9,348 ± 0,01 m
b) 1,07 ± 0,053 m
c) 4,8 ± 0,071 m
d) 246,13 ± 0,28 m
9 Un chico mide 1,74 m de altura. Al medirlo se
ha obtenido 1,75 m, con lo que se ha cometido
un error en la medición. Indica qué respuesta
es correcta.
4 ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones se co­
rresponde la ecuación de dimensión de la ener­
gía potencial?
a) W = F · S
b) Ec = m · v2
1
c) Ep =
m·g·h
2
a) E
l error absoluto cometido ha sido de 10 cm.
b) El error relativo cometido ha sido de 0,057 %.
c) El error absoluto cometido es de 0,01 m y el
relativo de 0,57 %.
d) El error absoluto y el error relativo de la medi­
da son iguales.
[ 27 ]