Aux._Buena_Onda_C1 - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Departamento de Ingenerı́a Matemática
Padrino: Nicolás Godoy
Sección 3
Auxiliar Buena Onda C1
MA1101 - Introducción al Álgebra
26 de Marzo 2013
P1.
(a) Sean p, q y r proposiciones. Determine explı́citamente la proposición compuesta s (en función de
p, q y r) cuya tabla de verdad es:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
s
V
V
F
V
F
F
F
V
(b) Pruebe que s ⇒ (r ⇒ p) es una tautologı́a.
P2.
(a) Sean z, w e y proposiciones tales que (z ∨ w) ⇒ y es falsa. Entregue el valor de verdad de las
siguientes proposiciones, justificando su respuesta:
(i) w ⇒ z
(ii) y ⇒ (z ⇔ (w ∨ y)
(b) Sean cuatro proposiciones p1 , p2 , p3 y p4 . Sabiendo que p4 es verdadera y que
p4 ⇒ ((p1 ⇒ p2 ) ∧ (p1 ⇒ p3 ))
es verdadera, pruebe que (p2 ∨ p3 ) es verdadera.
P3.
(a) Pruebe que si a, b y c son proposiciones, entonces la siguiente proposición es una tautologı́a:
(a ⇒ b) ∧ (c ⇒ b) ⇒ (a ⇒ c)
(b) Sean p, q y r proposiciones. Pruebe que la siguiente proposición es una tautologı́a:
((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ (q ∧ s))
P4.
(a) Pruebe que si (∃x)p(x) ⇒ (∀x)p(x), entonces p(x) no es una contingencia.
(b) Considere la proposición
p ⇔ [(∃x0 ∈ R)(∃ε > 0)(∀x ∈ (x0 − ε, x0 + ε))], f (x0 ) ≤ f (x)
Para las funciones f (x) = mx + n y f (x) = ax2 con a, m > 0 decida si p es verdadera o falsa.
Justifique.
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Departamento de Ingenerı́a Matemática
Padrino: Nicolás Godoy
Sección 3
(c) Sean p(x) y q(x) dos funciones proposicionales. Muestre que si
(∃!x)p(x) ∧ (∃!x)q(x)
entonces
(∃x)(p(x) ∧ q(x)) ⇒ (∃!x)(p(x) ∧ q(x))
P5.
(a) Sean γ, θ, φ y ρ cuatro proposiciones. Demuestre, sin usar tablas de verdad:
[(γ ⇒ θ) ∧ (ρ ⇒ φ)] ⇒ (γ ∨ φ ∨ (θ ∧ ρ)]
y
(γ ⇒ φ) ⇒ ((γ ∧ θ) ⇒ φ)
(b) Se define el conectivo lógico pFq ⇔ (p ∨ q). Escriba, solo usando F proposiciones equivalentes a
las siguientes:
(i) p
(ii) p ∨ q
(iii) p ∧ q
P6. Sea U el conjunto universo y A, B, C, D ⊆ U, con φ el conjunto vacı́o. Pruebe las siguientes propiedades:
(a) (B − A) ⊆ C ⇔ C c ⊆ (B c ∪ A)
(b) (B − A) ⊆ C ⇒ (D − C) ⊆ (D − B) ∪ A. Indicación: Puede usar (a).
(c) A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊆ A ∧ A ⊆ C
(d) A = B ⇔ P(A) = P(B)
(e) [(A ∩ C) ⊆ (B ∩ W ) ∧ (A ∩ C c ) ⊆ (B ∩ C c )] ⇒ (A ⊆ B)
(f) [(Ac ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = B] ⇒ A = φ
(g) (A∆B) ∪ (B∆C) = (A ∪ B ∪ C) (A ∩ B ∩ C)
(h) (A∆C) ⊆ (A∆B) ∪ (B∆C)
P7. Sea A, E ⊆ U tal que E 6= φ y A ⊆ E. Pruebe que si
(∀X, Y ∈ P(E))(A ∪ X = A ∪ Y ⇒ X = Y ),
entonces A = φ.
P8. Sea } la ley de operación entre conjuntos definida por A } B = Ac ∩ B c . Considere un universo U y
F ⊆ P(U) un conjunto no vacı́o tal que ∀A, B ∈ F, A } B ∈ F. Si A, B ∈ F demuestre que:
(i) Ac ∈ F
(ii) A ∩ B ∈ F
(iii) A ∪ B ∈ F
(iv) A∆B ∈ F
(v) φ ∈ F
(vi) U ∈ F
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