A B C . AB AC BC = = 0 AB = A B =

Conceptos elementales de Geometría en el plano
Ped. Media en Matemática
Curso Geometría y trigonometría básica
I Semestre 2012.
Profesor Rodrigo Jiménez
1. Geometría Euclidiana
Sistema axiomático1 que corresponde a la geometría del plano y del espacio
tridimensional, cuyo iniciador y mayor exponente fue Euclides con su texto denominado
Los Elementos, donde concibió algunos postulados:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.
1.1. Conceptos fundamentales
1.1.1
Todos los objetos que aparecen en el desarrollo de la geometría deben
definirse claramente, sin dejar lugar a confusiones ni ambigüedades.
Sin embargo, existen algunas excepciones a esta regla de rigurosidad y
que son el cimiento de la geometría euclidiana. Son los llamados
conceptos primitivos, los cuales no se definen y se aceptan como si
fueran conocidos por todos2.
1.1.2
El primer concepto primitivo es el punto en el espacio.
Todas las figuras de la geometría están conformadas
por puntos. Así, puede decirse que los objetos
estudiados por la geometría son conjuntos de puntos.
Se suele representar los puntos con letras mayúsculas
de nuestro alfabeto y es usual hablar, por ejemplo, de
los puntos A, B y C .
1.1.3
Los siguientes conceptos primitivos son las rectas y los planos. No se
discutirán mayormente, pues asumimos que son conocidos por todos.
Para identificar una recta se consideran
dos puntos A y B sobre ella. Se escribe AB
para la recta determinada por estos puntos.
Así una misma recta puede denominarse de
varias maneras. En efecto, si A, B y C son 3
puntos sobre una misma recta, se tiene que
AB  AC  BC .
1.1.4
Tres puntos A, B y C pueden o no estar alineados. En general, si varios
puntos pertenecen a una misma recta se dicen colineales, y se dicen
coplanares si pertenencen a un mismo plano.
1.1.5
Dados dos puntos A y B, escribimos AB ó BA para señalar la
distancia entre ambos puntos. De esta manera, AB es siempre un
número NO negativo y el caso AB  0 se da solamente cuando
A  B (el punto A es el mismo punto B).
1
Conjunto de axiomas y postulados que por medio de deducciones, para demostrar teoremas (afirmaciones
que pueden ser demostradas y que se compone ciertas proposiciones llamadas hipótesis y tesis).
2
EN efecto, luego de pensar un poco, es fácil convencerse de la imposibilidad de definir todo: es necesario
aceptar algunas cosas como “indefinibles”.
1.1.6
Dados tres puntos colineales A, B y C, éstos pueden ordenarse de
varias maneras. Se escribe A  B  C
para indicar que B está ubicado entre A
y C, lo que significa que AB  BC  AC .
Se denota por AB al segmento de
recta de extremos A y B, que contiene a
todos los puntos que están entre A y B.
Así, podemos decir que el segmento AB es el Lugar Geométrico
de los puntos que están entre A y B (además de A y B por supuesto)1.
Nótese que AB es un número no negativo y AB es un conjunto de
puntos2.
1.1.7
Dados dos segmentos AB
y CD , puede suceder que AB  CD .
En este caso los segmentos son uno sólo y se tiene que A  C y
B D o A D y B C.
También puede suceder que AB  CD . En este caso los
segmentos tienen igual longitud y se dice que son segmentos
congruentes, lo que se denota como AB  CD .
1.1.8
El rayo AB es una línea que parte de A y se extiende indefinidamente
en la dirección desde A hacia B. Se define matemáticamente como la
reunión del segmento AB más todos los puntos P tales que B está
entre A y P. Nótese que AB y BA son rayos distintos. Se dice que A
es el vértice del rayo AB .
1.2. Ángulos
1.2.1. Un ángulo es la reunión de dos rayos con un
vértice común. Los rayos son llamados lados del
ángulo y su vértice común pasa a llamarse
vértice
del
ángulo.
Se denota a un ángulo mediante 3 puntos: la
notación FRG 3 indica que el vértice del ángulo
es R y que sus lados son los rayos FR y RG . En
ocasiones se indica un ángulo sólo con su vértice.
1.2.2. Una recta contenida es un plano lo divide en 2 semiplanos. Dada una recta
L y un punto A fuera de ella, se habla del semiplano determinado por L del
lado A para indicar el semiplano que contiene al punto A.
En la figura C y D están del mismo lado de la recta L, pero C y E están en
lados opuestos de L (están en distintos semiplanos generados por L).
1
En general, se habla de lugar geométrico de puntos cuando se tiene un conjunto de puntos que cumplen o
satisfacen cierta(s) condición(es). En este caso, la condición que define el segmento AB es “estar entre A y
B o ser A o B”.
2
Recuerde que AB y AB denotan conceptos geométricos totalmente distintos.
3
En literatura especializada también suele utilizarse la notación
FRG o bien
FRG .
El interior de un ángulo1 se define como la intersección de 2 semiplanos
determinados por las rectas que contienen sus lados. Específicamente, el
interior de un KRM es la intersección del semiplano determinado por KR
que contiene a M y el semiplano determinado por RM que contiene a K.
1.2.3. Dados 3 puntos colineales A, B y C, con B entre A y C, se dice que los
rayos BA y BC son rayos opuestos. El ángulo cuyos lados son opuestos
es llamado ángulo extendido. No se define el interior de un ángulo
extendido.
1.2.4. A cada ángulo se le asigna una medida entre 0 y 180. El ángulo nulo es el
ángulo cuyos 2 lados coinciden, y se le asigna la medida 0. Al ángulo
extendido
se
le
asigna
la
medida
180.
Dado A , se escribe mA para su medida, aunque a veces se omite la m
para no recargar la notación.
Dos ángulos congruentes son dos ángulos que tienen la misma medida.
1.2.5. Un ángulo recto es un ángulo que mide la mitad de un ángulo extendido,
es decir, mide 90. Un ángulo agudo es una que mide menos de 90 y un
ángulo obtuso es uno que mide más de 90. Por otro lado, dos ángulos
complementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 90 y dos ángulos
suplementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 180.
1.2.6. Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado
común (además deben ser coplanares y sus
interiores no deben intersectarse). Un para lineal es
formado por dos ángulos que son adyacentes y
suplementarios.
1.2.7. Al intersectarse dos rectas, se forman 4 ángulos no extendidos. Si estos 4
ángulos son rectos, se dice que las rectas son perpendiculares. Se escribe L  T
para indicar que las rectas L y T son perpendiculares.
1.2.8. Dos rectas son paralelas si no se intersectan (además deben ser
coplanares). Se escribe L // T para indicar que L y T son paralelas.
1.3. Ángulos opuestos por el vértice.
1.3.1. Considerar dos rectas que se intersectan
en un punto. Con vértice en ese punto se
forman 4 ángulos menores que 180. Los
ángulos  y  son adyacentes y
suplementarios (par lineal), al igual que los
ángulos  y  . Luego se tiene que
    180     . Lo que lleva a
nuestro primer resultado:
En la situación de la figura, se tiene que:
¡Demostrar!
1
El ángulo es el borde de su región interior. Muchas veces se confunde el ángulo con el interior del ángulo.
Usualmente el interior del ángulo se nombra con letras del alfabeto griego.
1.4. Rectas cortadas por una transversal
1.4.1. Al considerar dos rectas L1 y L2 (no necesariamente paralelas), cortadas
por una tercera recta T (transversal) en puntos A y B, se forman variados
tipos de ángulos. Observe la imagen:
Donde aparecen los ángulos opuestos por
el vértice, correspondientes, alternos
internos
y
alternos
externos.
Identifícalos.
1.4.2. Rectas paralelas cortadas por una transversal. En la situación del punto
anterior, si L1 // L2 , entonces los ángulos correspondientes son congruentes
entre si, al igual que los ángulos alternos internos y los ángulos alternos
externos.
1.4.3. La demostración del resultado anterior se basa en el famoso “Quinto
postulado de Euclides”.
1.4.4. Supongamos ahora que no sabemos que L1 // L2 , pero si que los ángulos
correspondientes son congruentes, como en la figura:
En esta situación, ¿puede concluirse que necesariamente L1 // L2 ?1
1
Se trata de encontrar una demostración que utilice solamente los datos conocidos hasta el momento.