C u r s o : Matemática Material N° 13

C u r s o : Matemática
Material N° 13
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 11
UNIDAD: GEOMETRÍA
POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS
POLÍGONOS
DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y
que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).
NOMBRE DE POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
CUADRILÁTERO
PENTÁGONO
HEXÁGONO
HEPTÁGONO
OCTÓGONO
.
3 LADOS
4 LADOS
5 LADOS
6 LADOS
7 LADOS
8 LADOS
PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:
Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2)
Suma de los ángulos exteriores = 360º
Diagonales desde un vértice = n – 3
n(n − 3)
Total de diagonales =
2
EJEMPLOS
1.
¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?
A) 1.440º
B) 1.080º
C)
720º
540º
D)
E)
360º
2.
¿Cuántos lados tiene un polígono, cuyos ángulos interiores suman 900º?
A)
B)
C)
D)
E)
4
5
6
7
8
3.
El número de diagonales que se pueden trazar en un pentágono desde un vértice es
A)
B)
C)
D)
E)
4.
¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma
de los ángulos exteriores?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
2
3
4
5
6
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Triángulo
Ninguno de los anteriores
El número total de diagonales de un octógono es
A) 4
B) 7
C) 9
D) 14
E) 20
6.
La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono es
3 : 2, ¿cuántas diagonales tiene dicho polígono?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
2
3
4
5
6
¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se puede
trazar 12 diagonales?
A)
B)
C)
D)
E)
9
10
12
14
15
2
POLÍGONO REGULAR
DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En
caso contrario se dice que es irregular.
α
a
α=
a
180º (n − 2)
n
a
a
a
a
a
α
α
a
a
a
α
α α’
a
Pentágono regular
360°
α′ =
n
a
a
a
a
a
a
Hexágono regular
EJEMPLOS
1.
¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un pentágono regular?
A) 18º
B) 72º
C) 108º
D) 124º
E) 136º
2.
¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que
el polígono es un cuadrilátero.
Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es
regular.
Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un
vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.
I
II
III
I y III
II y III
¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 135º?
A)
B)
C)
D)
E)
4
5
6
7
8
3
4.
Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 900º, ¿cuántas diagonales se
pueden trazar en dicho polígono?
A) 4
B) 5
C) 14
D) 18
E) 28
5.
El hexágono de la figura 1 es regular, ¿cuánto mide el x?
A) 22,5º
B) 45º
C) 67,5º
D) 90º
E) 112,5º
6.
fig. 1
¿Qué polígono es tal que el número de sus diagonales es igual al número de sus lados?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
x
Octógono
Hexágono
Pentágono
Cuadrado
No existe tal polígono
En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del α?
A)
B)
C)
D)
E)
36º
54º
60º
72º
75º
α
fig. 2
4
CUADRILÁTERO
DEFINICIÓN
Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.
CLASIFICACIÓN
Los cuadriláteros se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES.
PROPIEDADES
La suma de los ángulos interiores es 360º.
La suma de los ángulos exteriores es 360º.
EJEMPLOS
1.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de los DCB y DAB,
respectivamente, entonces el ángulo x mide:
D
A) 220º
B) 140º
C) 110º
D) 80º
E)
20º
C
120º
fig. 1
x
M
80º
B
A
2.
En el cuadrilátero PQRS de la figura 2, α = 60º y β = 100º, entonces el valor de
1
(x + y) =
2
α
A) 200º
B) 160º
C) 100º
D) 90º
E)
80º
x
P
5
S
R
y
fig. 2
β
Q
3.
Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6 . El mayor de sus
ángulos interiores mide
A) 85º
B) 90º
C) 100º
D) 120º
E) 125º
4.
En la figura 3, el ∆ABD es isósceles de base
AB . Si ABCD es un rombo y DE ⊥ CE entonces α mide
E
A)
B)
C)
D)
E)
30º
45º
60º
75º
80º
α
D
C
fig. 3
A
5.
B
Si en el cuadrilátero de la figura 4, α + β = γ, entonces γ es igual a
A) 30º
B) 50º
C) 55º
D) 70º
E) 105º
α
γ
fig. 4
150º
β
6.
Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 80º
E) 100º
L1
x
100º
50º
fig. 5
80º
L2
6
L4
L3
PARALELOGRAMO
Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos
paralelos.
DEFINICIÓN:
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
CUADRADO
ROMBO
RECTÁNGULO
a
NOMBRE
a
45º
45º
45º
a
45º
a
α
α
α
α
α
a
45º
45º
ββ
a
45º
a
PROPIEDADES
β
a
α
β
β
α
α
β
b
b
α
a
ββ
45º
β
b
b
α
β
a
a
a
Lados opuestos
congruentes
Ángulos opuestos
congruentes
Las diagonales
se dimidian
Ángulos contiguos
suplementarios
Diagonales
perpendiculares
Diagonales
bisectrices
Diagonales
congruentes
ROMBOIDE
EJEMPLOS
1.
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo?
A)
B)
50º
2.
C)
50º
130º
130º
50º
D)
50º
130º
130º
E)
130º
130º
130º
130º
50º
50º
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Todo paralelogramo tiene congruentes sus lados opuestos.
Todo paralelogramo tiene congruentes sus ángulos opuestos.
Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son complementarios.
I
II
III
I y II
I y III
7
50º
3.
En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
ACDF es un paralelogramo
Si α = 90º entonces BCDE es un rectángulo
Si AB = BE y α = 90º, entonces ABEF es un cuadrado.
Sólo I
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
F
E
α
B
C
L2
sus diagonales sean congruentes.
sus diagonales sean bisectrices.
sus diagonales se dimidien.
sus diagonales sean perpendiculares.
tengan un par de lados paralelos.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) necesariamente verdadera(s) en un
paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD ?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
L1
Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo, se debe cumplir necesariamente que
A)
B)
C)
D)
E)
5.
α
fig. 1
A
4.
D
α
Si AC ⊥ BD y AC ≠ BD , entonces ABCD es un rombo.
II)
Si AC ⊥ BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.
III)
Si AC ≠ BD y AB ≠ BC , entonces ABCD es un romboide.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
En la figura 2, ABCD es romboide. Si AE ⊥ BD y CBD = 85º, entonces DAE es igual a
D
A)
B)
C)
D)
E)
5º
45º
50º
55º
85º
C
E
fig. 2
A
8
B
TRAPECIO
Trapecio es aquel cuadrilátero
llamados bases.
DEFINICIÓN:
D
δ
C
γ
que tiene sólo un par de lados paralelos,
D
δ
α + δ = 180º
β + γ = 180º
β
α
A
C
γ
β
α
A
B
AB // CD
B
AB // C D
Trapecio Escaleno
Trapecio Isósceles
PROPIEDADES:
En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD ) son
suplementarios.
TRAPECIO ISÓSCELES
PROPIEDADES:
Además de las propiedades generales de los trapecios, los isósceles tienen las
siguientes propiedades:
D
C
β
β
Diagonales congruentes.
Ángulos basales congruentes.
Ángulos opuestos suplementarios.
α
α
α
A
B
EJEMPLOS
1.
En el trapecio de la figura 1, AB // CD y
BC = CD . Si el BDC = 35º, entonces el
ABC =
D
A)
B)
C)
D)
E)
2.
180º
140º
110º
100º
70º
C
fig. 1
A
B
Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y ADC = 70º, entonces el
ABC mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
210º
140º
110º
70º
ninguna de las anteriores.
C
fig. 2
A
9
B
3.
Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
D
∆BFC isósceles.
FG es altura del ∆BFC.
Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.
C
F
E
A)
B)
C)
D)
E)
4.
G
fig. 3
A
B
La mediana de un trapecio mide 20 cm. Si una de las bases es el triple de la otra,
entonces la base mayor mide
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
40
30
15
10
5
cm
cm
cm
cm
cm
En el trapecio de la figura 4, AD ≅ DC ≅ BC
que
A)
y AB // DC . Entonces, siempre se cumple
D
AC ≅ BD
C
B) AD ≅ AB
C) AC ≅ AB
D) A ≅ C
fig. 4
6.
B
A
E) D ≅ B
En la figura 5, DC // AB . Si AD ≅ BC ≅ DC , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
∆BDC es isósceles.
AC es bisectriz DAB.
D
∆CAD ≅ ∆DBC
C
fig. 5
E
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
A
10
B
TRAPEZOIDE
DEFINICIÓN:
Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos.
CLASIFICACIÓN:
Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.
C
D
C
A
TRAPEZOIDE
ASIMÉTRICO
B
D
AB ≅ AD y CD ≅ CB
B
A
TRAPEZOIDE
SIMÉTRICO (DELTOIDE)
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
Diagonales perpendiculares.
Una diagonal es bisectriz.
La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral
de la otra diagonal.
a
a
a≠b
b
b
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD = DE y GF = EF . Si DGF = 109º
FDE = 14º, entonces el ángulo GFE mide
A) 33º
B) 57º
C) 76º
D) 109º
E) 114º
y
F
G
E
fig. 1
D
2.
En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC y DA = BA . Si ABC = 135º y DCB = 70º,
entonces CDB + CAD =
C
fig. 2
A) 45º
B) 55º
C) 65º
D) 90º
E) 125º
D
B
A
11
3.
En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD y DC = BC . Si BAD = 50º y ADC = 150º,
entonces el valor del ángulo x es
C
A)
B)
C)
D)
E)
D
95º
85º
75º
65º
55º
fig. 3
x
A
B
4.
Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtiene
siempre
A)
B)
C)
D)
E)
5.
un
un
un
un
no
trapezoide.
trapecio.
paralelogramo.
cuadrado.
se puede determinar.
En el trapezoide ABCD de la figura 4, DCB = 120º, DAB = 60º y
entonces la medida de DBA es
C
A) 20º
B) 40º
C) 60º
D) 80º
E) 120º
CDB = 40º,
α
D
B
5α
fig. 4
A
6.
Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces,
AC es igual
D
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 5
8
7
6
5
2 5
A
F
B
12
C
EJERCICIOS
1.
Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entonces
el polígono es un
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono
es tres, entonces el polígono tiene
A)
B)
C)
D)
E)
3.
hexágono.
octógono.
decágono.
dodecágono.
eneágono.
9
8
7
6
5
lados
lados
lados
lados
lados
¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º.
El total de diagonales que se pueden trazar en un octógono son 24.
La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo interior mide el triple del ángulo
exterior correspondiente?
A)
B)
C)
D)
E)
Triángulo
Pentágono
Hexágono
Decágono
Octógono
13
5.
En el rectángulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ ⊥ AC . Si DPQ = 113º
determinar el valor de α
A
A) 23º
B) 43º
C) 67º
D) 76º
E) 113º
P
D
113º
α
fig. 1
Q
B
6.
C
En el pentágono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces, α
mide
C
D
A) 60º
B) 72º
C) 80º
D) 90º
E) 108º
F
α
B
fig. 2
E
A
7.
Si en la figura 3, ABCD es un rectángulo y L recta, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
s+u=t+v
s+v=u+t
s=v y u=t
D
C
sº t º
fig. 3
A)
B)
C)
D)
E)
8.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
u º vº
A
B
La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB ,
entonces la medida del x es
E
x
A) 18º
B) 22,5º
C) 24º
D) 45º
E) 135º
B
C
fig. 4
D
14
A
9.
Si en el polígono de la figura 5, BE ≅ CD , AB ≅ CF y AE ≅ DF ≅ DE , ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
∆ABE ≅ ∆CFD
∆FED isósceles.
CFB = 45º
E
A
F
fig. 5
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
60º
B
30º
C
D
10. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el y = 70º, ¿cuál es la
medida del x?
D
A)
B)
C)
D)
E)
C
y
210º
140º
110º
70º
Ninguna de las anteriores
fig. 6
x
B
A
11. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular y los lados de la estrella son las
prolongaciones del pentágono, entonces el ángulo x mide
A)
B)
C)
D)
E)
75º
A
72º
54º
36º
18º
E
B
D
C
fig. 7
x
12. En el cuadrado de la figura 8, α = 37º, ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 30º
B) 45º
C) 53º
D) 60º
E) 127º
α
fig. 8
x
15
13. Si se trazan las diagonales de un paralelogramo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Se obtienen cuatro triángulos congruentes.
Se obtienen cuatro triángulos semejantes.
Se obtienen sólo triángulos rectángulos.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
Ninguna de ellas
14. En el trapecio rectángulo ABCD de la figura 9, las bisectrices QB y QC de los ángulos en
B y en C, respectivamente, forman un ángulo x que mide:
D
C
A) 45º
B) 60º
C) 75º
D) 90º
E) 105º
Q
x
fig. 9
A
B
15. En la figura 10, ABCD es un trapecio isósceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y
EC // AD , ¿cuál es la medida del BAD?
D
A)
B)
C)
D)
E)
70º
60º
55º
30º
20º
C
fig. 10
A
E
B
16. Si en la figura 11, ∆MNP ≅ ∆QOR, NMP = 50º y NPM = 70º, entonces la medida del
OQP es
P
fig. 11
70º
A) 130º
B) 120º
C) 110º
D) 70º
E)
50º
M
Q
50º
N
R
16
O
17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD ≅ GD ≅ GF ≅ EF ,
entonces se cumple que
I)
II)
III)
AEFD es un rombo.
DGH = HGF
D
H
F
C
HG ⊥ DF
fig. 12
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y II
II y III
G E
A
B
18. En la figura 13, ABCDEF es un hexágono regular, EA , EB y EC son diagonales. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
F
∆AEF ≅ ∆CED
∆ABE ≅ ∆CBE
ABE ≅ BED
E
fig. 13
D
A
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
B
C
19. En el polígono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los
ángulos interiores respectivos, entonces el valor del ángulo α es
A
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 14
160º
140º
120º
100º
60º
B
E α
P
60º
C
80º
D
20.
En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC el ABE mide la
tercera parte del ABC. ¿Cuál de las siguientes opciones no es correcta?
D
C
A) ACB = 45º
B) EFA = 60º
C) AEB = 60º
fig. 15
E
F
D) EFC = 105
E) DEB = 120º
A
17
B
21. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales, ¿cuánto mide
cada ángulo exterior de este polígono?
A) 12º
B) 15º
C) 24º
D) 30º
E) 168º
22. Si en la figura 16, ABCD es un paralelogramo, DCA = 40º y ABD = 50º. ¿Qué tipo de
paralelogramo es?
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
Rectángulo
Trapecio
Rombo
Romboide
Cuadrado
fig. 16
100º
A
B
23. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles
cuyas bases son la diagonal, sin embargo los ángulos basales de un triángulo miden el
doble de los ángulos basales del otro, por lo tanto dicho cuadrilátero se trata de un
A)
B)
C)
D)
E)
cuadrado.
trapecio.
romboide.
trapezoide.
deltoide.
24. En un trapecio rectángulo la medida del mayor ángulo interno es el cuádruplo de la
medida del ángulo menor, ¿cuánto mide el menor de los ángulos?
A)
B)
C)
D)
E)
30º
36º
45º
72º
90º
25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectángulo en A y D, ABD = 40º, ∆BDC es isósceles
de base BC , ¿cuál es el valor de α?
D
A) 70º
B) 30º
C) 90º
D) 45º
E) 120º
C
α
A
18
B
fig. 17
26. Se puede determinar los lados de un polígono regular si :
(1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.
(2) Sus ángulos exteriores suman 360º.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
27. En la figura 18, ABCD es rectángulo. Se puede afirmar que ∆ADE ≅ ∆BCE si :
(1) BAE = 45º
D
(2) E es punto medio.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
E
C
fig. 18
A
B
28. Se puede determinar la medida del BCD del cuadrilátero de la figura 19, si :
(1) ABCD es un paralelogramo y triángulo ABD es equilátero.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 19
A
29. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si :
(1) Se conoce la suma de los ángulos interiores.
(2) Se conoce el número total de diagonales.
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
(2) El ángulo DAB mide 60º.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
19
B
30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ángulo α si :
C
(1) β + γ + δ = 300º
γ
fig. 20
(2) ABCD es un romboide y β + γ = 180º.
A)
B)
C)
D)
E)
D δ
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
β
B
α
A
DMDMA13
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