GEOMETRIA C.A.V.A DEFINICIONES CIRCUNFERENCIA: Dados

GEOMETRIA
C.A.V.A
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un
punto O en dicho plano y un número real positivo
r, (r > 0), se llama “Circunferencia de centro O y
radio r”, “C(O; r)”, al conjunto formado por
todos los puntos P del plano , tales que OP = r.
congruentes; el diámetro es el doble del radio y
el diámetro es la mayor cuerda.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN
PUNTO Y UNA CIRCUNFERENCIA
En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:
1.
2.
3.
RADIO: Segmento que une el centro con un
punto de la circunferencia, por ejemplo: OA ,
OB , OC , OD , OE y OF .
CUERDA:
Segmento cuyos extremos son
puntos de la circunferencia, por ejemplo: AB ,
CD .
DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de
la circunferencia, por ejemplo: CD .
ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el
centro de la circunferencia, por ejemplo:
EOF .
ARCO:
Subconjunto
de
la circunferencia
limitado por dos puntos de ella, por ejemplo: AB
. Si son extremos de un diámetro, los arcos se
llaman semicircunferencias, por ejemplo: CAD y
CED .
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las
que tienen el mismo centro.
TEOREMA: En una circunferencia, todos los
radios son congruentes; todos los diámetros son
P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.
P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.
P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA
CIRCUNFERENCIA
TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y
dado un punto P en su plano, entonces los
extremos del diámetro AB , contenido en la
recta OP , son los puntos de la circunferencia
que están a la menor y a la mayor distancia del
punto dado.
La distancia del punto P a la C(O; r) es la
distancia entre P y el extremo de dicho
diámetro que esté más próximo a P, en la
gráfica por ejemplo es PB.
GEOMETRIA
C.A.V.A
TEOREMA: (L.G. ra)
TEOREMA: Por tres puntos A, B y C no
alineados, pasa una y sólo una circunferencia que
tiene por centro el circuncentro del ABC.
Dada una C(O; r) y dada una distancia a, (0 < a <
r), el lugar geométrico de los puntos situados a
una distancia a de la C(O; r) está formado por
las circunferencias C(O; r  a).
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR
UN PUNTO DADO
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA
RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA: Por un
punto dado A pasan
infinitas
circunferencias.
Para cada real positivo
r, el lugar geométrico
de los centros de
éstas es la C(A; r).
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR
DOS PUNTOS DADOS
TEOREMA: Por dos puntos
dados A y B, pasan infinitas
circunferencias.
El lugar geométrico de los
centros de éstas es la
mediatriz del segmento AB y
el radio mínimo es AB/2.
1.
2. Una recta es TANGENTE a una
circunferencia si tiene exactamente un
punto común con ella, llamado punto de
tangencia.
3. Una recta es SECANTE
a una
circunferencia si tiene exactamente dos
puntos comunes con ella.
TEOREMA:
Si una recta es tangente a una
circunferencia entonces es perpendicular al
radio que llega al punto de tangencia.
TEOREMA:
Dadas
una recta y una
circunferencia de radio
r, si d es la distancia
del centro a la recta,
entonces:
TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa
ninguna circunferencia.
COROLARIO:
Tres
puntos
de
una
circunferencia no pueden ser colineales.
Intuitivamente “la circunferencia no tiene ningún
tramo rectilíneo”.
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR
TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS
Una recta es EXTERIOR a una
circunferencia si no tiene puntos comunes
con ella.
1.
La recta es secante a la circunferencia si y
sólo si d < r.
2. La recta es tangente a la circunferencia si y
sólo si d = r.
GEOMETRIA
3. La recta es exterior a la circunferencia si y
sólo si d > r.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS
CIRCUNFERENCIAS
C.A.V.A
TEOREMA:
Si dos circunferencias son
tangentes entonces los centros y su punto de
tangencia son colineales y recíprocamente.
TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O;
r) y C(O’; r’), entonces ellas son:
Dos circunferencias son :
1. Exteriores  OO’ > r + r’
1.
EXTERIORES: Si todos los puntos de cada
una de ellas son exteriores a la otra.
2. Tangentes exteriores  OO’ = r + r’
2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un
punto común y los demás puntos de cada una
de ellas son exteriores a la otra.
3. SECANTES: Si tienen exactamente dos
puntos comunes.
4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un
punto común y los demás puntos de una de
ellas son interiores a la otra, entonces la
primera es tangente interior a la segunda.
3. Secantes   r  r ’< OO’ < r + r’
5. INTERIORES:
Si no tienen puntos
comunes y todo los puntos de una de ellas
son interiores a la otra, entonces la primera
es interior a la segunda.
TEOREMA:
Si dos circunferencias no
concéntricas tienen un punto común exterior a la
recta de los centros entonces son secantes y
recíprocamente.
TEOREMA:
Si dos circunferencias son
secantes entonces la línea de sus centros es la
mediatriz de su cuerda común y es la bisectriz
de los ángulos centrales subtendidos por la
cuerda.
4. Tangentes interiores  OO’ = r  r’
5. Interiores  OO’ <  r  r ’
GEOMETRIA
ARCOS Y CUERDAS
CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos
circunferencias son congruentes si sus radios
tienen igual medida.
ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una
misma circunferencia o de circunferencias
congruentes son congruentes si subtienden
ángulos centrales congruentes.
ARCOS DESIGUALES:
Dos arcos de una
misma circunferencia o de circunferencias
congruentes son desiguales si subtienden ángulos
centrales desiguales y será mayor el que
subtienda mayor ángulo central.
C.A.V.A
PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO
PERPENDICULAR A UNA CUERDA
TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda
secante a ella cumple dos de las siguientes
propiedades entonces las cumple todas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Es diámetro.
Es perpendicular a la cuerda.
Pasa por el punto medio de la cuerda.
Pasa por el punto medio del arco menor.
Pasa por el punto medio del arco mayor.
Es bisectriz del ángulo central que la cuerda
subtiende.
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO:
La
medida angular de un arco es la medida del
ángulo central que subtiende.
TEOREMA: En una misma circunferencia o en
circunferencias congruentes:
1.
Dos ángulos centrales son congruentes sii
subtienden cuerdas congruentes.
2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden
arcos congruentes.
3. La menor de dos cuerdas desiguales
subtiende un arco menor y un ángulo central
menor y recíprocamente.
ARCOS Y PARALELAS
TEOREMA:
Dos arcos o dos cuerdas
comprendidos entre dos rectas paralelas son
congruentes.
4. Dos cuerdas congruentes equidistan del
centro y recíprocamente.
TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en
una circunferencia dos cuerdas o dos arcos son
congruentes entonces sus extremos determinan
un par de rectas paralelas.
5. La mayor de dos cuerdas desiguales está
más próxima al centro y recíprocamente.
ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA
CIRCUNFERENCIA
GEOMETRIA
C.A.V.A
3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco
comprendido entre sus lados y el arco
comprendido entre las prolongaciones de
ellos,
por
ejemplo
GHK(INTERIOR)  (GK  K'G') 2 .
4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia
de los arcos mayor y menor comprendidos
entre sus lados, por ejemplo
:
LMR(EXTERIOR)  (LNR  LN'R) 2 ,
LMN(EXTERIOR)  (LN LN') 2 ,
1.
ÁNGULO INSCRITO:
El vértice es
un punto de la circunferencia y sus lados son
dos
semirrectas
secantes
a
la
circunferencia, por ejemplo el ABC .
2. ÁNGULO SEMIINSCRITO: El vértice es
un punto de la circunferencia y sus lados son
dos semirrectas una tangente y la otra
secante a la circunferencia, por ejemplo el
DEF .
3. ÁNGULO INTERIOR:
El vértice es
punto interior a la circunferencia y sus lados
son dos semirrectas secantes a la
circunferencia, por ejemplo el GHK .
4. ÁNGULO EXTERIOR:
El vértice es
punto exterior a la circunferencia y sus
lados son semirrectas tangentes y/o
secantes a la circunferencia, por ejemplo el
LMR , el LMN y el NMP ,
TEOREMA:
angulares:
1.
En una circunferencia, en medidas
Un ángulo inscrito mide la mitad del arco
comprendido entre sus lados, por ejemplo
ABC(INSCRITO)  AC 2 .
2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del
arco comprendido entre sus lados, por
ejemplo DEF(SEMIINSCRITO)  DE 2 .
NMP(EXTERIOR)  (NP N'P') 2
COROLARIOS:
1.
Todos los ángulos inscritos que subtienden el
mismo arco son congruentes.
2. Todos los ángulos inscritos
semicircunferencia son rectos.
en
una
ARCO CAPAZ (LG)
TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un
ángulo , 0° <  < 180°, entonces existen dos
arcos de extremos A y B, (sobre circunferencias
congruentes y simétricas con respecto a la recta
AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto
GEOMETRIA
los puntos A y B, forman el lugar geométrico de
los puntos P del plano, para los cuales APB= .
ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado
un  , 0° <  < 180°, el “Arco capaz del
segmento AB bajo el ”, es cada uno de los
arcos a los que se refiere el teorema anterior.
TEOREMA: El arco capaz de un segmento,
bajo 90° es la semicircunferencia que le tiene
por diámetro
C.A.V.A
TEOREMA: Las rectas tangentes a una C(O;
r) trazadas desde un punto P exterior a ella,
pasan por los puntos de intersección entre ella y
la circunferencia de diámetro OP.
TEOREMA: Las rectas tangentes comunes a
dos circunferencias de distinto radio, no
tangentes interiores y no interiores, son
paralelas a las rectas tangentes trazadas desde
el centro de la menor, a la circunferencia
PROPIEDADES DE LAS RECTAS
TANGENTES DESDE UN PUNTO
EXTERIOR
TEOREMA:
Sean PA y PB los segmentos
tangentes a una circunferencia trazados desde
un punto P exterior a ella, (A y B puntos de
tangencia) entonces:
concéntrica con la mayor y de radio igual a la
diferencia o a la suma de los radios.
CUADRILÁTEROS INSCRITOS Y
CIRCUNSCRITOS
TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está
inscrito en una circunferencia entonces sus
ángulos opuestos son suplementarios y
recíprocamente si un cuadrilátero convexo tiene
un par de ángulos opuestos suplementarios
entonces es inscriptible en una circunferencia.
1. Las tangentes son congruentes PA = PB.
2. OP es bisectriz del AOB y del APB.
3. AOB=Pexterior del cuadrilátero PAOB.
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS
TANGENTES
TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está
circunscrito a una circunferencia entonces las
sumas de las medidas de sus lados opuestos son
iguales y recíprocamente si en un cuadrilátero
convexo las sumas de las medidas de sus lados
opuestos son iguales entonces es circunscriptible
a una circunferencia.