Cálculo 3. Ecuaciones diferenciales

Cálculo
3. Ecuaciones diferenciales
Mayo, 2009
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias
1.a Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
I
Nociones generales
I
Ecuaciones diferenciales separables
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales lineales
Otros tipos: de Bernoulli, de Riccati, ...
I
I
I
I
1.b Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
I
I
Ecuaciones diferenciales lineales
Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes
Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables
Ecuaciones diferenciales no lineales
2. Ecuaciones en derivadas parciales
Ejemplo de aplicación: trayectorias ortogonales
(x + 1)2 + 2(x + 1)(y − 3) − (y − 3)2 = C
y0 =
x−y+4
x+y−2
=⇒
=⇒
y0 = −
x+y−2
x−y+4
(x + 1)2 − 2(x + 1)(y − 3) − (y − 3)2 = C
E. D. de variables separadas
La ecuación diferencial
y0 = f (x, y) ⇐⇒
dy
= f (x, y)
dx
es de variables separadas si
f (x, y) =
g(x)
.
h(y)
Para resolverla integraremos separadamente las variables:
dy g(x)
=
dx h(y)
Z
=⇒
h(y)dy = g(x)dx
=⇒
Z
h(y)dy =
g(x)dx + C
Nota: La constante de integración se calcula imponiendo la condición
y(x0 ) = y0 del problema de valor inicial
E. D. homogéneas
La ecuación y0 = f (x, y) es homogénea si la función f verfica:
f (λ x, λ y) = f (x, y) .
En este caso hacemos el cambio de variable:
y
u= .
x
Ası́
y = ux
=⇒
y0 = u0 x + u,
y, al sustituir, obtenemos una e. d. de variables separables:
u0 x + u = f (x, ux) = f (1, u) .
E. D. exactas
La ecuación g(x, y)dx + h(x, y)dy = 0 es exacta si existe una función φ ,
llamada función potencial, tal que:
∂φ
= g(x, y) ,
∂x
En este caso, la solución general es:
∂φ
= h(x, y) .
∂y
φ (x, y) = C
Propiedad: Si g y h son funciones de clase C 1 , la ecuación diferencial es
exacta si y sólo si:
∂g ∂h
=
.
∂y
∂x
El cálculo de la función φ se realiza en dos pasos:
Z
∂φ
= g(x, y) =⇒ φ (x, y) = g(x, y)dx + p(y) ,
(1)
∂x
Z
∂φ
∂
(2) Como
= h(x, y) =⇒
g(x, y)dx + p0 (y) = h(x, y). Entonces:
∂y
∂y
Z Z
∂
p(y) =
g(x, y)dx dy.
h(x, y) −
∂y
E. D. lineales
Una ecuación diferencial lineal tiene la forma
y0 + p(x)y = q(x)
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el factor integrante:
Z
µ(x) = e
p(x) dx
tenemos una ecuación, equivalente a la original, del tipo exacta. En efecto,
R
e
e
R
p(x) dx
Z
y=
R
e
p(x) dx 0
p(x) dx
R
R
y + e p(x) dx p(x)y = e p(x) dx q(x)
R
d h R p(x) dx i
e
y = e p(x) dx q(x)
dx
q(x) dx + C
=⇒
R
− p(x) dx
y=e
C+
Z
R
q(x)e
p(x) dx
dx
E. D. lineales de orden n con coeficientes constantes
Son de la forma:
an y n) + an−1 y n−1) + ... + a1 y0 + a0 y = f (t)
(1)
donde los coeficientes ai son constantes.
La e.d. homegénea asociada es:
an y n) + an−1 y n−1) + ... + a1 y0 + a0 y = 0
La solución general de (1) es:
y(t) = yh (t) + yp (t) ,
donde:
I
yh es la solución general de la e.d. homogénea (2),
I
yp es una solución particular de la ecuación completa (1).
(2)
E. D. lineales de orden n con coeficientes constantes
Para resolver la ecuación homogénea (2):
an yn) + an−1 yn−1) + ... + a1 y0 + a0 y = 0 ,
buscamos soluciones del tipo eλ t , donde λ es raı́z de la denominada
ecuación caracterı́stica:
p(λ ) = an λ n + an−1 λ n−1 + ... + a1 λ + a0 = 0 .
Cada raı́z aporta a la solución un término yk (t), de forma que
yh (t) = C1 y1 (t) + C2 y2 (t) + . . .; ası́,
I
I
si λk es una raı́z real y simple de la ecuación caracterı́stica, yk (t) = eλk t
si λk = αk + βk i es una raı́z compleja y simple de la ecuación caracterı́stica,
entonces también será raı́z de la misma ecuación su conjugada (αk − βk i); a este
par de raı́ces le corresponde el par de soluciones:
eαk t cos(βk t)
I
y
eαk t sin(βk t)
si λk es una raı́z de multiplicidad m, su aportación a la solución general es:
(Ck + Ck+1 t + Ck+2 t2 + . . . Ck+m−1 tm−1 )eλk t (si es real)
h
i
bk + . . . + C
b k+m−1 tm−1 ) sin(βk t)
eαk t (Ck + . . . + Ck+m−1 tm−1 ) cos(βk t) + (C
(si es compleja)
E. D. lineales de orden n con coeficientes constantes
Para encontrar una solución particular de la ecuación (1) utilizaremos el
método de los coeficientes indeterminados; ası́, buscaremos una solución
yp parecida a la función segundo miembro f :
1. Si f es un polinomio, f (t) = am tm + ... + a1 t + a0 , entonces
yp (t) = ts (Cm tm + ... + C1 t + C0 ) ,
donde s es el número de veces que λ = 0 es raı́z de la ecuación
caracterı́stica
2. Si f es el producto de una función exponencial por un polinomio,
f (t) = eat (am tm + ... + a1 t + a0 ), entonces,
yp (t) = ts eat (Cm tm + ... + C1 t + C0 ) ,
donde s es el número de veces que a es raı́z real de la ecuación
caracterı́stica
3. Si f es producto de una exponencial, una función trigonométrica y un
polinomio, f (t) = eαt sin(β t)(am tm + ... + a1 t + a0 ), entonces
yp (t) = ts eαt [(Bm tm + ... + B1 t + B0 ) cos(β t) + (Cm tm + ... + C1 t + C0 ) sen(β t)]
donde s es el número de veces que (α ± β i) es raı́z de la ecuación
caracterı́stica.
Método de los coeficientes indeterminados (I)
Segundo miembro f (x)
Buscamos:
eαx
sin β x
ó
cos β x
Pm (x)
α
±β i
α =0
Solución particular yp (x)
Si no es raı́z:
Si es raı́z:
eαx
xs eαx
A cos β x + B sin β x
xs (A cos β x + B sin β x)
em (x)
P
em (x)
xs P
Método de los coeficientes indeterminados (II)
Segundo miembro f (x)
Buscamos:
eαx sin β x
ó
eαx cos β x
eαx Pm (x)
Pm (x) sin β x
ó
Pm (x) cos β x
α ±βi
α
±β i
Solución particular yp (x)
Si no es raı́z:
Si es raı́z:
eαx (A cos β x + B sin β x)
em (x)
eαx P
em (x) cos β x +
P
e m (x) sin β x
+Q
xs eαx (A cos β x + B sin β x)
em (x)
xs eαx P
em (x) cos β x +
xs P
e m (x) sin β x
+ xs Q
y00 + ω 2 y = 0
ω =2
y(0) = −3
y0 (0) = 0
y(t) = yh (t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t = −3 cos 2t
y00 + 4y = sin t
y0 (0) = 0
1
1
y(t) = yh (t) + yp (t) = −3 cos 2t − sin 2t + sin t
6
3
y(0) = −3
y00 + 4y = sin 2t
y(0) = −3 y0 (0) = 0
1
1
y(t) = yh (t) + yp (t) = −3 cos 2t + sin 2t − t cos 2t
8
4
y00 + 2kωy0 + ω 2 y = 0
ω = 2, k = 0,04
y(0) = −3 y0 (0) = 0
h
i
p
p
y(t) = yh (t) = e−kωt C1 cos ω 1 − k2 t + C2 sin ω 1 − k2 t
y00 + 2kωy0 + ω 2 y = sin t
ω = 2, k = 0,08
y(0) = −3 y0 (0) = 0
h
i
p
p
y(t) = e−kωt C1 cos ω 1 − k2 t + C2 sin ω 1 − k2 t +
h
i
1
2
(ω
−
1)
sin
t
−
2kω
cos
t
+ 2
(ω − 1) + 4k2 ω 2
y00 + 2kωy0 + ω 2 y = e−t
ω = 2, k = 0,04
y(0) = −3 y0 (0) = 0
h
i
p
p
1
e−t
y(t) = e−kωt C1 cos ω 1 − k2 t + C2 sin ω 1 − k2 t + 2
ω − 2kω + 1
y00 + 2kωy0 + ω 2 y = 0
ω = 2, k = 1
y(0) = −3
y(t) = yh (t) = −3e−2t (1 + 2t)
y0 (0) = 0
y00 + 2kωy0 + ω 2 y = sin t
ω = 2, k = 1
y(0) = −3 y0 (0) = 0
h
i
1
(ω 2 − 1) sin t − 2kω cos t
y(t) = (C1 + C2 t) e−kωt + 2
2
2
2
(ω − 1) + 4k ω
y00 + 4y0 + 4y = e−2t
y(0) = −3 y0 (0) = 0
1
y(t) = (−3 − 6t)e−2t + e−2t
2
y00 + 2kωy0 + ω 2 y = 0
ω = 2, k = 1,05
y(0) = −3 y0 (0) = 0
√
√
2
2
y(t) = yh (t) = C1 e(−kω+ω k −1)t + C2 e(−kω−ω k −1)t
y00 + 2kωy0 + ω 2 y = 5 sin t
ω = 2, k = 1,05
y(0) = −3 y0 (0) = 0
h
i
5
−2kω cos t + (ω 2 − 1) sin t
y(t) = yh (t) + yp (t) = yh (t) + 2
2
2
2
(ω − 1) + 4k ω