Apunte Lugar geométrico.w7

Lugar geométrico
1) Representa en un sistema de ejes coordenados al menos 10 puntos (x;y) tales que la ordenada
sea igual a la abscisa. Identifica el objeto geométrico de todos los puntos del plano que verifican
esa condición.
2) Representa en un sistema de ejes coordenados al menos 10 puntos (x;y) tales que para
cualquier x, y = 3.
3) Realiza lo mismo con todos los puntos (x,y) del plano tales que x >2 e y >5.
4) Busca 4 puntos del plano que se encuentren a distancia 3 del punto (5,2). Existen más puntos
que cumplan con esa condición? Cuántos? Qué figura es el conjunto de todos los puntos que
verifican esa condición?
Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que cumplen con alguna
condición.
Secciones cónicas
Al seccionar con un plano la superficie de un cono circular recto, se obtiene diferentes curvas,
llamadas cónicas. Hemos trabajado con alguna de estas curvas cuando analizamos las funciones
cuadráticas y racionales. Ahora estudiaremos sus características geométricas.
Si el plano secciona en forma perpendicular
al eje de la superficie cónica, se obtiene
una circunferencia
Si el plano es paralelo a una generatriz
Se obtiene una parábola
Si el plano es oblicuo al eje, corta a
todas las generatrices, queda determinada una elipse
Si el plano es paralelo al eje, sin pasar
por el vértice, obtenemos una hipérbola
Distancia en el plano cartesiano
Se puede calcular la distancia entre dos puntos P1=(x1;y1) y P2 =(x2;y2) mediante la fórmula:
d P1, P2  =
x1  x2 2  ( y1  y 2 ) 2
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia de centro C y radio r es la figura formada por todos los puntos del plano cuya
distancia a C es r.
La ecuación de la circunferencia de centro C=(x0;y0) y radio r es:
x  x0 2   y  y0 2  r 2
ELIPSE
Una elipse es el conjunto de puntos P del plano tales que la suma de las distancias de P a dos
puntos fijos o focos F1y F2 es un valor constante D. Se cumple siempre que
D > d(F1,F2).
Elementos de la elipse:
-
centro: o
-
vértices: V1,V2,E1,E2
-
focos: F1,F2
-
distancia focal: F1, F2
-
diámetro mayor: V1V2
-
diámetro menor: E1 E 2
La ecuación de la elipse es:
y2 x2

1
a 2 b2
x2 y2

1
a 2 b2
Relación entre a, b y c: c2= a2 - b2
Si el centro o de la elipse se encuentra, desplazado del origen de coordenadas, en el punto (x0;y0):
( x  x0 ) 2 ( y  y 0 ) 2

1
a2
b2
PARÁBOLA
Se llama parábola al conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y
de una recta llamada directriz.
Elementos de la parábola:
- foco: F
- vértice: o
- directriz: D
- distancia foco-directriz:2 p
Ecuación de la parábola:
y2 = 2px
x2 = 2py
Ej.: y2 = 2x
Ej.: x2 = 4y
Si el centro o de la parábola se encuentra, desplazado del origen de coordenadas, en el punto
(x0;y0):
(y-y0)2= 2p(x-x0)
ó
(x-x0)2 = 2p(y-y0)
HIPÉRBOLA
Se llama hipérbola al conjunto de puntos de plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de
sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de la hipérbola
- centro: o
- vértices: V1 y V2
- focos: F1 y F2
- eje real: F1, F2
Ecuación de la hipérbola
x2 y2

1
a2 b2
y2 x2

1
a2 b2
Ecuación de las asíntotas:
y
b
x
a
b
y´  x
a
y
a
x
b
a
y´  x
b
Relación entre a, b y c: c2= a2 + b2
Si el centro o de la hipérbola se encuentra, desplazado del origen de coordenadas, en el punto
(x0;y0):
( x  x0 ) 2 ( y  y 0 ) 2

1
a2
b2
EJERCITACIÓN
1) Indicar el centro y radio de cada una de las siguientes circunferencias:(graficarlas)
a) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25
b) (x + 7)2 + y2 = 1
c) x2 + (y + 4 )2 = 25
2) Escribir la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias y graficarlas:
a) Centro :(-1-;2) y r = 3
b) Centro: (-5;4 ) y r = 7
c) Centro: (0;3) y r=
1
2
1
3
d) Centro: ( ;1 ) y r= 2
3) ¿Es posible que las siguientes fórmulas sean ecuaciones de circunferencia?
a) x2+y2+2x-6y+9=0
b) x2+y2+2x-6y+12=0
4) Dada la circunferencia de ecuación x2+4x =-y2-2y:
a) Encontrar cuatros puntos que estén adentro de la circunferencia
b) Encontrar cuatro puntos que estén fuera de la circunferencia
c) Encontrar cuatro puntos que estén sobre la circunferencia.
5) Encontrar centro y radio de las circunferencias:
I. x2+6x-4y+y2+5=0
II. x2+y2-18y-14=-49
6) Determinar si los puntos (1;5),(0;5),(1;2),(-4;-3) están dentro o fuera de la circunferencia de
centro (1;-3) y radio 5.
7) Escribir las ecuaciones de las siguientes elipses:
a)
b)
8) Determinar cuáles de los siguientes puntos: A=(0 ;
D=(0 ;-1) pertenecen a la elipse de ecuación:
9 3
4 5
) , B=(-1;
), C=(8;2),
2
9
x2
 y2  1
81
9) Determinar si las siguientes ecuaciones corresponden a elipses:
a. 4x2+9y2+8x-32=0
b. 4x2+9y2+x+3=0
10) Escribir las ecuaciones de cada una de las siguientes parábolas:
a) F= (4;0) y d: x = -4
c) F= (-3;0) y d: x = 3
b) F= (0;6) y d: y = -6
d) F = (0;-4) y d: y = 4
11) Graficar las siguientes parábolas:
P1: x2=8y
P2: y2=-4x
P3: x2=-y
12) Un punto A que pertenece a P2, tiene abscisa -4; dar el valor de su ordenada.
13) Dar el valor de la abscisa de un punto B  P3, siendo la ordenada -16.
14) Siendo la parábola P: y2= -8x y B=(-2;4) que pertenece a P, determinar la distancia de B al foco
y de B a la directriz.
15) Dar la ecuación de las siguientes parábolas:
a)
b)
16) Graficar las siguientes hipérbolas y dar la ecuación de sus asíntotas.
y2 x2

1
a)
9
1
y2 x2

1
b)
4
1
x2 y2

1
c)
16 4
17) Determinar cuál/es de los siguientes puntos pertenece a la hipérbola de ecuación:
A= (3;0), B=(-2; 5 ), C=(2;3) y D=(-4;-9)
y x2
1
18) Graficar las hipérbolas: a) 
4 16
19) Considera la hipérbola de ecuación x 2 
x2
 y2  1
b)
9
y2
 1. a) Determina sus focos, vértices
9
y ecuación de las asíntotas.
b) Grafica la hipérbola .c) ¿El punto (2 ; 3 5 ) pertenece a la hipérbola?.Justifica
x2 y2

 1,
9
4
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