Técnica ANOVA y Cuadro Resumen _PRUFAI

PROGRAMA UNIVERSITARIO PARA
FORMACION DE ADMINISTRADORES
E INGENIEROS INDUSTRIALES
FUNDAMETAL – UNEG Guayana
Universidad Nacional
Experimental de Guayana
PROYECTO DE CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
ASIGNATURA: ESTADÍSTICAS II
UNIDAD IV: ANÁLISIS DE VARIANZA
TECNICA ANOVA – CUADRO RESUMEN
INTRODUCCIÓN
Para determinar si hay una diferencia significativa entre las medias muestrales de
dos grupos de datos, se recomienda utilizar el contraste de hipótesis mediante la prueba t,
pero si son más de dos grupos, la recomendación apropiada será utilizar la técnica
ANOVA y descartar la primera.
El análisis de varianza o ANOVA es una técnica estadística usada para contrastar la
hipótesis en la que se busca probar la igualdad de tres o más medias poblacionales, por
medio del análisis de las varianzas muestrales. ANOVA se utiliza en aquellas situaciones
en las que hay tres grupos o más, que tienen valores medios distintos en relación a un
parámetro o característica bajo estudio, al aplicar sobre cada grupo un procedimiento o
tratamiento diferente.
FUNDAMENTOS DEL ANOVA
El análisis de la varianza o ANOVA, es una técnica estadística utilizada para
determinar si la diferencia entre las medias muestrales de tres o más grupos es más
grande de lo que se esperaría si solo se tomara en cuenta el azar en caso de que la
hipótesis nula (Ho : µ1 = µ2 = ... = µk) fuese verdadera.
Bajo el supuesto que las poblaciones son normales, de igual varianza σ2, y que las
muestras son independientes, se estima el valor común de σ2 por dos métodos diferentes.
El estadístico de prueba F, es el cociente o proporción de dichos estimados, y tendrá una
distribución muestral llamada F de Fisher, de parámetros: α, ν1, ν2.
Autor: HERNAN RIVAS
Técnica ANOVA y Cuadro Resumen (PRUFAI).doc (25/06/2010)
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De este modo, un valor de F significativamente grande constituirá una evidencia en
contra que las medias poblacionales sean iguales.
F se calcula mediante la fórmula siguiente:
F=
Variación _ entre _ muestras
Variación _ dentro _ de _ las _ muestras
En donde los dos métodos para estimar el valor de σ2 son los siguientes:
1. La variación entre muestras (o variación debida al tratamiento) se basa en la variación
entre las medias muestrales de los grupos y se conoce como Cuadrados Medios entre
Tratamientos (CMTR). Su cálculo se realiza mediante la siguiente expresión:
∑n
CMTR =
i
(
⋅ xi − x
k −1
)
2
En donde al numerador se le llama Suma de Cuadrado entre Tratamientos (SCTR)
y al denominador representa los grados de libertad ν1 para distribución F: ν1 = k-1,
x = media de todos los valores muestrales,
k = número de grupos,
ni = tamaño del grupo i,
xi = media de los valores del grupo i,
2. La variación dentro de las muestras (o variación debida al error) se basa en las
varianzas muestrales y se conoce como Cuadrados Medios debido al Error (CME);
ésta puede calcularse de la siguiente forma:
∑ (ni − 1) ⋅ si2
CME =
∑ (ni − 1)
∑∑ (x − x )
=
2
ij
∑n
i
−k
Donde, al numerador se le conoce como Suma de Cuadrados debido al Error (SCE)
y el denominador corresponde con los grados de libertad ν2 de la distribución F, (ν2 es
igual al número total de observaciones menos el número de grupos).
Autor: HERNAN RIVAS
Técnica ANOVA y Cuadro Resumen (PRUFAI).doc (25/06/2010)
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s i2 = varianza muestral del grupo i.
xij = valor de la observación j-ésima del grupo i.
Nota: Cuando los grupos a comparar tienen todos el mismo tamaño n, el cálculo del
estadístico F se resume a la siguiente fórmula:
(
n
⋅ ∑ xi − x
n⋅s
F = 2 = k −1
1
s prom
⋅ ∑ si2
k
2
x
)
2
PASOS PARA TRABAJAR CON LA TECNICA ANOVA
La prueba F de ANOVA supone que las observaciones en cada una de la K
poblaciones corresponden a muestras aleatorias simples, independientes, normalmente
distribuidas y con varianzas iguales ( σ 12 = σ 22 = L = σ k2 ). Para trabajar con esta técnica
debe seguir los siguientes pasos:
1. Enuncie Ho, por ejemplo: Ho: µ1 = µ 2 = L = µ 3
2. Especifique el nivel de significancia, por ejemplo: α = 0,05
3. Calcule el estadístico Fp como la razón: F = CMTR / CME
4. Halle el valor crítico Fc por medio de la tabla de la distribución F para los valores de α,
ν1 y ν2 correspondientes.
5. Enuncie la conclusión: rechazar Ho si Fp > Fc; mantenga Ho en otro caso.
ANOVA DE UN FACTOR (1F) – CUADRO RESUMEN PARA LOS DIFERENTES DISEÑOS
El factor o tratamiento, es la propiedad o característica que permite distinguir entre
sí a las distintas poblaciones. Se tienen varios diseños bajo este modelo de análisis, los
cuales se presentan a continuación.
Autor: HERNAN RIVAS
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ANOVA 1F: CUADRO RESUMEN PARA LOS DIFERENTES DISEÑOS
1) DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO
Fuente de
variación
Intermuestral
(Tratamiento)
Intramuestral
(Error)
Total
SCTR = ∑ ni (xi − x )
g. l.
Suma de
Cuadrados
Cuadrados Medios
ν1 = k-1
SCTR
CMTR=SCTR / ν1
ν2 = ∑ni-k
SCE
CME=SCE / ν2
n-1
SCT
2
SCT = ∑∑ (xij − x )
2
;
;
Estadístico de
prueba (F)
F=CMTR/CME
SCE = SCT − SCTR
2) DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIZADO
Fuente de
variación
Intermuestral
(Tratamiento)
Intermuestral
(Bloque)
Intramuestral
(Error)
Total
g. l.
Suma de
Cuadrados
Cuadrados Medios
νt = t-1
SCTR
CMTR=SCTR / νt
νb = b-1
SCBL
CMBL=SCBL / νb
F1=CMTR/CME
νe = νt x νb
SCE
CME=SCE / νe
F2=CMBL/CME
SCT
SCBL = ∑ bi (x j − x ) ;
SCTR = ∑ t j (xi − x ) ;
2
2
Estadístico de
prueba (F)
SCT = ∑∑ (xij − x ) ;
2
SCE = SCT − SCRT − SCBL
3) DISEÑO DE CUADRADO LATINO
Fuente de
variación
Intermuestral
(Tratamiento)
Intermuestral
(Fila)
Intermuestral
(Columna)
Intramuestral
(Error)
Total
g. l.
Suma de
Cuadrados
Cuadrados Medios
νt = r-1
SCTR
CMTR=SCTR / νt
νf = r-1
SCFL
CMFL=SCFL / νf
F1=CMTR/CME
νc = r-1
SCCL
CMCL=SCCL / νc
F2=CMFL/CME
νe = (r-1)(r-2)
SCE
CME=SCE / νe
F3=CMCL/CME
SCT
SCTR = (1 / r ) ⋅ ∑ (Suma _ de _ tratamientos ) − C 2 ,
2
SCFL = (1 / r ) ⋅ ∑ (Suma _ de _ filas ) − C 2 ;
2
SCT = ∑∑ xij2 − C 2 ;
Autor: HERNAN RIVAS
Estadístico de
prueba (F)
donde C = (1 / r ) ⋅
∑∑
xij
SCCL = (1 / r ) ⋅ ∑ (Suma _ de _ columnas ) − C 2 ;
2
SCE = SCT − SCTR − SCFL − SCCL
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