Clase 1.– Leyes de la Hidráulica.

1
Leyes de la Hidráulica.
Problema 1) Un tinaco de 1.5 m
de diámetro tiene almacenado un
volumen de agua de 1,200 lts o
1.2 m3 a las 9:00:00 horas, las
válvulas (o llaves) de entrada y
salida se abren a esta hora y dejan
pasar una corriente de agua con
una intensidad o gasto = Q de 5
lts/s y de 4 lts/s respectivamente,
determine cuál es el volumen de
agua almacenado en el tinaco a las
9:15:00.
Respuesta ordenada: dado que 15 minutos = 900 segundos y 1m3 = 1,000 lts;
1.2 m3 + 0.005 m3/s·900s – 0.0040.005 m3/s·900s = 2.1 m3
Problema 2) Si consideramos que:






Vol(9:00:00) = 1.2 m3/s;
Vol(9:15:00) = 2.1 m3/s;
t = 9:00:00;
Δt = 15 minutos = 900s;
Qentrada = Qe = 0.005 m3/s;
Qsalida = Qs = 0.004 m3/s
Demuestre que la respuesta en términos de variables se expresa como:
Vol(t) + Qe·Δt – Qs·Δt = Vol(t + Δt) (1)
Ecuación de la continuidad en
Hidráulica o:
Ecuación de la conservación de la
masa.
Conclusión: si la ecuación (1) se multiplica por la densidad del agua ρ (1,000
kg/9.81m/s2 = γ/g, donde: γ = peso especifico y g = constante de gravedad) entonces
obtendremos la masa del agua m en movimiento (por segundo) y su fórmula es;
La masa de un fluido en movimiento (flujo) es : m = Q·ρ·Δt
La masa de un sólido con o sin movimiento es : m = constante
2
Leyes de Newton de la Mecánica:
1. Todo cuerpo permanece en su estado de reposo (velocidad = 0) o movimiento
uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas
impresas sobre él (ΣFaplicadas = 0).
2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre
según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
p: m·V
p = Cantidad de movimiento, donde
m es la masa y V la velocidad.
Fresultante   F:
 F: m·a
dp
dt
La definición de la Fuerza o 2ª Ley de
Newton en términos matemáticos.
O en su forma más conocida.
3. A toda acción ocurre siempre una reacción igual pero en sentido contrario:
 F  m·a  0
 F  m·0  0
Es la 2ª Ley con el termino m·a en lado izquierdo.
Si la aceleración es cero a = 0, entonces se trabaja
con los cuerpos estáticos (Estática).
2ª Ley de Newton para la Hidráulica considerando que: m = Q·ρ·Δt
 F: m·a
Pero: m = Q·ρ·Δt
Por lo tanto:
 F: QρΔt  ·a
y:
Por lo tanto:
donde:
dV
ΔV ΔV: Vfinal  Vinicial  F:  QρΔt  · Vfinal  Vinicial / Δt 
a :
 lim


dt
Δt 0

Δt

Al eliminar Δt se obtiene:
 F : Qρ  Vfinal  Vinicial 
(2)
La Ecuación de impulso y cantidad de
movimiento
Para problemas donde haya más de una Vfinal y/o Vinicial o varias salidas de agua
(Vfinales) y/o varias entradas de agua (Viniciales) la ecuación resultante es:
 F : Q1ρ1 V1  Q2ρ2 V2  ...Salidas  Q1ρ1 V1  Q2ρ2 V2  ... Entradas
(2.1)
Animación de una turbina o rueda Pelton: una aplicación práctica de las
ecuaciones (2 y 2.1).
http://www.youtube.com/watch?v=Wmd2Q2onudA&feature=fvsr
3
Problema 3) Agua fluye por una tubería
con un caudal o gasto Q = 25 lts/s =
0.025m3/s y sale de la boquilla con una
velocidad |V1| = 50.0m/s y pega sobre
una placa, determine: el valor de la
fuerza que ejerce el chorro de agua
sobre la placa.
La placa tiene un parte aguas con el
objetivo de desviar el chorro.
Interpretación Física del problema: agua sale de la boquilla a razón de 25 lts/s (un peso
de 25 kgs/s = 0.0025 m3/s·1,000 kgs/m3) y una velocidad de 50 m/s en el eje x;
 al pegar con la placa, el chorro es desviado en el eje z por el parte aguas;
 y por lo tanto la velocidad inicial de 50 m/s en el eje x se vuelve cero;
 por esto el chorro se frena o se desacelera en el eje x;
 y para frenarlo se requiere de una fuerza;
 esta fuerza la proporciona la placa (3ª Ley de Newton: a toda acción hay una
reacción de igual magnitud pero en sentido contrario).
 Además, el parte aguas se coloca de tal manera que el chorro se divida por la
mitad esto es: Q2 = Q3 = Q1/2 = 25/2 = 12.5 lts/s.
Resolución: de acuerdo a la ecuación (2.1) el problema de la placa es:

F1  F2  F3  Fplaca  Q2ρV2  Q3ρV2

salidas 
Q ρV 
1
1 entradas
Donde F1, F2, F3 son las fuerzas de presión en la entrada y las salidas, pero debido a que
el chorro descarga al aire de la atmosfera la presión es cero, esto es: F1 = 0, F2 = 0, F3 =
0, además la ρagua = constante = 1000/9.81 = 102 y al sustituir valores queda:
Fplaca  0.0125·102  0,
0,  V2  
0.0125·102  0
, 0,  V3 
0.0250·102 50.0, 0,
0
Como |V2| = |V3| los 2 primeros términos se eliminan y solo queda el vector en el eje
x 0.025·102·50 = 127.5, por lo tanto, la fuerza en la placa es:
Fplaca   127.5Kgs, 0,
0
4
Tipos de aceleración:
a : lim
Δt 0
ΔV
Δt
Aceleración local, cambio de la velocidad con
respecto al tiempo.
V·ΔV
Δx 0 Δx
a  lim
Aceleración convectiva,
cambio de la velocidad
con respecto al espacio.
an :
V2
r
Aceleración centrípeta
(o normal), cambio de
dirección en la velocidad.
La aceleración convectiva:
V :
dx
dt
por lo tanto dt :
dx
dV
y la aceleración es: a :
V
dt
Si se sustituye el dt (diferencial de tiempo) en la formula de la aceleración obtenemos:
a :
V·dV
dx
La ecuación de Euler:
Si de una tubería inclinada un ángulo
θ donde fluye agua sacamos como
cuerpo libre una partícula (o gota) de
tamaño diferencial con forma geométrica de cilindro y se analizan las
fuerzas que intervienen en su
movimiento obtenemos:
5
Figura 1) Fuerzas que mueven a un
fluido dentro de una tubería:
dA = área de las tapaderas del cilindro.
P = presión del agua dentro del tubo
p·dA = fuerza de presión que en
estructuras es la de compresión.
W = peso del agua dentro del cilindro.
m = masa del agua dentro del cilindro.
Ff = fuerza de fricción del cilindro al
rozar con las partículas vecinas.
Δz = dz = es una altura.
γ = peso especifico del agua.
a = aceleración = a 
V·dV
dx
Planteando la sumatoria de fuerzas que mueven al cilindro en el eje x obtenemos:
Fx   p1  p2 dA  Wsin θ  Ff  m·ax
O sea, que las fuerzas que intervienen son:
 La diferencia de las fuerzas de presión/1 (p1 y p2);
 El peso del agua en el cilindro W/2;
 La fuerza de fricción Ff/3;
 La fuerza de inercia que es; m·a.
Sustituyendo el termino (p2 - p1) por –dp y a la masa por, m = W/g y a la aceleración
por el termino de aceleración convectiva;
 Fx  dp·dA  Wsin θ  Ff 
W V·dv
g dx
La simplificación de esta ec. se obtiene al multiplicar por:
/1
dx
dx

W dx·dA·γ 
Las fuerzas de presión son normales (90º) y entrantes a la superficie.
El peso del agua paralelo al eje x.
/3
La fuerza de fricción es sentido contrario al movimiento.
/2
6
Y dado que dx·sin(θ) = dz se obtiene como resultado la ecuación de Euler aplicada a
la Hidráulica4 que es:
Fx·dx
dp
Ff·dx V·dV

 dz 

W
γ
W
g

(3)
Ecuación de Bernoulli o de la Energía
La aplicación práctica de la ecuación de Euler se
obtiene cuando esta se integra, por ejemplo:
Agua sube de un deposito a un tanque elevado a
través de una tubería impulsada por la colocación de una bomba centrifuga P.
La partícula (en amarillo) parte del punto 1 llega
al punto 2 y en estos puntos se tiene respectivamente una; (p1, z1, V1) y (p2, z2, V2),
integre la ecuación (3) entre estas secciones;

p2 dp
p
1
γ

z2
z1
dz 
x2 Ff·dx
x
1
W

V2 V·dV
V1
g
V22 V12
  p2 /γ  p1/γ    z2  z1   h12 

2g 2g
Agrupando los subíndices 1 a la izquierda y los 2 a la derecha de la igualdad se obtiene:
p1
V2 p
V2
 z1  1  2  z2  2  h12
γ
2g γ
2g
Tipo de Fuerza en la 2ª Ley de
Newton y su símbolo en la
Figura 2.1. Unidades Newton
Fuerza
formula
F1 – F2
De presión
W·sin(θ),
Peso del agua
Ff
De fricción
m·a
De inercia
donde
(4)
Tipo de energía en la Ecuación de
Bernoulli y su símbolo. Unidades
Nwt-mt/Nwt = metros.
Energía
formula
(p1 – p2)/γ
De Flujo
z1 – z2
Potencial
Trabajo negativo Ff·Δx/W = h12
Cinética
(V22 – V12)/2g
Figura 1.2) Tabla de equivalencias entre la ecuación de la 2ª Ley de Newton (1.6) multiplicada
por Δx/W y la ecuación de Bernoulli o de la Energía.
4
La ecuación original de Euler considera la existencia de otras fuerzas en la trayectoria de la partícula
como es la colocación de maquinas térmicas o maquinas hidráulicas como la bomba centrifuga, la Rueda
Pelton y otras.
7
Si definimos a ET = energía total = p/γ + z + V2/2g la ec. de Bernoulli se expresa
en forma más ordenada de la siguiente manera:
ET1 = ET2 + h12
(4.1)
Ecuación del gasto:
Al despejar Q de la ecuación (1) se obtiene:
Qent  Qsal  Qneto 
ΔVol
Δt
(4)
Si consideramos que agua fluye
por una tubería y esta siempre
está llena entonces el volumen
de agua en la tubería siempre es
el mismo y por lo tanto el
incremento del volumen ΔVol =
0 y por esto;
Qentra = Qsale
y se llama Flujo Permanente
(5)
El volumen del chorro que sale del tubo es: Vol = A·Δx, pero, Δx = V·Δt, al sustituir lo
anterior en 4 se tiene;
Qneto 
ΔVol AΔx A  V·Δt 


y por lo tanto: Q  VA
Δt
Δt
Δt
(6)
De las ecuaciones (5 y 6) se obtiene la siguiente relación de gran utilidad ya que
permite relacionar la velocidad de entrada (ent) con la de salida (sal) a través del
tamaño del área:
Vent·Aent = Vsal·Asal
(7)
Ejercicios en tuberías a presión:
Ejercicio 1) Agua fluye por un tubo de 10 cms de
diámetro con un gasto a una velocidad de 1 m/s
(V1) y sale de la boquilla la cual tiene un diámetro
de 5 cms, determine: el valor de la velocidad a la
salida de la boquilla (V2) y el gasto Q.
Respuesta: V2 = 4 m/s,
0.00785 m3/s.
Q = 7.85 lts/s =
Ejercicio 2) La boquilla se encuentra horizontal y el chorro (punto 2) descarga en la
atmosfera, con estos datos y los resultados del Ejercicio 1) determine:
8
1. ¿Los valores de z1 y z2 son?: a) z1 < z2, b) z1 = z2, c) z1 > z2, d) z1 ≠ z2.
2. ¿Cuál es la presión del agua en el punto 2?: p2 = 0, p2 > 0, p2 ≠ 0, p2 < 0.
3. Asumiendo que no hay perdidas en la boquilla entre los puntos 1 y 2 (h 12 = 0)
plantee una ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 y determine cuál es la presión
que indica el manómetro (p1). Respuesta: p1 = 764.53 kg/m2, p1/γ = 0.7645
metros de columna de agua o (mca).
Ejercicio 3) Tomando a la boquilla como cuerpo
libre entre los puntos 1 y 2 se detectan solo dos
fuerzas; la de presión en el punto 1 (p2 = 0) y la
fuerza que ejerce la boquilla para desviar el
chorro, aplicando la Ecuación de impulso entre los
puntos 1 y 2 determine cuál es la fuerza en la
boquilla. Respuesta: 3.60 Kgs.
Ejercicio 4) Si el manómetro indica una presión de
10 kg/cm2, determine: a) Cual es la velocidad en los
puntos 1 y 2, b) cual es la fuerza en la boquilla.
Respuestas: V2 = 44.38m/s, V1 = 2.77m/s, Q =
21.8 lts/s, Fb = 785.4Kgs.
Ejercicio 5) Un tanque elevado conecta con una tubería que está
cerrada por la válvula, o sea, la
velocidad es cero. Determine la
energía total en los puntos 1, 2 y 3
Si la válvula se abre y el chorro
descarga a la atmosfera (p4 = 0)
determine la velocidad en el punto 4
(h14 = 0) y la presión en el punto 5.
¿Con que velocidad baja el nivel del
agua en el depósito?.
Respuestas:
ET1 = 10m, ET2 = 10m, ET3 = 10 m, V4 = 13.65 m/s, p5/γ = -6.5 mca (succión), V1 = 0.0086
m/s.
Ejercicio 6) El piezómetro en el punto 1
marca una presión de: p1/γ = 10 mca
en el punto 2 de p2/γ = 9 metros.
Determine cuál es la velocidad en los
puntos 1 y 2 así como el gasto Q.
Respuestas:
V2 = 5.36m/s, V1 = 3.01m/s, Q = 23.7
lts/s.
9
Ejercicio 7) Un deposito se descarga a través
de un sifón con un diámetro D = 5 cms.
Si la velocidad en el punto 1 es ≈ 0 y no se
tienen perdidas de energía por fricción en el
tubo, determine cuál es la velocidad en el
punto 2 (descarga a la atmosfera) y la
presión en el punto 3.
Respuesta: V2 = 6.26m/s, p3/γ = -4.0 mca.
Ejercicio 8) Obtenga la fuerza ejercida por el chorro sobre la placa del problema 3 a
través de la ecuación de la fuerza de arrastre (Drag Force):
V2
FD  CD·γ·A
2g
(8)
donde, CD = coeficiente de arrastre = 2, γ = peso especifico del agua = 1000 Kgs/m3, A
= área del chorro = 0.0005 m2, V = velocidad del chorro = 50 m/s.
Respuesta: 127.42 Kgs, la misma del problema 3.
http://www.google.com/search?hl=en&rlz=1R2ADFA_esMX490&q=drag%20coefficien
t&psj=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.,cf.osb&biw=1024&bih=577&wrapid=tlif1342419
74937510&um=1&ie=UTF-8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=2j8EULOH4ag2QWq6dnKCw
Ejercicios en estructuras a superficie libre:
Figura 1.3) Corte longitudinal de un canal. Donde las z’s se miden de un plano de referencia al
fondo del canal y las y’s del fondo del canal a la superficie libre (la altura de la lamina de agua).
Para este tipo de estructuras es recomendable expresar la ecuación de Bernoulli (4)
expresada de la siguiente forma:
10
y1  z1 
V12
V2
 y2  z2  2  h12
2g
2g
(4.1)
Ejercicio 8) Agua fluye por un canal con una http://es.wikipedia.org/wiki/Tubo_Pitot
velocidad V1, al entrar al tubo de Pitot por en el
punto 2, el agua asciende por el tubo arriba de la
superficie una altura hv (altura de velocidad).
En el punto 2 se forma una zona de estancamiento (V2 = 0) y en el punto 3 el agua sube y baja
ligeramente con una V3 promedio = 0.
Planteando una ecuación entre 1 y 3 y suponiendo que las pérdidas de energía h13 = 0 obtenga la
velocidad en el punto 1, si: h = 0.5 m y hv =
0.1m. Respuesta: V1 = 1.40 m/s
Nota: Resuelva con la ecuación de Bernou
lli que utiliza la presión.
Ejercicio 9) Demuestre que el resultado general para el cálculo de la velocidad V1 en el
canal con el Tubo de Pitot es: V1  2g·hv
Ejercicio 10) Un canal con una área de conducción de; A = 0.2m2, conduce un gasto de
0.22 m3/s, determine cuál debe ser la altura hv en el tubo de Pitot. Respuesta, 0.062m.
Compuerta:
Figura 1.4) Vista longitudinal de una compuerta
plana vertical con descarga libre donde se produce un salto hidráulico
(ys).
La contracción y2 se produce a una distancia a/Cc
siendo a la abertura de la
compuerta.
Número de Froude =
Fr 2 
Q2 T
g A3
Ejercicio 11) Agua sale a través de una compuerta plana vertical en descarga libre
asumiendo que no ha perdidas de energía entre las secciones 1 y 2 (h 12 = 0), determine
con los siguientes datos: y1 = 1.8 m, a = 0.18 m, b = 0.91 m, a) la profundidad y2, b) el
área de conducción A1 y A2, c) la velocidad en el punto 2 (V2), d) el gasto Q. Sugerencia:
Use la ecuación de Bernoulli (4.1) y plantee la ec. entre los puntos 1 y 2.
Respuestas: y2 = 0.11 m, A1 = 1.638m2, A2 = 0.10m2, V2 = 5.77 m/s, Q = 0.581 m3/s.
11
Ejercicio 12) Para el problema anterior, se desea reducir el gasto de la compuerta de
0.581m3/s a 0.300 m3/s, determine: a) cual es la profundidad y2, b) la abertura de la
compuerta (a).
Sugerencia: de la fórmula del gasto: Q = V·A se obtiene que, V1 = Q/A1 y V2 = Q/A2.
Respuestas: y2 = 0.056m, a = 0.092m.
Ejercicio 13) Para el problema anterior, se desea que el gasto de la compuerta sea de
0.300 m3/s, pero el nivel del agua se redujo de y1 = 1.8m a y1 = 1.2 m, determine: a)
cual es la profundidad y2, b) la abertura de la compuerta (a).
Sugerencia: de la fórmula del gasto: Q = V·A se obtiene que, V1 = Q/A1 y V2 = Q/A2.
Respuestas: y2 = 0.070m, a = 0.114m.
Ejercicio 14) Agua sale a través de una compuerta plana vertical en descarga libre
asumiendo que no ha perdidas de energía entre las secciones 1 y 2 (h 12 = 0), determine
con los siguientes datos; y1 = 1.2 m, Q = 0.4 m, b = 0.62 m: a) cual es la profundidad y2,
b) la abertura de la compuerta = a.
Respuestas: y2 = 0.143m, a = 0.232m.
Ejercicio 15) En la Figura 1.4) se inserta un tubo de Pitot en el punto 2 y el agua se
eleva a una altura de 1.6m sobre la superficie usando los datos del ejercicio 11, determine: a) Cual es la velocidad real en el punto 2, b) Cual es el gasto Q que sale por la
compuerta, c) Cuales son las pérdidas de energía entre los puntos 1 y 2.
Respuestas: V2 = 5.60m/s, Q = 0.560m3/s, h12 = 0.09m.
Ejercicio 14) Por un vertedor de pared delgada (tiene un filo en la cresta ver Figura 1.5)
sale un chorro de agua, si en los puntos 1, 2, 3 y 4 la presión es cero determine cuales
son las velocidades en los puntos 4, 3 y 2. Sugerencia plantee una ecuación de
Bernoulli (la #4) entre los puntos 1-4, 1-3 y 1-2 para obtener las velocidades.
Figura 1.5) Presentación idealizada del flujo de agua sobre la cresta de un vertedor de pared
delgada.
Respuestas: V4 = 0 m/s, V3 = 1.98 m/s, V2 = 3.13 m/s.
Problema 4) Si h es una altura que toma valores de 0.0m a 0.5m demuestre que la
velocidad en cualquier punto de la cresta del vertedor a la superficie del vertedor
12
(puntos 2, 3 y 4) la velocidad es: v  2 g  h0  h)  o sea, la velocidad cambia con la
altura h.
Resolución: planteando una ecuación de Bernoulli entre 1 y cualquier punto en la
cresta entre 2 y 4 se tiene.
Al despejar v se obtiene: v  2 g  h0  h)  donde h varía de 0 a h0.
Problema 5) Para el vertedor
trapecial mostrado en la figura
determine el valor del gasto teórico
Q que se descarga si la velocidad
varía de acuerdo a la siguiente
fórmula:
v  2 g  h0  y 
y = 0 en la
cresta y y = h0 en la superficie libre.
Nota: h0 se cambia por h y h = y.
Resolución: como la velocidad es variable el valor del gasto se debe de calcular a
través de la integral Q = ∫ dQ donde dQ = v·dA, donde el diferencia de área dA es
igual a: dA = T·dy y como el ancho superficial T es: T = b + 2·m·y esta integral resulta
ser:
Q
h
0
vdA  
h
0
2 g  h  y   b  2m  y  dy   
2
 8

2 g  b  h3/ 2   
2 g  m  h5/ 2 
3
 15

↑
↑
Resultado de la integración en dos secciones o Sección rectángula- Sección triangular del trapecio.
lar del trapecio.
partes
Para que la formula anterior de resultados reales acerca del valor de Q debe de
multiplicarse por un coeficiente de descarga Cd o μ este ultimo símbolo es el propuesto en el Texto de Hidráulica General de Sotelo (Capítulo VII/5).
Formula del vertedor de sección rectangular: (2/3·19.621/2 = 2.952 m1/2/s)
q = Q/b = 2.952·μ·h3/2
/5
(9)
Para información detallada de los vertedores se recomienda la lectura del Capítulo VII ya que estos
operan bajo variantes geométricas como son: de sección rectangular, triangular, trapecial, circulares,
proporcionales, si operan con contracciones laterales o no, si son de pared gruesa o de pared delgada, si
operan con descarga libre o descarga sumergida.
13
donde para un vertedor de pared delgada con contracciones (b/B > 1) o sin contracciones (b/B = 1), donde μ es el coeficiente universal de Kindsvater-Carter, los cuales
se indican en la figura 1.5).
Coeficiente de Kindsvater-Carter
b/B
Μ
1.0
0.602 + 0.0750·h/w
0.9
0.598 + 0.0640·h/w
0.8
0.596 + 0.0450·h/w
0.7
0.594 + 0.0300·h/w
0.6
0.593 + 0.0180·h/w
0.4
0.591 + 0.0058·h/w
0.2
0.588 - 0.0018·h/w
0.0
0.587 - 0.0023·h/w
Limite del coeficiente
h/w
h
w
b
= max. 2.5
= min 0.03 m
= min 0.10 m
= min 0.15 m
Nota:para b/B = 1 Henderson propone
μ = 0.611 + 0.08 h/w
Nota: la constante en el coeficiente μ representa el efecto de la contracción vertical y
horizontal del chorro al pasar por la cresta del vertedor, el termino h/w representa el
efecto de la velocidad de arribo del agua (V1) al vertedor la cual, se supuso cero = 0m/s
en el ejercicio 14 y el problema 1.4.
Ejercicio 15) {problema de revisión}. Un canal con un ancho superficial B = 1.2m
descarga sobre un vertedor de ancho b = 0.72m, una altura de cresta w = 1.0m y una
altura de la ola h = 0.6m, determine el valor del gasto Q que descarga el vertedor. Use
la ecuación (9) y el coeficiente se selecciona de la Figura 1.5).
Respuesta: Q = 0.596m3/s.
Problema 6) {problema de diseño donde se conoce la altura total y aguas arriba de la
cresta}. Un canal con un ancho superficial B = 4.0m debe tener una altura y = w + h =
2.5m y debe descargar un gasto de 5.0 m3/s, si el canal es sin contracciones (b/B = 1)
determine la altura de la cresta del vertedor w.
Resolución: al despejar
h3/2
 q / 2.952 
de la ecuación (9) se obtiene: h  

μ


2/3
14
De la Figura 1.5 para b/B = 1, el coeficiente μ = 0.602 + 0.075·[h/w], como se conoce
la altura y entonces, w = y – h y μ resulta ser: μ = 0.602 + 0.075·[h/(y – h)], por lo
tanto para obtener el valor de h se requiere de un proceso iterativo que se presenta en
forma de tabla de la siguiente forma:
Datos: q = Q/b = 5.0m3/s/4m = 1.25m2/s, y q/2.952 = 1.25/2.952 = 0.423m1.5;
Iteración
0
1
2
3
Valor
de h
1.250
0.731
0.764
h
yh
h
μ  0.602  0.075
2.5  h
μ  0.602  0.075
 q / 2.952 
h

μ


2/3
 0.423 


 μ 
2/3
h = 1.25m = (2.5/2) valor inicial
h = (0.423/0.677)2/3 = 0.731m
h = (0.423/0.633)2/3 = 0.764m
h = (0.423/0.633)2/3 = 0.763m
μ = 0.677
μ = 0.633
μ = 0.635
Nota: el valor inicial de h = 1.25m es con el objetivo: que [h/(2.5 – h)] = 1.
La solución se obtiene cuando entre la ultima y penúltima iteración la diferencia entre
h sea menor a 1 cm, por lo tanto: La respuesta es: h = 0.763m y finalmente la altura w
del vertedor es: w = y – h = 2.5 – 0.763m = w = 1.737m.
Observación: El método numérico usado para obtener el valor de h es el del punto fijo,
ya que es el más sencillo para el problema de vertedores.
Problema 7) {problema de diseño donde se conoce la altura w de la cresta del
vertedor}. En un canal con un ancho superficial B = 2.0m, se coloca un vertedor de b =
1.2 m y una altura de la cresta w = 0.6m, que debe descargar un gasto de 1.5 m3/s;
determine la altura de la ola h y la profundidad del vertedor y aguas arriba.
Resolución: al despejar
h3/2
 q / 2.952 
de la ecuación (9) se obtiene: h  

μ


2/3
Para b/B = 1.2m/2.0m = 0.6, el coeficiente μ = 0.593 + 0.018·[h/w], como h se
encuentra dentro del coeficiente se tiene una ecuación implícita y por lo tanto se
requiere de un proceso iterativo que se presenta en forma de tabla de la siguiente
forma:
Datos: q = Q/b = 1.5m3/s/1.2m = 1.25m2/s, y q/2.952 = 1.25/2.952 = 0.423m1.5;
Iteración
0
1
2
Valor
de h
μ  0.593  0.018
0.600
0.783
μ = 0.611
μ = 0.616
h
w
h
μ  0.593  0.018
0.6
 q / 2.952 
h

μ


2/3
 0.423 


 μ 
h = w = 0.6m valor inicial
h = (0.423/0.611)2/3 = 0.783m
h = (0.423/0.616)2/3 = 0.779m
Nota: el valor inicial de h = 0.6m es con el objetivo: que [h/w)] = 1.
2/3
15
La solución se obtiene cuando entre la ultima y penúltima iteración la diferencia entre
h sea menor a 1 cm, por lo tanto: h = 0.779m que se obtiene en la 2ª iteración y la
profundidad del canal aguas arriba es: y = w + h = 0.6 + 0.779 = 1.379m.
Finalmente: se verifica que h/w ≤ 2.5, h/w = 0.779/0.6 = 1.3. El motivo de esta
verificación es: si la relación h/w > 2.5, el vertedor (vertedor enano) opera como una
transición vertical y su forma de cálculo es diferente a la ecuación (9).
Ejercicio 16) Para un vertedor con los datos
de Q, B, b, y, diseñe el vertedor, esto es,
encuentre h y w.
Ejercicio 17) Para un vertedor con los datos de Q,
B, b, w, diseñe la profundidad del canal, esto es,
encuentre h y y.
Transiciones: Cuando en un canal;



El fondo de este aumenta o disminuye, y/o;
El ancho aumenta o disminuye, y/o;
Cambia de sección, de trapecial a rectangular o viceversa;
Entonces se dice que hay una transición en el canal:
Ejercicio 18) Un canal de sección rectangular disminuye su fondo (Δz) en 0.2 m al
pasar de la sección 1 a la 2, asumiendo
que las pérdidas son cero (h12 = 0)
determine las 3 profundidades (y2) posibles en la sección 2.
Datos: V1 = 1.5 m/s, b = 2.0m, y1 = 1.2m.
Sugerencia: use la ec. de Bernoulli 4.1).
Respuesta: y2 = {-0.3, 0.38, 1.43m).
Ejercicio 19) Para la Figura del problema 18, determine las tres profundidades y2 para
los siguientes datos.
Datos →
Δz
Respuesta:
V1
b
y1
19-1)
19-2)
2.0m/s
1.2m/s
2.5m
1.0m
1.3m
0.6m
0.3m
0.15m
{-0.396, 0.518, 1.68m}
{-0.164, 0.207, 0.78m}
16
Ejercicio 20) Un canal de sección rectangular aumenta su fondo (Δz) en 0.2 m al
pasar de la sección 1 a la 2, asumiendo
que las pérdidas son cero (h12 = 0)
determine las 3 profundidades (y2) posibles en la sección 2.
Datos: V1 = 1.5 m/s, b = 2.0m, y1 = 1.2m.
Sugerencia: use la ec. de Bernoulli 4.1).
Respuesta: y2 = {-0.34, 0.53, 0.92m).
Ejercicio 21) Para la Figura del problema 18, determine las tres profundidades y2 para
los siguientes datos.
Datos →
Δz
Respuesta:
V1
b
y1
21-1)
21-2)
2.0m/s
1.2m/s
2.5m
1.0m
1.5m
0.8m
0.2m
0.15m
{-0.481, 0.818, 1.170m}
{-0.223, 0.359, 0.587m}
Ejercicio 22): En un canal de sección Figura E-22)
rectangular el agua fluye de la sección 1 a
la 2. Si las dimensiones de los canales son:
b1 = 2.0m, y1 = 1.0m, b2 = 3.0m y el
gasto Q = 3.0m3/s, determine las
respuestas la profundidad del agua en la
sección 2 (y2). Marque: las respuestas
correctas: a) 1.04, b) 1.07, c)1.09, d)
0.242m.
Considere que z1 = z2 y que no hay
perdidas de 1 a 2 (h12 = 0).
Ejercicio 23) Para la figura E-22 y los datos que se indican, determine las soluciones
correctas para la profundidad y2.
Datos →
b2
Respuestas múltiples para y2
Q o V1
b1
y1
23-1)
23-2)
6.0m3/s
1.5m/s
3.0m
2.0m
1.5m
1.0m
5.0m
3.0m
0.232m, 1.62m, 1.56m, 0.40m
1.23m , 1.13m, 0.25m, 0.32m
Ejercicio 24) Una pila de un puente es colocada a la mitad de un canal rectangular como se
indica en la figura del lado derecho, sí; Q = 9 m3/s y V1 = 1.0m/s obtenga la profundidad en y2.
Respuesta: y2 = 2.953m, o, 0.5886m
17
Ejercicio 25) En un canal de sección Figura E-25)
rectangular con un ancho b1 = 2.0m se
tiene un gasto de 4.0m3/s con una
profundidad y1 = 1.5m. Se desea que la
profundidad disminuya a 1.25m (y2 =
1.25m) y para ello se construye una
contracción en la sección 2,
determine el ancho del canal en la
sección 2 (b2 = ?). Respuesta 1.24m.
Nota: considere que las cotas del
fondo del canal en la secciones 1 y 2
son iguales, esto es, z1 = z2 y que no
hay perdidas de energia, h12 = 0.
18
Resolución: planteando la ec. de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene:
z1  y1 
V12
V2
 z2  y2  2  h12
2g
2g
Dado que, z1 = z2, las pérdidas son 0 y expresando las velocidades en términos de Q/A
se obtiene:
2
2
 Q  1
 Q  1
y1  
 y2  


 b1·y1  2g
 b 2 ·y 2  2g
2
2
 4  1
 4  1
1.5  
 1.25  


 2·1.5  19.62
 b 2 ·1.25  19.62
1.591  1.25 
b2 
0.522
b22
, despejando b2
0.522
 1.24m
1.591  1.25
Ejercicio 23): En un canal de sección Figura E-24)
rectangular el agua fluye de la sección 1
a la 2. Si las dimensiones de los canales
son: b1 = 2.0m, y1 = 1.5m, y2 = 1.25m
y el gasto Q = 4.0m3/s, encuentre el
ancho b2. Respuesta: 1.24m.
Considere que z1 = z2 y que no hay
perdidas de 1 a 2 (h12 = 0).