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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 7, NO. 5, SEPTEMBER 2009
545
Single-Phase Transformer Modeling
for Analyzing Transient Overvoltages
Distribution and Transference
J. C. Escamilla, P. Gómez, Miembro IEEE y C. Tejada
1
Abstract— In this article, a frequency domain method for the
analysis of transient overvoltages transferred to the secondary
winding of a single-phase transformer, as well as the distribution
of transient voltages along the transformer windings, is
presented. The transformer is modeled as a distributed
parameters element from the Telegrapher equations of a
multiconductor transmission line in the frequency domain. In
order to obtain the time domain, the Numerical Laplace
Transform (NLT) is applied. Results from the presented model
are compared to those from a model developed in the
professional simulation program ATP/EMTP.
Keywords— Electromagnetic transients, Numerical Laplace
Transform, Transformer modeling.
I. NOMENCLATURA
Vk(x,s)
Tensión del k-ésimo devanado en el punto x
Ik(x,s)
Corriente del k-ésimo devanado en el punto x
Rk
Perdidas serie (cobre) del k-ésimo devanado por
unidad de longitud (p.u.l.)
Rc1
Perdidas del núcleo (hierro) p.u.l.
Lsk
Inductancia serie del k-ésimo devanado p.u.l.
Lm
Inductancia mutua entre devanados p.u.l.
Csk
Capacitancia propia del k-ésimo devanado p.u.l.
Cgk
Capacitancia a tierra del k-ésimo devanado p.u.l.
Cm
Capacitancia mutua entre el devanado primario
y secundario por unidad de longitud
s
Variable de la Laplace
E
II. INTRODUCCIÓN
l análisis de la respuesta transitoria de transformadores ha
sido un tópico de gran interés e importancia en el área de
ingeniería eléctrica. Este tipo de estudios provee información
fundamental sobre el estrés al que puede ser sometido el
transformador debido a sobretensiones transitorias y sus
resultados son cruciales tanto para el diseño como para la
11
Los autores agradecen a la Secretaría de Investigación y Posgrado del IPN
por el apoyo económico a través del proyecto 20070211.
Juan Carlos Escamilla Sánchez, Instituto Politécnico Nacional, México,
[email protected].
Carlos Tejada Martínez, Instituto Politécnico Nacional, México,
[email protected].
Pablo Gómez Zamorano, Instituto Politécnico Nacional. México,
[email protected].
eficiente operación del transformador [1]-[9]. Para el análisis
de transitorios de alta frecuencia, generados tanto por
descargas atmosféricas como por maniobras o fallas, se
emplean modelos denominados internos, los cuales describen
principalmente la distribución del potencial y la propagación
en el devanado en el cual incide la onda. Para ello, se emplean
tanto representaciones de parámetros concentrados como de
parámetros distribuidos.
En cuanto al modelado de parámetros distribuidos, la
teoría de la línea de transmisión multiconductora en el
dominio de la frecuencia se ha utilizado extensivamente para
analizar las sobretensiones transitorias en los devanados del
transformador [1]-[8]. Por ejemplo, uno de los modelos
basados en esta teoría describe el devanado completo del
transformador mediante un modelo de parámetros distribuidos
de la línea monofàsica, y para el análisis ettallado del
fenómeno utiliza un modelo de la línea multiconductora en las
primeras vueltas [3]. Otro de los modelos considera cada disco
como un elemento básico de análisis y cada bobina se
considera como una fase de la línea; la conexión se hace del
extremo final de la bobina (fase) con el extremo inicial de la
otra bobina (fase). Para la solución se utiliza el análisis modal,
y algoritmos para la transformación numérica del dominio de
la frecuencia al dominio del tiempo [8]. La teoría de la línea
multiconductora en el dominio del tiempo ha sido también
utilizada en el modelado de devanados ante transitorios
electromagnéticos. Uno de estos modelos consiste en la
solución de las ecuaciones del telegrafista que definen la
propagación en el devanado en el dominio del tiempo por
medio del método de las características, el cual permite
transformar las ecuaciones diferenciales parciales en
ecuaciones diferenciales ordinarias y resolverlas mediante
diferencias finitas [9].
En este artículo se presenta un modelo del transformador
para transitorios de alta frecuencia, el cual está basado en una
representación aplicada previamente en [10] para el análisis de
respuesta en frecuencia (FRA) [17]. A diferencia de los
modelos usados generalmente, este modelo considera también
la transferencia de sobretensiones transitorias al lado
secundario. La naturaleza distribuida de los parámetros
eléctricos del transformador se describe a partir de las
ecuaciones del telegrafista comúnmente empleadas en el
análisis de la línea de transmisión. A partir de estas ecuaciones
se obtiene un modelo de 2 puertos (nodal o matriz de
admitancias) del transformador.
Se incluye un ejemplo de aplicación en el cual se analiza
546
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 7, NO. 5, SEPTEMBER 2009
la distribución de sobretensiones transitorias a lo largo de los
devanados primario y secundario de un transformador de
distribución, Para obtener la solución en el dominio del tiempo
se emplea la Transformada Numérica de Laplace (TNL) [11].
Los resultados obtenidos con el modelo presentado en este
trabajo se comparan con un modelo de parámetros
concentrados desarrollado en el programa de simulación
ATP/EMTP.
Primario
−
V1 (x − Δx, s )
+
La representación circuital del transformador para una
unidad de longitud se presenta en la Fig.1 [10]. El modelo
considera las siguientes aproximaciones:
1) Se asumen devanados distribuidos uniformemente.
2) Los parámetros del transformador se asumen constantes.
3) La operación es considerada en la región lineal de la
curva de magnetización.
4) La inductancia mutua es considerada únicamente entre la
vuelta del devanado primario que corresponde con la del
secundario.
Del circuito de la Fig.1 se obtienen los incrementos de
tensión en los devanados dados por
ΔV1 ( x, s ) = R1ΔxIˆ1 ( x, s ) + sL1ΔxIˆ1 ( x, s ) + Lm ΔxIˆ2 ( x, s )
(1a)
ΔV2 ( x, s) = R2 ΔxIˆ2 ( x, s) + sL2 ΔxIˆ2 ( x, s) + Lm ΔxIˆ1 ( x, s)
(1b)
V1 (x, s )
Cs1 / Δx
I1 ( x − Δx, s )
I 2 (x − Δx, s )
III. MODELO DEL TRANSFORMADOR
−
R c1Δx
C g1Δx
R1Δx
L1Δx
L m Δx
C m Δx
+
R 2 Δx
L 2 Δx
+
V2 (x − Δx, s )
−
C s 2 / Δx
C g 2 Δx
−
V2 (x, s )
+
Secundario
Figura 1. Representación para un diferencial de longitud del transformador
⎡dV1(x,s) ⎤
⎤⎡I1(x,s)⎤
⎢ dx ⎥ 1 ⎡Z1 +Z1Y2Z2 −Zm2Y2
Zm
⎢
⎢dV(x,s)⎥ =
⎥
2 ⎥⎢
Zm
Z2 +Z2Y1Z1 −ZmY1⎦⎥⎣I2(x,s)⎦
⎢ 2 ⎥ D(s) ⎣⎢
⎣ dx ⎦
(4)
donde
donde
Iˆ1 ( x, s) =
I1 ( x, s)
1 + R1Cs1 + s 2 L1Cs1
(2a)
Iˆ2 ( x, s) =
I 2 ( x, s)
1 + sR2Cs 2 + s 2 L2Cs 2
(2b)
Iˆ1 ( x, s ) y Iˆ2 ( x, s ) son las corrientes fluyendo en Z1 y Z2
respectivamente. Además
Z1 ( s) = R1 + sL1
(3a)
Z 2 ( s ) = R2 + sL 2
(3b)
Z m (s) = sLm
(3c)
Sustituyendo (3) en (1) y expresando (1) en función de la
corriente total I 1 ( x, s) y I 2 ( x, s) del devanado, dividiendo
entre ∆x y aplicando el límite cuando ∆x → 0, se obtiene:
D ( s ) = 1 + Z1Y1 + Z 2Y2 + Z1Z 2Y1Y2 − Z m1 Y1Y2
(5a)
Y1 ( s) = sC1 + 1 / Rc1
(5b)
Y2 ( s ) = sC 2
(5c)
Del circuito de la Fig. 1 se obtiene la variación de
corrientes respecto a ∆x del devanado primario y del
secundario.
ΔV1 ( x, s) = sCg1ΔxV1 ( x, s) + sCm ΔxV1 ( x, s) − sCm ΔxV2 ( x, s)
(6a)
ΔV2 ( x, s) = sCg 2 ΔxV2 ( x, s) + sCm ΔxV2 ( x, s) − sCm ΔxV1 ( x, s) (6b)
Se define lo siguiente:
Yg1 ( s) = sC g1
(7a)
Yg 2 ( s ) = sC g 2
(7b)
Ym ( s ) = sCm
(7c)
Dividiendo (6) entre ∆x y aplicando los límites cuando
∆x → 0 se tiene la siguiente ecuación:
⎡ dI1 ( x, s ) ⎤
− Ym ⎤ ⎡V1 ( x, s ) ⎤
⎢ dx ⎥ ⎡Yg1 + Ym
⎢ dI ( x, s ) ⎥ = ⎢ − Y
Yg 2 + Ym ⎥⎦ ⎢⎣V2 ( x, s )⎥⎦
m
⎢ 2
⎥ ⎣
⎣ dx ⎦
(8)
Las ecuaciones (4) y (8) en forma compacta se pueden
escribir como
d ⎡ V ( x, s ) ⎤ ⎡ 0 Z ⎤ ⎡ V ( x, s ) ⎤
=
dx ⎢⎣ I ( x, s) ⎥⎦ ⎢⎣Y 0 ⎥⎦ ⎢⎣ I ( x, s) ⎥⎦
(9)
donde V(x,s) e I(x,s) son los vectores de tensión y de corriente
ESCAMILLA SÁNCHEZ et al.: SINGLE-PHASE TRANSFORMER
547
en el dominio de Laplace en el punto x del devanado, mientras
que Z y Y son las matrices de impedancias y admitancias
descritas en las ecuaciones (4) y (8). Las ecuaciones acopladas
de primer orden definidas en (9) pueden convertirse en
ecuaciones desacopladas de segundo orden:
d2
dx 2
0
⎡ V ( x, s ) ⎤ ⎡ Z ( s ) Y ( s )
⎤ ⎡ V ( x, s ) ⎤
⎢ I ( x, s ) ⎥ = ⎢
0
Z( s ) Y ( s ) ⎥⎦ ⎢⎣ I ( x, s ) ⎥⎦
⎣
⎦ ⎣
I(0,s)
+
V( x, s) = exp(− Ψx )C1 + exp(Ψx )C2
(11a)
I ( x, s ) = Y0 [exp (− Ψx ) C1 − exp (Ψx ) C 2 ]
(11b)
donde Ψ es la matriz de constantes de propagación del
devanado, definida como
Ψ = M λ M −1
(12)
M y λ son las matrices de vectores y valores propios del
producto Z(s)Y(s), respectivamente, y Y0 es la matriz de
admitancias características del devanado, calculada como
sigue:
Y0 = Z(x, s)-1 Ψ
(13)
Aplicando las condiciones de frontera x=0 y x=L en (11),
puede obtenerse el modelo de 2 puertos conocido como forma
nodal o de matriz de admitancias (Fig. 2):
⎡ I (0, s ) ⎤ ⎡ A − B ⎤ ⎡ V (0, s ) ⎤
⎢I ( L, s ) ⎥ = ⎢ − B A ⎥ ⎢ V ( L, s ) ⎥
⎦⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
A = Y0 coth (ΨL)
(15a)
B = Y0 csch (ΨL)
(15b)
A partir del modelo de 2 puertos se obtienen las tensiones
en las terminales del transformador en el dominio de la
frecuencia. Los valores respectivos en el dominio del tiempo
se obtienen a partir del algoritmo de Transformada Numérica
de Laplace, descrito en la sección V. Por otro lado, el cálculo
de los parámetros eléctricos del transformador, base de este
modelo, se detalla en la siguiente sección.
IV. CALCULO DE PARAMETROS ELECTRICOS.
De acuerdo con la ecuación (9), la propagación a través de
los devanados del transformador puede describirse
completamente a partir de la definición de las matrices Z y Y,
las cuales pueden calcularse en función de la configuración
geométrica del transformador. En esta sección se incluyen las
fórmulas empleadas para el cálculo de los parámetros
eléctricos mostrados en el circuito de la Fig.1, para una
configuración de transformador tipo columna, considerando
sección transversal circular de la misma.
A-B
A-B
V(L,s)
_
_
Figura 2. Modelo de 2 puertos del transformador
El cálculo de la capacitancia a tierra se realiza considerando
la configuración de dos conductores cilíndricos coaxiales. La
capacitancia serie se obtiene con ecuaciones que se basan en el
almacenamiento de energía. Para la capacitancia a tierra de
cada devanado se emplea la siguiente ecuación [16]:
Cg =
C ab C b
+ 3Ca
C ab + C b
(16)
donde
Cb =
2 πε 0ε r
,
ln (rii / rn )
Ca =
(14)
donde
+
B
V(0,s)
(10)
La solución general del sistema definido en (10) está dada
por:
I(L,s)
Cab =
2πε 0ε r
ln (rie / rei )
(17a), (17b)
2 πε 0ε r
(17c)
ln ⎡⎢⎛⎜ bt + bt2 + ree2 ⎞⎟ / ree ⎤⎥
⎠
⎣⎝
⎦
Cb Ca y Cab son las componentes de la capacitancia a tierra:
entre el devanado primario y el núcleo, entre el devanado
secundario y el núcleo y entre devanados, respectivamente; ε0
y εr son la permitividad del vacío y la permitividad relativa del
material dieléctrico utilizado, respectivamente; rii, rie son los
radios interiores del devanado de baja y alta tensión
respectivamente; ree, rei son los radios exteriores del devanado
de baja y alta tensión respectivamente, y bt es la distancia
entre la pared del tanque y el centro del devanado de alta
tensión. Para la capacitancia serie de cada devanado se tiene
[12]:
Cs =
(2CDA /αd )tanh(2αd ) ( 2CDA /αd )tanh( 2αd )
(2CDA /αd )tanh(2αd ) + (NDw − 2)( 2CDA /αd )tanh( 2αd )
(18)
donde:
CT =
ε 0ε r π Dm ( w + t p )
tp
, αd =
C DA
Ct ( N D − 1) −1
(19a),(19b)
⎡
⎤
k
k −1
+
CDA = ε 0 ⎢
⎥ π Dm (R + ts )
⎣⎢ t p / ε p + ts / ε oil t p / ε p + ts / ε s ⎦⎥
(19c)
Dm es el diámetro promedio del devanado; w es el diámetro del
conductor en la dirección axial del devanado; tp es el grueso
del papel aislante; εp, εs y εoil son las permitividades relativas
del papel de aislamiento, del aislamiento sólido entre discos y
del aceite, respectivamente; ts es el grosor del aislamiento
sólido entre discos; k es el espacio circunferencial ocupado por
aceite, ND y NDw son el número de vueltas por disco y el
548
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 7, NO. 5, SEPTEMBER 2009
número de discos en el devanado respectivamente.
Para la inductancia propia del devanado primario se
emplea la siguiente expresión [12]:
2
2
⎧⎪1 ⎡
⎛ η ⎞ ⎫⎪ (20)
⎛η ⎞ ⎤ ⎡ 8 ⎤
Ls1 = μ0 a⎨ ⎢1 + 1/ 6⎜ ⎟ ⎥ ln⎢
0
.
84834
0
.
2041
−
+
⎜ ⎟ ⎬
2⎥
⎝ 2a ⎠ ⎪⎭
⎝ 2a ⎠ ⎦⎥ ⎣ (η / 2a) ⎦
⎪⎩2 ⎣⎢
mientras que la inductancia mutua entre devanados se calcula
simplemente como
Lm = K 0 Ls1 ⋅ Ls 2
(21)
donde:
Ls 2 = Ls1 ⋅ q 2
(22)
a es el radio medio de la vuelta, η es el espesor del conductor,
K0 es el coeficiente de acoplamiento, Ls1 y Ls2 son las
inductancias propias del devanado primario y secundario
respectivamente, q es la relación de transformación [12].
Finalmente, las pérdidas serie de cada devanado,
considerando la profundidad de penetración debida al efecto
pelicular, se calculan como sigue [15]:
ωμ Cu ρ Cu
Rs =
donde ω es la frecuencial angular, μCu y ρCu son la
permeabilidad y resistividad del cobre, respectivamente y p es
el perímetro de la sección transversal del devanado. Se
considera además que las pérdidas del núcleo, Rc1, son muy
pequeñas en las altas frecuencias presentes en el fenómeno
transitorio, ya que debido al efecto pelicular en el núcleo, éste
prácticamente no permite el paso del flujo (se comporta como
una barrera de flujo). Esta suposición parte de la ecuación de
difusión en una dimensión y ha sido considerada en el
modelado del devanado de máquinas en muy altas frecuencias
con buenos resultados [15].
V. TRANSFORMADA NUMÉRICA DE LAPLACE.
Considerando un sistema causal y un rango de integración
finito, las ecuaciones siguientes definen las transformadas
directa e inversa de Laplace:
f (t ) =
ct
⎛
Re⎜
π
⎝
e
∫
∫ [ f (t )e ].e
Ω
0
T
0
−ct
− jωt
dt
⎞
F (c + jω ) e jωt dω ⎟
⎠
(24a)
(25a)
⎧⎪ N −1
⎛ j 2πmn ⎞⎫⎪
f n = Re⎨Cn Fmσ m exp⎜
⎟⎬, n = 1, 2,…, N −1
⎪⎩ m=0
⎝ N ⎠⎪⎭
(25b)
donde ω es frecuencia angular, c es un factor de
amortiguamiento, T representa el tiempo de observación y Ω
es la frecuencia máxima.
La evaluación numérica de (24) produce 2 tipos de
errores: oscilaciones de Gibbs debidas al truncamiento
del rango del espectro continúo de frecuencia y aliasing
debido a la discretización [11]. El error por truncamiento
puede reducirse mediante la inclusión de una función
“ventana” σ(ω), mientras que el aliasing se reduce
suavizando la respuesta en frecuencia del sistema
∑f
n Dn
n =0
∑
donde
Fm = F [c + j (2m + 1)Δω ]
f n = f (nΔt )
Cn =
2 Δω
π
jπn ⎞
⎛
exp⎜ cnΔt +
⎟
N ⎠
⎝
σ m = σ [(2m + 1)Δω ]
Δt =
T
,
N
Δω =
(26a)
(26b)
jπn ⎞
⎛
D n = Δt exp⎜ − cnΔt −
⎟
N ⎠
⎝
π
T
(26c)
(26d)
(26e)
(26f), (26g)
Las ecuaciones (25a) y (25b) permiten emplear el
algoritmo de Transformada Rápida de Fourier (FFT, por sus
siglas en inglés) disminuyendo así el proceso de cómputo
significativamente, siempre que el número de muestras sea N
= 2n, con n entero y positivo.
La Transformada Numérica de Laplace se emplea en este
trabajo con el objetivo de obtener la respuesta en tiempo del
modelo del transformador presentado, comparando los
resultados con un modelo desarrollado en el programa
ATP/EMTP, como se describe enseguida.
VI.
(24b)
N −1
⎛ j 2πmn ⎞
exp⎜ −
⎟, m = 1, 2, … , N − 1
N ⎠
⎝
Fm =
(23)
p
F (+ jω ) =
mediante una elección adecuada del factor de
amortiguamiento c. Además, la evaluación matemática
de (24) puede presentar dificultades para ω = 0, pues
generalmente F(jω) tiene singularidades en este punto
[11]. Para evitar esto, el rango de integración se divide
en intervalos de ancho 2∆ω y se evalúa ω para
frecuencias impares (∆ω, 3∆ω,…). Con estas
consideraciones, la forma de evaluar numéricamente
(24) para N muestras es la siguiente:
MODELO DEL TRANSFORMADOR DESARROLLADO EN EL
ATP/EMTP
Con el propósito de comparación de resultados, se
desarrolló un modelo de parámetros concentrados en el
dominio del tiempo empleando el programa de simulación
ATP/EMTP, tomando en cuenta que este programa no cuenta
con un modelo de parámetros distribuidos del transformador
[13]. Cada segmento del transformador se modeló de manera
similar a la representación de la Fig.1. El circuito
implementado se ilustra en la Fig. 3. Debido a la naturaleza
concentrada del circuito fue necesario realizar una gran
cantidad de divisiones (fueron incrementándose hasta fijarse
en 72 para el ejemplo de aplicación) para que el modelo
pudiera reproducir la mayor cantidad de las frecuencias
ESCAMILLA SÁNCHEZ et al.: SINGLE-PHASE TRANSFORMER
549
involucradas en el fenómeno, y de esta manera lograr
aproximar de manera suficientemente precisa los resultados
del modelo desarrollado en este trabajo. Se encontró que para
un número mayor de divisiones los resultados prácticamente
ya no tenían variación para este ejemplo en particular.
La fuente suministrada al modelo fue una señal tipo
escalón unitario, representada en el circuito de la Fig.3 como
una fuente de voltaje de CD.
Figura 3. Circuito desarrollado en el ATP/EMTP.
VII. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Un transformador monofásico de 15 MVA, 34.5/13.8 kV
60Hz es utilizado para mostrar la técnica descrita. Los
parámetros de transformador por unidad de longitud son los
siguientes:
Devanado Primario:
R1 = 0.22 Ω
Rs1 = 130 KΩ
Ls1 = 7.35mH
Cg1 = 9nF
Devanado Secundario:
R2 = 0.0366 Ω
Ls2 = 1.18 mH
Cg2 = 27nF
obtenido con el ATP/EMTP.
Las oscilaciones mostradas en las Figs.5 a 7 son debidas a
las diferentes frecuencias presentes en el fenómeno por efecto
de la interacción entre los elementos inductivos y capacitivos
incluidos en la representación de los devanados primario y
secundario del transformador, además de la propagación de las
ondas a lo largo de los mismos.
En el instante de incidencia del impulso prácticamente
sólo las capacitancias del circuito reaccionan al escalón
suministrado. La distribución de potencial en dicho instante
(distribución inicial) se observa en la Fig.8(a), la cual se
obtiene en un tiempo t=0.1μs. En el devanado primario el
comportamiento es exponencial decreciente, mientras que en
el secundario es prácticamente cero, es decir, aún no hay
transferencia a considerar. Conforme aumenta el tiempo los
elementos inductivos del devanado se involucran en el
fenómeno y se presenta la sobretensión transitoria.
En la Fig.8(b) se presenta la distribución de potencial para
un tiempo t=0.297ms en el cual se alcanza la máxima
sobretensión. Se observa también que dicho máximo se
presenta en aproximadamente el 30% de la longitud para
ambos devanados (1.46 p.u. en el primario y 0.61 p.u. en el
secundario, con los valores por unidad referidos al primario).
Al final del evento transitorio, Fig.8(c), los elementos
resistivos gobiernan la respuesta del circuito, por lo que la
transferencia de potencial se comporta de manera lineal.
En la Fig..9 se muestra el comportamiento de la
distribución de potencial ante la variación de la magnitud de α,
considerando el tiempo en que se presenta la máxima
sobretensión en cada caso. Idealmente, con α→0, el transitorio
prácticamente no se presenta (Fig.9c). La sobretensión
transitoria en ambos devanados se atenuará entonces
reduciendo Cgk o nulificándola parcial o totalmente, o bien,
incrementando la capacitancia serie Cs [14].
Para ambos devanados se asume inicialmente la siguiente
relación típica entre las capacitancias serie y a tierra [10]:
α2
l
2
=
C gk
Csk
= 10
(27)
Sin embargo, como parte del estudio se analiza el efecto de
la variación de dicha relación. Por otro lado, la inductancia
mutua es Lm = 2.8 mH y la capacitancia mutua es Cm = 148 pF.
Al igual que en el circuito de la Fig.3, y con el objetivo de
probar el modelo ante las condiciones teóricas más severas, se
suministra en el lado del primario del transformador una señal
de tipo escalón unitario. La longitud del devanado analizada es
de 10 metros (L=10m), dividida en 4 segmentos, tal como se
muestra en la Fig.4.
En la Fig.5 se observan las sobretensiones transitorias
presentes en los diferentes segmentos del devanado primario,
mientras que en la Fig.6 se presentan las sobretensiones
transferidas al secundario.
En la Fig.7 se muestra la tensión transitoria en el punto B
del devanado, comparando el resultado del modelo presentado
en este trabajo (marcado como TNL en la figura) con el
Figura 4. Diagrama para el ejemplo de aplicación
550
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 7, NO. 5, SEPTEMBER 2009
1.5
Figura 8 Distribución de Potencial para α = 10
(a) inicial, (b) transitorio (máx), y (c) final.
150
0.5
A
B
C
D
0
-0.5
% del potencial suministrado
Voltaje (PU)
1
0
0.2
0.4
0.6
Tiempo (ms)
0.8
1
Dev. Prim.
Dev. Sec.
100
50
Figura 5. Tensión transitoria a lo largo del devanado primario para α = 10
0.75
0
50
100
(a) t=0.297ms.
0.5
Voltaje (PU)
0
0
50
100
% del devanado
(b) t =0.127ms
0
50
100
(c) t=0.297ms
Figura 9 Distribución de Potencial (máximo) con diferentes valores de α
(a) α =10, (b) α = 2 y (c) α = 0.001
0.25
VIII. CONCLUSIONES
0
-0.25
A
B
C
D
0
0.2
0.4
0.6
Tiempo (ms)
0.8
1
Figura 6 Tensión transitoria a lo largo del devanado secundario para α = 10
(valores por unidad referidos al primario)
1.5
Devanado primario
Voltaje (PU)
1
0.5
TNL
0
Devanado secundario
0.2
0.4
Tiempo (ms)
ATP
0.6
0.8
Figura 7 Tensión transitoria en el punto B a lo largo del devanado primario y
secundario.
% del potencial suministrado
150
Dev. Prim.
En este trabajo se desarrolló un modelo en el dominio de
la frecuencia para analizar el comportamiento de la
propagación y transferencia de sobretensiones en los
devanados de un transformador. El modelo se basa en la
solución de las ecuaciones del telegrafista en el dominio de la
frecuencia, utilizando parámetros del transformador obtenidos
de su geometría.
El modelo presentado en este trabajo parte de un análisis
de parámetros distribuidos más cercano al comportamiento
real de los devanados del transformador en altas frecuencias,
en relación con lo se obtiene con circuitos de parámetros
concentrados como el que se desarrolló con el programa de
simulación ATP/EMTP, de tal manera que pueden obtenerse
resultados más detallados. Además de las curvas de
distribución de potencial en el devanado primario obtenidas
por modelos internos típicos, mediante este modelo es posible
obtener también la distribución de potencial transferido al
secundario.
La forma en la cual una onda de alta frecuencia se
transfiere al secundario del transformador es de alta
importancia práctica. Podría determinar, por ejemplo, el
voltaje transitorio que aparece en un bus de generación cuando
una onda incide en las terminales de alto voltaje de un
transformador elevador.
Dev. Sec.
REFERENCIAS
100
[1]
50
[2]
[3]
0
0
(a)
50
100
0
50
100
% del devanado
(b)
0
50
100
(c)
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Juan Carlos Escamilla Sánchez. Ingeniero Electricista
con especialidad en Potencia, por la ESIME Zacatenco
del Instituto Politécnico Nacional, México, 2004.
Actualmente es alumno de Maestría en Ciencias en el
Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Sección de
Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME
Zacatenco, Instituto Politécnico Nacional, México. Área
de interés: Transitorios electromagnéticos en sistemas
de potencia.
Pablo Gómez Zamorano. Ingeniero Mecánico
Electricista por la Universidad Autónoma de Coahuila,
México. Maestro en Ciencias y Doctor en Ciencias en
Ingeniería Eléctrica por el Cinvestav Unidad
Guadalajara, México, 2002 y 2005, respectivamente.
Profesor Investigador en el Departamento de Ingeniería
Eléctrica de la Sección de Estudios de Posgrado e
Investigación de la ESIME Zacatenco, Instituto
Politécnico Nacional, México. Miembro del Sistema
Nacional de Investigadores del CONACYT y del IEEE. Áreas de interés
principal: transitorios electromagnéticos y compatibilidad electromagnética en
sistemas de potencia.
Carlos Tejada Martínez. Ingeniero Electricista con
especialidad en Potencia, por la ESIME – ZAC. del
Instituto Politécnico Nacional, México, 2005.
Actualmente es alumno de Maestría en Ciencias en el
Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Sección de
Estudios de Posgrado e Investigación de la ESIME
Zacatenco, Instituto Politécnico Nacional, México.
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Áreas de interés: transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia.