Problema 1

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Muestreo. Inferencia estadística. Test de hipótesis
Muestreo. Inferencia estadística.
Test de hipótesis
024.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase GENERAL – OPCIÓN B – junio 2010
En las pasadas elecciones el porcentaje de participación fue del 75%. Después de
emitir un spot para fomentar la participación en las próximas elecciones, se realiza una
encuesta seleccionando al azar a 3025 personas del censo electoral, de las cuales
2541 dicen que irán a votar y el resto responden que no lo harán.
(a) Plantea un test para contrastar que el spot no ha surtido el efecto esperado,
frente a la alternativa de que sí lo ha hecho, tal como parecen indicar los datos.
(b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior a un nivel de significación del
4%?
(c)* Calcula un intervalo de confianza del 96% para la proporción de participación en
las próximas elecciones.
Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación
típica 1:
F(11.43) = 1, F(2.05) = 0.98, F(1.75) = 0.96, F(0.96) = 0.83, F(0.04) = 0.52.
RESOLUCIÓN apartado (a)
Emisión de
un spot
muestra
Los datos proporcionados por el problema son:
Población: p = 0.75 ; q = 0.25
2541
Muestra: n = 3025 ;
p̂ =
= 0.84 ;
3025
¿El spot ha
surtido efecto?
q̂ = 0.16
1º PASO
Planteamos las hipótesis:
H0: Hipótesis nula.
H1: Hipótesis alternativa, complementa la hipótesis nula.
H0: p ≤ 0.75 → El spot NO fomenta la participación en las próximas elecciones.
H1: p > 0.75 → El spot SÍ fomenta la participación en las próximas elecciones.
Siendo “p“ la proporción de participación en las próximas elecciones.
RESOLUCIÓN apartado (b)
2º PASO
El nivel de significación que nos determina el enunciado es del 4% → α = 0.04
El nivel de confianza es del 96% → 1 – α = 0.96
3º PASO
Las hipótesis así definidas suponen plantear una prueba de...
Contraste de hipótesis unilateral.
Para α = 0.04 (1 – α = 0.96), según vemos en el enunciado (F(zα) = 0.96), le corresponde un
valor crítico de zα = 1.75
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La hipótesis alternativa nos indica la dirección del contraste, es decir, la región de rechazo
de la hipótesis nula:
La región crítica o de rechazo será (1.75, + ∞)
4º PASO
Recordemos que los datos proporcionados por el problema son:
2541
= 0.84 ; q̂ = 0.16
3025
La distribución muestral de proporciones, para muestras de tamaño muestral mayor que
30, sigue una distribución normal de parámetros:
Población: p = 0.75 , q = 0.25
;
Muestra: n = 3025 ; p̂ =

p · q 
p̂ → N  p,

n 


0.75 · 0.25 
N  0.75,

3025 

N(0.75, 0.0079)
5º PASO
Como no se trata de una N(0, 1), el valor del estadístico del contraste lo obtenemos
tipificando la variable...
p̂ − p
→ N(0, 1)
p⋅q
n
0.84 - 0.75
Z=
= 11.4315
0.0079
Z=
6º PASO
Nuestro estadístico (Z = 11.4315) cae dentro de la región de rechazo por lo que
rechazamos la hipótesis nula y, a un nivel de significación del 4%, defenderemos que el
spot sí ha surtido efecto y ha subido el porcentaje de los posibles votantes.
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RESOLUCIÓN apartado (c)*
Calcula un intervalo de confianza del 96% para la proporción de participación en las próximas
elecciones.
1 – α = 0.96
0.96/2 = 0.48
El motivo por el que se examina el área 0.98 es porque la superficie buscada, la dada en las
tablas para el valor crítico zα/2 , es
0.50 + 0.48 = 0.98
F(zα/2) = 0.98
Se miran los datos dados en el enunciado y vemos que...
zα/2 = 2.05
El intervalo de confianza IC al 96% para el estadístico Z viene dado por
– zα/2 ≤
– zα/2 ·
p⋅q
n
≤ zα/2
p⋅q
≤ p̂ – p ≤ zα/2 ·
n
p⋅q
n
p⋅q
≤ – p ≤ – p̂ + zα/2 ·
n
– p̂ – zα/2 ·
p̂ + zα/2 ·
p̂ – zα/2
0.84 – 2.05 ·
p̂ − p
p⋅q
≥ p ≥ p̂ – zα/2 ·
n
p⋅q
≤ p ≤ p̂ + zα/2
n
p⋅q
n
p⋅q
n
p⋅q
n
0.75 ⋅ 0.25
≤ p ≤ 0.84 + 2.05 ·
3025
0.75 ⋅ 0.25
3025
0.82386 ≤ p ≤ 0.85614
IC(p) = [0.82386, 0.85614]
El intervalo de confianza al 96% para la proporción de participación en las próximas
elecciones es [0.82386, 0.85614] . Dicho de otra forma, hay una probabilidad del 96% de
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que la proporción de participación en las próximas elecciones se encuentre dentro del
intervalo [0.82386, 0.85614]
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Plantear las hipótesis, 0.75 puntos. (b) 1.75 puntos.
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