y i+1

Unidad VI
Solución Numérica de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias y Parciales
Solución de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Método de Euler
• dy/dx=f(x,y) Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)
yi+1=yi+Φh
Valor Nuevo=Valor Anterior+Pendiente*Tamaño del Paso
• La pendiente Φ estimada se usa para extrapolar
desde un valor anterior de yi a un valor nuevo yi+1
en una distancia h.
• La primera derivada ofrece una estimación directa
de la pendiente en xi
Φ=f(xi ,yi)
donde f(xi ,yi) es la ecuación diferencial evaluada
en xi y yi.
Método de Euler
• La estimación se sustituye en la ecuación
yi+1=yi+Φh y tenemos
yi+1=yi+ f(xi ,yi)h
• Esta fórmula se conoce como el Método de
Euler, Euler-Cauchy o Punto-Pendiente.
• Se predice un nuevo valor de y usando la
pendiente para extrapolar linealmente sobre
el tamaño del paso h.
Método de Euler
Ejemplo: Método de Euler
• Integrar numéricamente
dy/dx=-2x3 +12x2-20x+8.5
• Desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
de 0.5.
• La condición inicial en x=0 es y=1.
• La solución exacta esta dada por
y=-0.5x4+4x3-10x2+8.5x+1
Tarea: Método de Euler
• Completar la tabla
x
y verdadera
y Euler
Et
0.0
1.00000
1.00000
-
0.5
3.21875
5.25000
-63.1
1.0
3.00000
5.87500
-95.6
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Método de Euler
• En la siguiente gráfica se puede apreciar la
reducción en el error utilizando un tamaño de
paso menor.
Algoritmo del Método de Euler
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
n=(xf-xi)/h
x=xi
y(1)=yi
for i=1 hasta n+1
dydx=fxy(x,y(i))
y(i+1)=y(i)+dydx*h
x=x+h
termina for i
Datos de entrada:
Condiciones iniciales xi y yi,
límite superior xf, tamaño del
paso h y la ecuación a
integrar fxy.
Datos de salida: Vector y con
los resultados de la
integración.
Método de Euler-Heun
• Un error del Método de Euler es suponer que el
valor de la derivada al inicio del intervalo será la
misma durante todo el intervalo.
• Heun propuso una modificación al método de
Euler para mejorar la estimación de la pendiente.
• El método emplea la estimación de dos derivadas
durante el intervalo, una al inicio y otra al final.
• Las dos derivadas se promedian para obtener una
mejor estimación de la pendiente en el intervalo.
Método de Euler-Heun
• En el método de Euler, la pendiente al inicio del
intervalo yi’=f(xi ,yi) sirve para extrapolar
linealmente a yi+1=yi+ f(xi ,yi)h.
• En el método de Heun a esta aproximación se le
denomina yi+10 , la cual nos da una predicción
intermedia por lo que se le llama ecuación
predictora o simplemente predictor.
• Esta estimación de yi+1 permite el cálculo de una
estimación de la pendiente al final del intervalo
yi+1’=f(xi+1 , yi+10 ).
Método de Euler-Heun
• Se combinan las dos pendientes para obtener
una pendiente promedio del intervalo.
𝑦=
𝑦𝑖 ′ + 𝑦𝑖+1 ′
2
=
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖+1 , 𝑦𝑖+1 0
2
• La pendiente promedio se utiliza para
extrapolar linealmente desde yi hasta yi+1.
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +
𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 + 𝑓 𝑥𝑖+1 , 𝑦𝑖+1 0
2
∗ℎ
• A esta ecuación se le conoce como ecuación
correctora o simplemente corrector.
Método de Euler-Heun
a) Predictor
b) Corrector
Ejemplo: Método de Euler-Heun
• Use el Método de Euler-Heun para integrar la
función f(x,y)=-2x3+12x2 -20x+8.5 con h=0.5,
condiciones iniciales x=0, y=1 y límite superior
x=4.
• Tarea: Use el Método de Euler-Heun para integrar
la función f(x,y)=4e0.8x -0.5y con h=0.5,
condiciones iniciales y(0)=2 y límite superior
x=0.5.
Euler Vs. Euler-Heun
Algoritmo del Método de Euler-Heun
1. n=(xf-xi)/h
2. x=xi
3. y(1)=yi
4. for i=1 hasta n+1
5. dy1dx=fxy(x,y(i))
6. ye=y(i)+dy1dx*h
7. dy2dx=fxy(x+h,ye)
8. ym=(dy1dx+dy2dx)/2
9. y(i+1)=y(i)+ym*h
10. x=x+h
11. termina for i
Datos de entrada:
Condiciones iniciales xi y yi,
límite superior xf, tamaño del
paso h y la ecuación a
integrar fxy.
Datos de salida: Vector y con
los resultados de la
integración.
Método de Runge-Kutta
• Logra la exactitud de la serie de Taylor sin la
necesidad del cálculo de derivadas de orden
superior.
• Existen muchas variantes del método pero
todas tienen la forma genérica
yi+1=yi+ Φ(xi ,yi,h)∙h
donde Φ(xi ,yi,h) se conoce como la función
de incremento que puede interpretarse como
una pendiente representativa en el intervalo.
Método de Runge-Kutta
• La función de incremento se escribe como
Φ=a1k1+ a2k2+…+ankn
donde las a son constantes las k son
k1= f(xi ,yi)
k2= f(xi+p1h , yi+q11k1h)
k3= f(xi+p2h , yi+q21k1h+q22k2h)
:
kn= f(xi+pnh , yi+qn-1,1k1h+qn-1,2k2h+…+qn-1,n-1kn-1h)
donde p y q son constantes.
Método de Runge-Kutta
• Es posible tener varios tipos de métodos de
Runge-Kutta empleando diferentes números
de términos en la función incremento
especificada por n.
• El método de Runge-Kutta de primer orden
con n=1 es precisamente el método de Euler.
Método de Runge-Kutta de 4to. Orden
• Es el método más popular, se le llama método
clásico RK de 4to. orden.
1
yi 1  yi  (k1  2k2  2k3  k4 )  h
6
donde
k1= f(xi ,yi)
k2= f(xi+½h , yi+½k1h)
k3= f(xi+½h , yi+½k2h)
k4= f(xi+h , yi+k3h)
Método de Runge-Kutta de 4to. Orden
• Cada una de las k representa una pendiente, la
ecuación de RK de 4to. orden representa un
promedio ponderado para establecer la mejor
pendiente.
Ejemplo: Método de RK de 4to. Orden
• Use el Método de Runge-Kutta de 4to. orden para
integrar la función f(x,y)=-2x3+12x2 -20x+8.5
con h=0.5, condiciones iniciales x=0, y=1 y límite
superior x=4.
• Tarea: Use el Método de Runge-Kutta de 4to.
orden para integrar la función f(x,y)=4e0.8x -0.5y
con h=0.5, condiciones iniciales y(0)=2 y límite
superior x=0.5.
Algoritmo del Método RK de 4to. Orden
1. n=(xf-xi)/h
2. x=xi
3. yr(1)=yi
4. for i=1 hasta n
5. k1=fxy(x,yr(i))
6. x=x+0.5*h
7. y=yr(i)+0.5*k1*h
8. k2=fxy(x,y)
9. y=yr(i)+0.5*k2*h
10. k3=fxy(x,y)
11. x=x+0.5*h
12. y=yr(i)+k3*h
13. k4=fxy(x,y)
14. yr(i+1)=yr(i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)*h
15. termina for i
Datos de entrada:
Condiciones
iniciales xi y yi,
límite superior xf,
tamaño del paso
h y la ecuación a
integrar fxy.
Datos de salida:
Vector yr con los
resultados de la
integración.
Solución de Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias
dy1
 f1 ( x, y1 , y2 ,  , yn )
dx
dy2
 f 2 ( x, y1 , y2 ,  , yn )
dx

dyn
 f n ( x, y1 , y2 ,  , yn )
dx
• La solución de este sistema requiere que se
conozcan n condiciones iniciales en el valor inicial
de x.
Solución de Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias
• Los métodos de Euler y Runge-Kutta pueden
extenderse para solucionar este sistema de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
• El procedimiento para resolver un sistema de
ecuaciones consiste únicamente en aplicar la
técnica simple ecuación por ecuación en cada
paso, antes de proceder con el siguiente.
Ejemplo: Solución de Sistemas de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
• Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias usando el método de
Euler con condiciones iniciales x=0, y1=4 y
y2=6. Integrar hasta x=2 con h=0.5.
dy1
 0.5 y1
dx
dy2
 4  0.3 y2  0.1y1
dx
• Resolver el sistema utilizando el método de RK
de 4to. Orden.
Ecuaciones Diferenciales Parciales
• Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una
ecuación que tiene derivadas parciales de una
función desconocida, de dos o más variables
dependientes.
u
u ( x  x, y )  u ( x, y )
 lim
x x0
x
u
u ( x, y  y )  u ( x, y )
 lim
y y 0
y
Ecuaciones Diferenciales Parciales
• El orden de una EDP es el de la derivada parcial de
mayor orden que aparece en la ecuación. (1) es de
segundo orden mientras que (2) es de tercer orden.
• Una EDP es lineal, si es lineal en la función
desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes
que dependen solo de las variables independientes.(1)
y (2) son lineales, (3) y (4) son no-lineales
3
u
u
1).  2  2 xy 2  u  1
x
y
 u
 3u
3).   2   6
x
2
xy
 x 
 3u
 2u
2).  2  x 2  8u  5 y
x y
y
 2u
u
4).  2  xu
x
x
y
2
2
2
Ecuaciones Diferenciales Parciales
• Nuestro estudio de EDP se concentra en
ecuaciones diferenciales lineales de segundo
orden.
• Para dos variables independientes, estas
ecuaciones se expresan de forma general como:
 2u
 2u
 2u
A 2 B
C 2  D  0
x
xy
y
donde A, B y C son funciones de x y y, y D es una
función de x, y, u, ∂u/∂x y ∂u/∂y.
Ecuaciones Diferenciales Parciales
• Dependiendo de los valores de los coeficientes de
los términos de la segunda derivada (A, B y C), la
ecuación se clasifica en tres categorías:
B2-4AC
Categoría
Ejemplo
<0
Elíptica
Ecuación de Laplace (Estado Estacionario 2D)
 2T  2T
 2 0
2
x
y
=0
Parabólica
Ecuación de Conducción de Calor (T+1D)
 2T
 2T
 k' 2
2
t
x
>0
Hiperbólica
Ecuación de Onda (T+1D)
2 y 1 2 y
 2 2
2
x
c t
Método de Diferencias Divididas
• Las ecuaciones elípticas se utilizan para
caracterizar problemas en estado estacionario
con valores en la frontera.
• Las ecuaciones parabólicas se emplean para
caracterizar problemas que varían con el
tiempo.
• La ecuación de Laplace se utiliza para modelar
problemas que tienen que ver con el potencial
de una variable desconocida.
Método de Diferencias Divididas
• Se usará como ejemplo una placa calentada para
deducir y resolver esta EDP elíptica.
• La figura muestra un elemento sobre la cara de
una placa rectangular de espesor ∆z.
• La placa está totalmente aislada excepto en sus
extremos, donde la temperatura puede ajustarse
a un nivel preestablecido.
• El aislamiento y el espesor de la placa permiten
que la transferencia de calor esté limitada
solamente a las dimensiones x y y.
Método de Diferencias Divididas
Método de Diferencias Divididas
• En estado estacionario el flujo de calor hacia el
elemento en una unidad de tiempo ∆t debe ser
igual al flujo de salida, es decir,
q(x)∙∆y∙∆z∙∆t+q(y)∙∆x∙∆z∙∆t=q(x+∆x)∙∆y∙∆z∙∆t+q(y+∆y)∙∆x∙∆z∙∆t
donde q(x) y q(y) son los flujos de calor en x y y,
respectivamente, en cal/(cm2∙seg).
Método de Diferencias Divididas
• Dividiendo entre ∆z y ∆t y reagrupando términos
[q(x)-q(x+∆x)]∆y+[q(y)-q(y+∆y)]∆x=0
• Multiplicando el primer término por ∆x/∆x y el
segundo por ∆y/∆y
[q( x)  q( x  x)]xy [q( y)  q( y  y)]xy

0
x
y
• Dividiendo entre ∆x∆y y tomando el límite
q q
 
0
x y
Ecuación de Laplace
• La ecuación de Laplace es una EDP que
modela la conservación de la energía en la
placa.
• Esta EDP no puede resolverse si no se
especifican los flujos de calor en los extremos
de la placa.
• Debido a que se requieren condiciones de
frontera para la temperatura, la EDP debe
reformularse en términos de la temperatura.
Ley de Fourier de Conducción de Calor
• La relación entre flujo y temperatura esta dada por la
ley de Fourier de conducción de calor representada
por
T
qi  kC
i
donde qi es el flujo de calor en la dirección i, k es el
coeficiente de difusividad térmica (cm2/s), ρ es la
densidad del material (gr/cm2), C es la capacidad
calorífica del material [Cal/(gr∙°C)] y T es la
temperatura en °C que se define como
H
T
CV
donde H es calor (Cal) y V es volumen(cm3).
Ecuación de Laplace
• En ocasiones se usa k’=kρC donde k’ es el
coeficiente de conductividad térmica en
[Cal/(s∙cm∙°C)].
T
q q
• Si se sustituye qi  kC i en  x  y  0
se obtiene
 2T  2T
 2 0
2
x
y
que es la Ecuación de Laplace.
Solución Numérica
• La solución numérica de las EDP elípticas, como la
Ecuación de Laplace, se produce en la dirección
contraria a como fue deducida.
• En la deducción se emplea un balance alrededor
de un elemento discreto para obtener una
ecuación algebraica en diferencias que
caracteriza el flujo de calor en la placa.
• Tomado el límite, esta ecuación en diferencias se
convirtió en una EDP.
Solución Numérica
• En la solución numérica, las representaciones por
diferencias divididas finitas están basadas en
tratar la placa como una malla de puntos
discretos que se sustituye por las derivadas
parciales de la Ecuación de Laplace.
• Entonces la EDP se transforma en una ecuación
algebraica en diferencias.
Solución Numérica
• Las diferencias centrales basadas en el esquema
de malla son
 2T Ti 1, j  2Ti , j  Ti 1, j

2
x
x 2
 2T Ti , j 1  2Ti , j  Ti , j 1

2
y
y 2
• Sustituyendo estas ecuaciones en la EDP se
obtiene
Ti 1, j  2Ti , j  Ti 1, j
x
2

Ti , j 1  2Ti , j  Ti , j 1
y
2
0
• Si ∆x=∆y entonces obtenemos
Ti 1, j  Ti 1, j  Ti , j 1  Ti , j 1  4Ti , j  0
a esta relación sele conoce como ecuación
laplaciana en diferencias.
Ejemplo: Solución Numérica de
Ecuaciones Diferenciales Parciales
• Calcular las temperaturas en los puntos
marcados en la siguiente placa utilizando el
método de diferencias divididas.
• Las condiciones en la frontera son tomadas
como valores fijos.