Reflexiones adicionales 1. División con resto Conceptualización de

58 Geometría
Conceptualización
1. División con resto
de rectas perpendiculares
Reflexiones
adicionales
Ángulo recto: es la “esquina” que se forma de la
manera que indica la figura:
Como antecedente a esta
lección se encuentran las
lecciones de las páginas 63
y 64 del Tomo IV, Vol. 1
que abordan los siguientes
conceptos:
Medida del ángulo recto:
1 ángulo recto =90°
Medición: los ángulos se
miden con el trasportador.
En el entorno es frecuente
hallar la siguiente estructura:
z
x
y
Fig.1
En las páginas 45 a 47 del Tomo V, Vol. 1
se trata la conceptualización de rectas perpendiculares.
Las preguntas no conducen a observar
esta relación, pues no es el propósito del
tema. Sin embargo, el maestro debe tener
muy claro ese contexto matemático por lo
que a los alumnos se les pueda ocurrir en
la clase. En general, lo menos que se debe
concluir es que en el caso de Yoshio, los ángulos son diferentes, mientras que en el esquema de Mari los cuatro ángulos tienen la
misma medida: 90°. Más adelante, el alumno
puede encontrar la definición del concepto
de rectas perpendiculares.Es necesario hacer notar que este concepto se enuncia frente a un caso que lo ilustra y otro que no.
En la página 45 (Fig. 1) se acude a una imagen que es significativa para el alumno. Se le
pide trazar dos rectas que unan puntos rojos.
Del conjunto de respuestas se presentan
la 1, de Yoshio y la 2, de Mari (Fig. 2):
• Se pide observar cómo se cruzan las líneas
en los dos casos.
• Estas soluciones son objeto de un análisis
guiado por preguntas sobre las medidas en
grados de los cuatro ángulos.
60
0
En la imagen de abajo, a
cada una de las parejas de
ángulos: a, b y c, d se les
llama ángulos opuestos por
el vértice.
Fig.3
l
c
l
c
m
a
a
b
b
d
Con respecto a los ejercicios de la página 47
(Fig. 3):
• El primero sólo pretende que el alumno
identifique los casos que ilustran el concepto
de rectas perpendicualres y aquéllos que no
lo ejemplifican, la respuesta se obtiene con la
medida de ángulos y contrastando el resultado
con la definición.
d
Estos ángulos tienen la misma medida:
<a = <b y <c = <d.
Las siguientes imágenes
apoyan la veracidad de la
afirmación:
m
180 o
l
l
180 o
m
m
a
c
a
c
l
b
l
b
m
a
c
180 o
c
o
180
a
b
b
m
<a = 180o - <c <b = 180o - <c
Por lo tanto <a = <b.
Un razonamiento similar
se aplica para el otro par de
ángulos.
Fig.2
En virtud de los antecedentes de los
alumnos, la respuesta esperada es que
midan los ángulos.
Ambos pares de líneas son líneas que se
cruzan. Cuando dos líneas rectas en un
mismo plano se intersecan, forman cuatro ángulos y se induce que entre éstos
siempre existe la siguiente relación: los
ángulos opuestos por el vértice miden
lo mismo.
• El último ejercicio muestra, por medio de
los dobleces de una hoja de papel, cómo
construir rectas perpendiculares.
Fig.3
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Geometría 59
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. En la imagen del banco en la columna de “Reflexiones adicionales”:
a. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
b. ¿Qué relación guardan los ángulos x y z?
c. ¿Cuál es la medida del ángulo y?
2. En la columna de “Reflexiones adicionales” se mostró que <a = <b. Usa un razonamiento similar para demostrar que: <c = <d.
l
c
a
b
d
m
l
180 o
a
m
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c
l
b
a
c
180 o
b
m
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p. 15
60 Geometría
Conceptualización
rectas
Multiplicación (4)de
Tablas
deparalelas
multiplicar
Reflexiones
adicionales
La definición de rectas paralelas se aborda en términos
visuales y operacionales.
Esto es adecuado para un
primer acercamiento a este
concepto.
Esta definición se hace operativa, indica como construir
la caracterización “intuitiva”
que inicialmente se da (ver
página 52): son rectas que
“nunca se cruzan por mucho
que se extiendan”.
Esta idea se formaliza como
sigue:
En la imagen de abajo los
ángulos marcados con el
mismo color miden lo mismo. Dos ángulos de diferente
color suman 180°.
Fig.1
En la página 50 (Fig. 1) se plantea un problema en el que no se pide trazar rectas paralelas, sino rectas como las de las banderas. Los tres chicos de la imagen expresan
tres maneras intuitivas de proceder con el
trazo pedido. La mejor solución planteada se
sustenta en alguno de los antecedentes. Debemos notar que la bandera de la ilustración
A da la clave de la solución.
En la página 51 se plantea: ¿cómo se trazan rectas paralelas a una recta dada? (Fig.
2) y la solución se brinda de una manera casi
matemáticamente correcta, que corresponde
al nivel de desarrollo del curso: “traza una
recta que sea perpendicular a la recta (a)”. El
“casi” se debe a que la solución indicada solamente es cierta si la línea (a) es perpendicular
a la recta dada. Solamente si se cumple esta
condición, los ángulos b y c miden lo mismo.
Este hecho se usa para definir posteriormente
el concepto de rectas paralelas.
En las páginas 50 a 52 del Tomo V, Vol. 1,
se trata el concepto de rectas paralelas.
a
d
b
c
Entonces: b + d = 180°
Supongamos que las rectas
se cruzan en un punto cuando
se extienden.
Entonces se forma un triángulo con ángulos b, d y un
tercer ángulo, diferente de
0°, donde se cruzan. En el
triángulo que se forma
b + d + el tercer ángulo =
180°.
Entonces b + d < 180°, lo
cual contradice el hecho de
que b + d = 180°
Se destacan los siguientes antecedentes
de este tema:
1. En las páginas 22 y 24 del Tomo III, Vol.
2, se abordan los conceptos de rectángulo y
cuadrado, que son cuadriláteros cuyas cuatro esquinas son ángulos rectos.
2. En la página 23 del Tomo III, Vol.2 se
menciona que: “los lados opuestos de un
rectángulo tienen la misma longitud”.
3. También se usa la cuadrícula ortogonal
para que los alumnos tracen figuras.
4. En las páginas 46 y 48 del Tomo V, Vol.1,
se aborda el trazo de rectas perpendiculares.
Fig.3
La contradicción ocurre por la
suposición que se hizo. Por lo
tanto se concluye que esta afirmación es falsa, lo verdadero
es: nunca se cruzan las rectas.
Igual que para las rectas perpendiculares,
la definición de rectas paralelas es visual y
operativa: “Dos líneas son paralelas si al cruzarlas con otra línea recta los ángulos señalados miden lo mismo”.
Una vez que se da el concepto, se pide distinguir entre rectas que son parelalas de las
que no lo son midiendo los ángulos. Es decir,
se pone a un lado la percepción visual para
acudir al concepto formal.
El atributo de que:“La distancia entre 2 líneas paralelas es
la misma en cada punto” es
un resultado de la definición
de líneas paralelas.
b
B
90o
A
90o
d
90o
90o
E
D
Resulta de probar: las rectas
negras son paralelas, entonces
los triángulos son iguales.
Fig.2
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En la página 52 (Fig. 3), se da otro atributo
de las rectas paralelas que valida la tercera
solución en la construcción de la bandera en
la página 50. El último ejercicio de la página
52, debe ser resuelto de forma deductiva: las
rectas son paralelas, entonces las dos preguntas prácticamente se contestan aplicando
las definiciones “si son paralelas, entonces…”
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Geometría 61
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. En la página 50 el niño con anteojos afirma que su solución es la mejor. En ese punto
los alumnos no conocen los atributos de las rectas paralelas. ¿Qué conocimientos previos sustentan la convicción de ese niño?
2. En la página 51 se da la indicación: “Traza una recta que sea perpendicular a la recta
(a). Corrobora midiendo los ángulos b y c”. En geometría hay un principio que dice:
“Dos líneas rectas diferentes en un mismo plano que son perpendiculares a un tercera
línea recta son paralelas entre sí.” Justifica este último enunciado tomando como base
la definición de la página 46.
3. Al final de la columna de “Reflexiones adicionales” se desarrolla un esbozo de demostración para el atributo: “La distancia entre 2 líneas paralelas es la misma en cada uno de
sus puntos” usando el hecho de que este resultado se deriva de la definición de líneas
paralelas. Desarrolla los detalles de la demostración a partir del esbozo de prueba planteado en la lección.
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62 Geometría
Paralelas
y perpendiculares:
conceptual
Multiplicación
(4) Tablas deaplicación
multiplicar
Reflexiones
adicionales
Ausbel (1963), señala que los
estudiantes pueden aprender
muchos conceptos si se les da
el nombre de dichos conceptos,
definiciones verbales, ejemplos
del concepto y ejemplos impropios para el concepto. Tal
consideración explica la forma
en que en estos textos se va
desarrollando el conocimiento
geométrico, esta idea se complementa con las que han orientado el análisis de las páginas y
dan lugar a una interpretación
sobre la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos.
En las páginas 48, 49, 53
y 55 del Tomo V, Vol. 1 se
abunda en la aplicación conceptual de rectas paralelas y
perpendiculares.
Al momento de estudiar estas páginas los alumnos conocen los conceptos de rectas
perpendiculares y paralelas.
Estos conceptos se presentan
formalmente, sus definiciones, nomenclatura convencional y además se muestran
ejemplos de éstos.
La definición de un concepto
implica la delimitación de un
universo formado por objetos
que representan al concepto,
es decir, objetos en los que
se expresan los atributos que
lo definen. A los elementos
de este universo se les llama
instancias del concepto.
Fig.3
Fig.4
En estas páginas se aborda la aplicación de estos
conceptos tanto en la identificación de casos que satisfacen o no el concepto,
como en la construcción de
ejemplos de ellos. En el primer caso el razonamiento
se basa en la formulación
de hipótesis sobre si los ca-
En general, un concepto está
bien definido si ante cualquier caso específico se puede decidir sin ambigüedades
si éste es instancia o no del
concepto en cuestión.
sos satisfacen o no al concepto; la evaluación de tal
hipótesis se hace acudiendo
a los atributos establecidos
en sus definiciones. En la
construcción de ejemplos, el
razonamiento es en el sentido de producir un objeto que
posea los atributos que indica la definición.
Fig.1
Fig.2
Fig.5
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Geometría 63
Las construcciones de
las páginas 48 (Fig.1) y 53
(Fig. 2) ilustran lo anterior.
Hiroshi parte de una recta
en la que marca un punto
para aprovechar el uso del
transportador y realiza la
construcción que cumple
con el atributo que prescribe
la definición. Kenji procede
de la misma manera para
construir rectas paralelas:
apoya la escuadra en la regla y la coloca perpendicularmente a la recta dada; de
esa forma puede trazar otra
recta diferente que es perpendicular a la regla y también paralela a la recta dada
en concordancia con lo que
establece la definición: los
ángulos formados por la regla y las rectas que están
igualmente situados miden
lo mismo, 90°. El ejercicio
6 de la página 49 (Fig. 3) y
el 4 de la página 53 (Fig. 4)
tienen el propósito de practicar las construcciones que
se han mostrado.
El ejercicio 1 de la página 55
(Fig.5) pide que se identifiquen
casos que ejemplifican los
conceptos. Se usa el razonamiento que se describió arriba:
se verifica si la hipótesis satisface o no al concepto de rectas
perpendiculares o paralelas
midiendo los ángulos involucrados en cada definición.
Los problemas 3 y 4 de la
misma página, son de naturaleza deductiva.
Con respecto al 3, las rectas son paralelas, se aplica
la definición dos veces y el
conocimiento que ya se tiene
de la medida de los ángulos
formados por dos rectas que
se intersecan.
Para el 4 se usan las definiciones de rectángulo y de
rectas perpendiculares para
deducir la perpendicularidad
de los lados. El paralelismo
se justifica con su definición
o bien porque la distancia
entre las rectas es la misma.
Actividades que se sugieren para los futuros docentes
1. Enlista los antecedentes de que disponen los alumnos al momento de iniciar la realización de las actividades de las páginas analizadas.
2. Analiza la imagen que muestra el trazo de rectas paralelas con regla y escuadra, justifica por qué las rectas trazadas son ejemplos del concepto de rectas paralelas.
3. Observa la recta f en el problema 1 de la página 55 y explica por qué las rectas a y b
no son ejemplos del concepto de rectas paralelas.
4. Justifica por qué las rectas c y g no son ejemplos del concepto de rectas perpendiculares en el problema 1 de la página 55.
5. En el análisis de los problemas 3 y 4 se dice que son de naturaleza deductiva. Esto
significa que no se resuelven midiendo directamente los ángulos, sino aplicando principios geométricos ya conocidos. Completa deductivamente el siguiente razonamiento:
Es un dato que la recta a es paralela a la recta b, ¿cuál es la medida del ángulo d?
De la figura se tiene que ∠d y ∠f forman un ángulo de 180°, ¿cuál es la medida
del ángulo f ?
Es un dato que la recta b es paralela a la recta c, ¿cuál es la medida del ángulo g?
De la figura se tiene que ∠e y ∠f forman un ángulo de 180°, ¿cuál es la medida del
ángulo e?
6. Como se hizo en el problema anterior, escribe el razonamiento para resolver el
problema 4.
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