MOVIMIENTOS PERIODICOS

Movimientos periódicos I
01. Un punto describe una trayectoria circular de 1m de radio con una velocidad de 3 rad/s.
Expresar la ecuación del movimiento que resulta al proyectar el punto sobre el diámetro
vertical:
a) El tiempo comienza cuando la sombra está en el centro.
b) El tiempo comienza cuando el punto ha recorrido 30º


Las ecuaciones son y A  A sen t  sen3t , y B  A sen(t  )  sen  3t  
6

02. Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por x = A sen ωt. Si el valor de
la amplitud de la oscilación es 6 cm y la aceleración del objeto cuando x = – 4 cm es 24 cm/s2,
calcular:
a) La aceleración cuando x = 1 cm
b) la velocidad máxima que alcanza el objeto.
La ecuación de la aceleración es: a  A 2 sen t  2 x , luego  
6 rad·s1
para x=0,01 m la aceleración es a  2 x  0,06ms2
la velocidad es v  A  cos t y el valor máximo es v MAX  A   0,06 6 m·s1
03. Un objeto oscila con frecuencia angular de 8 rad/s. En el instante t=0, el objeto se
encuentra en la posición x=4 cm y tiene una velocidad de -25 cm/s. Determinar la amplitud y la
fase para este movimiento y escribir x en función de t.
La ecuación del movimiento es x  A sen(8t  ) y la velocidad v  A 8cos(8t  )
x
v
En el instante t=0 
0,04  A sen()
8·0,04
dividiendo, tg  
 0,91 rad , A=0,05 m
 0,25  A 8 cos()
0,25
y la ecuación del movimiento es x  0,05sen(8t  0,91)
04. Al estudiar el movimiento de un muelle se obtienen los siguientes valores:
Masa g
Longitud mm
0
70,0
2
72,0
6
76,1
10
79,9
15
84,9
20
99,2
Calcular la constante del muelle. ¿El comportamiento es elástico para todos los valores?.
El alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza que tira de él F  mg  k x .
Al analizar los datos de alargamiento vemos que el muelle se estira 1mm por cada gramo
de masa aproximadamente, excepto para el último valor, cuando la masa es de 20 g se ha
superado el límite de elasticidad del muelle. Para los valores intermedios, tenemos:
k 2  10Nm1; k6  9,84Nm1; k10  10,10Nm1; k15  10,07Nm1
El valor de la constante será la media k MED  10,00Nm1
05. Un resorte de masa despreciable se estira 0,1 m cuando se la aplica una fuerza de 2,45 N. Se
fija en su extremo libre una masa de 0,085 kg y se estira 0,15 m a lo largo de una mesa
1
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horizontal desde su posición de equilibrio
y se suelta dejándolo oscilar libremente sin
rozamiento. Calcula:
a) la constante elástica del resorte y su periodo de oscilación;
b) la energía total asociada a la oscilación y las energías potencial y cinética cuando x = 0,075 m
La constante del muelle es k 
F
m
0,085
 24,5Nm1 y su periodo T  2
 2
 0,37 s
x
k
24,5
La energía total del muelle es igual a la potencial en la posición de máximo estiramiento
1
2
1
2
EMAX  k x 2MAX  24,5·0,152  0,276 J
Cuando está en la posición x=0,075 m, las energías son
ETOT  0,276 J
1
1
2
2

EP  2 kx  2 24,5·0,075  0,069J


EC  ETOT  EP  0,276  0,069  0,207 J
06. Un muelle de masa despreciable tiene una longitud de 20 cm. Cuando de su extremo inferior
se cuelga un cuerpo de 0,1 kg de masa la longitud del muelle es 30 cm.
a) Calcula la constante del muelle.
Partiendo de la posición de equilibrio, se desplaza M hacia arriba 10 cm, es decir, hasta que el
muelle tiene su longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de forma
que empieza a oscilar armónicamente en dirección vertical.
b) Calcula la longitud máxima del muelle, en el punto más bajo de la oscilación de M.
c) Calcula la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por su
posición de equilibrio.
La constante del muelle es k 
F mg

 10Nm1
x
x
La longitud máxima del muelle son 40 cm; se desplaza 10 cm de la posición de equilibrio.
La amplitud de la oscilación son 10 cm y la frecuencia f 
La energía potencial máxima es EMAX 
1
1 k

 1,59s1
T 2 m
1 2 1
k x  10·0,12  0,05J que es igual a la
2
2
energía cinética cuando pasa por la posición de equilibrio,
1
2
EC  0,05  mv 2  v  1m·s1
07. Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elástico de constante k=4000 N·m–1, vertical y sujeto
al suelo. La altura a la que se suelta el cuerpo, medida sobre el extremo superior del resorte, es
de 2 m.
a) Explicar los cambios energéticos durante la caída y la compresión.
b) Calcular la deformación máxima del resorte.
c) Calcular la aceleración de frenado del cuerpo una vez que ha tocado el muelle.
d) Representar gráficamente la velocidad y la aceleración frente al tiempo.
2
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Movimientos periódicos I
Suponemos que el cuerpo es puntual. La energía potencial del cuerpo al
principio se convierte en potencial del cuerpo y potencial del muelle.
2m
1
2
E0  EF  mg(L  2)  mg(L  x)  kx 2  2000x 2  20x  40  0
x
20  400  4·40·2000
 0,147 m
4000
Cuando el cuerpo toca el muelle su velocidad es:
L
v  2gh  2·10·2  6,32m·s1 y se para 0,147 m después, luego
L-x
v 20  v F2
6,322

 135,86 m·s2
2e
2·0,147
Variación de la velocidad:
v F2  v 20  2ae
v

a
Parte 1: Movimiento acelerado a=10 ms-2
t=0,632 s
-2
Parte 2: Movimiento de frenado a=135,86 ms
t
t=0,047 s
08. Una masa m está suspendida de un muelle. ¿Qué masa deberíamos añadirle para que el
periodo de oscilación se duplique?
El periodo de oscilación de un cuerpo suspendido de un muelle es T  2
m
k
Para que se duplique el periodo, la masa debe de cuadruplicarse. La masa a añadir es 3m.
09. Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s.
¿Cuál es la energía total del objeto? ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto y en que posición se
alcanza? ¿En que posición la velocidad es igual a al mitad de su valor máximo, y en cuál la
energía potencial es igual a la cinética?
Sabemos que el periodo es T  2
m
4 2m 4 2 ·3
1
k 

 30Nm1  ET  k A 2  0,024 J
2
2
k
2
T
2
La velocidad máxima se alcanza cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, x=0 y EP=0
1
2
EC  mv 2MAX  0,024 J  v MAX  0,126ms1
Si v 
1
v
2 MAX
1
2
 0,063ms1  EC  mv 2  6·10 3 J
1
2
EP  ET  EC 1,8·102 J  k x 2  x  0,035m
Para que se igualen las energías EP  EC 
1
1
ET  0,012 J  k x 2  x 
2
2
0,024
 0,028m
30
10. Dos masas m y M se cuelgan de dos muelles idénticos de constante k. Cuando se ponen en
movimiento, la frecuencia de M es tres veces la de m. Calcular la relación entre las masas.
T  2
m
k

f
1 k
2 m
3

fM
m
3
fm
M

m
9
M
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11. De un hilo muy fino pendiente del techo de una sala colgamos una masa puntual de plomo.
La distancia entre su centro y el suelo es de 14,2 cm. La hacemos oscilar y da 50 oscilaciones en
345 s. Si acortamos el hilo, cuando la masa está a 2,20 m del suelo, tarda 314 s. Calcular la
altura de la sala y el valor de la gravedad es ese lugar.
Se trata de dos péndulos.
Péndulo 1
T1  6,9s
50 osc en 345 s
T2  6,28 s
Péndulo 2
50 osc en 314 s
Si dividimos las expresiones de los periodos:
L1  h  0,142
L2  h  2,20
T1
L1
6,9
h  0,142



 h  12m
T2
L2
6,28
h  2,20
L
4 2L
 g  2 , sustituyendo para cualquiera de los dos g  9,8ms2
g
T
12. Un reloj de péndulo que funciona correctamente en un punto donde g = 9,80 ms-2 atrasa 10s
la gravedad será T  2
diarios a una altura h. Calcular h.
Supongamos que el péndulo tiene un periodo de 1 s. En la nueva posición atrasa 10 s diarios
10
 1,000116 s . Si dividimos el valor de los dos periodos:
86400
g0
TX

 1,000116  g X  9,7977 ms2
T0
gX
luego el nuevo periodo es T  1 
Sabemos que la gravedad varía con la altura g  G
MT
h
(R T  h)2
GM T
 R T  10452,92m
g
13. Un péndulo simple tiene un período en la superficie terrestre. Cuando se pone a oscilar en la
superficie del planeta X el período se reduce a la mitad. Calcular la velocidad con la que llega al
suelo un cuerpo en el planeta X si se deja caer desde 100m de altura.
Relacionando los periodos,
TX

TT
gT
1
  g X  4 g T  40 m·s2
gX 2
la velocidad de llegada al suelo es v  2gh  2·40·100  89,44 m·s1
14. Un péndulo bate segundos en Ponferrada (g=9,804 ms-2) se traslada al Ecuador. Calcular la
gravedad en el ecuador sabiendo que el péndulo da 125 oscilaciones menos por día.
Aquí da 43200 oscilaciones completas, en el Ecuador dará 43075 y el periodo allí es 2,006 s
TPONFE

TECUA
gECUA
T2
22
 gECUA  gPONFE PONFE

9,804
 9,745m·s2
2
gPONFE
TECUA
2,0062
15*. Agujereamos la Tierra de polo a polo y dejamos caer por ese tubo un objeto de masa m.
¿Cómo es el movimiento? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al mismo punto? ¿Cuál es la ecuación
del movimiento? ¿Con qué velocidad pasará por el centro de la Tierra?
4
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Movimientos periódicos I
A
a=+9,8
El movimiento es periódico. Acelerado desde el inicio hasta el
centro de la Tierra y decelerado desde el centro de la Tierra hasta
el punto final (la aceleración de frenado cada vez mayor).
B
a=0
Mm
4
 G  R m  k R
2
3
R
4
k  G  m
3
La fuerza de atracción es F  G
a=-9,8
La energía en los puntos A y B es la misma
EA  EB

EP  EC

1
k R 2T
2
1
2
4
3
 mv 2  G   mR 2T  mv 2

4
3
v  G   R 2T  7894,4 m·s1
m
3
 2
 5067 s
k
4 G 
16. Una masa de 50 g se cuelga de una cinta de goma de masa despreciable que se alarga 0,1 m.
El tiempo de una oscilación completa es el periodo T  2
Calcular:
a) la constante elástica de la goma.
b) la frecuencia característica de oscilación del sistema
c) Si la masa se desplaza 5 cm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta ¿qué velocidad
lleva al pasar por la posición de equilibrio?
1
F
 5Nm1 y la frecuencia de oscilación f  
T
x
1 2 1
2
Para calcular la velocidad igualamos energías k x  mv  v 
2
2
La constante es k 
1 k
 1,59s1
2 m
k
x  0,5ms1
m
17. Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico
simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia
de 3,3 Hz. Determine:
a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle.
b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
4 2m 4 2 ·2,5
1
m
El periodo es inmediato, T   0,30 s  T  2
 k

 1095,5Nm1
2
2
f
k
T
0,30
1
2
1
2
La energía total es E  k A 2  mv 2MAX  v MAX 
La aceleración siempre es a   x  a MAX
2
k
1095,5
A
0,05  1,05ms1
m
2,5
4 2 A
 A
 21,91ms2
2
T
2
18. Una masa de 0,5 kg está colgada del techo por una cuerda de 1 m de longitud y gira
describiendo circunferencias horizontales de 0,1 m de radio (péndulo cónico). Dibujar las fuerzas
que actúan sobre la masa y calcular:
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Movimientos periódicos I
a) La tensión de la cuerda y la frecuencia del movimiento.
b) Si la velocidad se duplica, calcular el ángulo del hilo con la vertical y la tensión.
sen   0,1    5,74º , en la figura:
tg5,74º 

T
FCP mv 2

 v  gR tg5,74º  0,317 ms1
P
mgR
y la tensión es T 
FCP
FCP
mv 2
0,5·0,317 2


 5,02N
sen  R sen 
0,1·0,1
P
en dar una vuelta, tarda
2  R 2 ·0,1

 1,98 s  f  0,50Hz
v
0,317
Recordemos que R  L sen  , si se duplica la velocidad:
v  0,634 ms
1
FCP mv 2
sen 
v2
0,634 2
0,04
 tg  





P
mgR gR
cos  10·1·sen  sen 
1  cos2 
 0,04  cos2   0,04 cos   1  0    11,42º  R  L sen   0,198m
cos 
y la nueva tensión es T 
FCP
mv 2
0,5·0,634 2


 5,13N
sen  R sen  0,198·0,198
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