Trabajo global con todas las soluciones

IES BAHÍA DE BABEL
CALENDARIO MATEMÁTICO: Febrero 2011
Datos del centro
Calle Paraguay, 6. 03008 Alicante
[email protected]
Telf.: 965281946 Fax.: 965115585
Coordinadora: Gema Foronda San Juan ([email protected])
Alumnos participantes: 1º Bachillerato
Carolina Brito Santiago
Marina Cartagena González
Mario Fabregat López
Adela Fernández Gil
Alejandro Gómez Fuentes
Verónica Mallen Martínez
Gemma Muñoz Espín
María José Navarro Vicente
Nerea Paredes López
Ángel Prieto de la Cruz
Juan Pedro Sánchez López
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1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME
En un movimiento rectilíneo y uniforme la gráfica x-t coincide con la
bisectriz del primer cuadrante. ¿Qué velocidad lleva el vehículo?
9
8
7
6
X
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
T (tiem po)
Si suponemos que en el eje X se representa el espacio recorrido (medido en metros) y
que en el eje Y se representa el tiempo (medido en segundos), la velocidad del
vehículo será de 1m/s. Esto se debe a que al realizar una línea paralela al eje x que
trazamos desde 1m, observamos que coincide, en la línea de la velocidad, con otra
línea perpendicular al eje x que trazamos desde 1s.
Al coincidir en el mismo punto, decimos que la velocidad del vehículo es de 1m/s.
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2-3-4. GRÁFICAS
¿Cuál de las siguientes gráficas v-t corresponde con la de un MRU?
7
6
V (m/s)
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
T (s)
Es un MRU, pero que sea rectilíneo no queda reflejado en la gráfica. La gráfica cumple
todas las características de un MU: movimiento sobre una paralela al eje x, velocidad
constante de 6m/s y aceleración nula por tanto esta gráfica es el MU que buscamos.
35
30
V (m/s)
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
T (s)
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Esta gráfica no cumple la condición de velocidad constante por tanto deja de ser un
MRU, porque tiene aceleración constante y su velocidad es creciente.
350
300
V (m/s)
250
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T (s)
Esta gráfica no cumple ninguna de las características. Es una línea curva, cuya
velocidad no es constante, sino creciente al igual que su aceleración. Por tanto no es
un MRU.
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5-6. LEY DE HOOKE
La ley de Hooke dice que cuando se aplica una fuerza a un muelle, le
provoca una deformación directamente proporcional al valor de dicha
fuerza. La constante de proporcionalidad se llama constante de
elasticidad y es característica del muelle. A partir de la siguiente tabla,
¿sabrías calcular el límite de elasticidad del muelle en cuestión?
Peso (N)
Longitud (m)
Alargamiento
(m)
0
0,40
0
100
0,44
0,04
200
0,48
0,08
300
0,52
0,12
400
0,55
0,15
500
0,61
0,21
600
0,66
0,26
700
0,70
0,30
Matemáticamente podemos escribir la ley de Hooke así:
Donde F es la fuerza aplicada al muelle, k es la constante de elasticidad que depende
de la naturaleza del muelle y
es el alargamiento producido. También podemos
escribirla así:
Donde l es la longitud final del muelle y l0 la inicial.
El límite elástico es la tensión máxima que un material elástico puede soportar sin
sufrir deformaciones permanentes. Al ser sometido a tensiones inferiores de su límite
de elasticidad, se deforma siguiendo la ley de Hooke. Si lo sometemos a tensiones
mayores a su límite de elasticidad, adquiere un comportamiento plástico. Si continúan
aumentando las tensiones ejercidas el material alcanzará el punto de fractura.
En la primera medición, el muelle está en reposo, manteniendo su forma original ya
que ninguna fuerza actúa sobre él. En las tres mediciones siguientes, se puede
observar un aumento lineal de la longitud en función de la fuerza (peso). Si sustituimos
los datos en la fórmula anteriormente mencionada:
En las mediciones posteriores, no continúa siendo el alargamiento proporcional a la
fuerza:
Por tanto, la ley de Hooke deja de funcionar, convirtiéndose en un comportamiento
plástico.
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Si representamos las mediciones en una gráfica alargamiento/fuerza podemos señalar
el límite de elasticidad del muelle, y cómo varía su comportamiento según el
alargamiento producido:
A partir de los datos de la tabla, el límite de elasticidad es 300 N. Pero esta tabla nos
dice que cuando P=300 N hay un comportamiento elástico, y cuando P=400 N la
gráfica deja de ser constante. Por tanto, el límite de elasticidad real solo se puede decir
que se encuentra en el intervalo ]300, 400[.
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7. BLAISE PASCAL
Blaise Pascal (Auvernia, 19 de junio
de 1623- París, 19 de agosto de 1662)
fue un matemático, físico, filósofo y
teólogo francés. Fue un niño prodigio,
educado por su padre, un juez local.
Pascal fue un matemático de primer
orden. Ayudó a crear dos grandes
áreas de investigación, escribió
importantes
tratados
sobre
geometría proyectiva a los dieciséis
años,
y
más
tarde
cruzó
correspondencia con Pierre de
Fermat
sobre
teoría
de
la
probabilidad,
influenciando
fuertemente el desarrollo de las modernas ciencias económicas y sociales.
Es considerado el padre de las computadoras junto con
Charles Babbage. La imagen muestra “la Pascalina” primera
máquina para automatizar los cálculos.
”Triángulo aritmético”
En 1653, Pascal publica el Traité
du
triangle
arithmétique
(Tratado
del
triángulo
aritmético) en el que describe las
propiedades y aplicaciones del
triángulo aritmético o triángulo
de Pascal, manera de presentar
coeficientes binomiales.
En 1654, incitado por Antoine
Gombaud, caballero de Méré,
quien le plantea el problema
matemático de dividir una apuesta después de la interrupción anticipada de un juego
de azar ("problema de los puntos"). Blaise mantiene correspondencia con Pierre de
Fermat y envía una primera aproximación al cálculo de probabilidades. El problema
consistía en que dos jugadores quieren finalizar un juego anticipadamente y, dadas las
circunstancias en las que se encuentra el juego, pretenden dividir el premio para el
ganador de forma equitativa, teniendo en cuenta las probabilidades que tiene cada
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uno de ganar el juego a partir de ese punto. A partir de esa discusión nace el concepto
de valor esperado o esperanza matemática. Años más tarde, Pascal formuló la hoy
llamada Apuesta de Pascal, una reflexión filosófica sobre la creencia en Dios, basada en
consideraciones probabilísticas.
El trabajo realizado por Fermat y Pascal en el cálculo de probabilidades permitió crear
el marco de trabajo a partir del cual Leibniz desarrollaría el cálculo infinitesimal.
Además, Pascal trabajó en los campos de
estudio de líquidos (hidrodinámica e
hidrostática), centrándose en los principios de
fluidos hidráulicos. Entre sus invenciones se
incluye la prensa hidráulica, la jeringuilla y el
llamado teorema de Pascal: “la presión ejercida
en cualquier parte de un fluido incompresible y
en equilibrio dentro en un recipiente de
paredes indeformables, se transmite por igual
en todas las direcciones en todo el fluido.“
”Teorema de Pascal”
En el año 1646, Pascal ya conocía los
experimentos de Evangelista Torricelli con barómetros. Tras replicar la creación de un
barómetro de mercurio, para lo cual se coloca un tubo de mercurio boca abajo en un
recipiente lleno de ese metal, Pascal comenzó a cuestionarse qué fuerza era la que
hacía que parte del mercurio se quedase dentro del tubo y qué era lo que llenaba el
espacio por encima del mercurio hasta el final del tubo. Por aquella época, la mayoría
de los científicos consideraban que existía algún tipo de materia invisible, en lugar de
simplemente el vacío. Este pensamiento se basaba en la noción aristotélica de que la
creación es algo con sustancia, ya fuera visible o invisible, y que la sustancia está
siempre en movimiento. Es más, Aristóteles declaraba que todo lo que está en
movimiento debe estar a su vez siendo impulsado por algo. La noción del vacío como
tal era una imposibilidad bajo las concepciones de la época.
Sin embargo, y tras una serie de trabajos experimentales en esta línea, en 1647 Pascal
publicó Experiences nouvelles touchant le vide ("Nuevos Experimentos sobre el Vacío"),
en donde detallaba una serie de reglas básicas que describían hasta qué punto varios
líquidos podían estar soportados por la presión del aire. También ofrecía razones por
las que lo que había por encima de la columna de líquido era realmente un vacío,
haciendo frente a las críticas que establecían que debe haber algún tipo de materia
invisible en el espacio vacío de Pascal, éste replicó a Estienne Noel a través de una de
las principales afirmaciones que se hicieron en el siglo XVII sobre el método científico:
"En orden a mostrar que una hipótesis es evidente, no es suficiente con mostrar todos
los fenómenos que surgen de ella; por el contrario, si lleva a algo contrario a la
hipótesis en un sólo caso, eso es suficiente para establecer su falsedad."
Su insistencia en la existencia del vacío también llevó a un conflicto con otros
científicos prominentes, incluyendo a Descartes entre ellos.
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8. VELOCIDAD
Si viajaras a la velocidad del desplazamiento de la Tierra en su órbita,
¿cuánto tiempo tardarías en viajar de Madrid a París?
En primer lugar, vamos a calcular la distancia media entre la Tierra y el Sol.
Sabemos que la luz solar tarda aproximadamente 8'32 minutos en llegar a la Tierra.
Como:
Es decir, la luz tarda 500 segundos en llegar del Sol a la Tierra.
La velocidad de la luz en el vacío es aproximadamente:
Como la velocidad de la luz es la distancia Tierra-Sol (de centro a centro) partida del
tiempo que tarda la luz en ir de un astro al otro, despejando la distancia nos queda:
A esta distancia, en términos astronómicos, se le conoce como ua (unidad
astronómica).
A continuación, procederemos a calcular la velocidad orbital de la Tierra.
Debido a la escasa excentricidad de la órbita terrestre, considerémosla circular.
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La velocidad angular
tiempo, es decir:
es el ángulo barrido por el radio vector en la unidad de
Sabiendo que la Tierra da una vuelta alrededor del Sol en un año y considerando el año
como 365 días:
La relación entre la velocidad angular y la orbital depende de la distancia:
Si sustituimos en la ecuación anterior
y
:
La Tierra lleva una velocidad orbital de 30 Km./s.
En caso de que yo llevase dicha velocidad y quisiera viajar de Madrid a París, primero
he de saber a qué distancia se encuentran. La distancia entre ambas ciudades es de
1053 km, y como el tiempo es la distancia partida de la velocidad:
Por tanto, si viajase a la velocidad orbital de la Tierra,
tardaría 35s en recorrer la distancia Madrid-París.
Este resultado es en el supuesto caso de que viajase en
línea recta. En caso de seguir una trayectoria cualquiera
no rectilínea, la distancia aumentaría, por tanto el
tiempo sería mayor.
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9. CHRISTIAAN HUYGENS
Christiaan Huygens (14 de abril de 1629 - 8 de
julio de 1695) fue un astrónomo, físico y
matemático neerlandés, nacido en La Haya, en
el seno de una importante familia holandesa.
Su padre, el diplomático Constantijn Huygens,
le proporcionó una excelente educación y le
introdujo en los círculos intelectuales de la
época.
Estudió mecánica y geometría con preceptores
privados. En esta primera etapa, Huygens
estuvo muy influido por el matemático francés
René Descartes, visitante habitual de la casa de
Constantijn durante su estancia en Holanda. Su
formación universitaria transcurrió entre 1645
y 1647 en Leiden, y entre 1647 y 1649 en el
Colegio de Orange de Breda. En ambos centros
estudió Derecho y Matemáticas, destacándose en la segunda.
Huygens fue uno de los pioneros en el estudio de la Probabilidad, tema sobre el que
publicó el libro De ratiociniis in ludo aleae (Sobre los Cálculos en los Juegos de Azar), en
el año 1656. En el introdujo algunos conceptos importantes en este campo, como la
esperanza matemática, y resolvía algunos de los problemas propuestos por Pascal,
Fermat y De Méré.
Además resolvió numerosos problemas geométricos como la rectificación de la cisoide
y la determinación de la curvatura de la cicloide. También esbozó conceptos acerca de
la derivada segunda.
”Curvatura del cicloide”
Por otro lado, los
trabajos de Huygens en
Física
se
centraron
principalmente en dos
campos: la mecánica y la
óptica. En el campo de la
mecánica publicó su libro
Horologium oscillatorum
(1675); en él se halla la
expresión exacta de la
fuerza centrífuga en un
movimiento circular, la
teoría del centro de
oscilación, el principio de
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la conservación de las fuerzas vivas (antecedente del principio de la conservación de la
energía) centrándose esencialmente en las colisiones entre partículas (corrigiendo
algunas ideas erróneas de Descartes) y el funcionamiento del péndulo simple y del
reversible. En el campo de la óptica elaboró la teoría ondulatoria de la luz, partiendo
del concepto de que cada punto luminoso de un frente de ondas puede considerarse
una nueva fuente de ondas (Principio de Huygens). A partir de esta teoría explicó, en
su obra Traité de la lumière, la reflexión, refracción y doble refracción de la luz. Dicha
teoría quedó definitivamente demostrada por los experimentos de Thomas Young, a
principios del siglo XIX.
“Fuerza centrífuga y reflexión y refracción de la luz”
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10. GEORG SIMON OHM
Georg Simon Ohm, nacido en 1789 y
fallecido en 1854 fue un físico y
matemático alemán.
En 1806, decide irse a Suiza donde obtuvo
una plaza de maestro de matemáticas.
Estando trabajando allí, empezó a leer los
trabajos de Euler, Laplace o Lacroix.
Prosigue sus estudios de matemáticas,
hasta que en 1811 decide volver a su
ciudad natal donde recibe el doctorado,
ese mismo año.
Seis años después, decide irse a impartir clases de matemáticas y física en un Liceo de
Colonia. En esa situación, con mejores condiciones materiales que en las anteriores
donde había trabajado, pudo contar con un laboratorio de física bien equipado. Ahí
comenzó a realizar sus primeros experimentos con electricidad, después de conocer
las investigaciones llevadas a cabo en 1820 por el físico danés Oersted.
En 1825 empieza a publicar los resultados de sus experimentos sobre mediciones de
corriente y tensiones, en el que destacaba la disminución de la fuerza
electromagnética que pasa por un cable a medida que éste era más largo.
Siguió publicando sus trabajos, hasta
que en 1827 publica un libro llamado
“Die
galvanische
Kette,
mathemathisch bearbeitet” en el cual
expone toda su teoría sobre la
electricidad,
cuyo
resultado
más
destacable fue el planteamiento de
una relación fundamental de la corriente eléctrica, que hoy conocemos como “Ley de
Ohm”.
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Esta importante ley postula que “la intensidad de la corriente que circula es
directamente proporcional al voltaje aplicado e inversamente proporcional a la
resistencia.”
La representación matemática de dicha ley es la siguiente: I=V/R donde, “I” es la
intensidad de la corriente eléctrica medida en amperios (A); “V” es la tensión o voltaje
medido en voltios (V) y “R” es el valor en ohm (Ω) de la resistencia o carga que tiene
conectada.
Esta ley la podemos utilizar para hacer diversos cálculos.
Ejemplo: ¿Cuál es la resistencia de una lámpara que al conectarla a 320 V, absorbe
una corriente de 16 A?
Solución: En primer lugar, vamos a
la fórmula de dicha ley I=V/R.
Cuando
tenemos
despejamos
la
la
fórmula,
incógnita
que
queremos calcular, que en este
caso
es
“R”
(resistencia).
Despejamos “R” R= V/I. Una vez
que la tenemos despejada, vamos al problema, cogemos los datos (320V y 16A) y
sustituimos en la fórmula. Así pues, nos quedaría R= 320/16 = 20 Ω. En este caso,
diríamos que la resistencia de nuestra lámpara es de 20 ohms.
Pese a que su descubrimiento era de gran peso científico, no fue reconocido por parte
de los físicos de la época.
En Marzo de 1828 decidió establecerse en Berlín y en 1853 aceptó un puesto como
profesor en Nüremberg (Alemania). En 1842 la “Royal Society” lo admitió como
miembro al reconocer el mérito que tenían sus trabajos de investigación y en 1845 la
Academia Bávara lo nombra también miembro, con plenos derechos.
Hacia 1849 George Simon Ohm comenzó a desempeñar el puesto de conservador del
gabinete de física en esta misma Academia. También comenzó a impartir conferencias
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en la Universidad de Munich. En 1852 logró, finalmente, ver realizado su sueño de ser
nombrado catedrático de física en ésta última Universidad.
Dos años después, en 1854, falleció este insigne matemático y físico en la propia
ciudad de Munich.
En honor a su memoria, veintisiete años después de su muerte, en la Exposición
Internacional De Electricidad efectuada en París, en 1881, se adoptó el “ohm” y su
símbolo (Ω) (letra griega omega) como unidad de medida de la resistencia eléctrica.
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11. MÓVIL
Un móvil se desplaza en línea recta desde un punto situado a 2 metros
de distancia del origen con una velocidad inicial de 2m/s y una
aceleración constante de -2m/s2. Dibuja las gráficas del movimiento.
Estudiamos el movimiento:
Como la aceleración es constante, el movimiento es rectilíneo uniformemente
acelerado (MRUA).
Sustituimos en sus fórmulas para que nos queden las funciones a representar:
1

2
 x = x0 + v0 ⋅ t + a ⋅ t
2

v = v0 + a ⋅ t
→
x = 2 + 2t − t 2
→
v = 2 − 2t
Dibujamos las gráficas:
Gráfica espacio/tiempo
4
2
Espacio (m)
0
-2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
Tiempo (s)
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Gráfica velocidad/tiempo
10
0
Velocidad (m/s)
-10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
Tiempo (s)
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12. STEPHEN HAWKING
Stephen William Hawking nació el 15 de enero
de 1942 en Oxford, Inglaterra. Se educó en el
seno de una familia con una gran formación
intelectual. En 1959 comenzó sus estudios de
matemáticas y física en la University College de
Oxford, donde se licenció en 1962. En 1966, en
la Universidad de Cambridge, consiguió su
doctorado en física teórica y cosmología, cuyo
objetivo se centra en investigar el origen del
universo. Se encuentra paralítico y sin habla,
debido a una enfermedad (esclerosis lateral
amiotrófica) que padece desde joven.
Hawking ha trabajado en las leyes básicas que
gobiernan el universo. Junto con Roger Penrose,
mostró que la Teoría General de la Relatividad
de Einstein implica que el espacio y el tiempo han de tener un principio en el Big Bang
y un final dentro de agujeros negros. Semejantes resultados señalan la necesidad de
unificar la Relatividad General con la Teoría Cuántica, el otro gran desarrollo científico
de la primera mitad del siglo XX. Una consecuencia de tal unificación que él descubrió
era que los agujeros negros no eran totalmente negros, sino que podían emitir
radiación y eventualmente evaporarse y desaparecer.
Otro éxito notable de Hawking fue su propuesta de una topología "sin fronteras" del
universo, formulada en 1983 junto a Jim Hartle. Hawking lo explica así:
"Que tanto el tiempo como el espacio son finitos en extensión, pero no tienen ningún
límite o borde... no habría distinciones y las leyes de la ciencia se sostendrían por todas
partes, incluyendo el principio del universo. Preguntarse qué había antes del Big Bang
es como preguntarse qué hay al norte del polo norte."
En la teoría clásica de la Relatividad General, el principio del universo tiene que ser una
singularidad de densidad y curvatura de espacio-tiempo infinitas.
"Mientras más examinamos el universo, descubrimos que de ninguna manera es
arbitrario, sino que obedece ciertas leyes bien definidas que funcionan en diferentes
campos. Parece muy razonable suponer que hay principios unificadores, de modo que
todas las leyes sean parte de alguna mayor".
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Actualmente el cosmólogo considera
inevitable un desastre en el planeta en los
próximos 100 años y ve el futuro de la
especie humana en el espacio. El
científico británico afirma en un nuevo
libro, El Gran Diseño, que la física
moderna excluye la posibilidad de que
Dios crease el universo.
Del mismo modo que el Darwinismo
eliminó la necesidad de un creador en el
campo de la biología, el conocido
astrofísico afirma en su obra que las
nuevas
teorías
científicas
hacen
redundante el papel de un creador del
universo.
La raza humana necesita un desafío
intelectual. Debe ser aburrido ser Dios, y
no tener nada que descubrir.
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13. RENÉ DESCARTES
René Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en
Turena (Francia). Su familia pertenecía a la baja
nobleza, siendo su padre y su hermano mayor
magistrados de Tribunal superior de Bretaña, en
Rennes. Su madre murió al año de nacer
Descartes.
En 1604 y hasta 1614 estudió en el colegio de la
Fleché en Anjou, escuela regida por los jesuitas y
de una apertura intelectual poco usual para la
época.
En 1616 se graduó por la universidad de Poitiers.
Sin embargo, no se encontraba realmente
satisfecho de la enseñanza que había recibido
Descartes. Se interesó pronto por las
Matemáticas única disciplina que puede
considerarse un “autentico saber” porque es la
que nos aporta “certeza” o imposibilidad de dudar.
Este motivo impulsa a Descartes a abandonar sus estudios y dedicarse al
esparcimiento y los viajes. En 1618 se alista en el ejército del príncipe Mauricio de
Nassau, hijo de Guillermo el Mudo, en Holanda. Por aquella época conoció al que
despertaría en él la inquietud por las cuestiones científicas: el medico Isaac Beeckman.
En 1619 se traslada a Alemania, donde se incorpora al ejército del duque de Baviera.
Este mismo año, el 10 de noviembre, descubre su verdadera vocación: la filosofía. Pero
esta surge como filosofía del conocimiento. Es por este motivo por lo que Descartes se
apasiona por la cuestión del método, único camino que permitirá recomponer y
unificar no solo la pluralidad de ciencias sino la propia sabiduría humana.
Descartes abandona el ejército y entre 1620 y 1629 se dedica a viajar, iniciándose en
una nueva experiencia que “el estudio de las letras” no le podía ofrecer: aprender del
“gran libro del mundo”.
Va a vivir a Paris y finalmente se retira a Holanda, lugar que se convirtió en el refugio
de numerosos filósofos y científicos debido a su tolerancia y donde Descartes vivió con
algunas interrupciones hasta 1649.
Comienza su época creadora; en 1628 termina su obra fundamental “regulae ad
directionem ingenii” (reglas para la dirección del espíritu) que, escritas en latín, se
publicaran después de su muerte. Esta obra plasma su intención de crear una ciencia
universal de carácter matemático. Pero también se subrayan los aspectos
metodológicos de su pensamiento.
En 1633/64 escribe Descartes su “tratado del mundo”, obra que no se atrevió publicar
cuando recibió la noticia de la condena que sufrió Galileo en Roma. Su tratado
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contenía también tesis heliocentristas, así como afirmaciones sobre el movimiento de
la Tierra. Partes de esta obra será incorporada mas tarde en trabajos posteriores.
Descartes mantuvo siempre una postura conciliadora, precavida, que evitó el
enfrentamiento con la Iglesia. Quizás debido a que pretendía no quedar fuera de los
círculos “oficiales”.
En 1937 publico el “discurso del método” acompañada de tres pequeños tratados:
“Dióptrica”, “Meteoros” y “Geometría”, escritos en francés, lo cual suponía una
novedad y un intento de que su obra se extendiera entre los círculos menos
dogmaticos y academicistas.
En 1641 se publican en Paris sus “Meditaciones de prima “philosophia”, considerada,
junto con las Regulae, la obra fundamental de Descartes, también escrita en latín. Esta
obra denomina comúnmente meditaciones metafísicas. Las Meditaciones se
publicaron pronto en francés junto con un grupo de Objeciones de varios autores y
Respuestas del propio Descartes.
Descartes no se librará de los ataques eclesiásticos. En 1644 publica su obra Principia
Philosophiae (Principios de la filosofía), que dedica a la princesa Isabel de Bohemia y
que se presenta en forma de libro de texto. Descartes deseaba que pudiera ser
utilizado en la enseñanza “oficial” aunque se apartara de muchos de los preceptos
aristotélicos aceptados.
En 1649 Descartes es invitado por la reina de Suecia a Estocolmo con el fin de
instruirla en su filosofía. Al partir deja su obra “Las pasiones del alma” en la imprenta.
En este escrito desarrolla uno de los temas que más interesaban a la princesa Isabel: el
tema de las pasiones y la relación entre el alma y el cuerpo.
En Suecia, Descartes se encontraba solo y atareado en algunas cuestiones enojosas,
como la elaboración de unos poemas para un ballet conmemorativo de la paz de
Westfalia. El 11 de febrero de 1650 muere Descartes de una neumonía. El duro
invierno sueco así como el hábito de la reina de reunirse con el en la biblioteca a las
cinco de la mañana, mellaron la salud de nuestro filósofo, que estaba acostumbrado a
una vida más reposada: Descartes pasaba muchas horas reflexionando y escribiendo
en la cama hasta las once de la mañana.
Enterrado en Estocolmo, su cuerpo fue trasladado a Paris en 1666.
Descartes aplicado:
Una de las aplicaciones más utilizadas y recurridas del matemático y filósofo es el
sistema cartesiano:
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El punto (0,0) recibe el nombre de origen de coordenadas.
Se escoge también una unidad de medida, con la que se marcan con signo positivo las
distancias en las semirrectas
desde el origen hacia arriba y
hacia la derecha, y con signo
negativo desde el origen hacia
abajo y hacia la izquierda. El eje
perpendicular se denomina eje
de abscisas o eje de las x,
mientras que el eje vertical se
denomina eje de ordenadas o
eje de las y. Este sistema de
referencia se denomina sistema
de ejes cartesianos o sistema
cartesiano (de Cartesius, nombre
latinalizado de René Descartes,
filósofo y matemático francés
del siglo XVII). Con ello, todo el
plano queda dividido en cuatro
cuadrantes (I, II, III y IV), que se
numeran en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj.
Por cada punto P del plano pasan dos rectas perpendiculares entre si y paralelas a cada
uno de los ejes, es decir, pasa una recta paralela al eje de las x y una recta paralela al
eje de las y.
Se debe prestar atención en no confundir el eje de las abscisas con el de las ordenadas:
el primer número representa el de la abscisa x y, en consecuencia, se marca sobre el
eje horizontal de las x, mientras que el segundo es la ordenada y, por tanto, se indica
sobre el eje vertical de las y.
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14-15. AÑOS LUZ
Próxima Centauri es la estrella más cercana al Sol y forma parte de un
sistema estelar triple conocido como Alfa Centauro. Esta estrella se halla
apenas a 4,22 años luz. Un año luz equivale a la distancia recorrida por la
luz en un año.
Sabiendo que la luz viaja a 300000 Km/s ¿a cuántos Kilómetros se
encuentra esta famosa estrella?.
Si un mapa estelar cada 1000000 kilómetros está representado por un
milímetro ¿a qué distancia del Sol estaría Próxima Centauri?
Lo primero es expresar un año luz en kilómetros:
Km
. 1 año =
seg
km
365 días 24 horas 60 min 60 seg
= 3.105
.1 año .
.
.
.
=
seg
1 año
1 día
1 hora 1 min
= 94608000.105 km ≈ 9,46.1012 km
1 año luz = 3.105
Como la estrella se halla a 4,22 años luz, la distancia será de
4,22 . 9,46.1012 km ≈ 39,9212.1012 km
Por tanto, la distancia de la estrella Próxima Centauri al Sol será de aproximadamente
40 billones de kilómetros.
La escala del mapa estelar es 106 km : 1mm.
Si la distancia real es la calculada anteriormente, la distancia en el mapa estelar será de
40.1012 km .
1 mm
= 40 . 106 mm = 40 km
6
10 km
¡¡¡ La distancia en el mapa estelar será de 40 Km!!!
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16. EQUILIBRIO
A partir de la representación, determina si el cuerpo que se encuentra
sometido a la acción de estas fuerzas está en equilibrio:
F1 = 20 N
F2 = 10 N
F3 = -30 N
F1 = F1X + F1Y :
•
F1x = F1 · cos 30º -> F1X = 20 · cos 30º = 17’32 N
•
F1Y = F1 · sen 30º -> F1Y = 20 · sen 30º = 10 N
Eje X:
F3 + F1X = -30 + (20 · cos 30º) = -12’68 N.
No está en equilibrio.
Eje Y:
F2 + F1Y = 10 + 10 = 20 N.
No está en equilibrio.
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17-18. ACELERACIÓN
En la tabla siguiente aparecen las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo y las
aceleraciones provocadas:
Fuerza (N)
4
12
20
28
36
44
Aceleración (m/s²) 1
3
5
7
9
11
Representa la gráfica F- a y realiza un comentario-conclusión haciendo
referencia a la forma de la gráfica, el valor de la pendiente y qué
magnitud representa la misma.
La gráfica Fuerza- aceleración quedaría de la siguiente manera, situando F en el eje de
abscisas y a en en el de ordenadas:
Podemos observar que la gráfica resultante de nuestros datos es una recta. Por tanto,
responderá a la ecuación y= mx+n. Centrémonos en su ecuación, concretamente la
ordenada en el origen será 0, pues corta al eje Y en el punto (0,0).
Ahora, elijamos dos puntos cualesquiera para hallar su pendiente. El primero, será el
punto (4,1), mientras que el segundo podría ser el más simple de todos, el (0,0).
Sabemos que la pendiente m de una recta se define por la división de la resta de las
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coordenadas de Y de dos puntos entre la resta de las respectivas coordenadas en X en
dichos puntos. Es decir:
Ya tenemos la pendiente, que será m=4. Por tanto, la ecuación a la que responde
nuestra recta es y = 4x.
Ahora comentaremos la magnitud representada en esta gráfica que estamos
estudiando. Podemos enunciar la segunda ley de Newton que se resume en F= m ·a. En
realidad, podríamos suponer que los datos que nos han dado han sido dados gracias a
un experimento de un cuerpo cualquiera (de masa 4 kg), al que le han proporcionado
unas distintas fuerzas y éste ha adquirido unas ciertas velocidades. Ahora bien,
podemos decir que la aceleración del cuerpo y la fuerza a la que es sometido son
directamente proporcionales ya que responden a la ecuación de la segunda ley de
Newton (enunciada anteriormente). Y, también, podemos decir que la magnitud que
representa la gráfica y que resulta de la división de la Fuerza entre la aceleración es a
lo que nosotros llamamos como masa inercial, y que en este cuerpo su valor es 4, es
decir, que el que estamos experimentando tiene una masa de 4 kg.
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19. Albert Einstein
Es increíble que la matemática, habiendo sido creada
por la mente humana, logre describir la naturaleza
con tanta precisión.
Albert Einstein fue el físico más ilustre del siglo XX.
De pequeño era tímido y retraído, con dificultades en
el lenguaje y lento para aprender en sus primeros
años escolares, apasionado de las ecuaciones. El
colegio no le motivaba; era excelente en
matemáticas y física pero no se interesaba por las
otras asignaturas.
Con solo 16 años, empezó a contemplar los efectos
del movimiento a la velocidad de la luz, un
rompecabezas cuya solución cambiaría por siempre
la física y la cosmología.
Obtuvo un lugar en la Oficina de Patentes suiza, en Berna. Einstein pudo robar tiempo
en su trabajo y dedicarlo para sus propios estudios sobre temas como las propiedades
físicas de la luz.
Empezó a publicar los resultados de sus investigaciones en uno de los principales
diarios científicos, y focalizó sus análisis intuitivos sobre las implicaciones de la
cuestión que la había intrigado años antes: ¿Cómo sería cabalgar en un rayo de luz?
A la temprana edad de veintiséis años, Einstein publicó cuatro trabajos científicos. En
un postula los quanta de luz, para explicar el efecto fotoeléctrico. El segundo trabajo
era sobre el movimiento browniano. Sin duda el trabajo más importante fue el titulado
«Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento», donde expone la relatividad
especial. En él plantea dos postulados que tienen inmensas consecuencias:
•
Todos los observadores que se mueven entre sí con velocidad constante son
equivalentes en lo que a las leyes de la física se refiere. Este es el principio de la
relatividad que excluye la noción de espacios y tiempo absolutos.
•
La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores,
(299.792 kilómetros por segundo), y es independiente del movimiento relativo
entre la fuente de luz y el observador. Este postulado explica el resultado
negativo del experimento de Michelson-Morley. En esos primeros años Einstein
, el producto de la masa por el cuadrado
plantea su famosa relación,
de la velocidad de la luz dan la energía asociada a una masa m. Masa y energía
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son dos formas equivalentes. Esto produjo una revolución en nuestra
comprensión de la física Del Sol y las estrellas y constituye la base de la energía
nuclear.
Einstein trabajó afanosamente en una generalización de su teoría de la relatividad. En
1916, dio a conocer su teoría general de la relatividad.
En la relatividad general, geometriza la gravitación. Una masa deforma el espaciotiempo a sus alrededores y Einstein proporciona las matemáticas que permiten
calcular punto a punto la 'geometría' en la vecindad de una masa. La relatividad
general tenía un gran número de aplicaciones concretas. Por una parte, explicaba una
desconcertando discrepancia en la órbita de Mercurio, el planeta más interior del
sistema solar.
El perihelio del planeta -el punto en que está más cerca del Solo avanzaba cada año en
una cantidad significativamente más grande que la predicha por las leyes de Newton.
En sus esfuerzos por explicar la diferencia, los astrónomos habían especulado durante
algún tiempo en la existencia de uno pequeño planeta que orbitara entre Mercurio y el
Sol (Vulcano). Einstein demostró que ese cuerpo era innecesario.
Su nueva teoría de la gravedad explicaba completamente el misterio de la órbita de
Mercurio como una consecuencia del espacio intensamente curvado en los
alrededores del Sol.
La primera comprobación empírica de la teoría de la relatividad ocurrió, cuando
mediciones hechas durante el eclipse total de Sol de 1919 demostraran que sus
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cálculos, sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio, eran
exactos.
Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y
sus numerosas contribuciones a la física teórica, y no por la Teoría de la Relatividad,
porque el científico a quien se encomendó la tarea de evaluarla, no la entendió, y
temieron correr el riesgo de que se demostrara errónea posteriormente.
Albert era una persona pacifista. Ante el ascenso del nazismo, abandonó Alemania con
destino en Estados Unidos. Aunque es considerado “el padre” de la bomba atómica,
por el hecho de que dio las bases científicas para crearla, abogó en sus escritos por el
pacifismo, el sionismo y el socialismo. Durante sus últimos años trabajó por integrar en
una misma teoría las cuatro Fuerzas Fundamentales, pero sus esfuerzos fueran en
vano.
Lo importante es no dejar de hacerse preguntas.
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20. PLANO INCLINADO
¿Cuál es la descomposición de la fuerza- peso de un cuerpo de 5Kg que
está sobre un plano inclinado 15º respecto a la horizontal?
El peso (m · g) siempre se dibuja vertical, dirigido hacia el centro de la Tierra.
Cuando un cuerpo está situado sobre un no inclinado se descompone en dos fuerzas
para estudiar su movimiento:
- Una paralela al plano: m · g · sen α (sentido hacia abajo)
- Una perpendicular al plano: m · g · cos α
De manera que el peso es la suma vectorial de estos dos componentes.
El ángulo de inclinación α=15º que forma el plano con la horizontal es también el
ángulo que forman el peso (vector rojo) y la componente perpendicular al plano
(vector azul).
Puesto que la masa es de 5Kg y la gravedad (g) = 9’8m/s² obtenemos lo siguiente:
P = 5 · 9’8 = 49N
Sustituimos este valor de mg en las fórmulas para hallar la descomposición de la
fuerza-peso:
P = m · g = 49N
Ptangencial = m · g · sen 15º = 12’6N
Pnormal = m · g · cos 15º = 47’3N
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21. CONSTRUCTOR
Un constructor necesita contratar un obrero pero debido a los tiempos
de crisis en los que vivimos quiere comparar primero a los dos
candidatos al puesto. El primero, Juan, levanta 110 azulejos de 900 g
cada uno hasta una altura de 2 m en 5 minutos. El segundo, Luis, levanta
los mismos azulejos hasta una altura de 1,75 m en 4 minutos.
¿A quién debe elegir el constructor y por qué?
Juan:
110 azulejos
900 g cada uno
2 m en 5 minutos
Luis:
110 azulejos
90 g cada uno
1’75 m en 4 minutos
Un buen criterio para elegir sería según la potencia (rapidez con la que se realiza un
trabajo), ya que aquél cuya potencia sea mayor realizará un trabajo en menos tiempo y
por tanto obtendremos más beneficios.
P1 = PJUAN
P2= PLUIS
PMEDIA1 =
PMEDIA2 =
=
=
=
= 23’28
=
23’28< 25’47
= 25’47
P1 < P2
Por tanto, según este criterio contrataría a Luis.
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22. ÉMBOLOS
Los dos émbolos circulares de una prensa hidráulica miden 2 cm y 2 dm
de radio, respectivamente, Sobre el émbolo mayor se ejerce una fuerza
constante de 500 N.
¿Qué presión soporta cada uno de los pistones?
En este ejercicio hay que tener presente el Pº de Pascal, el cual se basa en que la
presión ejercida en cualquier parte del fluido en equilibrio dentro de 1 recipiente se
transmite con la misma velocidad en todas las direcciones.
La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del Pº de Pascal, ya que
según éste la P1 = P2 y de aquí deducimos que
P=
F1= 500N
S1= π
(al tratarse de una superficie circular)
S1= π ·
= 12’566
P=
= 39’79 N/
39’79 N/
Como sabemos que 1 Pa = 1N/
·
= 397900 Pa
En este caso no se nos pide la fuerza resultante sobre el émbolo mayor, pero se podría
calcular de la siguiente manera:
=
S2 = π
=π·
= 1256’636
F2=
= 50000 N
S2 es 100 veces mayor que S1, ya que es directamente proporcional a la superficie (
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23. CONCENSIONARIO
En un concesionario de coches el vendedor nos informa de las
características de dos coches en los que estamos interesados. El primero
tiene 300 CV y el segundo 1900 W.
Si queremos comprar el de mayor potencia, ¿por cuál nos decidiremos?
Y ¿cuál será el trabajo realizado por dicho motor durante una semana si
utilizamos el coche 30 minutos diarios?
C1= 300 CV
Para poder compararlos necesitamos trabajar en las mismas unidades
C2 = 1900 W
1CV= 735 W
C1 = 300 CV ·
= 220500 W
Con mucha diferencia, exactamente 218600 W (220500 – 1900) el primer coche es el
de mayor potencia, por tanto compraríamos ese.
W = P · t
P=
Debemos usar los segundos para así obtener el trabajo en julios, como en el S.I.
· 7 días = 12600 s que habremos usado el coche en 7 días
W= 220500W · 12600s = 277830000 J
2’78 ·
J es el trabajo realizado por el motor
del segundo coche, usándolo 30 minutos al día.
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24-25. FUNCIÓN SENO
La ecuación más general de una onda armónica unidimensional es:
donde
es la posición inicial, que en el caso del seno diremos que
.
A es la amplitud de la onda (distancia del eje x a una cresta o valle), t es el tiempo,
siendo
la longitud de onda y T el período.
Podemos reescribirla así:
sacando factor común
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:
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O bien, como la velocidad de propagación de una onda es la longitud de dicha onda
partido del período:
Sustituyendo en la ecuación de la onda armónica:
Al tratarse de una gráfica de la función seno, el foco será en punto O(0,0).
Como la primera cresta está a la cuarta parte de la onda, podemos generalizar ya que
la función es periódica, hay infinitas crestas, y la posición de cada una depende de la
longitud de onda y de su orden, que le llamaremos n:
Es decir, la cresta de cualquier gráfica la podemos encontrar en el punto genérico:
Para los valles ocurre lo mismo, salvo que están desplazados
de las crestas.
Por tanto, los valles los encontramos en el punto genérico:
Si el período vale T=5s
De la amplitud no podemos decir nada, ya que depende de otros factores.
Sustituyendo y despejando en la ecuación general de las ondas
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Como ya hemos dicho, la velocidad de propagación de la onda es la longitud de onda
partida del período, si sustituimos y despejamos:
Consiguientemente, la velocidad de propagación será:
La frecuencia es la inversa del período, por tanto:
Si se tratase de la gráfica de la función coseno, sería igual pero con
.
La diferencia es que el foco se encuentra en el punto F(0,A) , por consiguiente crestas y
valles quedan desplazadas.
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26. GALILEO GALILEI
Galileo Galilei nació en Pisa (Italia) en 1564. Aunque se le
destaque en el campo de la astronomía, también fue
filósofo, matemático y físico, aunque también le gustaban
las artes. Esto último le venía de familia, debido a la
influencia de su padre intento estudiar medicina, pero se
dio cuenta de que lo suyo eran los números y estudio la
carrera de matemáticas.
Como hemos dicho antes, destacó en astronomía y
es ahí donde verdaderamente encontramos granes
aportaciones, tales como el telescopio. Los
primeros telescopios que realizó sólo ampliaban
dos o tres veces los objetos, pero los siguió
perfeccionando hasta alcanzar los 30 aumentos.
Con sus propios telescopios Galileo descubrió los
cráteres de la Luna, las fases de Venus, los 4
mayores satélites de Júpiter, las manchas del Sol y
los anillos de Saturno (estos no los interpretó como
tales, sino como estrellas que acompañaban a
Saturno). Estos descubrimientos casi le costaron la
vida por negar la Teoría Geocéntrica impuesta por
la Iglesia, ya que la Inquisición ostentaba un
carácter muy conservador y castigaba a quien
contradijera lo mas mínimo la doctrina papal.
De su manera de trabajar resalta su capacidad para la medición y la constante
repetición de sus experimentos, que generaron lo que hoy conocemos como método
científico. Pero si hay un experimento, una investigación que le hace famoso es la que
estudia los movimientos acelerados. Según Aristóteles en la caída libre de los cuerpos
hay una relación proporcional entre la masa y la velocidad, pero Galileo demostró que
no es así. Para ello subió a la Torre de Pisa y dejó caer dos objetos, siendo uno más
pesado que el otro, comprobó que llegaron al suelo al mismo tiempo. Con ello
concluyó que la velocidad de caída es independiente de la masa de los cuerpos.
Conclusión errónea, porque Galileo no sabía que además de la fuerza de gravedad,
sobre un cuerpo en caída libre existe otra fuerza que se opone a la caída, el rozamiento
del aire. Esta historia, parece que fue relatada por un alumno del propio Galileo, pero
se considera una leyenda.
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Por último, cabe decir que Galileo era un hombre que siempre luchó para difundir la
ciencia y el saber. Un hecho significativo es que Galileo escribió sus teorías en la lengua
del pueblo, no el latín, ya que el latín sólo era conocido por gente privilegiada.
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27. Evangelista Torricelli
Nacido en Faenza (Italia) el 15 de octubre de 1608 y
murió en Florencia (Italia) 25 de octubre de 1647, fue
físico y matemático. Enseñó matemáticas en el colegio
de Sapienza, ya que fue llamado por Urbano VII cuando
se encontraba estudiando Ciencias con el benedictino
Benedetto Castelli en Roma. Hizo importantes
aportaciones a la geometría y el desarrollo del cálculo
integral.
Poco antes de ser discípulo de Galileo, estudió
una de sus obras “Dialoghi delle nuove scienze”
(1638) donde los principios mecánicos que
nombraba los desarrolló introduciéndolos, más
tarde, en su obra “De motu”. Gracias a esto
Galileo le aceptó como su copista.
La imagen muestra a Galileo con Torricelli.
El principio del barómetro (1643) fue su gran
descubrimiento, demostrando que existía la
presión atmosférica: llenó con mercurio un
tubo de vidrio de 1 metro de longitud por un
centímetro cuadrado de sección, y lo
introdujo boca abajo en un recipiente que
también contenía mercurio. El mercurio del
tubo descendió hasta quedar a una altura de
76 centímetros (760 milímetros). Esto
demostraba que había una fuerza que
impedía al mercurio descender más, lo cual
rechazaba la hipótesis de Aristóteles según la cual la materia era compacta y continua.
Torricelli realizó este experimento al nivel del mar y a
una latitud de 45º N, donde la presión atmosférica
equivale a una columna de 760 mmHg (milímetros de
mercurio) a 0º. Actualmente a esa medida equivale 1
atm (atmósfera).
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1 torr = 1mmHg
1 atm = 760mmHg = 760 torr
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Más tarde Pascal confirmó su teoría realizando mediciones a distinta altura, y años
más tarde, la unidad de presión torr se nombró en su memoria.
También enunció el Teorema de Torricelli, basado en los principios de Bernoulli que
estudian el flujo de un líquido contenido en un recipiente, usando la acción de la
gravedad. Gracias a esto se puede calcular la cantidad de líquido de salida por un
orificio del recipiente despreciando el efecto del rozamiento y la resistencia del aire.
Este teorema fue un gran descubrimiento para la hidráulica.
Así Torricelli enunció que: "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un
orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde
el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio". Creando esta fórmula:
Vt = velocidad a la que saldría el líquido.
vo = velocidad de aproximación.
h = distancia que hay desde la superficie del líquido al centro del orificio.
g = aceleración de la gravedad.
Torricelli también es conocido por:
Su obra “Opera geométrica”, publicado en 1644, en la que expuso sus
hallazgos sobre fenómenos de mecánica de fluidos y descubrió que el
movimiento de proyectiles lanzados desde un punto con igual velocidad, pero en
direcciones diferentes, es un paraboloide de revolución.
En las matemáticas se entregó al estudio de los cálculos sobre la curva
formada por un punto en el radio de un círculo en movimiento y otras figuras
complejas.
Además, descubrió que dos cuerpos están en equilibrio cuando, estos,
están conectados de modo que, debido a su movimiento, su centro de gravedad
no puede ascender ni descender.
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Otro de sus descubrimientos fue el de un sólido infinitamente largo
llamado cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli que se caracterizaba por
tener una superficie infinita pero que encierra un volumen finito.
También creó lentes mejorando los telescopios y microscopios, donde
era un experto. Éstos se conservan en Florencia con su nombre.
Nunca llegó a publicar sus conclusiones por miedo a la Inquisición.
En 1715 Tommaso Bonaventure publicó los manuscritos de Torricelli con el título
“Lezioni Accademiche”.
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