Diseño Integrado con Realimentación Robusta de Estados vía

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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 2, NO. 3, SEPTEMBER 2004
Diseño Integrado con Realimentación Robusta de
Estados vía Desigualdades Lineales Matriciales
O. Pérez, P. Vega, W. Colmenares, Member, IEEE y M. Francisco
Resumen—La idea del diseño integrado se fundamenta en la
posibilidad de diseñar procesos con criterios de optimización,
incorporando condiciones que garanticen un buen desempeño
dinámico del sistema en las primeras etapas del diseño. De esta
forma se obtienen, tanto los parámetros de la planta como los del
controlador de forma simultánea.
En este trabajo se presenta una metodología que permite realizar
el diseño optimizado de una planta no lineal con restricciones de
operación no lineales, calculando simultáneamente un control por
realimentación de estado que garantiza que el sistema controlado
presenta una serie de características de estabilidad, ubicación de sus
polos y rechazo a las perturbaciones. Se considera además, la
existencia de incertidumbre paramétrica lo que conlleva a la
obtención de las ganancias robustas de realimentación.
La idea se basa en una optimización con dos consideraciones
fundamentales. En la primera, se tiene un proceso clásico de
optimización no lineal donde en cada iteración se calculan
parámetros del proceso basándose en las restricciones estáticas. En
la segunda se calculan los controladores (si existen) para la
linealización de la planta en cada punto de operación calculado. De
esta forma las condiciones dinámicas impuestas al controlador
pasan a ser restricciones implícitas del problema de optimización no
lineal.
La metodología se utiliza en el diseño de un sistema hidráulico
controlado por una ley de realimentación de estados, incorporando
una condición integral en el lazo de control, para obtener
condiciones de error iguales a cero ante señales de referencia de
valores constantes. Al final se presentan algunos resultados y
simulaciones de la respuesta del sistema no lineal, donde se aprecia
la influencia de las condiciones dinámicas sobre el sistema
diseñado.
Palabras claves—Diseño de procesos, optimización no lineal,
desigualdades lineales matriciales, incertidumbre paramétrica,
controlador robusto, realimentación de estados.*
I. INTRODUCCIÓN
E
l diseño clásico de los procesos, en general, persigue la
determinación de las condiciones de operación de cada
una de las unidades de proceso y de las dimensiones que se
requieren para lograr un objetivo de producción. Los
ingenieros de procesos determinan las estructuras necesarias,
*
Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el CICYT proyecto
DPI2000-0665-C02-02, por el DID-USB y FONACIT, proyecto S12001000708.
Omar Pérez L. y Williams R. Colmenares M. pertenecen al Departamento
de Procesos y Sistemas de la Universidad Simón Bolívar, Venezuela. (e-mail:
operez/[email protected]).
Pastora Vega C. y Mario Francisco S. pertenecen al Departamento de
Informática y Automática de la Universidad de Salamanca, España. (e-mail:
pvega/[email protected]
las condiciones de operación y calculan los parámetros físicos
de la planta. El objetivo general se asocia a la optimización
económica, evaluando las diferentas alternativas posibles. En
esta etapa no se da mucha importancia a condiciones de
controlabilidad dinámica del proceso o a los sistemas de
control que deben implementarse para el funcionamiento
correcto de la planta.
Para mejorar este proceso, se ha introducido el concepto de
diseño integrado de sistemas. La idea del diseño integrado de
procesos con sus sistemas de control persigue la obtención de
plantas que funcionen de forma óptima, para lo cual es
necesario que sus características dinámicas se garanticen ante
diversas situaciones y que condiciones tales como respuestas
temporales adecuadas, buen rechazo a perturbaciones externas
y robustez, se mantengan a pesar de las variaciones y los
efectos ambientales a los que están sometidos todos los
procesos en la vida real. El concepto de controlabilidad se
relaciona con el mejor comportamiento que se puede obtener
al controlar un proceso, siendo ésta una propiedad intrínseca
del propio proceso.
Los primeros en introducir ideas de controlabilidad en el
diseño fueron Nishida y sus colaboradores [1]-[2]. En [3] se
define por primera vez la controlabilidad de una red de
intercambiadores de calor y en [4] se presenta para el mismo
sistema un estudio dirigido a la compensación entre su
controlabilidad y su coste económico. En [5] se proporciona
una visión industrial sobre la necesidad de integrar el diseño y
el control de sistemas que ya había sido planteada en [6] y
reforzada en [7].
Durante muchos años, investigadores han dedicado buena
parte de sus esfuerzos hacia el mejoramiento del diseño de
procesos bajo estas perspectivas. En [8] se introducen
indicadores de la sensibilidad del lazo cerrado y el número de
condición de un sistema. En [9] se analiza el problema de
selección de la estructura de control, con un problema de
programación lineal mixta entera. Algunas aplicaciones
recientes sobre diseño de procesos se presentan en [10], donde
se estudia la influencia de la controlabilidad de plantas en lazo
cerrado, definiendo alguna medida útil de controlabilidad y el
coste de explotación, así como en [11] se muestra el trabajo de
diseño integrado sobre una planta de control de pH.
En los últimos años la utilización de las desigualdades
lineales matriciales se ha empezado a tomar en cuenta para el
diseño de sistemas de control. El elevado poder computacional
que se ha alcanzado recientemente y la aparición de poderosos
algoritmos de optimización convexa han contribuido
fuertemente a la popularidad de las desigualdades lineales
matriciales LMIs.
En este trabajo se muestra una metodología para el diseño
LÓPEZ et al.: INTEGRATED SYSTEM'S DESIGN WITH
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integrado de procesos, considerando una estrategia de control
por realimentación de estados, optimizando parámetros de
diseño y operación de la planta y tomando en cuenta
condiciones tipo desigualdades lineales matriciales LMI para
el desempeño del sistema a lazo cerrado, en las que se
incorpora incertidumbre en el modelo, dándole así robustez al
diseño del controlador.
II. DESIGUALDADES LINEALES MATRICIALES
Una desigualdad lineal matricial [12] es una restricción de
la forma:
F ( x ) F0 x1 F1 x 2 F2 " x N F N 0
(1)
donde
donde x  Rn es el vector de estados del sistemas, u  Rm es
el vector de entradas, w  Rq es el vector de perturbaciones y
y  Rp es el vector de salidas medibles del sistema. A, B, B1,
C son matrices constantes de dimensiones apropiadas. Para un
sistema lineal de este tipo se pueden imponer restricciones
tipo LMI para garantizar condiciones en la operación de la
planta a lazo cerrado, considerando un esquema de control por
realimentación de los estados. Entre estas condiciones nos
interesan las siguientes.
B. Estabilidad asintótica
Para el sistema (3) se define una ley de control por
realimentación de estados de la forma u = Kx, con lo que se
obtiene la condición de estabilidad asintótica [15@:
x x1 , x 2 , " , x N es un vector de escalares
desconocidos (variables de optimización o de decisión).
F0 , F1 , " , F N son matrices simétricas conocidas.
`< 0´ indica la condición de “negativa definida”, es decir,
que el mayor autovalor de F ( x ) es negativo.
Una LMI define un problema convexo sobre la variable x.
La convexidad tiene una importante consecuencia, debido a
que en la mayoría de los casos la condición que define F(x) no
tiene solución analítica. Si esto ocurre, este problema se puede
resolver numéricamente con la garantía de encontrar una
solución, si existe alguna. Un sistema basado en múltiples
LMIs puede ser considerado como un conjunto de LMIs
simples, como en el caso:
­ F1 ( x ) 0
° F ( x) 0
° 2
®
#
°
°¯FK ( x ) 0
(2)
que equivale a F ( x ) : diag F1 ( x ), F2 ( x ),", FK ( x ) 0 ,
donde diag F1 ( x ), F2 ( x ),", FK ( x ) representa una matriz por
bloques,
cuya
diagonal
está
compuesta
por
F1 ( x ), F2 ( x ),", FK ( x ) . Observe que la convexidad del
problema se conserva cuando se tienen múltiples
desigualdades lineales matriciales.
AP+PAT+ BR +RTBT < 0
que representa un problema convexo en P>0 y R, que puede
resolverse de forma simple con herramientas de programación
convexa. Para este problema la ganancia de realimentación
1
está dada por K=RP- . Esta definición de la ganancia se aplica
a todas las condiciones LMI que se presentan en este trabajo.
Con estos resultados [15], la expresión de estabilidad
asintótica puede expresarse como una desigualdad lineal
matricial como la que se muestra a continuación, donde se
debe encontrar matrices P>0 y R tal que la siguiente LMI sea
factible.
§P
¨¨
©0
­ x
®
¯y
Ax Bu B1 w
Cx
(3)
0
·
¸!0
AP PA BR RT B T ¸¹
(5)
T
C. Ubicación de polos
Tal como aparecen en [16], es posible obtener condiciones
que permitan modificar el comportamiento temporal de las
respuestas de los sistemas, garantizando la ubicación de los
polos a lazo cerrado en regiones del plano S, como se señala a
continuación.
9Condición de eje imaginario desplazado D0
Para garantizar que los polos del sistema con realimentación de
estados se encuentren a la izquierda del eje imaginario
desplazado D0, se debe cumplir la existencia de matrices P > 0 y
R tal que la siguiente condición sea factible:
III. CONDICIONES LMI PARA REALIMENTACIÓN DE ESTADOS
A. Introducción
Múltiples condiciones para el análisis y diseño de sistemas
de control se han desarrollado utilizando LMIs [13]-[14].
Para resolver el problema de diseño integrado con
realimentación de los estados, se plantea la utilización de una
serie de condiciones tipo LMI, basadas en la descripción de
una planta lineal e invariante en el tiempo en variables de
estado, dada por:
(4)
AP+PAT+BR+RTBT+2D0P < 0
(6)
9Condición de cono centrado en el origen con ángulo T
Para que los polos del sistema a lazo cerrado se encuentren
en la región del semiplano izquierdo definida por un cono
centrado en el origen, con un ángulo T, se deben encontrar
matrices P > 0 y R tal que la siguiente expresión sea factible
para un ángulo T dado:
§ senT AP PAT BR R T B T
¨
¨ cosT AP PAT BR R T B T
©
cosT AP PAT BR R T B T
senT AP PAT BR R T B T
<0
·¸
¸¹
(7)
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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 2, NO. 3, SEPTEMBER 2004
D. Rechazo a perturbación con norma Hf
Dado el sistema (3), si se desea que el sistema a lazo
cerrado cumpla con que la norma Hf de la función de
transferencia de la perturbación sea menor que un valor dado
por Jd , tal como se muestra en la expresión (8),
Gd (s )
f
< Jd
(8)
entonces se deben encontrar matrices P > 0 y R tal que la LMI
(9) sea factible:
realimentación de estados, lo cual es equivalente a u j < u ,
entonces la condición de acotamiento de la entrada al sistema
está dada por [17]:
§ P
¨
¨ R
©
RT
·
¸ <0
J u I ¸¹
1
(12)
Restricciones en el valor de la salida:
Para el caso de que las restricciones se impongan sobre los
2
§ AP PA BR R B J d B1 B1
¨
¨
CP
©
T
T
T
T
PC ·
¸ < 0 (9)
I ¸¹
T
E. Limites en las variables
Cuando se utiliza la realimentación de estados, generalmente no se toman en cuenta condiciones asociadas a la
operación de los sistemas, como lo pueden ser los valores
máximos permitidos para algunas variables dentro del
proceso, tales como valores de las señales de entrada
(actuadores) y de las señales de salida (sensores). En [17] se
presentan condiciones para introducir estas restricciones en el
problema de la realimentación de estados.
Condición de elipsoide inicial mínima:
El comportamiento de un sistema lineal esta asociado a su
condición inicial o el valor que tengan sus estados en un
instante t=t0. Bajo esta óptica y teniendo en cuenta la
definición de estabilidad asintótica en el sentido de Lyapunov,
los valores de los estados tienden a decrecer en el tiempo.
Para confinar los futuros valores de los estados después de la
condición inicial x0, se debe cumplir que:
x0TP-1x0 < J
(10)
expresión que define una elipsoide, donde P es la misma que
la que aparece en la condición (5). Esto implica que los
futuros estados del sistema pertenecerán a una región
definida por una elipsoide. Con esto en mente se puede
decir, tal como aparece en [17], que la condición que
garantiza la ubicación de los valores futuros de los estados
en una elipsoide está dada por
§ P
¨ T 1
¨x J
© 0
x 0J 1 ·
¸ <0
J 1 I ¸¹
(11)
La condición anterior define la elipsoide dentro de la cual
se moverán los futuros valores de los estados cuando se
utilizan las condiciones de estabilidad asintótica. Para
garantizar valores reducidos de las variables de estado, se
debe formular un problema que intente minimizar dicha
región, minimizando J-1.
Restricciones en el valor de la entrada:
Si se imponen restricciones respecto a los máximos valores
de cada una de las entradas de un sistema con control por
valores de las salidas del sistema, que es y i < y entonces la
condición que garantiza el acotamiento de los valores de la
salida esta dada por [17]:
§ P
¨
¨ C
©
CT
·
¸ <0
J 1 yI ¸¹
(13)
En los dos casos anteriores se observa que aparece la
variable J-1 del problema de la elipsoide inicial, que como ha
sido indicado, debe ser minimizada para garantizar una región
lo más reducida posible.
IV. INCORPORACIÓN DE LAS DESIGUALDADES LINEALES
MATRICIALES EN EL PROBLEMA DE DISEÑO INTEGRADO
A. Introducción al problema de diseño integrado
En el diseño de procesos, el factor económico representa un
factor importante que delimita muchas de las condiciones que
influyen en las decisiones que se toman en cuenta para obtener
resultados que se puedan considerar apropiados. Ahora bien,
no es el factor económico el único componente que define la
operabilidad de un proceso o sistema. Existen una serie de
aspectos que necesariamente deben ser contemplados, como
por ejemplo, la elasticidad que se refiere a la habilidad del
proceso para tolerar condiciones adversas tales como
perturbaciones o variación en los parámetros, o la flexibilidad
que se refiere a la capacidad estructural y operativa del
proceso para mantenerse funcionando con la mejor
característica cuando las condiciones operativas corresponden
a un rango de condiciones de diseño, o la controlabilidad, la
confiabilidad, el impacto ambiental, etc. Por todo esto se dice
que el problema a resolver es multi-objetivo. Estos problemas
se caracterizan por no poseer una única solución. En efecto,
se arriba a un conjunto mínimo de soluciones no dominadas.
Por lo tanto, decidir entre las mismas, lleva implícita la
preferencia subjetiva del diseñador respecto de los objetivos.
Una característica muy importante a tener en cuenta
respecto a los objetivos a plantear en la tarea de diseño, se
refiere a su facilidad de ser representados (o modelados)
matemáticamente. Si bien existen objetivos expresables como
funciones matemáticas (ya sean continuas, discontinuas o
discretas), existen aquellos que no pueden ser representados
bajo esta perspectiva. Este trabajo se centra en aquellos
objetivos que sí se pueden representar mediante funciones
LÓPEZ et al.: INTEGRATED SYSTEM'S DESIGN WITH
matemáticas y el problema de diseño se define mediante un
modelo de optimización con restricciones.
Dentro de este contexto, el problema completo podría ser
formulado desde el punto de vista de la programación
matemática como uno de optimización múltiple objetivo, que
se presenta como:
Optimizar { f1(x), f2(x),....,fN(x) }
Sujeto a
h( x ) = 0
g (x ) > 0
donde las funciones f1(x), f2(x),.....,fN(x) representan las N
funciones objetivos a optimizar (minimizar o maximizar). Las
funciones h(x) expresan generalmente, las restricciones
correspondientes a los balances de materia y energía y las
restricciones g(x) expresan zonas de operación factible, por
ejemplo composiciones positivas, temperaturas positivas,
restricciones propias del proceso, etc.
El vector x comprende variables o parámetros de operación y
variables estructurales. Una simplificación que se suele adoptar
consiste en expresar todos los objetivos en una única medida, que
generalmente es económica. Obviamente, este enfoque, además
de ser una simplificación, no siempre es posible.
B. Planteamiento del problema de diseño integrado
En el problema que se plantea, se desea incorporar
condiciones dinámicas en este proceso de diseño, de forma de
obtener una solución óptima que defina las características
físicas del proceso y que simultáneamente cumpla con
condiciones dinámicas que puedan garantizar un
comportamiento adecuado del sistema durante su operación.
Estas condiciones dinámicas son incluidas mediante
desigualdades lineales matriciales.
Las desigualdades lineales matriciales están restringidas
para ser utilizadas sobre sistemas lineales. Como es bien
sabido, la mayoría de los sistemas presentan características
no-lineales, por lo que la utilización de las LMIs en el
problema de diseño de las plantas, debe basarse en la
linealización del modelo del sistema. Esta operación siempre
sacrifica información del modelo, pero da la posibilidad de
utilizar una gran cantidad de resultados existentes, que se
basan en las LMIs [12]-[14], [16].
En el procedimiento planteado en este trabajo, se realiza
una optimización en dos etapas, una de las cuales resuelve el
problema no lineal estático, considerando el modelo y ciertas
restricciones de operación del proceso, y una lineal, donde se
utiliza el modelo linealizado para resolver condiciones lineales
multiobjetivo tipo LMI, que garantizan ciertas características
dinámicas del sistema controlado, vía realimentación de
estados.
Para lograr la integración del diseño clásico no-lineal de la
planta, con las condiciones lineales tipo LMI, se plantea el
siguiente procedimiento para el problema de optimización:
n Se define el problema de optimización del diseño de la
planta, estableciendo una función objetivo y
considerando su modelo no-lineal, para definir un
punto de operación en estado estacionario, las cotas de
177
los valores del sistema y las restricciones lineales y no
lineales del proceso.
o En cada iteración del problema de optimización nolineal, se toman los últimos valores calculados y se
realiza la linealización del modelo alrededor del punto
de operación.
p Con el sistema linealizado (A,B,C) se resuelve el
problema basado en las desigualdades lineales
matriciales que se plantee en cada caso. La solución del
problema lineal basado en LMIs se transmite al
optimizador no-lineal del diseño de la planta, para que
en función de lo ocurrido tome las acciones
correspondientes para seguir buscando un resultado
óptimo. La información transmitida indica la existencia
o no de una solución del problema con LMIs, es decir,
la existencia de las ganancias de realimentación de
estados que cumplen las condiciones dinámicas
impuestas, así como el valor que señala lo buena que es
la solución (si existe) o lo alejado que está de ella (si no
existe). De esta forma el problema lineal, es visto por el
optimizador no lineal, como una restricción adicional
que se cumple o se viola.
q Este proceso se realiza iterativamente hasta obtener los
valores óptimos del diseño xopt en el optimizador nolineal.
Es importante señalar que el optimizador no lineal gobierna el
proceso de búsqueda de los valores óptimos de diseño. En cada
iteración este optimizador calcula una planta candidato. Para esa
planta linealizada se verifica la existencia de un control por
realimentación de estados. Si existe, se dan por satisfechas las
restricciones dinámicas (cálculo del controlador) y si no, se
informa al optimizador no lineal de que esta restricción no es
satisfecha y por lo tanto que ese punto no es factible. Observe
que el algoritmo busca una solución local. En el proceso de
búsqueda de una solución, al alcanzar un posible mínimo local
siguiendo el gradiente, el optimizador no lineal hace
modificaciones importantes sobre los valores encontrados (da
saltos) para examinar la existencia de mejores soluciones en otra
región del espacio factible. Este algoritmo es implementado con
la rutina estándar de Matlab1 para optimización no lineal y para la
etapa de control, las funciones de desigualdades lineales matriciales
(LMI Toolbox1).
V. ROBUSTEZ DEL CONTROLADOR
Como ya ha sido señalado, en cada iteración del
optimizador no-lineal, se debe realizar la linealización del
modelo del proceso alrededor del punto de operación que se
haya calculado en ese momento, para resolver el problema
lineal asociado a las restricciones LMI. Esta operación de
linealización representa una pérdida de información del
sistema original, pero permite incorporar condiciones de
diseño poderosas, que no se podrían utilizar en el problema
no-lineal.
1
Inc.
MATLAB, LMI Toolbox, son marcas registradas de The Matlab Works,
178
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 2, NO. 3, SEPTEMBER 2004
La linealización es un procedimiento común en algunos
cálculos de controladores de sistemas no-lineales. En [18],
[19], [20] se utiliza la incertidumbre como elemento para
compensar la pérdida de la información que se deriva de la
linealización del modelo. Con esta idea se puede calcular un
controlador para un conjunto de modelos lineales del
proceso considerando incertidumbre, esperando que el
controlador obtenido garantice un mejor comportamiento del
sistema no lineal a lazo cerrado. Este sería un controlador
robusto para el sistema lineal y podría considerarse un
controlador menos conservador para el sistema no-lineal.
Para obtener el conjunto de modelos que se utilizan en el
cálculo del controlador, se linealiza el modelo no lineal
alrededor de los puntos de operación extremos que se
consideren en cada caso o tomando en cuenta los valores
extremos de los parámetros inciertos del modelo. Estos
puntos se obtienen haciendo todas las combinaciones
posibles de los valores extremos de cada parámetro incierto
[18]. Entonces, si hay L parámetros inciertos, cuyos valores
extremos son conocidos, esto es:
min D1 < D1 < max D1
min D2 < D2 < max D2
min D3 < D3 < max D3
#
Fig. 1. Sistema Hidráulico
B. Modelo matemático del proceso
Para este sistema, haciendo un balance de masas se
obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales:
S1
dh1
dt
q in q1
S2
dh2
dt
q1 qd q2
donde para las válvulas se tiene la relación:
min DL < DL < max DL
q1
k1a1 h1 h2 ,
q2
k 2 a 2 h2
L
se generan 2 sistemas lineales vértices de la región poliédrica
de incertidumbre.
La solución del problema se fundamenta en la obtención
de una solución única para el sistema linealizado con
condiciones tipo LMI para todos los vértices generados, tal
como aparece en [21]. Si esto ocurre el controlador robusto
que funciona para todos los puntos o valores extremos
estaría dado por K=RP-1 y como cualquier punto dentro de la
región poliédrica definida por dichos vértices puede
representarse como una combinación lineal de los mismo,
esta ganancia hace que todos los modelos dentro de esa
región de incertidumbre presente las mismas características
definidas para el problema lineal.
y las entradas (de control y perturbación) al sistema son dadas
por las relaciones:
fd / 8
k1, k2 son las constantes de las válvulas y a1, a2 son sus
aperturas. fd es el flujo de la perturbación y qd es la forma
como esta influye sobre el nivel del segundo tanque. S1 y
S2 son las superficies de los depósitos 1 y 2, h1 y h2 son los
respectivos niveles. Sustituyendo estas relaciones se
obtienen las ecuaciones no lineales del proceso:
S1
dh1
dt
q in k1a1 h1 h2
S2
dh2
dt
k1a1 h1 h2 VI. EJEMPLO: PROCESO HIDRÁULICO
A. Descripción del proceso
Para probar el diseño tal como se ha planteado, se utiliza un
sistema dinámico constituido por dos depósitos, como se
muestra en la fig. 1, que se desea dimensionar. Los depósitos
están conectados entre si a través de sus bases, existiendo un
flujo de alimentación en el depósito 1 que es considerado
como la señal de control u(t) = qin(t), y otro flujo sobre el
depósito 2, que es considerado como una perturbación fd(t).
Las válvulas v1 y v2 son de apertura variable. El objetivo final
del sistema es controlar el nivel del tanque 2, manipulando el
flujo de entrada qin.
u(t ) , qd
q in
fd
k 2 a 2 h2
8
C. Restricciones de operación
Para este sistema se imponen restricciones sobre el tiempo
de residencia del líquido dentro de cada depósito, dado por:
Depósito1:
V1
q1
S1 h1
k1a1 h1 h2
Depósito 2:
t Tr1 Ÿ Tr1k1a1
h1 h2 s1h1 d 0
LÓPEZ et al.: INTEGRATED SYSTEM'S DESIGN WITH
V2
q2
S 2 h2
k 2 a 2 h2
t Tr2 Ÿ Tr2 k 2 a 2 s2
179
TABLA I
MATRICES VÉRTICES DE LA INCERTIDUMBRE CONSIDERADA EN EL DISEÑO
h2 d 0
donde Tr1 y Tr2 son los tiempos de residencia de cada
depósito. Por condiciones en el modelo y para garantizar
flujos positivos, que no generen raíces negativas, se impone
que h1 ! h2.
D. Condiciones para la optimización
El problema que se resuelve se fundamenta en la obtención
de los parámetros del proceso que minimicen sus dimensiones
y que cumplan ciertas condiciones dinámicas durante su
operación, con el esquema de control indicado. Para ello se
plantea la siguiente función objetivo:
f(x) = O1*(R1)2+O2*(R2)2+O3*(h1)2+O4*(h2)2
(14)
donde R1 y R2 (residuos) corresponden a los valores de las
ecuaciones del proceso en estado estacionario, que se
pretenden hacer cero para garantizar que el modelo se cumple.
También se desea minimizar las alturas de los depósitos y
calcular los valores óptimos de las aperturas de las válvulas.
Para el modelo del sistema y las condiciones de operación
se conocen los siguientes parámetros:
k1 = k2 = 2
Modelo Lineal 1
(A1,B1,C1)
Modelo Lineal 2
(A2,B2,C2)
u(t)=2
h1+'h1
h2+'h2
Modelo Lineal 3
(A3,B3,C3)
u(t)=2
h1+'h1
h2'h2
Modelo Lineal 4
(A4,B4,C4)
u(t)=2
h1'h1
h2+'h
u(t)=2
h1'h1
h2'h2
con lo que se obtienen los sistemas que deben utilizarse para
resolver simultáneamente las condiciones lineales tipo LMI en
el problema propuesto, de forma de garantizar robustez del
controlador.
Queda claro que bajo esta premisa, es posible considerar
variaciones sobre cualquier parámetro del modelo y considerar
sus extremos como se hizo con los valores del punto de
operación.
VII. ESQUEMA DE CONTROL POR REALIMENTACIÓN DE
ESTADOS MÁS CONTROL INTEGRAL
Para realizar el diseño tal como ha sido presentado, en la etapa
lineal basada en LMIs, se utiliza una ley por realimentación de
estados más control integral. Ella presenta la estructura mostrada
en la fig. 2. Este esquema tiene la ventaja de poder garantizar
una condición de desempeño ante perturbaciones estacionarias,
en la cual el sistema puede realizar un seguimiento de la señal de
referencia sin error. Esto representa una condición más
interesante que la que se obtiene por realimentación simple de los
estados.
Tr2 = Tr2 = 2
u(t) = 2
0% a1 100%
0% a2 100%
S1 = S2 = 2
E. Incertidumbre en el modelo del proceso
Para el caso del sistema hidráulico se considera
incertidumbre en las dos variables de estado. Como en cada
iteración estos valores cambian, se define la incertidumbre
como un porcentaje sobre el valor de cada variable de estado.
De esta forma se tiene que la incertidumbre sobre h1 es de U%
y sobre h2 es V%. Si se definen esos rangos como:
U% de h1 = 'h1
V% de h2 = 'h2
entonces se tiene:
h1'h1 < h1 < h1+'h1
h2'h2 < h2 < h2+'h2
Fig. 2. Esquema de control por realimentación de estados más control integral
Como en la linealización se debe definir el vector inicial de
estados y la entrada nominal, se debe repetir el proceso de
linealización 4 veces. Para cada uno se realiza la linealización
con los siguientes valores:
Para el esquema se tiene que el sistema linealizado a lazo
cerrado queda definido por las siguientes ecuaciones
diferenciales:
x ( t )
A B K x (t ) ª«10º» r (t ) B1d (t )
¬ ¼
y (t ) C x (t )
(15)
(16)
180
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 2, NO. 3, SEPTEMBER 2004
TABLA II
RESULTADOS DE LA OPTIMIZACIÓN CON ESTABILIDAD,
ELIPSOIDE MÍNIMA, ENTRADA ACOTADA, SALIDA ACOTADA E INCERTIDUMBRE.
donde el vector de estados está dado por:
x (t )
ª x (t ) º
« x (t )»
¬ n1 ¼
(17)
y las matrices del sistema a lazo cerrado pasan a ser:
A
ª A
« C
¬
0º
0»¼
B
ªBº
«0»
¬ ¼
C
>C
0@
B1
ª B1 º
«0»
¬ ¼
En la expresión (17) aparece el nuevo vector de estados del
sistema presentado en la figura 2, donde se observan los
estados originales de la planta y un nuevo estado que resulta
de la incorporación de un integrador asociado a la señal de
error resultante de la diferencia entre la referencia y el valor
de la salida del sistema, con lo que se pretende asegurar un
seguimiento de la señal de referencia que permita eliminar el
error del sistema ante valores constantes de la misma.
El nuevo vector de ganancias de realimentación está dado
por:
K >K k n1 @
Residuo R1
-0.000000005247
Residuo R2
0.0000000030953
Altura h1
4.6663
Altura h2
3.0950
Apertura a1
79.77%
Apertura a2
56.84%
Ganancia K1
-0.1182
Ganancia K2
-0.1789
Ganancia K3
0.0499
Con estos valores obtenidos para los parámetros de la
planta y las ganancias de realimentación, se simula la
respuesta del sistema no lineal a lazo cerrado ante una señal
de referencia tipo salto. En la fig. 3 se presenta la respuesta
temporal y en la fig. 4 se tiene la señal de control u que
genera dicha respuesta.
Entonces en función de las matrices originales del sistema
se pueden aplicar las condiciones LMI mostradas,
considerando las matrices del sistema extendido.
Para probar diferentes diseños, se impusieron condiciones
multiobjetivo sobre el sistema linealizado, considerando
incertidumbre en el modelo. A continuación se presentan los
resultados en dos casos, uno impone condiciones de
estabilidad y cota de las variables de entrada y salida, y otro
resuelve un problema multiobjetivos, adicionando ubicación
de polos y rechazo a perturbaciones.
VIII. RESULTADOS DEL DISEÑO
Fig. 3. Respuesta del sistema a lazo cerrado ante un cambio en la señal de
referencia tipo salto
A. Diseño con condición de estabilidad con incertidumbre en
las variables de estado h1 y h2
Para este caso, se presentan los resultados cuando se
considera simultáneamente la condición de estabilidad,
elipsoide inicial mínima, entrada acotada u =2, salida acotada
en y =0.5h2 e incertidumbre del 10% en h1 y 6% en h2.
El valor de la cota de entrada surge de la consideración de
que el máximo valor de entrada en el sistema no lineal es u=4,
por lo que la máxima variación de u sobre el sistema
linealizado solo es 2. Para la salida, como es un valor a ser
optimizado que varía durante el proceso de cálculo, se toma
como máximo valor de la altura del depósito 2, el 50% del
valor óptimo de la altura de operación h2. En la tabla II se
presentan los resultados obtenidos bajo estas condiciones.
Fig. 4. Señal de control para la respuesta de la fig. 3
Para evaluar el comportamiento del sistema, se grafica la
respuesta temporal ante una señal de perturbación tipo salto
en el flujo fd que aparece sobre el segundo depósito,
aplicada en t=300 seg. La respuesta temporal y la señal de
LÓPEZ et al.: INTEGRATED SYSTEM'S DESIGN WITH
control obtenidas se presentan en la fig. 5 y fig. 6
respectivamente.
181
El sistema no lineal a lazo cerrado se simula ante cambios
en la señal de referencia tipo salto. La respuesta temporal se
presenta en la fig. 7. La señal de control u asociada a dicha
respuesta se muestra en la fig. 8.
Fig.5. Respuesta del sistema no lineal ante una perturbación en el segundo
deposito
Fig. 7. Respuesta del sistema a lazo cerrado ante un cambio en la señal de
referencia tipo salto
Fig. 6. Señal de control para la respuesta de la fig. 5
B. Diseño con ubicación de polos, rechazo a perturbaciones
e incertidumbre
En este caso se imponen para el problema lineal que los
polos del sistema a lazo cerrado se encuentren a la izquierda
del eje imaginario desplazado D0 = 0.03, en un cono centrado
en el origen con un ángulo T=S/4 y se garantice un rechazo a
perturbación
medido
por
la
norma
Hf<Jd=0.8.
Adicionalmente se imponen la condición de elipsoide mínima,
entrada acotada u =2 y salida acotada en y =0.5h2. Para la
linealización se considera incertidumbre del 10% en el valor
de h1 y del 5% en el valor de h2. Los resultados obtenidos
para este diseño se presentan en la tabla III.
Fig. 8. Señal de control para la respuesta de la fig. 7
Igual que en el primer diseño, se grafica la respuesta
temporal ante una señal de perturbación tipo salto en el flujo
fd que aparece sobre el segundo deposito, aplicada en t=200
seg. La respuesta temporal y la señal de control obtenidas se
presentan en la fig. 9 y fig. 10 respectivamente.
TABLA III
RESULTADOS DE LA OPTIMIZACIÓN CON UBICACIÓN DE POLOS, RECHAZO A
PERTURBACIONES E INCERTIDUMBRE
Residuo R1
-0.0000000002820
Residuo R2
0.000000002671
Altura h1
2.6218
Altura h2
1.3730
Apertura a1
89.48%
Apertura a2
85.34%
Ganancia K1
-0.3063
Ganancia K2
-0.5079
Ganancia K3
0.0770
Fig. 9. Respuesta del sistema no lineal ante una perturbación en el segundo
deposito
182
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 2, NO. 3, SEPTEMBER 2004
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Fig. 10. Señal de control para la respuesta de la fig. 9.
[8]
IX. CONCLUSIONES
En este trabajo se presenta un enfoque al Diseño Integrado
de Sistemas, que se basa en desigualdades lineales matriciales,
para el cálculo de las restricciones dinámicas del problema.
Tal como se evidencia en los diseños mostrados, se satisfacen
no sólo condiciones mínimas de desempeño dinámico como
estabilidad, sino que se aseguran otras especificaciones tales
como ubicación de polos y rechazo de perturbaciones.
La posibilidad de acotar el valor de la entrada a la planta u
y la salida y, ha resultado ser una condición importante,
debido a que en los procesos reales estos valores tienen
saturaciones en su rango de operación que generalmente en el
diseño por realimentación de estados no son tomados en
cuenta. De esta forma los valores de las ganancias de
realimentación se ajustan a las condiciones de operación del
proceso.
Aunque las condiciones basadas en las desigualdades
lineales matriciales se cumplen estrictamente para el sistema
linealizado alrededor del punto de operación, la incorporación
de la incertidumbre sobre el modelo lineal permite calcular un
controlador que funcione mejor sobre el sistema no-lineal
cuando se opera alejado del punto de operación señalado. Es
posible igualmente considerar incertidumbre en cualquier
parámetro de la planta, lo que en los sistemas reales son
condiciones que aparecen con bastante frecuencia.
El diseño tal como ha sido planteado en este trabajo se
resuelve con funciones de optimización no lineales estándar y
de programación semidefinida. La solución del problema de
optimización, depende fuertemente del punto inicial que se
escoja y por ello es fundamental la escogencia de un punto
inicial adecuado en el problema de optimización no lineal.
Para el ejemplo presentado en este trabajo los tiempos
promedio de cálculo fueron del orden de pocos minutos.
El problema puede extenderse con otras combinaciones de
las condiciones tipo LMI, como por ejemplo condiciones de
rechazo de la perturbación con otras normas, y con otros
esquemas de control. También es posible tomar en cuenta las
condiciones mostradas en este trabajo, pero para sistemas
discretos.
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