1 Deformación en vigas - U

001
DEFORMACION EN VIGAS
Verónica Veas B. – Gabriela Muñoz S.
LINEA ELASTICA
VIGA SIN CARGA
VIGA CON CARGA
LEY DE HOOKE
E = Elasticidad (kg/cm2)
τ = Tensión (kg/cm2)
ε = Deformación Unitaria
τ
E= τ
ε
ε
1
τ=E*ε
DEDUCCION FORMULA DE FLEXION
τ= M
W
W= I
V
2
τ = MV
I
τ = Tensión (kg/cm2)
M = Momento flector (kgcm)
V = Distancia desde la fibra neutra a la
I
Igualando expresiones
1
y
fibra más traccionada
comprimida (cm)
= Inercia (cm4)
2
τ = Eεε = MV ó ε = MV
I
EI
3
o
más
ANALISIS DE LA SECCION
Por relación de triángulos
semejantes
0 n n’ y
4
n’ t’ t’’
∆ds = V = ε
ds
R
ds = dφ
φ*R
/:R :ds
1 = dφ
φ
R ds
Igualando
3
y
4
ε = V = MV
R EI
1=M
R EI
1 = M = dφ
φ
R EI ds
dφ
φ = M*ds
EI
/:V
Si ds ≈ dx
La curvatura de la línea elástica es
una variable proporcional al
momento flector.
dφ
φ = Mdx
EI
METODOS DE CALCULO
- Método de área de momentos.
- Método de doble integración.
- Método de la viga conjugada.
Se busca determinar el ángulo de curvatura de la línea
elástica y sus deflecciones o flechas.
Cada método tiene ventajas y desventajas dependiendo de la
viga a analizar.
METODO DE AREA DE MOMENTOS
Estableciendo relaciones entre ángulos
dφ
φ = Mdx
EI
1º TEOREMA DE MOHR
El ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos
cualquiera A y B, es igual al área de momento flector entre esos dos
puntos, dividido por EI.
φ AB =
φ AB =
1
Area de Momento entre A y B
EI
B
B
∫
∫
A
A
1
1
dφ =
Mdx
EI
EI
EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA
UNIFORMEMENTE REPARTIDA
Ra = Rb = ql
2
Mx = qLx - qx
2
2
2
APLICANDO EL 1º TEOREMA DE MOHR
φ AB = φ A
L/ 2
φ AB
1
=
EI
0
L/ 2
1
φ AB =
EI
1
φ AB =
EI
φ
AB
=
φA
0
∫
∫
Mdx
 qLx qx2 

 dx
−
 2
2 


L/ 2
 qLx2
qx3 
−


4
6


0
qL3
qL3
−
16EI
48 EI
qL3
= −
24EI
Si se conoce el área de momento...
φ AB = φ A =
1
Área entre A y B
EI
φ A = 1 2 L qL 2
EI 3 2 8
φA
qL3
=
24EI
EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA
PUNTUAL APLICADA EN L/2
Ra = Rb = P
2
Mx = Px
2
APLICANDO EL 1º TEOREMA DE MOHR
Si se conoce el área de momento...
φ AB = φ A =
φ
A
1
Área entre A y B
EI
= 1 PL L 1
EI 4 2 2
φ
A
=
PL2
16 EI
2º TEOREMA DE MOHR
dt = x*dφ
φ
La distancia desde un punto B de la elástica de una viga, medida
perpendicularmente a la posición original hasta la tangente trazada
por otro punto A de la elástica, es igual al momento del área de
momento flector entre los dos puntos, respecto a la ordenada que
pasa por B, dividido por EI. Esta distancia la denominaremos
desviación tangencial.
tBA
A
A
∫
∫
B
B
1
1
=
dt =
x.dφ
EI
EI
A
tBA
1
=
x.M.dx
EI
∫
B
tBA
1
= Area.AB.x
EI
EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA
UNIFORMEMENTE REPARTIDA
Ra = Rb = ql
2
Mx = qLx - qx
2
2
2
APLICANDO EL 2º TEOREMA DE MOHR
B
1
t AB =
M.x.dx
EIA
∫
L/ 2
1
Ymáx =
EI
0
L/ 2
Ymáx
1
=
EI
0
∫
 qLx qx2 

.x.dx
−
 2
2 


∫
 qLx2
qx3 

−
.dx
 2
2 


L/ 2
Ymáx
Ymáx
1
=
EI
 qLx3
qx4 
−


6
8

0 
qL4
qL4
=
−
48 EI
128EI
Ymáx
5qL4
=
384 EI
Si se conoce el área de momento y el centroide...
t AB =
1
ÁreaAB . xA
EI
t AB = 1 2 L qL 25 L
EI 3 2 8 8 2
Ymáx
5qL4
=
384 EI
EJEMPLO: VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA
PUNTUAL APLICADA EN L/2
Ra = Rb = P
2
Mx = Px
2
APLICANDO EL 2º TEOREMA DE MOHR
Si se conoce el área de momento y el centroide...
t AB =
1
ÁreaAB . xA
EI
t AB == 1 PL L 1 2 L
EI 4 2 2 3 2
Ymáx =
PL3
48 EI