Resolucion de Circuitos con varias mallas

h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
JJJirurJur: tióJJ
Hasta ahora hemos estudiado métod().~ de resolución de circuitos eléctricos en los que
únicamente existía una red de resistencias. En multitud de aplicaciones nos podemos
encontrar con redes complejas, donde se interconectan resistencias con generadores. En
estos casos, para llegar a la solución deseada, es necesario emplear métodos de resolu- ción específicos, como pueden ser: las leyes de Kirchhoj], transformaciones de un circuito triángulo a estrella y viceversa, teorema de superposición y teorema de Thevenin.
J!!. Leyes de KirchhofI
~
Resolución de circuitos mediante tramjormaciones de triángulo estrella y viceversa.
~ Teorema de superposición.
.. Teorema de Thevenin.
... Realizar los cálculos precisos para resolver un circui/(l eléctrico con varias cargas o varios generadores conectados entre sí.
;
.. Emplear el método más idóneo para la resolución de un circuito de e.e.
... Aplicar las leyes de Kirchho.flpara la resolución de circuitos con varias mallas
en e.e.
... Utilizar las transformaciones de triángulo a estrella y viceversa para la obtención de la resistencia equivalente de un circuito complejo.
.. Resolver circuitos aplicando los teoremas de superposicíón y Thevenin.
.d o
m
Resolución
w
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
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XC
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O
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F-
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PD
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PD
F-
c u -tr a c k
.c
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e
w
N
y
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lic
c u -tr a c k
Estas leyes se utilizan para resolver circuitos eléctricos
complejos en los cuales existen varios generadores y receptores interconectados.
En el siguiente ejemplo se muestra un circuito de este tipo:
En el circuito de la Figura 4.1 se han conectado en paralelo
. dos baterías de acumuladores que suministran energía a una
. lámpara de 10 ohmios. La batería nOI produce una f.e.m. El =
12 V con una resistencia interna r 1 = 0,2 Q. En la batería n02, E2
"" 11 V, r2 = O, l Q. Calcular la tensión que aparece en bOl11es de
la lámpara, así como la intensidad y potencia de la misma. ¿Qué
corriente cede cada una de las baterías? Este problema se puede
solucionar aplicando adecuadamente las leyes de Kirchhoff.
b
h
C
c
0,2Q
al
~a¡
n
~
'"
.~
RL
O>
12 V
';:j
c u -tr a c k
tanto las f.e.m. como las caídas de tensión son al fin y al cabo
diferencias de potencial, también se podría enunciar esta ley
así:
4.1. Leyes de Kirchhoff
A
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
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PD
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XC
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PD
F-
a¡
l~n
1
B
Figura 4.1.
A lo largo de todo camino cerrado o malla, correspondiente a un circuito eléctrico, fa suma algebraica de lodos fas
diferencias de potencial es igual a cero.
La única dificultad que encontramos para aplicar de esta
última manera la 2." ley de Kirchhoff es determinar qué diferencias de potencial son positivas respecto a las otras y así
conseguir igualarlas a cero.
Una malla es todo camino cerrado de un circuito eléctrico.
En nuestro ejemplo se pueden apreciar claramente la malla
M I Y la malla M 2 . Las hemos representado en el circuito
mediante una flecha curvada que nos indica el recorrido de las
mismas (Figura 4.4). La malla M I se cierra por la batería de
12 V junto con su resistencia interna de 0,2 ohmios, continúa
por la resistencia interna de O, l ohmios de la segunda batería
para acabar cerrando el circuito por la batería de [] V. La
malla M 2 lo hace por la batería de l] V Y su correspondiente
resistencia interna de 0, l ohmios y se cierra por la resistencia
de 10 ohmios de la lámpara.
Antes dc aplicar esta segunda ley, conviene establecer una
regla de signos que nos indique las polaridades correctas de cada
una de las diferencias de potencial que aparecen en cada malla.
Marcamos con una flecha la f.e.m. del generador (la punta
de la flecha siempre nos indica el potencial positivo). La
intensidad que parte del generador la indicamos con una flecha (sentido convencional de la corriente) del mismo sentido
que la f.e.m. (Figura 4.3).
1.a ley de Kirchhoff
r
-~+
En cierto modo, esta ley ya la hemos estado aplicando para
la resolución de los circuitos en paralelo. Dice así:
r-------tlll---I_,
1I
En todo circuito eléctrico. la suma de las corrientes que se
dirigen hacia un nudo es igual a la suma de las intensidades
que se alejan de él.
9
Un nudo es cualquier punto de un circuito donde se conectan más de dos conductores. En el ejemplo mostrado en la
Figura 4.1 existe el nudo A y el nudo B.
R
....
~
V =R·]
En el nudo A se cumplirá que (Figura 4.2):
J 3 = JI
+ 12
Figura 4.3. Polaridad de las diferencias de potencial en una malla.
Figura 4.2. Nudo.
2.a ley de Kirchhoff
Esta otra ley también es conocida por todos nosotros, ya
que la hemos aplicado en la resolución de circuitos en serie.
En un circuito cerrado la suma algebraica de las fuerzas
electromotrices de los generadores es igual a la suma algebraica de las caídas de tensión en los receptores. Dado que
Marcamos con otra flecha la caída de tensión en el receptor (V = R 1); para que el terminal posit.ivo de esta caída de
tensión quede situado en la punta de la flecha, su sentido será
siempre contrario al de la intensidad que recorre el mismo.
Si ahora aplicamos la 2: ley de Kirchhoff a la malla forIllada, según el sentido marcado en la Figura 4.3, tendremos
que: la fuerza electromotriz E se manifiesta en el mismo sentido que la malla M, luego será positiva; la caída de tensión
RJ se manifiesta en sent.ido contrario al de la malla, luego será
negativa. De esta forma tendremos la siguiente ecuación:
E - R[
=
Oecuación que nos indica que efectivamente E = RI
¿Cómo se aplican las leyes de Kirchhoffpara la resolución
de circuitos?
© tTES-PARANINFO
.c
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e
w
N
y
bu
to
b) La aplicación de la segunda ley requiere fijar previamente, y de forma arbitraria, un sentido para recorrer
cada una de las mallas. Las fe.m. y las caídas de tensión se consideran positivas si la flecha que indica su
sentido coincide con el marcado por nosotros en la
malla, y negativa en el caso contrario.
+ 12
(3)
11 - 0,1 12
(3)
II - 101] - 10,1 12 =
(2)
1-0,21[ +0,1 [2""0
10
-
(11
) =
°
w
simplificando:
.d o
y con la ecuación nO 2:
Al multiplicar la ecuación (2) por 101 y sumar este resultado a la ecuación (3) se elimina 12 :
°°
11 - 10 [1 - 10, I 12 =
101 -20,21 1 +10,1 12 ""
(3)
(2)
112 -30,21 1 ~
°
112
de donde 11 = - - = 3,71 A
30,2
Se sustituye este resultado en la ecuación (2) y se tiene,
c) Se aplicará la 1." ley a todos los nudos del circuito
excepto a uno (esto se hace para no escribir ecuaciones
repetidas).
d) Se apl ica la 2." ley a tantas mallas o circuitos cerrados
como sea necesario para disponer de un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas,
Resolveremos ahora el ejemplo presentado al inicio en la
Figura 4.1.
En un principio, se ha supuesto que las intensidades I 1 e
12 parten de los generadores hacia la lámpara (según el sentido convencional) donde se juntan y forman 13' Los términos 0,21 1 YO, I 12 corresponden a las caídas de tensión de los
respectivos generadores (v ~ r¡ 1). El término 10 13 corresponde a la tensión en bornes de la lámpara (V L ~ R' 1)
(Figura 4.4).
1 -0,2(3,71)+0,11 2 =0
0,2(3,71) - I
1] =
- 2,58 A yen la ecuación (1) obtenemos:
0,1
13 = 3,71 - 2,58
~
1,13 A
Que la corriente lo haya salido negativa nos indica que la
batería de acumuladores n,o 2 no está aportando energía a la
lámpara. Por el contrario, está tomando 2,58 A de la batería
n." l. En este caso, esta corriente sirve para cargar los acumuladores de la n.o 2.
La batería n." 1 aporta 1,13 A a la lámpara y 2,58 A a la
batería n." 2, que se comporta como si fuese un receptor
(recuerda que cuando la corriente queda en sentido contrario
al de la tensión se trata de un receptor).
La tensión en bornes de la lámpara y su potencia es:
VAl! = RL 13 = ]O . 1,13
h
A
,
,~,~----.
~O'2[, 3 ~O'I 1,3
~ 12 V
~ 11 V
pI
~IOh
B
Nudo A (1) 11 + 12
=
V AH 13 = 11,3 . 1, 13
= 12 V
13
.Htt';\'} ¿:J~::'\:,'::~!~~
-
12,8 W
Se conectan en serie tres baterías de aéumuladores,
tal como se muestra en el circuito de la Figura 4.5, para"
alímentar un horno de 5 ohmios de resistencia. Deter~
m~1ar la tensión en bornes del horno, así como su tensión y potencia.
El = 10 V
Malla M 2 (3) 11 - O, I 12
~
Ejemplo 4.1
Figura 4.4.
Malla M) (2) 12-0,21)+0;11 2 -11=0
f,=0,10
E~
f2=0,20
El
= 13 V
~[,
f3=
10 13 ~ O
Al recorrer la malla M l' la caída de tensión 0,2 11 Y los 1I
V del generador n." 2 quedan en sentido contrario a los 12 V
del generador n,o 1 y a la caída de tensión O, I 12 ,
Al recorrer la malla Mo, la caída de tensión 0,1 lo Y la tensión en bornes de la lámp-ara 10 13 quedan en sentido contrario a los II V del generador n.o 2.
Ahora sólo nos queda resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (11' 12 e 1] ). Para ello, nos valemos de
cualquiera de los métodos conocidos: reducción, sustitución e
igualación. En nuestro caso sustituiremos los términos de la
ecuación (1) en la ecuación (3). De esta forma eliminamos
una ecuación y una incógnita:
© tTES-PARANINFO
~
= 1l,3 V
R=50
Figura 4.5.
Solución:
Primero marcamos el sentido de la corriente eléctrica y
el de las diferentes d.d.p. del circuito (Figura. 4.6). Como'
no hay más que una malla, la ecuación se compone aplicando la 2." ley de Kirchhoff:
m
°
o
.c
a) Se fija provisionalmente el sentido de las intensidades
de corriente por el circuito (una vez resuelto el sistema
de ecuaciones planteado, conoceremos el verdadero
sentido de las mismas), partiendo del principio de que
los generadores proporcionan corriente por su terminal
positivo (sentido de corriente convencional).
lic
k
c u -tr a c k
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
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k
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PD
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y
o
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.c
ID
O, I I
12
0,2 I
13
0,31
....--....~~~~~
~~~
9
'
....--....
SI
.d o
Para averiguar el valor de las corrientes de malla planteamos
la segunda ley de Kirchhoff en ambas mallas, aplicando los
mismos criterios de signos que en otras ocasiones (Figura 4.8).
A
h
.--------'4~...----:/.
~
m
c u -tr a c k
----,
~O'21 0[(jlOJI~
)12V
o
w
w
w
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C
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k
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y
bu
to
k
lic
C
w
w
~ 10 I
)IIV...:--J
U
Figura 4.6.
°
=°
B
Figura 4.8.
10 - 0,1 1 + 12 - 0,2 1 + 13 - 0,3 1 - 5 1 =
Agrupando términos
°
(l + 12 + 13 ) - 1 (0,1 + 0,2 + 0,3 + 5)
Y despejando, tenemos que: 1 =
"
1:
Potencia del horno: P = V 1 = 31,25 . 6,25
I¡'
=
19§ W
q:
1
!::1
Con estas dos ecuaciones ya podemos averiguar los valores
de [' e 1" (obsérvese que aplicando las ecuaciones de Maxwell
para resolver este circuito estamos necesitando una ecuación
menos que si hubiésemos aplicado las dos leyes de Kirchhofl):
Simplificando y ordenando tenemos que:
¡ji
4.2. Ecuaciones de las mallas o
r!
Ii,¡
1"
(1) Ecuación para la corriente de malla r:
12 - 0,2 r - 0,1 [' +0,1 1" - 11 = O
(2) Ecuación para la corriente de malla 1":
11-0,11"+0,11' -101"=0
35
5:6
= 6,25 A
Tensión en bornes del horno: V = R 1= 5 . 6,25 = 31~25 V
!,
I
¡
,i
de Maxwell
Se supone que las diferentes mallas del circuito son recorridas por lo que se conoce como corrientes de mallas. El
número de ecuaciones necesarias para resolver el circuito será
igual al número de incógnitas planteadas, que en este caso
coincidirá con las corrientes de malla. Para entender esto
mejor vamos a resolver el siguiente ejemplo:
i
"
;I
Se trata de averiguar las corrientes que fluyen por cada una
de las ramas del circuito de la Figura 4.7
1,
A
i:l'
J
¡i
!
°
°
(1)
1-0,3 l' + 0,11" =
(2)
11 + 0,1 l' - 10,1 1" =
Al multiplicar la ecuación (2) por 3 y sumar este resultado
a la ecuación (1) se elimina 1':
Con la idea de simplificar el número de ecuaciones que se
plantean en la resolución de un circuito, Maxwell desarrolló
el siguiente sistema que parte de la segunda ley de Kirchhoff:
i
w
N
O
W
!
h a n g e Vi
e
N
PD
!
XC
er
O
W
F-
w
m
h a n g e Vi
e
w
PD
XC
er
F-
h
(1)
(2)
l -0,3], + 0,1 1" = O
33 + 0,3 r - 30,3 1" = O
34-30,21"=0
de donde: 1"
34
= ~~=
1,13 A
30,2
Sustituimos este resultado en la ecuaCÍón (1):
1 - 0,3
r + 0,1
l - 0,3
r + 0,113 = O
(1,13) = O
1'=
1 + 0,113
=3,71A
0,3
Una vez que ya conocemos las corrientes de malla, ya
podemos calcular las corrientes de rama 1i' 12 e 13 •
0'20.3
Para 1a corriente de rama 11 observamos en el circuito de la
Figura 4.8 que esta corriente es igual a la de malla r:
r
12 V
II
= l' = 3,71
A
Lo mismo ocurre para la corriente de rama 13 que es igual
a la de malla 1";
B
Figura 4.7.
Observa como ahora aparecen en las mallas 1 y 2 las
corrientes de malla r el", respectivamente. La corriente r
fluye a través de El' rl' r2 Y E2 • Por otro lado, la corriente 1"
lo hace por r2 ' E2 Y R u
13 =1"=I,13A
Si observas atentamente el circuito de la Figura 4.8 podrás
apreciar que la corriente 12 es ia diferencia de las corrientes de
ambas mallas que comparte (f" - l' ) ( la que va a en el mismo
sentido menos la que va en contra):
12 = 1" - l' = 1,13 - 3,71 = -2,58 A
© ITES-PARANlNFO
.c
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e
O
W
N
A
Se conectan en paralelo tres generadores de 24 V de
resistencia interna 0,1 n, 0,2 n y 0,3 n respectivamente.
Determinar la corriente que suministra cada generador a
una carga de 10 n, así como la tensión y la potencia a la
que trabaja la misma.
El circuito que corresponde al planteamiento de este
ejemplo es el de la Figura 4.9 y las ecuaciones correspondientes son las que se indican a continuación:
h
C-t---1----tB
11
1\
1,1
D
Figura 4.10.
\0 Q
Observa como las resistencias RI' R2 YR3 forman un triángulo (Figura 4.11).
A
B
¡:igura4.9.
(1)24-0,11'-0,21'+ 0,21"-24=0
(2) 24 - 0,21" + 0,2
r- 0,31"
+ 0,3
(3) 24·0,31'''+ 0,31" - 10 1'"
=
r"· 24 =
°
°
Al resolver este sistema de tres ecuaciones y teniendo
en cuenta que:
11 =1'
12 = In- r
13 =
[4
r" -1"
Figura 4.11. Transformación de triángulo a estrella.
= I'''
hemos obtenido los siguientes resultados:
1I = 1,29 A; 12
= 0,65 A;
13 = 0,43 A; 14 = 2,37 A
Siguiendo los mismos PIlsOS que en los ejercicios anteriores obtenemos la tensión y potencia en la resistencia de
carga.
Aplicando las leyes de Kirchhoff se pueden obtener las
resistencias equivalentes de un circuito equivalente en forma
de estrella. Las ecuaciones que corresponden a estas relacio·
nes son:
(V AD = 23,7 V; P = 56,2 W)
4.3. Resolución de circuitos
mediante transformaciones
_ ._, ~~ .!~~~ngulo a estrella.
En el circuito de la Figura 4. lOse pide encontrar la resistencia equivalente. Como podrás comprobar, no existe ninguna
resistencia que esté conectada en serie ni en paralelo con otra.
©
ITES,PARANINFO
o
m
o
.
o c u -tr a c k
Una forma de resolver este ejercicio sería aplicar las leyes . dde
Kirchhoff. Sin embargo, resulta más sencillo aplicar el método
de transformar resistencias conectadas en triángulo a estrella.
Ejemplo 4.2
Solución:
m
C
lic
k
to
bu
y
N
y
bu
to
k
C
lic
.c
Podrás comprobar que hemos obtenido el mismo resultado
al resolver este circuito mediante la aplicación de las dos teyes
de Kirchhoffy la aplicación de las ecuaciones de Maxwell.
c u -tr a c k
w
w
w
.d o
w
w
w
w
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
El valor óhmico de las resistencias equivalentes en estrella es
igual al producto de las dos resistencias adyacentes del triángulo, dividido en/re la suma de las tres resistencias del triángulo
Aplicando estas ecuaciones al circuito de nuestro ejemplo
tendremos que:
c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
10·30
Ro""
10+20+30
=50
Rb ""
10·20
----
10+ 20 + 30
20·30
Rc = - - - - 10 + 20 + 30
= 3,33 O
100
Sustituyendo el circuito triángulo por el de estrella nos
queda el circuito equivalente de la Figura 4.12.
A
.d o
4.4. Resolución de circuitos
mediante transformaciones
d~ . e~t~~lla~ .~ri~~g~lo .
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
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XC
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O
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F-
w
PD
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XC
er
PD
F-
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Existcn ciertos circuitos donde es más interesante transformar una conexión de tres resistencias en estrella a triángulo.
En estos casos las ecuaciones que se corresponden a esta transformación son (as que se exponen a continuación (Figura 4.14).
A
B
e
D
Figura 4.14. Transformación de estrella a triángulo.
Figura 4.12.
Para determinar la resistencia total de este circuito, vamos
reduciendo las resistencias, tal como ya hicimos en los circuitos mixtos (véase Figuras 4.13).
[R ~-R'¡~R);~~r~= WW~3RI
"
R3
--.~-~~
A
A
Ro
RI
b
--_._~_._-
A
R"
5.0
50
Rr
30,2 Q
El valor de las resistencias del triángulo es igual a la suma
de las resistencias de la estrella multiplicadas de dos en dos
y divididos entre la resistencia que se encuentra en el lado
opuesto de la estrella.
Ejemplo 4.3
Determinar la resistencia equivalente del circuito de la
Figura 4.15.
D
D
D
(a)
(b)
(e)
A
Rs
Figura 4.13.
R4b = 3,33 + 40
RSc
=
10 + 50
=
=
140.
43,33 O
B
43,33' 60
3,33 + 60
"l----+---~7'T"C1_---+c
20.
40
60 O
25,20
La resistencia equivalente será: RT := 5
70.
Figura 4.15.
+ 25,2 := 30,2 (}
© tTES-PARANINFO
.c
y
o
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.c
Se observa claramente que existe una estrella formada
por las resistencias R p R2 Y R3 , que si transformamos a
triángulo obtenemos un circuito equivalente más sencillo,
como el que se muestra en la Figura 4.16.
.d o
m
o
w
w
w
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A
Ra
28 O
A
B
Ro
140
Figura 4.19.
A
Figura 4.16.
.Las resistencias equivalentes del triángulo se obtienen
aplicando las relaciones indicadas:
8·4+4·2+2·8
Ra =
2
8·4+4·2+2·8
Re =
4
8·4+4·2+2·8
Rb =
8
B
Figura 4.20.
=28 O
= 140
70
Si ordenamos un poco el circuito equivalente de la
Figura 4.16 se obtiene el circuito de la Figura 4.17, que ya
puedes resolver como si se tratase de un sencillo circuito
mixto.
A
Rs
14 O
Mediante este teorema se pueden resolver circuitos similares a los que se resuelven mediante las leyes de Kirchhoff.
Este teorema nos dice que en un circuito formado por varias
fuentes de tensión o de corriente, la tensión o la corriente que
se presenta en cualquier componente de dicho circuito es la
suma de los efectos producidos por cada una de las fuentes
trabajando independientemente. Para poder aplicar este teorema, las magnitudes eléctricas deben ser lineales (la corriente
debe ser proporcional a la tensión), así como tener en cuenta
la polaridad de las mismas.
!
$..
e
'hNota:Seentiende por fuente ideal de tensión aquella
qué produce una tensión de salida estable y que no varía
con la Tesistencia de carga (la resistencia interna de una
fuente ideal de tensión es cero). Por otro lado, una fuente
idea/de corriente proporciona al circuito una corriente
estqble.queno se modifica para diferentes valores de la
creStsiencia de carga (la resistencia interna de una fuente
idéa/de corriente es muy elevada).
e
B
Figura 4.17.
En las Figuras 4.18, 4.19 Y4.20 se dibujan los circuitos
equivalentes hasta encontrar la resistencia total.
El proceso de resolución de circuitos mediante el teorema
de superposición suele ser el siguiente:
A
l." Se selecciona una de las fuentes del circuito· para que
actúe por separado del resto.
R.
70
28n
2,"
3,5 n
L.---4------1~~l------lC
B
Figura 4.18.
© ¡TES,PARANINFO
Para eliminar el resto de las fuentes se procede de esta
forma: si es una fuente de tensión se sustituye cortocircuitándola; si es una fuente de corriente se sustituye por
un circuito abierto.
3." Se calculan las corrientes de los circuitos correspondientes a cada fuente por separado, para posteriormente sumarlas y obtener el resultado buscado.
.c
h a n g e Vi
e
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lic
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Ejemplo 4.4
Detenninar las corrientes proporcionadas por cada uno
de los generadores del circuito de la Figura 4.21, así como
.la corriente que fluye por la carga de 10 n.
+
R(EI) = R,
1'(El)
R] R2
R] + R2
E,
=
= 1,91
= ......
.d o
.Q
= ...... = 6,28 A
R(El}
A
h
Para calcular las corrientes por las resistencias R2 y R]
será necesario conocer previamente la tensión V A'Il' a la
que están sometidas éstas:
VA'B'
=
R] R2
VA'B'
12(EI)=R
II(EI)
R] + R2
= ....
=5,71 A,
= .......
=
5,71 V
VA'B'
1](EI)
= - - = .... = 0,57 A
R]
2
Ahora repetimos el mismo proceso para aislar la fuente E2 . En la Figura 4.24 cortocircuitamos la fuente El y en
la Figura 4.25 encontramos su correspondiente circuito
equivalente.
B
Figura 4.21 •
.
..Solución:
Primero aislamos del circuito la fuente de tensión ~.
Para hacerlo cortocircuitamos la fuente E2, tal como se
muestra en la Figura 4.22. Las corrientes que aparecen por
este circuito equivalente, correspondientes a la fuente El'
las identificamos con el subíndice El (II(EI)' 12(El)' I3(EI))'
A"
II(EÚ
b(E2)
h(EÚ
Rl
R]
IOn
ln
IOV
El
B"
Figura ·1,24.
h(El)
...
Figura 4.22.
El -'- 10 V
...
R(El)
Seguidamente se reducen las resistencias conectadas en
serie'yparalelo, como si se tratase de un circuito mixto,
hasta encontrar un circuito equivalente, como el de la
Figura 4.23, con una sola resistencia R(El) y una fUente de
tensión El'
Figura 4.25.
Los procesos para determinar las corrientes del circuito con la fuente El son similares a los empleados anteriormente:
R(E¡)
R(E2)=Rl
12(E2) =
+
R] R[
R 3 + R¡
E2
--
= ...... =1,91º
= ...... = 5,24 A
R(E2)
V A"B" =
Figura 4.23.
R3 RI
R 3 + R¡
I2(E2) = ...... '
= 4,76 V
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o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
l'(E2) =
VA"B"
-R-
= .... =
4,76 A,
13(E2)
=
,
V A"B"
R
= ....
= 0,48 A
3
Por último, superponemos los efectos producidos aisladamente por cada una de ellas, para lo que sumamos las
corrientes obtenidas con cada una de (as fuentes, teniendo
en cuenta los sentidos de las corrientes obtenidas en cada
uno de los circuitos correspondientes (véase Figuras 4.22
a 4.25)
1, =
I'(E') -
I1(E2) = 6,28 - 4,76
[2 =
12(E2) - I2(El) = 5,24 - 5,71
= 1,52 A
= -
0,47 A
.d o
Una vez encontrado el circuito equivalente de Thevenin,
bien fácil nos será calcular la corriente para cualquier valor de
la carga RL .
A la tensión que aparece cuando se desconecta la resistencia de carga se le conoce por el nombre de tensión de Thevenin (VTI,)' La resistencia que queda conectada en serie con la
fuente de tensión del circuito equivalente es la resistencia de
Thevenin (RTI.J, y es la que corresponde a los terminales A 8
de la carga cuando se han cortocircuitado todas las fuentes de
tensión del circuito.
Ejemplo 4.5
13 = 13(E') + 13(E2) = 0,57 + 0,48 = 1,05 A
El signo negativo de la corriente 17 nos indica que el
generador, en vez de aportar corriente a ~Ia carga, la absorbe.
La Figura 4.28 nos muestra el circuito equivalente de
tilla fuente de alimentación, se trata de' determinar' la
corriente y la tensión para los valores siguientes de la
resistencia de carga R L: a) RL = lO n, b) R L ~ 20 n.
A
20
4.6. Teorema de Thevenin
Mediante este teorema es posible reducir una red compleja
con varias cargas interconectadas entre si y encontrar un circuito equivalente sencillo en el que solamente aparezca llna
fuente de tensión ideal con llna resistencia en serie.
Supongamos que tenemos que calcular la corriente para
diferentes valores óhmicos de la carga RL conectada entre los
extremos A y 8 de un circuito como el de la Figura 4.26.
v
SV
B
Figura 4.28.
Solución:
Lo primero que haremos será encontrar el circuito equivalente de Thevenin entre los extremos de·la carga RL'
Para ello, primero cortocircuitamos la fuente de tensión de
5 V, según se muestra en el circuito de la Figura 4.29. Con
este circuito bien fácil es calcular la resistencia de Thevenin, que se corresponderá con la que aparece·entre 'los terminales A 8.
v
B
A
Figura 4.26.
20
Con Jos métodos conocidos hasta ahora, habría que reducir el circuito hasta encontrar uno equivalente con una sola
resistencia para cada uno de los valores de la carga R L .
Mediante el teorema de Thevenin basta con encontrar una
sola vez un circuito que contenga una fuente de tensión
ideal V rh en serie con una resistencia RTh , y con los terminales abiertos en la conexión con la carga RL (puntos A B
de la Figura 4.27).
Rz
lOO o
B
Figura 4.29.
Como las resistencias R, y R 2 están conectadas en
paralelo:
. Rn =
R, R2
R, +R2
= ....... =
1,96 Q
Para encontrar la tensión de Thevenin tendremos que
recurrir al circuito equivalente de la Figura 4.30, donde la
tensión V Th a circuito abierto se corresponderá con la que
aparece en los terminales A 8.
Figura 4.27. Circuito equivalente de Thevenin.
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C
m
w
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w
w
w
w
C
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N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
y
o
c u -tr a c k
.c
4,9
- - - =0,41 A
1,96 + 10
A
RTh
l---f~}---_O
V L1
= lLl
R LI
= 0,41',
10
= 4, l
V
Al conectar la carga de 20 Q tendremos que (véase
Figura 4.33):
VThT_ _
h.z
o
RTh
A
B
1,96.0.
Figura 4.30.
Ru
Volviendo al circuito original de la Figura 4.28, si eliminamos la resistencia de carga obtenemos el circuito de la
Figura 4.31. Aquí se puede comprobar cómo la tensión de
Thevenin buscada es la que aparece en la resistencia R2 .
o
RL
Figura 4.33.
A
Iu
Rz
100D.
=
2011
B
2.0.
5V
VL.Z
4,9V
VTl>
=
V L2
VTh
= ... = 0,22 A
RTh + Ru
= lL2 R u = ...
= 4,46
V
B
Figura 4.31.
Primero calculamos la corriente por R 2:
V
", R 1 + R2
1 ==
V Th ~ V AB
5
2 + lOO
= 0,049 A
o
= R2 1 = 100 . 0,049 = 4,9 V
Una vez obtenido el circuito equivalente de Thevenin
(véase Figura 4.30) ya podemos calcular la corriente y tensión para las diferentes cargas conectadas entre los termi. nalesAy B.
Al aplicar la carga de 10 Q entre los puntos A y B, tal
, como se muestra en la Figura 4.32, la corriente y la tensión"que aparecerá en la misma es:
En estas direcciones encontrarás apuntes sobre resolución
de circuitos.
http://www.cienciasmisticas.com.ar/e lectronica/teorialeq u
ivalentes/index.html
http://wwwl.ceit.es/asignaturaslfisica-l/teoria/3/
O Podrás encontrar más direcciones ordenadas por temas en
el Anexo I de este texto.
o
ILl
RTh
A
:'~::',~~~~~';,\r~
1,96D.
VTh
t
1
VLlI
4,9V
II
Ru
10.0.
I
B
Figura 4.32.
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N
O
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PD
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XC
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m
h a n g e Vi
e
w
PD
XC
er
F-
c u -tr a c k
.c
y
o
c u -tr a c k
.c
4.1 Monta un circuito donde aparezcan dos generadores y
varias resistencias interconectadas. Calcula de forma
teórica las diferentes tensiones y corrientes del circuito, para luego comprobarlo mediante un voltímetro y
un amperímetro de una forma práctica en el circuito
montado.
Como en otras ocasiones, al finalizar cada una de
estas actividades deberás elaborar un informe-memo.
ria sobre la actividad desarrollada,· indicando· los'
resultados obtenidos y estructurándolos en los apartll~'
dos necesarios para una adecuada documentación
las mismas (descripción del proceso seguido, medios
utilizados, esquemas y planos utilizados, cálculos,
medidas, etc.).
4.1 Determinar las corrientes que fluyen por el circuito
de la Figura 4.34.
4.3 Encuéntrese la resistencia equivalente del circuito
de la Figura 4.36.
de:
Ion
2n
b
6n
6n .
In
5n
6n
5V
12V
Ion
6n
Figura 4.34.
Figura 4.36.
~
<
~.
4.2 Averiguar la tensión que aparece en la carga de 8
ohmios del circuito de ia Figura 4.35.
4.4 Determinar la resistencia equivalente entt:e .lóster.
minales A y B de la Figura 4.37.
..
6n
30n
• h
, 8n
In
A
IOn
Ion
:.
10 V
20V
l.
l·
l.
I"
Figura 4,35.
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IOn
B
sn
Figura 4.37.
.. 30a
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PD
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XC
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O
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F-
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m
h a n g e Vi
e
w
PD
XC
er
F-
c u -tr a c k
.c
y
o
c u -tr a c k
.c
.d o
4.5 Determinar la intensidad de corriente y la tensión a
la que quedará sometida cada una de las resistencias
de carga: RLl = 100 n, R L2 = 500 n, R u = Ion y
RL4 =3 Kn, cuando se conecten independientementea los extremos de alimentación A B del circuito de la Figura 4.38.
L40V~B~90V
20n
5n
FiguraU8.
'"
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