Las fuerzas y el momento del campo electromagnético

Programa
Lección 15
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
•
•
•
•
15.1
15.2
15.3
15.4
Introducción
Las fuerzas en el campo electrostático
Las fuerzas en el campo magnetostático
El momento del campo electromagnético. Teorema de conservación
V. Muñoz Sanjosé
Electromagnetismo
Curso 2004-2005
1
Bibliografía
Lección 15
Las fuerzas y el momento del campo electromagnético
Griffiths
Jackson
Pomer
Reitz-Milford-Christy
V. Muñoz Sanjosé
Lección
Lección
Lección
Lección
Electromagnetismo
7
6
11
16
Curso 2004-2005
2
Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
Las fuerzas en el campo electrostático
r
r
F0 = qE 0 = −∇U
r
Fi = −∇ i U
Sistema aislado
Sistema no aislado
Caso de un sistema de conductores a potencial fijo
dWg = dW + dU
dW = dWg − dU
dWg = ∑ φ j dQ j
U=
1
2
∑φ Q
j
j
j
dU =
1
2
∑φ dQ
j
j
j
r
dWg = 2dU dW = dU Fi = ∇ iU
j
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
Las fuerzas en el campo electrostático
Acción sobre un dipolo en un campo exterior uniforme
rr
=
−
U
pE0
Mθ = −
(
)
r
rr
r r
F = −∇ − pE0 = ( p∇ )E0 = 0
∂
(− pE0 cosθ ) = − pE0 sin θ
∂θ
r r r
M = pxE0
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
Las fuerzas en el campo electrostático
Acción sobre un dipolo en un campo exterior no uniforme
(
)
r
rr
r r
F = −∇ − pE0 = ( p∇ )E0
r
r
F+ ≠ F−
( (
))
r
r r r
r r
M = r x ( p∇ )E0 + pxE0
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
Las fuerzas en el campo electrostático
(
(
)
r
r r
dF = E − E p dq
Fuerza sobre distribuciones de carga
)
r
r r
F = ∫ E − E p σ dS
r
σ r
Ep =
u
2ε
S
Caso de un conductor cargado con densidad superficial σ
r σ r
E= u
ε
r
r
1σ2 r
1
F =∫
u dS = ∫ σ E dS
2 ε
2S
S
Fuerza sobre una distribución volúmica de carga ρ
(
)
r
r r
dF = E − E p ρ dv
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(
)
r
r
F = ∫ E − (→ 0) ρ dv
V
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
Las fuerzas en el campo magnetoestático
Fuerza y momento en circuitos rígidos
r r
dW = Fdr
dW = dWg − dU
dWg = 2dU
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dU =
1
∑ I j dφ j
2 j
r
Fi = ∇ iU
Electromagnetismo
dWg = ∑ I j dφ j
j
 ∂U 
Mi = 

 ∂θ i
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
Las fuerzas en el campo magnetoestático
Fuerza y momento sobre un dipolo magnético en un campo externo
r r r
M = mxB
Campo uniforme
r
F =0
Campo no uniforme
r
r r
F = (m∇ )B
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
El momento del campo electromagnético.
Teorema de conservación
r
r
r r r
dP r
r r r
r r 
r ∂D  r
= F = ∫ (E + v xB )ρ dv
ρ E + JxB = (∇D )E +  ∇xH −
 xB
dt
∂t 
V

r
r
r
r
∂ r r ∂D r r ∂B ∂D r r
xB+Dx
x B − D x ∇xE
=
( Dx B )=
∂t
∂t
∂t
∂t
(
r
r
∂D r ∂ r r r
xB =
Dx B + D x ∇xE
∂t
∂t
(
)
(
( )
(
)
)
(
)
(
r r r
r r r
r r
r
∂ r r
ρ E + JxB = ∇D E − Dx ∇xE − Bx ∇xH −
DxB
∂t
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Electromagnetismo
)
)
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
El momento del campo electromagnético.
Teorema de conservación
( )
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
∇ ED = Ex(∇x D) + Dx(∇x E ) + ( E ∇) D + ( D ∇) E =
r
r
r
r
= 2 Dx(∇x E ) + 2( E ∇) D
r
r
r
r 1 r r
− Dx (∇x E ) = ( E ∇) D − ∇( E D)
2
r
r
r
r 1 r r
− Bx (∇x H ) = ( B ∇) H − ∇( B H )
2
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
El momento del campo electromagnético.
Teorema de conservación
[( ) ( ) ] [( ) ( ) ]
(
)
( )
( )
r r r
r r
r r
r r
r r ∂ r r 1 rr 1 rr
DxB − ∇ ED − ∇ BH
ρ E + JxB = E ∇ D + E ∇ D + B ∇ H + B ∇ H −
∂t
2
2
t
1
1

 

T = Tij =  Di E j − δ ij Di E j  +  H i B j − δ ij H i B j 
2
2

 

(∇T )
t
j
( )
( )
( )
r r r
t
∂ r
ρ E + JxB = ∇T − εµ N
∂t
( ) ( )
( )
r
rr 1
rr
r
r
1
 r

=  ∇D E j + E∇ D j − ∇ j ED − ∇ j BH + ∇H B j + B∇ H j 
2
2


r
t r
dP
d r
= −εµ ∫ N dv + ∫ TdS
dt v
dt
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(dSrTt ) = ∑ dS T
j
i= x, y, z
i
ij
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Las fuerzas y el momento del campo
electromagnético
El momento del campo electromagnético.
Teorema de conservación
(
)
t r 1 ∂ r
r r r
T
d
S
−
N
dv
=
ρ
E
∫S
∫V + Jx B dv
v 2 ∂t V∫
t r
r r r
r
∫ T dS = ∫ ρ E + Jx B dv = F
(
S
)
V
r
r
t r dpr mec t r dpr
N
∂
N
r
mec
∫S T dS = dt ∫ T dS = dt + ∂t ∫ c 2 dv g = c 2
S
V
r
t 1 ∂N
d r
r
( p mec + p em ) = 0
∇T − 2
=0
dt
c ∂t
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