Función homográfica

MATEMÁTICA
4º AÑO
2011
FUNCIÓN HOMOGRÁFICA
f : f ( x) 
 Completar la tabla:
x
f ( x) 
2 x  10
x5
1
-1
0
-5
5
ax  b
cx  d
con a, b, c y d  R, c ≠ 0 y a  d  b  c ..
La ordenada en el origen es …………
En general la ordenada en el origen es ……………
Df  R  

En general para f : f ( x) 
ax  b
el dominio de la función es D f  R   d 
cx  d
 c
¿Cuál es la raíz? Esta función, ¿tendrá más raíces? Para hallar la raíz calculamos la preimagen de cero.
 Completar la tabla y observar las siguientes tablas que ya fueron completadas para graficar la
función f :
x
1
-1
0
-5
-6
6
4
10
f ( x) 
2 x  10
x5
x
5,5
5,2
5,1
5,05
5,01
f ( x) 
2 x  10
x5
x
4,5
4,8
4,9
4,95
4,99
42
102
202
402
2002
f ( x) 
2 x  10
x5
-38
-98
-198
-398
-1998
Cuando x toma valores muy próximos a 5 la gráfica de la función se acerca indefinidamente a la recta de
ecuación ……………… A esta recta la llamaremos asíntota vertical.
En general la asíntota vertical para f : f ( x) 
ax  b
tiene una ecuación que es x = ….......
cx  d
Observamos que si x toma valores muy grandes x   las imágenes se aproximan a 2.
Análogamente si x   las imágenes se aproximan a 2. Por lo tanto diremos que la recta de
ecuación y  2 es una asíntota horizontal.
En general la asíntota horizontal para f : f ( x) 
1
ax  b
tiene una ecuación que es y = ….......
cx  d
ax  b
es una hipérbola con asíntotas
cx  d
paralelas a los ejes y dicha curva tiene dos ramas simétricas con respecto al punto de intersección de las
dos asíntotas.
La gráfica de toda función racional de la forma f : f ( x) 
Ejercicios
1. Dibujar la otra rama de la hipérbola sabiendo que las gráficas corresponden a funciones
ax  b
racionales de la forma f : f ( x) 
.
cx  d
2. Indicar el valor de a, b c y d, calcular la ordenada en el origen, el dominio y la raíz de las
funciones:
2 x  12
3 x
2x  5
f : f ( x) 
g : g ( x) 
h : h( x ) 
x3
x6
x
3
4x
1
i : i ( x) 
j : j ( x) 
k : k ( x) 
8  2x
1  2x
x
3. Hallar la ecuación de la asíntota vertical y la ecuación de la asíntota horizontal de las siguientes
funciones:
f : f ( x) 
2 x  12
x 3
4. Indicar
f : f ( x) 
g : g ( x) 
2 x  12
x 3
el signo de
funciones:
3 x
x6
g : g ( x) 
3 x
x6
h : h( x) 
2x  5
x
h : h( x) 
i : i ( x) 
2x  5
x
El estudio analítico de una función racional implica estudiar:
 Dominio
 Raíz
 Ecuación de la asíntotas vertical
 Ecuación de la asíntota horizontal
 Ordenada en el origen
 Signo
5. Realizar el estudio analítico de las siguientes funciones y graficar.
2
3
8  2x
i : i ( x) 
3
8  2x
las
2x  4
x4
4
i : i ( x) 
1 x
5 x
x2
2x  6
j : j ( x) 
1 x
6  2x
x
1
k : k ( x)  
x
ax  b
6. Los siguientes bosquejos corresponden a funciones del tipo f ( x) 
cx  d
f : f ( x) 
g : g ( x) 
En cada caso determinar:
a) Dominio de f.
d) Ecuación de la asíntota horizontal y vertical.
I)
b) Raíz de f.
e) Corte con Oy.
-1 0
c) Signo de f(x).
IV )
III )
II )
1
-1 0-1 2
--2
h : h( x ) 
1
1
1
1
-1
1
1
1
-2
0
-2
0 12
-2
1
-4
7. Asociar cada una de las siguientes funciones con su gráfica.
1
x
2
j : j ( x) 
x
f : f ( x)  x  2
i : i ( x) 
 2x  1
3
x2
k : k ( x) 
x
g : g ( x) 
2
x 1
h : h( x ) 
l : l ( x)  x 2  1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
8. Se sabe que la función f : f x  
3x  
tiene raíz – 2. Calcula  .
x 1
9. Calcula  si el punto O (0,0) pertenece a la gráfica de g : g x  
10. Considera la función f : f x  
punto
 3x  
.
1  2x
3x  
, determina  , sabiendo que el gráfico de f pasa por el
x4
M (2 ,-4).
3
11. Considera la función g: g ( x) 
g es 18.
12. Dada f : f ( x) 
ax  4
determina a y d sabiendo que D(f) = R – {3} y que f (1) = 4.
xd
13. Sea la función h : hx  
h  1  4
14. Dada g : g x  
x  3a
, determina a y b sabiendo que D(f) = R-  2 y la raíz de
 2x  b
x 
, halla  y  de modo que Dh  x  R / x  2 y que
x
ax  2
, calcula a y b sabiendo que
 2x  b
ECUACIONES E INECUACIONES
15. Estudia existencia y resuelve en R las siguientes ecuaciones racionales:
28  2 x
12
a.
f. z   8  0
1
5x
z
7
x4
2
b.
g.

1  2
x3 x3
x3
2t
1
5
4  12u

7 
c.
h.
t  5 25
4u
2
4
7x
4
x6


1
d.
i.
x  3 2x  6
x  2 x 1
6
e. t  5 
t
16. Estudia existencia y resuelve en R las siguientes inecuaciones:
3t  5
2
t 1
 4 x  10
b.
< -2
2x  3
2z  1
1
c.
z 1
5
3x

>2
x 1 x 1
3u
2

e.
u4 u
a.
d.
Bibliografía:
Matemática 4º - González y Lois- Colección Cánepa
Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Tercera edición) de Swokowski y Cole.
Algebra 2 – Merrill- Ed. Glencoe
Matemática 4 – Ochoviet y Olave – Ed. Santillana.
Materiales elaborados por profesores de los liceos Nº2 y Nº3.
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